3D - geometra modellezés, alakzatrekostrukcó, yomtatás 8 Rekurzív felosztáso alauló felületek htt://cgtbmehu/ortal/ode/3 htts://wwwvkbmehu/kezes/targyak/viiiav54 Dr Várady Tamás, Dr Salv Péter BME, Vllamosmérök és Iformatka Kar Iráyítástechka és Iformatka Taszék
Tartalom Áttektés Polgook rekurzív felosztása (subdvso) saroklevágó algortmusok teroláló algortmus Poléderek rekurzív felosztása követelméyek alakérdések Doo-Sab algortmus, Catmull-Clark algortmus, 3 Közéosztás, 4 Loo-féle osztás, 5 3 osztás 3D-s számítógées geometra
Szabadformájú felületek - áttektés Tezor szorzat alaú felületek égyoldalú ( 4) aramétertartomáy, N x M-es kotrol háló Bézer felületek (olomáls) B-sle felületek (szakaszokét olomáls) Bézer és B-sle felületek kterjesztése racoáls Bézer felületek ( 4) racoáls B-sle felületek ( 4) T-sle-ok ( 4, szakaszos olomok, háyos kotrollháló) T [ C] [ ( v s ( u, v) [ α( u)] β )] 3 Iteroláló (traszft) felületek következő óra határgörbék és keresztdervált függvéyek Coos atch ( 4) általáos -oldalú felületek 4 Poléder-alaú általáos toológájú felületek felosztásos felületek (rekurzív szubdvízó) (összellesztett sle felületek)? Subdvso vdeo Áttektés 3
Rekurzív olgo-felosztás Rekurzív olgo-felosztás {,, K, k ) } {, korább olgo otok leárs kombácója: l m α j j( m), m, K, k j kérdések: kovergál valamlye görbéhez? olomáls görbe? mlye mértékbe sma? Chak algortmus (sarok levágás): másodfokú B-sle (!), C, K, k 3 3 ; 4 4 4 4 } Polgook rekurzív felosztása (0,) (,)(,) (5,) (,5) (,5) (3,4) (,3)(3,) (0,,,3,4) (0,,5,,5,3,4) (3,5) 4
Ujjgyakorlat*- rekurzív olgo osztás Chak-féle osztás Rekurzív felosztáso alauló görbék 5
Ujjgyakorlat - rekurzív olgo osztás Chak-féle osztás Rekurzív felosztáso alauló görbék 6
7 Polgook rekurzív felosztása Rekurzív olgo-felosztás Felosztás alteratív súlyokkal (húrfelezés) kovergál, harmadfokú B-sle, C a folytoosság aalízs elve (sajátértékek): dagozálás (sajátvektorok, sajátértékek): AD D D D 4 4 0 6 0 4 4 8, ; 8 4 3 8 Λ A E EΛ D A D E EΛ EΛE EΛE A D A A D D Λ E E E E A R R R, 05 0 0 0 05 0 0 0,, 0 *
8 Polgook rekurzív felosztása Rekurzív olgo-felosztás 3 3 Iteroláló felosztás (égy-ot): közéső ot meghatározása: harmadfokú Lagrage terolácó kovergál, C határgörbe ) 9 9 ( 6 ;? Curves alet
Rekurzív oléder-felosztás (Doo-Sab) (Loo) Rekurzív felosztáso alauló felületek (Pxar) 9
Rekurzív oléder-felosztás Követelméyek: általáos toológa lokáls módosíthatóság egyszerű szabályok (maszk) hatékoy algortmus (koverzó sebessége) aff lekézésre varás sma felület herarchkus rerezetácó kovex burok Alakérdések: fomítás szabály: sarok-levágás vagy csúcs-beszúrás a oldérsorozat háromszög vagy égyszög alaú aroxmácó vagy terolácó smaság (G vagy G ) szabályos csúcsok vs külöleges (extraordary) csúcsok Felosztás roblémák Rekurzív felosztáso alauló felületek 0
Rekurzív oléder-felosztás 3 Doo-Sab felületek a Chak algortmus általáosítása mde -oldalú la összezsugorodk, és új csúcs keletkezk rajta: v () α v j j 5 α, 4 j π ( j) 3 cos α j 4 LAP-la az eredet la belsejébe ÉL-la mdg égyoldalú, az élek meté CSÚCS-la csúcs körül a égyoldalú laok száma ő másodfokú B-sle felület darabok G szabályos csúcsok (4) külöleges csúcsok s keletkezek: 4 oldalú laok, 4 fokú csúcsok 8 Rekurzív felosztáso alauló felületek
Ujjgyakorlat* - Doo-Sab-féle rekurzív felosztás 3-oldalú: db 4-oldalú: 4 db 5-oldalú: db 3-oldalú: Cs:?, É:, L:?, Össz? 4-oldalú: Cs:?, É:, L:?, Össz? 5-oldalú: Cs:?, É:, L:?, Össz? Rekurzív felosztáso alauló felületek
Ujjgyakorlat - Doo-Sab-féle rekurzív felosztás 3-oldalú: db 4-oldalú: 4 db 5-oldalú: db 3-oldalú: Cs:, É: 0, L:, Össz 3 4-oldalú: Cs:, É: 8, L:4, Össz 3 5-oldalú: Cs: 0, É: 0, L:, Össz Rekurzív felosztáso alauló felületek 3
Ujjgyakorlat* - Doo-Sab súlyok π ( j) 3 cos 5 4,, α, α j, j 4 4,3,4 α 4 α 3?? α? α? Rekurzív felosztáso alauló felületek 4
Ujjgyakorlat - Doo-Sab súlyok π ( j) 3 cos 5 4,, α, α j, j,3,4 4 4 α 4 3 6 α 3 6 α 9 6 α 3 6 Rekurzív felosztáso alauló felületek 5
Rekurzív oléder-felosztás 4 Catmull-Clark felületek harmadfokú B-sle felületek általáosítása (közéot osztás - cetral slt) () új LAP-csúcs közéot, f j () új ÉL-csúcs az él végotjaak és a szomszédos LAP-csúcsok átlaga, e j () új CSÚCS-csúcs la által körülvéve: v 3 v f e v j j j j új laok, az első osztás utá égyoldalú hurkok: f e e kovergál, szabályos csúcs (4) G határfelület, külöleges csúcsok ( 4) G v f? Huma Face-Subdvso Rekurzív felosztáso alauló felületek 6
Rekurzív oléder-felosztás 5 3 Közéosztásos felületek (Peters & Ref) a legegyszerűbb séma mde élre új felező ot új laok befoglalt LAP-laok csúcskörül CSÚCSlaok égyoldalú laok domálak szabályos csúcsok (4) külöleges csúcsok az eredet csúcsok körül kovergál, G határfelület Rekurzív felosztáso alauló felületek 7
Rekurzív oléder-felosztás 6 4 Loo-féle felosztás háromszöghálók fomítása () az adott él csúcsa: v,v () a csatlakozó csúcsok: v, v 3 4 új ÉL-csúcs: 3 e j ( v v ) ( v 3 v 4 ) 8 8 új CSÚCS-csúcs szomszéd alajá: v ( α) v α v j sma határfelület szabályos csúcsok (6) G, (egyedfokú Bézer háromszögek); külöleges csúcsok ( 6) csak G 3 5 3, 3; π α α cos, > 3 6 8 8 4 j, (Maszkok) Rekurzív felosztáso alauló felületek 8
Rekurzív oléder-felosztás 7 5 3 felosztás háromszögháló fomított háromszögháló () mde háromszöget három részre hasítuk () a keletkező égyszögátlókat megcseréljük (fl) közéot csúcsok összekötése az eredet csúcsokat újraszámoljuk szomszédos csúcs alajá: α v ( α ) v v j j, α π 4 cos mde terácó cserél a struktúra ráyítását, két terácó egy háromszögből 9-et készít sma határfelület szabályos csúcsok (6) G, külöleges csúcsok ( 6) csak G 9 Rekurzív felosztáso alauló felületek 9