Szélsőérték-számítás Jelölések A következő jelölések mind az f függvény x szerinti parciális deriváltját jelentik: Ugyanígy az f függvény y szerinti parciális deriváltja: f x = xf = f x f y = yf = f y A második deriváltakra: Hx, y = x 2 x y y x y 2 = xx f xy f yx f yy f = f xx f xy f yx f yy Bármelyik verziót lehet használni. A következőkben én a pirossal jelölteket fogom használni, mert azt a legegyszerűbb leírni. Pozitív definit vagy negatív definit-e egy mátrix? erre majd szükségünk lesz... Ezt a kérdést vizsgálhatjuk a "főminorok" segítségével. Egy mátrix főminorjai a bal felső négyzetes részmátrixok determinánsai. Nézzük a következő mátrixot: A = 1 2 4 5 6 7 8 9 Az A mátrix főminorjai: D 1 = 1 1 2 4 5 = 5 8 = 1 2 D = 4 5 6 7 8 9 =... = 0 Ha minden főminor pozitív, akkor a mátrix pozitív definit. D1 D 2 D D 4... + + + +... Ha a főminorok váltakozó előjelűek, és negatívval kezdődnek, akkor a mátrix negatív definit. D1 D 2 D D 4... + +... 1
Monostory V. / 110. Számold ki a függvény lokális szélsőértékeit! Először ki kell számolni a parciális deriváltakat: fx, y = x 2 xy + y 2 + x 2y + 1 f x = 2x y + f y = x + 2y 2 Ott lehet a függvénynek szélsőértéke, ahol mindkét parciális derivált = 0. Így fel tudunk írni egy egyenletrendszert: f x = 2x y + = } 0 y = 2x + f y = x + 2y 2 = 0 A második egyenletbe beírva az y-t: Tehát az f függvénynek csak a x + 22x + 2 = 0 x + 4 = 0 x = 4 y = 2x + = 2 4 + = 1 4, 1 pontban lehet szélsőértéke. Most meg kell nézni, hogy minimum vagy maximum van-e. Ehhez ki kell számítani a második deriváltat. A második derivált egy mátrix lesz, Hesse-mátrixnak nevezik: fxx f Hx, y = yx f xy f yy Kiszámoljuk egyenként a mátrix elemeit: f xx = 2 az f x -et deriváljuk az x szerint f xy = 1 az f x -et deriváljuk az y szerint f yx = f xy = 1 a Hesse-mátrix szimmetrikus f yy = 2 az f y -t deriváljuk az y szerint A Hesse-mátrix tehát Hx, y = 2 1 1 2 Most meg kell nézni a Hesse-mátrix értékét a lehetséges szélsőérték helyeken, azaz azokban a pontokban amik a megoldás első részében kijöttek. Most csak egy ilyen pontunk volt, a 4, 1. H 4, 1 2 1 = 1 2 2
Általában a Hx, y függ az x-től és y-tól. Most nem ez a helyzet, a Hx, y egy konstans mátrix, minden x, y pontban ugyanúgy néz ki. A szélsőérték fajtája a H 4, 1 mátrix definitségétől függ: Ha a H 4, 1 mátrix pozitív definit, akkor a 4, 1 pont lokális minimum Pozitív definit "mosolygó száj" minimum. Ha a H 4, 1 mátrix negatív definit, akkor a Negatív definit "szomorú száj" maximum. 4, 1 pont lokális maximum Nézzük a H főminorjait: D 1 = 2 2 1 1 2 = 4 1 = Mindkettő főminor pozitív, ezért a H 4, 1 mátrix pozitív definit, vagyis a 4, 1 pont lokális minimumhelye az f függvénynek. Példa háromváltozós függvényre Számold ki a következő függvény lokális szélsőértékeit! fx, y, z = 2x 2 y + 2xy y 2 10z 2 I. A parciális deriváltak kiszámítása és az egyenletrendszer megoldása: A harmadik egyenletből látszik, hogy z = 0. f x = 4xy + 2y = 0 f y = 2x 2 + 2x 6y = 0 f z = 20z = 0 A második egyenletből ki lehet fejezni az y-t: y = x2 + x Ezt beírva az első egyenletbe: 4x + 2y = 0 4x + 2 x2 + x 2x + 1x 2 + x = 0 2x + 1xx + 1 = 0 = 0 /, : 2 Az utolsó sor akkor teljesül, ha a szorzat valamelyik tagja egyenlő 0-val, vagyis:
x 1 = 1 2 x 2 = 0 x = 1 A hozzájuk tartozó y-ok: y 1 = x2 1 + x 1 y 2 = x2 2 + x 2 y = x2 + x = 1 12 = 0 = 0 A z mindig = 0. A kapott pontok tehát: P 1 = 12, 112, 0 ; P 2 = 0, 0, 0; P = 1, 0, 0 II. A másodrendű deriváltak kiszámítása: Hx, y = Sorra vesszük az első részben kijött pontokat: f xx f yx f zx f xy f yy f zy f xz f yz f zz = 4y 4x + 2 0 4x + 2 6 0 HP 1 = H 12, 112, 0 = 1 0 0 0 6 0 A mátrix főminorjait nézzük: D 1 = 1 1 0 = 2 0 6 1 0 0 D = 0 6 0 = 20 2 = 40 Az előjelek: + ezért a mátrix negatív definit, és így P 1 -ben lokális maximum van. 4
HP 2 = H0, 0, 0 = 0 2 0 2 6 0 A mátrix főminorjai: D 1 = 0 0 2 2 6 = 4 0 2 0 D = 2 6 0 = 20 4 = 80 Ez a mátrix nem pozitív definit és nem is negatív definit. Ilyenkor nem tudjátok eldönteni mi van a pontban. Ez különben egy nyeregpont lesz, de ez elvileg nem kell nektek... A mátrix főminorjai: HP = H 1, 0, 0 = 0 2 0 2 6 0 D 1 = 0 D = 0 2 2 6 0 2 0 2 6 0 = 4 = 20 4 = 80 Ez a mátrix megint nem pozitív definit, és nem negatív definit. Nyeregpont lesz. Megjegyzés 1. Ha a főminoroknál a + + + +... előjelsorozatot csak 0-ák rontják el, akkor vagy lokális minimum vagy nyeregpont van. 2. Ha a főminoroknál a + +... előjelsorozatot csak 0-ák rontják el, akkor vagy lokális maximum vagy nyeregpont van.. Ha egyik felső eset sem teljesül, akkor tuti nyeregpont van. Pl. -as mátrix esetén: 1. 0 + +: csak a 0 rontja el a + + +-t, ezért lok min vagy nyeregpont 2. 0 : csak a 0 rontja el a + -t, ezért lok max vagy nyeregpont. 0 + : megint csak a 0 rontja el a + -t ezért lok max vagy nyeregpont 4. + 0: ez tuti nyeregpont 5. stb. 5