. (4.feladatlap/2) Gazdasági Matematika I. Di erenciálszámítás alkalmazásai Megoldások a) Határozza meg az f(x) x 6x 2 + függvény x 2 helyen vett érint½ojének az egyenletét. El½oször meghatározzuk a pont 2. koordinátáját: y f( 2) ( 2) 6 ( 2) 2 + Az érint½oegyenes meredeksége az x pontbeli derivált értéke. Mivel f (x) x 2 2x; így m f ( 2) ( 2) 2 2 ( 2) 6 Így a P ( 2; ) pontban az érint½o egyenlete: y 6 (x ( 2)) + ( ) ) y 6x + 4 b) Határozza meg az f(x) (x + ) p x függvény görbéjének a ( ; ) pontjába húzott érint½o egyenletét. Az érint½oegyenes meredeksége az x pontbeli derivált értéke. Mivel f (x) p x + (x + ) ( x) 2 ( ) ; így m f ( ) p 4 p 4 Így a P ( ; ) pontban az érint½oegyenes egyenlete: y p 4 (x ( )) + ) y p 4 (x + ) 2. (4. feladatlap/5) Egy közlekedés gazdaságossági vizsgálat a T ; 4K ;6 összefüggést használja, ahol K az útépítés költsége, T pedig a forgalom nagyságát méri.határozza meg a T (K-ra vonatkozó) elaszticitását. Határozza meg (ezen modell szerint közelít½oen) hány %-os forgalomnövekedést okoz az útépítés költségének %-os növekedése? A T elaszticitása: E(T (K)) K T T K ; 4K ;6 ; 4 ; 6K;6 ; 6 Azaz az útépítés költségének %-os növekedése ; 6%-os forgalomnövekedést okoz.
. (4. feladatlap/6) Egy termék iránti keresletet a p(> ) ártól függ½oen az f(p) 2p + függvény írja le. Határozza meg (ezen modell szerint) hány %-kal és hogyan változik a kereslet, ha a cikk árát p 5-r½ol %-kal növeljük! Az f függvény p-re vonatkozó elaszticitása: E(f(p)) p f(p) f (p) p 2p+ ) E(f(5)) 2 (2p + ) 2 2p 2p + Azaz az ár 5 egységr½ol történ½o %-os emelése %-os kereslet csökkenést okoz. 4. (4. feladatlap/7) Határozza meg az alábbi függvények széls½oértékeit! a) f(x) x 4 + x D f R ) x 2 vagy 4x + Lehetséges szé. helyek: x és x 2 f (x) 4x + x 2 x 2 (4x + ) 4. Így x x < x 4 4 4 x < x f + + f monoton csökk. min.hely monoton n½o nem szé. hely monoton n½o A minimum érték f( ) 4 4 4 + 4 27 ) 256 Minimum pont: P min ; 27 4 256 b) f(x) x e x D f R ) Mivel e x > ; így x + Lehetséges szé. hely: x f (x) e x + x e x e x (x + ) Megvizsgáljuk, hogy az elégséges feltétel is teljesül-e. f (x) e x (x + ) + e x e x (x + 2) ) f ( ) e e > Így az x hely lokális minimumhelye az f(x) függvénynek.
A minimum érték f( ) ( ) e ) e Minimum pont: P min ; e c) f(x) x ln 2 x D f R + ) ln x vagy ln x + 2 f (x) ln 2 x + x 2 ln x x ln2 x + 2 ln x ln x (ln x + 2) Lehetséges szé. helyek: x és x 2 e 2 e 2 Megvizsgáljuk, hogy az elégséges feltétel is teljesül-e. Így az f (x) x (ln x + 2) + ln x x (2 ln x + 2) ) x f () (2 ln + 2) 2 > x hely lokális minimumhelye az f(x) függvénynek. A minimum érték f() ln 2 ) Minimum pont: P min (; ) Az x 2 e 2 esetén f ( e ) 2 e2 2 ln e + 2 2e 2 < 2 Így az x 2 e 2 hely lokális maximumhelye az f(x) függvénynek. A maximum érték f( ) ln 2 ( 2) 2 4 ) e 2 e 2 e 2 e 2 e 2 Maximum pont: P max ; 4 e 2 e 2 d) f(x) (x + ) (x + ) 2 f (x) (x + ) 2 + (x + ) 2 (x + ) (x + ) (x + 5) ) x + vagy x + 5 Lehetséges szé. helyek: x és x 2 5. Megvizsgáljuk, hogy az elégséges feltétel is teljesül-e. f (x) x + 5 + (x + ) 6x + 4 ) f ( ) 8 + 4 4 < Így az x hely lokális maximumhelye az f(x) függvénynek.
A maximum érték f( ) ) Maximum pont: P max ( ; ) Az x 2 5 esetén f ( Így az x 2 5 5 ) 6 5 + 4 4 > hely lokális minimumhelye az f(x) függvénynek. A minimum érték f( 5 ) 5 + 5 + 2 2 27 ) 5 Minimum pont: P min ; 2 27 5. (5.feladatlap/) Egyenes fal mellett elhelyezked½o, 2m 2 nagyságú téglalap alakú területet kell kijelölni úgy, hogy a három oldalához szükséges kerítés hossza a lehet½o legkisebb legyen. Mekkorák a téglalap oldalai? Jelölje az oldalakat a és b ( a; b 2 R + ). Az a b 2 feltétel mellett keressük, hogy a + 2b mikor lesz a legkisebb, vagyis az függvénynek a minimumát. Mivel f(a) a + 4 a f (a) 4 a 2 ; így f (a), ha a 2. Ez tényleg minimumhely, mivel f (a) 8 a ) f (2) > Azaz akkor minimális a kerítés hossza, ha a 2m; b m. 6. (5. feladatlap/) Számítsa ki a következ½o határértékeket! a) sin 2 x x! 5x 2 6 sin x cos x L Hospital szabály x! x 8 cos 6x L Hospital szabály x! x! sin 6x x 8 9 5 b) e x x! sin 2x e x L Hospital szabály x!2 cos 2x 2
c) tgx x! 4 cos 2x L Hospital szabály x! 4 cos 2 x 2 sin 2x 2 2 d) e) x!+ sin x x!+ ctgx cos x x!+ sin x sin x cos x x 2 x + 2 x!2 x 8 x!2 2x x 2 2 L Hospital szabály L Hosp. szab. f) x! g) i) h) 2 x! x 2 x 2 ( + x + x 2 ) ( + x) ( + x) ( x) ( + x + x 2 ) x! 2 x! ( x) ( + x) x! 4x 4x x 2 + 6 2 ( x!+ e2x )ctgx ( ) e 2x x!+ tgx x!+ e x 2 x 2 + x e x x!+ 6 L Hosp. szab. L Hosp. szab. x!+ L Hosp. szab. x e x x!+ x!+ e x x 2 x!+ 2x 2 x x 4 x + x + e 2x ctgx x!+ e x 2e 2x cos 2 x 6x + ( x) ( + x + x 2 ) L Hosp. szab. 2 2 L Hosp. szab. e x ( ) x!+ x e x x 2 x!+
7. (5. feladatlap/4) Végezzen teljes függvényvizsgálatot az alábbi függvények esetén! Készítse el a függvények gra konját is! a) f(x) x x Értelmezési tartomány: D f R Zérushely: f(x) x ( x 2 ) ) x vagy x 2 ) zérushelyek: x ; x 2 p és x p Y tengelymetszet: f() Paritás: f( x) ( x) ( x) x + x f(x) ) f(x) páratlan Széls½oérték+monotonitás: f (x) x 2 ) x 2 ) x 2 Lehetséges szé. helyek: x és x 2. Így x x < x < x < x < x f + f monoton csökk. min.hely monoton n½o max. hely monoton csökken A minimum érték f( ) ( ) ( ) 2: A maximum érték f() 2 ) Minimum pont: P min ( ; 2) ;Maximum pont: P max (; 2) Konvexitás+in exiós pont: Lehetséges in.hely: x : Így In exiós pont: P inf l: (; ) Határértékek f (x) 6x x x < x < x f + f konvex in. hely konkáv (x x!+ x ) x ( x!+ x2 ) (x x! x ) x ( x! x2 ) + Értékkészlet: R f R Ábra: f(x) x x
b) f(x) x 4 2x Értelmezési tartomány: D f R Zérushely: f(x) x (x 2) ) x vagy x 2 ) zérushelyek: x és x 2 p 2 2 p 4 Y tengelymetszet: f() Paritás: f( x) ( x) 4 2 ( x) x 4 + 2x 6 f(x) és f( x) 6 f(x) ) f(x) se nem páros, se nem páratlan Széls½oérték+monotonitás: ) 4x 2 ) x 8 Lehetséges szé. hely: x 2. Így f (x) 4x 2 x x < 2 x 2 2 < x f + f monoton csökk. min.hely monoton n½o A minimum érték f(2) 2 4 2 2 48 ) Minimum pont: P min (2; 48) Konvexitás+in exiós pont: Lehetséges in.hely: x : Így f (x) 2x 2 x x < x < x f + f konvex - konvex
Nincs in exiós pont. Határértékek x!+ (x4 2x) x x!+ (x 2) + x! (x4 2x) x x! (x 2) + Értékkészlet: R f [ 48; +) Ábra: f(x) x 4 2x c) f(x) (x ) p x Értelmezési tartomány: D f fx ; x 2 Rg Zérushely: f(x) (x ) p x ) x vagy p x ) zérushelyek: x és x 2 Y tengelymetszet: f() Paritás: Se nem páros, se nem páratlan Széls½oérték+monotonitás: ) x f (x) p x + (x ) 2 x 2 p x + x 2 p x 2x + x 2 p x
Lehetséges szé. hely: x. Így x < x < x < x f + f monoton csökk. min.hely monoton n½o A minimum érték f() ( ) p 2 ) Minimum pont: P min (; 2) Konvexitás+in exiós pont: f (x) 2p x (x ) px 4x 6x (x ) 4x p x x + 4x p x > ; mivel az értelmezési tartomány esetén x ; így a függvény D f -n konvex és nincs in exiós pontja. Határértékek (x ) p x + x!+ (x ) p x x!+ Értékkészlet: R f [ 2; +) Ábra: f(x) (x ) p x
f) f(x) x ln x Értelmezési tartomány: D f R + Zérushely: f(x) x ln x ) x6 ln x ) x Y tengelymetszet:- Széls½oérték+monotonitás: f (x) ln x + x x ln x + Lehetséges szé. hely: x e e : Így Minimum pont: P min ; e e Konvexitás+in exiós pont: x < x < x e e e f + f monoton csökken min. hely monoton n½o. f (x) x 6 Nincs in.hely és mivel f (x) x > tetsz½oleges x 2 D f esetén, a függvény konvex D f -n. Határértékek x ln x + x!+ ln x x ln x ( ) x!+ x!+ x Értékkészlet: R f e ; Ábra: f(x) x ln x L Hospital szabály x!+ x x 2 x!+ x