A KVARKANYAG SZOKALAN ERMODINAMIKÁJA Bíró amás Sáor MA KFKI Részecse és Magfza Kutató Itézet M a varayag? Az ayag szerezete, folytoosság vagy atomosság, az atom része, az atommag része Eleme-e az elem részecsé? Kvaro és gluoo, szíama, var gluo plazma:a ehézofza Szet Grálja A fzába em szoatla az lye ezetû moat: Már a rég görögö s Nos, ha a varayagról em s, az ayag vlág elem felépítésérôl, pélául a tegerpart homoszemee számáról soat vtatozta az óora Alapelvü az volt, hogy am létez, az em lehet elletmoásos, ezért ha oosoásu elletmoásba (paraoxoba) torollt, azt úgy értelmezté, hogy a uló feltevés lehetetle A mozgás természetérôl szóló szofsta paraoxoo bzoyára özsmerte A váuumtól való rtózás ( horror vacu ) elvét s gazából a létezô semm, a valahol levô üresség elletmoásos volta matt mota Arsztotelész Me, goolatlag végteleszer smétlôô eljárást (ma yelve reurzót) ereméytelee érezte, ezért elvetetté Demortosza s ez volt az érve az atomo mellett: az em lehet, hogy az ayag vég élül osztható legye, mert ee a (goolat) eljárása sosem érü a végére A legsebb elem oszthatatla, ezért atom Az atom evet az újorba a éma eleme tulajoságát még horozó legsebb egység apta Azért tartottá oszthatatlaa, mert hosszas próbálozáso elleére sem serült az egy elemet a másba átalaíta A bölcse öve, amely erre épes lee, a legeá özé erült Valójába a éma reacó, az eleme vegyülése, megbotjá az atom szerezetét: az eletroo átreezôe Az ozácó, az eletromos áram (galváelem) felfeezése utá már ooról és eletrooról s beszélte, e az atomot még mg oszthatatlaa, bár több verzóba megjeleôe tartottá A raoatvtás felfeezése vezetett az atommag és eletroburo moelljéhez, az atom szétszehetôségéhez Ráaásul az atommag átalaíthatósága s bebzoyosoott: em lehetetle arayat elôállíta más elemebôl (csa ez többe erül, mt maga az aray) A 2 száza elejé a proto, az eletro és a foto volta az elem részecsé, az ayag alapvetô építôöve A eutro és a poztro felfeezése, valamt az atrészecse ocepcója az 93-as éve elejé ezt a számot hétre emelte Igazá zavaró lett az elem része száma az 95-es 6-as évebe, a ozmus sugárzás etetora és a gyorsító megépítésével Poo, aoo, müoo, rezoacá és más, vszoylag stabl részecsé tucatjával válta smertté úl so lett az elem -e evezett részecse Reszerezés száéal, a Megyelejev-féle peróusos reszerhez hasolóa, született meg a varmoell Az elem részecsé háromfajta Az MA Fza Osztályáa 23 ecember 3-a ülésé tartott tuomáyos elôaás szeresztett változata varot tartalmazhata: up, ow vagy strage evût A ehezebbe (baroo) hármat, a özepese eheze (mezoo) egy varot és egy atvarot, míg a öyûe (leptoo) egyet sem A leptoo és varo (ma már hat fajtát smerü) egy-egy csalába reezése alotja mmág a részecsefza staar moelljée alapját Meze mellett az alapvetô erôet özvetítô részecsé s megjelee, a mértébozoo Az eletromágeses ölcsöhatást fotoo, a gyege ölcsöhatást (amely pl a raoatvtásért felelôs) a W +,W és Z jelû, gyege bozoo, míg az erôs ölcsöhatást (amely az atommagot összetartó erôért felelôs) yolcfajta ragacsrészecse, úgyevezett gluo özvetít Az atom ozácójához és a maghasaáshoz hasoló jeleséget azoba a varo sztjé mmág em serült megfgyel A varo az ôet tartalmazó erôse ölcsöható elem részebe be vaa zárva A varbezárás mechazmusa em gazá smert Matematalag s elégítô levezetését a az erôet leíró alapelmélet, a vatum-romoama (QCD) alapjá még see sem serült A valtatív fza épbe azoba egyetértésre jutottu: a varoat a gluoo ragasztjá össze, ezeet a varo bocsátjá és yel el egy bzoyos tulajoságu alapjá, amelyet ém fatázával szíe evezte el Ha megpróbálu egy harot szétsze, eergát ell özölü vele, amely egy arabg újabb gluoo, maj egyszer csa egy var atvar pár épzésére forító Az ereméy egy vagy több újabb haro, a varo felszabaítása helyett A foozott eergaözlés, ha gyorsa zajl, so-so var és gluo jelelétéhez vezethet s térfogatba Ebbe az állapotba em vlágos, hogy mely var melyel áll párba (vagy hármasba), hez tartoz Ez egy való ôsayag, az úgyevezett varayag Ezzel ugyaaor elértü azt az állapotot, amely a lehetô legözelebb es a varo felszabaításához Aalógaét azt mohatju, hogy egy párt emcsa aor feyegethet az elválás, ha legalább együ messzre elutaz, haem egy zsúfolt házbul (még ha ugyaabba a szobába tartózoa s) éppúgy elsoróhata egymástól Mazoáltal érés, hogy a varayag a természetbe megvalósul-e, lletve hogy techalag megvalósítható-e A ehézo-fza Szet Grálja a varayag Ezt eressü egyre agyobb eergára gyorsított atommago ütözésebe, remélve, hogy az ôsayagot, ha csa csbe s, e újra létrehozhatju Elmélet moelleet állítu fel, amelye a varayagot lye extrém örülméye özött vzsgáljá, az ebbôl alauló részecsesoaság jellemzôt, pélául eergaspetrumát számoljá Ee sorá a varayag mt egy agyo sûrû és eergaús (röve forró) felhô jele meg: ez a var gluo plazma (QGP) Ahhoz, hogy ezt megértsü, m az elem része tulajoságat, m a melegítés és a plazmá mbelétét tsztáz ell BÍRÓ AMÁS SÁNDOR: A KVARKANYAG SZOKALAN ERMODINAMIKÁJA 293
A termoama elve A QGP-hez melegítés útjá jutu M a melegítés részecsé esetébe? Alapelv:eergaözlés ermoama fôtétele: az eerga megmaraása (és mbeléte), 2 az eergaözlés hatéoysága (etrópa), 3 a hômérsélet és az etrópa ullpotja Potecálo és feltétele, a Legere-traszformácós strutúra Eze az elve általáosa Az eergaözlés, melegítés általáos elvevel a termoama foglaloz Eze az elve ayra általáosa, hogy vatumos reszere és a részecsefza sem lehet vétel hatályu alól A var gluo plazma s, ameybe létrejö, alá va vetve a termoama törvéyee A legfôbb alapelveet fôtételee evezzü Az elsô fôtétel szert az eerga megmara: em lehet megsemmsíte, sem a semmbôl yer, csa a megjeleés formája változ Ez egy ömagával ozeves elv: ha úgy tû, em mara meg a teljes eerga, aor arra ell gyaao, hogy egy eg még smeretle formája felelôs a teljes összegért Ez az elv vezetett pélául a eutríó felfeezéséhez, amor egy töltetle, s ezért yomot sem hagyó részecse vsz el a háyzó eergát és mpulzust A máso fôtétel még szgorúbb: az eergaátalaítás hatásfoát maxmálja Va egy ülöös formája az eergaözlése vagy elvoása, ez a hô Ezt a formát, amely a hômérsélettel és az etrópával aráyos, em lehet elerül: zárt reszerbe az etrópa em csöehet Fotos tehát a varayag és a haroayag etrópájáa az összehasolítása s, mert csa olya harozácós moell lehet jó, amely em csöet a teljes etrópát Végül a harma fôtétel szert csa az a jó etrópamérté, amely az abszolút = hômérsélete szté ulla, S = Ebbôl az s övetez, hogy ha vala javasol egy etrópát, amely egy mása a függvéye S = f (S), aor ee a függvéye mooto- a ell lee, és f () = meéppe teljesül Képletszerûe a belsô eerga E megváltozása meéppe a S etrópaváltozás, a V térfogatváltozás és az esetleges részecseszám-változáso, N fgyelembe vételével számítaó : E = S pv µ N A megfelelô eergaözlése együttható, a (abszolút) hômérsélet, a p yomás, a µ éma potecál, úgyevezett tezív paramétere, amelye ét ayagarab egyesúlya eseté egyelô értére álla be Ha em egyelôe, aor ag foly a megfelelô extezív meysége árama (hacsa ezt valamlye szgetelés em aaályozza meg mesterségese, amrôl egy felrobbaó var gluo plazmába azért em agyo lehet szó), amíg az etrópa el em ér maxmumát S = E pv µ N = max az úgyevezett mroaous egyesúly efícója Ha em a var gluo plazma egészét vzsgálju, haem csa egy sebb részét, amely a több résszel még () (2) szoros apcsolatba va, aor állaó eerga- és részecsecsere zajl Eor az eerga, térfogat és részecseszám értéét em smerjü, eze az értée flutuála Az S (E,V,N) összefüggés az állapotegyelet em rögzíthetô potosa Ebbe az esetbe egy más fejezés, az úgyevezett szaba eerga az, amely az egyesúlyt jellemz Élé eergacsere és fx hômérsélet eseté az F = E S meység mmuma írja le az egyesúlyt Az ee megfelelô aous állapotegyelet egy F (,V,N) függvéy A ét (azaz a mroaous és a aous) leírás apcsolata az úgyevezett Legere-traszformácó egy specáls esete: β = = S E, F = E S Ee sorá az eerga és a hômérsélet apcsolata mplcte aott Hasolóa végrehajtható egy tovább Legere-traszformácó a részecseszám vszoylatába Eor µ = S N, Ω = F µ N érfogatlag homogé reszerere Ω = pv, am az elleezô eset bzoyításág jó feltevés A var gluo plazmát s homogée tetjü Eor az összes extezív (azaz összeaóó) meység aráyosa vehetô a térfogattal: E = Vε, N = V A agyaous állapotegyelet homogé határesetbe a yomás és a sûrûségee megfelelô tezív meysége apcsolata által aott: p (,µ) Ameybe a fet feltétele teljesüle, a p (µ, )és az S (E,N,V) állapotegyelete evvalese A var gluo plazma és az abból alauló, fôét pooból álló harogáz leírása a megfelelô p(,µ) görbé összehasolításával törté a legegyszerûbbe: ha e ét ayag egyesúlyba va, aor azoos és µ mellett a yomáso s megegyeze (ez a Gbbs-rtérum), ülöbe a agyobb yomású állapot (ú fázs), valósul meg az egyesúly elérése utá A fet vázolt, hagyomáyos termoama feltétele özül émely em valószíû azoba, hogy teljesül a ehézo-ísérletebe Ilye a ellôe agy reszer megléte, s ezért a véges térfogat, lletve részecseszám hatása erôs lehet Ez specáls folyamato, pélául a csa párba eletezô rta haroo eseté jeletôs lehet A más feltétel az állaóa tetett paramétere ôbel túl gyors változása, aárcsa flutuácója A zajos hômérsélet pélául az egyesúly eergaeloszlást megváltoztathatja, am a repülô részecsé spetrumába mérhetô effetusra vezet Ilye jeleségerôl a tovább fejezetebe lesz szó Részecsé és véletle számo A hô és a hômérsélet statsztus elmélete, matemata moell, állapotegyelet Véletle számo és átlago, Fourer-traszformácó Reombácó, az expoecáls stacoárus megolás A hatváyeloszlás reombácója (3) (4) 294 FIZIKAI SZEMLE 24 / 9
A termoama alapelve mûöésée egy általáos feltétele az, hogy a fotos fza meysége átlagértée oly agy legye, hogy emellett a flutuácó agysága elhayagolható Ezt elöte azoba egyáltalá em egyszerû Néha a éháy s elegeôe soa bzoyul, másor a végtele so sem garatálja a változatla átlagot Matematalag az átlagtól való eltérés valószíûségée ell ellôe gyorsa csöee Ha ez em övetez be, aor a lasszus termoama em alalmazható Ilye esetere jöhet szóba egy terjesztett termoama alalmazása Ahhoz, hogy az lye ráyú, ortárs (pl az etrópafogalom általáosítására ráyuló) próbálozásoat megértsü, elôször a lasszus etrópa és a mroszopus eloszláso apcsolatát ell röve feleleveíteü Ezt a célt szolgálja a jele fejezet Aár az eergavatumo, aár a részecsé eloszlását vzsgálju, a ülöbözô sorészecse-, so-vatumállapoto relatív valószíûségét eressü Egyesúlyba ezt az etrópa maxmalzálásával számíthatju, esetleg egyes átlagértée, pélául az eerga vagy részecseszám beállítása mellett Ezt a Lagrage-szorzó mószerével tehetjü meg, azaz a agyaous esetbe S β (E µn ) maxmumát eressü A ulópot meesetre az etrópa (valamt az eerga és részecseszám) meghatározása a ülöbözô lehetséges állapotora Ha egy állapot valószíûsége w (és az összes állapotot smerjü, azaz w = ), aor a Boltzma Gbbsetrópa az átlagos meglepetés: S = l w = Egy valószíûtle állapot (w cs) beövetezte agy meységgel, míg egy valószíû állapoté csa evéssé övel a meglepetés-etrópát Ha összese N állapot va és megy egyformá valószíû (w = /N), aor S =ln Ez az egyeletes eloszlás egybe az etrópát maxmalzáló mroaous eloszlás Ez ét állapot esetére agyo egyszerûe belátható A megfelelô valószíûsége p, lletve p, az etrópa S = p lp ( p)l( p ) Ee maxmuma, mt az pélául erválás útjá megállapítható, valóba p = p (azaz p = /2) eseté áll be A agyaous valószíûség, a Gbbs-eloszlás az alább fejezés maxmumából aó: w lw β w E βµ w lw A w szert erváltat zérussal egyelôvé téve apju: w = Z exp β (E µ N ), w N = max ahol a Z partícós összeg a w = feltétel matt Z = exp β (E µ N ) A hômérsélet ez esetbe =/β, állaó A so részecsébôl álló var gluo plazma esetébe a lehetséges állapotora való összegzés a térfogatra és a részecse (5) (6) (7) (8) mpulzusára való összegzést jelet Nagy térfogatba és magas hômérsélete (egyelôre µ = éma potecál mellett) ez egy-egy tegrállal írható le: N = V E = V 3 (2π) 3 exp( 3 (2π) 3 E exp( E /), E /), ahol E a mpulzusú részecse által horozott teljes eerga Külööse érees a részecsét eerga, E /N, mert ez jól mérhetô és függetle a V térfogattól A yomás s számítható egy tegrállal, s az etrópa az S = E pv µ N összefüggésbôl A agyo gyors részecsére az eerga a relatvsztus épletbôl számolható, E = m 2 2, ahol a féysebességet egységye választottu Ha a jellemzô eergá agyo a yugalm eergához épest, aor E >> m A részecsesûrûség és az eergasûrûség tegrálja leegyszerûsö: = N V = 2 π 2 2 exp( ε = E V = 2 π 2 3 exp( /), /) Az ereméy szert = λ 3 és ε = σ 4 Hasoló számolásból aó a yomás: Eze az ereméye a tszta sugárzásra jellemzô Ste- fa Boltzma-törvéyel egyeze meg (azzal a ülöbséggel, hogy a vatumos természet matt az tegráloba az expoesél boyolultabb fejezés jele meg, e a hômérsélet hatváyaval való aráyosság em változ) A varbezárás matt még egy, a térfogattal aráyos bütetô eerga, BV s számításba jö, a téyleges eergasûrûség a var gluo plazma eseté tehát p = 3 σ 4 Ez a részecsefzába szoásos egységreszer: a féysebesség, a reuált Plac-állaó és a Boltzma-állaó m egy, c =, = és = Így a tömeg, az mpulzus, a hômérsélet mértéegysége megegyez az eergáéval, m MeV vagy GeV Egy proto tömege azaz a yugalm eergája örülbelül GeV (9) () ε = σ 4 B és p = 3 σ 4 B aja az állapotegyeletet Ez az ayag egy bzoyos hômérsélet alatt ( 75 MeV) egatív yomású lee, ezért rögtö csomóso: a varoból és gluooból haroo eleteze Ugyaaor a varo és gluoo eergaeloszlása expoecáls volt, amt a BÍRÓ AMÁS SÁNDOR: A KVARKANYAG SZOKALAN ERMODINAMIKÁJA 295
részecseszámra voatozó tegrál fferecálásával apu: (2π) 3 V 3 N = exp 3 () A eltett haroo ezt az eloszlást legalábbs részbe öröl, valóba megfgyelhetô expoecálsa lecsegô szaasz a poo és más részecsé spetrumába Szögezzü le, az agyo jeletôs téy, hogy a termoama gyorsítós ísérletere, jelesül a var gluo plazmára s alalmazható Volta azoba fayalgó s, a megjegyezté, ezzel vszot em so újat tuu meg a természet jeleségerôl A továbbaba a var gluo plazma egy vszoylag új, a hagyomáyos termoama egyesúly feltételet fellazító tárgyalását smertetem, amelye utatásába magam s részt vesze Elôször tetsü át, hogy mt s jelet a flutuácó el em hayagolhatósága Mlye agy a agy, mlye cs a cs? A var gluo plazmát leíró ülöféle matemata moellebe (mt a fza más területe s) a véletle számo jeletôs szerepet játszaa Az egy legfotosabb mószer a aous vagy agyaous eloszlású eergaértéee megfelelô moellállapoto elôállítása számítógépe, amelye segítségével aztá a mérhetô átlagértée meghatározható Ha egy véletle változó eloszlása egyeletes, pélául (, ) özött, aor so lye szám jól haszálható mroaous moellezésre Kaous esetbe gooso ell az állapoto preparálásáról, a hôtartállyal való egyesúly elérésérôl, am az exp( E /) Gbbs-eloszláshoz vezet végül De vajo ez mg gaz? Az átlago és flutuácó vszoyát az általáos termoama elve szert azért fogaju el, mert majem me eloszlás soszoros megsmétlése a Gauss-eloszláshoz vezet (ez a cetráls határeloszlás tétele) A Gausseloszlásba az átlagtól való eltérés relatív agysága me határo túl csöethetô a mtavétel (függetle) megsmétlésével: E /E N /2 a jellemzô aráy A véges tervallumo egyeletes eloszlású véletle számo összege pélául agyo jól özelít a Gauss-eloszlást Egyetle szám eloszlása egy vízsztes szaasszal jellemezhetô ét szám összege már egy háromszög alaú alap Vzsgálju meg arab lye szám sálázott összegée az eloszlását: P (x) =2 = x δ x a = x, (2) ahol a δ(x y) sztrbúcó (Drac-elta) az tegrálra ráéyszerít az x = y feltétel teljesülését Számítsu ee az eloszlása a Fourer-traszformáltját, P () = xe x P (x), (3) amelye a szert erváltja a = helye az x típusú várható értéeet ajá Az úgyevezett cetráls mometumo (égyzetes szórás és magasabb orrelácó) peg az l P () erváltjaból aóa a ulla ervált, P() = xp(x) = P () = xxp(x) = x az elsô ervált stb A véletle számo összegére vsszatérve az x szert tegrálás a δ( ) sztrbúcóba rótt feltétel teljesüléséhez vezet: P () =2 x exp a x Ez peg egyforma tegrál szorzata, azaz = P () = 2 yexp a y Az tegrál elvégezhetô, az ereméy: (4) (5) (6) P () = s a a A s(z )/z függvéy oszcllál és foozatosa eltû agy argumetumra, míg a ulla özelébe egy Válasszu a sálafatort a =(3/ ) /2 -e, eor agy -re a cs, és az ereméy sorba fejthetô: am a P () P () 2 /2 a 2 2 6, (7) (8) ereméyre vezet Ez egy Gauss-függvéy, amelye a Fourer-traszformáltja szté Gauss: P (x) = 2 π exp exp x 2 2 2 2 Ezzel egy specáls esetbe bebzoyítottu a cetráls határeloszlás tételt Az általáos bzoyítás hasolóa végezhetô, mvégg feltétel azoba, hogy a P(x) alapeloszlás e legye túlságosa hosszú farú (azaz me cetráls mometuma véges legye) Ellepéla a Loretz-eloszlás, P(x) = /π 2 x 2, amelye Fourer-traszformáltja, P() = exp, (9) 296 FIZIKAI SZEMLE 24 / 9
a Gbbs-féle részecsespetrum ultrarelatvsztus esetbe A cetráls mometumo ez esetbe az l P() = erváltja a = helye, amelye megye (véve a ullaat) vergál Most s lehet persze határeloszlás, So részbôl (ú partoból) álló haro eseté P () = P (2) a reombácó szabálya Ee a szabálya az expoecáls spetrum: l P () = a P() = exp függetle -tôl, ha a =/ Vagys a számta özép (so-so egyelô eergájú részecse tömegözéppotja) szté Loretz-eloszlású Az érees az, hogy egy s tömeg bevezetésével ez az eloszlás rövíthetô, azaz regulárssá tehetô Ha m m P() = exp 2 2 egy-egy var vagy gluo spetruma (azaz majem Loretz-görbe meté loalzálható a plazma belsejébe), aor lye részecsébôl álló haroszerû csomó (ú cluster) spetruma hasolóa expoecáls: m (m) P () = exp 2 2 Ha agyo agy, e m agyo cs, aor az így létrejövô épzôméy (haro) M = m tömege lehet véges A gyorsító yalábráyára merôlegese repülô haroo spetruma így értéûe aó, ahol exp M M t M t = M 2 2 t (2) az úgyevezett traszverzáls tömeg Egy szabály, amely ülöbözô M tömegû haroora (pora, aora, protora) a ísérletleg megfgyelt spetrumoba teljesül látsz A fet leírt jeleséget reombácóa evezzü Elem esete, = 2, pélául egy var és egy atvar mezoá egyesülését jellemz Ee sorá az eerga özel egyelô aráyba aó az egy és a más varból az új haro yugalm reszerébe Az o az, hogy a mezoba ötött állapotra jellemzô relatív mpulzus soal sebb (b MeV), mt a ulás varo egyeét mpulzusa ( GeV) Az expoecáls függvéy a reombácó szempotjából s ülöleges Az E eergájú haro ét, egyarát E/2 eergájú varból való eletezéseor a spetrum szorzó (ez az ereet valószíûsége ovolúcójáa felel meg): P 2 () = P 2 2 a fxpotja, ömagába megy át Ez a tulajoság em tr- váls A salls-eloszlás, amely a övetezô fejezet témája lesz, pélául egy hatváyfüggvéyszerû spetrumot a, P (E )= E b amelye az -szeres reombácója, P (E )= E b c, c, (22) (23) em ömaga Nagyo agy -re azoba ez a spetrum s az expoecálshoz özelít Az etrópa általáosítása Mért ell általáosíta:hosszúfarú eloszláso, em eléggé elyomott flutuácó salls-etrópa és aous eloszlás A salls-etrópa em extezív Vaa tehát esete pélául a ehézo-reacó bzoyos aspetusa lyee, amor a hagyomáyos termoama alapfeltevése em teljesüle Ilyeor az átlagtól való eltérése, a flutuácó jellemzôe agyo és jeletôs távolságba sem függetlee Ilye helyzetbe az etrópa ereet efícója, amely az a pror egyelô valószíûsége elvére vezetett a mroaous soaságba, változtatásra szorul A terjesztett éplettôl elvárju, hogy egy bzoyos határesetbe vsszaaja az ereet Boltzma Gbbs-formulát, s egyébét tartsa meg az etrópa józaul hagzó tulajoságat (A tuomáy ozervatvzmusa, a s lépése tatája hatalmas hatóerô: új elmélete olgozásaor bztosítja a lehetô legmesszebb meô ompatbltást a rég ereméyeel, az ag tuomáy újrafelhaszálását) Az etrópa józa tulajosága özé tartoz a poztvtás (ulla szgorúa csa ulla hômérsélete lehet), a moototás és a függetle (em ölcsöható) reszerere voatozó atvtás (extezvtás) Ha valamt ebbôl fel ell a, aor ez ylvá az utolsó szempot: hosszú távú ölcsöhatás eseté amlyee a varoat egymáshoz ragasztó erô s az egész több mt részee az összege A furcsa tt az, hogy látszólag, azaz átlagosa függetle reszerere s elvetjü az etrópa atvtását: a özös állapot valószíûsége továbbra s a függetle részállapoto valószíûségee a szorzata, e a teljes etrópa em a részetrópá összege A logartmus formula megváltoz BÍRÓ AMÁS SÁNDOR: A KVARKANYAG SZOKALAN ERMODINAMIKÁJA 297
Az ô sorá több lye terjesztés javaslat s született Az egy legtöbbet elemzett javaslat Costato salls brazl fzustól származ A ulópot a logartmust és verzét, az expoecáls függvéyt özelítô hatváyfüggvéye haszálata (Ez agyo jól ll a részecsefzába tapasztalt, részbe expoecálsa, részbe hatváyfüggvéye tûô spetrumohoz) Defálju a övetezô függvéycsoportot: l c (x) =c x /c, lm l c (x) =l(x), c exp c (x) = x c c, lm exp c (x) = exp(x) c (24) A c hatváy tetszôleges valós szám lehet Eze a függvéye egymás verze, exp c [l c (x )] = x, s a erválás szabályo csa cst tére el a megszoottól: x exp c (x) = expq c (x), x l (x) = c x, q (25) ahol q =+/caz úgyevezett salls-ex A szoásos logartmustól eltérôe, az l c függvéy em atív a szorzat argumetumra ézve: l c (xy)=l c (x) l c (y) c l c (x)l c (y) (26) (A móosítás ráya természetese c elôjelétôl függ) A salls-etrópa efícója, S = w l c w, (27) alapjá az evpartícó, a aous és agyaous eloszlás, valamt az állapotegyelet szté móosul Ha w =/N, aor S =l c (N), lletve N = exp c (S) Két függetle részreszer összetevéseor, még ha az együttes állapot valószíûsége szorzat s (w (2) = w () w (2) ), a j j salls-etrópa em atív: S (2) = S () S (2) c S () S (2) (28) A agyaous eloszlás és partícós függvéy szté a móosított expoecálst tartalmazza, w = Z exp c X, Z = exp c X, (29) ahol X = E µn Az átlagos eerga és részecseszám szerepét móosított átlago vesz át, E = E, N = (3) amelye a szoásostól émépp eltérô termoama potecálra vezete: N, Ω = pv = l c Z = S (E µ N) S c (3) Szerecsére a részecsét eerga fejezésébôl az ( S/c) véges méretfator es: µ E N = p µ p p µ p (32) A részecsespetrumo az exp c ( x ) eergaeloszlást övet x =(E µ)/ argumetummal Érees megjegyez, hogy ez a függvéy, amely s eergára özel expoecáls, míg agy eergára hatváyszerû lecsegést mutat, elôállítható a szoásos expoecáls függvéy tegráljaét s: ahol exp c ( x) = Γ(c) t t c e t ( x / c ), Γ(c) = t t c e t (33) az Euler-féle Gamma-függvéy, értée, ha c egész szám, a fatoráls, (c )! Ez úgy s felfogható, hogy az x változóba szereplô verz hômérsélet, / em állaó, haem a fet tegrállal jellemzett, úgyevezett Gamma-eloszlást övet Fzalag ez a varayag gyors fejlôése matt fellépô, em elhayagolható hômérsélet-flutuácó hatását vesz fgyelembe (Ez a Gamma-eloszlású verz hômérsélet levezethetô egy multplatív zajt tartalmazó, sztochasztus hôvezetés egyeletbôl) Az eáls salls-gáz állapotegyelete a fete alapjá meghatározható, a részecsesûrûség és az eergasûrûség a hatváyfüggvéyel meghatározott hagyomáyos eloszláso Gamma-eloszlású tegráljából aó: = 3 (2π) 3 (34) A fet tegráloba szereplô egyrészecse-eloszlásfüggvéy levezethetô a hagyomáyos termoama éplete Gamma-eloszlású tegráljaból: f c E µ, ε = 3 (2π) E f E µ 3 c f c (x) = Z(x) = x l c (Z), t t c e t ζ tx c, t t c e t (35) 298 FIZIKAI SZEMLE 24 / 9
ahol a hagyomáyos Ferm- és ζ(y) = exp( y) a hagyomáyos Bose-eloszlásra, amelye a varo, llet- ve a gluoo vatumos eloszlását írjá le A agy eergára jellemzô lasszus özelítés a Boltzma Gbbs-eloszlás, amelye most a feltétele exp c ( x) >> Eor ζ(y) = exp ( y) f c (x) x l c exp c ( x) x exp c ( x) = x c (36) Behelyettesítve a µ = mellett érvéyes x = / fejezést, a (34) épletee megfelelô tegrálo elvégezhetô Az ereméy: Ebbôl = ε = c = 2 π 2 2 c 2 (c ) (c 2) 3, 2 π 2 6 c 3 (c ) (c 2) (c 3) 4 E N = ε = 3 c c 3 (37) aó, am egy egyszerû összefüggés a részecsespetrum hatváymereesége, (c +) és a részecsét eerga, E /N özött A hagyomáyos termoama c határesetébe vsszaapju az E N =3 épletet, amely a var gluo plazma ereet elépzelésére volt jellemzô, s azoos a tszta sugárzással töltött üreg fotooét eergájával A gyaorlat esetbe azoba, 75 MeV és E /N MeV értéeet mérte, am ezt az aráyt özel 6 -re tesz 3 helyett A spetrum hatváya ebbôl c + 6,7-e aó Ugyaaor más, eletro poztro ütözésbe mért spetrumora ább az 5,8±,5 hatváy a jellemzô Vajo megaasztja ez a paráy homoszem a salls-féle termoama gépezetét? Részecsespetrumo és vázrészecsé Az etrópa extezívvé tétele, az eerga em extezív Kölcsöhatás eerga egy része a vázeergába:vázrészecsé Kvatumos orrecó, Ferm- és Bose-eloszlás Kísérletleg mért spetrumo A termoama terjesztésével járó meglepetésee még cs vége Került, hogy a salls-etrópa helyett bevezethetô ee egy mooto függvéye, amely atív etsü az S = c l S /c (38) Wag-féle etrópát (tt a hagyomáyos logartmus szerepel) Köye belátható, hogy ez a (28) épletbe fejezett pszeuoatvtás érvéyessége mellett atív Mutá az S (2) = c l c S (2) = c l S () S (2) c c S () S (2) épletbe a logartmus argumetumába az S () c S (2) c (39) szorzat feezhetô fel, ereméyül az atvtást apju: S (2) = c l c S () c l c S (2) (4) = S () S (2) Mthogy a (38) éplet által megaott függvéy mooto, a Wag-etrópáa ugyaott va maxmuma, ahol a salls-etrópáa A aous és agyaous eloszlás most s hatváyfüggvéy Hogya lehetséges, hogy az atív Wag-etrópa em a szoásos expoecáls eloszlást aja? Az o az eerga em atív volta ebbe az esetbe Megaható egy formáls eerga fejezés, amely atív, s ezért a hagyomáyos eáls gáz termoamájára vezet, azaz az ω = b l b (4) fejezést tetve eergáa a hagyomáyos Gbbseloszlás, exp ω valóba hatváyszerû (az exp(a lx) =x a éplet alapjá) Ameybe b = c, majem vsszaapju a salls-féle aous eloszlást azzal az apró ülöbséggel, hogy most a részecsespetrumba szereplô hatváy mössze c, em c+ Ez egy olya salls-féle termoamáa felel meg, ahol az összeergát és részecseszámot em -val, haem w -vel súlyozva számoltu : E = E E = b w E, N = b / (42) Ez a ehézo-ísérletbe tapasztalt spetráls mereeség () és részecsét eerga (E/N ) alapjá számszerû- w N BÍRÓ AMÁS SÁNDOR: A KVARKANYAG SZOKALAN ERMODINAMIKÁJA 299
leg c 5,7-et a, am már jól egyez a függetle eletro poztro ütözéses ísérlet c = 5,8±,5-ös ereméyével Eltávolítottu a homoszemet (s ugyaaor érvet találtu az etrópafogalom terjesztésée egy egyszerûbb változata mellett)! A fet trü em áll egyeül: elvleg egy sûrû ayagba, pélául var gluo plazmába mozgó részecse eergája lehet más, mt a váuumba mozgóé A ölcsöhatáso matt az ereet eerga em atív, am vszot atív, az em az ereet részecséet számolja Az lye, özegbel részecsét vázrészecsée hívju A vázrészecse eergája és mpulzusa özött em a hagyomáyos összefüggés áll fe (Egy [ta]testület tagjaét más lehet valae a hatása, mt prvát öryezetbe) A hosszú távra orrelált flutuácó, amelye matt a termoama terjeszteô, más területee s fellépe Fratáls ffúzó, üvegszerû szerezete reezôése, galaxso eloszlása, sôt a tôzse flutuácó és a límaváltozáso s ább salls-, semmt Gbbs-eloszlást látszaa övet Eze reszere leírásáa általáos alapelvebôl a jövôbe még soat taulhatu DIFFERENCIÁLIS ROÁCIÓ AZ LQ HYDRAE FELSZÍNÉN Kővár Zsolt MA Kooly hege Mlós Csllagászat Kutatótézete A csllago felszíée részletes vzsgálata a csllagászat új utatás területe, mely a agyfelbotású spetroszópa elterjeésével ezôött alg ét évtzee A tuomáyterület törtéetée részletes felolgozásával foglalozott a özelmúltba Kôvár (22) A apfoltohoz hasoló csllagfoltoat özvetle móo em láthatju, mvel még a legorszerûbb távcsöve felbotóépessége s agyságreeel elmara attól, am a özel csllago felszíée taulmáyozásához szüséges Ezért a csllago felszíét csupá özvetett móo tuju vzsgál Ezerôl az ret reostrucós mószererôl özöl összefoglalást Kôvár és Oláh (999) A moer csllagfelszí-reostrucós techá mt pélául a Doppler-épalotás lehetôvé tesz, hogy a csllago felszíérôl olya térépeet észítsü, amelye segítségével részletese taulmáyozható a csllagfolto mérete, alaja, elhelyezeése stb Ha ôsorba reezett térépeet vzsgálu, megláthatju, hogya változ a felszí, öveteztethetü arra, mlye folyamato hozzá létre, lletve alaítjá a csllag foltjat A Nap esetébe a apfolto felbuaása a mágeses amóval magyarázható, melyet a fferecáls rotácó (em merevtestszerû forgás: a Nap az egyelítôjéél forog a leggyorsabba, a póluso felé halava a forgás sebesség csöe) és a plazma ovetív áramlása mûötete Ma tuásu szert hasoló mechazmus hozza létre a mágesese atív csllagoo a foltoat A folto ôbel változásáa yomo övetése ugyaaor lehetôséget teremt arra, hogy mutassu a csllagfelszí fferecáls rotácót (Erre voatozó tapasztalatoról a Nap esetébe már jóval orábba beszámolta: pélául Mauer és Mauer 95, Newto 934 stb) ábra Foltos csllag spetrumvoaláa változása a forgás sorá A Doppler-épalotás alapja A potforrása tethetô csllag megfelelô spetrumvoalaból álló sorozatot felhaszálva reostruálható a csllag felszíée hômérsélet-eloszlása A mószer arra az egyszerû meggoolásra épül, hogy a forgó csllag ülöbözô részerôl érezô féy eltérô Doppler-eltolóást szeve A Doppler-épalotásét smert techát elôször Vogt és Pero (983) alalmaztá Az eljárás alapja az a felsmerés, hogy a fotoszférából ereô spetrumvoal alaja a forgás ülöbözô fázsaba a folto matt más és más A spetrumvoalat eszert tethetjü az atuáls étmezós orog egymezós leyomatáa Ee llusztrácója látható az ábrá, amelye egy foltos csllag látható a tegelyforgás egymást övetô fázsaba, alatta peg az aott pllaatba mérhetô spetrumvoal 2 ábra A Doppler-épalotás alapelve 3 FIZIKAI SZEMLE 24 / 9