Eötvös Loránd Tudományegyetem Természettudományi Kar Függvények szélsőérték vizsgálata BSc Szakdolgozat Készítette: Sághy Enikő Kata Matematika BSc, Matematikai elemző szakirány Témavezető: Gémes Margit Analízis tanszék Budapest, 014
Tartalomjegyzék Bevezetés 1. Egyváltozós függvények 3 1.1. Korlátos zárt intervallumon folytonos függvények....... 3 1.. Differenciálható függvények................... 4. Többváltozós függvények 7.1. Folytonos, kétváltozós függvények lokális szélsőérték vizsgálata a deriváltakkal........................ 7.. A szélsőérték és a másodrendű parciális deriváltak....... 11.3. Abszolút maximum és abszolút minimum egy korlátos és zárt tartományon............................ 1.4. Lagrange-multiplikátoros módszer................ 7.5. Lagrange-multiplikátoros módszer több feltétel esetén..... 9 Irodalomjegyzék 3
Bevezetés A szakdolgozatom témája az egy illetve a többváltozós függvények szélsőérték problémáinak különböző megoldási módszerei. Az első pár oldalban az egyváltozós függvényekkel foglalkozom, majd pedig rátérek a többváltozós függvények szélsőértékeinek meghatározására. Ez utóbbira szeretném fektetni a hangsúlyt.
1. Egyváltozós függvények 1.1. Korlátos zárt intervallumon folytonos függvények 1.1. Tétel Ha f(x) folytonos az [a, b] intervallumon, akkor korlátos az [a, b] intervallumon. Itt szeretném felhívni a figyelmet arra, hogy az f(x) függvény egy korlátos és zárt intervallumon folytonos. Ha bármelyik feltételt elhagyjuk a tétel nem lesz igaz! Például legyen f(x) = x 3, ekkor f(x) folytonos az [1, ) intervallumon, de nem korlátos azon. 1.. Definíció Legyen f(x) értelmezve az A halmazon. Ha az A halmazhoz tartozó f(a) értékkészletnek van legnagyobb eleme, akkor azt az elemet az f(x) függvény A-n felvett abszolút maximumának nevezzük, és maxf(a)- val jelöljük. Ha a A és f(a) = maxf(a), akkor a-t az f(x) függvény A-hoz tartozó abszolút maximumhelyének nevezzük. Hasonlóan kimondható a definíció a minimumra is. Az abszolút maximum és minimum helyeket közösen abszolút szélsőértékhelyeknek nevezzük. Előfordulhat, hogy egy A halmazon egy függvénynek több abszolút minimum- és/vagy maximumhelye is van, például: f(x) = cos(x), A = [ π, π]. Ekkor az abszolút minimumhelyek: { π, π} és az abszolút minimum= -1. Az abszolút maximuma nullában van, és értéke 1. 1.3. Tétel Weierstrass tétele Ha f(x) folytonos az [a, b] intervallumon, akkor létezik olyan α [a, b] és β [a, b], amelyekre igaz, hogy f(α) f(x) f(β) minden x [a, b] esetén. Tehát egy korlátos és zárt intervallumon, egy folytonos függvénynek mindig van abszolút maximum- és minimumhelye. Példa 1 Csővezeték építés: Az óriástankerek a parttól négy kilométerre lévő dokkban rakják ki az olajat. A legközelebbi finomító a szárazföldnek a dokkhoz legközelebb eső pontjához képest kilenc kilométerre keletre van. Csővezetéket kell építeni a dokk és a finomító között. A csővezeték kilométere 300 000 dollárba kerül, ha a víz alatt halad, és 00 000 dollárba, ha a szárazföldön. Jelöljük ki a B pont helyét úgy, hogy az építési költségek a lehető legkisebbek legyenek. 1 Thomas féle kalkulus 1., 37. oldal, 55. feladat 3
Megoldás. Először elkészítem az ábrát a feladat szövege alapján: 1. ábra. A dokk és a finomító Megállapítható, hogy 0 x 9. A Pitagorasz- tétel alapján kiszámolom a dokk és a B pont távolságát: x + 16. Így most már fel tudom írni a függvényt, aminek az abszolút minimumát kell megkeresnem: f(x) = 300000 x + 16 + 00000(9 x). Deriválom a függvényt és egyenlővé teszem nullával: 300000x 00000 = 0 x +16 3x = x + 16 5x = 64 x = 1, 8 x ±3, 578 Mivel tudjuk, hogy 0 x 9, így az x 3, 578 kritikus pontot kapjuk. Most számoljuk ki a függvény értékét a kritikus pontban, és az értelmezési tartomány végpontjaiban. f(3, 578) = 694368.944 f(0) = 3000000 f(9) = 954657.341 Tehát az építkezés költsége akkor lesz minimális, ha az A ponttól 3, 578 km távolságra keletre építjük fel a B-t. Ekkor az építkezés költsége 694368.944 dollár lesz. 1.. Differenciálható függvények 1.4. Tétel Legyen f(x) differenciálható az a pont egy környezetében. Ha f (a) = 0 és f lokálisan növekedő az a helyen, akkor az a pont f(x)-nek 4
lokális minimumhelye. Ha f (a) = 0 és f szigorúan lokálisan növekedő az a helyen, akkor az a pont f(x)-nek szigorú lokális minimumhelye. Hasonlóan a maximumhelyekre is kimondható a tétel. 1.5. Megjegyzés Az f függvény a-beli előjelváltása nem szükséges ahhoz, hogy f-nek az a-ban lokális szélsőértéke legyen! Példa Legyen f(x) = (x a) /3, ahol a konstans. Keressük meg f(x) lokális szélsőértékhelyeit. Megoldás. Deriváljuk f(x)-et: f (x) = (x 3 a) 1/3. Mivel x = a esetén a derivált nem létezik, az x = a kritikus pont. A többi kritikus pont megtalálásához ki kell számolnunk, hogy hol lesz a derivált egyenlő nullával: (x 3 a) 1/3 = 0 1 = 0 x a Ennek nem létezik megoldása, tehát nincs több kritikus pontunk. Meg kell még mutatni, hogy az x = a pontban szélsőérték van. Ha x = a, akkor f(x) = f(a) = 0. Ha x a, akkor esetszétválasztással megmutatom, hogy f(x) > 0. Első esetet: Ha x < a, akkor x a < 0 ezt négyzetre emelve, (x a) > 0, majd köbgyököt vonva f(x) = (x a) /3 > 0-át kapunk. Második eset: Ha x > a, akkor x a > 0, ezt négyzetre emelve majd köbgyököt vonva f(x) = (x a) /3 > 0-t kapunk. Tehát valóban teljesül, hogy f(x) > 0, ha x a. Így most már megállapíthatjuk, hogy az f(x) függvénynek az x = a pontban lokális minimuma van. A következő képen, az a = esetben láthatjuk a függvényt. Thomas féle kalkulus 1., 37. oldal, 53/d feladat 5
. ábra. Az (x ) 3 függvény 6
. Többváltozós függvények.1. Definíció Legyen D a valós (x 1, x, x 3,..., x n ) szám-n-eseknek egy halmaza. A valós értékű f függvény a D minden eleméhez egy w = f(x 1, x, x 3,..., x n ) valós értéket rendel. Ekkor azt mondjuk, hogy f n-változós függvény. D a függvény értelmezési tartománya. Az f által felvett értékek halmaza a függvény értékkészlete. Ha a függvény két változós, akkor azokat általában x és y jelöli. Így az értelmezési tartomány az yz-sík egy részhalmaza lesz. Ha három változója van, akkor x, y, z jelöli őket általában. Másik gyakran alkalmazott jelölés, hogy olyan betűket használunk, ami emlékeztet minket azokra a mennyiségekre, amelyek helyett állnak. Például: V = f(r, h) = πr h, a térfogat a magasságtól és a sugártól függ a henger esetén..1. Folytonos, kétváltozós függvények lokális szélsőérték vizsgálata a deriváltakkal Egyváltozós esetben olyan pontokat kerestünk, ahol a grafikon érintője vízszintes volt, mert ezen pontokban lehet maximuma vagy minimuma vagy inflexiós pontja a függvénynek. Most a kétváltozós esetben olyan pontokat keresünk, ahol a z = f(x, y) grafikon érintősíkja vízszintes... Definíció Legyen f(x, y) egy olyan tartományon definiálva, amely az (a, b) pontot tartalmazza. Ekkor f(a, b) egy helyi/ lokális maximum [minimum], ha van olyan (a, b) középpontú nyílt körlap, hogy f(a, b) f(x, y) [f(a, b) f(x, y)] minden olyan pontra igaz, ami a körlapon és az f értelmezési tartományában van. Az ilyen pontok kereséséhez, amint azt az egyváltozós esetben is tettük, először ki kell számolnunk az elsőrendű parciális deriváltakat..3. Tétel Ha f(x, y)-nak lokális szélsőértékhelye van az értelmezési tartomány egy (a, b) belső pontjában, és itt az elsőrendű parciális deriváltak léteznek, akkor f x(a, b) = 0 és f y(a, b) = 0..4. Definíció Az f(x, y) függvény értelmezési tartományának azokat a belső pontjait, ahol f x(x, y) és f y(x, y) is nulla, vagy ahol legalább az egyik nem létezik, az f(x, y) függvény kritikus pontjának nevezzük. 7
.5. Definíció Egy differenciálható f(x, y) függvénynek nyeregpontja van az (a, b) kritikus pontban, ha minden (a, b) középpontú körlapon van olyan (x, y) pontja az értelmezési tartománynak, hogy f(x, y) < f(a, b), és van olyan is, hogy f(x, y) > f(a, b). Példa Keressük meg az f(x, y) = 4 x y függvény szélsőértékhelyeit, ha vannak ilyenek! Megoldás. Az értelmezési tartomány: D(f) = R. Tehát az értelmezési tartománynak határpontja nincs. Az értékkészlet: R(f) = (, 4], hiszen x és y biztosan mindig nagyobb vagy egyenlő mint nulla. Tehát négyből vonunk ki két pozitív, vagy nulla számot, így az vagy négy lesz vagy annál kisebb. Az elsőrendű parciális deriváltak: f x(x, y) = x = 0, f y(x, y) = y = 0, léteznek és folytonosak. Így a kritikus pont: (x, y) = (0, 0). Mivel a függvényérték az (x, y) = (0, 0) pontban f(0, 0) = 4 0 0 = 4, és az értékkészlet R(f) = (, 4], így a (0, 0) pontban a függvénynek valóban lokális szélsőértéke van, méghozzá maximuma. A függvény az 3. ábrán látható. 8
3. ábra. Az f(x, y) = 4 x y függvény Példa Keressük meg az f(x, y) = x y függvény nyeregpontját, ha van ilyen. Megoldás. A parciális deriváltak: f x(x, y) = x, f y(x, y) = y, ezek mindenütt léteznek és folytonosak. A kritikus pont most is az origó. De ha megnézzük az origó kivételével az x-tengely mentén f(x, 0) = x > 0, az y-tengely mentén pedig f(0, y) = y < 0. Így minden origó középpontú körlapon van olyan pont, ahol a függvényérték nagyobb mint nulla, és van olyan is, ahol kisebb, mint nulla. A.5-ös definíció szerint az origóban a függvénynek nyeregpontja van. A függvény a 4. ábrán látható. 9
4. ábra. Az f(x, y) = x y függvény 10
.. A szélsőérték és a másodrendű parciális deriváltak.6. Tétel Tegyük fel, hogy f(x, y) első és második parciális deriváltjai folytonosak egy (a, b) középpontú körlapon, és f x(a, b) = 0 és f y(a, b) = 0. Ekkor ha i, f xx(a, b)f yy(a, b) (f xy(a, b)) > 0 és f xx(a, b) > 0, akkor f(x, y)-nak (a, b)- ben lokális minimuma van. ii, f xx(a, b)f yy(a, b) (f xy(a, b)) > 0 és f xx(a, b) < 0, akkor f(x, y)-nak (a, b)- ben lokális maximuma van. iii, f xx(a, b)f yy(a, b) (f xy(a, b)) < 0, akkor f(x, y)-nak (a, b)-ben nyeregpontja van. iv, f xx(a, b)f yy(a, b) (f xy(a, b)) = 0, akkor a másodrendű deriváltakkal nem eldönthető, hogy van-e szélsőértéke f(x, y)-nak (a, b)-ben. Ez esetben más úton kell vizsgálódnunk. Az f xxf yy (f xy) kifejezést az f(x, y) függvény Hesse-determinánsának nevezzük, f xxf yy (f xy) = f xx f xy f yx f yy Az iménti tétel azt mondja ki, hogy ha a Hesse-determináns pozitív (a, b)- ben, akkor a felület ugyanúgy görbül minden irányban lefelé ha f xx negatív, tehát ez egy lokális maximum, és felfelé görbül, ha f xx pozitív, és akkor meg lokális minimumot találtunk. Ha a Hesse-determináns negatív, akkor a függvény különbözőképpen görbül különböző irányokban, azaz nyeregpontot találtunk. Példa 3 Keressük meg az f(x, y) = x 3 y 3 xy + 6 függvény lokális szélsőértékeit! Megoldás. Az elsőrendű parciális deriváltakra: { f x = 3x y = 0 f y = 3y x = 0 3 Thomas- féle kalkulus 3, 317. oldal, 17-es feladat 11
x 1 = 0, y 1 = 0 és az x =, y 3 = lesznek a megoldások. Így a kritikus 3 pontok:(0, 0) és (, ) lesznek. 3 3 A (0, 0) kritikus pontra kiszámolom a Hesse-determináns értékét: f xxf yy (f xy) = 6x f xx(0, 0)f yy(0, 0) (f xy(0, 0)) = 6y Tehát (0, 0)-ban nyeregpont van, itt nincs szélsőérték. 0 0 = 4 < 0 A (, ) pontra is kiszámolom a Hesse- determináns értékét: 3 3 f xx( 3, )f 3 yy( 3, ) (f 3 xy( 3, 3 )) = 4 4 = 1 > 0 Tehát a (, ) pontban szigorú lokális maximum van. A függvény a 5. ábrán 3 3 látható. 5. ábra. Az f(x, y) = x 3 y 3 xy + 6 függvény 1
Példa Mutassuk meg hogy az f(x, y) = x sin y függvénynek végtelen sok szigorú lokális minimuma van, és maximuma nincsen. Megoldás. Az értelmezési tartomány a D(f) = R, tehát az értelmezési tartománynak nincs határpontja. Az elsőrendű parciális deriváltak: f x(x, y) = x f y(x, y) = cos y Ezek mindenhol léteznek és folytonosak. { x = 0 cos y = 0 Megoldása: x = 0 és y = π + kπ, ahol k Z. Végtelen sok kritikus pontot találtunk. A másodrendű parciális deriváltak segítségével vizsgálódjunk tovább. f xx(x, y) = f xy(x, y) = f yx (x, y) = 0 f yy(x, y) = sin y A Hesse- determináns: 0 0 sin y = sin y Mivel f xx = > 0 és a sin y = ± k paritásától függően (ha k, akkor +, ha nem osztja, akkor pedig lesz a sin y értéke), így végtelen sok nyeregpontot és lokális minimumhelyet találtunk, de lokális maximum nincsen. A minimum érték f(0, π ) = 1. A függvény a 6. ábrán látható. 13
6. ábra. Az f(x, y) = x sin y függvény Példa 4 A k konstans milyen értékeire következik a második deriváltból, hogy a (0, 0)-nál nyeregpontja van az f(x, y) = x + kxy + y függvénynek? És az, hogy minimuma? Mely k értékeke estén lesz ez a kérdés nem eldönthető a második deriváltak alapján? Megoldás. f(x, y) = x + kxy + y Az elsőrendű parciális deriváltak: f x (x, y) = x + ky, f y (x, y) = kx + y. Az (x, y) = (0, 0) pontot behelyettesítve mindkét elsőrendű parciális derivált nulla lesz, ami azt jelenti, hogy a (0, 0) kritikus pont. A másodrendű parciális deriváltak: f xx (x, y) =, f xy (x, y) = k, és f yy (x, y) =. Ez alapján felírható a Hesse- determináns: k k = 4 k Mivel f xx (x, y) = > 0, és ha a determináns nagyobb mint nulla, lokális minimumhelyet találtunk. Tehát 4 k > 0, azaz k (, ) esetén lokális 4 Thomas- féle kalkulus 3, 318. oldal, 46-os feladat 14
minimuma van a függvénynek a (0, 0) pontban. Nyeregpontja akkor van a függvénynek, ha a 4 k < 0, azaz k < vagy k > esetén. Nem eldönthető a második parciális deriváltak alapján, hogy a (0, 0) kritikus pontban van-e a függvénynek abszolút szélsőértéke, vagy nyeregpontja, ha 4 k = 0, azaz k = ±. Ekkor érdemes a függvényt másképpen is megvizsgálni. A k = esetben f(x, y) = x + xy + y = (x + y). Mivel tudjuk, hogy (x + y) 0 és f(0, 0) = 0, megállapítható, hogy a (0, 0) pont szigorú lokális minimumhely. A k = esetben f(x, y) = x xy + y = (x y). Felhasználva, hogy tudjuk, hogy (x y) 0 és f(0, 0) = 0, ekkor is szigorú lokális minimumhely lesz a (0, 0) pont. A függvényt kirajzoltam k =, 0, 3 értékekre, a 7. ábrán látható. 7. ábra. Az f(x, y) = x + kxy + y függvény különböző k értékekre Példa 5 Az f xxf yy (f xy) kifejezés az origóban az f(x, y) = x 4 y 4 függvényre nulla, így a második deriváltak alapján nem tudjuk eldönteni, van-e szélsőérték. 5 Thomas- féle kalkulus 3, 319. oldal, 44/f feladat 15
Más módon állapítsuk meg, van-e a függvénynek szélsőértéke az origóban! Válaszunkat indokoljuk! Megoldás. Először ellenőrzöm, hogy a (0, 0) pont kritikus pont-e: f x(x, y) = 4x 3 y 4 f y(x, y) = 4x 4 y 3 Behelyettesítve a (0, 0) pontot mindkét egyenlet nullát ad, tehát az origó valóban kritikus pont. Azt is ellenőrzöm, hogy az f xx f yy fxy kifejezés az origóban valóban nullát ad- e: f xx = 1x y 4, f yy = 1x 4 y, f xy = 16x 3 y 3, f xxf yy (f xy) = 144x 6 y 6 16x 3 y 3 (0,0) = 0. Mivel tudjuk, hogy x 4 0 és y 4 0, így f(x, y) = x 4 y 4 0. Ugyanakkor f(0, 0) = 0, tehát f(x, y)-nak az origóban minimuma van. A függvény a 7. ábrán látható. 8. ábra. Az f(x, y) = x 4 y 4 függvény Példa 6 Használjunk számítógép-programot a következő lépések végrehajtására! (a) Rajzoltassuk ki az f(x, y) = x 4 + y 4 x y + 3 függvényt az 6 Thomas- féle kalkulus 3, 30. oldal, 68-as feladat 16
x [ 3, 3], és y [ 3, 3] téglalapon! (b) Rajzoltassuk ki néhány szintvonalát a téglalapban! (c) Számítsuk ki a függvény parciális deriváltjait, és a számítógép egyenletmegoldó programjával keressük meg a kritikus pontokat! Milyen kapcsolatban vannak a kritikus pontok a szintvonalakkal, amiket a (b) részben kirajzoltattunk? Mely kritikus pontok tűnnek úgy, hogy ott nyeregpont van, ha egyáltalán vannak ilyenek? (d) Számítsuk ki a második parciális deriváltakat, és adjuk meg a D(x, y) = f xxf yy (f xy) kifejezést! (e) Az előző pontban meghatározott D-vel osztályozzuk a (c)-ben talált kritikus pontokat (maximum, minimum, nyeregpont)! Megegyeznek ezek a válaszok azzal, amit a (c)-ben tippeltünk? Megoldás. (a) A matlab program segítségével oldottam meg a számítógépes részeket. Alább olvasható a program, amivel kirajzoltattam a megadott tartományon a függvényt, majd pedig a 9. ábrán a függvény. x = 1.50 : 0.1 : 1.50; y = x; [X, Y ] = meshgrid(x, y); Z =. X. 4 + Y. 4. X.. Y. + 3; mesh(x, Y, Z) xlabel ( Az x tengely ) ylabel ( Az y tengely ) zlabel ( Az z tengely ) 17
9. ábra. x 4 + y 4 x y + 3 függvény (b) A szintvonalak kirajzolásához egy hasonló programot írtam, mit a függvény kirajzolásához, csupán a mesh(x, Y, Z) parancsot kellet lecserélni contour(x, Y, Z)-re. A szintvonalak a 10. ábrán láthatóak. 10. ábra. A x 4 + y 4 x y + 3 függvény szintvonalai (c) A függvény elsőrendű parciális deriváltai: 18
f x = 8x 3 4x f y = 4y 3 4y Ennek a megoldásait a következőképpen számoltam ki: syms x y; S=solve( x 3 x == 0, y 3 y == 0); S=[S.x S.y] Az eredmény pedig megadja a kritikus pontokat: (0, 0), (0, 1), (0, 1), ( 1, 0), ( 1, 1), ( 1, 0), ( 1, 1), ( 1, 1), és a ( 1, 1) Ezeket a pontokat piros csillaggal jelöltem a 10. ábrán. A kép alapján úgy gondolom, hogy a (0, 1), a (0, 1), a ( 1, 0), és a ( 1, 0) pontokba van nyeregpont, a (0, 0) pontban lokális maximum és a lokális minimumok a ( 1, 1), a ( 1, 1), a ( 1, 1), és a ( 1, 1) pontokban lesznek. (d) A másodrendű parciális deriváltak: f xx = 4x 4 f yy = 1y 4 f xy = 0 D(x, y) = f xxf yy (f xy) = 88x y 48y 96x + 16 (e) Kritikus pontok kiértékelése: A (0, 0) pontra: D(0, 0) = 16 és f xx(0, 0) = 4, tehát a (0, 0) pontban lokális maximum van. A (0, 1) pontra: D(0, 1) = 3, tehát a (0, 1) pontban nyeregpont van. A (0, 1) pontra: D(0, 1) = 3, tehát a (0, 1) pontban nyeregpont van. A ( 1, 0) pontra: D( 1, 0) = 3, tehát a ( 1, 0) pontban nyeregpont van. A ( 1, 0) pontra: D( 1, 0) = 3, tehát a ( 1, 0) pontban nyeregpont van. 19
A ( 1, 1) pontra: D( 1, 1) = 64 és f xx ( 1, 1) = 8, tehát a ( 1, 0) pontban lokális minimum van van. A ( 1, 1) pontra: D( 1, 1) = 64 és f xx ( 1, 1) = 8, tehát a ( 1, 1) pontban lokális minimum van van. A ( 1, 1) pontra: D( 1, 1) = 64 és f xx ( 1, 1) = 8, tehát a ( 1, 1) pontban lokális minimum van van. A ( 1, 1) pontra: D( 1, 1) = 64 és f xx ( 1, 1) = 8, tehát a ( 1, 1) pontban lokális minimum van van. Amint azt láthatjuk a (c) feladatrészben megtippelt kritikus pont osztályozásaink megegyeznek a (d) feladatrészben kiszámolt eredményekkel, tehát a szintvonalak segítségével, jó fel tudtuk mérni a kritikus pontok típusait. Példa 7 Keressük meg f(x, y) = xy + x ln x y kritikus pontjait az első síknegyedben (x > 0, y > 0), és mutassuk meg, hogy f(x, y) itt minimumot vesz fel. Megoldás. Mivel az első nyílt síknegyeden keressük a kritikus pontokat, így a határon fekvő pontokkal most nem kell foglalkoznunk csak a belső pontokkal. Először kiszámolom az elsőrendű parciális deriváltakat, egyenlővé teszem nullával és megoldom az egyenletrendszert: f x(x, y) = y + = 0 x f y(x, y) = x 1 = 0 y Az egyenletrendszer megoldása: y =, x = 1. Kritikus pont még, ahol nem létezik valamelyik elsőrendű parciális derivált. Ez most a (0, 0) pont, ám mivel az kívül esik ez első nyílt síknegyeden, így ez most nem lesz kritikus pont. Tehát egy kritikus pontot találtunk, az ( 1, )-t. Még meg kell mutatni, hogy itt minimuma van a függvénynek. Ehhez a másodrendű parciális deriváltakat is ki kell számolnom: 7 Thomas- féle kalkulus 3, 318. oldal, 4. feladat 0
f xx(x, y) = x, f yy(x, y) = 1 y, f xy(x, y) = 1. Elkészítem a Hesse- determinánst és behelyettesítem az ( 1, ) pontot: 8 1 1 1 4 Mivel a determináns értéke 1 > 0 és f xx( 1, ) = 8 > 0, így biztosan minimuma van a függvénynek az ( 1, ) pontban. 11. ábra. Az f(x, y) = xy + x ln x y függvény és minimuma.3. Abszolút maximum és abszolút minimum egy korlátos és zárt tartományon.7. Definíció Egy f(x, y) függvénynek a (x 0, y 0 ) pontban abszolút maximuma, illetve minimuma van, ha f(x, y) értelmezve van (x 0, y 0 ) pontban és az értelmezési tartományának bármely (x, y) pontjára f(x 0, y 0 ) f(x, y) illetve f(x 0, y 0 ) f(x, y). Mint tudjuk, korlátos és zárt tartományon folytonos függvényeknek van ezen a tartományon abszolút maximuma és minimuma. Egy korlátos és zárt T tartományon folytonos f(x, y) függvény abszolút szélsőértékeinek megkeresés a következőképpen végezhető el: 1
Soroljuk fel a tartomány belsejében azokat a pontokat amelyekben f- nek lokális szélsőértéke lehet, majd számoljuk ki a helyettesítési értékeket ezekben a pontokban. Soroljuk fel azon pontokat a tartomány határán, ahol f(x, y)-nek szélsőértéke lehet, és számoljuk ki a helyettesítési értékeket. Válasszuk ki a legnagyobb(akat) és legkisebb(eket). A legnagyobb érték lesz az abszolút maximum, a legkisebb az abszolút minimum. Példa 8 Az f(x, y) = x+y függvénynek nincs abszolút maximuma a zárt első síknegyedben, ahol x 0 és y 0. Ellentmondásban van-e ez azzal a módszerrel, amit az abszolút maximum, ill. minimum megkeresésére tanultunk? Megoldás. Mivel a zárt első síknegyed nem egy korlátos és zárt tartomány, így nincs ellentmondásban a bemutatott módszerrel, hiszen az csak korlátos és zárt tartományon folytonos függvények abszolút szélsőértékeinek megtalálására használható. Példa 9 Keressük meg az f(x, y) = x + y abszolút szélsőértékeit az x 0, y 0, y x feltételek mellett! Megoldás. Először a nyílt tartományon (x > 0, y > 0, y < x feltételek mellett) keressük meg a szélsőértékeket, ha vannak! f x(x, y) = x = 0 és f y(x, y) = y = 0 akkor, és csak akkor, ha x = 0 és y = 0. Ám a (0, 0) pont nem eleme a nyílt tartománynak, így itt nincs szélsőérték. Keressük a lehetséges szélsőértékeket a továbbiakban a határon. A határokat pirossal láthatjuk a 1. ábrán. 8 Thomas- féle kalkulus 3, 318. oldal, 51-es feladat 9 Thomas féle kalkulus 3., 317. oldal, 33. feladat
1. ábra. A tartomány, amin a szélsőértéket keressük Az x = 0 feltétel: Keressük f(x, y) szélsőértékét a (0, t) szakaszon, ahol t [0, ]. Az f(0, t) = t minimuma t = 0-ban van, a maximuma t = -ben. Így (0, 0) lokális minimum és (0, ) lokális maximum. Tehát ezek lehetséges abszolút szélsőértékhelyek. Az y = 0 feltétel: Keressük f(x, y) szélsőértékét a (t, 0) szakaszon, ahol t [0, 1]. Az f(t, 0) = t minimuma a t = 0-ban van, a maximuma t = 1-ben. Így (0, 0) lokális minimum és (1, 0) lokális maximum. Tehát ezek lehetséges abszolút szélsőértékhelyek. Az y = x+ feltétel: Az f(t, t+) szélsőértékeit keressük, ahol t [0, 1]. f(t, t + ) = 5t 8t + 4. Ezt deriválva, majd egyenlővé téve nullával azt kapjuk, hogy 10t 8 = 0, azaz t = 8 8 egy minimum. Így a (, 4 ) is lehetséges abszolút szélsőérték 10 10 10 hely. Kiszámolom a függvényértékeket a lehetséges abszolút szélsőértékhelyeken: f(0, 0) = 0 f(0, ) = 4 f(1, 0) = 1 f( 8, 4 ) = 4 10 10 5 Tehát az abszolút maximum (0, )-ben van és f(0, ) = 4. Az abszolút minimum (0, 0)-ben van és f(0, 0) = 0. A függvény a 13. ábrán látható. 3
13. ábra. Az f(x, y) = x + y függvény Példa 10 Keressük meg az f(x, y) = (4x x ) cos y függvény abszolút szélsőérték helyeit és nyeregpontjait, ha vannak ilyenek, az 1 x 3 és a π 4 y π 4 téglalapon! Megoldás. Először a nyílt lapon keresünk. Számoljuk ki az elsőrendű parciális deriváltakat: f x (x, y) = (4 x) cos y f y (x, y) = (4x x )( sin y) Ezek folytonosak és mindenhol léteznek. Szélsőérték csak ott lehet a nyílt téglalapon, ahol ezek az elsőrendű parciális deriváltak egyenlők nullával. { (4 x) cos y = 0 (4x x )( sin y) = 0 4 cos y x cos y = 0 esetén, ha cos y 0 y π/ ± kπ (k=0,1,... ). Ekkor leoszthatunk cos y-nal: 4 = x x = (1, 3) és sin y = sin y y = 0 ± kπ, de mivel y ( π, π ), így a (, 0) pont lesz az, ami eleme a nyílt 4 4 10 Thomas féle kalkulus 3., 317. oldal, 37. feladat 4
téglalapnak és eleget tesz az egyenlőtlenségnek is a feltevésünk mellett. Ha cos y = 0 nincs olyan y, ami eleget tenne annak, hogy y ( π 4, π 4 ). Most keressünk a téglalap határain! A (t, π ) szakaszon, ahol t [1, 3]: 4 Keresem az f(t, π) = 4 (4t t ) cos( π ) szélsőértékét. Ez a t = -ben van, így 4 a lehetséges abszolút szélsőérték helyünk itt a (, π ) pont. A szélsőértékek 4 lehetnek még a intervallum végpontjaiban is. Ezen az oldalon két végpont helyezkedik el ezek: (1, π) és (3, π). 4 4 A (t, π ) szakaszon, ahol t [1, 3]: 4 Keresem az f(t, π) = (4t 4 t ) cos( π ) szélsőértékét. Ez a t = -ben van, 4 így a lehetséges abszolút szélsőérték helyünk itt a (, π ) pont. A szélsőértékek lehetnek még a határoló szakaszok végpontjaiban is. Ezen az oldalon két 4 végpont helyezkedik el ezek: (1, π) és (3, π). 4 4 A (3, t) szakaszon, ahol t [ π 4, π 4 ]: Keresem az f(3, t) = 3 cos t szélsőértékét. Ezek a t = 0±kπ helyeken vannak, ám ezek közül csak a 0 esik a megadott intervallumba. Így itt a lehetséges abszolút szélsőértékhelyünk a (3, 0) pont lesz, és a végpontokat már az előző esetekben felsoroltuk. A (1, t) szakaszon, ahol t [ π 4, π 4 ]: Keresem az f(1, t) = 3 cos t szélsőértékét. Ezek a t = 0±kπ helyeken vannak, ám ezek közül csak a 0 esik a megadott intervallumba. Így itt a lehetséges abszolút szélsőértékhelyünk a (1, 0) pont lesz, és a végpontokat már az előző esetekben felsoroltuk. Most már csak ki kell számolnunk a helyettesítési értékeket és az alapján megállapítani az abszolút szélsőérték helyeket és értékeket. f(, 0) = 4 f(1, π ), 113 4 f(1, π ), 113 4 5
f(3, π ), 113 4 f(3, π ), 113 4 f(3, 0) = 3 f(1, 0) = 3 Így az abszolút maximum a (, 0) pontban van, és értéke 4, és az abszolút minimumok a (1, π), (1, π), (3, π), (3, π ) pontokban vannak, és értékük 4 4 4 4 3 cos( π) = 3 cos( π ), 113. A tartomány és a függvény rendre a 14. és 4 4 15. ábrán láthatóak. 14. ábra. A téglalap, amin a szélsőértéket keressük 15. ábra. Az f(x, y) = (4x x ) cos y függvény a megadott tartományon 6
.4. Lagrange-multiplikátoros módszer Gyakran előfordul, hogy bizonyos korlátozó feltételek mellet keressük a többváltozós függvények szélsőértékeit. A Lagrange multiplikátoros módszer erre a feladatra ad megoldási eljárást. Legyen adva egy g(x, y, z) = 0 feltétel amely mellett keressük, az f(x, y, z) függvény szélsőértékeit. A módszer azt mondja ki, hogy a szélsőértékek a g = 0 és a f = λ g egyenlőségeknek eleget tesznek valamilyen λ konstans esetén..8. Tétel Merőleges gradiens tétel Tegyük, fel, hogy az f(x, y, z) függvény differenciálható egy tartományban, és ennek a belsejében van a C : r(t) = g(t)i + h(t)j + k(t)k sima görbe. Ha az (x 0, y 0 z 0 ) pont a C görbe olyan pontja, ahol a görbe pontjaiban az f(x, y, z) függvénynek lokális maximuma vagy minimuma van, akkor a f merőleges C-re az (x 0, y 0 z 0 ) pontban. Kétdimenziós esetre hasonlóan szól a tétel..9. Következmény Az r(t) = g(t)i + h(t)j sima görbe azon pontjaiban, ahol az f(x, y) függvény lokális maximumot vagy minimumot vesz fel a görbe pontjaiban felvett értékhez képes, fv = 0, ahol v = dr dt. Tegyük fel, hogy f(x, y, z) és g(x, y, z) differenciálható függvények és (x 0, y 0, z 0 ) egy olyan pont a g(x, y, z) = 0 felületen, ahol f(x, y, z)-nek lokális szélsőértéke van a felületen felvett értékeihez képest. Ekkor f(x, y, z)-nek minden olyan pontban lokális szélsőértéke van (x 0, y 0, z 0 )-ban, ami áthalad a g(x, y, z) = 0 felületen és átmegy az (x 0, y 0, z 0 ) ponton. Ez éppen azt jelenti, hogy f merőleges minden ilyen differenciálható görbe sebességvektorára az (x 0, y 0, z 0 ) pontban. Mivel g szintén merőleges ezekre a vektorokra f csak valamilyen konstans szorosa kell legyen g-nek..10. Tétel A Lagrange multiplikátoros módszer Tegyük fel, hogy f(x, y, z) és g(x, y, z) differenciálható függvények. Az f(x, y, z) függvény a g(x, y, z) = 0 feltételnek eleget tevő pontokban akkor vehet fel lokális maximumot vagy minimumot, ha x, y, z és λ kielégítik a f = λ g és a g(x, y, z) = 0 egyenleteket. Kétváltozós esetben a feltétel hasonló, csupán el kell tekinteni a harmadik koordinátától. 7
Példa 11 Mekkorák a méretei az x + y = 1 ellipszisbe írható legnagyobb kerületű a b téglalapnak, ahol a téglalap oldalai párhuzamosak a koordináta tengelyekkel? Mekkora a kerülete? Megoldás. Legyen a téglalap egy csúcsa a megadott ellipszisben és koordinátája legyen (x, y), akkor oldalai x és y hosszúak és eleget tesznek az x + y = 1 egyenletnek, tehát keressük a K a b fv (x, y) = (x + y) = 4(x + y) függvény maximumát a g(x, y) = x + y 1 = 0 feltétel mellett. a b Kell: Létezik λ R, amire: f (x, y) λg (x, y) = 0 R, azaz: 4 x λ = 0 a 4 y λ = 0 b Az első egyenletből λ = a b adódik, és a másodikból λ =. x y a x = b y x = a y b Ezt az x-et visszahelyettesítem a g(x, y) feltételbe: g(x, y) = x + y 1 = 0 a b a y + y 1 = 0 b y = b a +1 Ezt az y-t vissza írva az x = a y -be: b x = a -t kapunk. Most x,y-t visszaírjuk a K a +1b fv(x, y)-be: K fv (x, y) = 4( a +b a +1b ) Tehát adott a és b mellett a maximális kerület 4( a +b a +1b ) lesz, az oldalak hossza pedig: x = Példa a és y = a +1b b. a +1 1 Adott egy háromszög egyik oldala (c) és a vele szemközti szög (γ). Határozzuk meg a háromszög többi alkotórészét úgy, hogy a területe maximális legyen. Megoldás. A célfüggvény legyen a terület kétszerese: T = xy sin γ. Felírom a szinusz- tételt az x és y oldalakra: x = sin α sin β c, y = c. sin γ sin γ 11 Thomas féle kalkulus 3., 38. oldal, 1. feladat 1 Matematika A, Szélsőértékek 8
Ezeket behelyettesítem a célfüggvénybe: f(α, β) = c sin α sin β. A feltétel az sin γ lesz, hogy a háromszög belsőszögeinek összege 180. Tehát a Lagrange- multiplikátoros célfüggvény: c sin α sin β = λ(α + β + γ 180 ). sin γ Az elsőrendű parciális deriváltak: f α = c cos α sin β λ=0, sin γ f β = c sin α cos β λ=0, sin γ f λ = α β γ + 180 =0. Az első két egyenletet átrendezve: cos α sin β = λ sin γ, c sin α cos β = λ sin γ. c Ezeket elosztva egymással azt kapjuk: ctg α tg β = 1, azaz tg β =tg α, amiből azt kapjuk - figyelembe véve, hogy a belső szögek összege kisebb kell legyen mint 180 -, hogy α = β, tehát a keresett háromszög egyenlő szárú. Tehát a háromszög alkotórészei: egy adott γ, a másik két szög: α, β = 180 γ. Így már az oldalakat is könnyen kiszámolhatjuk: a c oldal adott, a = b = c sin α. sin γ.5. Lagrange-multiplikátoros módszer több feltétel esetén Előfordulhat, hogy nem csak egy korlátozó feltételünk van. Legyen f(x, y, z) differenciálható függvény, melynek a szélsőértékeit keressük két korlátozó feltétel: g 1 (x, y, z) = 0 és g (x, y, z) = 0 mellett, ahol g 1 és g differenciálhatóak, és g 1 és g nem párhuzamosak. Ekkor két Lagrange- féle multiplikátor bevezetésére van szükség: λ, és µ..11. Tétel A Lagrange-multiplikátoros módszer két feltétellel f(x, y, z) olyan P (x, y, z) pontokban vehet fel szélsőértéket, ahol x, y, z, λ és µ kielégítik a f(x, y, z) = λ g 1 (x, y, z) + µ g (x, y, z), g 1 (x, y, z) = 0,és g (x, y, z) = 0 egyenleteket..1. Tétel Jelölje D i g j (a) a g j függvény i-edik változója szerinti parciális deriváltját az a helyen. Legyenek f : R p R és g 1, g,... g n R p R (n p) adott függvények. Legyen H = {x R p g 1 (x) = 0, g (x) = 0,... g n (x) = 0}. Tegyük fel, hogy H. Legyenek f, g 1, g,... g n folytonosan differenciálható függvények. Tegyük fel, hogy az f függvénynek a g 1 = 0, g = 0,..., g n = 0 feltétel mellett feltételes szélsőértéke van az a H D(f)pontban. Tegyük fel továbbá, hogy 9
rang D 1 g 1 (a) D g 1 (a)... D p g 1 (a).. D 1 g n (a) D g n (a)... D p g n (a) = n. Ekkor léteznek olyan λ 1, λ,..., λ n R számok, hogy az F := f + λ 1 g 1 + λ g + + λ n g n : R p R függvényre F (a) = 0 R p. Példa 13 Keressük f(x, y, z) = xyz minimumát az x + y 1 = 0 és x z = 0 feltételek mellett. Megoldás. Kell, hogy f = λ g 1 + µ g, g 1 = 0 és g = 0 legyen, azaz: yz = λ + xµ xz = µy xy = λ x = z x + y = 1 Az egyenletrendszer megoldása után négy pontot kapunk: (, 3 3 1, ), 3 3 (, 3 3 1, ), (, 3 3 3 1, ), (, 3 3 3 1, ). Kiszámolva a 3 3 3 3 függvény értékét azt kapjuk, hogy a maximum a (, 3 3 1, ) és 3 3 (, 3 3 1, ) pontokban van, és az értéke 0, 3849, valamint a minimum 3 3 a (, 3 3 1, ) és a (, 3 3 3 1, ) pontokban van, és az értéke 3 3 3 0, 3849. Példa 14 Bizonyítsuk be a számtani és mértani közép közti egyenlőtlenséget. 13 Thomas féle kalkulus 3., 330. oldal, 46. feladat 14 Dr. Kozma László Gazdasági matematika kiegészítő közgazdász hallgatók számára előadásjegyzet 30
Megoldás. A célfüggvény f(x 1, x,..., x n ) = n x 1 x... x n lesz, ahol x 1, x,..., x n 0. A korlátozó feltétel pedig: a = x 1 + x + + x n, ahol a R, így g(x 1, x,..., x n ) = x 1 + x + + x n a. Kell, hogy létezik λ R, amire: f (x 1, x,..., x n ) + λg (x 1, x,..., x n ) = 0 R n. Az x i szerinti n x1 x parciális deriváltak:...x n nx i + λ = 0, ahol i = 1,,..., n. Ezek a feltételek akkor teljesülnek, ha x 1 = x = = x n és a feltétel miatt, x 1 = x = = x n = a. Mivel a változók nem negatívak, a minimum érték nulla lesz. Az n x 1 = x = = x n = a pontban tehát csak maximum lehet. Így minden n más a feltételt teljesítő pont esetén:f(x 1, x,..., x n ) f( a, a,..., a ) = a. n n n n Tehát megkaptuk, hogy n x 1 x... x n x 1+x + +x n. n 31
Irodalomjegyzék [1] Laczkovich Miklós-T.Sós Vera:Analízis I., Nemzeti Tankönyvkiadó Zrt., Budapest, 006 [] George B. Thomas, Jr.: Thomas-féle Kalkulus 1., A magyar kiadás főszerkesztője: Szász Domonkos, Typotex, Budapest, 008 [3] George B. Thomas, Jr.: Thomas-féle Kalkulus 3., A magyar kiadás főszerkesztője: Szász Domonkos, Typotex, Budapest, 007 [4] Fekete Zoltán, Zalay Miklós: Többváltozós függvények analízise, Műszaki Kiadó,Budapest,1985. [5] Sikolya Eszter: Analízis előadásjegyzet, ELTE,008/09. tavaszi félév, http : //www.cs.elte.hu/ seszter/oktatas/008_09_/ BSc _mattanar_ea/lagrange_multiplikator.pdf [6] Dr. László Kozma: Gazdasági matematika kiegészítő közgazdász hallgatók számára előadásjegyzet, Previous courses, http : //www.math.klte.hu/ kozma/tobbv f.pdf [7] Szilágyi Brigitta: Matematika A, Szélsőértékek, http : //www.math.bme.hu/ szilagyi/17 k etv s zelsoertek.pdf 3