. tétel: Szögfüggvények értelmezése a valós számhalmazn, ezek tulajdnságai, kapslatk ugyanazn szög szögfüggvényei között. Definíió derékszögő hármszögekre (hegyesszögek szögfüggvényei): Egy hegyesszög szinusza egy derékszögő hármszögben a szöggel a szemközti befgó és az átfgó hányadsa. α Egy hegyesszög kszinusza egy derékszögő hármszögben a szög melletti befgó és b az átfgó hányadsa. zaz az ábra jelöléseit használva: s α Egy hegyesszög tangense egy derékszögő hármszögben a szöggel szemközti és a a szög melletti befgó hányadsa. zaz az ábra jelöléseit használva: tg α b Egy hegyesszög ktangense egy derékszögő hármszögben a szög melletti befgó és a b szöggel szemközti befgó hányadsa. z ábra jelöléseit használva: tg α a definíió nem függ a hármszög választásától, mert az ilyen hármszögek hasnlók (két szög megegyezik), az ldalak aránya állandó. Szögfüggvények tulajdnságai: (hegyesszögek esetén) 1. 0 < < 1. 0 < sα< 1. 0 < tgα 4. 0 < tgα a 5. a a tgα 6. sα b b b 7. Visszakeresés: α 0,6 számlógép: 1 0, 6 1 sα tg α tgα α α ar0, 6 8. Négyzetes összefüggés: mellékmegjegyzés: ( α a b a b + Pitagrasz tétel α+ s α + 1 9. Pótszöges összefüggés: α+β 90 β 90 α b β (90 α) sα b 1 tg β tg(90 α) tgα a tgα ) ()
0 45 60 Nevezetes szögek szögfüggvényei: 1 s 1 Szögfüggvények általáns definíiója: tg tg 1 1 krdinátasíkn az α szöggel elfrgattt i egységvektr krdinátái: v ( sα; ) Tvábbá: tg α s α 0 α + k s α sα tg α α 0 α 0+ l l Z α kszinusz és szinusz értékét lelvashatjuk az egységkörbıl. tangens és ktangens értéke is lelvasható: z egységkör ( 1 ;0) pntjába húztt érintı és az α szöggel elfrgattt i egységvektr egyenesének metszéspntja ( 1 ;tgα). z egységkör ( 0 ;1) pntjába húztt érintı és az α szöggel elfrgattt i egységvektr tgα ;1. egyenesének metszéspntja ( )
Ha az α szöggel elfrgattt egységvektr a krdináta-rendszer az elsıtıl különbözı negyedében van, akkr az tt lévı szögek szögfüggvényértékeit visszavezethetjük a hegyesszögek szögfüggvényértékeire: 90 < α< 180 180 < α< 70 70 < α< 60 α 180 α α 180 α 60 ( ) α ( ) ( α) s α s( 180 α) sα s( α 180 ) s α s( 60 α) tg α tg( 180 α) tgα tg( α 180 ) tg α tg( 60 α) tg α tg( 180 α) tgα tg( α 180 ) tg α tg( 60 α) Elıjelek a síknegyedekben: szinusz kszinusz tangens ktangens 60 -nál nagybb szögek esetén visszavezetjük: pl: ( k 60 + m) m 0 m< 60 Negatív szögek esetén: 1. ( 0 ) ( 0 + 60 ) 0. ( α) páratlan függvény s( α) sα párs függvény Ilyen módn a trignmetrikus függvények peridikusak lesznek: s α; periódusa, tg α; tgα periódusa
Trignmetrikus függvények: Definiálhatjuk a trignmetrikus függvényeket. f (x) x D f R R f [ 1;1] peridikus, periódusa: páratlan: ( x) x zérushelye: x 0 x k, flytns mntnitás: szig. mn. nı. x + k ; + k szig mn. sökk. x + k ; + k szélsıértékei: glbális maximum: helye: x + k, értéke: y 1 glbális minimum: helye: x + k, értéke: y 1 deriváltja és primitívfüggvénye: x s x dx s x+ ( ) x g (x) sx D g R R g [ 1;1] peridikus, periódusa: párs: s ( x) s x zérushelye: s x 0 x + k, flytns mntnitás: szig. mn. nı. x ( + k ; k) szig mn. sökk. x ( k ; + k) szélsıértékei: glbális maximum: helye: x k, értéke: y 1 glbális minimum: helye: x + k, értéke: y 1 deriváltja és primitívfüggvénye: s x s x dx x+ ( ) x
h (x) tg x D h R \ + k;k Z R h R peridikus, periódusa: páratlan: tg( x) tg x zérushelye: tgx 0 x k, flytns az értelmezési tartmányán mntnitás: szig. mn. nı. periódusnként x + k ; + k szélsıértékei ninsenek (nem krláts sem alulról, sem felülrıl) deriváltja és primitívfüggvénye: 1 ( tg x) tg x dx ln s x + s x i (x) tg x D i R \{ k ;k Z} R i R peridikus, periódusa: páratlan: tg( x) tg x zérushelye: tgx 0 x + k, flytns az értelmezési tartmányán mntnitás: szig. mn. sökk. periódusnként x ( k ; + k) szélsıértékei ninsenek (nem krláts sem alulról, sem felülrıl) deriváltja és primitívfüggvénye: 1 ( tg x) tg x dx ln x + x
ddíiós tételek: 1. s ( α β) sα sβ+ β Vegyünk fel két, α illetve β szöggel elfrgattt i egységvektrt. keletkezett két vektr krdinátái: α; s β; β, közbezárt szögükα β. a( s ) és b( ) Ekkr a két vektr skaláris szrzatát kétféleképp kiszámlva: a b a b s α β s α β mivel a és b egységvektrk ( ) ( ) a b sα sβ+ β krdinátánként szrzva Tehát: s ( α β) sα sβ+ β. s ( α+β) sα sβ β s 1.miatt ( α+β) s( α ( β) ) sα s( β) + ( β) sα sβ β s fv ps; fv ptl. ( α+β) sβ+ sα β s α β s α sβ+ α β pótszöges öf ( α+β) s ( α+β) 1.miatt pótszöges öf sβ+ sα β 4. ( α β) sβ sα β.miatt ( α β) ( α+ ( β) ) s( β) + sα ( β) sβ sα β s fv ps; fv ptl 5. tg tgα± tgβ 1m tgα tgβ α; β; α±β + k tg def s az eddigiek miatt β ± sα sβ β 1m sα sβ sβ± sα β sα sβm β tgα± tgβ 1m tgα tgβ mivel sα sβ 0, ezért egyszerősítsük a törtet ezzel
6. tg tg tgα tgβm1 tgβ± tgα def s az eddigiek miatt sα sβ m1 β tgα tgβm1 sβ sα ± tgβ± tgα β α; β; α±β k sα sβm β sβ± sα β mivel β 0, ezért egyszerősítsük a törtet ezzel Kétszeres szögek szögfüggvényei:.miatt 7. s ( α) s( α+α) sα sα s α α 1 α s α 1 a négyzetes összefüggésbıl. miatt 8. ( α) ( α+α) sα sα sα 5.miatt tgα tg α α + k, 1 tg α 9. ( ) tg( α+α) α + k 4 10. tg( α) tg( α+α) 5. miatt tg α 1 tgα α k Hármszrs szögek szögfüggvényei: 11. ( α ) s( α+α).miatt 7., 8. miatt s sα sα α ( s α 1) négyzetes öf sα sα s α sα sα 4s α sα 1. ( α ) ( α+α).miatt ( 1 s α) s α sα sα+ s α 7., 8. miatt α sα+ sα ( 1 α) négyzetes öf sα sα+ ( 1 α) + α α+ α 4 α
lkalmazásk: - Matematika: - vektrk skaláris és vektriális szrzata - vektrk felbntása (merıleges) kmpnensekre - terület és térfgatképletek - a hármszög ldalainak, szögeinek kiszámítása (kszinusz- ill. szinusztétel) - trignmetrikus egyenletek, egyenlıtlenségek megldása: addíiós tételek segítségével vagy grafikusan a függvények segítségével - fáziss eltlás:, B R tetszıleges szám esetén x+ B s x + B + B x+ B + B s x B mivel 1 +, + B + B ezért létezik ε, hgy + B sε és B + B ( sε x+ ε sx) + B ( +ε) + B x ε - Egyéb: - erık összegzése kmpnensekre való bntással - harmnikus rezgımzgás kitérés-idı függvénye - transzverzális hullámk - váltakzó feszültség - Shnellius-Desartes törvény: fénytörés - elektrmágneses rezgések és hullámk - szív szinuszritmusa, hazugságvizsgálat