BUDAPESI MSZAKI ÉS GAZDASÁGUDOMÁNYI EGYEEM KÖZLEKEDÉSMÉRNÖKI KAR D. Gaus amás H- ÉS ÁRAMLÁSAN II ÁRAMLÁSAN (EREZE JEGYZE!) 003
BEEZEÉS E jeget a áamlástan alapismeeteivel és néhán, egsebb alkalmaással foglalkoik a BME Kölekedésménöki Ka "H- és áamlástan II". tág áamlástani éséhe késült, de eméneink seint néhán kédéssel kapsolatban a áamlástannal foglalkoó sakembeek is hasonnal fogathatják. A áamlástan a foladékok, gáok és gök viselkedését, a velük kapsolatban fellép jelenségeket leíó tudomán, göög-latin elneveése a hidomehanika ami a hidostatika és a hidodinamika össefoglaló neve és a aeomehanika ami a aeostatika és a aeodinamika össefoglaló neve aa utal, hog tágabb ételemben a mehanika tudománának ése. Iga e abban a vonatkoásban is, hog a áamlástannak van klassikus és statistikus tágalásmódja is. A áamlástan különösen a moden fejeetei aonban nem sak mehanikai ismeeteke épül, esetenként a fiika, a fiikai kémia és a kémia eges eedméneit is alkalmani kell. A áamlástan a köne világunk igen sok jelenségének visgálatáho nélkülöhetetlen, a felépítéséhe sükséges tudománteületekhe hasonlóan a alkalmaási köe is igaán séles. Eét e jegetben nilvánvalóan sak a leglénegesebb alapismeetek és a eekhe kapsolódó alkalmaások seepelhetnek. A jegetben skalá, vekto és teno jelleg menniségek fodulnak el, bá a nulla indees teno (e a skalá), a eg indees teno (e a vekto), a két indees teno (eek a jegetben is a teno nevet kapták: pl. deivált teno, fesültség teno) megneveések alkalmaása követkeetesebb lett volna. E utóbbi endse hasnos lett volna abból a sempontból is, hog pl. a tubulenia tágalásánál eges sek háomés nég indees tenookat is beveetnek. ekintettel a tankönv jellege és aa, hog sajnos a magasabb inde-sámú tenook a jegetben nem fodulnak el, megmaadtunk a hagománosnak tekinthet ostáloás mellett. Magaoságon, et megelégedéssel állapíthatjuk meg, es, nag hagománokkal endelke áamlástani iskolák létenek. Eekbl a iskolákból indult néhán jelents, nagív pálát befutó, külföldön tevékenked kutató és dolgoott itthon, több ugansak nagon komol kvalitású sakembe. E utóbbiak munkájának fontosságát nem lehet eléggé hangsúloni. A haai tevékenséget jelik a haai sek által íott, nívós áamlástan (hidomehanika, foladékok mehanikája) könvek is. Seén képességeink seint e könvek példáját igeketünk követni. (Folt. köv.)
. A FOLYADÉKOK és GÁZOK FIZIKAI ULAJDONSÁGAI A anag molekuláis sekeetét akko kell figelembe venni, ha gáok esetében a molekulák sabad úthossa, illetve foladékok estében a molekulák méete a áamlási té jellem méetéhe képest má nem hanagolható el. Ilen eset lehet többek köött eg, a itka légköben mogó (pl. vissaté) hajó vag eg nagon kisméet tében végbemen un. miko-áamlás. Eekkel a kédésekkel e a jeget nem foglalkoik, íg a itt elfoduló áamlástani kédések visgálatáho elegend les a klassikus, kontinuumot (a teet egenletesen kitölt köeget) feltétele semléletmód. Eel egütt, amiko a egáltalán sak lehetséges, a anag megétése sempontjából elnös molekuláis vag éseske semlélet alapján ételmeük a fiikai jellemket. A követkekben ha e egébként megengedhet a gáok, a gök és a foladékok egüttesen a köeg elneveést kapják. A folékon (foladék) és a légnem (g vag gá) a anag különbö halmaállapotát jelenti. E két halmaállapot köötti alapvet különbséget a köeg éseskéinek (általában molekuláinak) egmásho visonított átlagos távolsága jelenti: e a foladékok éseskéinél igen kisi, a légnem köeg éseskéinél meglehetsen nag ebbl követkeik, hog a molekulák köötti vonás a foladékokban jelents seepet játsik, a gáokban pedig nem. A foladékokban a éseskék egmásho köeli heletét a silád testekben is megtalálható poteniálgát bitosítja: eg-eg éseske akko tud a somsédjától (somsédaitól) eltávolodni, ha a poteniálgát leküdéséhe sükséges, aktiválási enegiával endelkeik. A eltávolodás másik sükséges feltétele, hog a éseske mellett legen eg ües hel, ahova a éseske átléphet. A silád testekhe képest különbség visont, hog a foladékokban a éseskéknek nins többé-kevésbé hatáoott poíiója (pl. nins kistálás), sak a egmásho visonított távolság kötött. Eét a folékonak a foladékok, e a magaáata annak, hog a ket befogadó té, edén megfelel ésének alakját vesik fel a gavitáiós etében például a edéneket, teeket alulól felfelé töltik ki. A légnem köegek eel semben, mivel a éseskéik eg-eg ütköésig lénegében sabadon moognak, a endelkeésüke álló teet (els köelítésben) egenletesen töltik ki. A foladékokban és gáokban egaánt molekuláis tanspot jelenséget mennek végbe, ilen például a hveetés megfelel ése, ilen lehet a oldódás vag keveedés, de ide soolható a sústató fesültség eg ésének keletkeése is. A gáokban a molekuláis tanspot igen kéenfekv módon alakul ki: a endeetlen hmogással vag a tubulens mogással mogó éseskék helet seélnek, magukkal vive a tulajdonságaikat, anagi minségüket. A foladékokban is hasonló helsee követkeik be, de a helseének két sükséges feltétele van: a akitválási enegia és a ües hel megléte. Eét a foladékok viselkedése össetettebb is lehet, mint a gáoké. Általánosságban kijelenthet, hog a molekuláis tanspot jelenségek iánát a köegben ualkodó visonok hatáoák meg: a h például a melegebb helekl a hidegebb helek felé halad, stb.
A sség a egségni téfogatban lév köeg tömege e a éseske semlélet seint at jelenti, hog a sség a egségni téfogatban helet foglaló össes éseske tömege. A sség intenív menniség, vagis étéke nem függ a visgált endse méeteitl. A teljes tömeg pl. niván etenív menniség, mivel étéke a endse daabolásával váltoik. A sség a tömeg és a téfogat méése alapján sámítható. A követkekben a köegekben keletke fesültségekl les só. A fesültségeknek nomális és éint iánú össetevjét sokás megkülönbötetni a nomális iánú össetev esetünkben a nomás, a éint iánú a sústató fesültség. A fesültségeket össefoglaló módon, általában kétindees tenoként e a fesültség teno sokás megadni. A statikus nomás a éseskék endeetlen hmogásából sámaó, idegsége illetve felületegsége jutó mogásmenniség váltoás. Mivel a endeetlen hmogásnak kitüntetett iána nins, eét a statikus nomásnak sins kitüntetett iána, vagis a statikus nomás skalá menniség (nulladend teno), továbbá intenív menniség. A statikus nomás megfelelen elheleett nomásmé mseel méhet. A köegekben elheleked valamel, silád felületen a statikus nomás követketében e keletkeik. E a e a felületi nomális iánába mutat és a köeg fell a test felé iánul kevésbé pontosan at mondjuk, hog a felülete meleges és kintl befele mutat. A "melegesség" a endeetlen mogásból egenesen követkeik: képeljünk el eg végtelen vékon síklapot, amel a köeget két ése ostja. álassuk ki ennek eg pontját. A nagon nag sámú éseske miatt minden, a egik oldalól ide ütkö éseskéhe jó köelítéssel találhatunk eg tükö-éseskét, amel a másik oldalól ékeik és a hatásuk felülettel páhuamos ése egmást kioltja, sak a meleges és maad meg. Elegend sámú éseskét, elegenden hossú ideig visgálva a. ábán váolt helet követkeik. A gakolatban e a éseske sám és idtatam nagon können eléhet illetve igen. ába ükö éseske hama bekövetkeik. A úgneveett miko- vag nano-tehnikában aonban (ahol a éseske sám má nem igaán nag) elfodul például olan helet, amiko a nomásból keletke e nem tekinthet a felülete melegesnek. A statikus nomás, vag nomó fesültség a éseskék ütköésébl sámaik, eét legkisebb étéke nulla vagis legfeljebb egetlen éseske sem ütköik. Bionos esetekben amiko kohéiós e van jelen és a a visgálat sempontjából fontos kisi húófesültség is keletkehet, éppen a kohéió követketében. A dinamikus nomás a éseskék endeett mogásából sámaó, idegsége illetve felületegsége jutó mogásmenniség váltoás, eét temésetesen iánfügg mégis, a hagomános tágalásmódnak megfelelen skalá menniségként sámolunk vele. Sintén a intenív menniségek sopotjába tatoik. A dinamikus nomás követlenül nem méhet, méhet visont a dinamikus és statikus nomás össegeként 3
Statikus nomás. ába Nomás méés Össnomás meghatáoott össnomás. A össnomást méni olan nomásmé esköel lehet, amelnek éékelje a mogással sembe né (pl. a áamlással sembefodított felület ilen). A. ábán eg ilen, "U" söves nomásmé eskö látható. A foladék-oslop magasság különbsége aános a dinamikai nomással, a mse ilenképpen mint eg analóg sámológép mködik. A sústató fesültség keletkeése a foladékokban és gáokban általában a éseskék mogásáa veethet vissa, e alól kivételt sak a éteges, folékon foladék áamlása képe, ahol a legjelentsebb seep a kohéiós enek jut. ekintsük a.3 ábán látható áamképet, ahol a fels (sötét) és a alsó (világos) éseske-so moog egmás mellett. A fels so átlag sebessége nagobb, mint a alsó soé. Ha eg világos éseske helet seél eg 4.3 ába Réseske see sötéttel, akko a világos a sötét sot vissatatja, a sötét, gosabb éseske a világos sot ele igeksik modítani. E at jelenti, hog mogásmenniség see tötént, mivel mindkét éseske vitte magával a saját mogásmenniségét. A idegsége és felületegsége es mogásmenniség seébl sámaó fesültséget neveük sústató fesültségnek. A mogásmenniség see oka lehet a endeetlen hmogás e a éteges gááamlásoka jellem, vag a tubulens mogás e a tubulens (vag gomolgó) foladék és gááamlása is jellem. A tubulens mogás intenitása általában legalább két nagságenddel nagobb, mint a hmogás intenitása, eét a tubulens sústató fesültség (aonos sebességkülönbség esetén) sintén nagságendekkel nagobb, mint a lamináis áamlásban, a endeetlen hmogásból keletke sústató fesültség. A folékon foladékok éteges vag lamináis áamlásban mivel ekko a éseskék egmásho nagon köel vannak a kohéiós eé a dönt seep: ennek hatása kb. eg nagságenddel nagobb, mint a hmogásból sámaó fesültség. Folékon foladék tubulens áamlásában, a elbb mondottak seint a tubulenia hatása jelentsen felülmúlja a kohéiót. A eddigiek alapján megadhatjuk a sústató fesültség léteésének sükséges és elégséges feltételeit: sústató fesültség sebesség különbség és viskoitás Csústató fesültség tehát akko és sak akko léteik, ha léteik sebesség különbség és viskoitás. A els feltétel a.3 ába és a eel kapsolatban leítak alapján ögtön belátható. A viskoitás tulajdonképpen a mogásmenniség tanspota való képességet jelöl tulajdonság. A második eg "mesteséges" feltétel, hisen a valóságban nins olan köeg, amelnek ne lenne viskoitása, aa ne lenne képes a mogásmenniség tanspota. Amiko a viskoitástól mégis eltekintünk, akko a ideális köeg fogalmáho jutunk. A ideális köeg a gakolatban nem léteik, aonban a vele sámolni sokkal egsebb, mint a valóságos köeggel és e igaán megfelel
alap a íg kapott eedmének megfelel esetekben elég jók, a gakolat sámáa kielégít pontosságúak, végs soon tehát a elhanagolás ebbl a sempontból megengedhet. A éseske see pese nem sak a mogásmenniség tanspot jelenségée ad magaáatot. Een a úton valósul meg a többi tanspot folamat is, a enegia, a hméséklet, a anag és a további tanspot jelenségek is a éseske seée veethetk vissa. Amenniben a köegben silád test helekedik el, akko annak a felületén is keletkeik sústató fesültség, hasak a köeget viskóusnak tekintjük (vagis nem hanagoljuk el a viskoitást) és a köeg illetve a test egmásho képest moog. A silád fal esetében a köeg éseskéi a falnak ütkönek és onnan vissapattannak. Nagsámú éseske és édes fal esetén feltehet, hog a vissapattanás váható iána nagjából aonos a ékeés iánával. Ebbl követkeik, hog a silád falnak ütkö éseskék sebességének váható étéke a falho nagon köel nulla. Hangsúlouk: e a váható éték pontosan akko áll el, ha egetlen fiikai éseske sem áll meg, éppen ellenkeleg, mindegiknek vissa kell pattannia! De e a nulla váható éték a fiikai alapja annak, hog a kontinuumként tekintett köegnél, súlódás esetén at mondjuk, hog a séls éteg áll. E a híes tapadási feltétel (ami pese megint sak elegenden nag éseske sám esetén iga, vagis miko- és nano- áamlásokban nem, ott a séls éteg nem áll) kontinuuma vonatkoik, vagis olan idealiált köeg modelle, amel a teet foltonosan tölti ki és íg a séls étegének vastagsága infiniteimális a legkisebb, léte éseske átméjénél végtelense kisebb. A statikus hméséklet a köeg éseskéi hmogásában ejl kinetikai enegia empíikus skálán mét météke. A gáok esetében igen semléletes kapsolat léteik: a általános gátövén seint a statikus nomás egenl a sség és a statikus hméséklet soatával ( p R ) a " R " gáállandó a átváltásho sükséges konstansként is ételmehet. A statikus hméséklet sintén skalá jelleg, intenív menniség, méése a köeggel egüttmogó hmével lehetséges. A éseskékben ejl kinetikai enegiával nem foglalkounk ésletesebben, sak megjegeük, hog a a haladó és fogó mogás egüttes enegiáját jelenti. Aokban a esetekben, amiko a köeg éseskéje lénegében gömb alakú (ilen pl. a hélium vag a neon), akko a mogási enegia a dönt. Aokban a esetekben, amiko a köeg éseskéi két, egmásho kötött gömbbel modellehetk (ilen pl. a hidogén vag a oigén), illetve aokban a köegekben, amelekben a éseskék alakja bonolult, tébeli test (pl. metán, ammónia) a fogásban ejl enegia seepe is jelents. Et a tulajdonságot impliit módon a fajh étéke hodoa. A dinamikus hméséklet a dinamikus nomásho hasonlóan a endeett mogás kinetikai enegiájának a météke, a má említett empíikus skálán. Nilvánvalóan a dinamikus hméséklet sak visonlag nag áamlási sebességek esetében jelents, mésékelt sebesség áamlásokban a figelembe vételétl gakan eltekintenek. Skalának tekintett, intenív menniség, követlenül nem méhet, visont a statikus és dinamikus hméséklet össegeként definiált össhméséklet vag tolóponti 5
hméséklet méhet. A méése a un. tolópont-hmé hasnálatos, amel a köeget minden mogást endeetlenné téve megállítja és a megállított köeg hmésékletét méi. (Folt. köv.) 6
. A FOLYADÉKMOZGÁSOK LEÍRÁSA KINEMAIKA A áamlástani sakiodalom elsö hagománosan a statikai kédésekkel foglalkoik, aután követkeik a dinamika, illetve een a teületen belül a kinematika. E jegetben a statikai kédéseket speiális dinamikai kédésnek tekintjük: amiko található olan koodináta endse, amelben a köeg sebessége aonosan nulla, aa amelben a köeg nugalomban van, akko a feladat statikai. E a tágalásmód indokolja, hog a foladékok és gáok mogásának leíásáa solgáló, kinematika elneveés tudománteület itt követkeen. A kinematika a mogások leíási módseeit foglalja össe; a foladékok és gáok mogását élseen a ee a teülete kifejlestett esköökkel íhatjuk le. Elsként a Lagange féle leíásmódot említjük e a leíási mód újabb ugan, de kevésbé hasnálatos, bá napjainkban eges numeikus módseek miatt a alkalmaási köe bvül. A Lagange féle tágalásmód lénegében aonos a silád testek mogásának leíásával. E tágalásmódot ésletesebben nem ismetetjük, a édekld a [9] vag [9] segítségével ismekedhet meg vele ésletesen. A jegetben köölt ismeetanag a Eule féle tágalásmóda épül. Et a leíási módot Leonhad Eule kifejeetten a foladékok mogásának leíásáa fejlestette ki. Ebben a tágalásmódban a visgált köeget kontinuumnak tekintjük, aa a köeg a teet matematikai ételemben is foltonosan tölti ki tehát a véges méet anagi éseskéket minteg elostjuk a tében. E tesi lehetvé a hatáétékek, diffeeniálhánadosok, illetve hasonló matematikai esköök alkalmaását. A Eule féle semléletmód tehát lehetvé tesi fiikai teek megadását ilen pl. a sebességté, ami éppen a kinematikai fejeet tága. Ebben a tágalásmódban a kinematikán túl, a köegek további jellemit is fiikai téként adjuk meg, vagis a nomás, a hméséklet, a sség illetve sámatatott mennségként a tömegáam, mogásmenniség és pedület is skalá-vekto vag vekto-vekto függvénnel adható meg. A sebességté a követke vekto-vekto függvénnel adható meg: (, t) ;. vag, össetevnként kiíva: (,, t) (,, t) (,, t),,, ahol: - a fiikai té megfelel pontjának helvektoa;,, - a sebesség megfelel komponensei;,, - a helvekto koodinátái; t - a id. 7
. A Hamilton féle nabla vekto-opeáto és alkalmaásai.. A Desates féle, deéksög koodináta endseek esete A Eule féle leíásból követkeen a áamlástanban általában skalá-vekto illetve vekto-vekto függvének fodulnak el. Eek a függvének többféle deiválttal endelkenek. A deiváltak fiikai tatalma illetve alkalmaási teülete különbö némelikeket a kinematika teületén, másokat más teületeken hasnálunk. Eeknek a deiváltaknak a sámatatásáa hasnálatos a Hamilton féle nabla vekto-opeáto, tekintsük ennek a Desates féle, deéksög koodináta endseben ételmeett alakját: ;. E a vekto-opeáto a további áamlástani visgálatainkban kivételesen fontos seepet kap. Itt is felhívjuk a figelmet aa, hog a jegetben a vektookat alapételmeésben oslopvektonak tekintjük, ha sovektoként kívánunk sámolni vele, akko tansponált jelölést kap; a nabla diffeeniál opeáto esetében e a követket jelenti: [ ]. A nabla vekto-opeáto négete, tehát önmagával vett skalá soata a Laplae opeátot solgáltatja: ;.3 Alkalmauk a nabla opeátot eg skalá-vekto függvéne. Példaként tekintsük a nomást, mint a hel és a id függvénét: ( t) p p, ; Íjuk fel a nabla opeáto segítségével sámítható deiváltat: p p p p i j k gad p ;.4 Et a deiváltat gadiensnek neveük. A eedetileg skalá menniségbl (a példában a nomásból) vekto menniséget kaptunk. A nomás gadiense fiikailag eg olan vektot jelent, amel a nomás váltoásának iánába mutat és a nagsága aános a nomásváltoás nagságával. E a tatalom általánosítható: a skalá-vekto függvén gadiense a adott skalá menniség váltoásának iánába mutat és a nagsága aános a skalá váltoásának nagságával. A nomás-gadiens mellett példaként megemlíthetjük a sintén nagon fontos hméséklet-gadienst is a gadiens alkalmaási köe illetve jelentsége pese messe túlmutat a áamlástan teületén. 8
9 A vekto-vekto függvéneke itt példaként elssoban a (.) kifejeéssel adott sebessége hivatkounk háom féle módon alkalmahatjuk a nabla opeátot, ahho hasonlóan, ahogan két vektot össe lehet sooni. A els lehetség a skaláis vag bels, a második a vektoiális vag küls és a hamadik a diadikus soás. A skaláis soás eedméne a divegenia (például a sebesség divegeniája), a második eedméne a otáió, a hamadiké a deivált teno. ekintsük elsö a bels- vag skaláis soatot: div ;.5 A sebesség divegeniájának fiikai tatalmát e fejeet.4 pontjában mutatjuk be. isgáljuk meg a vektoi soás eedméneként adódó otáiót. A Desates féle deéksög koodináta endseben e a követke módon sámítható: ot k j i det ;.6 A otáió amint a elneveése is mutatja, a fogással kapsolatos menniség, a.4 pontban bionítjuk, hog a sebességté otáiója eg pontban egenl a e pontbeli sögsebesség kétseesével. A otáió vekto menniség. isgáljuk hamadsoa a diadikus soatot: [ ] D ;.7 A diadikus soás eedméne a deivált teno. Ennek fiikai tatalmát sintén ebben a fejeetben elemeük. Édekes megállapítani at, hog a vekto-vekto függvének deiválásako egaánt kaphatunk skalá (nulla indees teno), vekto (eg indees teno) vag itt is tenonak neveett (két indees teno) menniségeket... Göbevonalú koodináta endseek A áamlástanban is gakan sükséges göbevonalú koodináta endseek alkalmaása. Hagománosan a henge- illetve a gömb koodináta endset alkalmaták, a moden fként numeikus eljáásokban aonban sokféle, aká át alakban meg sem adható leképeés illetve a ehhe tatoó koodináta endse fodul el. A göbe vonalú koodináta endseekkel kapsolatos, ésletesebb ismeetek a eel foglalkoó sakiodalomban találhatók meg (pl. [] vag [0] illetve más, diffe-
0 eniál geometiai mvek), itt sak a henge és a gömbi koodináta endse esetée téünk ki. A henge koodináta endse esetében általában a koodinátát a deéksög koodináta tengel tengelével aonosnak vessük; a és koodinátát pedig a - síkban ételmeett távolsággal és a tengeltl mét ϕ söggel seéljük fel. A henge koodináta endset kifesít háom (egség) báis vekto pedig a követke: e sugáiánú, e éint iánú, e 3 pedig a tengel iánába mutat; a megfelel sebesség össetevk pedig ende a, ϕ és. [0] nomán ögtön a megfelel végeedméneket íjuk fel: 3 e e e p p p p gad ϕ ;.8 ( ) div ϕ ϕ ;.9 ( ) 3 e e e ϕ ϕ ϕ ϕ ot ;.0 Ψ Ψ Ψ Ψ ϕ.. A gadienst a koábban is említett nomása, a divegeniát és a otáiót a sebessége sámítottuk ki. A Laplae opeátot a késbb gakan elfoduló áamfüggvéne alkalmatuk. Eek temésetesen sak a megétést elsegít példák, a eges opeátook más menniségeke is alkalmahatók. A gömbi koodináta endse esetében a háom új koodináta ende a oigótól mét sugá (), a sugá - síkba es vetületének tengellel beát söge (ϕ) és a sugá tengellel beát söge (ε) A els koodinátáho endelt sugáiánú egségvekto a e ; a második koodinátáho endelt, a sélességi köt éint egségvekto a e ; végül a hamadik koodinátáho endelt, a meidián-köt éint egségvekto a e 3. A megfelel sebesség össetevk pedig ende a, ϕ és ε. Ismét a végeedméneket íjuk sak fel: 3 sin e e e ε ϕ ε p p p p gad ;. ( ) ( ) ε ε ε ϕ ε ε ϕ sin sin sin div ;.3
ot Ψ sin ε ε ϕ ε ε ϕ sin Ψ ( sinε ) ϕ ( ) ε ε ϕ sin Ψ ε ϕ ;.4 Ψ sinε..5 sinε ε ε A henge és gömbi (sféikus) koodináta endseek alkalmaása sok esetben élse, a alkalmaásuk lehetségét aal egütt édemes visgálni, hog a kosenek tekintett numeikus módseek, különösen a kés softveek nagon sok kédést "önállóan" oldanak meg.. A áam-, pála-, nom- és övénvonal A áamvonal a sebességme vektoainak eg, adott pillanatban vett bukoló göbéje a áamvonal ívelemmel (ds ) tehát a sebesség vekto páhuamos, aa: ds 0 ;.6 E at jelenti, hog a sebesség össetevk és a megfelel ívelem össetevk aána a követke: : : d : d d. : A pálavonal eg (kijelölt) elemi foladékéseske útja. Itt elvileg a kontinuum eg elemi éseskéjél van só, aminek a méete tetsleges poitív sámnál is kisebb, vagis e eg matematikai ételemben infiniteimális éseske. Kevésbé ponto-san néha a ténleges fiikai éseske útját is pálavonalnak neveik. A nomvonal a a vonal, amel mentén, eg pillanatban a té eg adott pontján addig áthaladt (elemi) éseskék soakonak. Ilen vonalat láthatunk pl. eg sélsatona visgálat esetében, amiko a áamlásba eg ponton füstöt veetünk be. A áam-, pála- és nomvonal staionáius áamlás esetében olan áamlásban, ahol a sebesség a idben nem váltoik aonos. A áamlások staioneitása vag idállósága függ a megfigel népontjától (a visgálatho felvett koodináta endsetl). A visgálatokho sükséges koodináta endset tehát kell figelemmel édemes kiválastani. Amenniben a (.) kifejeéssel adott sebességté a té eg-eg pontjáho pontosan eg sebességet endel, akko a té een pontjaiban sintén eg és sak eg áamvonal haladhat át; aokban a pontokban, ahol a sebesség többéték, több áamvonalat is találunk. Eeket a pontokat singuláis pontoknak neveük. Ilen singuláis pont pl.
eg foás vag eg nel, ahol végtelen sok sebesség és áamvonal ételmehet. A áamvonalak esetenként áamfelületeket vag áamsöveket alkothatnak eeket kinematikai alakatoknak is neveük. Síkáamlások és egméet áamlások esetében a áamvonalak alkalmaása nagon fontos és édekes eedméneke veet. A övénesség a sebességté otáiója, meghatáoása a általunk általában alkalmaott Desates féle deéksög koodináta endseben (.6) seint lehetséges. A otáió, amint at a elneveése is mutatja, a foladékté fogásával kapsolatos menniség. (A késbbiekben bebionítjuk, hog éppen a pillanatni sögsebesség duplája.) A áamvonalho hasonlóan, aokat a vonalakat, amelek eg adott pillanatban a övénesség bukoló göbéi, övénvonalnak neveük ekko tehát a övénesség páhuamos a övénvonal ívelem vektoával: ot ds 0 ;.7 A övénvonalakból a áamvonalakho hasonlóan övénfelületeket és övénsöveket lehet össeállítani. E utóbbi alakatok fontos seepet játsanak majd a övéntételek megfogalmaásánál illetve bionításánál..3 A mateiális deivált és a gosulás A (.) típusú sebességté eg, általában tében és idben váltoó fiikai teet ad meg, aa a sebesség a hel és a id függvéne; a té- illetve id seinti megváltoását valamint eek össegét kell a gosulások meghatáoásánál figelembe venni. A tébeli váltoás alapján sámított deiváltat idegen sóval konvektív, a idbeli váltoás alapján sámolt deiváltat lokális, a kett össegét teljes, totális vag substaniális gosulásnak neveük el. ekintettel aa, hog a Eule féle tágalásmódban a köegek további jellemi (nomás, sség, hméséklet stb.) sintén fiikai meként adottak, a sebesség váltoásával kapsolatban tett megállapításokat élse általánosítani, illetve mivel a nomás, a sség stb. skalá-vekto függvénnel íható le a visgálatainkat élse a skalá-vekto függvének deiválásával kedeni. Eek a sebességtéhe hasonlóan lokális, konvektív és teljes deiváltakkal endelkenek. A lokális és konvektív deivált ögített helen illetve idpontban tekintend, íg eek a köeggel nem moognak egütt eek nitott endsee vonatkonak. Eel semben a teljes deivált a köeg eg pontjáa vonatkoik, vagis egüttmogó aa át endsee vonatkoó deiváltat jelent. Eét neveik még anagi-, vag mateiális deiváltnak is. A anagi, mateiális vag substaniális deivált matematikai ételemben tehát teljes deiváltat jelent. Legen a követke skalá-vekto függvén f valamel etenív menniség sség függvéne (a etenív menniségek a visgált endse méeteivel aánosan váltonak ilen pl. a köeg tömege, akko f a köeg ssége; a etenív és intenív menniségekl ésletesebben a 3. fejeetben les só) aa: (, t) f (,, t) f f, ;
A példaként tekintett sség valamel téfogat seinti integálja éppen a téfogatban lév köeg tömegét adja. A f függvén tejes diffeeniálja a követke: f f f f df dt d d d ; t A teljes diffeeniált diffeeniává íva vissa, a id megváltoásával mindkét oldalt elostva és végül a t 0 hatáátmenetet képeve a követke egenletet kapjuk: D f D t f f f f.8 t A bal oldalon a anagi, mateiális vag substaniális deivált áll, et a nemetköi sakiodalomban sokásos nag D betvel jelöltük. A jobb oldalon a, és a sebesség, és iánba es össetevi, ende a t, t és a t diffeenia-hánadosok t 0 esetben vett hatáétékei. egük ése, hog a f függvén hel seinti paiális deiváltjai éppen a f függvén gadiensét adják. Eel a (.9) egenletet a követke, tömöebb fomában íható fel: D f D t f f ( gad f ) ( f ).9 t t A (.8)-at, illetve a tömöebb alakban felít (.9)-et kapsolati egenletnek neveük. A bal oldalon álló substaniális deivált eg, a köeghe kötött pontbani teljes deiváltat jelent, aa a köeg sempontjából egüttmogó, tehát át endsee vonatkoik. A egenlet jobb oldalának els tagját lokális (id seinti) deiváltnak, a másodikat konvektív (a mogással és a defomáióval kapsolatos) deiváltnak neveük eek a deiváltak ende külön a hel illetve a id seint ögítettek, tehát a köeg sempontjából nitott endsee vonatkonak. Eek seint a kapsolati egenlet a át és a nitott endseben ételmeett deiváltak köötti kapsolatot íja le. A (.9) kapsolati egenletben a sebességet so-vektoként ítuk fel, úg, hog a jobb oldal második tagjában lév kifejeés a so-oslop kompoíió sabált alkalmava ögtön (fomális sámolással) a skalá soatot solgáltassa. A sakiodalom eg ésében elseetettel hasnálják a (.9) jobb oldal második tagjáa a követke sopotosítást: D f D t ( ) f f. t E a sopotosítás at jelenti, hog elsö a sebességet skaláisan souk a nabla vekto-opeátoal; ennek eedméne a követke, skalá opeáto: ( ). Alkalmauk et a skalá opeátot f -e, a eedmén pontosan a (.8) jobb oldalát solgáltatja, aa e a sopotosítás heles eedmént solgáltat. Megjegend, hog a skaláis soás esetén a sakiodalom nag ésében nem hasnálják a 3
tansponált jelölést, eét leggakabban a ( ) alakkal találkounk. Néha még a áójelet is elhagják, ami má ha a áójel nélküli jelölést vekto egenletben alkalmaák a heles ételmeés ovásáa is mehet. A (.8) vag (.9) egenlet nem sak eg skalá-vekto függvéne íható fel, a f nilvánvalóan eg vekto vag teno össetevje is lehet. E esetünkben aét fontos, met például a sebesség, a mogás-menniség stb. a áamlástan sámáa fontos vekto menniség a fenti állítás seint pedig a kapsolati egenlet a sebesség (vag más vekto-vekto függvén) komponenseie külön-külön felíható, illetve vektoegenletként, tömö alakban is megadható. ekintsük a vektomenniségeke példaként eg elvileg tetsleges v vektot. Alkalmauk a vekto-komponenseke a (.9) össefüggést. Egse sámolással belátható, hog a mindháom komponenst magában foglaló vekto-egenlet a követke alakot ölti: D v v D t t ( ) v ;.0 álassuk most v" helett a áamlástanban köponti seepet játsó, (.) fomában adott sebesség vektot, eel pontosan a keesett gosulás matematikai megfogalmaásáho jutunk: D ( ).. D t t A (.) egenletben, a jobb oldal második tagjában háom vekto seepel, a ilen soat nem assoiatív, de et a tagot a alábbi módon is fel lehet íni: D Dt t ( ) D ;. t t A (.) kifejeés köéps tagjában, a áójelben a sebesség és a nabla vektoopeáto diadikus soata seepel, et neveük deivált tenonak (jele a D bet). Beveetése a konvektív gosulás elemeinek fiikai ételmeését tesi lehetvé; a köeg-ések fogásáa és defomáiójáa vonatkoó infomáiókat hodo. A (.) egenlet adja meg tehát a köeg gosulásait: a bal oldalon a teljes, totális vag substaniális gosulás áll, a jobb oldal els tagja a lokális, a második a konvektív gosulás. Eek a gosulás-típusok eltének a klassikus mehanikában seepl gosulásoktól, eét fiikai ételmeésük éljából néhán példát mutatunk be. Lokális gosulás akko léteik, ha a sebesség eg pontban, a id függvénében váltoik. ipikus példa ee eg (sakasonként állandó keestmetset) sveeték, amelben idben váltoó foladékmenniség halad (pl. víveeték stb.) A lokális gosulást tehát eg adott helen, valamel t és t t pillanatban mét sebességkülönbséggel semléltethetjük. 4
A konvektív gosulás a sebesség iánának vag nagságának adott pillanatbeli megváltoásából sámaik. A. ábán a sebesség iánváltoása figelhet meg: a könöksben (a egéb váltoásoktól most eltekintve) a sebesség iána a belépéstl a kilépésig, pontól ponta váltoik. A sebesség absolút étékének - a sebesség nagságának váltoásáa semléletes példa eg skül (konfúo) vag bvül (diffúo) sidombeli, idben állandósult áamlás. Eekben a sidomokban a sebesség iána a köépvonal mentén nem váltoik, a nagsága. ába Áamlás diffúoban. ába Áamlás könöksben aonban a. ába tanúsága seint igen. Konvektív gosulás een a két, igen leegsesített példán kívül temésetesen más esetben is létejön. A teljes, totális vag substaniális gosulás a eddig bemutatott, kétféle gosulás össege (ha a egik gosulástípus nulla, akko a teljes gosulás aonos a másik, nem nulla gosulás-éssel)..4 A deivált teno A deivált tenot a (.7) és a (.) egenletben hatáotuk meg, beveetésével a köeg éseskéinek meev testse elmodulásait és a defomáióit (hossváltoás vag dilatáió és sögtoulás vag distoió) hatáohatjuk meg. A deivált tenot a sakiodalomban általában alkalmaott módon eg simmetikus (D S )és eg fedén simmetikus (D A ) teno össegée bontjuk fel: D A ;.3 D DS ahol: D ( D D ) S alakváltoási-sebesség tenonak is neveük; és D ( D D ) A övéntenonak is neveük. A fenti felbontás nilvánvalóan kölsönösen egételm. A deivált teno a konvektív gosulást fejei ki. Konvektív gosulás sámahat meev testse fogásból és sámahat defomáióból. A deivált teno fedén simmetikus ése a fogással kapsolatos gosulás sámításáho sükséges. A sögsebesség ételmeéséhe visgáljuk a.3 ábán látható, kisi téglalapot, illetve annak δα valamint δβ söggel tötén elfodulását. A els sögelfodulás negatív eljelet kell kapjon, mivel ott a poitív sebesség negatív elfodulásho veet. 5
A A δα δ B δ δβ B.3 ába Elemi köegés elfodulása A ábán a poitív fogás követketében a A pont δ t id alatt a A -ba, a B pont pedig a B'-be modul el. Eek seint felíható, hog: δ α δ δ t / δ ; és: δ β δ δ t / δ. A eed sögsebesség sámításáho vegük a két sög-elfodulás átlagát, ossuk el δ t - vel és tekintsük a δ t 0 hatáétéket. Ennek a sámolásnak a eedméne nilvánvalóan a sögsebesség iánú össetevje les: ω ; Et a gondolatmenetet minden további nélkül meg lehet ismételni a és a tengel köüli sögsebesség össetevke is. Mindösse a jobbsodású koodináta endseekben ételmeett poitív elfodulási iánt kell sem eltt tatani. égeedménben a sögsebessége a követke kifejeést kapjuk: ( ) / ( ) / ot..4 ( ) / A (.4) felíásako figelembe véve (.6)-ot megkapjuk a sögsebesség és a sebességté otáiója köötti, má koábban is megemlített kapsolatot: a sebességté otáiója a kontinuum heli sögsebességének kétseese. Et a otáiót eges esetekben övénességnek is neveik; a késbbiekben több, gakolatilag is fontos esetben alkalmauk majd. Sámítsuk ki a deivált teno fedén simmetikus ését, illetve ennek a sebességgel való soatát; a ésletes sámítást a Olvasóa bíva, a követke eedméne jutunk: D A. A deivált teno fedén simmetikus ésével tötén soás tehát aonos a sögsebességgel balól tötén vektoi soással, e a oka a övénteno elneveésnek. Ha ebbe a soatba a sögsebesség helée a otáió vektot íjuk, akko a általános mehanikából jól ismet, Coiolis gosulás kifejeéséhe jutunk: a ot C. 6
A deivált teno másik, simmetikus ésének mivel a konvektív gosulás meev testse mogásból és defomáiókból sámaik a fiikai tatalma tehát a defomáiókkal kell kapsolatos legen, eét is neveük et a és tenot alakváltoási-sebesség tenonak. ekintsük elsö a hossváltoást aa a dilatáiót. A.4 ábán feltüntetett A pont δ t id alatt a A -ba, a B pont pedig a B'-be modul el. A és a tengel mentén bekövetke, δ hossváltoás: δ B δ δ t ; és: B δ δ δ t. δ A tengel menti hossváltoás ételemseen, a fenti kifejeésekhe hasonlóan íható fel. Ossuk el a fenti kifejeéseket ende δ -sel, δ -nal és a tengel menti hossváltoás kifejeését δ -vel; eek lesnek a fajlagos (elatív) hossváltoások. Sá- A A.4 ába Elemi köegés hossváltoása mítsuk ki a hossváltoási sebességeket (e egseen a δ t - vel való ostás és a δ t tat nulláho hatáátmenet képését jelenti): δ ; δ ; δ. ekintsük másodsoa a sögtoulást, a distoiót. A.4 ábán feltüntetett A pont δ t id alatt a A -ba, a B pont pedig a B'-be modul el. A tengel köüli sög- δ toulás a két ése: A δγ δ γ δ δ t A / δ ; és: B δ δγ δ γ δ δ t δ /. B Eek össege:.5 ába Elemi köegés sögtoulása δ γ δ t A sögtoulások a sebesség váltoásnak megfelel eljellel endelkenek, eét kell ket össegeni. A inde pedig at fejei ki, hog e a sögtoulás a - síkban jön léte. A sögtoulási sebességet a δ t-vel való ostás és a δ t 0 hatáétékképés után kapjuk. 7
8 Íjuk fel mindháom, lehetséges sögtoulási sebességet: γ ; γ ; γ. Hatáouk meg a deivált teno simmetikus ését: S δ γ γ γ δ γ γ γ δ D ;.5 agis a (.5) kifejeéssel adott teno és a fátlójában a hossváltoási sebességeket, a további elemeiben pedig a sögtoulási sebességeket tatalmaa. A sögtoulási sebességek indeeink felseélése a adott össeg tagjainak felseélést jelenti, eét eek a elemek aonosak, vagis a íg felít teno valóban simmetikus. Hatáouk meg a alakváltoási-sebesség teno fátlóbeli elemei össegének fiikai tatalmát. Sámítsuk ki eét a el példákban seepl, δ, δ és δ élhossúságú téglatest téfogat váltoásának sebességét. Hatáouk meg elsö a téfogat váltoást: ( ) ( ) [ ] ( ) [ ] ( ) [ ] δ δ δ δ δ δ δ δ δ δ ; Hagjuk el a másod- és hamadenden kisi tagokat és ossuk el a egenlet mindkét oldalát a kiinduló téfogattal: ( ) ( ) ( ) ( ) δ δ δ δ δ δ δ δ ; A fenti egenlet mindkét oldalát ossuk el δ t -vel és sámítsuk ki a δ t 0 hatáátmenetet. A jobb oldalon ende a eges elatív hossváltoási sebességek jelennek meg, a végeedmén a követke les: ( ) div d t d δ δ δ δ δ ;.6 Eseint tehát a elatív téfogat váltoási sebesség, ami a deivált teno simmetikus ésének fátlójában álló elemeinek össege, éppen a sebességté adott pontban vett divegeniájával egenl. A deivált teno simmetikus ésének többi eleme, a sögtoulási sebességek, a késbbiekben más alkalmaások mellett a súlódás tágalásában, a fesültség teno felíásában játsik majd dönt seepet. A gosulás (.3) alakú felíásával, vagis a deivált teno beveetésével mód nílt a konvektív gosulás elemeke bontásáa és eel a mélebb fiikai taalmának megismeésée. A deivált teno fiikai tatalmát vektoanalitikus úton is be lehet
9 mutatni. Itt sak utalunk a sakiodaloma: el a kédésl bvebben pl. [9]-ben vag [0]-ban lehet olvasni..5 A konvektív gosulás hagomános alakja A deivált tenot elvileg sokféleképpen fel lehet bontani. A áamlástanban a további alkalmaásokat sem eltt tatva a követke alakú, igen fontos felbontás tejedt el: ( ) D D D D.7 A felíás helessége ánééssel megállapítható. A konvektív gosulást a sebesség és a deivált teno soata solgáltatja. Soouk a (.8) jobb oldalának els tagját a sebességgel: ( ) ( ) ( ) D gad.8 A (.8) egenlet jobb oldalán a soatot hagománosan -nek sokás íni; a skaláis vag bels soattal tötén felíás követlenül mutatja a sebességvekto négetének kisámítási módját. A gadiens sámítása a (.3) példának megfelelen tötént, a sebesség négetének gadiensét például a Benoulli egenlet leveetéseko hasnáljuk majd fel. A (.7) jobb oldali második tagjának jelentését má koábban felítuk, itt sak megismételjük et: ( ) D D ot ; Et a soatot fodított soendben sokás felíni, hog áójel nélkül is ögtön látni lehessen: a otáió opeáto a sebessége vonatkoik. A totális vag substaniális gosulás igen gakan alkalmaott alakja tehát a követke les: a ot gad t ;.9 A totális gosulás tehát egenl a lokális gosulás (a jobb oldal els tagja) és a konvektív gosulás (a jobb oldal második és hamadik tagja) össegével.
.6 A temésetes koodináta endse A pálavonal eg, kijelölt éseske útja. A pálavonalho endelhet a éint (e), a nomális (n) és a binomális (b) egség-vektoból álló kísé tiéde. Eek jobb endset alkotnak. A továbbiakban soítkounk a idálló (staionáius) áamlások esetée. Ekko egébként a áamvonal, a pálavonal és a nomvonal aonos. A kísé tiéde által kifesített koodináta endse alkalmaása aét jelent egsesítést, met ebben a endseben a sebesség éint iánú, a másik két össetevje aonosan nulla. A staioneitás miatt sak konvektív gosulás léteik és a konvektív gosulásnak is sak éint és nomális iánú össetevje van, a binomális iánban gosulás sins. n A éint iánú konvektív gosulás, (.) se- e int, a sebességgel má mint skalá menniséggel sámolva: b R G pála vonal.6 ába emésetes koodináta endse a e ;.30 e A konvektív gosulás másik össetevje a pála göbületétl is függ entipetális gosulás, ennek a általános mehanikából ismet alakja: ;.3 R a p (Folt. köv.?) 0
3. A FOLYADÉKMOZGÁSOKRA ONAKOZÓ MÉRLEG - EGYENLE A foladékok mogásának dinamikáját a fiika megmaadási elveie alapova építjük fel. Ennél ugan van általánosabb lehetség is (pl. a vaiáiós elveke tötén alapoás) és e a tágalásmód eges numeikus módseekhe kapsolódva jelents métékben tejed is, aonban a jeget élját tekintve a megmaadási elvek anag, enegia, mogásmenniség és pedület jelentik a legmegfelelbb alapot. A megmaadási elveket általánosságban a méleg-egenlet segítségével fogalmahatjuk meg. A megmaadási elveknek van integál- és diffeeniál-egenlettel leít alakja. A konkét esetekben événes egenleteket een általános méleg-egenlet megfelel alakjaiból kapjuk. A áamlástani menniségek - a többi fiikai menniséghe hasonlóan - vag etenívek vag intenívek lehetnek. A etenív menniségek a visgált endse méeteivel aánosan váltonak, a intenívek a endse daabolásával nem váltonak. Jellem példa a etenív mennisége a tömeg, a intenív menniségek sopotjának pedig pl. a nomás a egik, jellem tagja. Zát endseek egését tekintve a etenív jellemk étéke állandó. E a állandóság jelenti a megmaadást - a megmaadási elveket tehát élseen a méleg egenlet valamel alakja seint kell felíni. 3. A mateiális deivált Fontos megjegenünk [0] nomán at, hog a (.6) vag (.7) egenlet nem sak egetlen etenív menniség sség-függvénée, aa nem sak eg skalávekto függvéne íható fel - a " f " lehet eg vekto vag teno össetevje is! E esetünkben aét fontos, met például a mogásmenniség egést a áamlástan sámáa fontos etenív menniség, másést aonban vekto menniség is. A fenti állítás seint a kapsolati egenlet a mogásmenniség komponenseie külön-külön felíható. 3. A méleg - egenlet A át endseeke jellem a etenív menniségek állandósága, másképpen a adott jellem megmaadása. A msaki gakolatban aonban gakan dolgounk
nitott endseekkel is. Eét fogalmauk meg a méleg-egenletet mindkét típusú endsee. A általunk tekintett endseek a háom dimeniós tében, matematikai ételemben mindig egseesen össefügg, át felülettel hatáolt téfogatot jelentenek. A 3. és 3. ábán mindkét téfogat ilen, aonban fiikai ételemben a 3. ábán látható téfogatot hatáoló felület nem bosát át fiikai áamot, a 3. ábán látható felület visont sak matematikailag át, a hatáoló felületen fiikai áam ( j ) áthaladhat. A követkekben a át és nitott endset ebben a ételemben hasnáljuk. j j * 3. ába Fiikailag (is) át endse 3. ába Fiikai sempontból nitott endse 3.. A át endseben événes méleg- egenlet A át endseek valamel, a foladékho kötött endset jelentenek, e endseek hatáán tehát fiikai áam (tömeg, mogásmenniség, enegia stb.) nins. Sámítsuk ki at a etenív menniséget, aminek a sség-függvénél a elbbiekben sóltunk: Φ f (, t) d ; A kifejeésben seepl " * " a foladékho kötött, egseesen össefügg, át téfogat. Ee a " Φ " etenív mennisége vonatkoó méleg-egenlet a követke: d dt Φ d dt f (, t) d Q ; 3.5 ahol: Q - a kijelölt " * " téfogatban helet foglaló (esetleges) foás. A (3.5) méleg-egenletben, tekintettel aa, hog a kijelölt " * " téfogat mindig aonos foladékéseket tatalma (tehát ilen ételemben nem váltoik) és a integál a idnek diffeeniálható függvéne, a diffeeniálás és a integálás felseélhet:
d dt D (, t) d ( f d ) f ; Dt A integáljel után kijelölt diffeeniálás elvégehet, ennek pontos matematikai leveetésée nem téünk ki, a pl. [3]-ban megtalálható. A eedmén a mélegegenlet át endsee événes integál alakja: D f D t f d Q ; 3.6 Megjegeük, hog a (3.6) kifejeésben megjelen " div " éppen a téfogat-váltoás sebessége. eessük be a foás-sséget ("q"), úg, hog a " Q " teljes foást a foás-sség téfogati integálja solgáltassa. Íg a (3.6) minden tagja téfogati integálként íható fel: D f f D t d q d 3.7 * ekintettel aa, hog a egseesen össefügg, át " * " téfogatól sak annit kötöttünk ki, hog annak a foladékho ögítettnek kell lennie, eét a egenlség akko és sak akko áll fenn, ha a integálandó függvének egenlek, aa: D f D t f q 3.8 Eel a méleg-egenlet át endsee vonatkoó diffeeniálegenlet alakjáho jutottunk. A egenlet jobb oldalán a foás-sség (öviden foás) található. Köismet például, hog a anagmegmaadás esetében a foás (e eg eljeles valós sám, ha poitív akko a só soosabb ételmében is foásól besélünk, ha aonban negatív, akko nell van só) eg ténleges foást (nelt) jelent, amit például eg sövön éke küls foladékként képelhetünk el. De a mogásmenniség sempontjából foást jelent például a gavitáiós eté téessége vag más ek is. A áamlástan általunk tágalt ismeetanagában léneges seepet játsó foásokat a 4. fejeet megfelel pontjaiban ésletesen ismetetjük. A méleg-egenlet alapvet fiikai tatalma a megés vag megmaadás, a ésletes fiikai tataloma a konkét megmaadási elvek tágalásako téünk ki 3.. A nitott endseben événes méleg- egenlet Amint má említettük, a msaki gakolatban sokso nitott endseel kell dolgoni. Nitott endsel akko besélünk, ha a kijelölt, egseesen össefügg, matematikai ételemben át téfogat (jele: " ") nem moog egütt a foladékkal, íg a hatáoló felületén a sóban fogó etenív menniség ki- illetve beáamlik. Mivel a át téfogat felületi nomálisa kifele poitív, eét a kilép áam les a poitív, a belép 3
pedig negatív. Eét a áam elé negatív eljelet kell íni. A nitott endsee événes méleg-egenlet kiinduló alakját (3.5)-hö hasonlóan íhatjuk fel, a jobb oldalt aonban ki kell egésíteni a fent említett áammal (jele: " I "): d Φ Q I ; 3.9 d t eessük be a felületi áamsség fogalmát (jele: " j "). A (3.9) kifejeés a felületi áamsség felhasnálásával [] illetve [9] seint a követkeképpen íható fel: f t d q d A j da 3.0 ahol: j f (a legegsebb esetben, ha egnem foladék áamlásáól van só). A egsebb íásmód kedvéét a felületi nomális és a felületelem soatát egben, felületelem-vektoként íjuk, ennek nagsága a felületelem nagsága, iána pedig a felületi nomális iánával aonos. A eges megmaadási elvek visgálatako a adott esetben jelentke felületi áamsséget a 4. fejeetben ésletesen ismetetjük, itt supán példaként említjük, hog a tömegáam a " j " kifejeéssel adható meg. A Gauss-Ostogadskij integál-átalakítási tétel segítségével a felületi áamsség integálja téfogati integállá alakítható: f t aa: d f t q d j d q d div j d ; 4 j d q d 3. E a nitott endsee événes méleg-egenlet integál alakja. A át endseel kapsolatosan má bemutattuk, hog a fenti típusú integál pontosan akko nulla, ha a integálandó függvének össege nulla. Ennek alapján a nitott endsee événes méleg-egenlet diffeeniálegenlet fomában felít kifejeésének köismet alakját kapjuk: f t j q 3. A felületi áamsséggel kapsolatban eg fontos megjegést kell tennünk. E jegetben sak egnem foladékok áamlástanával foglalkounk, aonban több esetben (például a köneeti áamlások visgálatánál) több, különbö köeg egüttes áamlásának visgálatáa is so keül. A (3.9) vag a (3.) egenlet alkalmas a különbö, fiikailag ételmehet kölsönhatások (pl. diffúió) leíásáa. Et a bvítést Onsage tétele illetve Onsage össefüggése alapján ([]) tehetjük meg.
3..3 Kapsolat a át és a nitott endseben événes méleg- egenlet köött A méleg-egenlet a alapul vett endsetl függetlenül a fiikai megmaadást fejei ki - eét a kétféle alaknak ekvivalensnek kell lennie. A anagi, mateiális vag substaniális deivált leveetésénél felítuk a kapsolati egenletet, mel a át endsee és a nitott endsee vonatkoó deiváltak köti kapsolatot adja meg (3. vag 3.). E kapsolati egenlet segítségével bemutathatjuk a méleg-egenlet át és nitott endsee felít alakjának ekvivaleniáját. Induljunk ki a (3.8) kifejeésbl, alakítsuk át a substaniális deivált étékét (bal oldali els tag) a (3.) seint: D f f f ( f ) f q ; D t t A bal oldalon seepl második és hamadik tag eg soat-függvén divegeniája: ( f ) f ( f ) div( f ) j ; égeedménben tehát felíható (3.8) és (3.) aonossága, aa: D f f f f q ( f ) j. D t t t Eel a diffeeniálegenletek ekvivaleniáját megmutattuk, ebbl a integál egenletek ekvivaleniája ögtön követkeik. E a egenlség - többek köt - at fejei ki, hog a méleg-egenlet, illetve a belle sámaó eedmén a válastott endsetl sak alakilag függ, megfelel lépésekkel aonban een alakok ekvivaleniája bemutatható. A egenlség aonban itt nem aonosság, sak ekvivaleniát feje ki. A áamlástani feladatok tágalása soán hasnálhatunk un. pimitív váltoókat (sség, nomás, sebesség-komponensek) vag fluus váltoókat (eek els soban a újabb, numeikus alkalmaásokkal is foglalkoó sakiodalomban jelennek meg). A legújabb sokásnak megfelelen, egetlen vektoba foglalva íjuk fel ket: U ; 3.3 e p ahol: e u v ; fajlagos öss-enegia, a κ egségni tömeg bels enegiájának és kinetikai enegiájának össege. 5
A "e" kifejeésének jobb oldalát többféleképpen is felítuk. Eek a váltoók a fent általánosságban má említett, késbb ésleteend áamokho kapsolódnak. A áamlástani folamatok fiikai temésete seint a pimitív váltoók bionos esetekben ugásseen váltonak (pl. lökéshullámban a nomális sebesség össetev vag a sség), eges fluus váltoók aonban megik a foltonosságukat (vagis pl. a sség-ugás és a sebesség ugás soata má foltonos les a elbb említett lökéshullámon keestül is). E tulajdonságot kifejeend, a méleg egenlet nitott endsee vonatkoó alakját - amelben a fluus váltoók seepelnek - konevatívnak (meg), a át endsee vonatkoó alakját nem konevatívnak (nem meg) neveük. A nitott endsee vonatkoó, konevatív alakot a benne seepl divegenia alapján divegenia-alaknak is neveik. 6
4. A FOLYADÉKMOZGÁSOKRA ONAKOZÓ FIZIKAI MEGMARADÁSI ELEK A foladékok mogásának dinamikáját a tömeg, a mogásmenniség, a enegia és a pedület megmaadásának elvée építjük fel. A teljesség kedvéét megjegeük, hog a pedület megmaadása altenatív lehetséget kínál, aal nem mindig sámolunk. Eel semben a foladék anagi minségének jellemésée állapot egenletet és - adott esetben - a tubulens viselkedést leíó egenleteket kell beveetnünk. A megmaadási elveket alapveten diffeeniál-egenletként, illetve integálegenletként lehet megfogalmani. A eges feladatok megoldásánál különösen a napjainkban kosenek sámító numeikus módseek esetében eeket a elveket, pontosabban a nekik megfelel egenleteket élseen sopotba foglalják. Ilen sopotokat mutatunk majd a 4.5 pontban. 4. A anag megmaadásának elve A anag megmaadásának elve valamilen fomában gakolatilag minden áamlástan feladatban elfodul. A többi megmaadási elvhe hasonlóan diffeeniál és integál-egenlet alakja is léteik. A továbbiakban általánosságban tegük fel, hog a általunk tágalt áamlástani kédésekben anagot elállító foás nins, aa q 0. Ettl a feltevéstl ugan néhán esetben eltéünk (például a komple poteniálok esetében), de eekben a esetekben is sak un. nullméték halmaokon les a foásosság nullától különbö éték. 4.. A anag megmaadását leíó integál-egenlet A foltonosság tövénének integál-egenlete fként a egsebb gakolati sámításokban játsik nag seepet. Ennek nitott endsee événes, általános alakját - ismét feltéve, hog nins foás - a (3.0) méleg-egenlet seint íhatjuk fel, elsö a (3.0)-nek fomálisan megfelel alakot, majd ebbe helettesítsük be a tömegáam kifejeését: d t A j da d t ( ) da 0 A 7 ; 4. egük fel, hog a sség a idben állandó, akko a (4.)-ben seepl téfogati integál nulla, vagis a kifejeés a követke, egse alakot ölti: A ( ) da 0. Et a alakot is tovább egsesítjük. Sámoljunk a továbbiakban a átlag-
sebességgel. álassunk továbbá eg áamsövet (4. ába), jelöljük a belép felületet "AB"-vel, a áams palástfelületét "AP"-vel és a kilép felületet "AK"-val, eel a "A" át felület menti integál a követke háom és-integál össegeként íható fel: da da da AB 0. AP AK álassuk a be- és kilép felületet úg, hog a legen a átlag-sebessége meleges (legen a sebesség vektoa páhuamos a felületi nomálissal). A áams palástfelületén köeg nem lép át, íg a második integál nulla, a els és hamadik integál pedig a mondott feltételekkel kisámolható, végeedménben a követke egenlet íható fel: A A 4. E - vag össenomhatatlan köeg esetén a sséggel is egsesített alak - a foltonosság tövénének sinte minden nap hasnált, legegsebb alakja. A " A A " kifejeés (állandó sség esetén) mindkét oldala paiálisan diffeeniálható a id seint, eel a instaionáius feladatokban a lokális gosulás sámításáa alkalmas össefüggést kapunk: t A A t A A 4. ába Áamsben áamló foladék A anagmegmaadás tövénének alkalmaásáa konkét példát nem mutatunk be, mivel e a elv önmagában még kevés eg áamlástan feladat megoldásáa. A késbb bemutatott példákban aonban a foltonosság tövéne nag seepet kap majd. A foltonosság tövénének át endsee felít alakját a (3.6) vag (3.7) megfelel átíásával ("f " helée " " -t íva) nejük: D d * 0. * D t Et a alakot a end kedvéét ítuk fel, a gakolati sámításokban fként a (4.) egenlet hasnálatos. 4.. A anag megmaadását leíó diffeeniál-egenlet A anag megmaadását leíó, leggakabban hasnált diffeeniálegenletet a 3. fejeetben beveetett méleg-egenlet (3.) alakjából kaphatjuk meg, ha a etenív menniség helée (" f ") a sséget íjuk be: 8
div t t ( ) 0 ; vag: ( ) 0 ; 4.3 E a foltonosság tövénének klassikus, diffeeniálegenlettel leít alakja. A egenlet egésében a nitott endsee événes anagmegmaadás tövéne, a bal oldalak els tagja a egségni téfogatban a tömeg megváltoása, a második tag pedig a egségni téfogatba tötén ki- és a beáamló tömegek össege. Eek a menniségek egütt, foásmentes esetben, nullát kell adjanak. Állandó sség foladék esetén (4.3) a div ( ) 0 alakot ölti. A (4.3) egenlet a nitott endsee événes méleg-egenlet. Kevésbé gakan hasnált a át endsee vonatkoó méleg-egenlet, amel (3.8) alapján íható fel: D 0 ; 4.4 D t A áamlástani sakiodalomban a foltonosság (4.3) alakú diffeeniálegenletét gakan elemi lépéseken keestül veetik le. Ebben a jegetben alapveten a méleg egenlete támaskodunk, de a kétféle semlélet kapsolódásának példájaként itt a elemi lépéseken keestül tötén leveetést is bemutatjuk. E leveetéshe vegünk fel a 4. ábán látható koodináta endset és benne eg elemi hasábot. ( ) d ( ) d ( ) d d d d 4. ába A elemi (egségni) téfogatú hasábon keestülhaladó tömegáamok E leveetésnél is a méleg-egenletbl kell kiindulnunk - feltessük, hog a elemi téfogatbeli tömegváltoás a uganeen elemi téfogatba be- és kilép tömegáamok össegével egenl. A tömegáamok kilép étékét a alo soba fejtésük els tagjával köelítjük, aa a be- illetve a kilép tömegáam a " " tengel iánában: 9