Valószínűségszámítás és statisztika, 9 10. évfolyam

Valószíűségszámítás és statisztika, 9 0. évfolyam Hraskó Adrás 04. júius 8.

4 TARTALOMJEGYZÉK Tartalomjegyzék Feladatok. A statisztika alapjai............................... Kísérletek.................................... 9. Statisztikák................................... 4. Esélyek..................................... 7. Hipergeometrikus eloszlás............................ Biomiális eloszlás............................... 7. Geometriai eloszlás............................... 8. Geetika..................................... 7 9. A várható érték................................. 0. Feltételes valószíűség.............................. Játékok...................................... Markov lácok................................. 9. A szórás..................................... 4 4. Vegyes feladatok................................ 4 4..Hézag................................... 4 4..Nagyságredi sorred........................... 4 4..Permutációk................................ 4 4.4.Idege yelve.............................. 48 4..Paradoxook............................... 49 4..Valószíűség és geometria........................ 0 4.7.Nehéz verseypéldák........................... 0 7. Geometriai eloszlás............................... 7 8. Geetika..................................... 7 9. A várható érték................................. 7 0. Feltételes valószíűség............................. 77. Játékok..................................... 8. Markov lácok................................. 9. A szórás..................................... 97 4. Vegyes feladatok................................ 98 Segítő lökések. A statisztika alapjai............................... Kísérletek..................................... Statisztikák................................... 4. Esélyek...................................... Hipergeometrikus eloszlás............................ Biomiális eloszlás............................... 7. Geometriai eloszlás............................... 8. Geetika..................................... 9. A várható érték................................. 0. Feltételes valószíűség.............................. Játékok...................................... Markov lácok.................................. A szórás..................................... 4. Vegyes feladatok................................ Irodalomjegyzék Megoldások. A statisztika alapjai............................... Kísérletek.................................... 7. Statisztikák................................... 7 4. Esélyek...................................... Hipergeometrikus eloszlás........................... 8. Biomiális eloszlás............................... 70

. FEJEZET. A STATISZTIKA ALAPJAI. FEJEZET A statisztika alapjai A témához tartozó legfotosabb defiíciók az.. feladat megoldásába olvashatók... (M a Mejük az ablakhoz és becsüljük meg a templom (vagy a szemközti ház, vagy egy agy fa stb. magasságát! b Adjuk a magasságak egy értéket az összes diák becslése alapjá! (Képzeljük el, hogy a vizsgáladó épület többé em érhető el a számukra, és a diákok becslésé kívül más iformációhoz em juthatuk hozzá!.. (M Adott az {; ; 8} számsokaság. Határozzuk meg azt az x számot, amelyek a számsokaságtól való a átlagos égyzetes eltérése; b átlagos abszolút eltérése miimális!.. (M Adott az {; ; 8; }, {x ; x ; x ;... ; x } számsokaság. Határozzuk meg azt az x számot, amelyek a számsokaságtól való a átlagos égyzetes eltérése; b átlagos abszolút eltérése miimális!.4. (M Adjuk meg olya számsokaságot, amelyek a átlaga, mediája ; b átlaga, mediája, szórása ; c átlaga, mediája, módusza!.. (M [] Egy osztályba láy és 9 fiú jár. A láyok átlagmagassága 7 cm, a fiúké 8 cm. Mekkora az egész osztályra voatkozó átlagmagasság?.. (M [] Egy 7 megfigyelés eredméyét rögzítő számsokaság módusza 4, mediája 4,, átlaga,7. A 7. megfigyelés eredméye. a Megadható-e az új, 7 egyedből álló számsokaság módusza, mediája és átlaga? b Godoljuk végig a feladatot abba az esetbe is, amikor feltételezzük, hogy a számsokaság elemei egész számok!.7. [] Adjuk meg darab pozitív egész számot úgy, hogy a mediája, az átlaga 999 legye! Létezik-e ilye sokaság, ha azt is megköveteljük, hogy egyetle módusza legye, és aak értéke a, b, c 000, d 000 legye? emeyi lehet maximum a módusz?.8. [] Egy fős csoportba a kémia átlag,8 volt. (Két tizedesre kerekítve. Tudjuk, hogy seki sem bukott meg. a Legfeljebb háya kaphattak kettest? b Biztos-e, hogy volt valakiek ötöse? c* Igaz-e, hogy ha a módusz 4, akkor a mediá is 4?.9. [] Egy yolc elemű számsokaság mediája M,8. Mi modható a mediáról, ha kilecedik számelemkét hozzávesszük a 4-et?.0. (M a Adottak a síko az A(;, B(7; 0, C(4; potok. Határozzuk meg a sík azo P potjáak koordiátáit, amelyre a P A + P B + P C kifejezés értéke miimális! b Oldjuk meg a feladatot az A(a ; a, B(b ; b, C(c ; c általáos pothármassal is!.. Határozzuk meg ebbe a taévbe a matematikából kapott jegyeik átlagát, móduszát, mediáját és szórását!.. (M Egy H számsokaság átlaga x, szórása D. Meghatározható-e ezekből az adatokból az y számak a H sokaságtól való átlagos égyzetes eltérése?.. (M Tekitsük egy számsokaságot! Hogya változik a számsokaság mediája, módusza, átlaga, terjedelme és szórása, ha a számsokaság mide elemét a -mal megöveljük? b -mal megszorozzuk?.4. (M Mit modhatuk arról a számsokaságról, amelyek szórása 0?

7 8. FEJEZET. A STATISZTIKA ALAPJAI.. (M [] A megadott osztályzatok alapjá számítsuk ki az alábbi három tauló jegyeiek átlagát, móduszát, mediáját és szórását!. tauló,,,,,,,,,,. tauló,,,,,,,, 4, 4, 4. tauló,,,,,,, 4, 4,,.. (M a Határozzuk meg a {; 7} számsokaság szórását! b Az elemeket ötször vesszük, így kapjuk a {; ; ; ; ; 7; 7; 7; 7; 7} számsokaságot. Hogya változik a szórás? c Veszük még két hetest: {; ; ; ; ; 7; 7; 7; 7; 7; 7; 7}. Hogya változik a szórás? Nő, csökke vagy változatla marad? Előbb tippeljük, azutá számoljuk!.7. (M [] Azt modjuk, hogy az a sárajobb b-él (jelbe: a s b, ha a számsokaságba a és b átlagától a felé több elem va, mit b felé. Azt modjuk, hogy az a szám a {x ; x ; x ;... x } számsokaságra voatkozóa sáralegjobb, ha em létezik olya b a szám, amelyre b s a. Va-e sáralegjobb elem az.-.. feladatok számsokaságaihoz?

0. FEJEZET. KÍSÉRLETEK. FEJEZET Kísérletek.. Három kockát dobuk fel. Mideki 0-szor dob, összese tehát 0-szer, ahol a csoport létszáma. Alább -tel számoluk, tehát összese 00 dobással. a A kísérlet elvégzése előtt tippeli kell, hogy az alábbi eseméyek háyszor fogak bekövetkezi: eseméy 0 00-ból háyszor. Midhárom egyforma. Mid külöböző. Két egyforma, a harmadik külöböző 4. Va köztük hatos. Se ötös, se hatos ics köztük. A három szám összege legalább 7. A három közül a legkisebb(ek egyes(ek 8. A három közül a legkisebb(ek kettes(ek 9. A három közül a legkisebb(ek hármas(ok 0. A három közül a legkisebb(ek égyes(ek. A három közül a legkisebb(ek ötös(ök. A három közül a legkisebb(ek hatos(ok b Hogya dötsük el a végé, hogy ki tippelt a legjobba? c Kezdjük el a kockadobást, töltsük ki az alábbi adatlapot! kockák:.. kül.. + 4..,. 7. mi 8. mi 9. mi 0. mi 4. mi. mi 4 7 8 9 0 4 7 8 9 0 összese kockák:.. kül.. + 4..,. 7. mi 8. mi 9. mi 0. mi 4. mi. mi A fölső üres sorba kell beíri a három kocká látható számot, a többi rubrikába íradó, ha az az eseméy bekövetkezett, ürese hagyadó, ha em következett be. A legutolsó oszlopba a megfelelő sorba található ek számát kell íri. Az utolsó oszlopba írt számokat a táblá összesíthetjük hogy megkapjuk a teljes, 0, azaz 00 elemből álló mita adatait. d Számoljuk ki az egyes eseméyek matematikai esélyét!.. Feldobuk öt pézérmét és felírjuk a fejek számát. Végezze el mide diák a kísérletet 0-szor, összese tehát 0-szer, ahol a csoport létszáma! Tippeljük meg előre a a kapott számok (0 db szám átlagát és b szórását, valamit c redre azt is, hogy háyszor kaptuk a 0-ből 0,,,, 4 ill. fejet! 9

a 0 szám a fejek számáak eloszlása átlaga szórása 0 fej fej fej fej 4 fej fej d Most végezzük is el a kísérletet! sorszám: 4 7 8 9 0 4 fejek száma: e Számítsuk ki adatsoruk átlagát és szórását! f Összesítsük saját eredméyeiket! Fejek száma: 0 4 Σ Gyakoriság: 0 g Készítsük egy agy táblázatot a táblára, amelybe mideki beírja saját eredméyeit! Összesítsük a csoport eredméyét! Diák fejek száma a 0 szám 0 4 Σ átlaga szórása. (gyakoriságok: 0. (gyakoriságok: 0. (gyakoriságok: 0.. (gyakoriságok: 0 Összese: 0 h Határozzuk meg a 0 szám átlagát és szórását, valamit az egyes kimeetelek 0 fej, fej,... fej relatív gyakoriságait! i Igaz-e, hogy az egyes diákok által kapott átlagok átlaga megegyezik a csoport által kapott 0 szám átlagával? j Igaz-e, hogy az egyes diákok által kapott szórások átlaga vagy összege megegyezik a csoport által kapott 0 szám szórásáak átlagával vagy összegével? k Hogya lehetett vola hatékoya előzetese megtippeli az egyes kimeetelek relatív gyakoriságait? l Hogya lehetett vola hatékoya előzetese megtippeli a 0 szám átlagát és szórását?.. Egy pézérmét addig dobuk fel, amíg fejet em dobuk és felírjuk az ehhez szükséges dobások számát. A kísérletet mide diák 0-szor végzi el, összese tehát 0-szer, ahol a csoport létszáma. Alább egy fős csoportlétszámmal dolgozuk, tehát összese 40 kísérlettel. a A kísérlet elvégzése előtt tippeli kell, hogy az alábbi eseméyek háyszor fogak bekövetkezi a 0 40 kísérlet közül (töltsük ki az alábbi táblázat harmadik első üres oszlopát!. FEJEZET. KÍSÉRLETEK eseméy 0-ből háyszor 0-ból é háyszor. -szer kellett dobi. -szer kellett dobi. -szor kellett dobi 4. 4-szer kellett dobi. -ször kellett dobi. -szor kellett dobi 7. 7-szer kellett dobi 8. 8-szor kellett dobi 9. 9-szer kellett dobi 0. legalább 0-szer b Arra is tippeljük, hogy átlagosa háyadikra jö ki az első fej! c Végezzük el a kísérletet (töltsük ki a feti táblázat egyedik oszlopát!, majd a táblá készítsük összesítést a 0 kísérletről! d Számoljuk ki az egyes eseméyek matematikai esélyét! e Számoljuk ki, hogy a valószíűségek alapját átlagosa háyadikra jö ki az első fej (az első fejig tartó dobássorozat hosszáak várható értéke!.4. [9] Egy kétlépéses kísérlet első lépésekét egy játékvezető három megadott kísérlet egyikét választja ki, mégpedig bármelyiket azoos valószíűséggel. A kiválasztott kísérletet ezutá hússzor végrehajtja, és a kísérlet kimeeteit leírja. Ezekből az adatokból kell arra következteti, hogy a három kísérlet közül melyiket hajtotta végre a játékvezető. A három kísérlet a következő: A változat: Feldob egy kockát, és 0-t ír le, ha a dobott szám vagy ; -et, ha vagy 4; és -t, ha vagy. B változat: Feldob egy kockát, és 0-t ír le, ha a dobott szám, vagy ; -et, ha 4 vagy ; és -t, ha a dobott szám. C változat: Feldob két szabályos érmét, és a dobott fejek számát írja le. A kísérlet egyik elvégzése sorá a következő sorozat adódott:,,,,0,0,0,,0,,,,,,,,,,0,0. Melyik változat eredméyezte a sorozatot?.. [9] Ez is egy melyik az igazi típusú feladat, mit a.4. Most midhárom változatba egy olya dobozból húzuk golyót, amelybe 7 fehér és piros golyó va. A változat: Háromszor húzuk egy golyót úgy, hogy mide húzás utá visszatesszük a kihúzott golyót. B változat: Háromszor húzuk egy golyót úgy, hogy a kihúzott golyót em tesszük vissza. C változat: Midaddig húzuk golyókat egymás utá visszatevés élkül, amíg az első fehér golyót ki em húzzuk.

4. FEJEZET. KÍSÉRLETEK Midhárom változatba a kísérlet kimeetele a kihúzott piros golyók száma. A választott változat 0 egymás utái végrehajtása utá a következő mita adódott:,0,,0,,,0,,,0,0,,0,,0,,,,,0. Melyik változat eredméyezte a sorozatot?

. FEJEZET. STATISZTIKÁK FVQXWDÜQYDGXVQYFBZQCBFVŐMBQDVQFQWDBYFBZHAAQ CBFVŐMBHEQDBZCEDQÉXBKDÖCBQFVXŰÜQÉDŰÜQGFQUFWN AFYQADWMÜÜSEQFEEHŰQÉMŰ. FEJEZET Statisztikák.. (M Készítsük el Aray Jáos Toldi című művéek betűstatisztikáját a a magyar karakterek szerit (a ty -be t és y külö karakter; b a magyar hagok szerit (az sz, ty stb öálló hagok; c az agol karakterek szerit ( é -t e -vel, ó -t, ö -t, ő -t o -val helyettesítjük! A Toldi szövegét tartalmazó fájlok: http://matek.fazekas.hu/matkoyv/public/toldi.doc, http://matek.fazekas.hu/matkoyv/public/toldi.txt.. (M Készítsük el Ottlik Géza Iskola a határo című művéek betűstatisztikáját a a magyar karakterek szerit (a ty -be t és y külö karakter; b a magyar hagok szerit (az sz, ty stb öálló hagok; c az agol karakterek szerit ( é -t e -vel, ó -t, ö -t, ő -t o -val helyettesítjük! Az Iskola a határo megtalálható a weboldalo illetve letölthető a http://mek.oszk.hu/000/08/ http://matek.fazekas.hu/matkoyv/public/ottlikiskolaahataro.doc, http://matek.fazekas.hu/matkoyv/public/ottlikiskolaahataro.txt fájlokba. fájlokból... (MS Betűhelyettesítéses titkosírás dekódolása Dekódoljuk a http://matek.fazekas.hu/matkoyv/public/haladzsa07ha.doc, http://matek.fazekas.hu/matkoyv/public/haladzsa07ha.txt.4. (M Fejtsük meg a külöböző yelveke írt, majd titkosított szövegeket! A http://matek.fazekas. hu/matkoyv/public/haladzsamelyyelve0titkos.doc, http: ://matek.fazekas.hu/matkoyv/public/haladzsamelyyelve0titkos.doc illetve http://matek.fazekas. hu/matkoyv/public/haladzsamelyyelve0titkos.txt, http: ://matek.fazekas.hu/matkoyv/public/haladzsamelyyelve0titkos.txt fájlokba egy-egy vers található titkosítva. Vagy az -es vagy a -es végű fájlba egy magyar, a másikba pedig egy agol yelvű irodalmi mű va kódolva egyszerű betűhelyettesítéses titkosírással. Tehát vettük egy-egy magyar és egy agol yelvű verset, az ékezetekes betűket az ugyaolya ékezet élküli betűkkel helyettesítettük, a vesszőket, potokat, kérdőés felkiáltójeleket, aposztrófokat, godolatjeleket egyszerűe töröltük, a kötőjeleket szóközre cseréltük egésze addig míg a szövegbe már csak az A, B, C, D, E, F, G, H, I, J, K, L, M, N, O, P, Q, R, S, T, U, V, W, X, Y, Z karakterek és szóköz szerepelt. A versszak szeriti tagolást meghagytuk. Ezutá a karaktereket és a szóközt más karakterekkel (agybetűkkel helyettesítettük a két külöböző szövegbe külöböző módo. Az első versszakok: Az. titkosított szöveg (az elválasztás em követi a yelvtai szabályt: WQFGOQDNZWDMXBSDNZWDWBSHXUZDMXBSDORQWDRBDGD QGLLHWDSOWJDVZGOSWODXDFXUZDNRDMBRFDNZWDFRONZ DUGXQDZWDRCDYJDFWHUZDHGBQUDRTWODNZWDAROQWO A. titkosított szöveg (az elválasztás em követi a yelvtai szabályt: LJFRWFLCDLFDAMRUVACKRFGBLSNWELUFBJRCFKLYLVKFYRW ORVXWFURYFWEAUWRFJASAWAKKFLFKRUWRTFQLUESAVAFQ NCCLYLFLFJNWAFZRTWRKRWFSATHLGBACLBLTL Melyik a magyar és melyik az agol yelvű titkosított szöveg? Dekódoljuk a titkosírásokat! fájlokba megadott titkosított szöveget, amelyet egy magyar yelvű köyvből vettük, de karaktereit (a betűket, az ékezetes betűket és a szóközt összekevertük. A titkosított szöveg így kezdődik:

8 4. FEJEZET. ESÉLYEK 4.4. (M Három érmét feldobuk. Meyi a valószíűsége, hogy a három dobás közül potosa az egyik fej? 4. FEJEZET Esélyek 4.. (M Érettségi, 00 május, emelt szit Felmérések szerit az iteretes kapcsolattal redelkezők 7%-a vásárol az iterete, %-a tölt le szoftvert az iteretről. A statisztika szerit az iteretezők 4%-a midkét szolgáltatást igéybe veszi. Meyi a valószíűsége az alábbi eseméyekek? a Egy véletleszerűe kiválasztott iteretes kapcsolattal redelkező személy em vásárol az iterete. b Egy véletleszerűe kiválasztott iteretes kapcsolattal redelkező személy vásárol az iterete, vagy szoftvert tölt le. (Megegedve, hogy esetleg midkét szolgáltatást igéybe veszi. c Egy véletleszerűe kiválasztott iteretes kapcsolattal redelkező személy em vásárol az iterete és szoftvert sem tölt le az iteretről. d Három véletleszerűe kiválasztott iteretes kapcsolattal redelkező személy közül egyik sem vásárol az iterete. (A kiválasztást visszatevéses módszerrel végzik el. 4.. (M Érettségi, 00 május, emelt szit A.a osztály öt belépőjegyet kapott a vízilabda bajokság dötőjére. Az osztály mid a harmic taulója szívese mee, bár közülük taulóak akkor külöórája lee. A választást a véletlere bízzák: felírják a 0 evet egy-egy cédulára, és ötöt kihúzak közülük. a Meyi a valószíűsége aak, hogy a kisorsolt taulók közül potosa olya lesz, akiek külöórája lee? Az eredméyt tizedestört alakba adja meg! b Tudjuk, hogy a kiválasztott öt tauló között biztosa va olya, akiek va külöórája. Meyi ekkor a valószíűsége aak, hogy potosa két kisorsolt taulóak va külöórája? 4.. (M Két érmét feldobuk. Meyi a valószíűsége, hogy a két dobás közül a potosa az egyik fej? b legalább az egyik fej? c midegyik fej? 4.. (M Öt érmét feldobuk. Meyi a valószíűsége, hogy közülük potosa kettő fej? 4.. (M Két kockával dobuk. Két dologra lehet fogadi. A: Midkét dobás páros lesz. B : Az egyik dobás -es. Melyikek agyobb a valószíűsége? 4.7. (M Két kockával dobuk. Két dologra lehet fogadi a két dobott számmal kapcsolatba. Melyikre fogadál ikább? a A: Összegük legalább 0. B : Midkette kisebbek 4-él. b A: Midkette párosak. B : Midkette kisebbek 4-él. 4.8. (M Valaki azt állítja, hogy a kártyák szíét tapitással felismeri. Állításáak igazát próbáak vetettük alá. Egy, csak a babás (alsó, felső, király és ász lapokat tartalmazó, jól megkevert magyar kártya csomagból (összese lap bekötött szemmel kellett eki a égy pirosat kiválasztaia. Ezzel szembe a égy kiválasztott kártya között csak két piros volt. Számítsuk ki aak a valószíűségét, hogy egy külöleges képességekkel em redelkező személy, aki véletleszerűe választja ki a égy lapot, ugyailye jól választ! 4.9. (M Egy kockával éháyszor dobuk. Melyikek agyobb a valószíűsége, aak, hogy az első dobás lesz az első hatos, vagy aak, hogy a második dobásál dobuk először hatost? 4.0. (M Véletleszerűe kiválasztuk egy hatjegyű számot. Miek agyobb a valószíűsége, aak, hogy a szám előállítható két háromjegyű szám szorzatakét, vagy aak, hogy em állítható elő? 4.. (M Háy dobókocka eseté a legagyobb a valószíűsége aak, hogy azokkal egyszerre dobva potosa egy hatost dobuk? 4.. (M Egy fiút akkor egedek el játszai, ha három egymás utái sakkparti közül legalább két egymás utáit megyer. Parterei: Apa és Papa, mégpedig vagy Apa-Papa-Apa, vagy Papa-Apa-Papa sorredbe. Apa jobba játszik, mit Papa. Melyik sorred kedvezőbb a fiú számára? a Legye pld. Apa yerési esélye a fiú elle, míg Papáé csak. b Oldjuk meg a feladatot az általáos esetbe is. 7

9 0 4. FEJEZET. ESÉLYEK 4.. (M [] Egy sötét helyiségbe 4 a egyforma; b külöböző pár cipő össze va keverve. Kiválasztuk ezekből égy darab cipőt. Mi a valószíűsége aak, hogy legalább egy összetartozó pár lesz a kivettek között? 4.4. (M [4] Egy vizsgá az A és B tételek elméleti, a C tételek gyakorlati jellegűek. Midhárom tételsor 0 feladatból áll, s a vizsgázóak midegyik sorból egy-egy tételt kell húzia. Ha a vizsgázó bármelyik tételét em tudja, akkor megbukik. Mekkora aak a valószíűsége, hogy egy diákak 80%-os felkészültséggel em sikerül a vizsgája? (A 80%-os felkészültség ez esetbe azt jeleti, hogy mide tételsorból yolc tételt tault meg, kettőt em. 4.. (M Az eredeti lottó 90 számból húzak ki -öt, és két találatért már yereméy jár. Mi az esélyük arra, hogy egy számötössel yerjük valamit? 4.. (M Egy kockával a kétszer; b háromszor dobuk. Meyi aak a valószíűsége, hogy a dobott számok között lesz hatos? 4.7. (M A számegyees origójába leteszük egy korogot, majd egy szabályos dobókockát feldobuk yolcszor. Mide alkalommal, ha összetett számot dobtuk, akkor a korogot eggyel balra mozdítjuk, ha em összetett számot (prímet vagy -et, akkor jobbra. Mekkora valószíűséggel lesz a korog a 8. dobás utá ismét az origóba? 4.8. (M A Skadiáv lottó 7 számot húzak ki -ből és egy héte (tehát egy szelvéyre voatkozólag két húzás is va (egy kézi és egy gépi. Mi az esélye, hogy a 8-as yerő szám lesz egy adott héte (tehát az egyik vagy a másik vagy midkét húzásál? 4.9. (M [9] Az ötös lottó mide héte egyetle szelvéyel megjátsszuk az,,, 4 és számokat. a Mekkora aak a valószíűsége, hogy az első héte yerük? b Mekkora aak a valószíűsége, hogy egy év alatt ( hét egyszer sem yerük? c Mekkora aak a valószíűsége, hogy egy év alatt ( hét alatt egyszer sem lesz hármas találatuk? d Melyikek agyobb a valószíűsége: az első héte lesz ötösük, vagy aak, hogy 00 év alatt egyszer sem lesz ötösük?

. FEJEZET. HIPERGEOMETRIKUS ELOSZLÁS. FEJEZET Hipergeometrikus eloszlás.. (M Az lapos kártyacsomagból kiválasztuk -at. Adjuk meg a köztük levő a ászok, b kárók számáak eloszlását!.. (M A lapos magyar kártyából egyszerre három lapot húzuk. Mi a valószíűsége aak, hogy a kihúzott lapok között va legalább egy zöld?.. (M Egy ládába 90 jó és 0 selejtes alkatrész va. Véletleszerűe kiválasztuk 0 alkatrészt. Jelölje χ a kiválasztott alkatrészek között a selejtesek számát (χ {0,,,,4,,,7,8,9,0}. Adjuk meg χ valószíűségeloszlását! Haszálhatuk matematikai programot (pl Axiom, Derive, Maple, Mathematica vagy táblázatkezelőt (pl Excel, OpeOffice.org Calc.4. [] Egy tóból kifogak 000 halat, midegyiket megjelölik piros pottal, majd visszadobják a tóba. Bizoyos idő elteltével ismét kifogak a tóból 000 halat, és közülük 00-o piros potot találak. Milye következtetés voható le ebből? Eek a reális és gyakra haszált eljárásak az egyik elemző módszere az úgyevezett maximum likelyhood-becslés. Ez a következőt jeleti: tegyük fel, hogy a tóba hal va (midkét halászat idejé ugyaaz az hal és számítsuk ki erre az -re alapozva az első bekezdésbe megfogalmazott jeleség valószíűségét. Határozzuk meg, hogy mely eseté lesz a legagyobb a valószíűség, és becsüljük a halak számát ezzel az értékkel!

4. FEJEZET. BINOMIÁLIS ELOSZLÁS b hely eseté mekkora túlfoglalást tartuk ésszerűek? c Hasoló adatok mellett egy másik repülőtársaság fős várólistát fogad el. Mekkora aak a valószíűsége, hogy a teljes várólista az utaslistára kerül?. FEJEZET Biomiális eloszlás.. Legye A egy véletle kísérlet p valószíűségű eseméye. Ha a kísérletet végrehajtjuk -szer, meyi az esélye, hogy az A eseméy potosa k-szor következik be?.. Összefüggések a Pascal háromszögbe a Igazoljuk, hogy k ( ( k k. Adjuk meg zárt alakba az alábbi összegeket! b A Pascal háromszög -edik sorába az elemek összege: p ( k0 k. Pl 7-re: + 7 + + + + + 7 + 8 c e k0 k( k. Pl 7-re: 0 + 7 + + + 4 + + 7 + 7? d d k0 k( k. Pl 7-re: 0 + 7 + 4 + 9 + + + 7 + 49?.. [] Adjuk meg a következő összeget explicit alakba! ( ( ( + + 4 +... 4.4. (MS [9] Egy repülőgéptársaság yilvátartásába szereplő utolsó helyfoglalásból 7-et lemodtak. Ezért a társaság kis rátartással több helyet eged lefoglali, mit aháy elfoglalható hely va. a Mekkora aak a valószíűsége, hogy ülőhelyre helyfoglalás mellett lesz valaki, akiek em jut hely?.. [] Oltóayag vizsgálata Ha egészséges szarvasmarhákat valamely betegségek teszük ki, akkor az állatok %-a betegszik meg. Egy újoa felfedezett oltóayag vizsgálata céljából egészséges állatak védőoltást adak, majd fertőzések teszik ki őket. Hogya lehet értékeli a kísérlet eredméyét? Az alábbi három eset közül melyik mutatja legikább a vakcia hatékoyságát? a 0 beoltott állatból egy sem fertőződött meg; b 7 beoltott állatból egy fertőzödött meg; c beoltott állatból kettő fertőzödött meg... Eergiaellátási feladat Tegyük fel, hogy 0 mukás időről időre valamilye villamos készüléket haszál. Meg akarjuk becsüli meyi a teljes terhelés. Első közelítéskét tegyük fel, hogy egymástól függetleül dolgozak és midegyikük bármely időpillaatba egyforma p valószíűséggel igéyel egységyi villamos teljesítméyt. Ha egy mukás órákét átlagosa perce át haszál áramot, akkor p. Ha a redszer hat egységyi eergiát szolgáltat, akkor mekkora valószíűséggel lép fel túlterhelés?.7. (M [9] USA érettségi, 984 Egy dobozba golyó va, -től -ig megszámozva. Kihúzuk közülük visszatevés élkül hatot. Mekkora aak a valószíűsége, hogy a kihúzott számok összege páratla?.8. Az 7, p /, q / paraméterű biomiális eloszlás tagjai: P (X 0 0.08749 P (X 0.04848077 P (X 0.077099 P (X 0.0874 P (X 4 0.80987 P (X 0.08408779490 P (X 0.00404987 P (X 7 0.00047477088 Tehát a legutóbbi szám aak valószíűségét adja meg, hogy hét kísérletből mid a hétszer a p valószíűségű eseméy következik be. Adjuk meg az 8, p /, q / paraméterű biomiális eloszlást ( tizedesjegy potossággal!.9. Legye 0 p tetszőleges rögzített szám és q p. Határozzuk meg az alábbi kifejezések értékét! a P,p ( k0 k p k q k ; b E,p k0 k( k p k q k. c D,p k0 k( k p k q k..0. Határozzuk meg az (, p, q paraméterű biomiális eloszlás a mediáját; b móduszát; c várható értékét; d szórását!

7. FEJEZET. GEOMETRIAI ELOSZLÁS b várható értéke? 7. FEJEZET Geometriai eloszlás 7.0. (M [8] Emma, Fai, Gitta és Haa társasjátékhoz készülődik. Sorba egymás utá dobak egyet egy szabályos dobókockával akár több körbe is, mert az lesz közülük a kezdő, aki elsőkét dob hatost. a Mekkora valószíűséggel leszek kezdők egy-egy kockadobás utá az egyes résztvevők? b Mekkora aak a valószíűsége, hogy em tudják elkezdei a játékot egy kör utá? c Számítsuk ki mid a égy résztvevő esetébe aak a valószíűségét, hogy égyük közül éppe ő kezdhet! 7.. (M Egy motor bekapcsoláskor 0,0 valószíűséggel kiég. a Mi a valószíűsége, hogy 0-él kevesebb bekapcsolás utá kiég? b Mi a valószíűsége, hogy épp a 0. bekapcsoláskor ég ki? c Átlagosa háy bekapcsolás utá ég ki? 7.. Egy kockával dobuk. Háy dobás utá lesz agyobb a valószíűsége aak, hogy már dobtuk hatost, mit aak, hogy még em dobtuk? 7.. Egy pézdarabot addig dobáluk, ameddig másodszorra kapuk fejet. a Meyi a valószíűsége aak, hogy csak égy vagy több dobásból álló sorozattal érjük ezt el? b Adjuk meg a dobások számáak valószíűség-eloszlását! 7.4. Egy kockát addig dobuk fel, amíg másodszorra is hatost dobuk. Adjuk meg a szükséges dobások számáak várható értékét! 7.. Egy dobozba p piros és k kék, összese p + k golyó va. Kezdő és Második felváltva húzak, az yer, aki előbb húz pirosat. Határozzuk meg Kezdő yerési esélyét! 7.. Módosítuk a 7.. feladato. Kezdőek két piros húzás kell a győzelemhez (Másodikak elég. Így kidek kedvező a játék? 7.7. Egy kockával dobuk, amíg sikerül hatost dobuk. Meyi az esélye, hogy dobtuk ötöst? 7.8. (M Egy kockával addig dobuk, míg egymás utá 0-szer hatost dobuk. Meyi az esélye, hogy ez sohasem következik be? 7.9. (M [0] Egy szabályos érmét addig dobáluk, amíg legalább egyszer kapuk fejet is és írást is. Meyi a dobások számáak a legvalószíűbb értéke?

8 8. FEJEZET. GENETIKA 8. FEJEZET Geetika Először kissé rövidítve idézük Feller: Bevezetés a valószíűségszámításba és alkalmazásaiba című köyvéek. oldaláról: Az ember és általába az élőléyek örökölhető tulajdoságai a géektől függek. Az emberi test mide sejtjébe, a reprodukáló sejtek (gaméták kivételével, ugyaazo géstruktúra potos mása jeleik meg. Alapvető, hogy a géek párokba jeleek meg. Valójába a kromoszómák jeleek meg párokba, és az egy párt alkotó géek egy kromoszómapár azoos pozícióit foglalják el. Mide gépár egy öröklődő téyezőt határoz meg, de valamely szervezet megfigyelhető tulajdoságaiak agy része több tulajdoságtól függ. Egyes tulajdoságokra azoba (mit pl. a szem szíe vagy a balkezesség egy bizoyos gépár hatása a dötő. Más tulajdoságot, mit pl. a magasságot is, ige sok gé együttes hatása határozza meg. A legegyszerűbb esetbe a gépár midkét géje két külöböző formát ölthet. Ha ezeket A és a jelöli, akkor a szervezet az AA, Aa, aa geotípusok valamelyikéhez tartozik (Aa és aa között ics külöbség. Mi csak ezt az esetet vizsgáljuk. Vaak olya gépárok, amelyekre a külöböző geotípusok midegyike külöböző megjeleési formát ölthet, tehát így köye megkülöböztethetők. Például a borsóak va egy olya gépárja, hogy A hatására a borsóvirág piros elszíeződést kap, a hatására fehéret. A három geotípus ebbe az esetbe megkülöböztethető: a virág szíe lehet piros (AA, fehér (aa és rózsaszí (Aa. Vaak azoba olya gépárok is, amelyekbe A domiás, a recesszív. Ez azt jeleti, hogy az Aa egyedekek ugyaaz a megjeleési formája, mit az AA egyedekek és így csak a tiszta aa típus külöíthető el a közvetle megfigyelés alapjá. A természetbe a részleges domiacia mide áryalata előfordul. Tipikus részlegese recesszív tulajdoság a kékszeműség, ill. a balkezesség stb. A reprodukáló sejtek vagy gaméták osztódási folyamat sorá képződek, és csak egyetle géjük va. A tiszta AA, ill. aa geotípusú orgaizmusok (ú. homozygóták ezért csak egyfajta gamétákat hozak létre, míg az Aa típusú orgaizmusok (ú. hibridek vagy heterozygóták egyelő számú A, ill. a gamétát hozak létre. Az új orgaizmusok két szülői gamétából származak, és ezekből kapják géjeiket. Ezért mide gépár egy apai és egy ayai gét tartalmaz, és mide gé 7 mide előző geerációba akárháy geerációig visszameőleg egy bizoyos őstől származik. Az utód (vagy ivadék geotípusa véletle eredméye: a szülő gépárjáak midkét géje valószíűséggel adódik át, és az egymást követő utódokra ezek kiválasztása függetle. Más szóval ivadék geotípusa egy elemű függetle kísérletsorozat eredméye; a kísérletek midegyike két érme feldobásáak felel meg. Például az Aa, Aa geotípusú szülői pár ivadékaiak geotípusa AA, Aa és aa lehet redre 4, és 4 valószíűséggel. Az AA, aa geotípusú szülői pár utóda csak Aa geotípusú lehet stb. Ha egy populációt teljes egészébe vizsgáluk, akkor a szülők kereszteződése egy második véletle folyamat eredméyéek tekithető. Mi elsősorba eek az ú. véletle kereszteződések a vizsgálatára foguk szorítkozi, melyet az alábbi feltétel defiiál. Ha az első leszármazott geerációba r ivadékot véletleszerűe kiválasztuk, akkor ezek szülei a lehetséges szülői párok összességéből vett r elemű véletle mitát alkotak, ahol esetleges ismétlődések is előfordulhatak. Más szóval, mide ivadékról feltételezzük, hogy a szülők véletleül és egymástól függetleül, és a külöböző utódok szülei teljese függetleül lettek kiválasztva. A véletle kereszteződések modellje kielégítő idealizált modell a természetbe előforduló ige sok populációra, és a mezőgazdasági kísérletek sorá gyakra érvéyesülő feltételekre. Ha azoba pl. a szátóföld egyik sarkába piros virágú, másik sarkába fehér virágú borsót vetük, akkor az azoos szíű virágot hordozó egyedek gyakrabba kereszteződek, mit véletle kereszteződés esetébe. Az előybe részesítő kiválasztás (mit pl. a szőkék előybe részesítik a szőkéket szité em tesz eleget a véletle kereszteződés feltételéek. A szélsőségese em véletle kereszteződést jól példázzák az ömegtermékeyítő övéyek ill. a mesterséges megtermékeyítés... Az ivadék geotípusa eszerit égy függetle véletle kiválasztás eredméye (külö-külö a szülők, majd külö-külö a szülői géek kiválasztása. Szerecsére ez a égy kiválasztás Hardy alább ismertetett elmélete szerit helyettesíthető egyetle kettős kiválasztással: az apai és az ayai gét egymástól függetleül és véletleszerűe választjuk ki a szülői geeráció teljes géállomáyából. Jelöljük a szülőgeeráció geotipikus összetételét a következőképpe: geotípus: AA aa aa egyedek aráya: u v w ahol tehát u + v + w. Ha a szülői geerációba az A és az a allél aráya p/q, akkor: azaz p/q (u + v/(v + w (u + v/(v + w, p u + v, q v + w. Az első utódemzedékbe AA geotípusú ivadék két AA geotípusú szülő találkozásából (u esélyű radevú vagy egy AA típusú és egy aa típusú szülő

9 0 8. FEJEZET. GENETIKA találkozásakor (4uv esélyű radevú, mert AA az apa és az aya is lehet a születések felébe vagy két aa típusú szülő találkozásakor (4v esély az esetek egyedébe fordul elő. Hasoló okoskodással az első utódemzedék geotipikus összetételére véletle kereszteződési modell eseté az alábbi értékeket kapjuk: geotípus: AA aa aa egyedek aráya: u + uv + v uv + uw + vw + v w + wv + v egyszerűbbe: (u + v (u + v(v + w (v + w tömöre: p pq q Tehát az első utódgeeráció geotipikus összetételét már meghatározza a szülői geeráció géösszetétele, a szülői geeráció geotipikus összetételéek ismeretére ics szükség. Az utódemzedékbe az A és az a allél előfordulásáak aráya: p + pq p(p + q q + pq q(p + q p q, azaz a géösszetétel em változik. A következő utódemzedék géjeiek és geotípusaiak összetételét a megelőző emzedék adataiból midig úgy számíthatjuk ki, mit ahogy előbb kiszámoltuk az első utódemzedék eloszlását a szülői geerációéból. Eek alapjá kimodhatjuk a Hardy-Weiberg szabályt: a véletle kereszteződési modellbe a második emzedéktől (az első utódemzedéktől kezdve mide emzedék geotipikus összetétele ugyaaz (p, pq, q és egyértelműe meghatározható az első emzedék géösszetételéből (p, q. A (p, pq, q alakba írható eloszlásokat stacioárius eloszlásokak is evezzük, mert álladóa átörökítik magukat. 8.. [9] Ha a csodatölcsér evű virág szíéért felelős gé midkét allélje azoos, akkor ettől az alléltől függőe a virág vagy piros lesz, vagy fehér. Ha a két allél külöböző, akkor a virág rózsaszíű lsez. Két rózsaszíű virág keresztezéséből 0 palátát evelük. a Adjuk meg a keletkező piros szíű virágok eloszlását! b Mekkora valószíűséggel lesz több piros virág, mit fehér? c Mekkora valószíűséggel lesz több rózsaszíű virág, mit piros és fehér együtt? 8.. [9] Egy házaspár midkét tagja AB vércsoportú. Adjuk meg aak valószíűségét, hogy gyermekük között a potosa kette leszek A vércsoportúak! b potosa hárma leszek AB vércsoportúak! c potosa kette leszek A és potosa hárma leszek AB vércsoportúak! d potosa kette leszek A és potosa kette leszek AB vércsoportúak!

9. FEJEZET. A VÁRHATÓ ÉRTÉK 9. FEJEZET A várható érték 9.. (M Képezzük az elemből álló X {x, x,..., x }, Y {y, y,..., y } számsokaságokból a szité elemből álló valamit az elemből álló X + Y {(x + y, (x + y,..., (x + y }, X Y {(x y, (x y,..., (x y }, 9.. (M [4] IMO 98 Belgium feladatjavaslat A Híres Matematikusok Csokoládé csomagolásába található egy kis kép, 0 híres matematikus portréja közül az egyik. Midegyik híresség képe egyelő, tehát 0 eséllyel található midegyik csokiba. Átlagosa háy csokoládé vásárlásával gyűjthető össze mid a 0 kép? 9.. (M [9] Egymillió szám közül egyeletes eloszlással, egymástól függetleül választuk ki számokat egésze addig, amíg N külöbözőt ki em húzuk. Az i-edik külöböző számot jelöljük X(i-vel. Ezt rekordak evezzük, ha mide eddigiél agyobb. Határozzuk meg az X(, X(,..., X(N sorozatba található rekordok számáak a várható értékét! 9.7. (M [] Az osztály taulóiból -e hét láy és yolc fiú szíházba meek. A jegyek egy sorba, egymás mellé szólak. Ha a taárő véletleszerűe osztja ki a jegyeket, akkor átlagosa háy vegyes (tehát fiú-láy szomszédos pár lesz a diákok között? (Tehát meghatározadó az ilye párok számáak várható értéke. Pl. a FFLLLFLFFFLLFFL elredezésbe (F fiút, L láyt jelöl a vegyes párok száma 7. X Y {(x + y, (x + y,..., (x + y, (x + y, (x + y,... (x + y }, X Y {(x y, (x y,..., (x y, (x y, (x y,... (x y }, számsokaságokat! Kifejezhetőek-e ezek átlagai az X, Y sokaságok átlagai M X és M Y segítségével? 9.. (M Egy kockát addig dobuk fel, amíg a dobott számok mid külöbözőek, tehát akkor álluk meg, amikor olyat dobtuk, amilyet már egyszer dobtuk. a Adjuk meg a szükséges dobások számáak eloszlását b és várható értékét! c Melyik dobásszám a legvalószíűbb? 9.. (S Szabályos dobókockával dobhatuk. Előre el kell döteük, hogy háyszor dobuk. Ha -osál kisebbet dobuk, akkor ayiszor 000 Ft-ot kapuk, ameyit dobtuk és yereméyük a dobásokál összeadódik. Ha viszot -ost dobuk, akkor mide addigi yereméyüket elveszítjük, és em is dobhatuk többször. Háy dobást érdemes vállali? 9.4. (M Egy fős osztályba a karácsoyi ajádékozáshoz mideki felírja a evét egy cédulára, egy sapkába teszi, összerázzuk, majd mideki húz egy evet. Határozzuk meg azok számáak a várható értékét, akik a saját evüket húzták!

4 0. FEJEZET. FELTÉTELES VALÓSZÍNŰSÉG másikat választ, vagy elviszi a látható kis ajádékot. Mit csiáljo a győztes, ha a Porschéra hajt? 0. FEJEZET Feltételes valószíűség 0.. (M Tíz azoos alakú doboz közül az első 9-be 4-4 golyó va, mégpedig fehér és kék. A tizedik dobozba fehér és kék golyó va. Az egyik találomra választott dobozból véletleszerűe kiveszük egy golyót. a Meyi a valószíűsége, hogy fehér lesz? b A kivett golyó fehér lett. Meyi a valószíűsége, hogy a tizedik dobozból való? 0.. (M Va egy-egy szabályos dobótetraéderük, dobókockák és dobóoktaéderük. Midegyik test lapjaira egytől kezdve felírtuk az első éháy pozitív egészt, tehát a tetraéderre -től 4-ig, a kockára -től -ig, az oktaéderre -től 8-ig. Feldobuk két szabályos érmét. Ha midkettő fej, akkor a kockával, ha potosa egyikük fej, akkor a tetraéderrel, ha midkettő írás, akkor az oktaéderrel dobuk. a Meyi az esélye, hogy -est dobuk? b -est dobtuk. Meyi az esélye, hogy potosa egy fejet dobtuk? 0.. Tegyük fel, hogy a férfiak %-a és a ők 0,%-a szívak. Egy 0 őből és férfiból álló csoportból személyt találomra kiválasztuk. Megállapítjuk, hogy szívak. Meyi a valószíűsége, hogy őt választottuk ki? 0.4. a Azokba a kétgyermekes családokba, ahol az egyik gyermek fiú, miek agyobb a valószíűsége, aak, hogy a másik is fiú, vagy hogy a másik láy? Esetleg egyformá valószíű? (Feltételezzük, hogy fiú és láy születéséek azoos a valószíűsége. b Azokba a kétgyermekes családokba, ahol a kisebb gyermek fiú, miek agyobb a valószíűsége hogy a másik is fiú, vagy hogy a másik láy? Esetleg egyformá gyakori? 0.. Vetélkedő végé a győztes három ajtó közül választhat, az egyik mögött ott a Porsche, a másik kettő mögött apró ajádék va. A győztes választ egy ajtót. Ezek utá a em választott ajtók közül kiyitják eki az egyiket (vagy az egyetlet, ami mögött em a Porsche va, és választást ajálaak eki. Marad az ajtóál, 0.. (M [9] (Török érettségi, 997 Az A dobozba fehér és 4 piros, a B dobozba fehér és piros golyó va. Véletleszerűe (egyelő valószíűséggel kiválasztjuk az egyik dobozt, és abból visszatevés élkül kihúzuk két golyót. Mi a valószíűsége, hogy az egyik fehér, a másik piros lesz? 0.7. (M [] A tébécé korai felismerésére alkalmazott rötgeszűrésél a tapasztalatok szerit hibák is előfordulak. A kezdeti állapotba a betegek körülbelül 0%-át em veszi észre a teszt, míg körülbelül 0%-ba egyébkét egészséges emberél is pozitív eredméy (azaz valami gyaús folt a tüdő adódik. Tudjuk, hogy hazákba a tébécé előfordulása 0,%. a Egy pozitív teszteredméy utá mi az esélye, hogy téyleg tébécés az illető? b Ha egatív az eredméy, akkor mi az esélye, hogy tébécés? c Midezek féyébe vajo mire való ez a teszt? 0.8. (M [] Tudjuk, hogy egy gyakorlatba résztevevő 8 lövész égy csoportba sorolható úgy, hogy közülük öte 0,8, hete 0,7, égye 0,, kette 0, valószíűséggel találak a céltáblára. Véletleül meglátuk közülük egy lövészt, aki egy lövést ad le, de ez em talál a céltáblára. Melyik csoporthoz tartozik a legagyobb valószíűséggel ez a lövész és meyi ez a valószíűség? 0.9. [] Két város közötti távíróösszeköttetés olya, hogy a leadott távírójelek közül a potok /-e voallá torzul, a voalak /-a pedig pottá. A leadott jelek közül a potok és a voalak aráya :. Számítsuk ki aak a valószíűségét, hogy ha a vevőoldalo potot kapak, akkor az adó potot továbbított! 0.0. (M [8] Tételezzük fel, hogy egy gyermek születésekor ugyaakkora a valószíűsége aak, hogy az újszülött fiú vagy láy! Tudjuk, hogy egy háromgyermekes családba va leáy. Meyi aak a valószíűsége, hogy valamelyik testvére fiú? 0.. [] Miőségelleőrzés sorá sorba egymás utá több terméket vizsgálak meg. Ha egy megvizsgált termék jó, akkor +-et, ha selejtes, akkor --et írak le, és ezeket a számokat midig összeadják. (Feltesszük, hogy a megvizsgált termékek egymástól függetleül lehetek jók vagy selejtesek. Midaddig új terméket vizsgálak meg, amíg a részletösszegek - és + között maradak. Ha a részletösszeg eléri a +-öt, akkor befejezik a vizsgálatot és átveszik a tételt, ha a --at, akkor visszautasítják a tételt. Mekkora az átvétel valószíűsége, ha a termékekek 80%-a jó?

. FEJEZET. JÁTÉKOK. FEJEZET Játékok.. (M Egy társaság tagjai saját szórakozásukra helyi lottót szervezek. szám közül húzak ki kettőt, és ezekre lehet fogadi. Tippeli 00 foritért lehet. Ha valaki midkét számot eltalálja, 000 foritot kap, ha csak az egyik számot találja el, akkor 00 foritot kap. a Vajo ha sokáig játszom eze a lottó, akkor mi a valószíűbb, az, hogy összességébe yereségem lesz, vagy az, hogy vesztek? b Legfeljebb háy szám ( helyett eseté érdemes játszai ezt a játékot ugyaezekkel a szabályokkal?.. (M [8] Aa és Balázs felváltva dob egy szabályos dobókockával. Megegyezek, hogy az yer, aki agyobbat dob. Ha egyelőt dobak, akkor Aa yer, Balázs viszot újra dobhat, ha egyest dob, ha ekkor is egyest, akkor ismét, egésze addig, amíg egyestől külöbözőt em dob. Ez az érték számít az ő dobásáak. Kiek agyobb a yerési esélye?.. (M [8] Egy szerecsejáték-automata három hegeré 0-0 kép va:.4. Adrás és Béla a következő kockajátékot játsszák. Adrás dobókockájá a 4,, 0, 8, 0, ; Béla kockájá a, 9,,, 7, számok vaak. Midkét játékos feldobja saját kockáját, s az yer, aki agyobbat dobott. Kiek előyös a játék?.. Adrás és Béla kockajátékot játszaak. Midkettejük dobókockájáak oldalai egy pozitív egész szám olvaható. Midkét játékos feldobja saját kockáját, s az yer, aki agyobbat dobott. Igaz-e, hogy ha Adrás kockájá agyobb a hat szám átlaga, mit Béla kockájá, akkor agyobb Adrás yerési esélye, mit Béláé?.. (MS Adrás és Béla kockajátékot játszaak. Az asztalo va három csupasz dobókocka. Adrás felírja a számokat -től 8-ig a kockákra úgy, hogy midegyik számot potosa egyszer írja fel. Ezutá Béla megvizsgálja a kockákat és választ közülük egyet. A maradék két kocka közül Adrás választhat magáak egyet. Midkét játékos feldobja saját kockáját, s az yer, aki agyobbat dob (a harmadik kocka már em kap szerepet. Kiek kedvezőbb a játék, Adrásak, vagy Béláak?.7. Kette az alábbi táblá játszaak autóverseyt. Kockával dobak. Az egyik autó vezetője midig ayit lép előre, aháyast dob; a másik pedig - ot lép, ha páros számot dob, és em lép, ha páratla számot dob. Az yer, aki előbb ér célba. Te melyik verseyző szeretél lei? Miért?.8. (M Kette (A és B a következő játékot játsszák. Egy kalapból, melybe tapitásra egyforma piros és fehér golyók vaak, kihúzak két golyót. Ha a két golyó egyforma szíű, akkor A yer, ha külöbözőek, akkor pedig B. Tudjuk, hogy a kalapba 0 piros golyó va. Háy fehér golyóak kell ott leie ahhoz, hogy igazságos legye a játék? I.heger II.heger III.heger szív csillag 0 4 háromszög 4 kör 4 4 égyzet 7 7 0 lóhere 7 Egy zseto bedobása utá az automata megpörgeti, majd megállítja a hegereket úgy, hogy midegyike egy egy kép válik láthatóvá. 00 yereméyzsetot ad ki a gép, ha három szív látható. 8 zseto a yereméy bármely másik három egyforma kép eseté. a Meyi a főyereméy eléréséek valószíűsége egy-egy játékba? b Mekkora aak a valószíűsége, hogy a yereméy 8 zseto?.7.. ábra.

.9. (M Általáosítsuk a.8. feladatot! Adjuk meg az összes olya emegatív egészekből álló p, f párt, amelyre igazságos az ott leírt játék p piros és f fehér golyóval!.0. (M [] Kette (A és B a következő játékot játsszák. Egy kalapból, melybe tapitásra egyforma piros és fehér golyók vaak, kihúzak két golyót. Ha midkét golyó piros, akkor A yer, mide más esetbe pedig B. a Legkevesebb háy golyó eseté lehet igazságos a játék? b Legkevesebb háy golyó eseté lehet igazságos a játék, ha a fehér golyók száma páros?.. (M Póker esélyek lapos fracia kártyával játszuk. Határozzuk meg a kézbe kapott a pár két egyforma alakzat, pl. két -as vagy két király és három külöböző lap b két pár c drill három egyforma alakzat, pl. három -as vagy három király és még két külöböző lap d sor pl. 4,,, 7, 8 e flush öt egyforma szíű lap, pl. K, A,, 8, 0 f full három + kettő egyforma alakzat, pl. K, K, K,, g póker égy egyforma alakzat pl. K, K, K, K, h straight flush égy egyforma szíű lap sorba, pl. 4,,, 7, 8 esélyét! 7 8. FEJEZET. JÁTÉKOK b Mely x eseté igazságos a játék?.. (MS [4] IMO, 98 Ausztrália, javaslat Aa -szer, Balázs csak ( -szer dob fel egy (szabályos pézérmét. Meyi az esélye, hogy Aa többször dobott fejet, mit Balázs?.. (M [9] A Mote-Belloi kaszióba belépőkek először egy fura játékba kell kipróbáli szerecséjüket. Ez a játék a következő: egy dobozba két yerő és három vesztő golyót teszek, amelyek külső formájukba teljese megegyezek. Ebből a dobozból visszatevés élkül húzak ki golyókat. Nyerő golyó húzása utá a kaszió fizet a játékosak 0 pézt, vesztő golyó húzása eseté pedig a játékos fizet a kaszióak 0 pézt. A játékosak joga va bármelyik húzás előtt a játékot abbahagyi, akár már az első húzás előtt is. Kiek kedvez ez a játék? Érdemes-e kéri egyáltalá húzást? Hogya érdemes játszai?.. (M A kockapókerbe dobókockával dob a játékos. Határozzuk meg az alábbi dobások esélyét! a drill (pl. három -es, egy-egy -ös és -os b sor (öt egymást követő szám.. (M [] Első dobozába piros, fehér, zöld golyó va, Másodikéba piros, fehér és 4 zöld. Midkét játékos addig húz a saját dobozából visszatevés élkül, amíg zöldet em húz. Piros húzásért Első 0, Második 4 potot kap, fehérért Első 4, Második potot kap (zöld: 0 pot. Potjaikat összegyűjtik, és ha elsőek va több potja, akkor ő yer Másodiktól 00 Ft-ot, külöbe ő fizet Másodikak x egységet. Melyik x-re igazságos a játék?.4. (M Kette A és B a következő játékot játsszák. Egy dobozba piros, fehér és 4 zöld golyó va. Az A játékos addig húzhat a dobozból visszatevéssel, amíg zöldet em húz. Piros húzásért 0, fehérért 0 Ft-ot kap B-től, de a játék elkezdésekor egy x összeget kell adia B-ek. a Átlagosa háy húzásból áll a játék?

40. FEJEZET. MARKOV LÁNCOK. FEJEZET Markov lácok Orosz Gyula Markov lácok című írása alaposabba tárgyalja ezt a témát és a ete szabado elérhető[]..4. (M Egy bolyogó pot kezdetbe a -as kocka középső egységkockájába va. Mide lépésébe a hat lehetséges oldallap közül véletleszerűe választ egyet, s a lapo keresztül átmegy a szomszéd egységkockába vagy kijut a kocka felszíére. a Meyi az esélye, hogy kijut a kocka felszíére? b Meyi az esélye, hogy mielőtt kijuta a felszíre, előbb még visszajut a középső kiskockába?.. (M Egy bolha a drótból készült ABCDA B C D kocka élei mozog. Mide csúcsból egyelő azaz valószíűséggel megy át valamelyik szomszédos csúcsba. a Meyi az esélye, hogy em jut el sem a B sem a C potba? b Meyi az esélye, hogy előbb jut el B -be, mit C -be?.. (M A juhászfiúból lett mesebeli vitézek három próbát kell kiállia. Az egyes próbáko a többitől függetleül / valószíűséggel jut túl. A falujából idul és ha egy próbát teljesít, mehet a következőre. Ha az em sikerül, akkor vissza kell fordulia, és újra eki kell vágia az előző, korábba már teljesített próbáak. Ha bármikor befuccsol a legelső próbá, akkor vége a meséek, kulloghat haza. Meyi az esélye, hogy a vitéz teljesíti mid a három próbát?.. (M Ferde foci Két játékos A és B a [0; ] itervallumo focizik, a 0 az A játékos kapuja, míg a a B játékosé. A labda kezdetbe a - áll. Egy lépés abból áll, hogy feldobak egy szabályos érmét, és ha Fej lesz, akkor eggyel jobbra (agyobb számra, ha Írás. akkor eggyel balra (kisebb számra teszik a labdát. A yer, ha B kapujába azaz -ra ér a labda, míg B yer, ha A kapujába, a 0-ba kerül a labda. a Melyik játékosak meyi a yerési esélye? b Meyi a dötetle esélye, tehát meyi a valószíűsége, hogy sose kerül egyik kapuba se a labda? c Hogya változik a válasz az a, b kérdésekre, ha em pézérmével, haem szabályos dobókockával dobak, és valamit eseté balra,, 4, és eseté jobbra tolják a labdát?.. (M Eufrozia és Fülöpke a büfébe kártyázak: a játék a hagyomáyos Fekete Leves. A ravasz Fülöpkéél három lap maradt, egy kőr, egy káró és egy treff, Eufroziáak még égy lapja va, mide szíből egy-egy. Fülöpke következik, húz egy lapot Eufroziától és ha ezzel lesz két egyfoma szíű (a fracia kártyába égy szí va lapja, azokat lerakhatja, ha em, akkor a kezébe lévő égy lappal játszik tovább. Most Eufrozia jö, aki Fülöpke lapjai közül húz egyet hasoló feltételekkel és így tovább. A játékot az yeri, aki valameyi lapját le tudja raki. Háy százalék a valószíűsége, hogy Fülöpke yer? 9

4. FEJEZET. A SZÓRÁS. FEJEZET A szórás.. (M Egy H számsokaság átlaga x, szórása D. A számsokaság elemeiek legfeljebb háy százaléka lehet az [x D; x + D] itervallumo kívül?.. (M Egy H számsokaság átlaga x, szórása D. A számsokaság elemeiek legfeljebb háy százaléka lehet az [x D; x + D] itervallumo kívül?.. (M Általáosítsuk a.-.. feladatok eredméyét!.4. (M Adott a H {x ; x ;... ; x } számsokaság, amelyek átlaga x, szórása D. Határozzuk meg a { x x D számsokaság átlagát és szórását! ; x x D ;... ; x x D } H x D.. Adott a {; 7} számsokaság. Bővítsük ki egy elemmel, hogy e változzo a szórása!.. Határozzuk meg a H {0; ; ;... ; ; } halmaz szórását és a szórás határértékét, ha tart a végtelehez (az egyeletes eloszlás szórása!.7. [9] a Bizoyítsuk be, hogy ha szám összege 0, abszolút értékeik összege a, akkor a legagyobb és a legkisebb szám külöbsége legalább a. b Az A A... A kovex -szög belsejébe úgy választottuk ki az O potot, hogy az OA + OA +...+ OA vektorösszeg a ullvektor, míg a vektorok hosszáak összege d. Igazoljuk, hogy az -szög kerülete legalább 4d/. c Éles-e ez a korlát mide eseté? 4

44 4. FEJEZET. VEGYES FELADATOK 4. FEJEZET Vegyes feladatok 4.. (M [8] Nyolc egyforma bábut találomra elhelyezük egy sakktáblá. Meyyi aak a valószíűsége, hogy mid a yolc sorba és mid a yolc oszlopba potosa egy-egy bábu lesz? 4.. Legalább háy pézdarab kell ahhoz, hogy 90%-ál agyobb esélye legye aak, hogy feldobva va köztük fej? 4.. (M A köyvespolc alsó polcáról a kétéves Pisti leszedte a köyveket, majd saját ízlése szerit visszarakta mid a -öt. Meyi a valószíűsége aak, hogy a köztük levő három idege yelvű köyv egymás mellé került? 4.4. Egy halálraítéltek émi esélyt kíváak adi az életbe maradásra. Adak eki 0 fehér és 0 fekete golyót és két urát. A golyókat eloszthatja a két urába. A hóhér másap reggel találomra kiválaszt egyet a két ura közül, majd a kiválasztottból kihúz egy golyót. Ha az fekete, akkor kivégzik az elítéltet, ha fehér, akkor szabado egedik. Hogya célszerű elosztai golyókat, hogy a legagyobb valószíűséggel életbe maradjo? 4.7. [] Bejut-e a második a dötőbe? A yolc résztvevős kieséses teiszbajokságot az alábbi ábrá látható redszerbe boyolítják le. Ehhez a játékosok között véletleszerűe osztják ki az,,..., 8 sorszámokat. Tegyük fel, hogy a játékosok képességük szerit egyértelműe rakhatók sorredbe és a jobb midig legyőzi a kevésbé jót! a Meyi az esélye a második legjobb játékosak, hogy bejusso a dötőbe? b Meyi aak az esélye, hogy a második és a harmadik legjobb játékos összeméri tudását eze a verseye? c Válaszoljuk az előző kérdésekre a résztvevős feti redszerű kieséses bajokság eseté is! 4.8. (M [4] Három herceg, A, B és C egyarát szerelmes Bergegócia királyláyába. Elhatározzák, hogy egyetle pisztolypárbajba eldötik, melyikük legye a kérő. Egyszerre körbeállak és bármelyikük lőhet bármelyikükre. Tudják egymásról, hogy ha lő, A, B 0,8 és C 0, valószíűséggel talál, ezért abba állapodak meg, hogy először lő C, utáa (ha életbe va B, végül A. Ha ics vége a párbajak, akkor még egy kört lőek azoos sorredbe. Mikor a királyláy meghallotta a feltételeket, a párbaj előtti este titokba kicse- E M 4.. (M [4] Egy 4 4-es égyzetrács alakú labiritus két átellees csúcsába a kijáratokál egy egér és egy macska va. Midkette adott jelre, ugyaakkora sebességgel elidulak a szemköztes kijárat felé úgy, hogy mide lépésbe közeledek céljukhoz (lásd az. ábrát. Egymást em látják, útválasztásuk az elágazásokba véletleszerű. (Ez azt jeleti, hogy amikor elágazáshoz érek, a lehetséges két iráy közül egyforma valószíűséggel választaak. a Mekkora aak a valószíűsége, hogy találkozak? b Általáosítsuk a feladatot! 4.. (M [] Egy futballklub edzéséek megkezdése előtt az edzése résztvevő játékost két csoportba osztják. Mi a valószíűsége aak, hogy ha találomra törtéik a szétosztás két -es csoportba, a két legjobb játékos egymás elle játszik? 4 8. forduló elődötő 7 4 4... ábra. 4.7.. ábra. dötő győztes

4.. HÉZAG 4 rélte C első golyóját vaktöltéyre. a Kibe szerelmes a királyláy? b Hogya változak meg a párbaj valószíűségei, ha most a felek emcsak kettő, haem tetszőleges számú lövést adhatak le? (A királyláy most is csak az első golyót cseréli ki vaktöltéyre. 4.9. (M [9] USA érettségi, 988 Legye p aak a valószíűsége, hogy egy szabálytala érme fejre esik, és w aak a valószíűsége, hogy öt dobásból három lesz fej. Tegyük fel, hogy w 44/. Melyik helyes az alábbi állítások közül: a p /, b p /, c p agyobb, mit /, d több ilye p érték létezik, e ilye p érték em létezik. 4.0. [9, ] Egy jegypéztárhoz számú vásárló érkezik. Közülük vásárlóak csak ezrese, a többiek csak ötszázasa va. Egy jegy ára ötszáz forit, és yitáskor a péztárba em volt péz. Feltesszük, hogy a vevő egymástól függetleül érkezik, bármely sorredek ugyaakkora a valószíűsége. Mekkora a valószíűsége, hogy egyetle vevőek se kellje vária? 4.. A községi polgármester-választáso az A jelölt a, a B jelölt b szavazatot kapott 0 b < a. Meyi az esélye, hogy a szavazatszámlálás sorá a B jelölt sohasem vezetett A előtt? 4.. Hézag 4.. (M [9] USA érettségi, 984 Véletleszerűe lerakuk piros, 4 zöld, fehér golyót egy sorba úgy, hogy bármelyik lehetséges sorred egyelő valószíűségű. Határozzuk meg aak valószíűségét, hogy em kerül egymás mellé két zöld golyó! 4.. (M [0] Egy főútvoalo végighaladva yolc helye va közlekedési lámpa. Aak valószíűsége, hogy egy lámpa éppe pirosat jelez, amikor odaérük, 0,4. Mekkora aak a valószíűsége, hogy em találkozuk közvetleül egymás utá két tilos jelzéssel? 4.. Nagyságredi sorred 4.4. Az iterete elérhető http://www.szerecsejatek.hu/xls/otos.xls 4 4. FEJEZET. VEGYES FELADATOK fájl tartalmazza az eddigi ötöslottó (az -90 számok közül húzak ki ötöt yerőszámokat. A táblázatba a kihúzott számok midegyik húzásál övekvő sorredbe vaak felsorolva, tehát pl. a legkisebb számok egy oszlopba egymás alatt olvashatók. a Tippeljük meg az eddigi több mit 800 húzásba a legkisebb szám átlagos értékét! b Elleőrizzük tippüket az említett fájl letöltésével és az átlag kiszámolásával! Ki tippelt a legjobba? 4.. (M A Bergegóc Lottóba az {,,, 4,,, 7, 8, 9, 0} számok közül húzak ki kettőt (visszatevés élkül. a Melyik a kisebbik szám legvalószíűbb értéke? b Határozzuk meg a kisebbik szám várható értékét! c Határozzuk meg a kisebbik szám várható értékét, ha az {,,,..., } számok közül húzak ki kettőt! d Meyi a kisebbik szám legvalószíűbb értéke, ha az {,,,..., } számok közül húzak ki kettőt? 4.. (M A Bergegóc Lottót megreformálják! Az {,,, 4,,, 7, 8, 9, 0} számok közül mostatól égyet húzak ki (visszatevés élkül. a Melyik a második legkisebb szám legvalószíűbb értéke? b Határozzuk meg a második legkisebb szám várható értékét! c Határozzuk meg a második legkisebb szám várható értékét, ha az {,,,..., } számok közül húzak ki égyet! d Határozzuk meg a második legkisebb szám legvalószíűbb értékét! 4.. Permutációk 4.7. (M Bergegóciába a sakkverseyzők között 9 agymester va. Élőpotjuk mid külöböző (a sakkverseyzők korábbi mérkőzéseik eredméye alapjá kapják az Élő Árpádról elevezett potszámot, lásd http://hu.wikipedia.org/wiki/élőpotredszer A 9 agymester részt vesz az ország csapatbajokságá, amely három háromfős csapatból, azaz éppe belőlük áll. Amikor két csapat játszik, akkor három táblá csapak össze a verseyzők, az első táblá a két csapat legtöbb Élő-pottal redelkező játékosa, a második táblá az Élő-pot szeriti másodikak, a harmadiko az utolsók. A bajokságba mide csapat midegyikkel potosa egyszer játszik. Előfordulhate, hogy midegyik mérkőzése midegyik táblá a agyobb Élő-potú játékos legyőzi a kevesebb Élővel redelkezőt, a három csapat mégis körbeveri egymást?

4.. PERMUTÁCIÓK 47 4.8. [8] Vettük öt darab egyforma Bled-a-med Complete és egy Bled-amed Soda Bicarboate fogkrémet. A szatyorba kicsúsztak a dobozukból. Hazaérve találomra beletettük midegyik dobozba egy-egy tubus fogkrémet. a Mekkora a valószíűsége aak, hogy midegyik dobozba a feliratak megfelelő fogkrém va? b Mekkora a valószíűsége aak, hogy potosa öt dobozba va a feliratak megfelelő fogkrém? c Mekkora a valószíűsége aak, hogy potosa égy dobozba va a feliratak megfelelő fogkrém? 4.9. Öte kihúzzák egymás evét egy kalapból. Mi az esélye aak, hogy seki sem húzza ki a saját evét? 4.0. Öte kihúzzák egymás evét egy kalapból ajádékozás céljából. Mi az e- sélye aak, hogy körbe ajádékozzák egymást, tehát hogy egyetle ciklus alakul ki? 4.. Egy emberek kulcsa va, ezek közül csak az egyik yitja az ajtaját. Egymás utá próbálja ki a kulcsokat (visszatevés élkül. Határozzuk meg a próbálkozások számáak eloszlását! 4.. (M Kürschák versey 97 Va 0 perselyük és midegyikhez egy-egy kulcs, amely a többi perselyt em yitja. Valaki találomra bedobja a kulcsokat a zárt perselyekbe. Két perselyt feltörük. Meyi a valószíűsége, hogy a többi perselyt feltörés élkül ki tudjuk yiti? 4.. (M [4] IMO 989. New York, javaslat Határozzuk meg az,,..., számok véletle permutációjába az iverziók számáak várható értékét! Az (i, i,..., i permutáció iverziói midazok az k m számpárok, amelyekre k < m, de i k > i m (tehát midazo számpárok száma, amelyek agyságredjükkel elletétes sorredbe állak a permutációba. Az,,, 4 számok (4 permutációjába az alábbi párok állak iverzióba: (, (4, (4, tehát az iverziók száma itt. 4.4. [8] Véletle permutáció geerálása Az alábbi program az,,..., számok egy véletle permutációját állítja elő. A π 0 permutáció legye idetikus, azaz mide szám marad a helyé: π 0 (i i, tehát π 0 (,,...,. Futtassuk a k változót -től ( -ig és mide lépésbe képezzük a π k permutációból a π k permutációt úgy, hogy cseréljük ki a bee k-adik helye álló π k (k számot az l-edik helye álló π k (l számmal, ahol l- et mide lépésbe egyeletes eloszlással véletleszerűe választjuk az {,,... k} halmazból. A program:. π (,,..., ; 48 4. FEJEZET. VEGYES FELADATOK. for k to ( ;. válasszuk egy l véletle számot az {,,..., k} halmazból; 4. cseréljük ki π(k-t és π(l-t. Mutassuk meg, hogy ez az eljárás jó véletlet ad, azaz a,,..., számok mide permutációját egyelő eséllyel állítja elő a program! 4.. (M Határozzuk meg az,,..., számok véletle permutációjába a fixpotok számáak várható értékét! 4.. (M Az osztály taulója kihúzza egymás evét egy kalapból ajádékozás céljából. Az osztálykarácsoykor a legfiatalabb diák kezdi az ajádékozást. Lácba ajádékozzák egymást a gyerekek, aki ajádékot kapott, a következő lépésbe ő adja át ajádékát aak akit húzott, míg az egyik diák a sort elidító legfiatalabbak adja ajádékát. Határozzuk meg az így kialakuló első kör hosszáak eloszlását! 4.7. (M Határozzuk meg az,,..., számok véletle permutációjába a ciklusok számáak várható értékét! 4.8. (M Adott 0 darab tojás: fehér, zöld, sárga, kék és piros, tehát midegyik szíből kettő va. Véletleszerűe párt készítük belőlük. Mi az esélye, hogy potosa k párba vaak azoos szíű tojások? Adjuk meg a kérdezett valószíűséget k 0,,,, 4 és eseté! 4.4. Idege yelve 4.9. agol yelvű matematika érettségi 008 május There were 00 studets from the 9 th grades of a Hugaria high school subject to a iteratioal survey o math educatio. Each studet took the same test ad the maximal score was 0 poits. The average score of the studets was 00 poits. The umber of studets from the grades 9 0 th was oe ad a half times of the umber of studets from the grades th ad, at the same time, the mea score of the studets from the grades th was oe ad a half times of the mea score of the studets from the grades 9 0 th. a Calculate the mea score of the studets from the grades th. Havig ru the survey the orgaizers were also iterested about how did the studets judge the diffuculty of the questios. There were three studets out of the 00 chose radomly ad they were asked to fill a questioaire. b What is the probability that there were studets chose from the grades 9 0 th ad studet from the grades th?

4.. PARADOXONOK 49 4.0. (M http://stattrek.com/lesso/bayes.aspx Marie is gettig married tomorrow, at a outdoor ceremoy i the desert. I recet years, it has raied oly days each year. Ufortuately, the weatherma has predicted rai for tomorrow. Whe it actually rais, the weatherma correctly forecasts rai 90% of the time. Whe it does t rai, he icorrectly forecasts rai 0% of the time. What is the probability that it will rai o the day of Marie s weddig? 4.. Paradoxook 4.. [7] Az {,,, 4,, } halmazból vett számok kéttagú összegeikét a 9 és a 0 is kétféleképpe áll elő: 9 + 4 + ; 0 4 + + ; Háromtagú összegkét pedig midkét számak hatféle előállítása va: 9 + + + + + 4 + 4 + + + + 4 + + ; 0 + + + 4 + + + + + + 4 + 4 + + 4. Eek alapjá sokáig azt godolták, hogy a dobott számok összege ugyaakkora eséllyel lesz 9-es, mit 0-es. Melyikek agyobb a valószíűsége, aak, hogy 9 vagy aak, hogy 0 lesz az összeg, ha a két b három dobókockával dobuk? 4.. [7] De Méré lovag paradoxoa a Egy kockát dobuk fel sokszor egymás utá. Átlagosa háyadikra dobjuk az első hatost? b Két kockát dobuk fel sokszor egymás utá. Átlagosa háyadikra dobjuk az első dupla hatost? c Háyszor kell feldobi egy kockát ahhoz, hogy valószíűbb legye, hogy dobtuk már hatost, mit hogy em dobtuk? d Háyszor kell feldobi két kockát ahhoz, hogy valószíűbb legye, hogy dobtuk már dupla hatost, mit hogy em dobtuk? Először perc alatt tippeljük, utáa számoljuk! 4.. [7] Az osztozkodás paradoxoa Két játékos egy igazságos játékot játszik (ugyaolya eséllyel yer midegyik, és abba állapodak meg, hogy az yeri az egész kitűzött pézösszeget, aki először yer játszmát. A játékosok valamilye okból abbahagyják a játékot, mikor az első, a második játszmát yert. Hogya méltáyos osztozkodi a téte? 0 4. FEJEZET. VEGYES FELADATOK 4.4. [7] (születésap-paradoxo Megközelítőleg háy ember eseté valószíűbb, hogy lesz közöttük kettő, akikek az év ugyaazo apjára esik a születésapjuk, mit az, hogy ics két ilye ember? (Számoljuk appal. 4.. [7] Az adulehívás paradoxoa A bridzset lapos fracia kártyával játsszák. A égy játékos midegyikéél - lap va. Az asztalál szemközt ülő játékosok (akik hidat, bridge-et alkotak együtt vaak. Sőt, a lejátszás elejé az egyik játékos kiteríti lapjait az asztalra, és a vele szemközt ülő partere játszik az ő lapjaival is. Ez a játékos azt látja, hogy ála és az asztalo összese 7 adu va, tehát az ellefelekél összese. a Melyik az esélyesebb, hogy az ellefelekél adu va, vagy az, hogy az egyikél, a másikál 4? A játékos egymás utá kétszer adut hív, és mideki adut tesz rá mid a két alkalommal. b Ha lapot melyek közt adu va kiosztuk két -es csoportba, akkor melyik az esélyesebb, hogy midkettőbe adu lesz, vagy az, hogy az egyikbe 0, a másikba? 4.. [7] Schrödiger paradoxoa Két borítékba ismeretle meyiségű péz va. Nem tudi, melyikbe va több, de azt tudjuk, hogy amelyikbe több va, abba kétszer ayi va, mit a másikba. Az egyiket kiyitjuk, és megézzük, meyi va bee, majd ezek utá el kell dötei, hogy elfogadjuk-e ezt a pézösszeget, vagy ikább az ismeretle, második borítékot választjuk. Hogya érdemes dötei? 4.. Valószíűség és geometria 4.7. (M [4] IMO 98, USA, javaslat A szabályos -szög ( csúcsai közül véletleszerűe kiválasztuk két közös pot élküli pothármast. Meyi az esélye, hogy a két pothármas mit csúcsok által meghatározott két háromszög em metszi egymást? 4.8. (M [4] IMO 978, NDK, javaslat A szabályos -szög csúcsai közül véletleszerűe kiválasztuk hármat. Meyyi az esélye, hogy az általuk mit csúcsok által meghatározott háromszög hegyesszögű? 4.7. Nehéz verseypéldák

4.7. NEHÉZ VERSENYPÉLDÁK 4.9. Tekitsük a koordiátaredszer következő hat potját: (0; 0, (0;, (; 0, (;, (; 0, (;! Egy bolha ugrál eze a hat poto a következő szabály szerit. Mide lépésbe véletleszerűe kiválaszt egy szomszédos potot és arra átugrik. A szomszédos potok között egyelő valószíűséggel választ. Mi a valószíűsége aak, hogy a (0; 0 potból idulva lépés utá az (; 0 potra ér? Két potot akkor evezük szomszédosak, ha az egyik koordiátájuk azoos, a másik eggyel tér el. 4. FEJEZET. VEGYES FELADATOK 4.44. Kürschák versey, 98. A és B a következő játékot játssza: az első 00 pozitív egész közül véletleszerűe kiválasztaak k darabot, és ha ezek összege páros, akkor A yer, egyébkét pedig B. A k milye értékeire lesz egyelő A és B yerési esélye? 4.40. [0] Kömal, B. 44., 00. feb. Piokkióak 9-féle akadályo kell sikerrel túljutia, hogy hús-vér gyerek lehesse. Nehéz dolga va; ha egy akadályo elbukik, akkor vissza kell térie az előzőhöz, és ott újra kell próbálkozia. Ha a legelső akadályo bukik el, akkor fabábu marad örökre. Piokkió em taul a kudarcokból, ezért az egyes akadályoko a siker valószíűsége midig /0, /0, /0,..., 9/0, akárháyadszor is próbálkozik. Milye sorredbe redezze el a Kékhajú Tüdér a Piokkióra váró akadályokat ahhoz, hogy Piokkió a legagyobb eséllyel változzék át igazi gyerekké, és mekkora ebbe az esetbe a siker valószíűsége? 4.4. OKTV, 997/98, III. kat.. ford. 4. fel. Egy-egy cédulára felírtuk az,,, illetve 4 számokat. Aa kihúz egy cédulát a égy közül, majd visszateszi a többi közé. Ezutá Zsófi húz ki egy cédulát, utáa visszateszi, majd ismét Aa következik stb. A kihúzott számot midig hozzáadják az addig kihúzott számok összegéhez. Az yer, akiek a húzása utá először lesz az összeg -mal osztható. Meyi a valószíűsége aak, hogy Aa yer? 4.4. OKTV, 99/9, III. kat.. ford.. fel. Bergegóciába háromféle fémpéz va forgalomba, ezek - övekvő értéksorredbe - az alig, a bagó és a cseevész. Márto és Nádor a következő játékot játsszák. Márto elővesz egy általa választott érmét, erre Nádor köteles a másik két fajtából egyet-egyet elővei. A három érmét egyszerre feldobják, és azé lesz midhárom érme, akiek az írásra esett érméje vagy érméi agyobb összértéket képviselek. Ha csupa fej jö ki, akkor mideki megtartja a saját pézét (más esetbe em fordulhat elő dötetle. A fiúk észreveszik, hogy a játék midig igazságos, akármelyik érmét is veszi elő Márto. Kérdés: háy aligot ér egy cseevész? 4.4. Kürschák versey, 990. 00 gyerek között egy em szabályos érme többszöri feldobásával szereték egy ajádékot kisorsoli. A pézdarabot k-szor feldobjuk, miutá a dobássorozat mide egyes kimeetelére meghatároztuk, hogy az adott esetbe ki yer. Bizoyítsuk be, hogy a fej dobás p valószíűségét és a k értékét alkalmasa megválasztva a k kimeetelt fel lehet osztai a gyerekek közt úgy, hogy mideki egyforma valószíűséggel yerje!

4 MEGOLDÁSOK Az x szám átlagos égyzetes eltérése a H adatsokaságtól: (x x + (x x +... + (x x. Megoldások. A statisztika alapjai.. A tippek halmaza: H {x ; x ;... ; x } adatsokaság. Nem halmaz, mert ugyaaz az elem többször is lehet. Néháy eljárási ötlet diákoktól:. Építsük külöböző magasságú mitatoryokat és midegyik toroy magasságát tippeltessük meg hasoló jellegű társasággal. Ahol a tipphalmaz hasoló az adott tipphalmazhoz, azt a magasságot válasszuk!. Vegyük az adatok valamilye közepét, esetleg előzőleg dobjuk ki a legkisebb és legagyobb elemet vagy elemeket vagy azok bizoyos százalékát.. Vegyük az adatok átlagát, az attól legikább eltérő éháyat dobjuk ki és vegyük a maradék átlagát. 4. Az y, z jelöltek közül kiválaszthatjuk a jobbikat az alább eljárással: Számoljuk ki y és z átlagát: y+z. Számoljuk meg a H adatsokaság elemei közül háy agyobb y+z -él és háy kisebb ála. Ha több agyobb va, akkor y és z közül a agyobb a jobb jelölt, ha pedig több kisebb va, akkor y és z közül a kisebbik a jobb.. Egy adott x jelölthöz redeljük egy hibaértéket. Erre két szokásos eljárás va: Az x szám átlagos abszolút eltérése a H adatsokaságtól: x x + x x +... + x x. Az a jelölt a legjobb, amelyre a hibaérték a legkisebb... Erdeméyek: a 4, b... a Az x szám átlagos égyzetes eltérése az {x ; x ;... ; x } számsokaságtól: i (x x i x i x x i i + x i ( i x x ( i i + x i i x i. i xi Látható, hogy a kifejezés a miimumát az x x számál, a sokaság átlagáál veszi fel. Az átlag égyzetes eltérése a számsokaságtól a szóráségyzet. D i x i ( i x i Defiíció: számsokaság szóráségyzete az átlag átlagos égyzetes eltérése a számsokaságtól. D x + x +... + x ( x + x +... + x. Ez az átlagos égyzetes eltérés miimális értéke. A számsokaság szórása a szóráségyzet gyöke: D. A levezetés és az elevezések alapjá az x szám átlagos égyzetes eltérése a számsokaságtól így is írható: (x x + D. b Az x szám átlagos abszolút eltérése az {x ; x ;... ; x } számsokaságtól: i x x i x x + x x +... + x x. A további magyarázat egyszerűsége kedvéért tegyük fel, hogy az adatsokaság elemeiek agyságredi sorredje megegyezik az idexek sorredjével: x x... x.

. A STATISZTIKA ALAPJAI Ha x < x és x-et x-szel mozgatjuk x felé, akkor midegyik x x i távolság csökke, az átlagos égyzetes eltérés értéke x-szel csökke. Ugyaígy, ha x < x, akkor x felé mozgatásával csökke az átlagos abszolút eltérés. Ha x x x, akkor a két szélső elemtől való távolság összege fix: x x + x x x x + x x x x. így az adatsokság két szélső elemét levehetjük, majd újrakezdhetjük a godolatmeetet. Kiderül, hogy ameyibe legalább égy elem va a sokaságba az átlagos égyzetes eltérés értéke akkor a legkisebb, ha x és x között vesszük fel x-et, de az x -től és x -től való távolságösszeg értéke függetle attól, hogy eze belül hol va x. Így haladhatuk tovább, míg csak egy vagy két elem marad a sokaságba. Egy elemtől való távolság akkor a legkisebb, ha x megegyezik azzal az elemmel, míg két elemtől való távolság a miimumát a két eleme és azok között bárhol felveszi. Igazoltuk, hogy az x számak a H {x ; x ;... ; x } adatsokaságtól való átlagos abszolút eltérése akkor miimális, ha x a H agyságredbe középső eleme (ha H elemszáma páratla, illetve ha H középső két eleme között lévő tetszőleges szám (H elemszáma páros. Defiíció: Számsokaság mediája a agyságredbe középső eleme, illetve a középső kettő átlaga H elemszámáak paritása szerit. Defiíció: Számsokaság módusza az az elem, amely a legtöbbször fordul elő a halmazba. Ha több elem is ugyaolya sokszor, legtöbbször fordul elő a halmazba, akkor a móduszok halmazáról beszélük. A számsokaság szóródásáak mérőszáma még a szóráso kívül: Defiíció: számsokaság terjedelme a legagyobb és legkisebb eleméek külöbsége..4. a Pl. {; ; }. b Háromelemű halmazt keresük: {x; ; 7 x}. Eek a várható értéke, és x 7 x eseté a mediája. A szórása akkor, ha Az egyelet gyökei: (x + + (4 x x 4x + 7 7 ± 7. Tehát a halmaz: { 7 7 ; ; c {; ; ; 7}.. 7+9 8 +9 9 0 74,. 7 + 7 }. MEGOLDÁSOK.. a Az átlagot meg lehet határozi, ha vesszük az eredeti számsokaság elemeiek összegét, és ebből megállapíthatjuk az új sokaság összegét és így átlagát is:,7 7 + 0 7,70. Mást azoba em lehet megadi. b Az átlag ebbe az esetbe is ugyaayi, viszot a mediája mideképpe, hisze az eredeti halmaz két (agyság szerit középső eleméek az átlaga 4,, vagyis mivel 4 va, ez a két elem közül a kisebbik, vagyis az a agyobbik, így az hozzáadásával az lesz a középső. A módusz viszot em egyértelmű, ugyais lehet csak 4 vagy 4 és..0. a A P (x; y potra azaz P A ( (x + (y x x + y 0y + P B ( (x 7 + (y 0 x 4x + y 0y + 49 P C ( (x 4 + (y x 8x + y 4y + 0, P A +P B +P C x 4x+y 4y + (x 8x+y 8y + ( (x 4 + (y 9 + 4. Tehát a égyzetösszeg akkor miimális, ha x 4 és y 9, azaz P a (4; 9 pot. b Most P A +P B +P C x (a +b +c x+y (a +b +c y+(a +b +c +a +b +c [ (x a +b +c ( + y a +b +c ] + [ a + +b +c +a +b +c ( a +b +c ( a+b +c ], azaz P ( a +b +c ; a+b+c... Feleleveítjük aak levezetését, hogy az átlagos égyzetes eltérés az átlagál miimális. Az x szám átlagos égyzetes eltérése az {x ; x ;... ; x } számsokaságtól: i (x x i x i x x i i + x i ( x i x i + i x i ( i x i.

. KÍSÉRLETEK 7 i xi Látható, hogy a kifejezés a miimumát az x x számál, a sokaság átlagáál veszi fel. Az átlag égyzetes eltérése a számsokaságtól a D i x i ( i x i szóráségyzet. A levezetés és az elevezések alapjá az x szám átlagos égyzetes eltérése a számsokaságtól így is írható: (x x + D. Válasz a. feladatra: ige megadható, ( + D 4 + 89... a A mediá, a módusz és az átlag -mal ő. A terjedelem és a szórás em változik. b Mide hárommal szorzódik..4. Mide eleme egyelő... A módusz, a mediá és az átlag mid a három esetbe. Az.,., és a. tauló jegyeiek szórása redre 0, 0,7848949, 0,4899749... a. b Nem változik. c Csökke, lesz. 40,97094.7. Az.. feladat számsokaságához a, az..-hoz az összes szám és 8 között a széleket is beleértve.. Kísérletek Ez a fejezet em tartalmaz megoldást.. Statisztikák 8 MEGOLDÁSOK Excel illetve OpeOffice.Calc fájlokba végeztük el. a magyar karakter gyakoriság relatív gyakoriság. E 04 0,09844. A 474 0,089900. T 444 0,0809 4. N 0,078907. L 0,00844. S 090 0,0880 7. K 9 0,049744 8. R 8 0,040980 9. M 0,0404848 0. O 8 0,04079. I 07 0,090984. G 0 0,089488. Á 84 0,048497 4. Z 807 0,0400. É 8 0,0887. Y 07 0,084499 7. D 0,07879 8. V 0 0,00948 9. B 00 0,090707 0. H 00 0,08897. J 8 0,08789. Ö 8 0,089848. F 0 0,00804 4. C 48 0,0090998. P 49 0,0089. Ó 4 0,00804 7. U 44 0,0080048 8. Ő 9 0,00094 9. Í 0,00448 0. Ú 0,004009. Ü 9 0,008. Ű 79 0,00498 össz: 97.. A megoldást táblázatkezelő program segítségével a http://matek.fazekas.hu/matkoyv/public/toldibetustatisztika.xls, http://matek.fazekas.hu/matkoyv/public/toldibetustatisztika.ods

. STATISZTIKÁK 9 b magyar hag gyakoriság relatív gyakoriság. E 04 0,07. A 474 0,094948. T 498 0,0870 4. L 07 0,004. N 94 0,08784. K 9 0,044989 7. R 8 0,04049 8. M 0,0449974 9. O 8 0,044 0. I 07 0,04778. Á 84 0,07997. S 80 0,09. É 8 0,007 4. D 0,0700. G 78 0,04787. V 0 0,04 7. B 00 0,00049 8. H 00 0,099097 9. SZ 90 0,08 0. GY 88 0,07899. Z 88 0,07008. J 8 0,09. Ö 8 0,0899 4. F 0 0,00907. P 49 0,0094847. Ó 4 0,008490 7. U 44 0,008407 8. NY 80 0,007779 9. CS 4 0,0079484 0. Ő 9 0,007. Í 0,004044. Ú 0,0048. LY 9 0,0090484 4. Ü 9 0,0088. C 4 0,00807. Ű 79 0,0074 7. TY 4 0,000988 8. ZS 0,0004987 9. DZ 0,000098 40. DZS 0,000099 össz: 07 0 MEGOLDÁSOK c agol abc gyakoriság relatív gyakoriság. E 890 0,0077. A 0 0,478. T 444 0,0809 4. O 0,07984. N 0,078907. L 0,00844 7. S 090 0,0880 8. K 9 0,049744 9. I 97 0,04 0. R 8 0,040980. M 0,0404848. G 0 0,089488. Z 807 0,0400 4. Y 07 0,084499. D 0,07879. V 0 0,00948 7. B 00 0,090707 8. H 00 0,08897 9. U 90 0,0779 0. J 8 0,08789. F 0 0,00804. C 48 0,0090998. P 49 0,0089 össz: 97.. A megoldást táblázatkezelő program segítségével a http://matek.fazekas. hu/matkoyv/public/ottlikiskolaahatarostatisztika.xls, http://matek.fazekas. hu/matkoyv/public/ottlikiskolaahatarostatisztika.ods Excel illetve OpeOffice.Calc fájlokba végeztük el. Az eredméy is ott látható... A titkosított szöveg karakterstatisztikáját lásd a http://matek.fazekas.hu/matkoyv/public/haladzsa07hameg0.xls, http://matek.fazekas.hu/matkoyv/public/haladzsa07hameg0.ods fájlok bármelyikébe, a dekódolt szöveg elérhető a http://matek.fazekas.hu/matkoyv/public/haladzsa07hameg0.doc, http://matek.fazekas.hu/matkoyv/public/haladzsa07hameg0.txt

4. ESÉLYEK fájlok bármelyikébe, míg a közpotozott teljes megoldás a http: ://matek.fazekas.hu/matkoyv/public/haladzsa07hamegteljes.doc, http: ://matek.fazekas.hu/matkoyv/public/haladzsa07hamegteljes.pdf fájlokba olvasható..4. Táblázatkezelővel készíthetük a kódolt szövegekről statisztikát. A rövidebb szavakat haszáló agolba aráyaiba több a szóköz, eek alapjá külöböztethetjük meg a két yelvet. A statisztika és a betűhelyettesítés megfejtése a http://matek.fazekas.hu/matkoyv/public/haladzsamelyyelvemeg.xls, http://matek.fazekas.hu/matkoyv/public/haladzsamelyyelvemeg.ods fájlokba olvasható. A versek közpotozva a http://matek.fazekas. hu/matkoyv/public/haladzsamelyyelve0megteljes.doc, http://matek.fazekas. hu/matkoyv/public/haladzsamelyyelve0megteljes.pdf fájlokba olvashatók el. 4. Esélyek 4.. a 00% 7% 8%. b 7% + % 4% %, ha összeadjuk az eseméyek valószíűségét, majd kivojuk aak a valószíűségét, ha midkettő bekövetkezik. c 00% % 4%. d (8% 0,8 0,7787 7,787%. 4.. a b ( ( 0 ( ( 0 ( 8 99 797 0,779099. ( 8 ( 8 99 744 0,400949. MEGOLDÁSOK 4.. A tapasztalat szerit (lásd pl a.. feladatot a két érmét érdemes megkülöbözteti. Az egyiket Elsőek, a másikat Másodikak evezzük és dobásuk eredméyét is eszerit soroljuk fel. A lehetséges egyelő esélyű esetek: FF, FI, IF, II. Összese tehát égy eset va. A kedvező a megadott eseméyek megfelelő esetek: a FI, IF ; b FF, FI, IF ; c FF. Tehát a valószíűségek: a 4 ; b 4 ; c 4. 4.4. Az egyelő esélyű esetek most FFF, FFI, FIF, FII, IFF, IFI, IIF, III. Ebből a yolcból háromra FII-re, IFI-re, IIF-re igaz, hogy potosa egy fej va a három közül, így a valószíűség 8. 4.. A pézérméket érdemes megkülöbözteti (lásd pl a.. feladatot. Így az öt érmét összese -féleképpe dobhatjuk. Ezek mid egyelő esélyű esetek és közülük ( 0-féle olya eset va, amelybe potosa két érme fej, hisze eyiféleképpe választhatjuk ki ezt a két érmét az ötből. Az esély tehát ( 0 0,. 4... megoldás. Foglaljuk táblázatba a lehetőségeket! Az oszlopok az. kockával dobott számot (., a sorok a. kockával dobottat (. mutatják. A mező felel meg a lehetséges esetek, fekete pöttyöt tettük a vizsgált eseméyek megfelelő esethez tartozó mezőkbe. A. 4. 4 B. 4. 4 Látható, hogy az A eseméy a elemi eseméy közül 9-be, a B eseméy pedig esebe valósul meg, tehát a B eseméy valószíűsége agyobb.

4. ESÉLYEK. megoldás. Az A eseméy valószíűsége P (A 9 4. A B eseméy valószíűsége komplemeter módszerrel számolható. Bármelyik dobásuk eséllyel em -es, így P (B (. Tehát a B eseméy valószíűsége agyobb. 4.7. a Az eseteket táblázatba gyűjtjük össze. Az. felirat alatt az első kockadobás lehetséges eredméyeit, a. felirat mellett a második kockadobás lehetséges eredméyét soroltuk fel. A. 4. 4 B. 4. 4 Látható, hogy az A eseméy kevésbé valószíű, mit a B eseméy, előbbiek az esélye, utóbbiak pedig 9 4. b Az a feladatrészből és a valszambev009ha0 feladat megoldásából látható, hogy ez a két eseméy egyelő evezetese 4 valószíűségű. 4.8. ( 4 ( 99 4 0,7847. 4.9. ( 4. megoldás. A feladat kérdéséek eldötéséhez elég összese kettőt dobi. Az előforduló esetből az alábbiakba lesz az első dobás hatos:,,, 4,,. Ez összese eset a -ból, tehát aak az esélye, hogy az első dobás hatos. Az alábbi esetekbe lesz a második dobás hatos:,,, 4,,. Ez is eset, így aak az esélye, hogy a második dobás hatos. Az utolsó vizsgált esetbe, eseté azoba ez a hatos em az első hatos. Tehát aak az esélye, hogy előszörre a második dobásél kapuk hatost csak. Az a valószíűbb, hogy az első dobásra dobjuk az első hatost. 4 MEGOLDÁSOK. megoldás. Az első dobás az esetek átlagosa -od részébe hatos míg az esetek részébe em hatos. A második dobás is az esetek átlagosa -od részébe hatos, így másodikra az esetek részébe dobjuk az első hatost (elsőre em hatos és másodikra hatos. Tehát az a valószíűbb, hogy elsőre dobjuk az első hatost. 4.0. Aak valószíűsége agyobb, hogy a hatjegyű szám em állítható elő két háromjegyű szám szorzatakét. Láti fogjuk, hogy a szorzatok száma kevés, még akkor is, ha a szorzatok értékét em is vesszük tekitetbe, csak a téyezők értékét vizsgáljuk. Hatjegyű számból 9 0 va, háromjegyűből 9 0. Ha a szorzatak két külöböző téyezője va, akkor ezeket ( 9 0 féleképpe választhatjuk ki. Mivel ( 9 0 < (9 0 8, 0 < 4, 0, így eze lehetőségek száma 4, 0 -ál kevesebb. 9 0 olya szorzat va, amelyek két téyezője azoos és háromjegyű. Mivel 9 0 < 0,4 0, összese 4, 0 -él kevesebb olya hatjegyű szám va, amely két háromjegyű szám szorzata, így valóba aak esélye agyobb, hogy egy hatjegyű szám em ilye alakú. 4.. kocka eseté f( ( a vizsgált valószíűség. Vizsgáljuk eze értékek aráyát! Két egymást követő érték háyadosa: f( + + f(. Ezekek a háyadosokak a kokrét értéke: f( f(, f( f( 4, f(4 f( 4 0 9, f( f(4 4 4,

4. ESÉLYEK f( f(, f(7 f( 7, és ietől kezdve midegyik aráy kisebb -él hisze az -ot egy -él kisebb számmal szorozzuk. Amíg az aráy -él agyobb, addig a kifejezés értéke ő, ha az aráy, akkor em változik az érték, míg -él kisebb aráy eseté csökke. A maximális értéket tehát f( és f( adja, tehát és kocka eseté lesz a legagyobb aak a valószíűsége, hogy potosa egy hatos va a dobott számok között. 4.. Legye a fiú yerési esélye Apa elle p, míg Papa elle q > p, tehát Apa illetve Papa yerési esélye ( p illetve ( q (dötetleel em számoluk. Az a feladatba ( p, ( q, azaz p, q. A fiú háromféleképpe lehet sikeres: NyerNyerNyer, NyerNyerVeszt, VesztNyerNyer. Az Apa-Papa-Apa felosztásál ezek esélye redre ami összese pqp, pq( p, ( pqp, pqp + pq( p + ( pqp pq (p + ( p + ( p qp( p, míg Papa-Apa-Papa esetbe azaz összese qpq, qp( q, ( qpq, qpq + qp( q + ( qpq qp (q + ( q + ( q qp( q. Mivel q > p, így az elsőek kapott valószíűség a agyobb, az Apa-Papa-Apa felosztás jobb a fiúak. MEGOLDÁSOK 4.. Jelölje χ a találatok számát, tehát χ {0,,,, 4, }. Aak esélye, hogy épp k találatuk legye: ( ( P (χ k k 8 k ( 90, hisze a k számot a találatokat az yerő szám közül kell választai, míg a maradék k számot a 8 em yerő számból kell vei. Tehát a keresett valószíűség: P (χ + P (χ + P (χ 4 + P (χ ( ( 8 ( + ( 8 ( + ( 4 8 ( + ( 8 0 ( 90 8 84 8 4 + 8 84 4 + 8 + 90 89 88 87 8 4 8 84 8 4 0 + 8 84 4 0 + 8 0 + 0 90 89 88 87 8 890 790 4,90888748 0,09909007 Vagy ugyaez komplemeter módszerrel: P (χ 0 P (χ 8 84 8 8 8 4 + 8 84 8 8 4 90 89 88 87 8 4 8 84 8 8 8 + 8 84 8 8 90 89 88 87 8 ( 8 ( + 8 ( 4 ( 90 0,09909007 4.. a b ( 8 4 ( 8 4. 4 ( 8 4 4 ( 8 7. 4 4.. a b 0,0. 9 0,499. 4.4. 0,8 0,488.

4. ESÉLYEK 7 8 MEGOLDÁSOK 4.7. p valószíűséggel dobuk összetett számot és p q valószíűséggel em összettet. Potosa akkor jutuk az origóba, ha égyet lépük jobbra és ugyaayit balra. Eek esélye: ( 8 4 ( 4 ( 4 8 7 4 4 8 0 0,70708 4.9. a b (( 8 ( 8 ( + 8 4 ( 90 0,09. + ( 8 4 ( 90 0,9044. 4.8.. megoldás. Szita Aak az esélye, hogy a 8-as yerőszám egy húzásál: q 7. ( 4 ( 7 4... 9! 4... 9 7! Így q Aak esélye, hogy a 8-as két külöböző húzásál is yerő szám. Legye A az az eseméy, hogy a 8 yerő szám a kézi húzásál, B az az eseméy, hogy a gépiél yerő, tehát AB az az eseméy, hogy midkettőél yerő, míg A + +B az az eseméy, hogy legalább az egyikél yerő. A halmazokra voatkozó szita formuláak megfelelőe: p(a + B p(a + p(b p(ab q + q q q( q 9 0,.. megoldás. Esetek A 4.8M. megoldásba kapott q aak esélye, hogy egy adott húzásál a 8-as yerő szám, így q 4 aak az esélye, hogy a 8-as em yerő szám egy adott húzás eseté. Három eset va: 8-as csak a kézi, vagy csak a gépi, vagy midkét húzásál yerő. Ezek esélye redre q ( q, ( q q, q q, tehát a kérdezett valószíűség q ( q + ( q q + q q q q 9 0,.. megoldás. Komplemeter módszer A 4.8M. megoldásba kapott q-val számolva ( q aak esélye, hogy a 8-as az egyik húzásál sem yerő, tehát ( q q q 9 0, aak az esélye, hogy a 8-as legalább az egyik húzásál yerő. c Aak az esélye, hogy sosem lesz hármas találatuk, ( ( ( 8 ( 90 0,9897. Aak a valószíűsége, hogy hármas vagy agyobb találatuk em lesz, d ( ( ( 8 ( 90 ( ( 4 8 ( 90 ( ( 90 0,0000000 0,999889 ( ( 8 0 ( 90 0,9804. 00, tehát aak, hogy száz év alatt egyszer sem lesz ötösük, jóval agyobb a valószíűsége, mit aak, hogy az első héte ötösük lesz.. Hipergeometrikus eloszlás.. Jelölje a kiválasztott lap között az ászok számát χ A, a kárók számát χ (χ A {0; ; ; ; 4}, χ {0; ; ;...; }. Az lapos pakliból összese ( - féleképpe választható ki lap (a kiválasztás sorredjét em vesszük figyelembe. a A pakliba az ászok száma 4, a em ászoké 48, így 48 47... 9 8 7 p(χ A 0... 40 0 49 0,08770; ( 48 ( ( 4 48 p(χ A ( ( ( 4 48 p(χ A ( ( 4 9 8 7 0 49 4 9 8 0 49 ( 90 0,4884790; 0,49974;

. HIPERGEOMETRIKUS ELOSZLÁS 9 tehát általába: ( 4 48 p(χ A ( 0 ( ( 4 48 p(χ A 4 4( 9 ( 4 9 0 49 0,0400480; 0 0 49 0,00404, ( 4 48 p(χ A k k( k. b A pakliba a kárók száma, a em káróké 9, így az előzőekhez hasolóa: p(χ k ( k ( ( 9 k (. Ezeket az értékeket kiszámolhatjuk táblázatkezelővel, lásd a http://matek.fazekas. hu/matkoyv/public/valszambridzseloszlashipgeo00404ha0felb.xls, http://matek.fazekas. hu/matkoyv/public/valszambridzseloszlashipgeo00404ha0felb.ods Excel illetve OpeOffice.Calc fájlok bármelyikét vagyaz alábbi táblázatot: 0 0,0790948 0,08008 0,0874 0,8907 4 0,80800 0,499 0,0497 7 0,00880 8 0,0090 9 9,4 0 0 4,0 0 9,08 0 8 7,98408 0 0,7477 0.. Először kiszámoljuk aak valószíűségét, hogy ics zöld a kiválasztott lapok között. Ehhez az kell, hogy mid a három kihúzott lap a em zöld 4 lap közül kerüljö ki. Eek esélye ( 4 4 0 0,40804. ( tehát a kérdezett valószíűség 0,40804 0,99489. 70 MEGOLDÁSOK 0 k ( 00 0.. A keresett eloszlás: p(χ k (0 k ( 90 k p(χ k 0 0,047 0,40799 0,00988 0,07970 4 0,00749 0,000980,0998 0 7 8,440 0 7 8,044 0 8 9,99 0 0,779 0 4. Biomiális eloszlás. Eek értékei:.4. a A lemodások száma p 7 0,490, m paraméterű biomiális eloszlású valószíűségi változó (χ. Tehát aak valószíűsége, hogy épp k ember modja le a jegyét ( p(χ k p k ( p k. k Ezt a k 0,,,..., 9 értékekre gyorsa kiszámolhatjuk táblázatkezelő szoftverrel, lásd http://matek.fazekas. hu/matkoyv/public/wvalstatfej4felrep0ha07.xls vagy http://matek.fazekas. hu/matkoyv/public/wvalstatfej4felrep0ha07.ods k p(χ k 0 0,000000000 0,00000004 0,000000 0,0000090 4 0,00000894 0,00000707 0,00009 7 0,000479 8 0,00097 9 0,0088

. BINOMIÁLIS ELOSZLÁS 7 Potosa akkor em fér fel mideki a gépre, ha a lemodók száma kevesebb 0-él. Tehát a feti táblázat második oszlopába álló számok összege ad választ az a feladat kérdésére: 0,0078074-aak az esélye, hogy valakiek em jut hely. b,c Az http://matek.fazekas. hu/matkoyv/public/wvalstatfej4felrep0ha07bc.xls, http://matek.fazekas. hu/matkoyv/public/wvalstatfej4felrep0ha07bc.ods fájlokba (Excel ill. OpeOffice.Calc kiszámoltuk túlfoglalás (tehát + foglalás eseté aak esélyét, hogy éppe k-e modják le az utazást mide olya -re és k-ra, amelyre {,,..., } és 0 k. Mide egyes -re összegeztük az értékeket k 0-tól -ig, tehát kiszámoltuk aak valószíűségét, hogy túlfoglalás eseté lesz olya jegytulajdoos, aki em fér fel a gépre. Az alábbi táblázatba ezeket az értékeket -től 7-ig soroljuk fel: p(χ 0 +... + p(χ 0,444797 0 0,090 9 0,8998 8 0, 7 0,4 0,79978 0,07744 4 0,0478404 0,08978 0,07 0,00804 0 0,0078074 9 0,004 8 0,00088 7 0,00098 Látható, hogy túlfoglalásál már a gépek közel felébe god lee a túlfoglalás miatt, túlfoglalásál a probléma a gépek kevesebb mit tizedét, míg túlfoglalásál kevesebb, mit századát ériteé. Az utóbbi már bizoyára jó érték, de ehéz egyéb adatok élkül eldötei mi elfogadható: pl egésze más a helyzet ha apota több járat is megy az adott iráyba vagy ha hetete csak egy..7. Potosa akkor páratla az összeg, ha a hat kihúzott szám paritása az alábbi esetek valamelyikéek felel meg: A eset: páratla és páros; B eset: páratla és páros; 7 MEGOLDÁSOK C eset: páratla és páros. A szám között páratla és páros va. Az egyes esetek valószíűségét az eze adatokak megfelelő hipergeometrikus eloszlás írja le: P (A ( ( (, P (B ( ( (, P (C ( ( (. Mivel ( 4, így a keresett valószíűség a feti valószíűségek összegekét -ek adódik. + 0 0 + 4 7. Geometriai eloszlás 4 8 0,0808 7.. Geometriai eloszlásról va szó, melyek paraméterei: p 0,0, q p 0,98. a q 9 0,79. b q 9 p 0,0749. c p 0. 7.8. Egy Aak esélye, hogy 0 egymás utái dobás midegyike -os: p (. Ez a p szám egy agyo piciy pozitív szám. A q p szám csak egy kicsit kisebb -él, ez azt adja meg, meyi az esélye, hogy egymást követő dobás em midegyike -os. Osszuk a dobássorozatot 0-es blokkokba. Az első blokkba tartozik az első dobás, a második blokkba az ( +. dobás és az azt követő további ( dobás, stb. Megmutatjuk, hogy valószíűséggel már az egyik ilye blokk is csupa hatosból áll és figyelembe sem vesszük a többi -es blokkot. Aak esélye, hogy az első k blokk egyike sem áll csupa -os dobásból q k. Ez a meyiség k övelésével bármely pozitív számál kisebb lesz, így 0 az esélye, hogy soha sem lesz csupa hatosból álló blokk. 7.9. a b. 7.0. a Emma, Fai, Gitta és Haa redre 0,7, 0,88888889, ( 0,7407407, valószíűséggel lesz kezdő az első körbe. ( 0,09407

8. GENETIKA 7 b Átfogalmazva: mekkora aak a valószíűsége, hogy az első égy dobás egyike sem hatos?. Eek valószíűsége ( 4 9 0,48084. c Jelölje Emma yerési esélyét p. Levezethető, hogy ekkor Fai, Gitta és Haa yerési esélye redre ( ( p, p, p. ( Mivel 0 aak az esélye, hogy soha sem lesz hatos, tehát valószíűséggel lesz yertes, így p + ( ( p + p + p, azaz p + + ( ( + ( 4 4 4 7 0,90700. Tehát Fai, Gitta és Haa yerési esélyéek közelítő értéke ( alapjá redre 8. Geetika 0,880049, 0,49449, 0,88907. Ez a fejezet em tartalmaz megoldást. 9. A várható érték 9.. M X+Y (x + y + (x + y +... + (x + y (x + x +... + x + (y + y +... + y x + x +... + x + y + y +... + y M X + M Y, tehát M X+Y M X + M Y. Az X Y számsokaság átlaga: M X Y 74 MEGOLDÁSOK (x + y +... + (x + y + (x + y +... + (x + y +... + (x + y (x +y +...+(x +y + (x+y+...+(x+y +... + (x+y+...+(x+y x +(y +y +...+y + x+(y+y+...+y +... + x+(y+y+...+y x + M Y + x + M Y +... + x + M Y (x + x +... + x + M Y M X + M Y, azaz M X Y M X + M Y. Ehhez hasolóa M X Y (x y +... + (x y + (x y +... + (x y +... + (x y (x y +...+(x y + (x y+...+(x y +... + (x y+...+(x y x (y +y +...+y + x (y+y+...+y +... + x (y+y+...+y xm Y + x M Y +... + x M Y x + x +... + x M Y M Y M X, azaz M X Y M X M Y. Az X Y számsokaságot még em vizsgáltuk. Eek átlagát em határozzák meg az X, Y számsokaságok átlagai. Ha pl akkor X és Y átlaga is, míg az X {,, }, Y {,, }, X Y {,, } számsokaság átlaga M X Y +4+9 4, de ha változtatuk a sorrede, pl X {,, }, Y {,, }, akkor ugya X és Y átlaga továbbra is, az X Y {, 4, } számsokaság átlaga viszot most M X Y 0. Nem csak a sorreddel va god. Ha pl X {,, }, Y {0,, 4}, akkor X és Y átlaga még midig, de az X Y {0, 4, } számsokaság átlaga M X Y 0+4+.

9. A VÁRHATÓ ÉRTÉK 7 9.. A feladatba defiiált valószíűségi változó (a továbbiakba χ értéke a {,, 4,,, 7} halmazba va. a A dobások számáak eloszlása leolvasható a táblázatból: p(χ ( ( 0 8 4 4 ( 0 8 4 4 ( 40 9 7 4 ( 00 777 4 7 4 0 777 4 b A dobások számáak várható értéke: E(χ + 8 + 4 8 + 7 + 4 + 7 4,774980 9.4. A χ i valószíűségi változó értéke legye, ha az i-edik diák ömagát húzta és legye az érték 0, ha em ömagát húzta. A χ i várható értéke, E i. A keresett várható érték E E + E +... + E. 9.. Ha k szí va és azok közül l rögzített szí előfordulására váruk, akkor az első előfordulás l k paraméterű geometriai eloszlású, így aak várható értéke, az l szí első megjeleéséek átlagos ideje k l. Először váruk a 0 közül bármelyik szí megjeleésére (k 0, l 0. Ez természetese az első húzásál bekövetkezik: k l 0 0. Ezutá a 0-ból már csak a maradék 9 bekövetkezésére váruk: most k 0 és l 9, tehát átlagosa 0 9 lépést kell váruk. És így tovább, ha már megjelet (i szí, akkor az i-edik megjeleésére átlagosa 0 i lépést kell vári. A várható értékek összeadódak: ( E 0 0 + 9 + 8 +... + + +. 7 MEGOLDÁSOK Új feladat Legye az,,... N számok egy véletle permutációjába (mide permutáció azoos valószíűségű a rekordok számáak várható értéke E N. Határozzuk meg E N értékét! A megoldás az N,,, 4 esetekbe a permutációk egyszerű felsorolásával meghatározható. Az eredméyek alapjá megsejthető, hogy a feladat kérdésére a válasz: E N / + / + / +... + /N. A bizoyítást teljes idukcióval végezzük. Mit modottuk, az állítás az N,,, 4 esetekbe igaz. Tegyük fel, hogy igaz N k-ra, próbáljuk meg igazoli N k + -re is! A (k + szám közül a véletle permutáció első k eleme között a rekordok számáak várható értéke E k. Az utolsó elem potosa akkor rekord, ha az összes szám közül a legagyobb, azaz a (k + -edik. Aak az esélye, hogy a véletle permutációba utolsóak jö a legagyobb szám. Ebbe az esetbe ő csak eggyel a rekordok száma, azaz Ezzel az állítást igazoltuk. k+ E k+ E k + k +. 9.7. Próbálkozzuk először kisebb csapattal! Jelölje f fiú és l láy eseté egy véletle sorredbe a vegyes párok számát χ f,l és a keresett meyiséget, a χ f,l valószíűségi változó várható értékét E f,l. Ha csak láyok, vagy csak fiúk vaak, akkor ez a várható érték zérus, ha pedig egy-egy fiú és láy va, akkor, tehát E 0,l E f,0 0, E,. Alábbi táblázatba gyűjtöttük össze éháy további esetet. 9.. Észrevételek:. Az egymillió szám közül midegyik szám-n-est ugyaakkora valószíűséggel kapjuk meg.. Egy rögzített szám-n-es bármely permutációját ugyaakkora valószíűséggel kapjuk meg. Az észrevételek miatt a következő feladat ekvivales az eredetivel:

0. FELTÉTELES VALÓSZÍNŰSÉG 77 f/l vegyes f/l vegyes f/l vegyes / 4 / 4 4/ 40 FFL FFFLL FFFFLL FLF FFLFL FFFLFL LFF FLFFL FFLFFL LFFFL FLFFFL FFLLF LFFFFL FLFLF 4 FFFLLF LFFLF FFLFLF 4 FLLFF FLFFLF 4 LFLFF LFFFLF LLFFF FFLLFF FLFLFF 4 LFFLFF FLLFFF LFLFFF LLFFFF E, 4 E, E 4, 8 Az eredméyek alapjá sejthető, hogy E f,l fl f+l, tehát a keresett érték E 8,7. Alább megmagyarázzuk az általáos esetre adott formulát. Számozzuk a diákok által foglalt üléseket sorba -től (f + l-ig! Legye {, ha i,(i + -e vegyes pár ül χ i 0, egyébkét. és jelölje χ i várható értékét E i, azaz E i megadja, hogy az i-edik és az (i + -edik ülése átlagosa háyszor ül vegyes pár. Ezt az értéket köye kiszámolhatjuk. Az i-edik helye f f+l eséllyel ül fiú, és ha ott fiú va, akkor az (i + -edik helye l f l f+l eséllyel va láy, tehát (f+l (f+l aak az esélye, hogy az i-edik helye fiú és ugyaakkor az (i+-edik helye láy ül. A fordított vegyes elredezés esélye fl ugyaeyi, tehát E i (f+l (f+l. Ismeretes, hogy valószíűségi változók összegéek várható értéke a valószíűségi változók várható értékeiek összege. Itt χ f+l i χ i, így E f,l f+l i 0. Feltételes valószíűség 0.. fl E i (f + l (f + l (f + l fl f + l. 78 MEGOLDÁSOK. megoldás. a Hibás megoldás Összese 4 golyó va és ezekből fehér, tehát 4 a kérdezett valószíűség. Ez a megoldás hibás. Módosítsuk a feladatot! Képzeljük el, hogy az első 9 dobozba egy-egy kék golyó va és fehér golyó egyáltalá ics beük, míg a 0. dobozba 8 fehér golyó va és ics kék! A feti godolatmeettel ebbe az esetbe azt kapák, hogy 8 90 9 0 a fehér golyó húzásáak esélye és 0 a kék 9 golyó húzásáé, holott épp fordított a helyzet: 0 az esélye, hogy az első 9 doboz valamelyikét választjuk, azaz kéket húzuk és csak 0 a valószíűsége, hogy az utolsó dobozt választjuk, azaz fehéret húzuk.. megoldás. a Midegyik doboz választása egyforma, midegyiké 0. Aak esélye, hogy az első dobozból húzuk, és az fehér lesz 0. Tehát ha F jelöli azt az eseméyt, hogy fehéret húzuk, A k k {,,..., 0} pedig azt, hogy az k. dobozból húzuk, akkor p(fa 0 0, és általába k {,,...,9} eseté p(fa k 0, míg Így aak esélye, hogy fehéret húzuk: p(fa 0 0. p(f p(fa + p(fa +... + p(fa 0 9 0 + 8. Az. ábrá úgy rajzoltuk a dobozokat, hogy egyelő agyságúak legyeek és mide egyes dobozak ayiad részét festettük halváyszürkére ameyi a dobozba a fehér golyók aráya. A kérdés az, hogy a teljes területek a dobozok összterületéek háyad része a szürke terület. b Most az a kérdés, hogy a feti szürke területek háyad része esik a 0. dobozba. A szürke terület aráya az egészhez p(f 8, a 0. doboz szürke részéek aráya az egészhez p(fa 0, így a kérdezett valószíűség: 0.. p(fa 0 p(f 8 0,.. megoldás. Az. ábrá felrajzoltuk az eljáráshoz tartozó, az elágazó eseteket szimbolizáló fát, és az egyes valószíűségeket is feltütettük. Az ábrá szürkével jelöltük azokat a végállapotokat, amelyekbe -est dobtuk.

0. FELTÉTELES VALÓSZÍNŰSÉG 79 a A keresett valószíűség leolvasható az ábráról, ha a megfelelő végállapotokhoz tartozó utako képezzük a valószíűségek szorzatát, majd azok összegét: + ( 4 + 4 + 8 b Máskét: az -eshez vezető 4 + 4 + 8 9 9 0,9797., 4, 4, 8 80 MEGOLDÁSOK súlyú szálak között milye aráyú a két középső szál súlya? 4 + 4 + 4 + 4 + 8 8 9 9 9 0,78947.. megoldás. Ábrázoljuk az eseteket a valószíűségekkel területaráyos ábrá! A középső szürke sáv egy fej és egy írás dobásáak felel meg, ez kétszer akkor, mit akár a két fejek megfelelő bal oldali sáv, akár a két írásak megfelelő jobb oldali. Midegyik függőleges sávot ayi egyforma részre osztottuk, aháy oldala va a eki megfelelő poliéderek és beleírtuk a dobható számokat. Az -esekek megfelelő részt bevoalkáztuk mid a három sávba a A kérdés az ábráak megfelelőe: határozzuk meg a voalkázott rész területét a teljes területhez képest! A válasz: 4 + 4 + 4 8 9 9 0,9797.. érme. érme dobás F 0.M.. ábra. F I F I kocka tetra tetra okta 4 4 0.M.. ábra. 4 4 I 8 7 8 kocka tetraéder oktaéder 4 4 7 4 8 két fej egy fej és egy írás két írás 0.M.. ábra.

0. FELTÉTELES VALÓSZÍNŰSÉG 8 b A kérdés az ábráak megfelelőe: határozzuk meg a voalkázott szürke rész területét a teljes voalkázott területhez képest! A válasz: 4 4 + 4 + 4 8 9 0,78947.. megoldás. Ez a megoldás csak yelvezetébe új az előző megoldásokhoz képest. Vizsgáljuk az alábbi eseméyeket: az érmékkel két fejet (FF, két írást(ff, illetve egy-egy fejet és írást dobtuk (F I; -est dobtuk (D. Ismertek az alábbi valószíűségek: és feltételes valószíűségek: p(ff 4 ; p(fi ; p(ii 4 ; p(d FF ; p(d FI 4 ; p(d II 8. Meghatározadó az p(f I D feltételes valószíűség. Az ilye típusú kérdéseket oldja meg a Bayes-tétel, amelyet az FF, FI, II teljes eseméyredszerre és a D eseméyre így írhatuk fel: azaz 0.. p(fi D p(fi D p(d F Ip(F I p(d FFp(FF + p(d FIp(FI + p(d IIp(II, 4 4 + 4 + 8 4 9 0,78947.. megoldás. Dobozt választuk, utáa kihúzuk a választott dobozból egy golyót, majd egy másodikat. Alább felrajzoljuk az eljáráshoz tartozó dötési fát, ahol a dötés helyett a véletle szerepel. Az egyes valószíűségeket is feltütettük. Az ábrá szürkével jelöltük azokat a végállapotokat, amelyekbe a két kihúzott golyó szíe külöböző. A keresett valószíűség is leolvasható az ábráról, ha a megfelelő vépgállapotokhoz tartozó utako képezzük a valószíűségek szorzatát, majd azok összegét: 7 4 + 4 7 + 7 + 7 4 + 7 0,8098. 8 MEGOLDÁSOK. megoldás. Vizsgáljuk a következő eseméyeket: A h : az A dobozból húzuk; B h : a B dobozból húzuk; V : vegyese húzuk, tehát egy fehéret és egy pirosat húzuk. Mivel és P (A h, P (B h, P (V A h ( 4 7 4 4 7 7 P (V B h ( 7 0 7, ahol A h és B h komplemeter eseméyek, így alkalmazhatjuk a teljes valószíűség tételét, miszerit P (V P (V A h P (A h + P (V B h P (B h 4 7 + 0 0,8098. 0.7.. megoldás. Ábrázoljuk a hazai lakosságot, bee a tébécések és a em tébécések valamit a pozitív illetve egatív teszteredméyt produkálók halmazát az elemszámokkal területaráyos ábrá. A vastagvoalú alaphalmaz jelképeti hazák lakosságát. A bal oldali voalkázott rész az egészségeseket (azaz a em tébécések részhalmazát, a jobb oldali sima rész a tébécéseket. A szürke terület a pozitív tesztet produkálók részhalmaza. doboz választása. golyó. golyó f 7 4 A 4 7 f p f p p 0.M.. ábra. 4 f 7 B 7 f p f p p

0. FELTÉTELES VALÓSZÍNŰSÉG 8 Az egyes tartomáyok területe az egészhez képest: fehér voalkázott: 0,997 0,8 0,797; szürke voalkázott: 0,997 0, 0,994; fehér sima: 0,00 0, 0,000; szürke sima: 0.00 0,9 0,007; Az egyes kérdések megfelelői az ábrá: 0,007 0,007+0,994 a A szürke rész hayad része sima? 0,0979. Tehát pozitív teszt eseté,979% a betegség esélye. 0,000 b A fehér rész hayad része sima? 0,000+0,797 0,00079870. Tehát egatív teszt eseté csak 0,079870% a betegség esélye. c A pozitív teszt több mit égyzseresére övelte a betegség esélyét, a egatív teszt a kilecedére csökketette. Csak pozitív teszt eseté érdemes az alaposabb (és feltehetőe drágább vizsgálatokat elvégezi.. megoldás. Jelölje B és + azt az eseméyt, hogy egy véletleül választott ember beteg (tébécés, illetve azt, hogy pozitív a tesztje. B és ezek komplemeter eseméyét jelöli, tehát azt, hogy az ember em tébécés, illetve azt, hogy teszteredméye egatív. A megadott adatok a valószíűségek yelvé: p(+ B 0,9, p(+ B 0,, p(b 0,00 p( B 0,, p( B 0,8, p( B 0,997. Az a feladat a p(b +, a b feladat pedig a p(b feltételes valószíűség kiszámítása. Ezek Bayes tételével adódak: p(b + teszt, a em tbc-sek 80%-a + teszt, a em tbc-sek 0%-a p(+ Bp(B p(+ Bp(B + p(+ Bp( B 0,9 0,00 0,9 0,00 + 0, 0,997 7 0 0,0979, em tébécés 99,7% tbc-s 0,% teszt, a tbcsek 90%-a + teszt, a tbcsek 0%-a 84 MEGOLDÁSOK p(b p( Bp(B p( Bp(B + p( Bp( B 0, 0,00 0, 0,00 + 0,8 0,997 979 0,00079870 A c kérdésre a 0.7M. megoldásba olvasható a válasz. 0.8. Tekitsük az alábbi eseméyeket: a lövész az első (ötfős csoportba tartozik (C, a második (hétfős csoportba (C 7, a harmadik (égyfős csoportba (C 4, a egyedik (kétfős csoportba (C, a lövész em találja el a céltáblát ( T. A lövészek száma + 7 + 4 + 8, így a megadott adatok szerit: és p(c 8 ; p(c 7 7 8 ; p(c 4 4 8 ; p(c 8, p( T C 0,8 0 ; p( T C 7 0,7 0 ; p( T C 4 0, 4 0 ; p( T C 0, 0. Alkalmazzuk a Bayes-tételt a C, C 7, C 4, C teljes eseméyredszerre és a T eseméyre: p(c T p( T C p(c p( T C p(c + p( T C 7 p(c 7 + p( T C 4 p(c 4 + p( T C p(c 0 8 0 8 + 0 7 8 + 4 0 4 8 + 0 8 és ehhez hasolóa 0 0 + + + 0 0 7 0,748949; p(c 7 T 7 0,840; p(c 4 T 7 0,8070744; p(c T 0 7 0,748949. Tehát a második (hétfős csoporthoz tartozik a lövész a legagyobb valószíűséggel. Ez a valószíűség 7 0,840. 0.0. 7. 0.7M.. ábra.

. JÁTÉKOK 8. Játékok.. a Összese ( 0 0 külöböző egyelő esélyű esetet érdemes megkülöbözteti. Ebből esetbe va telitalálatuk és ( 9 9 8 7 esetbe fordul elő, hogy ics egyáltalá találatuk, tehát 0 7 8 eset felel meg -találatos szelvéyek. Átlagos yereméyük tehát 000 + 8 00 0 900 0 4,74874. Ezt a játékot em érdemes játszai, hisze húzásokét átlagosa 00 4,74874 4,87487 Ft veszteségük lesz rajta. b szám eseté összese ( ( eset va, ebből telitalálatos és ( ( ( ulla találatos, tehát ( egy találatos. Átlagos yereméyük ( ( 000 + ( 4 00 00 ( 4 4 + 8 (. az a kérdés, hogy ez a yereméy mikor agyobb vagy egyelő a befizetett összegél, 00-ál, tehát mely -re teljesül az 4 + 8 ( egyelőtleség. A pozitív evezővel átszorozva és redezve az 9 4 0 másodfokú egyelőtleséghez jutuk. A bal oldali poliom gyökei, 9 ± 77 {, és, tehát a bal oldali poliom, melyek grafikoja fölfelé yíló parabola a (,;, itervallumba egatív, azaz -től számig érdemes a játékot játszai. pl. szám eseté átlagos yereméyük húzásokét Ft. 00 4 + 8 0 00 00 0 8 MEGOLDÁSOK.. Foglaljuk táblázatba a lehetőségeket! Az oszlopok az A játékos lehetséges dobásaiak (A, a sorok a B játékos lehetséges dobásaiak (B felelek meg. A mező felel meg a lehetséges esetek. A jelet tettük azokak az esetekek a helyére, amelyekél újat kell dobi, az A jeletttettük oda, ahol az A, a B jelet ahol a B játékos a yerő. A 4 B A A A A A B B A A A A B 4 B B B A A A B B B B A A B B B B B A A mezőből 0-ál ics új dobás és ezekél yerő az A illetve a B játékosak, így igazságos a játék, a két játékos yerési esélye megegyezik... a 0,07%, b,7%... A.S. segítség szellemébe Adrás felírhatja pl. így a számokat a kockákra: I. kocka: 4 II. kocka: 7 8 9 0 III. kocka: 4 7 8 Hasolítsuk össze ezeket a kockákat! Táblázatokat készítük a kockapárok összehasolítására, az egyes mezőkbe aak a kockáak a kódját írjuk, amelyik a mező soráak és oszlopáak megfelelő értékek közül a agyobbikhoz tartozik. I II. I. 4 7 II. II. I. I. I. I. 8 II. II. I. I. I. I. 9 II. II. I. I. I. I. II. 0 II. II. I. I. I. I. II. II. I. I. I. I. II. II. I. I. I. I. Tehát az I. kocka 4 : aráyba legyőzi a II. kockát, azaz kettejük csatájába valószíűséggel az I-es yer.

. JÁTÉKOK 87 II III. II. 7 8 9 0 II. II. II. II. II. II. 4 II. II. II. II. II. II. II. II. II. II. II. II. III. II. II. II. II. II. II. 7 I. I. I. I. I. I. 8 I. I. I. I. I. I. Tehát a II. kocka 4 : aráyba legyőzi a III. kockát, azaz kettejük csatájába valószíűséggel a II-es yer. III I. III. 4 7 8 III. III. III. III. III. III. III. III. III. III. III. III. I. I. I. I. III. III. I. 4 I. I. I. I. III. III. I. I. I. I. III. III. I. I. I. I. III. III. Tehát a III. kocka 0 : aráyba legyőzi az I. kockát, azaz kettejük csatájába 0 9 valószíűséggel a III-as yer. A három kocka körbeveri egymást, bármelyiket választja B aál tud jobbat választai A..8. Jelölje a fehér golyók számát f, a pirosakét p. A jele feladatba tehát p 0. Két golyó összese ( p+f (p+f(p+f -féleképpe választható ki és ebből pf esetbe külöböző szíű a két golyó. Akkor igazságos a játék, ha ez fele az összes esetek: (p + f(p + f 4pf. ( A p 0 esetbe ebből az alábbi másodfokú egyeletet kapjuk f-re: f f + 90 0. A másodfokú egyelet midkét gyöke pozitív egész: f, f. Alább táblázatba elleőrizzük a két megoldás helyességét: ( f ( p pf f 4 0 f 0 4 0 Az utolsó oszlopba álló szám az előző két oszlopba álló két szám összege, ami mutatja a megoldások helyességét. 88 MEGOLDÁSOK.9. A.8M. megoldásba felírt (p + f(p + f 4pf. egyeletet az általáos esetbe is kezelhetjük f-re voatkozó másodfokú egyeletkét: f (p + f + p(p 0. ( Eek diszkrimiása: D f (p + 4p(p 8p +. ( Az f ismeretle értéke csak akkor lesz egész, ha ez a diszkrimiás égyzetszám. A ( alak szerit ez páratla is, tehát D f egy pozitív páratla szám égyzete: D f (, ( ahol tetszőleges pozitív egész szám. A (- összefüggésekből ( ( p, (4 míg az másodfokú egyeletre voatkozó megoldóképletből azaz f p + ± D f { f + ( + ± ( ( + ( (+ + ( ( ( azaz potosa akkor igazságos a játék, ha a piros és a fehér golyók száma két szomszédos háromszögszám..0.. megoldás. Jelölje a fehér golyók számát f, a pirosakét p. A játék potosa akkor igazságos, ha ( ( p p + f, azaz ha p + f p p + f. ( p Vegyük észre, hogy a ( összefüggés bal oldalá álló törtek egyél agyobbak. Köye megmutatható, hogy ilye törtek számlálóját és evezőjét eggyel-eggyel övelve a tört értéke csökke: p + f p < p + f, p

. JÁTÉKOK 89 azaz p + f p A két oldalt külö-külö p-re redezve kapjuk, hogy < < p + f. ( p ( + f < p < + ( + f. ( A ( relációkak mide f egész számhoz csak egyetle p egész szám felel meg. Az első hét eset összevetve a ( egyelettel: p+f p f becslés p f,44 < p <,44 p f 4,884 < p <,88 p /0 f 7,4 < p < 8,47 p 8 /8 f 4 9,8 < p < 0,9 p 0 9/4 f,070 < p <,07 p / f 4,48 < p <,48 p f 7,8994 < p < 7,899 p 7 9/4 p+f p Ebből látható, hogy az f, p pár a legkisebb megoldás, míg a következő az f, p pár és itt f páros.. megoldás. Jelölje a fehér golyók számát f, a pirosakét p. A játék potosa akkor igazságos, ha ( ( p p + f, azaz ha Ez az egyelet p-be másodfokú: amiből p(p (p + f(p + f. ( p (f + p f(f 0, ( p f + ± 8f +, tehát a f F rövidítő jelöléssel p F + ± F +. Itt p potosa akkor egész, ha F olya egész szám, amelyre F + égyzetszám. Ha viszot F + égyzetszám, akkor páratla, sőt yolcas maradéka, így F páros és így f is egész. Tehát a feladat a F + N ( 90 MEGOLDÁSOK egyeletre, egy Pell egyeletre vezet. Erről a kokrét egyeletről olvashatuk a Bergegóc Példatárba is (LÁSDDDDD!!!!. A ( Pell egyelet és feladatuk (pozitív változóit a p F + N +, f F (4 összefüggések kapcsolják össze. A legkisebb megoldásokat próbálkozással vagy Excellel is megtalálhatjuk: a F, N p, f ; b F, N 7 p, f, ez téyleg jó b-re, hisze f páros... A lehetséges leosztások száma ( 9890 a pár: (4 ( 4 ( 09840 9890 0,4907, hisze -féleképpe választható ki az a figura vagy szám,amelyből kettő lesz a kézbe, aak égy szíéből ( 4 - féleképpe választható ki a pár, míg a maradék három lap ( 4 -féleképpe választható meg, hisze em lehet köztük pár, így formájukat a maradék figura ill. szám közül úgy kell választai, hogy külöbözőek legyeek ( (, a szíűket pedig ezek utá tetszőlegese (4. b két pár: ( (( 4 44 ( 9890 0,04790, hisze ( -féleképpe választható ki az a két figura vagy szám, amelyekből pár lesz a kézbe, azok égy szíéből redre ( 4 -féleképpe választható ki a pár, míg az ötödik lap az ezektől a figuráktól külöböző 44 lap közül tetszőlegese választható. c drill: (4 ( 4 ( 49 9890 0,0844. d sor: Az összes sorból le kell voi a szísorok (straight flush, a h feladatrészbe számát. Az összes sor száma: 0 4, hisze a sor legkisebb lapja tízféleképpe választható meg (lásd a h feladat megoldását és a sor mide tagjáak szíe 4 4-féleképpe adható meg. A valószíűség: 0 4 40 ( 000 9890 0,009448. e flush: Az összes egyszíű ötösből le kell voi a szísorok (straight flush, a h feladatrészbe számát. Az összes egyszíű ötös száma: 4 ( 48, mert a égy szí valamelyikéből kell lapot kiválasztai. A valószíűség: 4 ( 40 ( 08 9890 0,00940. f full: (4 ( 4 ( 744 9890 0,004407. g póker: 48 ( 4 9890 0,00040090. h straight flush: ( 4 0 40 9890 0,0000908, mert égyféleképpe választható ki a szí és a sor legalacsoyabb lapja lehet Ász,,,..., 0. (Az Ász,,, 4, lapok sort alkotak, és 0-estől Ászig is mehet sor, de körbe em mehet sor, pl. Király em lehet sor legkisebb lapja.

. JÁTÉKOK 9.. a Legye a kockák szíe piros (P, kék (K, zöld (Z, sárga (S és fehér (F! Alább elkezdjük összegyűjtei az eseteket: P K Z S F... 4.... A drillt adó lehetőségek száma ( 4 00, hisze az öt kocka közül ( -féleképpe választhatjuk ki azt a hármat, amelyeke egyforma számok vaak, eek értéke hatféle lehet, a balról első kimaradó kocká az ettől külöböző ötféle szám bármelyike állhat, míg a még em említett kockára égyféle lehetőség va. A kérdezett valószíűség tehát 00 00 777 0,409877. b kétfajta sor va: a kissor -től -ig, a agysor -től -ig megy. Az egyes számokat midkét esetbe! 0-féleképpe oszthatjuk ki a kockák között, tehát a kérdezett valószíűség: 40 777 0,008497... Vázlatosa: Nem elég a két játékos potjáak várható értékét összehasolítai. Az egyes potpárokkal, azaz a lehetséges meccsekkel kell számoli. Tehát jelölje E 00, E 04, E 0, E 4 redre azt az eseméyt, hogy az Első játékosak 0, 4, 0 illetve 4 potja va, míg M 00, M 04, M 0, M 08, M 0, M 4 redre azt az eseméyt, hogy Másodikak 0, 4,, 8, 0 illetve 4 potja va, valamit legye E az az eseméy, hogy Első yer. A szabályok szerit E E 04 M 00 +E 0 (M 00 +M 04 +M 0 +M 08 +E 4 (M 00 +M 04 +M 0 +M 08 +M 0, így a p(e valószíűség is e képlet alapjá számoladó. Végül az x összeg értéke a aráyosságból számítható ki. p(e p(e x 00 9 MEGOLDÁSOK.4. a A húzások száma szepotjából egy p 4 7 paraméterű geometriai eloszlásról va szó. Eek várható értéke, azaz a játék átlagos hossza p 7 4,7. b Ha em fizet előzetese semmit, akkor A várható yereméye, az E A meyiség kielégíti az alábbi összefüggést: E A 4 7 0 + 7 (0 + E A + 7 (0 + E A, hisze az esetek 4 7 részébe A azoal zöldet húz és így em yer semmit, az esetek 7 részébe pirosat húz, amivel 0 Ft-ot yer és újrakezdi a játékot a továbbiakba átlagosa E A összeget yer, végül az esetek 7 részébe fehéret húz, 0 Ft-ot kap és kezdi előlről a játékot. A feti egyeletből E A 0, tehát átlagosa 0 Ft-ot yere A, akkor igazságos a játék, ha ezt az x összeget fizeti ki előre B-ek... A válasz, ezt alább idokoljuk. Képzeljük el Aa és Balázs összes lehetséges ( dobásból álló sorozatait (ez egyelő esélyű sorozatpár. Ezek közül a esetbe Aa dobott több fejet d esetbe ugyayi fejet dobtak, míg b esetbe Balázs dobott többet. Nyilvávaló, hogy a b. Aa most még egyet dob. Ha már eddig is több fejet dobott, mit Balázs, akkor akár fejet, akár írást dob ála lesz több fej. Ha eddig ugyaayi fejet dobtak, akkor potosa akkor lesz ála több fej, ha új dobása fej. Ha pedig Balázs dobott az első ( dobásba több fejez, akkor bármit dob, m tudja megelőzi Balázst. Tehát (a + d esetbe lesz Aáál több fej, és (d + b esetbe em lesz ála több fej. Mivel a b, így (a + d (d + b, azaz ugyaayi esetbe dobb több fejet Aa, mit ameyibe em dob többet, a fet megadott válasz igazolást yert.... megoldás. Összese ( 0 sorredbe lehet kihúzi mid az öt golyót. Az alábbi táblázatba a yerő golyókat N-el, a vesztőket V -vel jelöltük és a bal oldali oszlopba összegyűjtöttük a lehetséges kihúzási sorredeket. sorred megállás yereség NNVVV N 0 NVNVV N 0 NVVNV N 0 NVVVN N 0 VNNVV VN 0 VNVNV VN 0 VNVVN VN 0 VVNNV VVNN 0 VVNVN VVNVN 0 VVVNN VVVNN 0

. JÁTÉKOK 9 A táblázat második oszlopába azt írtuk le, hogy hol javasoljuk a játék befejezését. Rövide összefoglalva: játsszuk, de álljuk meg azoal, ha már em veszteséges ekük az adott játék, illetve ha em jutuk ilye helyzetbe, akkor húzzuk ki az összes golyót. A harmadik oszlopba írtuk az adott esethez tartozó yereméyüket. A tíz eset egyelő esélyű, így az ebbe az oszlopba található számok átlaga, a, az átlagos yereméyt adja meg, ha a feti stratégiával játsszuk midig a játékot. Mivel az átlagos yereméy pozitív, így érdemes játszai a játékot ezzel a stratégiával. I. megjegyzés Ha az péz egy arayrudat jelet, akkor erőse meggodoladó, hogy játsszuk, hisze komoly esélye va, hogy vesztük és így tökremegyük. Tehát az érdemese játszai kérdésre a válasz em csak a yereméy várható értéké múlik. II. megjegyzés Általába a stratégia a táblázat második, a megállás oszlopába található sorozatok megadását jeleti. Nem írhatuk ide 0 tetszőleges sorozatot. Ha egyszer úgy dötöttük, hogy valahol befejezzük a játékot, akkor egy másik esetbe em folytathatjuk ugyaoa tovább vagy em állhatuk meg hamarabb: pl. em lehet az NNVVV esetbe a megállás NN-él 0-as yereméyel, míg NVNVV eseté N-él 0-es yereméyel. A megállás oszlopába tehát egyik sorozat sem lehet egy másik kezdőszelete. Ugyaakkor mid a 0 sorozatak kell legye ebbe az oszlopba kezdőszelete (ami lehet maga az öttagú sorozat is, hisze mide esetbe el kell tuduk dötei mikor álluk meg. Megmutatható, hogy a lehetséges stratégiák között ics a fetiél jobb, azaz olya, amelyél a yereméy átlagos értéke -él agyobb lee. 94 MEGOLDÁSOK és v vesztő golyó marad az urába, míg +v eséllyel vesztő golyót húzuk, tehát vesztük pézt és a létrejött állapotba yerő és (v vesztő golyó marad az urába. Persze lehet, hogy em is érdemes húzi. Eek alapjá: E(, v { v v +v ( + E,v + +v ( + E,v ha ez pozitív 0 egyébkét A feti ábrá leolvashatók a rekurzió alapjá kiszámolt E,k -értékek. A kokrét feladat megoldásához csak a szürké csíkozott téglalapba eső értékeket kell sorba meghatározi, hogy eljussuk a vizsgált E, értékhez. Ez pozitív, tehát a Kiek kedvez ez a játék? Érdemes-e kéri egyáltalá húzást? kérdésekre az a válasz, hogy a játékosak kedvez a játék, érdemes húzia. A stratégia is leolvasható, hisze ahol 0 va a táblázatba, ott em érdemes húzi, azzal biztosa em járuk jobba. Így a táblázat alapjá az első húzást követőe potosa akkor álluk meg és em játsszuk végig a játékot, ha olya állapotot érük el, amelybe több vesztő golyó va a dobozba, mit yerő. 4 v 0 0 0 E,k értékei (. megoldás. Kezeljük a feladatot általáosa! Az egyszerűség kedvéért legye most a yerő golyó húzásáért kapott illetve a vesztőért befizetedő összeg 0 helyett csak egységyi péz és jelölje a yerő golyók számát, v pedig a vesztőkét. A játékos optimális stratégia melletti várható yereméyét jelölje ebbe az általáos esetbe E,v. E,v 0, hisze ha a játékos em játszik, akkor 0 a várható yereméye, és a em játszás is egy lehetséges stratégia, eél egy optimális stratégia em lehet rosszabb. Mide emegatív és v értékhez tartozik egy-egy egyértelműe meghatározott E,v szám, melyek alább meg is adjuk a rekurzív előállítását. Ehhez először is vegyük észre, hogy E 0,v 0 azaz ha ics yerő golyó, akkor em érdemes játszai, míg E,0, tehát ha csak yerő golyók vaak, akkor azokat mid érdemes kihúzi. Tehát az E,v számok meghatározásakor a Pascal háromszöghöz hasolóa egy számháromszöget kell kitölteük, amelyek már látjuk a szélét. Az, v esetbe az E,v kifejezést rekurzíva állíthatjuk elő az alábbi godolatmeettel. Ha yerő és v vesztő golyó va és húzuk, akkor +v eséllyel yerő golyót húzuk, tehát yerük pézt és a létrejött állapotba ( yerő 0 0 0 0 0 0 4 0 4 0 4 9 4.M.. ábra.

. MARKOV LÁNCOK 9. Markov lácok... megoldás. A próbáak öt állapota va: V a vitéz vesztett, A 0 még három-, A még két-, A még egy próba va a vitéz előtt, Ny a vitéz yert. Jelölje az egyes állapotokból idulva a vitéz yerési esélyét p V, p 0, p, p és p Ny. Értelemszerűe p V 0 és p Ny, míg a többi ismeretle valószíűségre felírható egy egyeletredszer. Az. ábra alapjá: p 0 0 + p, p p 0 + p, p p +. Az első és utolsó egyeletből kifejezzük p -gyel p 0 -t illetve p -t és ezeket a középső egyeletbe helyettesítjük: p ( p + ( p +, azaz p 4 9 p + 4 9, 9 p 4 9, p 4, és ebből a keresett valószíűség p 0 p 8. 8. megoldás.. A feladat a.. feladatba vizsgált Ferde foci egyik változata, a vitéz a [0, 4] pályá focizik, b eséllyel balra, j eséllyel jobbra lép, -ről idul és 4-be szerete juti... b A keresett valószíűség 0. A valszamgeomeloszlas0ha. feladat alapjá ugyais világos, hogy valószíűséggel lesz egymás utái dobás, amelyik mid fej. Eyi egymást követő fej dobás biztos beviszi az egyik kapuba a labdát. a Jelölje az A játékos yerési esélyét tehát azt, hogy a -os kapuba kerül a labda p i, ha kezdetbe az i számál áll a bőrgolyó. Az értelmezés szerit tehát p 0 0 és p. Ha a labda b valószíűséggel megy balra és b j valószíűséggel jobbra, akkor p k b p k + j p k+, ha k {,,,4,}, ( V A 0 A A Ny.M.. ábra. 9 MEGOLDÁSOK az a feladatba tehát p k p k + p k+. ( A {p k } sorozat bármelyik tagja a szomszédaiak számtai közepe, tehát ez a sorozat számtai sorozat. A sorozat 0. tagja 0, a. tagja, közötte egyeletese oszlik el: p, p, p, p 4 4, p A kérdezett valószíűség tehát p. c A feti ( képletet most a b, j paraméterekkel kell alkalmazi, tehát ( aalogojakét a p k p k + p k+ összefüggéshez jutuk. Képzeljük el a p 0, p, p, p, p 4, p, p számokat a számegyeese. A ( formula a vektorgeometriából ismert: godoljuk az osztópot helyvektorára. Ha így ézük rá, akkor ( elárulja, hogy a p k számak megfelelő pot a számegyeese a p k, p k+ számokak megfelelő potok harmadolópotja, méghozzá a p k+ -hez közelebbi harmadolópot. Ha p p p x, akkor p p 4 x, p 4 p 4x, p p 8x, p p x, végül p p 0 p x. Mivel p p 0 (p p + (p p 4 +... + (p p 0 x + x +... + x, így x ++4+8++ és p, p 48, p, p 4 0, p. A kérdezett valószíűség tehát p 48... 0%..4. a Akárhol is va a kockába a pot, ha ötször egymás utá felfelé lép, akkor biztosa kijut a felszíre. Így valószíűséggel kijut a felszíre, hisze az is igaz, hogy a térbeli égyzetrácsba véletleszerűe vádorló pot egy valószíűséggel fog egymás utá ötször felfelép lépi. Valóba, valószíűséggel felfelé lép és így csak > p ( 777 777 valószíűséggel em lesz öt egymást követő lépéséek midegyike felfelé iráyú... (ie lásd a 7.8. feladatot. b A redszerek most öt állapota va: a pot lehet a kocka közepé (K, a lap közepé (L, az él közepé (E, a csúcsál azaz a sarko (S, illetve lehet kit a felszíe (F. Az. ábrá láthatók az egyes állapotok közti átmeeti valószíűségek. (

. A SZÓRÁS 97 Mivel a kocka közepéből (K idulva rögtö a lap közepére (L érkezük, így úgy tekitjük, mitha oa kezdőde a meet és az a kérdés, hogy melyik állapotba jutuk el hamarabb, F-be vagy K-ba. Jelölje redre p K, p L, p E, p S, p F aak valószíűségét, hogy a K, L, E, S, F állapotból idulva előbb jutok F-be, mit K-ba. A feladat ( p L értékére kérdez rá, és tudjuk, hogy p K 0, p F. Az. ábra alapjá az alábbi egyeleteket írhatjuk fel: p L 4 p E +, p E p L + p S +, p S p E +. A két szélső egyeletből kifejezzük p E -vel p L -t és p S -t és a középsőbe helyettesítük: p E ( 4 p E + + ( p E + +, azaz p E 4 p E + 0, p E 0, és így p L 7, tehát a kérdezett valószíűség: ( p L... a 0 (lásd pld a.4. feladatot. b 4 7.. A szórás.. Ha tagból áll a számsokaság, akkor szóráségyzetéek azaz tagjaiak az átlagól való eltéréséek átlagos égyzetes eltéréséek -szerese így írható: D (x x + (x x + (x x +... + (x x. K L E S F 4.4M.. ábra. 98 MEGOLDÁSOK Azok az x i elemek, amelyek kívül vaak az [x D; x + D] itervallumo egyegy 4D -él agyobb tagot hozak be a feti egyelet jobb oldalára, így biztos, hogy 4 -él kevesebbe vaak (hisze a többi tag is emegatív. Tehát az adott itervallumo kívül az elemekek kevesebb, mit %-a va, több mit 7% az itervallumba va. Aak az adatsokaságak, melybe a tagok 4-ed része megegyezik az átlaggal, míg a maradék 4-ed rész az átlagtól D-vel tér el a fele felfelé, a fele lefelé, hogy kijöjjö az átlag a szórása éppe D, így az állítás em javítható... Az 9 -ed részél kevesebb. Tehát az elemek legalább 8 9-ed része, azaz kb. 88.89%-a az itervallumo belül va... Csebisev tulajdoság Állítjuk, hogy ha egy H számsokaság átlaga x, szórása D és B > tetszőleges szám, akkor a számsokaság elemeiek B -él kisebb része va az [x BD; x + + BD] itervallumo kívül. Ha ugyais legalább eyi elem kívül lee, akkor azok átlagtól való távolságáak égyzetösszege B (BD D -él több lee, így a szóráségyzet is több lee D -él..4. Az.. feladatba láttuk, hogy ha egy számsokaság mide eleméhez hozzáaduk a-t, akkor a számsokaság átlaga a-val ő, szórása változatla, míg ha λ-val szorzuk mide elemet, akkor az átlag és a szórás is λ-val szorzódik. Ebből következik, hogy a H x D számsokaság átlaga 0, szórása. Defiíció A H x D számsokaságot a H számsokaság stadardizáltjáak evezzük. 4. Vegyes feladatok 4.. A yolc bábu helyét összese ( 4 8 -féleképpe jelölhetjük ki. Azok a kijelölések felelek meg a vizsgált eseméyek, amelyekbe az első sor valamelyik mezőjé va az egyik bábu (ez 8 lehetőség, a második sor valamelyiké az előző bábu oszlopától külöböző helye va egy másik bábu (ez 7, összese eddig 8 7 lehetőség stb. A megfelelő lehetőségek száma tehát 8!. A kérdezett valószíűség: 4.. 00. 4.. 8! ( 4 8 8! 4 0 9 8 7 8! (8! 4 0 9 8 7 9.094799 0.

4. VEGYES FELADATOK 99. megoldás. a A két állat csak az átló találkozhat, miutá midkettő égyet lépett. Négy lépését midkette 4 -féleképpe tehetik meg. Az átló egyes mezőire midkét álat redre -féleképpe, tehát, 4,, 4, 4, 4 4, 4, 4 4, 4 valószíűséggel juthat el. Így aak valószíűsége, hogy az átló egyik kokrét mezőjé találkozzaak redre azaz összese ( 4, ( 4 4, ( 4, ( 4 4, + + + + 8 70 8 0,747. ( 4, b az a esethez hasolóa az -es táblá a keresett valószíűség (( (( 0 + (( + (( +... +.. megoldás. a Képzeljük el, hogy a macska és az egér találkozak, majd a macska az egér yomá visszafelé végighaladva elmegy az egérlukig. Ilymódo a macska a tábla egyik sarkából az azzal átellees sarkáig jut el. Az ilye utakak a számát adják meg a Pascal háromszög számai: ez most ( 8 4 70. A (macskáak kedvező esetek száma tehát ( 8 4, míg összese ( 4 eset va, így a kérdezett valószíűség: ( 8 4 8 70 8 0,747. b az a esethez hasolóa az -es táblá a keresett valószíűség ( 4... 00 MEGOLDÁSOK. megoldás. Két csapatot választuk, egy Elsőt és egy Másodikat. Ehhez azoba elég az Első csapatot kiválasztai, a maradék lesz a Második. A kérdés így is fogalmazható: Meyi az esélye, hogy az Első csapatba a két legjobb játékos közül potosa egy kerül?. A játékosból az Első csapatba játszó -et összese ( -féleképpe választhatjuk ki. Az a kedvező, ha ebbe a -be a legjobb közül -et, a maradék 0-ból pedig 0-et választuk. Erre ( ( 0 0 lehetőség va. Az eredméy: ( 0 p ( 0 0,8098. (. megoldás. [7] Képzeljük el úgy, hogy egy sorba va egymás mellett hely, az első helyre kerülőkből fog álli az. csapat, a. helyre kerülőkből pedig a. csapat. A két legjobb játékos helyét összese ( -féleképpe választhatjuk ki a helyből. Az ( a kedvező, ha egy-egy hely kerül az első illetve a második helyre, erre ( lehetőség va. A kérdezett valószíűség értéke: ( ( (.. megoldás. Az első legjobb játékost bármelyik csapatba rakjuk, a második legjobb játékosak mellé az első csapatába még 0 helyre kerülhet, míg a másik csapatba helyre. Így 0,8098 az esélye, hogy külöböző csapatba kerülek. 4.8. Lásd [4]: 4.9. http://matek.fazekas.hu/portal/taitasiayagok/oroszgyula/val/v4.html. megoldás. Aak valószíűsége, hogy öt dobásból három fej lesz (biomiális eloszlás: ( w p ( p. Ábrázoljuk a feti képlet jobb oldalá álló kifejezést, mit p függvéyét a [0; ] itervallumba! (Haszálhatjuk pl. a GeoGebra, Excel, Derive, Cabri stb szoftvert. A grafikoról leolvasható, hogy két megoldás va, a d válasz a helyes.

4. VEGYES FELADATOK 0. megoldás. Helyettesítsük a w értékét megadó f(p 0p ( p függvéybe a p p, p értékeket! f ( 44, f (, f ( 0. Tehát p jó megoldás, de p túl agy, míg p túl kis értéket ad f(p w-re. Az f függvéy folytoos, így e két érték között föl fogja vei a 44 értéket, tehát lesz egy olya p a [ 44, ] itervallumba, amelyre f(p. Ezért a d válasz a helyes. 4... megoldás. Számoljuk össze a rossz eseteket, azokat, amelyekbe egymás mellé kerül legalább két zöld golyó. Csoportosítsuk a lehetőségeket az alábbiak szerit: A: két szomszédos zöld va, a másik kettő ics ezek mellett és egymás mellett sem; B : három szomszédos zöld va, a egyedik ics ezek mellett; C : két-két szomszédos zöld va, de a két pár em szomszédos; D: mid a égy zöld szomszédos. A D esetbe az darab zöld blokkot, a piros és az fehér golyót kell elredezük, erre 9!!! 04 lehetőség va. A C esetek megfelelő egyforma zöld blokkot, a piros és az fehér golyót 0!!!! 0-féleképpe redezhetjük el, de ebbe bee vaak azok a lehetőségek is, amikor a két zöld blokk is szomszédos. A rossz esetek épp a D esetet adják, tehát a C-ek megfelelő elredezések száma 0 04 0. A B esetbe külöböző méretű zöld blokk va a piros és az fehér golyó mellett, így az elredezések száma 0!!! 040, de ebbe mide D-beli elredezés is bee va kétszer: a égy szomszédos zöldből a bal oldali három egy blokk, vagy a jobb oldali három. A téylegese B-hez tartozó esetek száma tehát 040 04 40. Az A esetbe hosszú zöld blokkot, zöld, piros és fehér golyót kell elredezük, amire!!!! 770 lehetőség va. Ebbe bee vaak a D-hez tartozó 44 0 y 0 4.9M.. ábra. x 0 MEGOLDÁSOK esetek háromszor (a égy szomszédos zöld között a kettes blokk balra, középe vagy jobbra va, a C-hez tartozók kétszer (a két kettes közül melyik a valóba kettes blokk, és a B-hez tartozók is kétszer (a három szomszédos zöld között melyik két szomszédos a kettes blokk. A valóba A-hoz tartozó esetk száma tehát 770 04 0 40 4. A rossz esetek száma összese: 04 + 0 + 40 + 4 04. Az összes eset száma! 4!!! 770, tehát azokak az esetekek a száma, amelyekbe icseek szomszédos zöldek 770 04 70. Aak valószíűsége, hogy em kerül egymás mellé zöld golyó 70 770 4 0,4444.. megoldás. Helyezzük el először a fehér és piros golyókat! Midegyik sorredjük egyformá valószíű. A zöld golyókat, ha em akarjuk, hogy legyeek köztük szomszédosak, akkor ezek közé a golyók közé kell elhelyezük, midegyik közbe legfeljebb egyet. Tehát ki kell választauk a 8 már lerakott golyó közti és melletti helyek összese 9 hely közül azt a 4-et, amelybe teszük egy-egy zöld golyót. A lehetőségek száma tehát ( 9 4. Most számoljuk össze az összes esetet! helyre kell lerakuk golyókat. A helyből a zöldek helyét ( 4 -féleképpe választhatjuk meg. A maradék 8 helyre kerülek a pirosak és a fehérek, amelyeket már fet sem külöböztettük meg egymástól (midegyik elredezésük ugyaayiszor számítaa az előző bekezdésbe is, mit itt. A keresett valószíűség: ( 9 4 4.. ( 9 8 7 0 9 8 7 0 4 0,4444. 4. megoldás. Lásd http://www.komal.hu/versey/feladat.cgi?afeladat&fb88&lhu. megoldás. Jelölje közlekedési lámpa eseté aak esélyét, hogy em találkozuk közvetleül egymás utá két tilos jelzéssel p. Tehát p és p 0,4 0,84. Tekitsük most lámpa esetét, ahol <.

4. VEGYES FELADATOK 0 Ha az utolsó lámpa piros (eek esélye 0,4, akkor az előtte levőek zöldek kell leie (eek esélye 0, és az első ( lámpa tetszőleges, csak e legye két egymást követő piros (eek esélye p. Ha viszot az utolsó lámpa zöld (eek esélye 0,, akkor az előtte levő ( lámpa tetszőleges, csak e legye köztük két egymást követő piros (eek esélye p. Eek alapjá a rekurzió: p 0,4 0, p + 0,p. A sorozat tagjait Excel vagy OpeOffice Calc programmal is kiszámíthatjuk: p ; p 0,84; p 0,744; p 4 0,48; p 0,7; p 0,499; p 7 0,478; p 8 0,7944. Tehát a kérdezett valószíűség 0,7944. 4.. Egy adott szám akkor lesz a kisebbik kihúzott szám, ha őt kihúzták, és a másik kihúzott szám a ála agyobb számok közül került ki. Így a kedvező esetek száma köye kiszámolható. Alább figyelembe vesszük, hogy összese ( ( 0 4 eset va. Jelölje χ a legkisebb számot! Ekkor p(χ 9 8 ; p(χ 4 4 ; p(χ 7 4 ;... ;... ; p(χ 8, p(χ 9, p(χ 0 0, 4 4 általába tehát p(χ i 0 i 4, ahol i {,,,..., 0}. a A kisebbik szám legvalószíűbb értéke tehát. b A kisebbik szám várható értéke: 0 E i p(χ i 9 + 8 + 7 +... + 8 + 9 4 i 4,7. c Mivel most p(χ i i, így a várható értékre voatkozó formula ebbe ( az esetbe E i p(χ i ( i i ( i. A feti képlet végé egy összeg áll, amelyek tagjai olya szorzatok, amelybe a két téyező összege. Tehát a szorzótábla ( -edik átlójába álló számokról i 04 MEGOLDÁSOK va szó. A K.I.0.79. feladatból tudjuk, hogy eek az összegek az értéke ( +, azaz ( + ( + ( E +. ( ( Ez az eredméy összhagba va a b feladatra kapott speciális esetre voatkozó eredméyel. d A p(χ i + p(χ i i i háyados értéke midig kisebb -él, tehát i övekedtével p(χ i értéke is ő, azaz a kisebbik szám legvalószíűbb értéke az. 4.. Jelölje χ a második legkisebb számot! Ekkor általába ( i ( 0 i p(χ i ( 0, 4 míg kokréta (az Excel vagy az OpeOffice Calc programmal számolva: p(χ 0, p(χ (8 ( 0 4 0,, p(χ ( ( 7 ( 0 4 p(χ ( (4 ( 0 4 p(χ 7 ( ( 0, p(χ 4 ( ( 0,4874, ( 0 4 0,904790 p(χ ( ( 4 0,48749, ( 0 4 0,087487 p(χ 8 (7 ( 0 4 0,0, ( 0 4 p(χ 9 0, p(χ 0 0. a A feti adatok alapjá a második legkisebb szám legvalószíűbb értéke a 4. b A feti adatokkal az E 8 i i p(χ i ( 0 4 8 ( i i i ( 0 i összeget az Excel vagy az OpeOffice Calc programmal kiszámolva az E 4,4 közelítő értékhet jutuk. Valójába ez a potos eredméy, mit ahogy az általáos eset levezetéséből alább kiderül. c Az általáos esetbe a várható érték összeg alakja: E i p(χ i ( i 4 i i ( i ( i

4. VEGYES FELADATOK 0 azaz ( 4 i E ( 4 i(i i ( i ( i ( i. ( ( A K.I.0.79M példamegoldáshoz hasolóa kombiatorikai értelmezést aduk a i ( i kifejezések és a belőle felépülő összegek. Ha az {,,,..., (,, ( + } halmaz elemeiből kiválasztuk ötöt, akkor az (i+ szám épp eyiféleképpe lehet a középső. Valóba, az {,,, 4,..., (i, i} számok közül kell kiválasztai kettőt, a két legkisebb számot ez ( i lehetőség és az {(i +, (i +,..., (,, ( + } számok ( közül tehát ( i szám közül is kettőt, a két legagyobbat ez i lehetőség. Az jobb oldalá található összegbe, ahogy haladuk i-vel sorra vesszük a lehetőségeket a középső számra, tehát az összeg értéke ( +. Így E ( 4 Pl. 0 eseté E így d Mivel p(χ i + p(χ i ( + (+ ( ( ( 4 ( ( ( 4 +. 4,4 összhagba a b feladat eredméyével. p(χ i ( i ( i (, 4 i ( i ( i (i ( i( i i ( i (i ( i Az i övekedtével meddig ő p(χ i értéke, tehát meddig agyobb -él a ( tört értéke? A i ( i > i ( i > (i ( i (i ( i i i i > i i + i > i ( 0 MEGOLDÁSOK levezetés szerit ha i <, akkor még érdemes öveli i-t, tehát az tört felső egészrészéél va a maximum (az -ál em kisebb legkisebb egészél illetve, ha egész, akkor az eél eggyel agyobb számál is maximális a valószíűség. pl. 0 eseté,..., így 4-él va a maximum, ahogy az a feladatbaa láttuk is. De eseté 4 és egyarát maximális. 4.7. Ige, lehetséges. Jelöljük a játékosokat Élő-potjuk szeriti erősorredbe az,,,..., 9 számokkal! Az alábbi táblázat az I., II., III. csapatok egy olya összeállítását tartalmazza, amelyél a csapatok körbeverik egymást. I. csapat II. csapat II. csapat. tábla:. tábla: 4. tábla: 8 9 7 Az erősorredek szerit az I. csapat : -re veri a II. csapatot, a II. csapat ugyailye aráyba győz a III. elleébe, végül a III. csapat is : -re az I-t. 4... megoldás. Számozzuk meg a perselyeket -től 0-ig, az -est és a -est törjük össze. i,,..., 0 ra legye π(i az i. perselybe lévő kulcshoz tartozó persely száma. Ez egy permutáció, eek ciklikus szerkezetét vizsgáljuk. Ha az i. perselyt kiyitottuk, akkor a π(i-ediket is ki tudjuk yiti, vagyis potosa akkor tuduk kiyiti mide perselyt, ha az eredeti feltört persely között mide ciklusak va legalább egy eleme. Ezek szerit ekkor csak vagy ciklus lehet. Eze esetek számát külö-külö leszámláljuk. ciklus: Egy ciklus így írható fel az -estől kezdve: (a a... a 0, ez összese 9!-féle lehet. ciklus: Ekkor az. és a. persely külöböző ciklusokba vaak, ezek (a a 4... a k, és (a k+ a k+... a 0. Az a a 4... a 0 sorozat 8!-féle lehet, k pedig lehet,,..., 0, vagyis 9-féle, így az esetek száma itt is 9! A kérdéses valószíűség tehát 9!+9! 0! + 0.. megoldás. Mielőtt a felyitáshoz kezdeék, rakjuk sorba a perselyeket azzal a kettővel kezdve, amelyeket majd feltörük, és írjuk rájuk a sorszámukat. Miutá találomra dobtuk be a kulcsokat, és találomra választottuk ki a két feltöri szát perselyt, ezért mide eset, így mide elredezés egyelő valószíűséggel fog létrejöi. Most feltörjük az első perselyt. Ha a saját kulcsa volt bee, akkor félretesszük, és a másodikat törjük fel. Ha em a saját kulcsát tartalmazza, akkor ezek utá midig azt yitjuk ki, amelyikek a kulcsát megtaláltuk az előző ládába. Ha közbe előkerül a második persely kulcsa is, akkor azt fel sem kell töri, haem csak ki kell vei

4. VEGYES FELADATOK 07 és folytati a sort. Ebbe az esetbe akkor akad meg a sor, ha az első persely kulcsa kerül elő. Ha az első persely kulcsa kerül elő előbb, akkor a másodikba található kulccsal folytatjuk a sort. Ilyekor akkor akaduk el, ha a második kulcs kerül elő. Más olya kulcs em kerülhet elő, ami egy már felyitott ládához tartozik, hisze mide kulcsból potosa egy va, ezért egy felyitott ládáak kulcsa már korábba előkerült (kivéve az első két ládát, amit feltörük. Ha előkerült már az első és a második láda kulcsa is, de em yitottuk még ki mide ládát (ezek a számukra kedvezőtle esetek, akkor a legkisebb sorszámú fel em botott ládát törjük fel és így fejezzük be a perselyek kiyitását. Ilye módo a perselyekbe dobott kulcsok mide elredezéséhez hozzáredeltük a felyitott perselyek sorredjét. A felyitott ládák sorredje alapjá vissza is tudjuk raki a kulcsokat az eredeti ládákba. Akkor jó egy a felyitott ládák egy sorredje, ha az utolsó helye az első, vagy a második láda áll. Bármelyik persely előtt a többi láda bármely sorredje ugyaolya valószíűséggel fordul elő, tehát az utolsó helye mide persely ugyaolya valószíűséggel áll. A 0 ládából jó, tehát a keresett valószíűség /0, azaz /. 4.. Párosítsuk a permutációkat! Az (i, i,..., i, i permutáció párja legye az (i, i,..., i, i permutáció. Mide számpár e két permutáció közül potosa az egyikbe áll iverzióba, tehát a kettőbe együtt összese ( ( iverzió va. Így egy permutációba átlagosa eek a fele, azaz ( 4 iverzió va. 4.. (lásd a 9.4. feladatot 4.. A ciklus hossza egyeletes eloszlású, midegyik hosszak ugyaayi az esélye. 4.7. Legye a χ k valószíűségi változó értéke m, ha a k szám olya ciklusba va, amelyek hossza m. Így midegyik ciklus valószíűségi változói értékeiek összege, tehát az összes valószíűségi változó értékéek összege a véletle permutáció ciklusaiak száma. Elegedő a χ k valószíűségi változó várható értékét kiszámoli, tehát azt, hogy egy rögzített szám pl. k ciklushosszáak reciproka átlagosa mekkora. Tehát E m p(az ciklusáak hosszam. m A valszam9evfjatek070haperm0egycikhossz feladatból tudjuk, hogy adott elem ciklusáak hossza egyeletes eloszlású, tehát E m ( + + +... + m 08 MEGOLDÁSOK azaz a keresett várható érték E E + E +... + E E + + +... +. 4.8. Általáosa kezeljük a kérdést tojással. Tekitsük a tojásokat külöbözőkek! A külöböző tojás összes párosításaiak számát kétféleképpe is kiszámoljuk. I. módszer az összes párosításra Rögzítsük a tojások egy sorredjét. A sorba első tojásak ( -féleképpe választhatuk párt. A sorba következő első olya tojásak, amelyek még ics párja ( -féleképpe választhatuk párt. Így továbbhaladva a párosítások számára ( (... adódik. II. módszer az összes párosításra A párokat így is kialakíthatjuk: redezzük sorba a tojást, és a sorba elsőek legye a párja a második, a harmadikak a egyedik, stb. A tojásak összese (! külöböző sorredje lehetséges, de ezek számbavételekor sokszorosa számoljuk a párosításokat. Mide párosítást! -szer számoluk meg, mert a párokat egymás között!-féleképpe redezhetjük át, és midegyik pár két elemét kétféleképpe rakhatjuk sorba. Ezért a párosítások száma: (!!. Jelölje A k a külöböző golyó olya párosításaiak számát, amelyekbe potosa k egyszíű pár va. (Vigyázat, a k itt em kitevő, haem egy felülre helyezett idex! Az alábbi speciális értékek értelemszerűe adódak a jelölésből: A 0, A, Am 0, ha m >. Rekurziót íruk fel a többi szimbólum értékéek meghatározására. Ehhez először is rögzítsük az egyik fehér tojást. Vegyük sorba az összes olya párosítást, amelybe potosa k egyszíű pár va. Bármely ilye párosításál ézzük meg, hogy milye szíű a rögzített fehér golyó párja. Ha fehér, akkor a maradék ( tojást úgy kell párba állítai, hogy (k egyszíű párt kapjuk. Ha em fehér a pár, akkor ( másik tojás lehet. Nézzük meg a rögzített fehér tojás párjával egyszíű másik tojás párját. Ha ez fehér, akkor a maradék ( 4 tojást úgy kell párba állítai, hogy potosa k egyszíű párt kapjuk. Ha em fehér ez a tojás, akkor ézzük meg a vele egyszíű másik tojás párját... Valaháy lépésbe bezárul a kör,

4. VEGYES FELADATOK 09 0 MEGOLDÁSOK a fehér tojáshoz jutuk. Ha em azoali a záródás, akkor a ciklusba em volt azoos szíű pár, így a maradék tojások párosításába kell potosa k egyszíű párak leie. Így a maradék tojások száma legalább k. Képletbe: A k A k + ( Ak + ( ( A k +...... + k ( (... (k + A k k. Az első éháy értéket az alábbi táblázatba foglaltuk össze: A k 0 4 0 0 8 0 44 0 0 00 k 0 0 0 80 0 0 0 0 0 4 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 összes párosítás: 0 94 A táblázatból a valószíűségek is megkaphatók, k 0,,,, 4 és eseté redre a 44 94 0,777, 00 94 0,7407, 80 94 0,0840847, 0 94 0,040, 0, 94 0,00080 értékeket kapjuk. 4.0. 9 0 9 0,. 9 0 + 0 0 Részletesebbe lásd http://stattrek.com/lesso/bayes.aspx. 4.7. Vizsgáljuk azt a hat csúcsot, amelyet a két pothármas lefoglal! Nézzük meg, hogy ez a hat pot háyféleképpe botható két pothármasra és azok közül háy esetbe metszi illetve em metszi egymást a két háromszög! A hat csúcsból három ( 0-félekéépe választható ki, de midegy hogy az hármast vagy a komplemeterét választjuk ki, így csak 0 eset va. A körö a hat pot úgy helyezkedik el, hogy kovex burkuk hatszög, így potosa akkor em metszi egymást a két háromszög, ha az egyik és a másik hármas is három, a körö haladva egymást követő potból áll. Ez eset midegyik lehetséges pothatosra. A kérdezett valószíűség 0. 4.8. Válasz: Páros eseté 4 4(, míg páratla eseté 4 + 4(k.

SEGÍTŐ LÖKÉSEK. segítő kökés. A számoláshoz haszálhatuk szoftvert, pl táblázatkezelő programot (Excel, OpeOffice.Calc 7. Geometriai eloszlás Segítő lökések Ez a fejezet em tartalmaz segítő lökést. 8. Geetika Ez a fejezet em tartalmaz segítő lökést.. A statisztika alapjai Ez a fejezet em tartalmaz segítő lökést.. Kísérletek Ez a fejezet em tartalmaz segítő lökést.. Statisztikák.. A Wiword Edit/Replace azaz Szerkesztés/Csere utasítása végrehajtáskor kiírja a lecserélt betűk számát. 4. Esélyek Ez a fejezet em tartalmaz segítő lökést.. Hipergeometrikus eloszlás Ez a fejezet em tartalmaz segítő lökést.. Biomiális eloszlás.4.. segítő kökés. Tekitsük úgy, hogy a lemodás valószíűsége megegyezik a korábbi lemodások relatív gyakoriságával. 9. A várható érték 9.. Fogalmazzuk meg a kérdést matematikailag! Va, aki így fogalmazza: melyik az a legagyobb, amelyre agyobb az esélye, hogy addig még em dobtuk hatost, mit aak, hogy dobtuk? Ez egy agyo jó kérdés, de em illeszkedik a feladathoz. Ha pl a k számot dobva k millió Ft-ot yerék, míg hatos dobás eseté a taár azt modaá ekük szúrós szemmel, hogy ejye bejye, akkor is ez lee a matematikai kérdés? Logikus ezzel a matematikai kérdéssel foglalkozi: Legye vállalt dobásra kiszámolva várható yereméyük E(. Mely emegatív egész eseté va az E függvéyek maximuma? Határozzuk meg először E( és E( értékét! 0. Feltételes valószíűség Ez a fejezet em tartalmaz segítő lökést.. Játékok... segítő kökés. A.4. feladatba láttuk hogya kell összehasolítai két kockát. Feltételezzük, hogy ezzel Adrás és Béla is tisztába va. Adrásak csak akkor va esélye, ha fel tudja úgy íri a kockákra a számokat, hogy a három kocka körbeverje egymást: ha az I-es és II-es kockát összehasolítjuk, akkor legye pl. I-es esélyesebb a II-esél, a II-es és a III egymás közti csatájába II-es legye jobb a III-asál, míg a III-as legye jobb az I-esél. Próbálkozzuk meg így számozi a kockákat!

. MARKOV LÁNCOK 4 SEGÍTŐ LÖKÉSEK. segítő kökés. Lásd a 4.7. feladatot!.. Oldjuk meg a feladatot és eseté! Fogalmazzuk meg sejtést, igazoljuk!. Markov lácok Ez a fejezet em tartalmaz segítő lökést.. A szórás Ez a fejezet em tartalmaz segítő lökést. 4. Vegyes feladatok Ez a fejezet em tartalmaz segítő lökést.

IRODALOMJEGYZÉK [0] Középiskolai matematikai és fizikai lapok. A Bolyai Jáos Matematikai Társulat és az Eötvös Lorád Fizikai Társulat folyóirata. URL http://www.komal.hu. Irodalomjegyzék [] Tusády Gábor Bogár Jáosé, Nemetz Tibor: Ismerkedés a véletleel. Középiskolai szakköri füzetek sorozat. Budapest, 980, Taköyvkiadó. ISBN 9 7 48 8. [] Lukács Judit Major Éva Székely Péter Dr. Vacsó Ödö Bárd Áges, Frigyesi Miklós: Készüljük az érettségire matematikából emelt szite. Budapest, 00, Műszaki Köyvkiadó Kft. ISBN 9 7888. [] W. Feller: Bevezetés a valószíűségszámításba és alkalmazásaiba. Budapest, 978, Műszaki Köyvkiadó. ISBN 9 0 070. [4] Orosz Gyula: Valószíűségszámítási érdekességek. 004., Fazekas matematika portál. Olvasható a http://matek.fazekas.hu/portal/taitasiayagok/orosz_gyula/val/val.html weboldalo. [] Orosz Gyula: Markov-lácok. 008., Fazekas matematika portál. Olvasható a http://matek.fazekas.hu/portal/taitasiayagok/orosz_gyula/mar/markov.html weboldalo. [] Számadó László: A statisztika alapjai. 00?, Középiskolai Matematikai és Fizikai Lapok iteretes változata. Olvasható a http://www.komal.hu/cikkek/statszaml/statisztika.h.shtml weboldalo. [] Frederick Mosteller: 0 külöleges valószíűségszámítási feladat megoldásokkal. Moszkva, 97, Izdatyelsztvo Nauka. ISBN 978 9407. (az eredeti kiadás agol: Fifty challegig problems i probability with solutios, Courier Dover Publicatios, http://books.google.com/books?idqiuqpejweec. [] Sára Tamás diák, 009c. Fővárosi Fazekas Mihály Gimázium. [4] N. N. Szergejeva (szerk.: Nemzetközi Matematikai Olimpiák. Bibliotecska Matematicseszkovo kruzska, vüpuszk 7 sorozat. Moszkva, 987, Nauka. [] Szászé Simo Judit közlése. [] Nemetz Tibor: Valószíűségszámítás. Speciális matematika-taköyvek sorozat sorozat. Budapest, 998???, Typotex. ISBN 9 9 7. [7] Tosseberger Tamás, 04c. Fővárosi Fazekas Mihály Gimázium. [8] Csatár Katali Harró Ágota Hegyi Györgyé Lövey Éva Morvai Éva Széplaki Györgyé Ratkó Éva: Valószíűségszámítás feladatok kezdőkek. 00?, Középiskolai Matematikai és Fizikai Lapok iteretes változata. Olvasható a http://www.komal.hu/cikkek/valszam/valszam.h.shtml weboldalo. [9] Nemetz Tibor és Witsche Gergely: Valószíűségszámítás és statisztika midekiek. Polygo köyvtár sorozat sorozat. Szeged, 999, Polygo. [] Solt György: Valószíűségszámítás példatár. Bolyai sorozat sorozat. Budapest, 000, Műszaki Köyvkiadó Kft. ISBN 978 9 074. [7] Székely J. Gábor: Paradoxook a véletle matematikájába.. átdolgozott kiadás. kiad. Budapest, 004, Typotex. ISBN 978 9 790 89. http://books.google.com/books/?id0so4i9civw0c. [8] Joh Cay s home page. URL http://www.cs.berkeley.edu/~jfc/cs74/lecs/. A Berkeley Egyetem professzoráak weboldala. [9] Kvat, fizikai és matematikai tudomáyos épszerűsítő folyóirat. A Szovjet, majd az Orosz Tudomáyos Akadémia és a Pedagógiai Tudomáyok Akadémiájáak lapja. URL http://kvat.mirror0.mccme.ru/.