EL 1 Valós függvények tulajdonságai és határérték-számítása Az ebben a részben szereplő függvények értelmezési tartománya legyen R egy részhalmaza.
EL 2 Definíció: zérushely Az f:d R függvénynek zérushelye van az x o D helyen, ha f(x o ) = 0. Megjegyzés: A matematikai problémák jelentős része visszavezethető függvények zérushelyeinek megkeresésére.
EL 3 Definíció: korlátosság Az f:d R függvény felülről [alulról] korlátos, ha az értékkészlete (mint R részhalmaza) felülről [alulról] korlátos. Értelemszerűen definiálható a pontos felső korlát (sup) és a pontos alsó korlát (inf) fogalma is.
EL 4 Definíció: monotonitás Az f:d R függvény ha a x 1,x 2 D, x 1 <x 2 monoton növekvő monoton csökkenő szigorúan monoton növekvő szigorúan monoton csökkenő f(x 1 ) < f(x 2 ). >
EL 5 Példák: Sebességfüggvény Fogyasztási függvény
EL 6 Definíció: szélsőérték Az f:d R függvénynek maximuma [minimuma] van az x 0 D helyen, ha f(x 0 ) az f értékkészletének legnagyobb [legkisebb] eleme.
EL 7 Definíció: helyi (lokális) szélsőérték Az f:d R függvénynek helyi maximuma [minimuma] van az x 0 D helyen, ha x 0 -nak van olyan U környezete, melyben az f függvénynek maximuma [minimuma] van az x 0 helyen.
EL 8 Példa: Sebességfüggvény Megjegyzés: A helyi szélsőérték-helyek a függvény különböző monotonitású szakaszait választják el egymástól
EL 9 Definíció: konvexitás Az f:i R függvény konvex [konkáv], ha az I intervallum bármely két u<v eleme esetén az (u,f(u)) és a (v,f(v)) pontokat összekötő szakasz (húr) az f függvény felett [alatt] halad.
EL 10 Definíció: inflexió Az f:d R függvénynek az x D helyen az inflexiós pontja van, ha van az x-nek olyan ]x-ε,x+ε[ környezete, hogy az f függvénynek az ]x-ε,x] intervallumon konvex [konkáv], míg az [x,x+ε[ intervallumon konkáv [konvex].
EL 11 Példa: Fogyasztási függvény A fogyasztási függvény konkáv. Ez azt fejezi ki, hogy a jövedelem növekedése esetén a fogyasztási kiadások egyre kisebb mértékben növekednek, azaz a növekedés üteme csökken.
Definíció: paritás EL 12 Legyen a D R halmaz szimmetrikus az origóra. Az f:d R függvény páros [páratlan], ha bármely x D esetén f(-x) = f(x) [ f(-x) = -f(x) ]. Megjegyzés: A páros függvények grafikonja tengelyesen szimmetrikus a függőleges tengelyre, a páratlan függvények grafikonja középpontosan szimmetrikus az origóra.
Definíció: periódus EL 13 Az f:r R függvényt periodikusnak nevezzük, ha van olyan pozitív p szám, melyre teljesül, hogy bármely x R esetén f(x+p)=f(x). Ha az f függvény periodikus, és a definícióban meghatározott tulajdonságú p értékek halmazának van legkisebb eleme, akkor ezt a számot az f függvény periódusának nevezzük.
(Pontonkénti) műveletek R R függvényekkel Definíció: összeadás EL 14 Az f:d R és a g:d R függvények összege az az (f+g):d R függvény, melyre: ( f + g )( x ) = f ( x ) + g ( x )
EL 15 Definíciók: kivonás, szorzás, osztás ( f g )( x ) = f ( x ) g ( x ) ( f g )( x ) = f ( x ) g ( x ) ( f / g )( x ) = f ( x ) / g ( x ) (ha 0 R g )
EL 16 Definíció: folytonosság Az f:[a,b] R f függvény folytonos az x 0 [a,b] helyen, ha bármely (x n ):N D f, x n x 0 sorozat esetén az f(x n ):N R f sorozatra fennáll, hogy Megjegyzés: f ( x n ) f ( x 0 ). A folytonosság pontbeli tulajdonság.
EL 17 Példa: Az f(x)=x 2 függvény folytonos az x 0 =3 helyen, mert ha akkor x n 3, f(x n ) = (x n ) 2 9 = f(3)
EL 18 Definíció: jobb oldali folytonosság Az f:]a,b[ R függvény jobbról folytonos az x 0 ]a,b[ helyen, ha az f függvény [x 0,b[ intervallumra való leszűkítése folytonos az x 0 helyen.
EL 19 Definíció: bal oldali folytonosság Az f:]a,b[ R függvény balról folytonos az x 0 ]a,b[ helyen, ha az f függvény ]a,x 0 ] intervallumra való leszűkítése folytonos az x 0 helyen.
EL 20 Példa: Ez a függvény mindenhol folytonos balról. Tétel: Az f:]a,b[ R függvény folytonos az x 0 ]a,b[ helyen f balról és jobbról is folytonos az x 0 helyen.
EL 21 Definíció: Az f:i R függvény folytonos az I intervallumon, ha folytonos az I minden pontjában.
EL 22 Folytonos függvények néhány tulajdonsága Tétel: Ha az f:[a,b] R függvény folytonos az [a,b] zárt intervallumon, akkor az [a,b] intervallumon van maximuma és van minimuma
EL 23 Megjegyzés: Nyílt intervallumon folytonos függvény nem feltétlenül korlátos, illetve ha korlátos, akkor sincs feltétlenül maximuma, illetve minimuma.
EL 24 Tétel: Ha az f:[a,b] R függvény folytonos [a,b]-n, akkor az értékkészlet bármely c,d R f, c<d elemei esetén a [c,d] R f. Vagyis: zárt intervallumon folytonos függvény bármely két értéke közötti értékek mindegyikét felveszi.
EL 25 Következmény: Ha az f:[a,b] R függvény folytonos az [a,b] intervallumon, továbbá az f(a) és az f(b) függvényértékek előjele különböző, akkor az f függvénynek van zérushelye az ]a,b[ intervallumban.
Függvények határértéke EL 26 Megjegyzés: MENNYI A R - + a R??? HOL -??? +??? Míg a számsorozatok esetén a határérték csak egyféleképpen érthető (n ), addig egy függvény határértéke az értelmezési tartomány bármely torlódási pontjában megkérdezhető.
EL 27 Definíció: határérték valós helyen ( végesben ) Legyen W R {-, + }. Az f:d R függvény D f értelmezési tartományának a torlódási pontjában az f függvény határértéke W, ha bármely (x n ) D f,x n a sorozat esetén, melyre fennáll, hogy x n a f(x n ) W Jelölés: limf (x) = x a W
EL 28 Példa: lim x 0 1 x 2 = +
EL 29 Példa: limx 2 x 3 = 9
Példa: lim x 3 x 3x x 3 3 2 = lim x 3 x 2 (x 3) x 3 = lim x x 3 2 EL 30 = 9 hézagpont
EL 31 Definíció: bal oldali határérték Legyen W R {-, + }. Az f:d R függvény D f értelmezési tartományának a torlódási pontjában az f függvény bal oldali határértéke W, ha bármely (x n ) D f, x n <a (n N) sorozat esetén, melyre fennáll, hogy x n a f(x n ) W Jelölés: lim f (x) = x a 0 W
EL 32 Példa: lim x 2 x 3 0 = 9
EL 33 Definíció: jobb oldali határérték Legyen W R {-, + }. Az f:d R függvény D f értelmezési tartományának a torlódási pontjában az f függvény jobb oldali határértéke W, ha bármely (x n ) D f, x n >a (n N) sorozat esetén, melyre fennáll, hogy x n a f(x n ) W Jelölés: lim f (x) = x a + 0 W
EL 34 Példa: lim x 2 x 3+ 0 = 9
EL 35 Példák: 1 1 lim = lim = + x 0 0 x x 0+ 0 x lim x 0 0 1 x 2 = + lim x 0+ 0 1 x 2 = + lim x 0 1 x 2 = +
EL 36 Példák: lim f (x) = 0 lim f (x) = x 0 0 x 2 0 4 /8 lim f (x) = x 0 + 0 2 lim f (x) = x 2 + 0 7 / 8
EL 37 Definíció: határérték + -ben Legyen W R {-, + }. Az f:]a,+ [ R függvénynek a + -beli határértéke W, ha bármely (x n ) ]a,+ [ sorozat esetén, melyre x n + fennáll, hogy f(x n ) W Jelölés: lim f (x) x + = W
EL 38 Példa: lim arctg x x + = π 2
EL 39 Példa: lim x x + 2 = +
EL 40 Definíció: határérték - -ben Legyen W R {-, + }. Az f:]-,b[ R függvény + -beli határértéke W, ha bármely (x n ) ]-,b[ sorozat esetén, melyre x n - fennáll, hogy f(x n ) W Jelölés: lim f (x) x = W
EL 41 Példa: lim e = 0 x x
EL 42 Tétel: határérték és a műveletek kapcsolata Ha a R az f és a g függvények értelmezési tartományának egyaránt torlódási pontja, továbbá limf (x) x a A,B,c R, akkor = lim(f x a A + limg(x) x b g)(x) = A + = B B lim(f x a g)(x) = A B limc f (x) x a = c A
EL 43 Ha még g(x) 0 (x D g ), és B 0 is fennáll, akkor lim a f (x) g x = A B
EL 44 Megjegyzés: Ha két (véges, vagy végtelen) határértékkel rendelkező függvény között műveletet végzünk, de nem teljesülnek az előző tétel feltételei, például azért, mert legalább az egyik függvény határértéke végtelen, vagy két 0 határértékű függvényt osztottunk el, akkor előfordulhat az is, hogy pusztán a határértékek alapján meg lehet állapítani az új függvény határértékét, de az is, hogy ez nem lehetséges (ha van egyáltalán határérték). Az utóbbi eseteket szokás határozatlan alakú határérték-feladatnak nevezni. A következő táblázatban? jelöli a határozatlan eseteket. A! jel arra utal, hogy előjelvizsgálattal a határérték megállapítható. A többi esetben a határérték szerepel.
lim f lim g lim f+g lim f-g lim g-f lim f g lim f/g lim g/f A>0 + + - + + 0 + A<0 + + - + - 0 - A>0 - - + - - 0 - A<0 - - + - + 0 + 0 + + - +? 0! 0 - - + -? 0! + + +?? +?? + -? + - -?? - - -?? +??
EL 46 További határozatlan formák limf (x) x a = 0 limg(x) Ha és akkor x a = 0 a lim x a f (x) g(x) határérték-feladat határozatlan.
Ha limf (x) x a = 0 és limg(x) x a = 0 EL 47 vagy limf (x) x a = 1 és limg(x) x a = + vagy limf (x) x a = + és limg(x) x a = 0 akkor a x a [ ] g(x) lim f (x) határérték-feladat határozatlan.
EL 48 Tétel: határérték és a folytonosság kapcsolata Az f:[a,b] R függvény pontosan akkor folytonos az x 0 [a,b] helyen, ha f-nek létezik határértéke az x 0 helyen, és az egyenlő az f(x 0 ) függvényértékkel: lim f (x) = f (x 0 x x0 )
EL 49 Példa: lim x 2 x 3 = 9 = f (3)
Definíció: megszüntethető szakadás EL 50 Az f:]a,x 0 [ ]x 0,b[ R függvénynek megszüntethető szakadása van az x 0 ]a,b[ helyen, ha létezik a lim f (x) x x 0 = A határérték és a g(x) = f (x),ha x A,ha x = x x 0 0 függvény folytonos x 0 -ban.
EL 51 Példa: Az alábbi függvényeknek megszüntethető szakadása van.
EL 52 Példa: Az alábbi függvények szakadásai nem megszüntethető szakadások.