Egyes alakváltozási diagramok matematikai függvény - alakjáról

Hasonló dokumentumok
A kardáncsukló tengelyei szögelfordulása közötti összefüggés ábrázolása. Az 1. ábrán mutatjuk be a végeredményt, egy körülfordulásra.

Néhány érdekes függvényről és alkalmazásukról

A fő - másodrendű nyomatékok meghatározása feltételes szélsőérték - feladatként

Elemi függvények. Nevezetes függvények. 1. A hatványfüggvény

Mechanika II. Szilárdságtan

Cikloisgörbék ábrázolása. Az ábrázoló program számára el kell készítenünk az ábrázolandó függvényt. Ehhez tekintsük az 1. ábrát is!

A főtengelyproblémához

Acél tartószerkezetek

A konfokális és a nem - konfokális ellipszis - seregekről és ortogonális trajektóriáikról

Matematika OKTV I. kategória 2017/2018 második forduló szakgimnázium-szakközépiskola

Poncelet egy tételéről

Határérték. Wettl Ferenc el adása alapján és Wettl Ferenc el adása alapján Határérték és

Egy forgáskúp metszéséről. Egy forgáskúpot az 1. ábra szerint helyeztünk el egy ( OXYZ ) derékszögű koordináta - rendszerben.

Az összetett hajlítás képleteiről

Két statikai alapfeladatról

1 1 y2 =lnec x. 1 y 2 = A x2, ahol A R tetsz. y =± 1 A x 2 (A R) y = 3 3 2x+1 dx. 1 y dy = ln y = 3 2 ln 2x+1 +C. y =A 2x+1 3/2. 1+y = x.

Inverz függvények Inverz függvények / 26

Analízis I. jegyzet. László István november 3.

MAGYARÁZAT A MATEMATIKA NULLADIK ZÁRTHELYI MINTAFELADATSOR FELADATAIHOZ 2010.

3. Lokális approximáció elve, végeselem diszkretizáció egydimenziós feladatra

1.1. Halmazelméleti alapfogalmak

MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK MEGOLDÁSAI EMELT SZINT Egyenletek, egyenletrendszerek

MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK MEGOLDÁSAI EMELT SZINT Egyenletek, egyenletrendszerek

Leggyakoribb fa rácsos tartó kialakítások

R : a faanyag számítási szilárdsági értéke a rostiránnyal 0 szöget bezáró irányban;

Függvények. 1. Nevezetes függvények A hatványfüggvény

1) Adja meg a következő függvények legbővebb értelmezési tartományát! 2) Határozzuk meg a következő függvény értelmezési tartományát!

Szabadsugár. A fenti feltételekkel a folyadék áramlását leíró mozgásegyenlet és a kontinuitási egyenlet az alábbi egyszerű alakú: (1) .

Kiegészítés a felületi hullámossághoz és a forgácsképződéshez. 1. ábra. ( 2 ) A szögváltozó kifejezése:

A hordófelület síkmetszeteiről

Analízis I. zárthelyi dolgozat javítókulcs, Informatika I okt. 19. A csoport

A befogott tartóvég erőtani vizsgálatához II. rész

3. MÉRETEZÉS, ELLENŐRZÉS STATIKUS TERHELÉS ESETÉN

A Cassini - görbékről

A differenciálegyenlet általános megoldása az összes megoldást tartalmazó halmaz.

Az egyenes rudak elemi szilárdságtanának egy problémaköréről 1. rész

Egy kinematikai feladathoz

Egy nyíllövéses feladat

Vontatás III. A feladat

Egy kötélstatikai alapfeladat megoldása másként

Henger és kúp metsződő tengelyekkel

Rugalmas láncgörbe alapvető összefüggések és tudnivalók I. rész

5. ROBOTOK IRÁNYÍTÓ RENDSZERE Robotok belső adatfeldolgozásának struktúrája

A rektellipszis csavarmozgása során keletkező felületről

Másodfokú függvények

Gyakorló feladatok a 2. zárthelyihez. Kidolgozott feladatok

Országos Középiskolai Tanulmányi Verseny 2012/2013 Matematika I. kategória (SZAKKÖZÉPISKOLA) Döntő Megoldások

Egy újabb látószög - feladat

A költségvetési korlát

Y 10. S x. 1. ábra. A rúd keresztmetszete.

KÁOSZ EGY TÁLBAN Tóthné Juhász Tünde Karinthy Frigyes Gimnázium (Budapest) Gócz Éva Lónyai Utcai Református Gimnázium

A kettősbelű fatörzs keresztmetszeti rajzolatáról

A gúla ~ projekthez 2. rész

Kosárra dobás I. Egy érdekes feladattal találkoztunk [ 1 ] - ben, ahol ezt szerkesztéssel oldották meg. Most itt számítással oldjuk meg ugyanezt.

Algebrai egész kifejezések (polinomok)

Ellipszis perspektivikus képe 2. rész

Kétváltozós függvények ábrázolása síkmetszetek képzése által

Szabályos fahengeres keresztmetszet geometriai jellemzőinek meghatározása számítással

7. Kétváltozós függvények

Forogj! Az [ 1 ] munkában találtunk egy feladatot, ami beindította a HD - készítési folyamatokat. Eredményei alább olvashatók. 1.

A szabályos sokszögek közelítő szerkesztéséhez

Lövés csúzlival. Egy csúzli k merevségű gumival készült. Adjuk meg az ebből kilőtt m tömegű lövedék sebességét, ha a csúzlit L - re húztuk ki!

Teljes függvényvizsgálat példafeladatok

SZILÁRDSÁGTAN A minimum teszt kérdései a gépészmérnöki szak egyetemi ágon tanuló hallgatói részére (2004/2005 tavaszi félév, szigorlat)

VASBETON LEMEZEK. Oktatási segédlet v1.0. Összeállította: Dr. Bódi István - Dr. Farkas György. Budapest, május hó

Egy mozgástani feladat

10.3. A MÁSODFOKÚ EGYENLET

Függőleges koncentrált erőkkel csuklóin terhelt csuklós rúdlánc számításához

2012. október 9 és 11. Dr. Vincze Szilvia

EXPONENCIÁLIS EGYENLETEK

Bolyai János Matematikai Társulat. Rátz László Vándorgyűlés Baja

18. előadás ÁLLANDÓ KÖLTSÉGEK ÉS A KÖLTSÉGGÖRBÉK

1. Lineáris transzformáció

Néhány véges trigonometriai összegről. Határozzuk meg az alábbi véges összegek értékét!, ( 1 ) ( 2 )

A fák növekedésének egy modelljéről

A fűrészmozgás kinetikai vizsgálata

T s 2 képezve a. cos q s 0; 2. Kötélstatika I. A síkbeli kötelek egyensúlyi egyenleteiről és azok néhány alkalmazásáról

Kerekes kút 2.: A zuhanó vödör mozgásáról

Egy másik érdekes feladat. A feladat

Több valószínűségi változó együttes eloszlása, korreláció

A magától becsukódó ajtó működéséről

= és a kínálati függvény pedig p = 60

Mérnöki alapok 5. előadás

A Lenz - vektorról. Ha jól emlékszem, először [ 1 ] - ben találkoztam a címbeli fogalommal 1. ábra.

Egy újabb térmértani feladat. Az [ 1 ] könyvben az interneten találtuk az alábbi érdekes feladatot is 1. ábra.

Egy újabb mozgásos felület - származtatási feladat

Mit jelent az optimalizálás?

Ismét a fahengeres keresztmetszetű gerenda témájáról. 1. ábra forrása: [ 1 ]

Egy érdekes nyeregtetőről

Síkbeli csuklós rúdnégyszög egyensúlya

Egy keveset a bolygók perihélium - elfordulásáról

László István, Fizika A2 (Budapest, 2013) Előadás

Lepárlás. 8. Lepárlás

A manzárdtetőről. 1. ábra Forrás: of_gambrel-roofed_building.

Matematika szintfelmérő szeptember

TÖBBKOMPONENS RENDSZEREK FÁZISEGYENSÚLYAI

Az alkalmazott matematika tantárgy oktatásának sokszínűsége és módszertanának modernizálása az MSc képzésében

Gyakorló feladatok síkalakváltozás alkalmazására forgásszimmetrikus esetben térfogati terhelés nélkül és térfogati terheléssel.

Egy általános helyzetű lekerekített sarkú téglalap paraméteres egyenletrendszere. Az egyenletek felírása

A kvadratrixról. Ez azt jelenti, hogy itt a görbe egy mozgástani származtatását vesszük elő 1. ábra. 1. ábra

Átírás:

Eges alakváltozási diagramok matematikai függvén - alakjáról Meglepő, de úg tűnik, mintha a szerzők ódzkodnának mélebben belemenni a szerkezeti anagok szakító -, stb. anagvizsgálati diagramjai alakjának matematikai leírásába. Most erről a témáról lesz szó. Tanulmánaim során nilván a legrégibb és legegszerűbb függvénnel, a Hooke - törvénnel [ ] szerint: Robert Hooke, 648 kerültem először kapcsolatba. Ennek matematikai függvén - alakja a lineáris függvén: E, ( ) ahol: σ: a húzó / nomófeszültség értéke; ε: a fajlagos núlás értéke; E: húzó / nomó rugalmassági modulus állandó. Grafikonja eg ferde egenes ld.. ábra, melnek irántangense: tg E. Szavakkal: a Hooke - egenes meredeksége egenlő a rugalmassági modulussal. ( ) 70 = szigma A Hooke - törvén függvénének alakja 60 50 40 30 0 0 = epszilon -50-40 -30-0 -0 0 0 30 40 50 60 70 80 90 00 0 0 30 40-0 -0-30 -40-50 -60-70. ábra f()=tan(80)*

Az. ábra grafikonján nem tüntettem fel a kezdő és a végpontot, ezzel is utalva a korlátlanul rugalmas viselkedés feltételezésére. A Hooke - törvén a fenti alakjában azt is tartalmazza, hog a szerkezeti anag húzásra és nomásra egformán viselkedik. Ez eg nem magától értetődő feltevés. Megjegzem, hog a Hooke - törvén gakran az ( 3 ) alakban fordul elő ld. pl.: [ ]!, ahol ( ) szerint. ( 4 ) E Az idők során a második leggakrabban előfordult függvéntípus: a hatvánfüggvén. A [ 3 ] műben G. B. Bulfinger ( 79 ), máshol C. Bach ~ W. Schüle - féle hatvántörvénként említik. Utóbbi megjelenésének éve [ ] szerint: 897. A törvén alakja [ ] - ben: m, ( 5 ) általában: m, ( 6 ) vagis az ( 5 ) - ből rendezéssel adódó m m m n C, azaz n C ( 7 ) alakban ( 6 ) - tal is: 0 n. ( 8 ) m ( 7 ) grafikonjait a. ábra szemlélteti, a [ 0, ] intervallumon. Legtöbbször eg n ( 9 ) alakú összefüggéssel találkozunk, ahol az inde valamel végértékre utal. Mostanság egre gakrabban találkozom a ( 3 ) és ( 5 ) képletalakok kombinációjából előálló ún. Ramberg ~ Osgood - féle függvénnel ( 943 ), melnek eg alakja [ 4 ] : 3 7 0 0 0 n, ahol 0, 0, n : kísérletileg alkalmasan megválasztott állandók. ( 0 )

3. A hatvánfüggvének alakja 0.9 0.8 0.7 0.6 0.5 0.4 0.3 f()=^0 f()=^0. f()=^0. f()=^0.3 f()=^0.4 f()=^0.5 f()=^0.6 f()=^0.7 f()=^0.8 f()=^0.9 f()=^ 0. 0. -0. -0. 0. 0. 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9...3.4.5-0. -0.. ábra Grafikonjai a 3. ábrán szemlélhetők, különböző n - értékekre. Itt:,. 0 0 A számunkra néha érdekesebb f kapcsolat a. ábrabeli függvének inverzei, melek a ( piros ) = egenesre vett tükörképekként adódnak. Megjegzem, hog a 3. ábrabeli görbeseregre 0, mert csak ezek a görbeágak használhatóak a deformációs görbék közelítő analitikus leírásához. A ( 0 ) - hez nagon hasonló egéb képletalakok is gakoriak; pl. [ 5 ] - ben: A, E f n ( ) ahol a f 0, feltételből A = 0,00, valamint n = 6 ~ 0.

4 4 3.5 A Ramberg ~ Osgood - féle függvének alakja 3.5.5 0.5 f()=+3/7*^ f()=+3/7*^ f()=+3/7*^3 f()=+3/7*^4 f()=+3/7*^5 f()=+3/7*^6 f()=+3/7*^7 f()=+3/7*^8 f()=+3/7*^9 f()=+3/7*^0 f()=+3/7*^5 f()=+3/7*^0 f()=+3/7*^5 f()=+3/7*^30 f()=+3/7*^50 f()=+3/7*^00 f()=+3/7*^00 f()=+3/7*^000 f()= 0.5.5.5 3 3.5 4 4.5 5 3. ábra A ( 0 ), ( ) függvének inverz függvéne csak igen nehézkesen állítható elő, íg mivel amúg is csak közelítésekről van szó megjelent a szakirodalomban az M. R. O Halloran - féle modell ( 973 ) is ld. pl.[ 3 ]!; ennek alakja: n EA, ( ) ahol E, A, n: kísérletileg meghatározandó állandók. Eg megfelelő görbét szemléltet a 4. ábra. Megjegzés: Nem véletlen, hog a régebbi szakirodalomban csak nagon ritkán találkoztam az itteniekhez hasonló, részletes görbe - ábrázolásokkal. Uganis galogosan ezeket megrajzolni igencsak idő - és energiaigénes feladat. Itt a Graph rajzoló programot alkalmaztam, néhán perc alatt végezve eg - eg ábrával.

5 0.007 Az O'Halloran - féle modell függvénének alakja 0.006 0.005 0.004 0.003 0.00 f()=-50000*^3.445 0.00-0.00 0.00 0.00 0.003 0.004 0.005 0.006 0.007 0.008 0.009 0.0 0.0 0.0-0.00-0.00 4. ábra A következő függvén - sereg a W. Prager - féle ( 939 ), melnek alakja [ 3 ] : E a a b th. b ( 3 ) Ennek némel alak - változatai az 5. ábrán szemlélhetők. Megjegzés: E tangens - hiperbolikuszos képlet nem tévesztendő össze azzal a ( régi ) DIN 44 szerinti összefüggéssel ld. [ 6 ]!, amel bizonos acélokra vonatkozik, és nem a teljes σ - tartománban érvénes, hanem csak az aránossági határ és a foláshatár között. Uganis a rugalmas szakaszra eg külön ( ) alakú képlet vonatkozik.

6 0.7 0.6 A Prager - féle függvén alakja 0.5 0.4 0.3 0. 0. -0.6-0.5-0.4-0.3-0. -0. 0. 0. 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9. -0. -0. -0.3-0.4 f()=0.8*+0.0*tanh(((-0.8)/0.0)*) f()=0.08*+0.*tanh(((-0.08)/0.)*) f()=0.8*+0.*tanh(((-0.8)/0.)*) f()=0.8*+0.8*tanh(((-0.8)/0.8)*) f()=0.5*+0.*tanh(((-0.5)/0.)*) f()=0.*+0.*tanh(((-0.)/0.)*) f()=0.*tanh(((-0.8)/0.)*) f()=0.*+0.*tanh(((-0.)/0.)*) -0.5-0.6 5. ábra Eg másik híresebb függvén a V. V. Szokolovszkij - féle (? ) diagram [ 7 ], melnek egik alakja: E E pp. ( 4 ) Itt: ~ E: a szokásos rugalmassági modulus; ~ σ pp : az anag szilárdsági határa. Ennek grafikonja a 6. ábrán szemlélhető.

7.5 A Szokolovszkij - féle függvén alakja.5 0.5-3 -.5 - -.5 - -0.5 0.5.5.5 3-0.5 f()=/sqrt(+*) - -.5-6. ábra A szakirodalomban néha megemlítik Saint Venant függvénét ( 864 ) is, melnek alakja [ 7 ], [ 8 ] : n pp, pp ahol: ( 5 ) ~ σ pp : az anag szilárdsági határa; ~ ε pp : a szilárdsági határhoz tartozó fajlagos núlás; ~ n : hatvánkitevő. A ( 5 ) függvén alakját a 7. ábra szemlélteti különböző n - értékekre, a [ 0, ] intervallumon.

8. Saint Venant függvénének alakja 0.8 0.6 0.4 0. f()=-(-)^ f()=-(-)^. f()=-(-)^.4 f()=-(-)^.6 f()=-(-)^.8 f()=-(-)^ f()=-(-)^3 f()=-(-)^4 f()=-(-)^5 f()=-(-)^6 f()=-(-)^7 f()=-(-)^8 f()=-(-)^9 f()=-(-)^0 f()=-(-)^ f()=-(-)^ f()=-(-)^3-0. 0. 0.4 0.6 0.8..4.6.8-0. 7. ábra Elég gakori a másodfokú parabolával jellemzett F. I. Gerstner - féle ( 83 ) anagmodell is. Ennek egenlete például [ 9 ] : ( 6 ) E E. Az E, E állandók kísérletileg határozandók meg. A függvén alakja a 8. ábra szerinti. A grafikon szerint ennél a diagramnál csak pozitív núlásoknál van a feszültségeknek közbenső szélső értéke, valamint az is, hog az ilen anagú test nem egformán viselkedik húzásra és nomásra:. ( 7 ) A ( 7 ) tulajdonság megléte esetén a ( 9 ) és ( 5 ) függvéneket úg alkalmazzák, hog a húzott és a nomott intervallumra külön - külön felírják a megfelelő egenleteket [ ], [ 8 ].

9.5 Másodfokú parabola alakja 0.5 -.5 - -0.5 0.5.5.5 3-0.5 - f()=-0.5*^ -.5-8. ábra Szintén viszonlag gakran találkozhat az érdeklődő a harmadfokú parabola szerinti közelítés alábbi alakjával [ 9 ]: ( 8 ) 3 E E 3. Az E, E 3 állandók kísérletileg határozandók meg. A függvén alakja a 9. ábra szerinti. A grafikon szerint az ilen anagú test egformán viselkedik húzásra és nomásra is:. ( 9 ) Megjegzés: Eg korábbi dolgozatom melnek címe: Néhán érdekes függvénről és alkalma - zásukról szintén foglalkozott eges anagmodellek függvéneinek képleteivel.

0.5 Harmadfokú parabola alakja.5 0.5-3 -.5 - -.5 - -0.5 0.5.5.5 3-0.5 - f()=-/8*^3 -.5 9. ábra Abban az esetben, ha ( 9 ) fennáll a test anaga húzásra és nomásra egformán viselkedik, nem ritka a páratlan fokszámú polinom alkalmazása. Ennek alakja [ 9 ] : n 3 n k 3 n k k,3,... E E... E E, ahol minden k páratlan. ( 0 ) Abban az esetben, ha ( 7 ) áll fenn a test anaga húzásra és nomásra nem egformán viselkedik, akkor az alkalmazható polinom alakja [ 9 ] : m m k m k k E E... E E, ( ) amel páros és páratlan kitevőjű hatvánokat is tartalmaz. A ( 0 ), ( ) képletekben szereplő E k állandók is kísérletileg határozandók meg. Most néhán szót az inverz függvének képzéséről.

Az irodalomban nem ritka, hog eg anagmodell képlete a a... a ( ) n n alakú [ 0 ]. Ha az inverz / fordított függvénkapcsolatra van szükség, akkor ez a következőképpen történhet. a.) Elsőfokú kapcsolat: a ; ( 3 / ) ekkor a már látott módon:. ( / ) a b.) Másodfokú kapcsolat: ( 3 ) ekkor a a a ; a a 0 ( 3 / ) egenletből a másodfokú egenlet megoldóképletével [ ] : a a, a a a Az előjelről még majd dönteni kell. c.) Harmadfokú kapcsolat: 3 3 ( 4 ) a a a ; ( 5 ) ekkor a a a a 0 3 3 egenletre a harmadfokú egenlet megoldóképlete [ ] lehet alkalmazható. d.) n - edfokú kapcsolat: Ekkor érdemes lehet az inverz függvén hatvánsorát alkalmazni [ ]. Megjegzem, hog a szerkezetek nemlineáris mechanikájában kidolgoztak olan módszereket is, ahol nincs szükség a ( ) alakú anagtörvén invertálására [ ]. Irodalom: [ ] S. Timoshenko: Résistance des Matériau I. Librairie Poltechnique Ch. Béranger, Paris et Liége, 947. [ ] C. Bach ~ R. Baumann: Elastizitaet und Festigkeit Neunte, vermehrte Auflage, Verlag von Julius Springer, Berlin, 94.

[ 3 ] Jozsef Bodig ~ Benjamin A. Jane: Mechanics of Wood and Wood Composites Van Nostrand Reinhold Compan, 98. [ 4 ] Kaliszk Sándor: Mechanika II. Szilárdságtan Tankönvkiadó, Budapest, 990. [ 5 ] I. A. Birger ~ R. R. Mavljutov: Szoprotivlenije materialov Nauka, Moszkva, 986. [ 6 ] Koráni Imre: Stabilitási kérdések a mérnöki gakorlatban Kihajlás a síkban Akadémiai Kiadó, Budapest, 965. [ 7 ] V. M. Ovszjanko: Szintez elektronnüh modelej deformirujemüh objektov Nauka i tehnika, Minszk, 98. [ 8 ] M. M: Filonenko - Borodics, Sz. M. Izjumov, B. A. Oliszov, I. N. Kudrjavcev, L. I. Mal ginov: Kurs szoprotivlenija materialov II. 3. izd., Gosztehizdat, Moszva - Leningrád, 949. [ 9 ] N. N. Popov ~ B. Sz. Rasztorgujev: Raszcsot zselezobetonnüh konsztrukcij na dejsztvie kratkovremennüh dinamicseszkih nagruzok Sztrojizdat, 964. [ 0 ] A. K. Malmeiszter, V. P. Tamuzs, G. A Tetersz: Szoprotivlenije polimernüh i kompozitnüh materialov 3. izd., Zinatne, Riga, 980. [ ] I. N. Bronstejn ~ K. A. Szemengajev: Matematikai zsebkönv Műszaki Könvkiadó, Budapest, több kiadásban [ ] B. G. Neal: Structural theorems and their applications Pergamon Press Ltd., Oford, 964. Sződliget, 00. július 9. Összeállította: Galgóczi Gula mérnöktanár