osztály Igzolju, hogy 3 < ármely természetes szám eseté Kovács Bél, Sztmárémeti Az összeg egy tetszőleges tgj: Ezt ővítjü és lítju úgy, hogy felothssu ét tört összegére ) )( ( ) ( ) )( ( ) )( ( ) )( ( ) ( ) )( ( ) ( ) )( ( Ee ljá: 3 < 3 Áltláosítás: <, h >
Olju meg vlós számo hlmzá 6 x 0 x 3 3x 3 6x 74 egyeletet Olosz Ferec, Sztmárémeti Az egyelet értelmezett, h [, ) x Az egyeletet átírju három égyzet összegére: ( x x ) ( x x ) ( x x ) ( x 3) ( x 3 5) ( 3x 3 6) 0 6 9 3 0 3 5 3 3 3 3 36 0 Ez z egyelőség vlós számo hlmzá cs or lehetséges, h x 3 0 és x 3 5 0 és 3x 3 6 0, Mi három egyelet megolás x Az egyelet megolás x
3 Egy égyzete z ár szerit ét egyevágó tégllot íru Meor z szög? r Ktz Sáor, Boyhá D C I megolás: D P E A e Q Szorozzu össze (5)-öt és (6)-ot: f c c f c c c Mivel 0, ezért c, tehát 30º f S c C R F B Az ár jelöléseivel: () c, () ef EPQ ~QFR, mert miegyi erészögű és z -vl jelölt szöge merőleges szárú Így megfeleő oll ráy is egyelő: (3) e/c/, (4) /f/ c ()-ől:, eől és (4)-ől: (5) f c f ()-ől: e, eől és (3) ól: (6) f c c c c A c c B D II megolás: C Az -vl jelölt ét új szög z ereetivel merőleges szárú ezért mi egyelő H tégll olli és, or BC ollo: si cos (cos ) (-si ) () E Az EF szszo: si cos (-cos ) si () () et és ()-t összeszorozv : B -cos si si si si 0 si (si -/) 0 si 0, ezért si ½, zz 30º A F
III megolás: D S C Húzzu e ét egyevágó tégll z EB és PR átlót, eze yivá egyelő P E Q R F c olju el PR átlót CRPE szsszl, eor z EB egyelő szárú háromszöget ju, melye z EF mgsság felezi B lot, tehát FFB Így BC ollo, c/ Az RQF erészögű háromszög RF efogój fele z RQ átfogó, tehát 30º A B
4 Legye z ABC háromszög AB ollá A-hoz özelei hrmolóotj P, z A-tól távoli hrmolóotj Q Legye továá BC ollo B-hez özelei hrmolóot R, B-től távoli hrmolóot S Legye CA ollo C-hez özelei hrmolóot, C-től távoli hrmolóot U Legye PS és B szszo metszésotját z U ottl összeötő egyees és BC szsz metszésotj V Htározzu meg BUV háromszög és PQRSU htszög területée ráyát Bíró Bálit, Eger Jelölései z árá láthtó A árhuzmos szelő tételée megforítás mitt z S szsz árhuzmos z AB ollll, továá árhuzmos szelőszszo tételéől övetezőe S AB 3 S Mivel zo BP AB, ezért 3 BP A ZS és BZP háromszöge ét-ét szöge S és BP szszo árhuzmosság mitt egyelő, tehát ZS és BZP háromszöge megfelelő szögei egyelő, vgyis ét háromszög hsoló A hsolóságól övetezi megfelelő oll ráyá egyelősége, S ZS Z így eől és előző ereméyüől övetezi, tehát Z ot PS BP ZP ZB szsz S othoz özele eső hrmolóotj Ismét árhuzmos szelő tételée megforításáól övetezi, hogy z UP szsz árhuzmos BC ollll, és árhuzmos szelőszszo tétele mitt UP BC 3 Az UPZ és VSZ háromszögee ét-ét szög megegyezi, mert z UP és VS szszo árhuzmos, ét háromszög megfelelő szögei egyelő, tehát ét háromszög hsoló, VS VZ ZS ezért megfelelő oll ráy is egyelő, zz Ugyor z UP UZ ZP előzőee igzoltu,
hogy ZS, ezért ZP VS UP VZ UZ ZS ZP Eszerit VS szsz hossz z UP szsz hosszá felével egyelő, e eől UP BC mitt VS BC övetezi 3 6 Ezért VS SC BC BC BC, vgyis V ot BC szsz felezőotj 6 3 Az UBC háromszöge tehát z UV szsz súlyvol, mely felezi z UBC háromszög területét, zz BUV UBC Köye láthtó, hogy z UBC háromszög területe z ABC háromszög területée UC éthrm része, hisze, és z UC illetve AC ollhoz trtozó mgsság ét AC 3 háromszöge egyelő Eől rögtö övetezi, hogy BUV ABC ABC, vgyis BUV és z ABC 3 3 háromszöge területée ráy Nyilvávló, hogy APU, hisze ét háromszög 3 ABC 9 szögei megfelelő oll egy egyeese esése illetve árhuzmosság mitt egyelő, ezért ét háromszög hsoló és megfelelő oll ráy 3 Hsoló láthtó e, hogy BRQ ABC 9 és CS ABC Eől övetezi, hogy 9 PQRSU Mivel előző ereméyü szerit, így APU BRQ CS ABC 3 3 BUV ABC 3 ABC, ezért BUV PQRSU
5 Egy 0x0-es tálázt mie sorá és mie oszloá z árá láthtó móo eírju számot 0-tól 9-ig, mj mie sor és mie oszlo eeretezü otos számot, tehát összese 0-et V-e eeretezett számo özött miig leglá ét zoos szám? 0 9 9 0 8 8 9 0 7 3 0 Szó Mg, Sz Vegyü észre, hogy tálázt tetszőleges elemét meghtá úgy is, hogy sorá z első eleméhez hozzáá z oszloá z első elemét és veé ee z összege 0-es mréát Most eizoyítju, hogy lesz leglá ét zoos szám Bizoyítsu iirete, zz tegyü fel, hogy mi 0 iválsztott szám ülööző Eor iválsztott számo összege 0 9 45, mi 0-es mré 5 Ezt meghtju úgy is, hogy z oszlo és sor összegeet ju össze, mi 0 9, mie 0-es mré 0 ( ) 90 Ez ét mré em egyezi meg, tehát elletmoásr jutottu, em igz feltétel
6 Jelölje tetszőleges ozitív egész szám eseté ( ) t z szám ülööző rímosztói számát Mutssu meg, hogy végtele so oly ozitív egész szám v, melyre t ártl ) ( ) ) t ( ) áros Nyilvávló, hogy h ( ; ), or t ( ) t( ) t( ) A felt ezt hszálv ( ; ) és ( ) t ( ) t( ) t( ), tehát Igz övetező állításo (legye > 0 egész szám): H, or végtele so áros számr t ( ), zz ártl H H H 3, or végtele so áros számr t ( ) 3, or végtele so ártl számr t ( ) 5 3, or végtele so ártl számr t ( ) Másée foglmzv: em lehet, hogy áros -re ( ) ugycs em lehet, hogy ártl -re ( ) fel, zz áros, zz ártl, zz áros Borély József,t t cs áros, vgy cs ártl értéet vegye fel t cs áros, vgy cs ártl értéet vegye Az elmoottól övetezi, hogy végtele soszor egymás utái számr t függvéy zoos ritású, eor t( ) áros végtele soszor egymás utái szám ülööző ritású, eor t( ) ártl