8 VEMIMAM44A előadásjegyzet, /. Fourier-elmélet.. Komplex trigonometrikus Fourier-sorok Tekintsük az [, ], C Hilbert-teret, ahol a skaláris szorzat definíciója f, g ftgt dt. Tekintsük a [, ] intervallumon definiált t e ikt komplex értékű függvények rendszerét: S def { } e ikt : k, ±, ±,... Megmutatjuk, hogy S ortogonális rendszer [, ], C-ben... Állítás. A. képlettel definiált S függvényrendszer ortogonális rendszer az [, ], C Hilbert-térben. Bizonyítás: egyen k l, és tekintsük következő skaláris szorzatokat:. e ikt, e ilt ik l e ikt e ilt dt [e ik lt] t t e ikt e ilt dt e ik lt dt [ ] e ik l ik l. Tehát S egy ortogonális rendszert alkot [, ], C-ben. Számítsuk ki S elemeinek normáit: / / / e ikt e ikt, e ikt e ikt e dt ikt e ikt e dt ikt dt,. ha k Z. Ezért definiáljuk az S C def { } e ikt : k, ±, ±,....3 függvényrendszert. Ez már ortonormált rendszer lesz [, ], C-ben, sőt belátható, hogy maximális is:.. Tétel. A.3 képlettel definiált S C halmazrendszer maximális ortonormált rendszer az [, ], C Hilbert-térben. Alkalmazható tehát az S C függvényrendszerre az.67. Tétel, azaz például az [, ], C tér elemeit az S C rendszerre vonatkozó Fourier-sorba fejthetjük, és a Fourier-sor konvergál az normában az adott függvényhez. Az.67. Tétel jelölését használva: f f, e ikt e ikt. k Z
. Fourier-elmélet 9 Ennek megfelelően az f [, ], C komplex trigonometrikus Fourier-során az ft k végtelen sort értjük, ahol a c k Fourier-együtthatók képlete c k f, e ikt c k e ikt.4 Azt mondjuk, hogy a t [, ] pontban az f Fourier-sora konvergens, ha az s n t n k n c k e ikt, n,,..., fte ikt dt..5 szimmetrikus részletösszegek sorozata konvergens, n esetén. Azt mondjuk, hogy az f függvény Fourier-sora normában vagy négyzetintegrálban konvergál az f függvényhez, ha f s n ft s n t dt, ha n. Világos az eddigiek alapján, hogy a négyzetintegrálban való konvergenciából nem következik a pontonkénti konvergencia. A definícióból, a skaláris szorzat linearitásából és a konvergens sorok tulajdonságaiból rögtön következik, hogy a Fourier-sor számítása lineáris művelet az alábbi értelemben:.3. Állítás. egyen f, f [, ], C, α C. Ekkor. az f + f függvény Fourier-sora az f és f függvények Fourier-sorainak összege,. az αf függvény Fourier-sora az f függvény Fourier-sorának α-szorosa. Az S C halmazrendszer maximalitásából és az.67. Tételből rögtön következik az alábbi eredmény..4. Tétel. egyen S C a.3 képlettel definiált halmazrendszer. Ekkor a következő állítások teljesülnek.. Ha valamely f [, ], C függvényre c k fte ikt dt, k, ±, ±,... azaz az f függvény Fourier-együtthatói nullák, más szóval az f merôleges az S C halmazra f S C, akkor ft, m.m. t [, ]-re.. Az f függvény Fourier-sora négyzetesen konvergál az f függvényhez, azaz n ft c k e ikt dt, ha n. 3. Teljesül a Parseval-azonosság, azaz k n f ft dt k c k lim n n k n c k.
VEMIMAM44A előadásjegyzet, / Bizonyítás nélkül tekintsük az alábbi fontos eredményt..5. Tétel Riesz Fisher-tétel. Tetszôleges olyan γ k C, k, ±, ±,..., konstansokhoz, amelyekre γ k < k teljesül, létezik olyan f [, ], C függvény, hogy γ k fte ikt dt c k azaz γ, γ ±, γ ±,... az f függvény Fourier-együtthatói, és négyzetintegrálban konvergál f-hez. k γ k e ikt A Riesz Fisher-tételt alkalmazva kapjuk, hogy ha egy f [, ], C függvényhez hozzárendeljük a Fourier-együtthatóinak c k k Z két irányban végtelen sorozatát, akkor egy lineáris izomorfiát kapunk a [, ], C és a négyzetesen összegezhető két irányban végtelen sorozatok Banach-tere között. Ha ebben a térben egy c k k Z sorozat normáját a c k k c k / képlettel értelmezzük, akkor a fenti lineáris izomorfia izometria is lesz a Parseval-formula miatt..6. Megjegyzés. Ha f és g két szerint periodikus függvény, akkor ftgt dt ftgt dt, ezért az S C függvényrendszer az [, π], C Hilbert-téren is maximális ortonormált, továbbá az S C -re vonatkozó Fourier-sor az [, π], C Hilbert-téren is.4 alakú lesz, ahol a c k Fourier-együtthatókat a c k fte ikt dt képlettel számoljuk ki..7. Megjegyzés. Az előbbi meggondolást általánosíthatjuk. Ha f és g két szerint periodikus függvény, akkor az ft f t b a és gt g t b a összetett függvények b a szerint periodikus függvények lesznek, és b a ft gt dt b a f t t g dt b a b a b a b b a a b a fxgx dx b a fxgx dx, speciálisan, f [a,b],c b a f [,],C.
. Fourier-elmélet Ezért az S C halmaz elemeit a b a az [a, b] intervallomon értelmezett t ik b a e S [a,b] def együtthatóval megszorozva és új változót bevezetve tekintsük b a t függvényekből álló { } ik e b a t : k, ±, ±,... b a függvényrendszert. Ez maximális ortonormált rendszer lesz az [a, b], C Hilbert-téren. Egy f [a, b], C függvény Fourier-során ezért az ik f c k e b a t k végtelen sort értjük, ahol a c k Fourier-együtthatók képlete c k b a b a ik fte b a t dt, k, ±, ±,.... A.4. Tétel értelemszerűen kiterjeszthető [a, b], C-re... Valós trigonometrikus Fourier-sorok Tekintsük az [, π], R Hilbert-teret. egyen S def {, cos x,x,cos x,x,cos 3x,3x,...,cos kx,kx,...} a [, π]-n értelmezett függvények halmaza. Megmutatjuk, hogy az S halmaz ortogonális rendszer [, π], R-ben..8. Állítás. Az S függvényhalmaz ortogonális rendszer az [, π], R Hilbert-térben. Bizonyítás: Az állítás direkt módon is könnyen belátható, de most mi az S ortogonalitását az előző szakaszban bevezetett S függvényhalmaz ortogonalitását felhasználva indokoljuk. egyen k N. A cos kx eikx + e ikx és kx eikx e ikx i Euler-képletek értelmében kx és cos kx lineáris kombinációja az e ikx és e ikx függvényeknek. Ez persze fordítva is teljesül, az e ikx és e ikx függvények is felírhatók kx és cos kx lineáris kombinációjaként. Ezért az.58. Állítás szerint, ha egy függvény ortogonális az eikx és e ikx függvényekre, akkor ortogonális a kx és cos kx függvényekre is. Ezért a.6. Megjegyzést alkalmazva kapjuk, kx és cos kx is ortogonális bármely e ilx függvényre, ahol l k. De ekkor a fentiekből következik, hogy kx és cos kx ortogonális bármely lx és cos lx függvényre, valamint a konstans függvényre is. Most már csak azt kell belátni, hogy kx és cos kx egymásra is ortogonális. A.. Állítás és. alapján kapjuk e ikx + e ikx cos kx,kx, eikx e ikx i e ikx, e ikx e ikx, e ikx + e ikx, e ikx e ikx, e ikx 4ī + 4ī Ezzel a bizonyítás teljes..
VEMIMAM44A előadásjegyzet, / Számítsuk ki S elemeinek normáját. egyen k. Ekkor e ikx + e ikx cos kx, eikx + e ikx / e ikx, e ikx + e ikx, e ikx + e ikx, e ikx + e ikx, e ikx / + + + Hasolóan kapjuk, hogy π. e ikx e ikx kx, eikx e ikx / π, i i valamint a konstans függvény normája Kaptuk tehát a következő eredményt: / dx. /.9. Állítás. Az S R def {, cos x, x cos x,, x cos kx,..., kx },... π π π π π π.6 függvényrendszer ortonormált rendszer az [, π], R Hilbert-térben. Az.67. Tétel szerint az [, π], R tér elemeit az S R rendszerre vonatkozó Fourier-sorba fejthetjük, és a Fourier-sor konvergál az normában az adott függvényhez. Az.67. Tétel jelölését használva: fx fx, + cos kx cos kx fx, + π π fx, kx π kx π. Ennek megfelelően az f [, π], R valós trigonometrikus Fourier-során az fx a + a k cos kx + b k kx.7 végtelen sort értjük, ahol az a, a,...,b, b,... Fourier-együtthatók képlete a k π b k π fxcos kx dx k,,...,n,....8 fx kx dx k,,...,n....9 Az.67. Tételből rögtön következik a.4. Tétel valós Fourier-sorokra vonatkozó alakja... Tétel. egyen S R a.6 képlettel definiált halmazrendszer. Ekkor
. Fourier-elmélet 3. Ha valamely f [, π], R függvényre és a k π b k π ftcos kx dx, k,,... ft kx dx, k,,..., azaz az f függvény összes Fourier-együtthatója nulla, más szóval az f merôleges az S R halmazra, akkor fx, m.m. x [, π]-re.. Az f függvény Fourier-sora négyzetintegrálban konvergál az f függvényhez, azaz fx a n a k cos kx + b k kx dx, n. 3. Parseval-azonosság: a + a k + b k π f xdx. A Riesz Fisher-tétel valós Fourier-sorokra vonatkozó alakja:.. Tétel Riesz-Fischer tétel. Tetszôlegesen elôírt a, a k, b k k valós számokhoz, amelyekre a + a k + b k <, van olyan f [, π], R függvény, hogy a, a,...,a k,...,b,...,b k,... az f függvénynek az S R rendszerre vonatkozó Fourier-együtthatói. A.7. Megjegyzésnek megfelelően egy tetszőleges [, ] halmazon értelmezett valós függvénynek értelmezhetjük a Fourier-sorát... Megjegyzés. Tekintsük a [, ] intervallumon értelmezett { πx πx x x def cos S R,, cos,,,,..., cos kπx, } kπx,... függvényrendszert. Ez maximális ortonormált rendszer lesz az [, ], R Hilbert-térben. Egy f [, ], R függvény Fourier-során az fx a + a k cos kπx + b k kπx végtelen sort értjük, ahol az a k, b k Fourier-együtthatók képlete a k b k f x cos kπx f x kπx dx, k,,..., dx, k,,..... Most megmutatjuk, hogy valós függvényekre a komplex trigonometrikus Fourier-sor egybeesik a valós trigonometrikus Fourier-sorral.
4 VEMIMAM44A előadásjegyzet, /.3. Állítás. egyen f [, π], R. Ekkor f-nek az S C és az S R rendszerekre vonatkozó Fourier-sora megegyezik. Bizonyítás: egyen f [, π], R valós függvény, és legyenek a c k, a k és b k konstansok a.5,.8 és.9 képletekkel definiálva. Ekkor az f komplex Fourier-sora fx k c k e ikx c + c k e ikx + Másrészt az Euler-azonosság alapján és így c k fue iku du k c k e ikx c + c k e ikx + c k e ikx. fucos ku du i fu ku du c k fue iku du fucos ku du + i fu ku du c k, Ezt felhasználva fx k c k e ikx c k e ikx c k e ikx, k,,.... c k e ikx c + c k e ikx + c k e ikx c + Re c k e ikx. Ugyanakkor Re c k e ikx [ π Re π fucos ku du π a k cos kx + b k kx, fucos ku du i cos kx + π fu ku du fu ku du ] cos kx + i kx kx továbbá Ezért fx k c a fxdx. c k e ikx a + a k cos kx + b k kx. Azt mondjuk, hogy az f függvény Fourier-sora tiszta szinuszos sor, ha csak szinuszos tagokat tartalmaz, azaz a k minden k,,,...-re. Ha pedig f Fourier-sora csak koszinuszos tagokat tartalmaz, azaz b k minden k,,...-re, akkor azt mondjuk, hogy a Fourier-sor tiszta koszinuszos sor..4. Állítás. egyen f [, ], R.. Ha f páratlan függvény, akkor a Fourier-sora tiszta szinuszos sor.. Ha f páros függvény, akkor a Fourier-sora tiszta koszinuszos sor.
. Fourier-elmélet 5 Bizonyítás:. Tegyük fel, hogy f páratlan. Ekkor az fxcos kπx a k. Ha f páros, akkor az fx kπx b k fxcos kπx dx, k,,,.... függvény lesz páratlan, ezért függvény is páratlan, ezért fx kπx dx, k,,.....5. Példa. Tekintsük a szerint periodikus f : R R függvényt, amelyre f x x, ha π x < π. Fejtsük f-et Fourier-sorba! Vegyük észre, hogy f páratlan függvény, így csak a szinuszos tagok együtthatóit kell kiszámolni: Parciális integrálással kapjuk xkx dx [ x [ x b k π ] cos kx π k cos kx k xkx dx. + cos kx dx k [ ] kx π ] π + k k cos kπ + cos kπ + k k k kπ k kπ k cos kπ. Tehát és így b k k cos kπ k k, k,,..., fx x x + 3x 4x +. 3 4.6. Példa. Tekintsük most a szerint periodikus f : R R függvényt, amelyre f x x, ha x <. Az előző példához hasonló módon végigszámítható, hogy b k x kπx dx kπ k, k,,..., így fx π πx x + 3πx 3 4πx 4 +.
6 VEMIMAM44A előadásjegyzet, / Ezt az eredményt megkaphatjuk úgy is, hogy definiáljuk a gt f π t, t R függvényt. Ekkor g szerint periodikus és gt πt, ha t [, π, így az előző példából is megkapható a sorfejtés..7. Példa. egyen f : R R olyan α szerint periodikus függvény, amelyre fx x, α < x < α, ahol α olyan valós szám, amelyre α > és α kπ, k,,.... Mivel f páratlan függvény, a Fourier-sora csak szinuszos tagokat tartalmaz, amelyek együtthatói b k b k α és b k α α α α α α α x kπx α dx kπ kπ cos α x cos α + x dx [ kπ α x α kπ α kπ α + x kπ α + kπ α kπ + α α kπ α kπ α + α α kπ cos α cos kπ α kπ α k α kπ α k α α k α kπ α + kπ α + + kπ α kπ α kπ α + kπ k α α kπ. Tehát az f függvény Fourier-sora: fx α ] xα x α k k α kπ kx. kπ cos α + coskπ α kπ α + Vizsgáljuk azt az esetet, amikor α π. Ekkor k -re a Hospital-szabályt alkalmazva kapjuk egyébként pedig lim b α cos α α lim α π α π α π lim, α π α lim b kα, k, 3,.... α π Tehát a Fourier-sor együtthatói tartanak a periodikus x függvény Fourier-sorának együtthatóihoz.
. Fourier-elmélet 7.3. Valós Fourier-sorok pontonkénti konvergenciája.8. Definíció. Azt mondjuk, hogy az f : R R valós függvény szakaszonként folytonosan differenciálható, ha bármely korlátos [a, b] intervallumon véges sok szakadási pontja van, bármely x szakadási pontjában léteznek az fx + lim x x + fx, fx lim x x fx egyoldali függvényhatárértékek és az f fx fx + x + lim, f fx fx x lim x x + x x x x x x egyoldali deriváltak, továbbá bármely két szakadási pontja közötti nyílt intervallumon folytonosan differenciálható. Bizonyítás nélkül tekintsük a következő eredményt, amely a Fourier-sorok pontonkénti konvergenciájára vonatkozik..9. Tétel. egyen f : R R szakaszonként folytonosan differenciálható szerint periodikus függvény. Ekkor bármely x R pontban az f függvény S R, rendszerre vonatkozó. Fouriersora konvergál az fx+ + fx határértékhez. Speciálisan, ha f folytonos az x pontban, akkor a Fourier-sora x-ben konvergál az fx függvényértékhez. Ha egy f [, π], R függvény Fourier-sorának pontonkénti konvergenciáját vizsgáljuk, akkor először periodikusan kiterjesztjük f-et R-re, és a kiterjesztett függvényre alkalmazzuk a tételt. Megjegyezzük, hogy a periodikus kiterjesztés csak akkor lehetséges, ha f fπ. Egyébként vagy az f vagy az fπ függvényértéket használjuk a periodikus kiterjesztéshez, azaz a kiterjeszett függvény egy pontben nem egyezik meg az eredeti függvénnyel. Viszont a két függvény Fourier-együtthatói, és így a Fourier-sora is megegyezik... Példa. Tekintsük újra a.5. Példában kiszámított Fourier-sort. Az előbbi tételt alkalmazva kapjuk, hogy a Fourier-sor pontonként konvergens, és x 3x x + 4x { x, < x < π, + 3 4, x és x π. A Fourier-sor n-edik részletösszegét jelölje f n x def x x + 3x 4x + nnx. 3 4 n A következő ábrán az f, f 4 és f 6 közelítő összegek grafikonja látható. Ebből is érzékelhető a Fourier-sor konvergenciája.
8 VEMIMAM44A előadásjegyzet, / 3 f f 4 f 6 8 6 4 4 6 8 3 Az f x, f 4 x és f 6 x részletösszegek grafikonja. A Fourier-sorok egyik legfontosabb alkalmazási területe a parciális differenciálegyenletek elméletében található, ahol bizonyos feladatokat a megoldások Fourier-sorba fejtésével oldunk meg. Az egyik kulcs kérdés a módszer alkalmazásánál, mikor lehet differenciálni a Fouriersort, ill. a végtelen összeg deriváltját tagonkénti differenciálással kiszámolni. Erre ad választ a következő tétel, amit szintén bizonyítás nélkül közlünk... Tétel. egyen f : [, π] R folytonos, szakaszonként folytonosan differenciálható, továbbá f fπ. Ekkor az f függvény Fourier-sora abszolút és egyenletesen konvergál a [, π] intervallumon az f függvényhez, azaz fx a + a k cos kx + b k kx, ahol a k, b k a.8 és.9 képletekkel definiált Fourier-együtthatók. Továbbá, f Fourier-sorát f Fourier-sorának tagonkénti differenciálásával megkaphatjuk, azaz f x ka k kx + kb k cos kx. Minden olyan x pontban, ahol f x létezik, az előző reláció egyenlőséggel helyettesíthető. A.9. és.. Tételeket nyilvánvaló módon terjeszthetjük ki arra az esetre, amikor az f függvény a [, ] szimmetrikus intervallumon definiált..4. Tiszta koszinuszos és szinuszos Fourier-sorok Ebben a szakaszban azzal a kérdéssel foglalkozunk, hogyan lehet Fourier-sorba fejteni egy [, ] alakú intervallumon definiált függvényt. Egy természetes ötlet erre az, hogy kiterjesztjük a függvényt a [, ] intervallumra, és a kiterjesztett függvénynek számítjuk ki a Fourier-sorát. Ekkor a.9. Tételben megadott feltételek teljesülése esetében a Fourier-sor konvergál a kiterjeszett függvényhez, ill. [, ]-re leszűkítve a Fourier-sor értelmezési tartományát, az eredeti függvényhez. Két speciális esetet vizsgálunk: páros ill. páratlan függvényként terjesztjük ki a függvényt. Tekintsük először a páros kiterjesztés esetét. egyen f : [, ] R adott, és legyen { f x, x [, fx fx, x [, ].
. Fourier-elmélet 9 Ekkor f Fourier-sora a.4. Állítás szerint tiszta koszinuszos sor, így a Fourier-sorában minden b k. Az a k Fourier-együtthatókat az a k fxcos kπx dx fxcos kπx dx + fxcos kπx dx kπx képlettel számíthatjuk ki. Mivel fxcos két páros függvény szorzata, ezért maga is páros függvény, így a fenti két integrál megegyezik, tehát a k fxcos kπx dx, k,,,..... Most tekintsük azt az esetet, hogy páratlan módon terjesztjük ki f-et a [, ] intervallumra, azaz legyen { f x, x [,], fx, x, fx, x [, ]. Ekkor f páratlan periodikus függvény, ezért a Fourier-sora tiszta szinuszos sor lesz, azaz minden a k. A b k együtthatókat az előző esethez hasonló levezetéssel kapjuk: b k fx kπx dx fx kπx dx + fx kπx fx kπx dx dx, k,,..... Az előző levezetésből rögtön következik az alábbi eredmény. Ha a kiterjeszett függvény páros, akkor annak Fourier-sora tiszta koszinuszos sor lesz,.. Állítás. Az és az S cos def {, cos x, cos x, cos 3x,...} S def { x, x, 3x,...} rendszerek egyaránt teljes ortogonális rendszert alkotnak a [, π] intervallumon..3. Példa. Számítsuk ki a [, π] intervallumra megszorított x függvény tiszta koszinuszos sorát, azaz az S cos függvényrendszerre vonatkozó Fourier-sorát! A. képletet és trigonometrikus azonosságokat alkalmazva kapjuk k -re, hogy a k π π π π [ xcos kx dx + kx + kx dx cos + kx + k +k + k k + π k + π cos kx k ] π k k + k + k k.
3 VEMIMAM44A előadásjegyzet, / k -re kapjuk a π xcos x dx π x dx π [ cos x A.9. Tétel szerint a Fourier-sor minden pontban konvergál a függvényhez, tehát kapjuk, hogy x + π cosx + cos 4x + cos 6x +, x [, π]. 4 6 Megjegyezzük, hogy a x függvény tiszta szinuszos Fourier-sora természetesen önmaga azaz b és b k minden k > -re. ] π..4. Példa. Számítsuk ki az f : [, 5] R, fx függvény tiszta szinuszos Fourier-sorát! A. képlet szerint b k [ ] 5 kπx 5 5 dx kπx 5 cos 5 cos kπ 5 kπ kπ kπ k, k,,..., 5 ezért 4 π πx 5 + 3πx 3 5 + 5πx 5 5 + 7πx 7 5 +, x, 5. x és x 5-re a Fourier-sor összege. Ha x 5/-et helyettesítünk be az előző egyenletbe, akkor kapjuk a π 4 3 + 5 7 + 9 + ú.n., Euler-összefüggést. Jelölje f n a Fourier-sor n-edik részletösszegét, azaz f n x n b k kπx 5. A bal oldali ábrán az f 5 x, f 7 x és f 4 x részletösszegek grafikonjai, a jobb oldalin pedig az f 8 x részletösszeg grafikonjának kinagyított része látható.. f 5 f 7 f 4...8.6.4..9 3 4 5.8 3 4 5 Az ábra azt igazolja, hogy a részletösszegek n növekedésével egyre jobban közelítik a konstans függvény grafikonját. Viszont ez a határérték nem egyenletes, az intervallum két végpontjához közel a Fourier-sor részletösszegeinek maximuma kb..8 körüli értéket vesz fel. Numerikusan ellenőrizhetjük, hogy ez a maximum n növelésével nem változik, csak azt a részletösszeg függvény egyre közelebb veszi fel az intervallum végpontjához. Hasonló viselkedés figyelhető meg nem folytonos függvények véges Fourier-féle közelítő összegeinél. Ezt a jelenséget Gibbs-jelenségnek hívjuk. Az f függvény tiszta koszinuszos Fourier-sora, azaz a, a k b k minden k,,...-ra.
. Fourier-elmélet 3.5. Fourier-transzformált és Fourier-integrál egyen f : R C szakaszonként folytonosan differenciálható függvény, amely nem szükségszerűen periodikus. egyen > állandó, g : R C olyan periodikus függvény, amelyre g x fx, < x <. Írjuk fel g komplex Fourier-sorát. A g függvény Fourier-együtthatói és ezért g x n c n g te in π t dt, g te in π t dt e in π x, x R. Mivel g x fx ha < x <, így a.9. Tétel szerint egyen fx+ + fx n fte in π t dt e in π x, λ n nπ. def Ekkor λ n λ n+ λ n π. Ezzel a jelöléssel az előbbi egyenlet az fx+ + fx n alakban írható fel. Ez minden -re teljesül, ezért Definiáljuk az fx+ + fx lim n x,. fte iλnt dt e iλnx λ n, x, fte iλnt dt F : R C, Fλ e iλnx λ n, x R..3 fte iλt dt.4 függvényt, amelyet az f függvény Fourier-transzformáltjának vagy komplex Fourier-integráljának nevezünk. Ezzel a jelöléssel kapjuk a.3 egyenletből, formálisan először a zárójelen belül elvégezve a határátmenetet, hogy fx+ + fx lim n Fλ n e iλnx λ n, x R. A jobb oldali összeg egy improprius integrál Riemann-féle közelítő összege, ahol a {λ n : n Z} osztópontokat használjuk a számegyenes felosztásához, így kapjuk, hogy fx+ + fx Fλe iλx dλ, x R..5 A.4 és.5 képletet együtt a Fourier-féle inverziós formuláknak nevezzük. Hangsúlyozni kell, hogy a fenti levezetés csak formális számolás volt. A képletek precízen is levezethetők a következő feltétel mellett: ft dt <.
3 VEMIMAM44A előadásjegyzet, / Azon f : R C ebesgue-mérhető függvények lineáris terét, amelyek abszolút értéke az egész számegyenesen végesen ebesgue-integrálható, azaz amelyekre a fenti egyenlőtlenség teljesül, R, C-vel jelöljük. Ezzel a jelöléssel a következőképpen foglalhatjuk össze az eredményünket..5. Tétel. egyen f R, C szakaszonkén folytonosan differenciálható függvény. Ekkor érvényes az ún. Fourier-féle integrálformula: Fλe iλx dλ fte iλt dt e iλx dλ fx + fx+, x R. Vizsgáljuk meg most azt az esetet, amikor az f valós függvény, azaz f : R R. Ekkor a Fourier-féle integrálformulán a következő átalakításokat végezzük: fte iλt dt e iλx dλ fte iλx t dt fte iλx t dt dλ dλ + fte iλx t dt dλ. Használva az u λ du dλ helyettesítést az első integrálban, kapjuk, hogy fte iλt dt e iλx dλ fte iux t dt ft du + e iλx t + e iλx t dt Mivel e iλx t + e iλx t cos λx t, f valós függvény, ezért fx+ + fx π fte iλx t dt dλ dλ. ftcos λx tdt dλ. Ez a valós Fourier-féle integrálformula. A jobb oldalon álló integrálban a cos függvényt kifejtve kapjuk a következő állítást..6. Következmény. egyen f R, R szakaszonkén folytonosan differenciálható függvény. Ekkor Aλcos λx + Bλ λx dλ fx+ + fx, x R,.6 ahol Aλ ftcos λt dt és Bλ π π ft λt dt..7 A.6 egyenlet bal oldalán álló integrált valós Fourier-integrálnak nevezzük.
. Fourier-elmélet 33.7. Példa. Írjuk fel az függvény Fourier-integrálját! A.7 képletek szerint f : R R, fx Aλ ftcos λt dt π 3 cos λt dt + π [ 3 λt ] π λ { 3, x [, ], 5, x, 4],, x < vagy x > 4. 4 [ + 5 λt λ 5 cos λt dt 3 λ + 5 4λ. πλ Megjegyezzük, hogy Aλ folytonosan kiterjeszthető λ -ra is, hiszen létezik a 3 λ lim Aλ lim + 5 4λ 6 + 4 λ λ πλ πλ π π határérték. Bλ hasonlóan számítható: Bλ π [ 3 π 3 λt dt + cos λt λ ] 4 [ + 5 ] 4 5 λt dt cos λt λ 8 3 cos λ 5 cos 4λ. πλ Megmutatható, hogy lim λ Bλ. A.6. Következmény szerint 3 λ + 5 4λ cos λx + πλ 8 3 cos λ 5 cos 4λ πλ ] 4 λx dλ, x <, 3/, x, 3, x,,, x, 5, x, 4, 5/, x 4,, x > 4. Az f függvény Fourier-transzformáltjára használjuk az Ffλ Fλ jelölést is. A következő tételben összefoglaljuk a Fourier-transzformált néhány fontosabb tulajdonságát..8. Tétel. egyen f, g R, C és α, β C. Ekkor. Fαf + βg αff + βfg.. Ha f differenciálható és f R, C, akkor Ff λ iλffλ. 3. Ff g Ff Fg, ahol az f és g konvolúciója. f gx ftgx tdt
34 VEMIMAM44A előadásjegyzet, /.6. Alkalmazások Tegyük fel, hogy f Fourier-transzformáltja a [, ] intervallumon kívül azonosan nulla, azaz Fλ, λ >..8.9. Tétel Mintavételi tétel. Tegyük fel, hogy f R, C függvény folytonos és szakaszonként folytonosan differenciálható, amelyre.8 teljesül. Ekkor f-et meghatározzák a pontokban felvett értékei: fx n nπ f, ± π, ±,... x nπ, x nπ, n Z. x nπ Bizonyítás: A Fourier-féle inverziós formulát és a.8 feltételt alkalmazva fx Fλe iλx dλ Fλe iλx dλ, x R..9 Az Fλ függvény a, intervallumon felírható Fourier-sora összegeként: Fλ c n e i nπλ, λ,, n ahol c n nπλ i Fλe dλ. A.9 összefüggést alkalmazva kapjuk, hogy nπ c n f. Ezt visszahelyettesítve F Fourier-sorába kapjuk Fλ Ezért a.9 formula szerint x nπ -re fx n n n nπ f e i nπλ nπ nπλ i f e. nπ nπλ i f e e iλx dλ nπ nπ iλ f e +x dλ n nπ e ix nπ e ix nπ f ix nπ n nπ x nπ f. x nπ n