LI
Definíció: mátri LI Legyen m és n pozitív egész szám. Az : m : m......... n n : mn tábláztot m n típusú mártink nevezzük, és zt mondjuk, hogy A-nk m sor és n oszlop vn. ij z A mátri i-deik soránk j-edik eleme
LI Jelölések: Azt, hogy z A mátri z ij j,,n) így jelöljük: elemekből áll (i, m, A ( ij ) m n Az m n típusú mátriok hlmzánk jelölése: M m n Az mn esetben speciálisn hsználjuk rövidebb jelölést is. M n (M n n )
LI 4 Definíciók: Az n n típusú mátri neve: n-edrendű kvdrtikus mátri Az n típusú mátri neve: sorvektor Az n típusú mátri neve: oszlopvektor
Definíciók: LI Nullmátri: minden eleme Jelölése: O Fődigonális (főátló): z ( ij ) n-edrendű kvdrtikus mátri fődigonálisát z,,, nn elemek lkotják Egységmátri: olyn kvdrtikus mátri, melyben fődigonális minden eleme, többi elem. Jelölése: E n E
LI 6 Definíció: mátriok egyenlősége Az ( ij ) M m n és (b ij ) M m n mátriok egyenlők, h ij b ij, il,,m, jl, n
LI 7 Műveletek mátriokkl Definíció: összedás Az A ( ij ) M m n és B (b ij ) M m n mátriok összege AB( ij b ij ) M m n Péld: 8 4 4 4 7 4 Megjegyzés: Azonos típusú mátriok dhtók össze.
LI 8 Az összedás tuljdonsági A B B A A,B M m n ( A B ) C A ( B C ) A,B,C M m n A A A M m n Minden mátrink létezik dditív inverze zz: minden A M m n mátrihoz létezik (-A) M m n, melyre A(-A)O (Nyilvánvló, hogy h A ( ij ), kkor -A (- ij )).
LI 9 Definíció: szorzás számml A( ij ) M m n, λ R. Az A mátri λ-szoros: λ A(λ ij ) M m n Péld: 9 6 7 4
LI A számml vló szorzás tuljdonsági ( λ µ) A λ (µ A) λ,µ R, A M m n ( λ µ) A λ A µ A λ,µ R, A M m n λ (AB) λ A λ B λ R, A M m n A A A M m n
LI Definíció: mátriok szorzás Az A ( ij ) M m k és B (b ij ) M k n mátriok szorzt z mátri, hol A B(c ij ) M m n c ij k s is b sj
LI 8 6 4 6 7 9 4 Péld: 8 6 6 7 9 4 4
LI A szorzás tuljdonsági A ( B C ) ( A B ) C A M m k, B M k n, C M n s ( A B ) C A C B C A,B M m k, C M k n A ( B C ) A B A C A M m k, B,C M k n H A M n kvdrtikus mátri, kkor A E n E n A A (vgyis E n multipliktív egységelem) Áltlábn A B B A
LI 4 Definíció: trnszponálás Az A ( ij ) M m n mátri trnszponáltj: A T ( ji ) M n m A trnszponálás során sorokból oszlopok, z oszlopokból sorok lesznek. T 4 Péld: 4 7 7 Definíció: szimmetrikus mátri Az A M n mátri szimmetrikus, h A A T
LI Definíció: invertálhtó mátri Az A M n n kvdrtikus mátriot invertálhtónk nevezzük, h létezik olyn A - M n mátri, melyre A A - A - A E n Az A - mátriot z A (multipliktív) inverzének nevezzük. Péld:
LI 6 Definíció: háromszög mátri Egy kvdrtikus mátri felső háromszög mátri, h főátló ltt minden elem. 7 4 Egy kvdrtikus mátri lsó háromszög mátri, h főátló felett minden elem. 8 7
LI 7 Definíció: Determináns Minden kvdrtikus mátrihoz hozzárendelünk egy vlós számot, mátri determinánsát. Másodrendű mátriok determináns det Péld: 6 4 det 6 7 4 7
LI 8 Hrmdrendű mátri determináns Srrus szbály 4 ) ( ) ( ) ( 4 ) ( 4 det
LI 9 Hrmdrendű mátriok determináns Sor / oszlop szerinti kifejtés Definíció: első sor szerinti kifejtés det 4 det 4 det ( ) det - - - - (-7) - 4 (-) (-) (-)
Hrmdrendű mátriok determináns LI Sor / oszlop szerinti kifejtés Definíció: második oszlop szerinti kifejtés det 4 4 det - - - - det det - 4 (-) -
LI Mgsbb rendű mátriok determináns Sor / oszlop szerinti kifejtés Az előbbiekben hrmdrendű mátriok determinánsánk kiszámításár bemuttott sor / oszlop szerinti kifejtés módszer áltlánosításávl z n-edrendű kvdrtikus mátriok determinánsánk kiszámítás visszvezethető n drb (n-)-edrendű mátri determinánsánk kiszámításár z lábbik szerint.
LI Definíció: ldetermináns Az A ( ij ) M n n-edrendű kvdrtikus mátri ij eleméhez trtozó D ij ldeterminánsán z i-edik sor és j-edik oszlop törlésével előálló (n-)-edrendű mátri determinánsánk (-) ij szeresét értjük. Megjegyzés A fenti definícióbn szereplő, z ij elemhez trtozó, előjelként is felfoghtó (-) ij érték (, vgy ), zonos hrmdrendű determináns kiszámításánál hsznált tábláztbn előálló előjellel: - - - -
Péld LI A 9 6 4 7 4 8 6 D ( ) det 7 4 8 6
LI 4 Megjegyzés A determináns kiszámításár további, fentieknél htékonybb módszerek állnk rendelkezésre, például: háromszög lkr hozás sor / oszlop szerinti kifejtés kombinálás determináns értékét nem változttó átlkításokkl Ezeket módszereket később muttjuk be
LI Tétel A determináns néhány tuljdonság H A vlmely oszlop többi oszlop lineáris kombinációj, kkor det A Speciálisn: H A-bn vn csup -ból álló oszlop, kkor det A H A-bn két oszlopvektor megegyezik, kkor det A Tétel det A det A T Következmény A fenti tuljdonságok érvényben mrdnk, h oszlopvektorok helyett sorvektorokt mondunk.
Tétel LI 6 A determináns értéke nem változik, h egy oszlophoz (sorhoz) hozzádjuk többi oszlop (sor) vlmely lineáris kombinációját. Speciálisn: determináns értéke nem változik, h egy oszlophoz hozzádjuk egy másik oszlop számszorosát. Péld: det 4 7 4 7 det ( ) 4 7 7 4 ( 4) 7
LI 7 Tétel Mátri determinánsánk értéke (-)-szeresére változik, h mátri két oszlopát (sorát) felcseréljük. Péld: 7 4 4 7 det 7 4 4 7 det
Tétel LI 8 Háromszög mátri determináns egyenlő főátlóbn lévő elemek szorztávl. 7 4 det Megjegyzés: háromszög lkr hozás 6 Oszlopok (sorok) számszorosink más oszlopokhoz (sorokhoz) vló hozzádásávl, vlmint oszlopok (sorok) cseréjével bármely kvdrtikus mátri háromszög lkr hozhtó.
LI 9 Péld det 4 det 4 46 det ( 4) 46 4 7 84
A determináns dditivitás LI A determináns dditív bármely oszlop-, illetve sorvektor tekintetében. Például z első oszlopvektorbn vló dditivitás: det n M b b b n M n...... O... n n M nn det M n M n...... O... n n M nn b b det M b n M n...... O... n n M nn
LI A determináns homogenitás A determináns homogén bármely oszlop-, illetve sorvektor tekintetében. Például z első oszlopvektorbn vló homogenitás: λ λ det M λ n M n...... O... n n M nn λ det M n M n...... O... n n M nn
LI Tétel: szorzási szbály determinánsokr H A és B zonos rendű kvdrtikus mátriok, kkor det ( A B ) det A det B Tétel: determináns és z invertálhtóság összefüggése Egy A kvdrtikus mátri invertálhtó det A
LI Lineáris terek
LI 4 Definíció: lineáris tér Egy X hlmzt (vlós) lineáris térnek (vgy vektortérnek) nevezzünk, h dott két művelet összedás számml vló szorzás : X X X : R X X melyek rendelkeznek következő tuljdonságokkl:
LI H, y X és λ, µ R, kkor y y ( y z ) ( y ) z ( - ) λ ( µ ) ( λ µ) λ ( y ) λ λ y (kommuttivitás) (sszocitivitás) (dditív egység létezése) (dditív inverz létezése) (disztributivitás) X elemeit vektoroknk nevezzük.
LI 6 Példák lineáris térre szbd vektorok helyzetvektorok m n típusú mátriok R n f:[,] R függvények ( n ):N R vlós számsoroztok
LI 7 Definíció: lineáris ltér Az X lineáris tér egy Y részhlmzát z X lterének nevezzük, h Y mg is lineáris tér z X-beli műveletekkel. Definíció: lineáris kombináció Az X lineáris térben z,,, n X vektorok,,, n R számokkl képzett lineáris kombinációj: n n X
LI 8 Definíció: vektorrendszer Az X lineáris tér elemeinek egy {,,, n } hlmzát vektorrendszernek nevezzük. Definíció: lineáris kifejezhetőség A b X vektor lineárisn kifejezhető z {,,, n } vektorrendszer elemeivel, h léteznek olyn,,, n R együtthtók, hogy b n n
LI 9 Definíció: vektorrendszer lineáris burk Az X lineáris tér A{,,, n } vektorrendszer lineáris burk z A-beli vektorokból képezhető összes lineáris kombináció hlmz. Jelölés: [A] [,,, n ] Következmény A b X vektor kifejezhető z A X vektorrendszer elemeivel b [A]
LI 4 Megjegyzés: A lineáris kifejezhetőség problémáj R n -ben lineáris egyenletrendszerre vezet. Egy péld R -bn: 9 b,,, Kifejezhető-e b vektor z {,, } vektorrendszer elemeinek lineáris kombinációjként?
LI 4 9 b,,, A kérdés átfoglmzás: Vnnk-e olyn,, számok, hogy b, zz: 9 9
LI 4 Definíció: lineáris függetlenség Az {,,, n } X vektorrendszert lineárisn független, h n n (,,, n R) egyenlőségből következik, hogy n. H egy vektorrendszer nem független, kkor (lineárisn) függőnek nevezzük.
LI 4 Definíció: lineáris függetlenség Az {,,, n } X vektorrendszer (lineárisn) független vektorrendszer egyik vektor sem áll elő vektorrendszer többi vektoránk lineáris kombinációjként. Megjegyzések. Független vektorrendszer bármely részrendszere független.. Független vektorrendszer nem trtlmzhtj nullvektort.
LI 44 Megjegyzés: A függetlenség vizsgált R n -ben homogén lineáris egyenletrendszerre vezet. Egy péld R -bn: 4,, vektorrendszer független-e?
LI 4 Az {,, } vektorrendszer pontosn kkor független lineárisn, h z 4 egyenlőségből következik, hogy, vgyis z 4 egyenletrendszernek csk z, ún. triviális megoldás vn.
LI 46 Definíció: bázis Az X lineáris tér B vektorrendszerét bázisnk nevezzük, h B független [B] X Definíció: véges dimenziós lineáris tér Egy lineáris tér véges dimenziós, h vn véges elemszámú bázis.
LI 47 Definíció: dimenzió Egy véges dimenziós lineáris tér bármely bázisánk elemszám egyenlő. Egy bázisbn lévő vektorok számát lineáris tér dimenziójánk nevezzük. A nullvektorból álló egyelemű {} lineáris tér dimenziój.
LI 48 Péld: A (geometrii) térbeli helyzetvektorok lineáris tere háromdimenziós. A (geometrii) síkbeli helyzetvektorok lineáris tere kétdimenziós.
LI 49 Az R n lineáris tér n dimenziós, mivel z e,..., e, e n M M M vektorokból álló (n elemű) vektorrendszer bázis. Neve: természetes bázis
LI Speciálisn: z R lineáris térbeli természetes bázis: e, e, e Indoklás: Az {e,e,e } vektor rendszer független, továbbá [e, e, e ] R ui.: c b c b
LI Tétel: Tétel: Egy n dimenziós lineáris térben bármely n elemű független vektorrendszer bázis, és bármely leglább n elemű vektorrendszer függő. H B z X lineáris tér egy bázis, kkor bármely X-beli b vektor egyértelműen előáll B-beli vektorok lineáris kombinációjként. Ezt b vektor dott bázisbeli előállításánk nevezzük.
LI Definíció: koordináták H B{,,, n } z X lineáris tér egy bázis, kkor egy b vektor n n bázis előállításábn szereplő,,, n együtthtókt b vektor B bázisbeli koordinátáink nevezzük.
LI v v i v j v k
LI 4 9,, koordinátái bázisbn:,, - ugynis: 9 ) (
LI Definíció: vektorrendszer rngj Egy X lineáris tér egy A vektorrendszerének rngján z A mimális elemszámú független részrendszerének elemszámát értjük. Definíció: mátri rngj A mátri rngj z oszlopvektoriból képzett vektorrendszer rngj.
LI 6 Tétel: Egy n-edrendű kvdrtikus A mátri rngj n Következmény: det A R n egy n elemű vektorrendszere kkor és csk kkor bázis R n -nek, h vektorrendszer elemeiből képzett kvdrtikus mátri determináns nem.
LI 7 Péld:,, bázis R -bn, mert 4 det
Az I. II. m. m Lineáris egyenletrendszerek m M K K K n n mn n n n b b b LI 8 m egyenletekből álló rendszert hol ij,b i R, i,,m, j,,n dottk, és keresendő z összes olyn (,,, n ) R n szám n-es, melyre z egyenlőségek teljesülnek n ismeretlenes, m egyenletből álló lineáris egyenletrendszernek nevezzük.
LI 9 Elnevezések Az egyenletrendszer lpmátri: Az egyenletrendszer kibővített mátri: ij : z egyenletrendszer együtthtói b i : konstnsok i : ismeretlenek A M M m m M m M m...... O......... O... n n M mn b b b n n M mn m
LI 6 Definíció: lineáris e.r. vektoros és mátrios lkj A kibővített mátri oszlopvektorit jelölje:,,, n,b Ezekkel jelölésekkel z egyenletrendszer vektoros lkj: mátrios lkj: n n b A b
Tétel: szükséges és elegendő feltétel lineáris egyenletrendszer megoldásánk létezésére LI 6 Egy lineáris egyenletrendszernek pontosn kkor vn megoldás, h z lábbi, egymássl ekvivlens feltételek fennállnk: b vektor lineárisn kifejezhető,,, n vektorrendszer elemeivel z e.r. lpmátriánk és kibővített mátriánk rngj egyenlő
LI 6 Definíció: homogén és inhomogén e.r. H b b b n, kkor z egyenletrendszert homogének nevezzük, különben inhomogén. Definíció: triviális megoldás Világos, hogy homogén e.r.-nek n megoldás. Ezt triviális megoldásnk nevezzük.
LI 6 A lineáris egyenletrendszereket megoldások szám lpján z lábbik szerint osztályozzuk: z egyenletrendszer ellentmondásos, h nincs megoldás htározott, h pontosn egy megoldás vn htároztln, h több (végtelen sok) megoldás vn
LI 64 Péld ellentmondásos egyenletrendszerre: I. y II. 4 6y 7 Péld htározott egyenletrendszerre: I. y II. 4 y Az egyenletrendszer, egyetlen megoldás: (,y)(,)
LI 6 Péld htároztln egyenletrendszerre: I. yz II. y 4z- Az egyenletrendszernek minden olyn (,y,z) számhárms megoldás, melyre z R tetszőleges, z, y z Például: h z, kkor -4, y, vgyis (,y,z) ( -4,, ) megoldás.
LI 66 Definíció: egyenletrendszer függetlensége Egy egyenletrendszer független (z egyenletrendszer egyenletei függetlenek), h z lpmátriánk rngj egyenlő z egyenletek számávl. Megjegyzés Egy egyenletrendszerben nnyi független egyenlet vn, mennyi z lpmátriánk rngj.
LI 67 Definíció: redukált rendszer H egy egyenletrendszer lpmátriánk rngj r, kkor z egyenletek közül kiválsztndó r db úgy, hogy belőlük álló egyenletrendszer független. (A kiválsztás áltlábn nem egyértelmű). Egy ilyen részrendszert z eredeti egyenletrendszer redukált rendszerének nevezzük. Megjegyzés Független egyenletrendszer rendszere. sját mgánk redukált
LI 68 Tétel: Redukált egyenletrendszer esetén z egyenletek és z ismeretlenek számánk viszony meghtározz megoldások számát: h redukált rendszer n ismeretlent és r egyenletet trtlmz, kkor: r n esetén redukált rendszer htározott r < n esetén redukált rendszer htároztln Megjegyzés Az előző tétel csk redukált rendszerre igz. Tetszőleges egyenletrendszer esetén htározottsághoz áltlábn, nem elegendő, hogy z egyenletek és z ismeretlenek szám egyenlő legyen.
LI 69 Megjegyzés: Egy egyenletrendszer megoldáshlmzát lényegében redukált rendszere htározz meg, ui.: h z egyenletrendszer nem ellentmondásos, kkor z egyenletrendszer megoldási pontosn redukált rendszerének megoldási.
Elemi bázistrnszformáció LI 7 Definíció: bázistrnszformáció Ismeretes, hogy egy vektortérben egy vektornk tér különböző bázisir vontkozó koordinátái különbözőek. Bázistrnszformáción zt z eljárást értjük, mely során egy vektor egy B bázisbeli koordinátáiból meghtározzuk egy másik B bázisbeli koordinátáit. Definíció: elemi bázistrnszformáció A bázistrnszformációt eleminek nevezzük, h B és B bázisok pontosn egy vektorbn különböznek.
LI 7 Tétel Legyen B { f,f,,f m } R m egy bázis, u, R m és u u f u f u m f m f f m f m H u i vlmely i-re, kkor z f i vektornk z u vektorrl vló kicserélésével dódó B {f,,f i-,u, f i,,f m } vektorrendszer szintén bázis.
LI 7 Hjtsuk végre z vektor koordinátáir vontkozón B B elemi bázistrnszformációt, zz htározzuk meg z vektor koordinátáit B bázisbn! Az u vektor előállításából: m i m i i i i i i i i i f u u... f u u f u u... f u u u u f Ezt behelyettesítve z vektor előállításáb megkpjuk z vektor B bázisbeli keresett koordinátáit: m i m m i i i i i i i i i i i f u u... f u u u u f u u... f u u
Az elemi bázistrnszformáció sémáj LI 7 Az eredeti bázis: u i : generáló elem Az új bázis: Az új vektor sor
Lineáris egyenletrendszer megoldás elemi bázistrnszformációvl LI 74 Mivel minden lineáris egyenletrendszer egy lineáris kifejezhetőségi problémávl egyenértékű (gondoljunk z egyenletrendszer vektoros lkjár), megoldásbn lineáris lgebri eszközöket lklmzhtunk. Az n n blineáris egyenletrendszer megoldás nnyit jelent, mint meghtározni z összes olyn (,,.., n ) szám n-es, melyekkel b vektor előáll z,,, n vektorok lineáris kombinációjként. Ezt feldtot z lábbikbn bázistrnszformációvl oldjuk meg.
LI 7 Egy lineáris egyenletrendszer megoldásit megkphtjuk z lábbi eljárássl: Induljunk ki R m természetes bázisából. Elemi bázistrnszformációk sorávl vigyük be bázisb z,,, n vektorok közül nnyit, mennyi lehetséges (z {,,, n } vektorrendszer elemei közül pontosn nnyi vihető be bázisb, mennyi z lpmátri rngj, zz hány független egyenlet vn), és kövessük nyomon z,,, n és b vektorok koordinátáink lkulását.
LI 76 Az elemi bázistrnszformációk sor kkor ér véget, h nem tudunk több vektort bázisb bevinni ez számolás során onnn vehető észre, hogy nincs több generáló elem. A b vektor új bázisbeli koordinátáiból kiolvshtó z egyenletrendszer megoldás.
LI 77 Péld htározott e.r. megoldásár 9 -
LI 78 Péld htároztln e.r. megoldás 4 4 4 4
LI 79 sz A megoldás előállítás: k d D sz Kötött változók: k k d D Szbd változók: d 6 4 D 4 sz
LI 8 k d 6 4 D 4 sz k d D sz 4 4 6 4 6 4 4 4 6
LI 8 Mátri invertálás bázistrnszformáció lklmzásávl Korábbn már definiáltuk mátri inverzének foglmát: Az A - M n mátriot z A M n mátri inverzének nevezzük, h A A - E n
LI 8 H z A - mátri oszlopvektori: d, d,, d n kkor z A A - E n egyenlet ekvivlens z lábbi n drb egyenletrendszerrel, melyekben z lpmátriok megegyeznek, így z egyenletrendszerek csk jobb oldli konstnsokbn különböznek: A d e, A d e,, A d n e n Így z A - mátri meghtározhtó fenti egyenletek szimultán megoldásávl.
LI 8 4 7 4 4 4 A 9/ A
LI 84 További módszerek htározott lineáris egyenletrendszerek megoldásár Crmer szbály Inverzmátri módszer
LI 8 Crmer szbály Péld: 4 8 8 6 det D 8 8 6 8 8 8 6 det D 8 8 6 det D 6 det D 6 D D 6 8 D D 4 6 4 D D
Inverz mátri módszer LI 86 H z A b egyenletrendszer esetén z lpmátri invertálhtó, zz det(a), kkor z egyenletrendszer egyetlen megoldás előáll következő formábn: A - b
LI 87 Péld: 6 6 6 6 6 6 A 8 8 6 A 6 6 6 6 4 6 6 8 8 6 4 8 8 6 6 6 6 6 6 6
LI 88 Lineáris függvények Definíció: Legyen X és Y lineáris tér. Az f:x Y függvényt lineárisnk nevezzük, h dditív és homogén, zz f ( ) f ( ) f ( ) f ( c ) c f ( ), X X, c R
Definíció: lineáris függvény mátri LI 89 Legyen X n dimenziós, Y m dimenziós lineáris tér, {e,e,,e n } z X egy bázis, {u,u,,u n } z Y egy bázis, f: X Y lineáris függvény H f ( e i ) i u i u im u m (i,,n), kkor z M m M m mátriot z f lineáris függvény mátriánk nevezzük....... O... n n M mn
LI 9 Megjegyzések. Lineáris függvény mátri függ lineáris terek bázisink megválsztásától.. A bázisokt rögzítve z f függvény egyértelműen meghtározz z A mátriot, és z A mátri is egyértelműen meghtározz z f függvényt Tétel: H A M m n z f:r n R m lineáris függvény mátri, kkor f ( ) A
LI 9 Péld: síkbeli lineáris trnszformációk Az tengelyre vontkozó tükrözés mátri: y y
LI 9 Péld: síkbeli lineáris trnszformációk Az y tengelyre vontkozó tükrözés mátri: y y
LI 9 Péld: síkbeli lineáris trnszformációk Az y egyenesre vontkozó tükrözés mátri: y y
LI 94 Péld: síkbeli lineáris trnszformációk Az origó körüli α szögű forgtás mátri: cos α sin α sin α cos α cos α sin α sin α cos α y cos α sin α y ( sin α) y cos α)
LI 9 Péld: síkbeli lineáris trnszformációk Az origó körüli 9 o -os forgtás mátri: y y
LI 96 Lineáris függvények sjátértékei, sjátvektori Definíció: Legyen X lineáris tér, f:x X lineáris függvény. Egy v X, v vektort z f függvény sjátvektoránk nevezzük, h létezik olyn λ R, hogy f(v)λ v λ-t z f sjátértékének nevezzük, és zt mondjuk, hogy v vektor λ sjátértékhez trtozó sjátvektor.
LI 97 Megjegyzés H z f lineáris függvénynek vn sjátértéke, kkor hhoz végtelen sok sjátvektor trtozik: H v vektor sjátvektor, kkor minden v-vel párhuzmos vektorok ugynzon sjátértékhez trtozó sjátvektor.
LI 98 Definíció: krkterisztikus polinom Legyen X n dimenziós lineáris tér, f:x X lineáris függvény, továbbá A legyen z f egy dott bázisr vontkozón. Ekkor P(λ)det(λ E A ) (n-edfokú, főegyütthtós) polinomot z f krkterisztikus polinomjánk nevezzük.
LI 99 Tétel: sjátértékek meghtározás Az f:x X lineáris függvény sjátértékei f krkterisztikus polinomjánk zérushelyei. P(λ)det(λ E A ) Tétel: sjátvektorok meghtározás A λ sjátértékhez trtozó sjátvektorokt ( λ E A ) lineáris egyenletrendszer megoldásávl kpjuk. Az egyenletrendszer, minden esetben htároztln.
LI Keressük meg nnk lineáris függvénynek sjátértékeit, melynek mátri: A ) 4)( )( ( det det ) P( λ λ λ λ λ λ λ λ λ λ Péld: det(λ E A) A sjátértékek: λ -, λ, λ 4
LI A sjátértékhez trtozó sjátvektorok meghtározás: A λ -sjátérték esetén ( λ E A ) 4 A E így 4 4 egyenletrendszert kell megoldni.
LI Az egyenletrendszer megoldás:, -, R tetszőleges Így λ- sjátértékhez trtozó sjátvektorok: t R, t : t t t t t t t t A többi sjátérték esetén hsonló számolást kell végezni.