rögzített tegely körül forgó testek kegyesúlyozottságáról haladókak Bevezetés Dolgozatuk első részébe többször s szóba került hogy a téma általáosabb kfejtése komolyabb mechaka megalapozást géyel. Most megkíséreljük továbbad a téma vszoylag köyű és céljakhoz legkább lleszkedő damka tárgyalását em törekedve a teljese általáos tárgyalásmódra ám megtakarítva a még átfogóbb elemzés sorá esetleg fellépő magasabb matematka ehézségeket. k az első részt alaposa megrágta és megemésztette bzoyára érz hogy több ráyba s kíváatos az általáosítás; szükséges átgodol legalább a tetszőleges tömegeloszlású testek valamt a em álladó fordulatszámú forgás esetét. Mdkettő gyakorlat díttatású: a valóságos forgó testek boyolult alakúak s lehetek valamt az dítás ll. a leállítás folyamat sorá fellépő szöggyorsulással kapcsolatos esetre s kívácsak vagyuk. Most pár szót az általuk látott szakrodalomról. magyar yelve elérhető mukák közül jó szívvel legkább az [ 1 ] művet ajálhatjuk. z ebbe található levezetés a vszoylag egyszerű skalárs tárgyalásmódjával és szemléltető ábrával alkalmasak látszk a felmerülő főbb kérdések megválaszolására. z általuk smert dege yelvű taköyvek közül ekük legjobba a [ ] műbe található levezetés tetszett melyek részletes és módszeres kvtelezése taárok taulók de techkusok és mérökök számára s taulságos lehet. z alábbakba léyegese támaszkoduk e mukára s. csapágyreakcók meghatározása a rögzített merev tegely körül forgó merev test esetébe Tektsük a mozdulatla z tegely körül forgó merev testet melyre az adott aktív külső erők: P 1 P... P hatak ld. 1. ábra ll. [ ]! testre hatak még az R ( X Y Z ) és R B ( X B Y B ) reakcóerők valamt a tehetetleség erők. z adott pllaatba a forgás szögsebessége ω szöggyorsulása ε. test egy kszemelt M ( x y z ) potjába a Ф ercaerő s működk amelyre feáll: Φ ω ε Φ Φ ( 1 ) megfelelőe a Fzkából smert radáls és a tagecáls gyorsulás - összetevőkek. agyságuk: ω Φ m r ( ) Φ m r ( 3 ) ε ráyuk az ábra szert azaz a egatív gyorsulás - összetevők ráya. Itt r : az M pot távolsága a fzka forgástegelytől.
1. ábra
3 csapágyak egymástól mért távolsága: h. megoldás D lembert elvé alapul ld. [ 3 ]! szert a külső aktív erők a reakcóerők és a tehetetleség erők mde dőpllaatba kelégítk az alább vektor egyeleteket: P R R Φ 0 ; ( 4 ) B R RB Φ M M M M 0. ( 5 ) ( 4 ) egyelet azt fejez k hogy a merev testre ható összes erők eredője: zéruserő. z ( 5 ) egyelet azt fejez k hogy az összes erő potra vett yomatékvektoraak összege zérusvektor. tovább kfejtés első lépésekét megállapítjuk hogy R M 0 ( 6 ) hsze egy erő yomatéka egy a hatásvoalá fekvő potra zérus. Így ( 5 ) és ( 6 ) - tal: R B Φ M M M 0. ( 7 ) tovább kfejtést ( 4 ) és ( 7 ) alapjá végezzük. Úgy képzeljük hogy a merev test darab tömegpotból összetett melyek egymástól mért távolsága álladó. Most képezzük a koordáta - tegelyekre eső vetületeket! ( 4 ) - ből: j B x j1 1 X X X 0; ( 8 ) j B y j1 1 Y Y Y 0; ( 9 ) Zj Z 0. ( 10 ) j1 ( 10 ) egyelethez megjegyezzük hogy ~ az ábra szert megtámasztás eseté ZB 0 valamt ~ a tehetetleség erőkek cs z - tegely met összetevője. zutá ( 7 ) - ből: jx B x j1 1 M Y h M 0; ( 11 ) jy B y j1 1 M X h M 0; ( 1 ) M jz Mz 0. ( 13 ) j1 1 felírt ( 8 ) ( 13 ) 6 darab ú. ketostatka egyesúly egyeletből 5 darabot haszáluk fel az 5 darab reakcó - kompoes meghatározásához. z éppe elegedő s. Most fejtsük k a tehetetleség erőkek a koordáta - tegelyekre számított vetület - összegét! Részletezve:
4 x x x y y y. Továbbá az 1. ábra szert ( ) - vel s: x Φ cos Φ m r m x ω ω x r ω ω y r ( 14 ) x m x. ( 15 ) Hasolóa: y Φ j cos Φ j m r m y m y. ( 16 ) y Ismét az 1. ábra szert: y Φ cos Φ m r m y ε ε x r x m y. ( 17 ) Hasolóa: x Φ j cos Φ j m r m x ε ε y r y m x. ( 18 ) Most ( 14 ) ( 15 ) ( 17 ) - tel: x m x m y ; ( 19 ) majd ( 14 ) ( 16 ) ( 18 ) - cal: m y m x. ( 0 ) y Most képezzük a ( 8 ) és ( 9 ) - bel Φ - s összegeket! lőször ( 19 ) - cel: x m x m y m x m y 1 1 1 1 x m x m y. 1 1 1 Hasolóa ( 0 ) - szal: ( 1 ) ( )
5 y m y m x m y m x 1 1 1 1 y m y m x. ( 3 ) 1 1 1 Most felhaszáljuk a merev test C tömegközéppotjáak koordátára voatkozó m x m x C ( 4 ) 1 m y m y C ( 5 ) 1 m m ( 6 ) 1 képleteket s. lőször ( ) ( 4 ) ( 5 ) - tel: x m xc m y C. ( 7 ) 1 Másodszor ( 3 ) ( 4 ) ( 5 ) - tel: y m yc m x C. ( 8 ) 1 zutá fejtsük k a tehetetleség erőkek a koordáta - tegelyekre vett yomatékösszeget! Most már mdet em részletezve az ábra alapjá: Mx Mx Mx y z y z 1 1 1 1 1 m y z m x z 1 1 m y z m x z 1 1 Iyz I xz Mx I yz I xz. ( 9 ) 1 ( 9 ) képlet felírásakor bevezettük a
6 I m x z xz 1 I yz m y z 1 képlettel defált devácós tehetetleség yomatékokat. Folytatva: My My Mx x z x z 1 1 1 1 1 m x z m y z 1 1 m x z m y z 1 1 Ixz I yz ( 30 ) My Ixz I yz. ( 31 ) 1 zutá vegyük fgyelembe hogy a cetrfugáls tehetetleség erők átmeek a forgástegelye így em fejteek k rá forgatóyomatékot; ezzel: M z M z r m r r 1 1 1 1 m r I 1 z Mz I z ( 3 ) 1 ahol bevezettük az Iz m r ( 33 ) 1 képlettel defált z - tegelyre számított ekvatoráls tehetetleség yomatékot.
7 tehetetleség erőkkel kapcsolatos tagokat behelyettesítjük a ketostatka egyeletekbe. ~ ( 8 ) és ( 7 ) - tel: X j X XB m xc m yc 0. ( 34 ) j1 ~ ( 9 ) és ( 8 ) - cal: Yj Y YB m yc m xc 0. ( 35 ) j1 ~ ( 10 ) - zel: Zj Z 0. ( 36 ) j1 ~ ( 11 ) és ( 9 ) - cel: M jx YB h Iyz Ixz 0. ( 37 ) j1 ~ ( 1 ) és ( 31 ) - gyel: M jy XB h Ixz Iyz 0. ( 38 ) j1 ~ ( 13 ) és ( 3 ) - vel: M jz Iz 0. ( 39 ) j1 ( 39 ) egyelet em tartalmaz reakcót. bből határozható meg a szöggyorsulás abból pedg ( tegrálással ) a szögsebesség dőfüggvéye. Mutá ε és ω smert a femaradó 5 darab egyeletből kszámíthatók az ( X Y Z ) ( X B Y B ) csapágyreakcók. rögzített fzka tegely körül forgó test kegyesúlyozottságáak feltétele Határozzuk meg az eredő tehetetleség erő és erőpár agyságát! forgásból származó tehetetleség erő agysága: x y x y 1 1 ; ( 40 ) ezutá ( 7 ) ( 8 ) ( 40 ) - el:
8 m xc m yc m yc m x C e m xc m xc m yc m yc m yc m xc m yc m xc m xc m yc m xc m yc m xc y C m x C y 4 C C C 4 m r C m x y ( 41 ) ahol r x y ( 4 ) C C C a C tömegközéppot távolsága a forgástegelytől. Továbbá a forgásból származó tehetetleség erők potra vett azo forgatóyomatékáak agysága melyet a csapágyakba ébredő reakcó - erőpárak kell egyesúlyoza hsze M z em ébreszt a csapágyakba reakcóerőket : r x y x y 1 1 M M M M M ; ezutá ( 9 ) ( 31 ) és ( 43 ) - mal: Mr Iyz Ixz Ixz Iyz Iyz Iyz Ixz Ixz Ixz Iyz Ixz Iyz ( 43 ) 4 4 Ixz I yz Ixz I yz Ixz I yz M I I. ( 44 ) 4 r xz yz rögzített tegely körül forgó merev test kegyesúlyozottságáak feltétele hogy a forgásból e származzo se a csapágyak által egyesúlyozadó tehetetleség erő se erőpár azaz 0 M 0. ( 45 ) r Most ( 41 ) ( 44 ) ( 45 ) - tel ld.: [ 4 ]! : m r 0 I I 0. ( 46 ) 4 4 C xz yz
9 Mthogy a forgó testre az m ω ε meységek általába em egyelők ullával ezért ( 46 ) szert a teljes kegyesúlyozottsághoz kell hogy rc 0 Ixz 0 ( 47 ) Iyz 0 teljesüljö. ( 47 ) képletet a mechaka yelvé úgy fogalmazhatjuk meg hogy a z forgástegelyek a test súlypot főtegelyéek kell lee. levezések: ~ statkalag kegyesúlyozatla a forgórész ha r 0 de I 0 és I 0; C xz yz ~ damkalag kegyesúlyozatla a forgórész ha r 0 de I 0 és / vagy I 0; C xz yz ~ statkalag és damkalag s kegyesúlyozatla a forgórész ha r 0 valamt I 0 és / vagy I 0; C xz yz ~ statkalag és damkalag s kegyesúlyozott a forgórész ha ( 47 ) feáll. Megjegyzések: M1. statkalag kegyesúlyozatla álló de egyesúly helyzetéből ktérített forgórész fzka gakét az egyesúly helyzete körül legéseket végez a súlyerő hatására. Ie az elevezés s: eek felderítéséhez em kell megforgat a forgórészt. M M. z r forgatóyomatékú erőpár akkor bzoyosa zérus agyságú ha cs mozgás; azaz statkus módszerekkel em mutatható k hogy egybeesk - e a fzka forgástegely a test valamely súlypot tehetetleség főtegelyével. Ie származk a damkus kegyesúlyozatlaság kfejezés s.. ábra
10. ábra forrása: [ 5 ] azt szemléltet hogy hogya jöhet létre az az eset amkor a tehetetleség erőkek erőpár erdője lehet: a test fzka és geometra tegelye valamlye szöget zár be egymással. Úgy képzelhetjük hogy a fzka forgástegely a testet két részre osztja melyekhez tartozó részeredők erőpárt képezek. Hasolóképpe erőpárt alkotak az eek megfelelő csapágyreakcó - erők s melyek síkja a testtel együtt forog. z agyo káros lehet mert rázza a gépet és akár aak tökremeetelét s okozhatja; de más módo s káros lehet: pl. a gerjesztett legések rothatják a forgórészre szerelt forgácsoló szerszámok által kalakított forgácsolt felület jóságát s. Fetek velejárója hogy a Damka fotos részét képező taayag a merev testek tehetetleség yomatékaval kapcsolatos tudvalók valamlye szte való smertetése többé már em kerülhető el. meybe ez mégsem skerüle javasolható ~ a tehetetleség yomatékokat tartalmazó táblázatok haszálata; ~ a damkus kegyesúlyozó gépek működéséek alkalmazásáak bemutatása: ekkor a tehetetleség yomatékok számításos meghatározása helyett más mérhető adatok bevoásával oldható meg a kegyesúlyozás azaz a forgó csapágyreakcók kküszöböléséek feladata ld. [ 6 ]! Érdemes megemlíte azt a téyt s hogy a méréstechka fejlődésével egyre több helyszí mérés - majd eze alapuló kegyesúlyozás - ajálatot találhatuk az Iterete. Sajálatos hogy a hrdetésekbe olya típusú meggyőzéssel s élek hogy az eszközük olya egyszerű és agyszerű hogy szte érte sem kell hozzá (! ). z zavaró és káros. Ugyas a taár éppe azzal gyekszk ráve a taulót a szakmához szükséges alaposabb tudás megszerzésére hogy a hozzáértés az előfeltétele a korszerű és szakszerű mukavégzések. Éppe ematt em kerüljük az lye és az ehhez hasoló ehezebb témákat. Összefoglalás jele dolgozat célja az volt hogy az előző részbe felvetett és megválaszolatlaul hagyott kérdésekre megadja a választ. zt oly módo tette hogy megvzsgálta a felvett általáosabb mechaka modell esetébe a csapágyreakcók meghatározásáak módját. hhez a d lembert - elvet hívta segítségül melyek alkalmazásával előálltak az ú. ketostatka egyesúly egyeletek. z ebbe fellépő a tömegeloszlással kapcsolatos geometra meységek a tömegközéppot koordátá a devácós és az ekvatoráls tehetetleség yomatékok többé már em kerülhetők meg az általáosításak eze a sztjé. dolgozat szakrodalomból származó eredméye : ~ a csapágyreakcók meghatározására szolgáló egyeletek valamt ~ a kegyesúlyozottság feltételeek összefoglalása. szakrodalommal kapcsolatba megállapítható hogy a szóba forgó témába az meglepőe háyos külöös tektettel a em főskola / egyetem haem a techkus smeret - sztre melyek bővítése így em oldható meg egyszerűe. bbe gyekezett segíte dolgozatuk e másodk része s.
11 Irodalom: [ 1 ] Sz.. Kozsevykov: Mechazmusok és gépek elmélete II. rész Taköyvkadó Budapest 1953. [ ].. Jabloszkj: Kursz teoretcseszkoj mehak csaszty. Moszkva Vüszsaja Skola 1977. [ 3 ] Szerk.: M. Cszmada Béla ~ ádor rő: Mechaka mérökökek Mozgásta emzet Taköyvkadó Budapest 1997. [ 4 ] M. I. Baty ~ G. Ju. Dzsaeldze ~. Sz. Kel zo: Teoretcseszkaja mehaka v prmerah zadacsah II. 5. kadás auka Moszkva 197. [ 5 ] Ludvg Győző: Gépek damkája Műszak Köyvkadó Budapest 1983. [ 6 ] http://www.sze.hu/am/oktatas/letoltedok/laborgyakorlat/tomegkegyesulyozas/tomeg kegy1.doc Sződlget 009. február 4. Összeállította: Galgócz Gyula méröktaár