ALGEBRA MÁSODFOKÚ POLINOMOK. Határozzuk meg az + p + q = 0 egyelet megoldásait, ha tudjuk, hogy egész számok, továbbá p + q = 98.. Határozzuk meg az összes olya pozitív egész p és q számot, amelyre az pq + p + q = 0 egyelet megoldásai egész számok leszek.. A p és q olya egész számok, hogy mide egész számra + p + q > 0. Mutassuk meg, hogy akkor mide valós -re is teljesül az egyelőtleség. 4. Az egész együtthatós + a + b és + c + d másodfokú poliomokak va olya közös gyöke a valós számok körébe, amely em egész szám. Igazoljuk, hogy a = c és b = d. 5. Az + q = 0 egyelet valós megoldásai és. Tudjuk, hogy Határozzuk meg q értékét. 5 5 + = 59. 6.* Határozzuk meg a legkisebb olya pozitív egész a számot, amelyre igaz, hogy az egész együtthatós f ( ) = a + b + c másodfokú poliomak létezik két külöböző valós gyöke a ] 0;[ itervallumba. 7. Az f ( ) = a + b + c másodfokú poliom olya, hogy az f ( ) = egyeletek icse valós megoldása. Lehet-e valós megoldása az egyeletek? f ( f ( f ( ))) = 8.* Az a, b, c adott valós számok olyaok, hogy eseté a + b + c. Igazoljuk, hogy akkor eseté c b a + +.
9.* Határozzuk meg az összes olya a és b valós számot, melyekre teljesül, hogy mide 0 eseté 0. Adott az f f ( ) = ( ) 0 a b. 8 f ( ) = + a + b másodfokú poliom, amelyről tudjuk, hogy az egyeletek égy külöböző valós megoldása va, melyek közül kettő b. 4 összege. Mutassuk meg, hogy. Dötsük el, hogy racioális szám-e: HARMADFOKÚ POLINOMOK a) + 5 + 5, b) + +.. a) Igazoljuk, hogy az = 0 egyeletek va -él agyobb valós megoldása. b) Ezt a valós megoldást -val jelölve adjuk meg a 4 + + 4 + kifejezés számértékét..* Oldjuk meg a valós számok körébe: a) + + =, b) + = 0. 4. A párokét külöböző, y, z számokra teljesül, hogy = y y = z z. Határozzuk meg + + y z értékét!
5.* Az és y olya valós számok, hogy + 5 =, y y y + 5 = 5. Határozzuk meg + y értékét! 6.* Tudjuk, hogy a, b és c az Igazoljuk, hogy akkor + poliom valós gyökei úgy, hogy a < b < c. b a c b a c = = =. 7. f = a + b + c + d poliom együtthatói egész számok, három valós gyöke Az ( ) va, továbbá ad páratla és bc páros. Igazoljuk, hogy a gyökök között va irracioális szám. 8.** a) Jelölje a p( ) = + poliom legagyobb valós gyökét. 000 Igazoljuk, hogy tizedes tört alakjába a tizedesvessző utá több, mit 00 darab 9-es számjegy szerepel. b) Jelölje a p( ) = + poliom legagyobb valós gyökét. Igazoljuk, hogy létezik olya pozitív egész szám, amelyre -ek egy pozitív 008 egész számtól vett eltérése kisebb, mit 0. 9. Oldjuk meg a valós számok körébe: NEGYEDFOKÚ POLINOMOK a) 4 4 4 = 0, b) + 8 7 = 0. 0. Oldjuk meg a valós számok körébe: a) 4 0 8 5 = 4 + 0, b) 4 + 5 6 = 0.. Va-e valós gyöke a p( ) = + 4 poliomak?
4. Tudjuk, hogy az a b + + poliomak, ahol a és b adott valós számok, két külöböző 4 + a + b a + valós gyöke va. Mutassuk meg, hogy akkor az ( ) poliomak 4 külöböző valós gyöke va..* Igazoljuk, hogyha az a ( c b) + ( c ) = 0 + d egyeletek va -él agyobb valós megoldása, akkor az a 4 + b + c + d + e = 0 egyeletek is va legalább egy valós megoldása, ha a, b, c, d és e valós számokat jelölek. POLINOMOK 4. Határozzuk meg az poliom alakjába. 8 illetve + + kifejezés 7 5 7 tagok együtthatóit az ( ) 0 5. k k Tudjuk, hogy -ek az a poliomja osztója az a poliomak, ahol a adott valós szám, továbbá k és pozitív egész számok. Igazoljuk, hogy k az osztója. 6. Határozzuk meg azokat az a és b egész számokat, amelyekre az osztható az poliommal. a + b + poliom 7 6 7. Határozzuk meg az összes olya k értéket, amelyre + y + z osztója lesz az + y + z + kyz poliomak. 8. Létezik-e olya poliom, amely mide egész helye egész értéket vesz fel és főegyütthatója? 9. Va-e olya p() egész együtthatós poliom, amelyre p() = 4, p() = 7, valamit p() -ek va egész gyöke? 0. A p() egész együtthatós poliom olya, hogy létezik égy, párokét külöböző egész szám: a, b, c és d úgy, hogy p( a) = p( b) = p( c) = p( d) = 5. Lehetséges-e, hogy valamely egész szám eseté p( ) = 8?
5. Az a, b, c párokét külöböző pozitív egész számok, a P( ) poliom. Lehetséges-e, hogy egyszerre teljesüljö egész együtthatós ( ), ( ), ( ) P a = b P b = c P c = a?. Az egész együtthatós 4 p() = a + b + c + d + e poliomról tudjuk, hogy mide egész számra p() akkor a, b, c, d és e is osztható 7-tel. osztható 7-tel. Igazoljuk, hogy. Létezik-e olya egész együtthatós, legalább elsőfokú p() poliom, hogy bármely k pozitív egészre a p(), p(),..., () p k számok midegyike prímszám? 4.* Bizoyítsuk be, hogy tetszőleges, legalább másodfokú, egész együtthatós p() poliomhoz található olya egész számokból álló, em álladó számtai sorozat, melyek icse p(k) alakú tagja, ahol k egész szám. 5. Írjuk fel olya egész együtthatós poliomot, amelyek egyik gyöke a) +, b) +. 6.** Igazoljuk, hogy található olya egész együtthatós poliom, amely 4 4 a) egyedfokú és gyöke a + +, 5 5 b) ötödfokú és gyöke az + +, c) -ed fokú és gyöke az + +, ahol, egész. 7.* p = a +... + a + a -ed fokú poliom együtthatói em egatív valós számok, A ( ) 0 továbbá p ( 4) =, p ( 6) = 8 és ( ) p 8 = 4. Határozzuk meg a poliomot! 8.* 4 Az a és b számok gyökei az + poliomak. Igazoljuk, hogy akkor ab gyöke 6 4 lesz az + + poliomak.
6 9. Legye S k k k k = + y + z, ahol k természetes számot jelöl, valamit p = + y + z, q = y + yz + z és r = yz. Igazoljuk, hogy akkor mide k egész számra: 40.** Legye ( ) 6 5 S ps qs rs. k = k k + k p =. Jelölje a, b, c, d az gyökeit. Határozzuk meg p ( a) + p ( b) + p ( c) + p ( d ) értékét! (Newto képlete) 4 poliom 4. Jelöljö az ( ) f -ed fokú egész együtthatós poliomot, ahol. Tudjuk, hogy a poliomak darab valós gyöke va a ] 0;[ itervallumba úgy, hogy em mide gyök azoos. Jelölje a a poliom főegyütthatóját. Igazoljuk, hogy a +. 4.** f = + a +... + a + poliomot, ahol az együtthatók em Tekitsük az ( ) egatív számok, továbbá tudjuk, hogy a poliomak darab valós gyöke va. Igazoljuk a következőket: a) f ; ( ) ( ) ( ) b) f +, ha 0 ; c) ak, ha k =,,...,. k 4. Jelölje,,..., az + +... + + poliom komple gyökeit. Igazoljuk, hogy + +... + =. 44. k Legye P( ) olya -ed fokú poliom, amelyre teljesül, hogy P ( k ) = ahol k + k = 0,,...,. Határozzuk meg P( + ) értékét, ha a) = 009, b) = 00. 45.* Létezek-e olya, 0-tól külöböző a, b, c valós számok, hogy bármely > egész p poliom, amelyre p ( ) = +... + a + b + c, szám eseté létezik olya ( ) továbbá a poliomak darab (em feltétleül külöböző) egész gyöke va?
7 46.* Határozzuk meg az összes olya pozitív egész számot, melyre igaz, hogy va olya ± ± ±... ± ± alakú poliom, melyek mide gyöke valós szám. 47.* P poliomsorozat a következő módo va adva: A ( ) ( ) = 0, ( ) = és P ( ) = P ( ) + ( ) P ( ) P P 0. Határozzuk meg a sorozat -edik tagjáak valós gyökeit 48. Létezik-e olya pozitív egész, hogy si( ) felírható a si eseté. poliomjakét? 49.** A P( ) valós együtthatós, legalább elsőfokú poliom olya, hogy helyettesítési értéke bármely valós szám eseté em egatív. Igazoljuk, hogy létezik olya Q( ) és R( ) valós együtthatós poliom, hogy mide valós eseté. ( ) = ( ) + ( ) P Q R 50.* Létezik-e olya valós együtthatós P(, y) a) P(, y ) > 0 bármely valós és y számokra? b) bármely c > 0 eseté va olya valós és y, hogy P( y) kétváltozós poliom, hogy, = c? 5. Oldjuk meg a valós számok halmazá: EGYENLETEK, EGYENLETRENDSZEREK 5. Oldjuk meg a valós számok körébe: + + + = +. ( )( )( )( ) + 4 + 6 + + =.
8 5. Oldjuk meg a valós számok halmazá: a) = ( ) +, b) 6 = ( + ) + 54.* Oldjuk meg az alábbi egyeletet a pozitív számok halmazá:. 4 4 + + =. 55. Oldjuk meg a valós számok halmazá a következő egyeletet: =. ( + ) + y + ( y ) 56.* Oldjuk meg a pozitív számok halmazá az alábbi egyeletet: ( + y + z) = + y + z +. 57. Oldjuk meg az alábbi egyeletet a valós számok halmazá: y + y = y. 58.* Oldjuk meg a valós számok körébe, ahol a valós paramétert jelöl: a a + =. 59. Oldjuk meg a következő egyeletet a pozitív valós számok körébe: ( ) = log + 60. Oldjuk meg a pozitív valós számok körébe: ( )( )( ) ( )( )( ) 8 5 7 6 4 + 9 4 8 5 = 05. 6.* Oldjuk meg a valós számok körébe: si ( 4 8)( ) + ( 4) si = 0.
9 6. Oldjuk meg a valós számok halmazá: 7 6. Oldjuk meg a valós számok körébe: 7 7 + 6 = 6. = + +. 64.* Oldjuk meg a pozitív valós számok körébe: + + 5 = + 5 +. 5 5 65. Oldjuk meg az alábbi egyeletredszert a valós számok körébe: ( c + d + e) ( d + e + a) ( e + a + b) ( ) a + b + c ( b + c + d ) 5 5 5 5 5 = a, = b, = c, = d, = e. 66.* Oldjuk meg a következő egyeletredszert a valós számok halmazá: 5 + 5y + y + y =, = 4. 67.* Az a és b valós számokra Határozzuk meg a + b értékét! a ab = b 8, a b =. 68.* Adjuk meg azokat az a, b, c számokat, amelyekre az + a + b + c = 0 egyelet megoldásai redre egyelők az + = 0 egyelet három megoldásáak az ötödik hatváyával.
0 69.* Legyeek az + = 0 egyelet valós megoldásai a, b és c. Meyi a b + b c + c a értéke? 70.* Oldjuk meg a következő egyeletredszert a valós számok halmazá: + y + z = 0, + y + z = 8, 7 7 7 + y + z = 058. 7.* Oldjuk meg a következő egyeletredszert a valós számok halmazá: a + b = 8, ab + c + d =, ad + bc = 8, cd =. FÜGGVÉNYEGYENLETEK 7. Határozzuk meg az összes olya f : függvéyt, melyekre teljesül, hogy mide -re f + + f 4 = + 7. 7. Határozzuk meg az összes olya : ( ) ( ) f \{ } mide, az értelmezési tartomáyba lévő számra 0; függvéyt, amelyekre teljesül, hogy f ( ) + f =. 74. Az f : függvéy olya, hogy mide -re ( f ( )) + f ( ) = f. Oldjuk meg az f ( f ( ) ) = 0 egyeletet! 75. Létezik-e olya f : és g : függvéy, hogy mide -re f ( g( ) ) = és ( f ( ) ) g =?
76.* Az f : függvéy olya, hogy bármely, y racioális számok eseté Adjuk meg az összes ilye f függvéyt! f ( + y) = f ()() + 80 f y. + y 77.* Igazoljuk, hogy ics olya + + f : függvéy, amelyre teljesül, hogy bármely, y pozitív számokra + y f f y = f f + f y. ( ) ( ) ( ) ( ( ) ( )) 78. Határozzuk meg az összes olya f : függvéyt, amelyre teljesül, hogy bármely, y eseté ( + ( )) = + ( ). f f y y f 79. Határozzuk meg azokat az értékeket, melyekre létezik olya f : külöböző függvéy, hogy f + y = f + f y ( ( )) ( ) ( )., kostastól 80.* Létezik-e olya f : korlátos függvéy, hogy f () > 0, és bármely valós, y számok eseté f + y f + f y + f y? ( ) ( ) ( ) ( ) 8. Létezik-e olya f : függvéy, hogy mide egész számra ( ( )) = +? f f 8.** Létezik-e olya, f : függvéy, hogy mide valós számra ( ) f f () =? 8.** Határozzuk meg az összes olya + + f : függvéyt, amelyre teljesül, hogy mide > 0 számra f f + f = 5. ( ( )) ( )
84.* Határozzuk meg az összes olya f : függvéyt, amelyre bármely, y valós számok eseté. ( + ( )) = ( ) + ( ) f y f f y f 85. Határozzuk meg az összes olya f : függvéyt, amelyre teljesül, hogy bármely és y irracioális számok eseté. f ( y) = f ( + y) 86.* Határozzuk meg az összes olya f : függvéyt, amelyre teljesül, hogy bármely valós eseté f f f + = f +. ( ) ( ) = és ( ) ( ) EUKLIDESZI SZERKESZTHETŐSÉG 87. Adott az egységyi hosszú szakasz a végpotjaival. Igazoljuk, hogy azok a szakaszok, amelyek hossza a H = { a + b c : a, b, c, c > 0, c } halmaz eleme, mid szerkeszthetők euklideszi módo. (A H elemeit kvadratikus irracioálisokak hívják.) 88. Igazoljuk, hogy a H halmazbeli együtthatókkal felírt másodfokú poliomok gyökei szerkeszthetők az egységszakasz birtokába euklideszi módo. 89. Igazoljuk, hogy egy pot potosa akkor szerkeszthető euklideszi módo, ha koordiátái megkaphatók a racioális számokból az alapműveletek és a égyzetgyökvoás véges sokszori alkalmazásával. 90.** a) Igazoljuk, hogyha az f racioális együtthatós harmadfokú poliomak az (,,, ) a + b c a b c c szám gyöke, akkor az a b c szám is gyöke, valamit a harmadik gyöke racioális szám. b) Igazoljuk, hogyha az f racioális együtthatós harmadfokú poliomak ics racioális gyöke, akkor ics a + b c ( a, b, c, c ) alakú gyöke sem. c) Igazoljuk, hogyha egy racioális együtthatós harmadfokú poliomak ics racioális gyöke, akkor egyik gyöke sem szerkeszthető euklideszi módo.
9. Igazoljuk, hogy a déloszi probléma (kockakettőzés) em oldható meg euklideszi módo. (Tehát, ha adott egy egységyi élű kocka, akkor em tudjuk egy kétszer akkora térfogatú kocka élhosszúságát megszerkesztei.) 9. a) Igazoljuk, hogy a 0 -os szög em szerkeszthető euklideszi módo. (Így ics olya euklideszi szerkesztés, amely bármely adott szöget harmadol.) b) Igazoljuk, hogy szabályos kilecszög em szerkeszthető euklideszi módo. 9. Felhaszálva, hogy a 0 -os szöget em lehet megszerkesztei, adjuk választ arra a kérdésre, hogy milye pozitív egészekre szerkeszthető -os szög? 94.** Igazoljuk, hogy szabályos hétszög em szerkeszthető euklideszi módo. 95.* Tekitsük azt az egyelő szárú háromszöget, melyek alaphoz tartozó szögfelezője egységyi, a szárakhoz tartozó szögfelezők hossza pedig 4 egység. Bizoyítsuk be, hogy ez a háromszög em szerkeszthető meg euklideszi módo. (Így általába em szerkeszthető meg euklideszi módo a háromszög a három belső szögfelező szakasz birtokába.) REKURZÍV SOROZATOK 96. Legye az ( a ) sorozat a következő: a = 799, a = 88 és ahol pozitív egész. Mivel egyelő a 0? a a + + + =, a 97.** Tekitsük az a a =, a =, a = a 0 + rekurzióval meghatározott ( a ) sorozatot, ahol pozitív egész. Bizoyítsuk be, hogy létezik olya amelyre 98. Az ( ) a sorozat olya, hogy 0, Határozzuk meg i= 0 ai zárt alakját! a > 0,99999. a = továbbá ( a )( a ) 6 + = 8, ahol = 0,,,.... +
4 99. Az ( ) a sorozat olya, hogy a 0 =, továbbá 7a 45a 6, + a + = ahol = 0,,,.... Igazoljuk, hogy a) a pozitív egész mide -re, b) a a + teljes égyzet mide -re. 00.* Legye a = és a = a + +, s ahol s = a + a +... + a. Korlátos-e az a sorozat? 0.* a Az ( ) sorozat tagjaira: a = a a +, ahol = 0,,,.... + Határozzuk meg az összes olya a 0 racioális számot, amelyhez létezik égy, párokét külöböző k, m, p és q ide úgy, hogy aq a. p = am ak 0. Igazoljuk, hogy cos0 irracioális szám. TRIGONOMETRIA 0. Háy pozitív szám va az alábbi sorozatba: si, si0, si00, si000,...? 04.** Igazoljuk, hogy + + + = 40. cos 0 cos 40 cos 60 cos 80 05.** Igazoljuk, hogyha pozitív egész, akkor + si si... si =. + + +
5 06. Adott 8 valós szám: a, b, c, d, e, f, g, h. Tekitsük a belőlük képzett ac + bd, ae + bf, ag + bh, ce + df, cg + dh, eg + fh számokat. Igazoljuk, hogy a számok között biztosa va olya, amely em egatív. 07.* Az valós számra teljesül, hogy 0 < <. Igazoljuk, hogy tetszőleges pozitív egészre a si si 5 si ( ) si + + +... + 5 összeg értéke pozitív. 08.* Igazoljuk, hogy létezik olya q racioális szám, hogy si si... si 89 si 90 = q 0. VEGYES FELADATOK 09. Oldjuk meg a valós számok körébe, ha { a} 0. Oldjuk meg a valós számok körébe az {( ) } az a valós szám tört részét jelöli: + =. egyeletet. [ ] { } = 007. Tudjuk, hogy a + b + c = 0. Igazoljuk, hogy ( a 5 + b 5 + c 5 ) = abc ( a + b + c ) 5.