Koák Imre Seidl Görg FEJEZETEK SZILÁRDSÁGTNBÓL KÉZIRT 004 008
. FEJEZET tenorsámítás elemei.. Beveető megjegések... Könapi tapastalat, hog a terméset jelenségei függetlenek a megfigelőtől. Várható tehát, hog a jelenségeket leíró egenletek, követkeőleg a egenletekben sereplő menniségek maguk is, függetlenek a megfigelő által válastott koordináta-rendsertől (továbbiakban KR). Másként fogalmava a egenletek és a bennük sereplő menniségek váltoatlanok, idegen sóval invariánsok, maradnak a KR megváltotatása során. KR megváltotatásán tágabb értelemben a KR eltolását és elforgatását, sűkebb értelemben elforgatását értjük.... okat a menniségeket, ameleket a klassikus fiika törvéneit alkotó egenletek tartalmanak és amelek, a fentiek serint véve, invariáns menniségek, általában tenoroknak neveük. Matematikai terminológiával élve a skalárokat nulladrendű, a vektorokat elsőrendű tenoroknak fogjuk neveni és megkülönbötetünk másodrendű, harmadrendű, illetve magasabbrendű tenorokat. másodrendű tenorokkal kapcsolatos kérdések beveető jellegű ismertetése a jelen fejeet fő feladata. mint a később ki fog derülni, mechanikai néőpontból véve at mondhatjuk mindig (másodrendű) tenorra van sükség, ha valamilen vektormenniség (elsőrendű tenor) nemcsak a helkoordináták függvéne, hanem eg adott pontban függ a ottani iránoktól is. E okból, hacsak nem neveük meg külön a rendűséget, a tenor són másodrendű tenort fogunk érteni... Függvének... mi a alkalmaott jelöléseket illeti a alábbiakat emeljük ki: skalár menniségeket latin vag görög kurív (dőlt) betű jelöli. E kis- és nagbetű egaránt lehet. Íg például ρ jelöli a sűrűséget. rugalmas testben terhelés során felhalmoódott rugalmas energiát (más néven alakváltoási energiát) pedig a nag U-val jelöljük. vektorokat álló félkövér kis vag nagbetű, a másodrendű tenorokat pedig félkövér kurív nagbetű jelöli. Eel össhangban a elmodulásvektor jele például u, a un. fesültségi tenor jele pedig T. harmad- és magasabbrendű tenorokat félkövér sans serif típusú betűvel sedjük: pl. C. skalársorásnak, a vektoriális sorásnak, a később beveetésre kerülő diádikus sorásnak pedig a műveleti jele. mátriokat illetően abban állapodunk meg, hog a mátri betűjele egser aláhúott félkövér álló betű. Ha sükséges, erre többnire a mátri értelmeésekor van igén, akkor megadjuk a mátri méretét is. T = T (3 3) mátri például a fesültségi tenor 3 3 méretű mátria valamilen KR-ben. mátriok köött értelmeett sorásra nem hasnálunk külön műveleti jelet.
.. Függvének e R e e O e e R O e.. ábra. mi a KR-eket illeti, kartéiusi KR-t fogunk alkalmani itt a koordinátákat rendre, és, a vonatkoó egségvektorokat pedig e, e és e jelöli vag pedig hengerkr-t itt R a sugár, ϕ a polársög, és a harmadik koordináta, a vonatkoó egségvektorokat pedig rendre e R, e ϕ és e jelöli eek a koordinátavonalak érintői. Fennállnak a e R = e ϕ e, e ϕ = e e R, valamint a e = e R e ϕ össefüggések, aa a hengerkr, akárcsak a kartéiusi KR, ortogonális és jobbsodratú. említett két KR-t a.. ábra semlélteti. Ha valamel mátriot eg adott KR-he kötötten tekintünk, akkor sükség lehet arra, hog e a jelölésből is kitűnjön. Íg például T = T (R,ϕ,) a fesültségi tenor mátria a polárkoordináta-rendser eg adott pontjában. Megjegeük, hog 3 3 mátriok esetén a mátriok elemeinek indeelésére vag sámokat, illetve gakorta különösen akkor, ha a mátri oslopai háromméretű vektoroknak tekinthetők a illetve a Rϕ KR-ben betűket alkalmaunk ol módon, hog a, és 3 sámoknak rendre, és vag R, ϕ és felel meg. Íg például a W mátri elemeit vag a megsokott módon a W = w w w 3 w w w 3, (.a) w 3 w 3 w 33 vagpedig a W = w w w w w w, illetve a W = w RR w Rϕ w R w ϕr w ϕϕ w ϕ (.b) w w w w R w ϕ w módon is írhatjuk.... mi a függvének ostáloását illeti besélhetünk skalár-skalár függvénekről, skalárvektor függvénekről illetve vektor-vektor függvénekről. Skalár-skalár függvénre példaként vehető a = f () egváltoós függvén, e görbe egenlete; a = f(, ) kétváltoós függvén, e felület egenlete; illetve a ϑ = ϑ(,, ) háromváltoós függvén, ami mondjuk eg test hőmérsékletmeejét adja meg. = m függvént homogén lineáris függvénnek neveük, hisen nilvánvalóan lineáris és mivel =0-ra =0aért homogén is. = f () egváltoós függvént általában akkor neveük homogén lineáris függvénnek, ha fennáll a f(λ +λ )=λ f( )+λ f( ) (.)
. tenorsámítás elemei 3 egenlet. (λ +λ )=m(λ +λ )=λ (m )+λ (m )=λ ( )+λ ( ) átalakításból aonnal követkeik, hog a =m függvén a utóbbi kritérium serint is homogén lineáris. (.) egenlettel adott definíciónak a a előne, amint at a későbbiekben látni fogjuk, hog können általánosítható. skalár-vektor függvén például a f(r) módon jelölhető, ahol r=e +e +e ahelvektor. Skalár-vektor függvénnek tekinthetjük pl. a helvektor adott iránú vetületének sámítását... ábra jelöléseivel d = f(r)=a r = a T r = [ a a ] a ; a =, (.3) O d r a ahol a a iránvektor. mátri betűjele mellett jobbra fenn álló T a mátri transponáltját jelöli. fenti példa jól illustrálja, hog a KR-ben bármel vektor, íg a a vag mondjuk a v vektor is megadható a, illetve a iránú egségvektorok segítségével felírt össetevőivel: a = a e +a e +a e, v = v e +v e +v e (.4) illetve a vektor koordinátáival képett oslopmátri segít-.. ábra. ségével: Innen a a illetve v vektorok ismeretében a T = [ a a a ], v T = [ v v v ]. (.5) a = a e a = a e a = a e (.6a) v = v e v = v e v = v e (.6b) a e, e és e -re vonatkotatott (iránú) koordináták. Kitűnik a (.3) egenletből, hog a vektorok köötti skalársorás a KR-ben vag a tengeliránú össetevők köötti műveletekkel vag a vonatkoó mátriok köötti műveletekkel, neveetesen aok sorásával végehető el. E a tulajdonsága a skalársorásnak más vektorok, illetve tenorok köötti értelmeett műveletekre is érvénben marad, ami at jelenti, hog eek a műveletek is elvégehetők vag a vektorok illetve tenorok össetevőivel, vagpedig a hoájuk rendelt mátriok segítségével. tenor össetevőire lásd pl. a (.9) képletet. Vektor-vektor függvénről besélünk ha a f függő váltoó et a menniséget fiikai problémák esetén többnire a menniség fiikai jelentésére utaló betű jelöli vektormenniség, uganúg mint a független váltoó. Példaként említhetjük a origóban működő F erő térpontokra vett nomatékát: M P (r)=f r = e e e F F F =(F F )e +(F F )e +(F F )e (.7)
4.. Függvének r O F.3. ábra. M P P Vegük ésre, hog a fenti sorat mátriok segítségével is felírható: M P = 0 F F F 0 F = F F F F. (.8) F F 0 F F utóbbi mátrisorat első soróténeője eg ferdesimmetrikus 3 3 mátri, melbena, és indeű elemek a vektorsorat első soróténeőjének koordinátái, míg a, és indeű elemek eek ellentettjei. második soróténeő a vektorsorat második soróténeőjéből képett oslopmátri. Legen Ψ = 0 ψ ψ ψ 0 ψ ψ ψ 0 (.9) ferdesimmetrikus mátri, aa ψ = ψ,ψ = ψ és ψ = ψ. Legen továbbá Δr T = [ Δ Δ Δ ] (.0) a helvektor megváltoása. Nilvánvaló a (.7) és (.8) képletek alapján, hog a Ψ Δr (.) mátrisoratnak a vektorsorat felel meg, ahol ϕ Δr (.) ϕ = ϕ e +ϕ e +ϕ e és ϕ = ψ, ϕ = ψ, illetve ϕ = ψ. (.3) mondottak serint bármel ferdesimmetrikus mátri és eg oslopmátri soratának vektoriális sorás feleltethető meg, és perse megfordítva is, amint at a (.7) és (.8) képletek kapcsán résletesen láttuk...3. Fentebb rámutattunk arra, hog a KR-ben bármel vektor megadható a e, e és e egségvektorok segítségével. továbbiakban megmutatjuk, hog bármel vektor, mondjuk a v vektor, megadható három nem komplanáris vektor felhasnálásával. a, a és a 3 un. báisvektorokra néve a báis só, mint jelő arra utal, hog e három vektor segítségével, bármel más vektor előállítható kikötjük, hog (a a ) a 3 =[a a a 3 ]=a o 0, (.4) aa nem komplanárisok. a, a és a 3 vektorokho tartoó un. reciprok báisvektorokat a a = a a 3, a = a 3 a a o a o képletek értelmeik. Egserű sámítással ellenőrihető, hog a i a j = δ ij, ahol δ ij = és { hai = j 0 hai j a 3 = a a a o (.5) i, j =,,3. (.6) fentiek alapján a v vektor valóban megadható a v = v a +v a +v 3 a 3 (.7) alakban, ahol v = v a, v = v a és v 3 = v a 3 (.8) a v vektor a, a és a 3 báisvektorokra vonatkotatott koordinátái. Uganilen módon látható be, hog a v vektor a v = v a + v a + v 3a3 (.9)
. tenorsámítás elemei 5 alakban is megadható, ahol v = v a, v = v a és v 3 = v a 3 (.0) a v vektor v, v és v 3 reciprok báisvektorokra vonatkotatott koordinátái..3. másodrendű tenor fogalmának geometriai beveetése.3.. másodrendű tenor fogalmának beveetéseként megvisgáljuk a homogén lineáris vektor-vektor függvének tulajdonságait. Vissaidéve a egváltoós homogén lineáris függvéneket értelmeő (.) egenlet serkeetét at mondjuk, hog homogén lineáris a vektor-vektor függvén, ha teljesül a w = f(v) (.) f (v e +v e +v e )=v f(e )+v f(e )+v f(e ) (.) egenlet. Geometriailag a fenti egenlet olan függvénnek tekinthető, amel a tetsőleges O v pontból felmért v vektorok háromméretű terét leképei a ugancsak tetsőleges O w pontból felmért w vektorok háromméretű terére.4. ábra. v vektorokat tárgvektoroknak, a w vektorokat képvektoroknak neveük. Röviden a mondható, hog a w a v képe. t mondjuk, hog nem elfajuló a leképeés, ha a v vektorok teljes háromméretű terét a w vektorok teljes háromméretű terére képeük le. w v O w O v ahol.4. ábra. Jelölje a e, e és e vektorok képét rendre Nilvánvaló a (.) alapján, hog w = f(e ), w = f(e ) és w = f(e ), (.3) w = w e +w e +w e, w = w e +w e +w e, (.4) w = w e +w e +w e. w = f(v)=v w +v w +v w = w (e v) +w }{{} (e v) +w (e v), (.5) }{{}}{{} v v v aa a leképeést egértelműen meghatároa a e, e és e vektorok w, w és w képe, vagis kilenc skalármenniség..3.. További tartalom adható a (.5) képlet jobboldalának ha értelmeük két vektor diádikus soratát. Jelölje a a és b vektorok diádikus soratát, más néven diádot a b. sorat a rajta végett műveletek kapcsán kap mélebb értelmet. Ha a diádikus soratot jobbról, vag balról sorouk skalárisan a v vektorral, akkor a lenti értelmeés serinti vektorok
6.3. másodrendű tenor fogalmának geometriai beveetése a eredmén: ahonnan aonnal látsik, hog általában (a b) v = a (b v), v (a b)=(v a) b, (a b) v v (a b). (.6a) (.6b) Ha a diádikus soratot jobbról, vag balról sorouk vektoriálisan a v vektorral, akkor a lenti értelmeés serint a eredmén továbbra is diád: és a is látsik, hog (a b) v = a (b v), v (a b)=(v a) b (a b) v v (a b). Megemlítjük, hog a a, b, c és d vektorokból képett a b és c d diádok skaláris soratát a (.7a) (.7b) (a b) (c d)=a b c d = a d (b c)=(b c) a d (.8) egenlet értelmei. fentiek serint két diád skaláris sorata ugancsak diád. (.6a) képlet alapján a w (e v) }{{} =(w e ) v, w (e v) =(w e ) v }{{} és w (e v) }{{} v v össefüggések írhatók fel, amelekkel (.5)-ből a eredmén követkeik. utóbbi képletben álló w = f(v)=(w e +w e +w e ) v v =(w e ) v W = w e +w e +w e (.9) diádösseget másodrendű tenornak neveük. W tenor segítségével a leképeést adó f(v) homogén lineáris függvén a w = f(v)=w v (.30) alakban írható fel. E a előállítás uganolan jellegű mint a egváltoós homogén lineáris függvének = m alakja (-nak w, m-nek W, -nek v felel meg). Mivel maga a leképeés KR független, a W tenor, uganúg mint valamel vektor, KR független menniség. (.9) diádösseg aonban már KR-he kötött, a KR-ben adja meg a invariáns W tenort. Más savakkal a diádok soróténeői, a tárgvektorok (egségvektorok) és a hoájuk tartoó képvektorok már eg adott KR-ben lettek véve. W tenor ismeretében a w = W e, w = W e, w = W e (.3) soratok adják a e, e és e egségvektorokho tartoó és a tenort a KR-ben meghatároó w, w és w képvektorokat. w, w és w képvektorok w,w,etc.w koordinátái pedig a vektorok koordinátáinak sámítására solgáló (.6a,b) és a (.4) képletek alapján a össefüggésekkel határohatók meg. w mn = e m W e n m, n =,, (.3)
. tenorsámítás elemei 7 e R e e P e e P e R e e e R e e O e e R O e e e e e R e e e.5. ábra. test pontjaiho kötött vektorokat és tenorokat a test pontjaiho kötött, un. lokális KRekben állítjuk elő, hisen aok a tekintett pont valamilen fiikai állapotát adják meg kvantitatíve. KR-ben a minden pontban aonos lokális KR báisvektorai (egségvektorai) megegenek a koordinátatengelek egségvektoraival. Rϕ KR-ben aonban pontról pontra váltonak a lokális KR-ek illetve a báisvektorok. E annak a követkeméne, hog e a KR görbevonalú..5. ábra mindkét esetet semlélteti..3.3. leképeés során a a, a, a 3, [a a a 3 ]=a 0 0 vektorhármas is vehető báisnak. Ha ismerjük a a, a és a 3 vektorok w = f(a ), w = f(a ) és w 3 = f(a 3 ) (.33) képeit, akkor a leképőfüggvén homogén lineáris voltát valamint a (.8) képletet kihasnálva kapjuk, hog w = f(v)=f(v a +v a +v 3 a 3 )=v w +v w +v 3 w 3 = w ( a v) +w ( a v) +w 3 ( a 3 v) }{{}}{{}}{{} v v diádokkal kapcsolatos (.6a) műveleti sabál alapján kiemelhetjük innen a v vektort ) w = f(v)= (w a +w a +w 3 a 3 v, } {{ } W ahol a egüttható ismét a W tenort adja. v 3. W = w a +w a +w 3 a 3 (.34).4. Speciális tenorok.4.. W tenor transponáltját kapjuk, ha felcseréljük (.9)-ban a diádikus soratok soróténeőinek sorrendjét: W T = e w +e w +e w. (.35)
8.4. Speciális tenorok Vegük ésre, hog v W T = v (e w +e w +e w )=(v e ) w }{{} +(v e ) w +(v e ) w }{{}}{{} = v v v vag tömören ahonnan = w (e v) +w }{{} (e v) +w (e v) =(w }{{}}{{} e +w e +w e ) v =W v, v v v bármilen legen is a u és v vektor. W tenor simmetrikus, ha Ha a W tenor simmetrikus, akkor (.36) és (.37) alapján bármilen legen is a u és v. W tenor ferdesimmetrikus, ha v W T = W v, (.36) v W T u = u W v (.37) W = W T. (.38) v W = W v illetve v W u = u W v (.39) W = W T. (.40) Ha a W tenor ferdesimmetrikus, akkor (.36) és (.37) alapján v W = W v illetve v W u = u W v (.4) bármilen legen is a u és v. W tenor poitív definit poitív semidefinit negatív semidefinit negatív definit ha bármel u ra E egségtenor önmagára képei le a v vektorok terét. u W u > 0 u W u 0 u W u 0 u W u < 0. v = v e +v e +v e = e (e v) +e }{{} (e v) +e (e v) = }{{}}{{} v v v átalakítás alapján aonnal kapjuk, hog =(e e +e e +e e ) v }{{} E E = E T = e e +e e +e e (.4) ahonnan a is látsik, hog simmetrikus a E egségtenor. W = ( W +W T ) + ( W W T ) (.43)
. tenorsámítás elemei 9 átalakítás alapján adódik a követketetés, hog bármel W tenor felbontható eg simmetrikus W s és eg ferdesimmetrikus W as tenor össegére: W = W s +W as, (.44) ahol W s = ( W +W T ) illetve W as = ( W W T ). (.45) E a eredmén a additív felbontási tétel néven ismeretes..4.. Visgáljuk meg milen a W tenor ferdesimmetrikus réséhe tartoó leképeés. ferdesimmetrikus rést adó (.45), továbbá a (.35) képlet felhasnálásával kihasnálva egúttal a diádokon végett skaláris sorás műveleti sabálait és a kétseres vektorsoratokkal kapcsolatos kifejtési tételt írható, hog W as v = ( W W T ) v = = (w e +w e +w e ) v (e w +e w +e w ) v = = [w (e v) e (w v)] + }{{} [w (e v) e (w v)] + }{{} [w (e v) e (w v)] = }{{} (w e ) v (w e ) v (w e ) v vag, elhagva a köbülső átalakítás lépéseit ahol, össhangban a fentiekkel = [w e +w e +w e ] }{{} v (.46) w a W as v = w a v (.47) w a = [w e +w e +w e ]. (.48) w a vektor a W tenor un. vektorinvariánsa. Mivel a (.46) baloldalán álló leképeés KR független, a jobboldal w a vektora is KR független kell, hog legen. Maga a invariáns só erre a körülménre utal. Vegük ésre, hog a (.48) képlet können megjegehető, hisen csak annit kell tenni a memoriáláskor, hog a W tenort megadó (.9) képletben a diádikus sorás műveleti jelét a vektoriális sorás műveleti jelére cseréljük, majd megsorouk a eredmént /-el. (.4) képvektorokat felhasnálva w e = w e w e, w e = w e w e és w e = w e w e, amelekkel w a = w a e +w a e +w a e, (.49a) ahol w a = (w w ), w a = (w w ) és w a = (w w ). (.49b) Ha a W tenor simmetrikus, akkor a (.47) és (.46) első sora alapján figelembevéve a W = W T simmetriafeltételt írható, hog w a v = ( W W T ) v =0.
0.5. Speciális tenorok Mivel e a egenlet bármel v-re fennáll, követkeik, hog w a = 0, aa, hog simmetrikus tenorok esetén a KR e, e és e egségvektoraiho rendelt w, w és w képvektorok koordinátái eleget tesnek a w = w, w = w és w = w. (.50) feltételeknek. Ha a W tenor ferdesimmetrikus, akkor a w mn -t adó (.3) és a (.4) képletek serint, a utóbbiban rendre e m és e n -t gondolunk u és v helére, kapjuk, hog e m W e n = e n W e m m n, m, n =,, e m W e m = e m W e m m =,, aa, hog ferdesimmetrikus tenorok esetén a KR e, e és e egségvektoraiho rendelt w, w és w képvektorok koordinátái eleget tesnek a w = w, w = w és w = w, továbbáa w = w = w =0 (.5) feltételeknek..4.3. W = w e +w e +w e másodrendű tenor inverét a W módon jelöljük és a W W = W W = E (.5) egenlettel értelmeük. Eserint a tenor és inverének skalársorata függetlenül a sorás sorrendjétől a egségtenort eredménei. Tegük fel a továbbiakban, hog nem elfajuló a W tenorral kapcsolatos leképeés (aa nincs köös síkja a w, w és w képvektoroknak). E esetben a (.5) és (.4) képletek alapján a w = w w w o, w = w w w o, w = w w w o, w o =(w w ) w =[w w w ] 0 (.53) módon sámíthatjuk a w, w és w képvektorokho rendelt reciprok vektorokat. is nilvánvaló vissaidéve a (.6) képletet, hog w m w n = { ham = n 0 ham n m, n =,,. (.54) Felhasnálva a (.53) képletekkel értelmeett w, w és w reciprok vektorokat a W tenor invere a W = e w +e w +e w (.55) alakban írható fel. Valóban a fenti inver és a tenor W W skalársorata tekintetében kihasnálva a (.8) és (.54) össefüggéseket fennáll, hog ) W W = (e w +e w +e w (w e +w e +w e )= ( w ) ( w ) ( w ) = e e w +e e w +e e w + }{{} = ( w ) +e e w } {{ } =0 }{{} = ( w ) + +e e w } {{ } =0 } {{ } = = e e +e e +e e = E, ami at jelenti, hog teljesül a inverel kapcsolatos W W = E össefüggés. W W = E egenlet igaolását gakorlatra hagjuk.
. tenorsámítás elemei.5. Tenorok és mátriok.5.. v vektor w képvektoráho, valamint a egségvektorok w, w és w képvektoraiho rendelt v, w, w, w és w oslopvektorok (oslopmátriok) segítségével mátri jelölésekkel is felírható a leképeéssel kapcsolatos (.5) képlet: Kirésleteve w w w } {{ } w = w w Ebben a egenletben w } {{ } w W (3 3) v + w = f(v)=w v +w v +w v. w w w } {{ } w v + w w w } {{ } w = w w w = v = w w w w w w w w w }{{}}{{} W w w w w w w w w w v. v v v (.56) a W tenor mátria a KR-ben és a is kiolvasható a fenti képletekből, hog a v leképeésével kapcsolatos (.30) egenletnek a w = W (3 ) v (3 3) (3 ) (.57) össefüggés felel meg. Figeljük meg, hog a W tenor KR-beni W mátriának oslopait rendre a e, e és e vektorokho tartoó w, w és w képvektorok mátriai, aa a w, w és w oslopvektorok alkotják. Megjegeük, hog a képvektorok mátriokkal történő felírása során a vonatkoó mátriok méreteit a továbbiakban csak akkor írjuk ki, ha et valamilen okból hangsúloni kívánjuk..5.. W tenort adó diádösseg lásd a W -t adó (.9) képlet jobboldalát minden eges tagja külön külön tenor, a alábbi leképeésekkel: a w e tenor a e, e és e vektorokho rendre a w, érus, érus vektorokat, a w e tenor a e, e és e vektorokho rendre a érus, w, érus vektorokat, a w e tenor a e, e és e vektorokho rendre a érus, érus, w vektorokat rendeli. Vissaidéve, hog a W tenor (.56) serinti mátriában a első oslop a e -he, a második oslop a e -ho, a harmadik oslop a e -he rendelt képvektor mátria at kapjuk, hog a w e diádnak, mint tenornak w 0 0 w 0 0 w 0 0 = w w w [ 0 0 ] = w a w e diádnak, mint tenornak 0 w 0 0 w 0 = w w [ 0 0 ] = w 0 w 0 w a w e diádnak, mint tenornak pedig 0 0 w 0 0 w 0 0 w = w w w [ 0 0 ] = w e T (3 ) ( 3) e T (3 ) ( 3) e T (3 ) ( 3) a mátria, ahol e, e és e a egségvektorok oslopmátriai. ; ;
.6. Tenorok és mátriok T = a b = a (b e +b e +b e )= ab }{{} e + ab e + ab e }{{}}{{} t t t diád mint tenor mátriára hasonló gondolatmenettel a T = t t t = ab ab ab = = a b a b a b a b a b a b a b a b a b = a a [ ] b b b = a a b T (3 ) ( 3) eredmén követkeik. fenti képletek serint két vektor diádikus soratának mátria a első vektor oslopmátriának és a második vektor oslopmátria transponáltjának sorata. Et a soratot is diádikus soratnak neveük..5.3. W tenor transponáltjának mátria a transponált tenort értelmeő (.35) képlet és a előőek serint adódik: e w T + e w T + e w T = w w w w w w = W T, (3 ) ( 3) (3 ) ( 3) (3 ) ( 3) w w w aa a tenor transponáltjának mátria megegeik a tenor mátriának transponáltjával. Nilvánvaló, hog a E egségtenornak a E egségmátri a mátria: E = e e T + e e T + e e T = 0 0 0 0. (.58) (3 ) ( 3) (3 ) ( 3) (3 ) ( 3) 0 0 simmetrikus tenorokkal kapcsolatos (.50) össefüggés serint a simmetrikus tenorok mátria is simmetrikus: W = W T. (.59) ferdesimmetrikus tenorokkal kapcsolatos (.5) össefüggés serint a ferdesimmetrikus tenorok mátria is ferdesimmetrikus: (.44) és (.45) egenletekkel adott felbontási tételnek a W = W T. (.60) W = W s +W as (.6) egenlet, ahol W s = ( W+W T ) és W as = ( W W T ), (.6) a mátri alakja. W másodrendű tenor determinánsát a det (W ) módon jelöljük. E értelmeés serint a tenor W mátriának determinánsa: det (W )) = det (W) (.63) Igaolható, hog a másodrendű tenor inverének mátria megegeik a tenor mátriának inverével. igaolást a.9. Gakorlatra hagjuk.
. tenorsámítás elemei 3.6. Simmetrikus tenorok sajátértékfeladata.6.. Legen a W tenor simmetrikus. Keressük aokat a n iránokat eeket főiránoknak neveük majd amelekre néve fennáll, hog a iránt kijelölő n = n e +n e +n e ; n +n +n = (.64) egségvektor és a hoátartoó w n képvektor egmással párhuamos a.6. ábra et a esetet semlélteti. Ha párhuamos a w n és n akkor fennáll a w n n O w =O v.6. ábra. w n = W n = λn (.65) össefüggés, ahol a λ, hasonlóan a n, n és n -he, egelőre ismeretlen paraméter. Mivel a E egségtenor minden vektort önmagára képe le a fenti egenlet átírható a W n λe n = 0, vag ami ugana a (W λe) n = 0 (.66) alakba. W és E tenorok, valamint a n vektor mátriait felhasnálva innen a w λ w w w w λ w n n =0 (.67) w w w λ n }{{}}{{} W λe homogén lineáris egenletrendser követkeik. Legen P 3 (λ)= det (W λe). Eafüggvénλ köbös polinomja, a karakteristikus polinom. Triviálistól különböő megoldás csak akkor léteik, ha a fenti egenletrendser determinánsa eltűnik, aa ha P 3 (λ)= w λ w w w w λ w w w w λ = λ3 W I λ +W II λ W III =0. (.68) determinánsokkal kapcsolatos kifejtési tétel felhasnálásával és némi kéi sámolással et nem résleteük belátható, hog itt n W II = w w W I = w +w +w, w + w w + w w w w w w w (.69a) (.69b) és W III = w w w w w w w w w. (.69c) W I, W II és W III egütthatókat a W tenor első, második és harmadik skalárinvariánsainak neveük. elneveést a indokolja, hog a W simmetrikus tenorral kapcsolatos és a (.66) egenlettel definiált sajátértékfeladat megoldása a tenorho tartoó leképeés eg geometriai sajátosságát tükröi és mint ilen KR független. Követkeőleg a megoldás első lépésében kiadódó (.68) karakteristikus egenlet gökei is KR függetlenek kell, hog legenek. E visont csak akkor lehetséges, ha a karakteristikus egenlet (karakteristikus polinom) W I, W II és W III egütthatói függetlenek a KR válastásától.
4.6. Simmetrikus tenorok sajátértékfeladata fentebb mondottak akkor is érvénesek, ha nem simmetrikus a W tenor. továbbiakban aonban kihasnáljuk majd a simmetriát..6.. Legen λ és λ a (.68) karakteristikus egenlet két különböő göke, aa a sajátértékfeladat két különböő sajátértéke. Jelöljen és n a vonatkoó egségvektorokat. Ekkor (W λ E) n =0 és (W λ E) n =0. (.70) Innen, első esetben a n -vel, második esetben pedig a n -el történő skaláris sorással aonnal adódik, hog n W n = λ n n és n W n = λ n n. (.7) simmetrikus tenorokkal kapcsolatos (.39) képlet serint n W n = n W n. utóbbi egenlet figelembevételével képeve a (.7)-öt alkotó egenletek különbségét a (λ λ ) n n =0, aa a n n =0 eredmén követkeik vagis a különböő sajátértékekhe tartoó főiránok merőlegesek egmásra. Tegük fel, hog komple sám a λ sajátérték. Ekkor a vonatkoó főiránt adó W n =λ n (.7) egenlet jobboldala komple, a baloldal pedig a W valós volta miatt csak akkor lehet komple, ha a n is komple. Követkeésképp a n felírható a n = n Re +in Im alakban. Nilvánvaló a is, hog a λ = λ λ a felülvonás a komple konjugáltat jelöli ugancsak sajátérték, a vonatkoó főirán pedig a (.7) egenlet konjugálásával írható W n = λ n, aa a W n =λ n képlet serint n = n = n Re in Im. Mivel λ λ fenn kell állnia a n n =0 egenletnek. Uganakkor a n és n -t adó fenti képletek felhasnálásával n n =(n Re +in Im ) (n Re in Im )=n Re n Re +n Im n Im = n 0, aa nem érus a n n skalársorat. a feltevés tehát, hog a λ komple ellentmondásra veet. Követkeésképp valósak a λ k (k =,,3) sajátértékek..6.3. alábbiakban a főiránok sámítását tekintjük át, ha ismertek a P 3 (λ) karakteristikus polinom gökei. gökök nagságát tekintve három jellegetes esetet különbötethetünk meg: a gökök különbönek egmástól (minden gök egseres multiplicitású), van két egbeeső gök (eg gök kétseres, eg gök egseres multiplicitású), mindhárom gök egbeesik (eg háromsoros multiplicitású gök van). P 3 () P 3 () P 3 () 3 3 = = = 3 (a) (b) (c).7. ábra..7. ábra eekre a esetekre külön-külön semlélteti a karakteristikus polinomot. eges eseteket a alábbiakban vessük sorra.
. tenorsámítás elemei 5. Legenek különböőek a P 3 (λ)=0karakteristikus egenlet gökei: λ >λ >λ 3.JelöljeΔ mn a n, n és n -t adó (.67) lineáris egenletrendser W λe = w λ w w w w λ w w w w λ egütthatómátria nm-ik (m, n =,, ) eleméhe tartoó előjeles aldeterminánst. determinánsok kifejtési tételével ellenőrihető magát a ellenőrést a.6. Gakorlatra hagjuk, hog P 3(λ k )= dp 3(λ) dλ = d det (W λe) λk dλ =Δ (λ k )+Δ (λ k )+Δ (λ k ). (.73) λk Mivel a három gök különböő, eért egseres, vagis adott λ k esetén legalább a egike a Δ mm (λ k ) determinánsoknak, mondjuk a Δ (λ k ), különböik érustól. Ha uganis nem íg lenne, eltűnne a P 3(λ k ) derivált, követkeőleg nem lenne egseres a λ k gök példaként lásd a.7.(b) ábra λ = λ kettős gökét, ahol vísintes a érintő. Ha mondjuk a Δ (λ k ) különböik érustól, akkor a (.67) lineáris egenletrendser első két egenlete, n és n -t ismeretlennek, n -t pedig paraméternek véve, független egmástól a megoldás pedig k n = Δ (λ k ) k k n, n = Δ (λ k ) k n (.74) Δ (λ k ) Δ (λ k ) alakú. n k -t a utóbbi megoldás (.64) normálási feltételbe történő helettesítésével kapjuk meg: k n = Δ (λ k ) D ; D =Δ (λ k )+Δ (λ k )+Δ (λ k ). n k (.74)-ba történő vissahelettesítése serint egséges formula érvénes mindhárom ismeretlenre: k n m = Δ m(λ k ) ; m =,,. (.75) D Vegük ésre, hog e a megoldás a harmadik egenletet is kielégíti, hisen a behelettesítés serint D [w Δ (λ k )+w Δ (λ k )+(w λ k )Δ m (λ k )] = P 3(λ k ) D =0, ahol a sögletes árójelben álló kifejeés det (W λe) λk, ha a utolsó sor serint végeük el a determináns kifejtését. fentebb mondottaknak megfelelően eljárva minden eges λ k (k =,,3) gökhö meghatároható olan n k = n k e + n k e + n k e ; n k = iránvektor, hog w k = W n k = λ k n k. (.76) n k vektorok előjelét sabadon lehet megválastani. Követkeésképp mindig lehetséges olan válastás, hog a n, n és n 3 vektorokho tartoó iránok jobbsodratú kartéiusi KR-t alkossanak. E a KR a főtengelek KR-e, a vonatkoó koordinátasíkok pedig a un. fősíkok. n, n és n 3 egségvektorok által kifesített kartéiusi KR-ben aa a főtengelek KR-ében felhasnálva a képvektorokat adó (.76) képletet W = w n +w n +w 3 n 3 = λ n n +λ n n +λ 3 n 3 n 3 (.77) a tenor diádikus alakja. Vissaidéve, hog adott KR-ben a egségvektorokho tartoó képvektorok alkotják a tenor mátriának oslopait írhatjuk, hog W = w w w 3 = λ n λ n λ 3 n 3 = (3 3) λ 0 0 0 λ 0, (.78) 0 0 λ 3 ahonnan jól látsik, hog diagonális a tenor mátria.
6.7. Simmetrikus tenorok sajátértékfeladata. Legen λ = λ λ 3. előőekben áttekintett gondolatmenet és eredmének váltoatlanul érvénesek maradnak a n 3 -ra néve, aa n n 3 =0 és n n 3 =0. (.79) mi a kettős gököt illeti P 3(λ k )=0; k =, és, amint a a (.73) jobboldalának felhasnálásával és némi sámolással ellenőrihető, fennáll, hog P 3 (λ k )=(w λ k )+(w λ k )+(w λ k ); k =, ahol a jobboldalon álló össeg legalább eg össeadandója, mondjuk a első, nem érus, ellenkeő esetben uganis három lenne a λ k gök multiplicitása. n, n és n ismeretlenek meghatároására két egenlet, a (.67) lineáris egenletrendser első egenlete, valamint a (.64) normálási feltétel hasnálható fel. íg kapott megoldással identikusan teljesül a (.67) lineáris egenletrendser második és harmadik egenlete e annak a követkeméne, hog P 3 (λ )=0és P 3 (λ )=0. n vektort úg érdemes megválastani, hog teljesüljön a n n =0 ortogonalitási feltétel. Kettős gök esetén tehát csak a n 3 főirán egértelműen meghatároott, a másik kettő elvben sabadon felvehető a n 3 -ra merőleges síkban, célserű aonban betartani a említett ortogonalitási feltételt. W tenor diádikus előállítását annak figelembevételével kapjuk, hog most λ = λ : W = λ (n n +n n )+λ 3 n 3 n 3 = = λ (n n +n n +n 3 n 3 ) +(λ 3 λ ) n 3 n 3 }{{} E aa W = λ E +(λ 3 λ ) n 3 n 3 (.80) utóbbi egenlet sépen mutatja, hog egedül n 3 igai tenorjellemő. Figelemmel arra, hog a főiránokat kijelölő n, n és n 3 előjele megváltotatható, mindig bitosíthatjuk, hog a n, n és n 3 vektorokho tartoó iránok jobbsodratú kartéiusi KR-t alkossanak. 3. Háromsoros gök esetén λ = λ = λ 3 és W = λ E, (.8) követkeőleg bármel irán főirán. ilen tenort iotróp vag gömbi tenornak neveük. utóbbi elneveést a indokolja, hog a vonatkoó geometriai leképeés gömböt rendel gömbhö. is nilvánvaló, hog a n, n és n 3 vektorokat mindig megválasthatjuk ol módon, hog a hoájuk tartoó iránok jobbsodratú kartéiusi KR-t alkossanak..6.4. simmetrikus tenorok sajátértékfeladatával kapcsolatos eredméneket illetően össegeésserűen a alábbiakat emeljük ki. sajátértékfeladatnak legalább három megoldása van a főiránokra néve. Ha csak három a megoldások sáma, akkor eek a iránok kölcsönösen merőlegesek egmásra. Ha aonban több mint három a megoldások sáma, akkor végtelen sok megoldás van, de mindig kiválastható eek köül három egmásra kölcsönösen merőleges megoldás. λ k (k =,,3) sajátértékeket nagság serint rendeettnek tekintjük, vagis úg válastjuk meg a indeüket, hog fennálljon a λ λ λ 3 reláció. vonatkoó n, n és n 3 iránvektorokat pedig úg érdemes megválastani, hog aok jobbsodratú kartéiusi KR-t alkossanak. E a válastás mindig lehetséges. Kétseres gök esetén a (W λe) λk egütthatómátri rangja, aa Δ mn=0; m, n=,,. Követkeésképp valóban identikusan teljesülnek a n -re vonatkoó [ ] n = w n +w n w λ megoldás második és harmadik egenletbe történő vissahelettesítésével kapott egenletek. Δ n Δ n =0 és Δ n +Δ n =0
. tenorsámítás elemei 7 O.7. Tenorok transformációja.7.. Legen és ξηζ két, uganaon pontho kötött de egmástól különböő kartéiusi KR.8. ábra. vonatkoó egségvektorokat (báisvektorokat) a sokásos módon jelöljük: e, e, e illetve e ξ, e η, e ζ. Mindkét KR egségvektorai megadhatók a másik KR-ben is, erre jelölésben, ha a sükséges a egértelműség miatt, a e, e, e (ξ,η,ζ) (ξ,η,ζ) (ξ,η,ζ) illetve a e ξ, e η, e ζ (,,) (,,) (,,) módon, aa a KR-t aonosító betűhármasnak a váltoót adó.8. ábra. betű alatti kisedésével utalunk. E a megfogalmaás általános érvénű, aa más vektorok, illetve tenorok esetén is hasonlóan írjuk ki, ha sükséges, hog melik KR-ben tekintjük a adott menniséget, vektort vag tenort. tetsőleges v vektor mind a mind pedig a ξηζ KR-ben megadható: v = v e +v e +v e, (,,) v = v ξe ξ +v η e η +v ζ e ζ. (.8) (ξ,η,ζ) Ha ismerjük a vektort a egik KR-ben, és ismerjük uganebben a KR-ben a másik KR egségvektorait, akkor a vektor másik KR-ben vett koordinátáit a vonatkoó egségvektorral való skaláris sorással kapjuk: v m = v (,,) (ξ,η,ζ) e m, v μ = v (ξ,η,ζ) (ξ,η,ζ) (,,) e μ. (,,) m=,, Kirésleteve a v μ sámításával kapcsolatos képleteket írhatjuk, hog μ=ξ,η,ζ v μ = e μ v = v e μ e +v e μ e +v e μ e = [ e μ e e μ e ] e μ e v v v. (.83) μ=ξ,η,ζ E a három egenlet eg egenletbe tömöríthető: v ξ v η = e ξ e e ξ e e ξ e e η e e η e e η e vag ami ugana ahol v ζ }{{} v (ξ,η,ζ) e ζ e e ζ e e ζ e v }{{}}{{} Q v, v v (,,) v = Q v, (.84) (ξ,η,ζ) (,,) Q = e ξ e e ξ e e ξ e e η e e η e e η e = e ζ e e ζ e e ζ e cos(ξ,) cos(ξ,) cos(ξ,) cos(η, ) cos(η, ) cos(η, ) cos(ζ,) cos(ζ,) cos(ζ,). (.85a)
8.7. Tenorok transformációja későbbiek kedvéért kiírjuk a Q mátri transponáltját is: Q T = e e ξ e e η e e ζ e e ξ e e η e e ζ e e ξ e e η e e ζ = cos(, ξ) cos(, η) cos(, ζ) cos(,ξ) cos(,η) cos(,ζ) cos(,ξ) cos(,η) cos(,ζ) (.85b) Vegük ésre, hog a Q mátri oslopait a e, e és e egségvektorok ξηζ KR-ben vett koordinátái, sorait pedig a e ξ, e η és e ζ egségvektorok KR-ben vett koordinátái alkotják. Innen követkeik a Q mátri alábbi két tulajdonsága:. eg-eg sorban illetve eg-eg oslopban álló elemek négetössege, hisen e a össeg eg-eg egségvektor absolutértéke a második oslop esetén például e avonatkoó egségvektor.. Zérus a össege a különböő indeű sorban illetve oslopban aonos helen álló elemek soratának, hisen e a össeg valójában két egmásra merőleges egségvektor skalársorata a második és harmadik sor íg képett sorata például e η e ζ. két idéett tulajdonság kihasnálásával nem nehé belátni, hog aa, hog Q Q T = Q T Q = E Q T = Q. (.86) ahol Q a Q mátri invere. olan mátriokat, melekre néve a mátri transponáltja és invere megegeik ortogonális mátrioknak neveük. fentiek serint ortogonális a (.84) transformáció Q mátria. Követkeőleg a v = Q T v (,,) (ξ,η,ζ) (.87) egenlet a említett transformáció megfordítása..7.. másodrendű W tenorral kapcsolatosan at a kérdést visgáljuk, (a) hogan sámítható a tenor W (,,) mátria a KR-ben, ha ismerjük a tenor W mátriát (ξ,η,ζ) a ξηζ KR-ben, illetve megfordítva, (b) hogan sámítható W (ξ,η,ζ),haismert W. (,,) Vegük ésre, hog a (.3) képlet a W tenor mátriának elemeit adja (R-ben. Ennek a képletnek a w μν = e μ W e ν, μ,ν = ξ,η,ζ (.88) egenlet a párja a ξηζ KR-ben. említett két össefüggés felhasnálásával aonnal megkapjuk a mátriok elemeivel kapcsolatos transformációs képleteket: w mn = e m W e n, w μν = e μ W e ν. (,,) (ξ,η,ζ) (ξ,η,ζ) (ξ,η,ζ) (ξ,η,ζ) (,,) (,,) (,,) m,n=,, μ,ν=ξ,η,ζ (.89) További és a teljes mátriokkal kapcsolatos sabálho úg juthatunk, ha felírjuk a v vektor w képét megadó egenletet mindkét KR-ben: w = W (,,) v (,,) (,,), w = W (ξ,η,ζ) v (ξ,η,ζ) (ξ,η,ζ) (.87) és (.84) első és második egenletbe történő helettesítésével a w = W (,,) (,,) Q T v (ξ,η,ζ) és w = W (ξ,η,ζ) (ξ,η,ζ) Q. v (,,) (.90)
. tenorsámítás elemei 9 képleteket kapjuk. Ha a első egenletet Q-val a másodikat Q T -vel sorouk, és figelembe vessük a vektorokkal kapcsolatos (.84) és (.87) transformációs sabálokat, akkor a w (ξ,η,ζ) = Q w (,,) = Q W (,,) }{{ } W (ξ,η,ζ) Q T v (ξ,η,ζ) w = Q T w = Q T W Q (,,) (ξ,η,ζ) } (ξ,η,ζ) {{ } W (,,) v (,,) (.9) eredménre jutunk, ahonnan aonnal kiolvashatók a első egenletet (.90) -vel, a másodikat (.90) -elkellegbevetni aw tenor mátriaival kapcsolatos W = Q W Q T és W = Q T W Q (.9) (ξ,η,ζ) (,,) (,,) (ξ,η,ζ) transformációs sabálok..8. Ortogonális tenorok.8.. ortogonális tenor fogalma. tenorok transformációja kapcsán megismerkedtünk a előő sakasban a Q ortogonális mátriokkal. jelen sakasban általánosabban tekintjük át et a kérdést. Legen a Q invertálható másodrendű tenor. Jelölje rendre p és s a v és w vektorok képeit: p = Q v, s = Q w. (.93) Ha fennáll a p s =(Q v) (Q w)=v Q T Q w = v w (.94) egenlet a tetsőleges v és w (valamint a hoájuk tartoó p és s) esetére,aaha ( ) v Q T Q w v w = v Q T Q E w = 0, (.95) akkor értelmeés serint ortogonális a Q tenor. Mivel tetsőleges a v és w követkeik, hog a Q tenor ortogonalitásának a Q T Q = E (.96) egenlet teljesülése a feltétele. Innen a tenor Q inverével jobbról történő átsorással a vag tömören a Q T Q Q = Q T E }{{}}{{} E Q T = E Q }{{} Q Q T = Q (.97) össefüggés adódik. utóbbi képlet serint a ortogonális tenorok transponáltja megegeik a tenor inverével. Megjegeük, hog a fenti egenlet és e a megállapítás teljesen össhangban van a ortogonális mátriokkal kapcsolatos (.86) egenlettel és a at követő söveges megállapítással..8.. ortogonális tenorho tartoó leképeés. továbbiakban a ortogonális tenorokkal kapcsolatos leképeés geometriai jellegét kíséreljük meg tistáni. Tegük fel, hog v = w és íg p = s. Ekkor a (.94) képlet serint p s = s = w Q T Q w = w, ami at jelenti, hog megegeik a w tárgvektor és a hoátartoó s képvektor hossa: távolságtartó a leképeés. Jelölje rendre ϑ és ϕ a v és w, valamint a p és s vektorok által beárt söget ϑ, ϕ [0,π]. skaláris sorás értelmeése alapján a p s cos ϕ = v w cos ϑ egenlet követkeik a (.94) képletből. Uganakkor a leképeés távolságtartó volta miatt p = v és s = w, vagis cos ϕ =cosϑ, végső soron pedig ϕ = ϑ, (.98) (.97) képlet alapján sokásos a ortogonális tenorokat a követkeő módon is értelmeni: Ortogonális a Q másodrendű tenor, ha Q T transponáltja megegeik a tenor Q inverével.
0.8. Ortogonális tenorok ami at jelenti, hog a leképeés nemcsak távolságtartó, hanem sögtartó is. Tekintsük a Q T Q = Q Q T = E sorat determinánsát. determinánsok sorástételét kihasnálva írható, hog ( ) ( ) det Q T Q =det Q T det (Q)=[det(Q)] =det(i)=, ahonnan det (Q)=±. (.99) továbbiakban visgáljuk meg, hog ismeretlennek tekintve a s vektort van-e a Q s = ±s (.00) feladatnak megoldása. Ha van, akkor fennáll a Q T s = ±Q T Q s = ±s (.0) }{{} E egenlet is. Vonjuk ki a utóbbi, aa a (.0) egenletet a at megelőő (.00) egenletből majd ossuk el a eredmént kettővel. Tekintettel a másodrendű tenorok ferdesimmetrikus rését értelmeő (.45) képletre kapjuk, hog ( ) s Q Q T = Q as s = 0. Jelölje q a a Q tenor vektorinvariánsát. vektorinvariáns birtokában átírható a (.47) össefüggés serint a fenti képlet: Q as s = q a s = 0. (.0) E a eredmén at jelenti, hog a (.00) képlettel felvetett feladat s megoldása párhuamos a Q tenor q a vektorinvariánsával. Tekintsük a továbbiakban a Q ortogonális tenorral kapcsolatos Q s = λs, s = (.03) [λ a det (Q λe)=0 polinom göke.] sajátértékfeladatot, amel λ = ± esetén megegeik formailag a (.00) képlethe tartoó fentebb felvetett feladattal. Ha a s sajátvektor és a λ sajátérték, akkor λ = λ s s = λs λs =(Q s) (Q s)=s Q Q s = s s =, (.04) }{{} E ahonnan valóban λ = ±. Visgáljuk meg a továbbiakban a előjelek serepét. Tételeük elősör fel, hog det (Q)=. alábbi és a visonok tistáását céló átalakításban (a) felhasnáljuk, hog a tenor determinánsa megegeik a transponáltja determinánsával, (b) helettesítjük, ahol sükséges a (.96) képletet, és (d) alkalmauk a determinánsok sorástételét: [ ] ( ) ( ) det (Q E)=det (Q E) T =det Q T E =det Q T Q T Q = (Q ) T =det }{{} det (Q)= det (E Q)= det (Q E). Mivel eg valós sám akkor egeik meg a ellentettjével, ha a sám érus fennáll a det (Q λe) λ= =det(q E)=0 (.05a) egenlet. Tételeük fel másodsorra, hog det (Q)=. fenti gondolatmenet ismétlésével kapjuk, hog [ ] ( ) ( ) det (Q+E)=det (Q+E) T =det Q T +E =det Q T +Q T Q = =det (Q ) T det (E +Q)= det (Q+E) }{{} det (Q)= aa, hog det (Q λe) λ= =det(q+e)=0. (.05b)
. tenorsámítás elemei kapott eredmének a követkeő módon foglalhatók össe: Q q a = q a, ha det (Q)= [ekkor uganis λ =] és (.06) Q q a = q a, ha det (Q)= [ekkor uganis λ = ]. Vegük ésre, hog a (.0) képlet serint fennáll Q T q a = ±q a (.07) egenlet is. (.06) és (.07) alatti képletek segítségével teljes egésében tistáni tudjuk a leképeés geometriai jellegét. Tekintsük a v tárgvektor q a -val párhuamos és arra merőleges össetevőkre történő felbontását: ( v = v +v v q a =0, v q a =0 ), majd visgáljuk meg, résletesebben a leképeést. p = Q v = Q v +Q v q a v =p q a v p p v v p = v.9. ábra. (a) Forgatás (b) Forgatás és tükröés Mivel a v párhuamos a q a -val, és mivel a leképeés távolságtartó a v képe p = v aa önmaga, ha det (Q)=+ p = v aa önmaga tükörképe, ha det (Q)= q a -ra merőleges v össetevő képe, aa p is merőleges a q a -ra. Valóban, a (.07) felhasnálásával írhatjuk, hog q a p = q a Q v = v Q T q }{{ a = ±q } a v =0. ±q a Geometriailag e at jelenti, hog a v megtartja a saját síkját a v támadáspontján átmenő és a q a -ra merőleges síkra gondolunk ehelütt és termésetesen hossát is a leképeés során. Ha p = v,akkorav helben marad a leképeés során. E egben at is jelenti, hog adet (Q) = esetben, amint a a előőekből nilvánvaló, a Q tenor önmagára képei le a v vektort, aa Q = E, (.08) adet (Q) = esetben pedig a v -t önmagára, a v -t pedig önmaga tükörképére képei le a Q tenor, követkeőleg a egmásra kölcsönösen merőleges ˆ, ŷ és ẑ tengelek által kifesített lokális báisban a résleteket illetően a (b) ábrára utalunk a Q = 0 0 0 0 (.09) 0 0 képlet adódik a tenor mátriára Ha p v,akkorav elfordul a v a támadáspontján átmenő és a q a -ra merőleges síkban. elfordulás ψ söge minden v -re végigfutva gondolatban a tárgvektorok teljes halmaát ugana kell, hog legen, ellenkeő esetben ui. nem volna sögtartó a leképeés. Maga a leképeés pedig adet (Q)= esetben a v vektor támadáspontjáho kötött q a mint tengel körüli forgatás, hisen a tengelre eső v képe önmaga, a v pedig a forgatás ψ sögével elfordul a q a -ra merőleges és a v támadáspontján átmenő síkban,
.9. Mintafeladatok míg adet (Q)= esetben fentiekhe a v fenti síkra történő tükröése járul forgatás + tükröés, hisen a v tükörképe önmaga. kapott geometriai kép alapján a det (Q) = esetben a Q ortogonális tenort forgatásnak, vag forgató tenornak neveik és R-el jelölik. R forgató tenorok a ortogonális tenorok eg alcsoportját alkotják..9. Mintafeladatok.. Visgálja meg elfajuló esetben a leképeést adó tenor jellegét. Nem elfajuló esetben a w, w és w képvektorok nem fekhetnek eg síkban követkeőleg a tenor három diádikus sorat segítségével adható meg. Elfajuló esetben a három képvektor vag eg síkban feksik, vag eg egenesre esik, vag mindegik érusvektor. Ha a három képvektor egsíkú, akkor mondjuk a harmadik képvektor előállítható a első és második képvektor eg lineáris kombinációjaként, aa w = λ w +λ w, ahol λ és λ alkalmasan válastott skalár. utóbbi előállítás (.9)-be történő helettesítésével W = w (e +λ e )+w (e +λ e ) a tenor alakja, ami at jelenti, hog a tenor két diád össegeként adható meg. Ha a három képvektor eg egenesre esik, akkor mondjuk a második és harmadik képvektor mindig felírható a w = λ w, w = λ w alakban, amivel (.9)-ből W = w (e +λ e +λ e ) a tenor, aa eg diád alkotja a tenort... Tegük fel, hog a merev test eg rögített és a KR O origójával egbeeső pontja körül forog. Tegük fel továbbá, hog kicsi a merev test elfordulása és jelölje ϕ = ϕ e +ϕ e +ϕ e a forgásvektort. Ismeretes, hog kicsin ϕ -re u = ϕ r a merev test r helvektorral aonosított pontjának elmodulása. Homogén lineáris-e e a vektor-vektor függvén? Legen r = λ r +λ r,aholλ és λ tetsőleges skalár és r illetve r egmástól különböő vektorok. vektoriális sorás jól ismert tulajdonságai alapján u = f(r)=f (λ r +λ r )=ϕ (λ r +λ r )= =(ϕ r ) λ +(ϕ r ) λ = f(r )λ +f(r )λ = λ u +λ u, }{{}}{{} u u aa a függvén homogén lineáris. Vegük ésre at is, hog a fenti vektor-vektor függvén elfajuló. Geometriailag e abból követkeik, hog a vektoriális sorás u eredméne (a képvektorok halmaa) benne van a O w origón átmenő és a ϕ vektorra merőleges síkban. Jelölje Ψ a u = ϕ r homogén lineáris függvénhe tartoó másodrendű tenort. Nilvánvaló, hog Ψ = ψ e +ψ e +ψ e, ahol ψ = ϕ e, ψ = ϕ e illetve ψ = ϕ e. Ha a ψ, ψ és ψ képvektorok komplanárisok, és a ϕ-re merőleges síkban feksenek, akkor Ψ ϕ = ψ (e ϕ)+ψ (e ϕ)+ψ (e ϕ)=ψ ϕ +ψ ϕ +ψ ϕ = = ϕ e ϕ +ϕ e ϕ +ϕ e ϕ = ϕ ϕ =0 aa ψ ϕ +ψ ϕ +ψ ϕ =0, ahonnan ϕ 0esetén a képvektorok komplanaritását kifejeő ψ = ψ ϕ ϕ ψ ϕ ϕ
. tenorsámítás elemei 3 képlet követkeik. Et a eredmént felhasnálva a Ψ tenor, a elfajuló tenorokra jellemő módon, két diád segítségével írható fel: ( Ψ = ψ e ϕ ) ( e +ψ ϕ e ϕ ) e. ϕ c e a e O e =b.3. Határouk meg a helvektorokat a tengel körül ϕ = ϕ söggel elforgató Q = a e +b e +c e tenort..0. ábráról leolvasható, hog a = e cos ϕ e sin ϕ, Ennek alapján Q =(e cos ϕ e sin ϕ) e + b = e, c = e sin ϕ+e cos ϕ. +e e +(e sin ϕ+e cos ϕ) e.0. ábra. a tenor diádikus alakja. tenor mátriának felírásakor at kell figelembe venni, hog annak oslopait a a, b és c képvektorok alkotják: cos ϕ 0 sinϕ Q = a b c = 0 0. sin ϕ 0 cosϕ tetsőleges r = e +e +e vektort a tenor a cos ϕ 0 sinϕ r = Q r = 0 0 sin ϕ 0 cosϕ = cos ϕ+ sin ϕ sin ϕ+ cos ϕ, vagis a r =(cos ϕ+ sin ϕ) e +e +( sin ϕ+ cos ϕ) e vektorba forgatja. tenor simmetrikus és ferdesimmetrikus rése: Q s = cos ϕ 0 0 0 0 sinϕ 0 0, Q as = 0 0 0. 0 0 cosϕ sin ϕ 0 0 Kis sögekre cos ϕ és sin ϕ ϕ. Eeknek a képleteknek felhasnálásával lineariálhatók kis sögekkel történő forgatásra a fenti tenorok: Q = 0 0 0 ϕ ϕ 0, Q s = E = 0 0 0 0 0 0, Q as = Ψ = 0 0 0 0 0 ϕ ϕ 0 0 utóbbi képletekkel kis söggel történő forgatásra r = Q r =(Q s +Q as ) r = E r+ψ r = r+(ϕe ) r a képvektor, ahol at is kihasnáltuk, hog a tenor ferdesimmetrikus réséhe tartoó leképeés a (.46) képlet serint a vektorinvariánssal e most ϕe = ϕ e való sorással képehető. eredmént általánosítva at mondhatjuk, hog a ϕ = ϕ e +ϕ e +ϕ e ; ϕ vektor által leírt forgatás, amel a r rádiusvektorokat a e = ϕ ϕ ; ϕ = ϕ +ϕ +ϕ tengel körül a ϕ = ϕ kis söggel fordítja el a r = Q r =(Q s +Q as ) r = E r+ψ r = r+ϕ r (.0).
4.9. Mintafeladatok képlettel sámítható, ahol Q = ϕ ϕ ϕ ϕ = 0 0 0 0 + 0 ϕ ϕ ϕ 0 ϕ = E+Ψ. (.) ϕ ϕ 0 0 ϕ ϕ 0 Kiolvasható a (.0) képletből, hog a rádiusvektor végpontjának u = Ψ r = ϕ r (.) a elmodulásvektora a forgatásból, hisen a előtte álló tag maga a rádiusvektor íg a mogást csak a utána álló, aa a fenti tag adhatja meg. képletben álló Ψ tenor a forgató tenor kis forgásra..4. Határoa meg a 85 0 5 W = 0 0 0 5 0 35 mátriával adott W tenor sajátértékeit és főiránait. Vegük ésre, hog a irán főirán hisen w = w =0. vonatkoó sajátértéket jelölje λ a. E nilvánvalóan a második oslop diagonális eleme: λ a = 0. w λ w w P 3 (λ)= det (W λe)= w w λ w w w w λ = = λ 3 W I λ +W II λ W III =(λ λ a )(λ λ b )(λ λ c )=0 karakteristikus egenletből mivel nem ismerjük a karakteristikus értékek sorrendjét aokat egserűen λ a, λ b és λ c jelöli helettesítések után a 85 λ 0 5 P 3 (λ)= 0 0 λ 0 5 0 35 λ = λ3 40λ 400λ 36 000 = 0 eredmén követkeik, aa W I = λ a +λ b +λ c =40, W II = 400, W III = λ a λ b λ c = 36 000, ahol a főtengelek KR-ét véve alapul és a későbbiek kedvéért kiírtuk képletserűen is a W I és W III skalárinvariánsokat. Ha λ λ a akkor átosthatjuk a P 3 (λ)=0karakteristikus egenletet a λ λ a gökténeővel: P 3 (λ) =(λ λ b )(λ λ c )=λ (λ b +λ c )λ+λ b λ c =0, λ λ a ahol λ b +λ c = W I λ a =50 és λ b λ c = W III = 36 00. λ a Követkeésképp a λ (W I λ a )λ+ W III = λ 50λ 36 00 = 0 λ a egenlet megoldása megadja a két hiánó sajátértéket: λ b =90, λ c = 40. Nagság serint rendeve λ = λ b =90, λ = λ a = 0, λ 3 = λ c = 40 és mostmár a is nilvánvaló, hog e = n.n meghatároásáho a w λ w w w w λ w n n = 85 λ 0 5 0 0 λ 0 n n = 0 0, w w w λ n 5 0 35 λ n 0 aa a 5n +5n =0, 00n =0, 5n 5n =0 egenletrendsert kell megoldani. Mivel Δ = 5 ( 00) 0válastható a első két egenlet ahonnan, amint a várható is ortogonalitás, n =0és n =5n.
. tenorsámítás elemei 5 Ennek a egenletnek eg megoldását a már normált n = (5e +e ) 6 vektor adja. n 3 a sajátvektorok ortogonalítását és at figelembevéve sámítható hog a n, n és n 3 jobbsodratú báis: n 3 = n n = (5e +e ) e = ( e +5e ). 6 6 Nem nehé ellenőrini, hog eekkel a megoldásokkal valóban teljesül a (.65) egenlet. Gakorlatok.. Határoa meg aon tenorok mátriait, meleka, és síkokra tükröik a r rádiusvektort... Határoa meg aon tenorok mátriait,meleka sík minden r helvektoráho annak (a) a origóra vonatkoó simmetria pontját, (b) a tengelre vonatkoó simmetria pontját, illetve (c) 30 o -al a óramutató járásával egeő iránba való elforgatottját rendeli..3. Legen n; n =a origón átmenő S sík normálisa. Mutassa meg, hog a r rádiusvektor S síkba eső r össetevője a r = W r leképeéssel sámítható, ahol W = n n n n n n n n n n n n. n n n n n n.4. Legen n; n =a origón átmenő S sík normálisa. Mutassa meg, hog a r rádiusvektor S síkra vonatkoó R tükörképe a R = W r leképeéssel sámítható, ahol W = n n n n n n n n n n n n. n n n n n n.5. Határouk meg a helvektorok végpontjának elmodulását leíró Q tenort a tengel körüli ϕ söggel történő forgatáskor. Általánosítsa a eredmént a.3. Mintafeladat ϕ vektora által leírt kis forgás esetére..6. Mutassa meg a karakteristikus polinom W I, W II és W III egütthatóit adó (.69a,b,c) képletek helességét..7. Mutassa meg, hog d det (W λe) dλ =Δ (λ k )+Δ (λ k )+Δ (λ k ). λk.8. Igaolja a előő eredmén felhasnálásával, hog d det (W λe) dλ =[(w λ k )+(w λ k )+(w λ k )]. λk.8. Igaolja felhasnálva a W tenor inverét adó (.55) össefüggést, hog W W = E..9. Igaolja hog a másodrendű tenor inverének mátria megegeik a tenor mátriának inverével..0. Határoa meg a mátriával adott P pontbeli T P fesültségi tenor sajátértékeit és főiránait. Írja fel a tenor mátriát a főtengelek KR-ben. 44 60 0 T P = 60 0 0 [MPa] 0 0 (Vege figelembe, hog a irán ismert főirán.)
6.9. Gakorlatok.. Határoa meg a mátriával adott W tenor sajátértékeit és főiránait. Írja fel a tenor mátriát a főtengelek KR-ében. W = 3 0. 0 (Vege figelembe, hog λ =4sajátérték.).. ξηζ KR-t a KR tengel körül ϕ söggel poitív iránba történő elforgatásával kapjuk, aa = ζ, és a elforgatás utáni és tengelek alkotják a ξ és η tengeleket. Írja fel a e ξ, e η, e ζ (,,) (,,) (,,) egségvektorokat és a két KR köötti transformáció K illetve K T mátriait ha ϕ =30.Legenv eg a origón áthaladó anagi pont sebessége, és legen adott a T fesültségi tenor mátria a KR origójában: v =3e 3 3e [m/s], T O (,,) = 300 400 0 400 300 0 0 0 00 Határoa meg a sebességvektort és a fesültségi tenor mátriát a ξηζ KR-ben. [MPa].
. FEJEZET Silárdságtani alapfogalmak.. Mi a silárdságtan... műsaki mechanika tudománának eg résterületét neveük silárdságtannak. Maga a mechanika a anagi világban lejátsódó folamatok köül a testek egmásho, illetve valamilen KR-he visonított helváltotatásait, a mechanikai mogásokat (beleértve a később a... és..3. pontokban értelmeett alakváltoásokat is) és eek törvéneit visgálja. Ebben a tekintetben a mechanika tehát a fiika rése. műsaki mechanika a mechanika törvéneinek a mérnöki feladatok felvetette igénekkel sembesülő megfogalmaása és alkalmaása a gépek és serkeetek terveése során a üemeltetés illetve a rendeltetésserű felhasnálás bitosítása érdekében. mechanika a valóságos testek helett, a tapastalat és megfigelések alapján modelleket, aa olan idealiált testeket veet be és visgál (anagi pont, merev test, tökéletesen hajlékon kötél etc.), amelek a visgált mechanikai mogás leglénegesebb sajátosságait tükröik. Mivel a nugalmi állapot a mechanikai mogás speciális esete, a testek adott terhelés alatt kialakuló tartós egensúli állapotával nugalmi állapot kapcsolatos feladatok visgálata is a mechanika feladata. Feltételeés serint minden test vag anagi pontnak (tömegpontnak), vag elemi tömegek rendserének tekinthető. elemi tömeg olan testrés, melnek konkrét méretei elhanagolhatók a tekintett feladatban e alatt at értjük, hog mechanikai állapota (pl. tömegeloslása, elmodulásmeeje, sebességmeeje, a rajta működő külső és belső ER) igen jó köelítéssel leírható a helkoordináták legfeljebb lineáris függvéneivel. Más elneveéssel besélünk a test eg pontjának ehhe kötjük a mechanikai állapot lokális lineáris leírásáho sükséges végessámú paramétert elemi körneetéről, amelre néve tehát kielégítő pontosságú a lineáris leírás. mi a elemi tömegek megválastását illeti a test bármel pontjának kis körneete elemi tömegnek vehető és a test végtelen sokféle módon, (pl. egmásra merőleges párhuamos síksorokkal) felostható egmástól megkülönbötethető elemi tömegek össességére. mechanika alapvető feltételeése, hog a mogás oka a testek (testrések, elemi tömegek) egmásra gakorolt kölcsönhatása. Eltekintve a hőhatásoktól és más fiikai hatásoktól a mechanika et a kölcsönhatást a erő, illetve a erőrendser (ER) fogalmával írja le. mint a ismeretes a statikából a erők (ER-ek) megosolhatnak a visgált test (testrés, elemi tömeg) térfogatán illetve felületén. első esetben térfogati, a második esetben felületi ER-ről besélünk. Megkülönbötetünk még belső és külső ER-eket (erőket), aserint, hog aok a éppen visgált testek (testrések, elemi tömegek) köött, vag a éppen visgált test (testek) és más nem visgált testek köött hatnak. külső ER résben terhelésekből (terhelő ER), résben pedig támastó erőkből (támastó ER) áll. Statikailag határoott megtámastású rúd, vag statikailag határoott serkeetek esetén a rúd, illetve a serkeeteket alkotó rudak mindegikét merev testnek tekintve meghatároható statikai módserekkel a teljes külső ER és a serkeet rései köött ható belső ER is. Ha aonban a tekintett rudat, vag a serkeetet alkotó egik rudat gondolatban kettévágjuk és a átmetséssel kapott felületen keressük a belső ER ténleges megoslását, akkor a statikai módserek, és a merev test mint modell elégtelennek bionulnak, annak ellenére, hog mind a belső ER eredőjét mind pedig a tekintett kerestmetset súlpontjára vett nomatékát meg tudjuk határoni statikai módserekkel (igénbevételek, igénbevételi ábrák). Ennek a a oka, hog a merev test mint modell nem vesi figelembe a rúd geometriai alakjának külső és belső erők okota megváltoását. 7