2. tétel Számhalmazo (a valós számo halmaza és részhalmazai), oszthatósággal apcsolatos problémá, számredszere. SZÁMHALMAZOK Halmazábrá ábrázolom a valós számo halmazát és részhalmazait (éháy példával). (C) pl. ( ) (Komplex számo: C) Valós számo halmaza: R (pl.: ; 2) Racioális számo halmaza: Q (pl.: 2 ; 3 ) Egész számo halmaza: Z (pl.: -; 3) Természetes számo halmaza: N (pl.: 0; ; 2; 3) R pl. 3; 2; π Q pl. /4; /2 Z pl. ;2;0;-; N pl. 0 Z + pl.2 A számörö egymás bővítései. Az egyes halmazo tulajdoságait a számfogalom ialaulásáa sorredjébe ismertetjü (a halmazábrá belülről ifelé). Z + Természetes számo: N= 0; ; 2 o Általába a természetes számoat haszálju dolgo megszámlálására. o A természetes számo halmaza zárt az összeadásra és a szorzásra (azaz 2 halmazbeli összeműveléseor halmazbelit apu eredméyül), és em zárt a ivoásra és az osztásra. o Érdeesség: valahol a 0-t em teiti természetes száma, törtéelmileg is soal ésőbb ezdté el haszáli, mit pl. a egatív számoat. Az arab számírással ellett bevezeti a 0-t, mit számot. Tágabb halmazoat a permaecia-elve megfelelőe úgy vezetü be, hogy az addig megismert műveleti azoosságo érvéybe maradjaa, a művelete ugyaúgy műödjee, mit a orábba meglevő halmazoba (legfeljebb apu eredméyt arra, amit eddig em értelmeztü.) Egész számo: (Z= -3; -2; -; 0; ; 2 ). oldal
o a 0, a pozitív egész számo és a pozitív egésze elletettjei (elletett: a egatív egésze azért jötte létre, hogy a ivoást midig tudjá értelmezi, gyaorlati motivációt jeletett az adósságo ezelése) pl. 2-7=??? 7-2=5 (7-2)+(2-7)=7-2+2-7=0 2-7 így olya szám, amit az 5-höz hozzáadva 0-t apu. 5+(-5)=0 Ezzel megaptu a pozitív számo elletettjeit. o Az egész számo halmaza zárt összeadásra, ivoásra, szorzásra, de em zárt az osztásra. Racioális számo: (Q=; 2 ; 3.) o Def.: egy szám racioális, ha felírható ét egész szám háyadosaét, vagyis q =, ; Z, 0.Természetese va -a leegyszerűsített alaja, ahol és relatív príme. o Egy racioális számot megadhatu özöséges tört és tizedes tört alaba, lehete véges vagy végtele szaaszos tizedes törte. o Az elletetthez hasolóa itt megjelei a recipro fogalma. Def: recipro: az a szám, amit az eredetivel megszorozva -rt apu eredméyül.a 0-t ivéve mide száma va reciproa a = a o A racioális számo halmaza zárt az osztásra is, aa elleére, hogy a 0-val való osztást em értelmezzü. (Tehát az összes alapműveletre zárt.) Nem lehet úgy bővítei, hogy a 0-val való osztás értelmezett legye: Tegyü fel, hogy értelmezzü. 7: 0 = x 0 x = 7 Így viszot elletmodáshoz jutu, hisze 0 x = 0, megállapodás szerit. A 0- val való osztást tehát egyáltalá em lehet értelmezi, em pedig az a probléma, hogy a számörből vezete i. o A racioális számo halmazá az eddigi műveleti tulajdoságo érvéybe marada. o A racioális számo halmaza zárt az összeadásra, ivoásra, szorzásra, osztásra, de em zárt a gyövoásra, szögfüggvéyere, stb. Valós számo: (R) o Megjelee az irracioális számo (végtele em szaaszos tizedes törte) o A Pitagorasz-tétel ismert volt a görögöél. Keresté azt a számot, amit égyzetre emelve 2-t apa. A moda szerit vízbe fojtottá azt, ai bebizoyította, hogy ez irracioális szám. Vaa dolgo, amelyeet em lehet racioális számmal leíri. Tétel: 2 irracioális Bizoyítás: idiret módo Tegyü fel, hogy 2 Q. (Nem lehet egész, mert < 2 < 2.) Így felírható ét egész szám háyadosaét. 2 = ; Z 0, és relatív príme 2 = / 2 (evivales, mert midét oldal pozitív) 2 = 2 2 /2 >0 2 2 = 2 Tehát a bal oldal páros. Ez csa aor lehet, ha is páros (mert a 2 prímszám): =2ll Z Behelyettesítve: 2 2 = (2l) 2 2 2 = 4l 2 2 = 2l 2 2. oldal
A feti godolatmeetet felhaszála is páros, de ez elletmodás, mert és relatív príme (; )=. Eze szerit az idiret feltevés hamis, azaz 2 Q, tehát irracioális. - tól máshogy: 2 2 = 2 A 2 2 prímtéyezős felbotásába a 2-es prímtéyező a páratlaadi hatváyo lesz, míg az 2 prímtéyezős felbotásába mide prím a párosadi hatváyo lesz. Ez elletmod a számelmélet alaptételée. (Számelmélet alaptétele: mide -él agyobb pozitív egész szám sorredtől elteitve egyértelműe botható fel prímtéyező szorzatára.) elletmodás, tehát a tétel igaz. o Egy pozitív egész szám gyöe vagy egész szám, vagy irracioális. o Egy irracioális szám tetszőlegese özelíthető racioális számoal. o Nem megszámlálhatóa végtele so irracioális szám va. o Nevezetes irracioális számo pl.: ; e [ + sorozat határértée] Komplex számo: C o A valós számo halmaza zárt a égy alapműveletre, de továbbra sem zárt teljese a gyövoásra (egatív számoal). A ivezetés utá apju a omplex számoat. (Ez a iterjesztés is permaes). A valós számo szemléltethetőe, és megfeleltethetőe egy számegyees potjaia.a racioális számo a számegyeese végteleül sűrű helyezede el, de mégsem tölti i a számegyeest => az irracioális számo potszerűe helyezede el özöttü. => A valós számo tölti i a számegyeest. (Így érthetjü meg, hogy valamie azért mégis csa lezárása a valós számo bevezetése.) o Szeresztésü (velü egyelő hosszúságú szaasz szeresztése): em mide valós szám szereszthető darab racioális számo szeresztése: o Pitagorasz-tétel 2 3 egész számo égyzetgyöe 4 (=2) o De a szeresztésére ics általáos módszer, sőt em is biztos, hogy szereszthető. 3 pl.: 2: evezetes probléma a szeresztésre (déloszi probléma) Tétel:rac± rac = rac rac± irrac = irrac irrac±irrac = rac*rac = rac rac*irrac = irrac irrac*irrac = rac/rac = rac rac/irrac = irrac irrac/irrac = Pl.: Tétel: 2 + 3 irrac Biz:Idiret bizoyítu. o Tegyü fel, hogy 2 + 3 racioális. Eor: 2 + 3 = q, q Q. o 2 + 2 2 3 + 3 = q 2 em tudju, lehet rac és irrac is 3. oldal
o 2 6 + 5 = q 2 o 6 = q 2 5 ez egy racioális szám 6 Q de 6 irrac! 2 o elletmodás! 2 + 3irrac. SZÁMRENDSZEREK Az óorba a számítás em helyiértée szerit törtét, haem például lerajzolta ayi szimbólumot, ameyi meyiséget jelöli aarta. A római számredszer vegyes számredszer, em teithető helyiértées számredszere. A em helyiértées számredszereel ehéz számoli. Mezopotámiába ezdte el először helyiérté szerit számoli (ez em 0-es számredszer volt) itt ésőbb everedett a 60-as és a 0-es (ebbe mérjü ma is a fooat). A mai számírás az arabo özvetítésével terjedt el. A 0-es számredszere ívül ma a 2-est haszáljá a leggyarabba (az iformatiába, éha a 8-as és a 6-os is megjelei). Helyiértées számredszeres számírás A számredszer alapszáma legye a Z +. Ebbe a számredszerbe a db szimbólum (számjegy) haszálható (0-tól a--ig). A számo jelölésére a a 3 a 2 a a 0 = a 0 a 0 + a a + a 2 a 2 + + a a 0 a i a, a i Z + Előye, hogy öyű vele számoli. Véges so szimbólummal bármeora számot leírhato. Számredszeres helyiértées számítás eseté öye látható bizoyos oszthatósági szabályo. A számredszer helyiértées írásmód,illetve a számredszer alapszáma meghatározza a számredszerbeli oszthatósági szabályoat. Az oszthatósági szabályoa ét agy típusa va: végződéssel apcsolatos szabályo számjegye összegére voatozó szabályo. Végződéssel apcsolatos oszthatósági szabályo Adott számredszerbeli szám utolsó számjegye az alapszámmal való oszthatóságot illetve az alapszámmal való osztás maradéát jelöli. Az alapszám összes osztójára igaz, hogy az utoló számjegy döti el az oszthatóságot illetve at osztási maradéot. Az alapszám. hatváyára vagy az alapszám osztójáa. hatváyára az utolsó db számjegyből álló szám döti el az oszthatóságot illetve az osztási maradéot is. pl.: 0-esbe: az utolsó számjegy döti el a 2-vel, 5-tel, 0-zel való oszthatóságot és maradéot az utolsó ét számjegy a 00-zal, 25-tel, 4-gyel stb. 2. Számjegye összegére voatozó oszthatósági szabályo a alapú számredszerbe egy szám számjegyeie összege a--gyel osztva ugyaayi maradéot ad, mit az eredeti szám. a--e mide osztójára igaz ez. orét példa: 0-es számredszerbe a 9-cel (3-mal) való oszhatóság 562 = 2 + 6 0 + 5 0 2 = 2 + 6 (9 + ) + 5 (99 + ) = 2 + 6 9 + 6 + 5 99 + 5 osztható 9-cel Összetett számoal való oszthatóságot öyű a halmazo yelvé megfogalmazi (prímszámoal való oszthatósághoz vezet). Az ilye feladatoat soszor logiai szita segítségével öyű megoldai. 4. oldal
Alalmazáso Biáris számredszer az iformatiába, eletroiába, emellett megjelei a 8-as és a 6-os számredszer is. o Paritáselleőrző bit: 0-t vagy -et ír az adat végére (páros vagy páratla-e), így lehet elleőrizi, hogy jegy em romlott-e el másolás özbe o A memóriá méretét is általába 2 hatváyaiba adjá meg. Római számoal jelöljü soszor a hóapoat. So alalmazás va, amiért be ell vezeti új számhalmazoat (pl.: egatív számo adósság ma baszámlá egatív összeg) Irracioális számo a Pitagorasz-tétel is mutatja, hogy bizoyos fiziailag létező szaaszo hosszát csa irracioális számoal tudju jellemezi o vagy pl.: örél o e a populáció öveedéséél haszos 5. oldal