Matematika szigorlat javítókulcs, Informatika I. 006. máj. 0.. Legyen f : [0, [ R, f (x)= x x +. a) Vizsgálja meg a függvényt monotonitás szempontjából! f (x)= x (x + ). x=0 0<x< x= <x f (x) + 0 min. max. f (x) ր ց 0 b) Az injektív, szürjektív, bijektív tulajdonságok közül melyikkel rendelkezik a függvény? Nem injektív, mert a 0-nál nagyobb, de -nél kisebb értékeket kétszer is felveszi (pl. az et az x= és x=+ helyeken is. Nem szürjektív, mert R 4 f = [ 0, ] R. Nem bijektív. c) Milyen számot írhatunk a helyébe, hogy az f függvény [a, [ halmazra vonatkozó leszűkítése invertálható legyen? Adja meg az inverz függvényt egy konkrét a esetén! a esetén invertálható, mert az [, [ intervallumon szigorúan monoton csökkenő. Pl. Ha a=, akkor az inverz függvény: ] f : D f= 0, ] [, [, + 4x f (x)= x 8 pont. a) Definiálja a [0, [ R, f (t) függvény Laplace-transzformáltját! pont Az f : [0, [ R, f (t) függvény Laplace-transzformáltján az F (s)= f (t) e st dt 0 függvényt értjük, melynek értelmezési tartománya azon s számok halmaza, amelyre az f (t) e st dt Laplace-integrál konvergens. 0
b) Adja meg az f (t) = t+e t + te t sin t+e t cos t függvény Laplacetranszformáltját! L [ f (t) ] = s + s + (s ) s + 4 + s (s ) + 4 c) Határozza meg az F (s) = függvény inverz Laplace-transzformáltját! [ ] L s + s+ = e t + sin t (s ) (s + 9) s + s+ (s ) (s + 9) 6 pont. Vezessük be azε=cos π + j sin π jelölést. a) Számítsa ki a z=ε+ε +ε +...+ε 006 összeg értékét algebrai alakban! A tagok hármasával ismétlődnek és egymást követő tag összege 0. Így z=ε 005 +ε 006 =ε+ε =. b) Határozza meg az előző pontban meghatározott összeg harmadik gyökeit! Az eredményt írja fel trigonometrikus és exponenciális alakban! 6 pont cos (60 + k 0 )+ j sin (60 + k 0 )=e j(π + kπ ), ahol k {0,, }. c) Igaz-e, hogy az előző pontban kapott harmadik gyökök csoportot alkotnak a komplex számok szorzására nézve? Nem, mert a három köbgyökből álló halmaz nem zárt a műveletre. 4. Jelöljük a valós, konvergens számsorozatok halmazát K-val! a) Igaz-e, hogy (K;+, ) gyűrű, ha+és asorozatok közötti szokásos öszeadást és szorzást jelenti? Igen, minden feltétel teljesül. (A hallgatóknak a feltételeket a megoldásban részletezniük kell.) b) Értelmezzük a K halmazon az R relációt a következőképpen: a n R b n akkor és csak akkor, ha a b. Igaz-e, hogy R parciális rendezési reláció K-n? Nem. Ugyanis ha a n és b n olyan sorozatok, amelyek első tagja egyenlő (a = b ), de egyébként a két sorozat nem azonos, akkor a n R b n és b n R a n, de a n b n, tehát a reláció nem antiszimmetrikus. 4 pont 0 pont
c) Írja fel predikátumlogikai formulával a következő állítást: Ha két valós numerikus sorozat mindegyike konvergens, akkor összegük is konvergens. Legyen S a valós numerikus sorozatok halmaza (alaphalmaz). H az S-en értelmezett predikátum a következő jelentéssel: Hx: x konvergens. f az S halmazon értelmezett kétváltozós függvény: f ( x, y ) = x+ y Az állítás: x y ( Hx Hy ) H f ( x, y ). d) Írja fel az előző pontbeli állítás tagadását, kvantor(ok), továbbá, és jelek felhasználásával! x y ( ( Hx Hy ) H f ( x, y ) ) = x y ( Hx Hy H f ( x, y )) 5. a) Van-e olyan hatpontú gráf, amelyben a fontok fokszámai rendre:,,,,, 4? pont Nem, mert a fokszámok összege nem lehet páratlan. b) Van-e olyan páros gráf, amelyben a pontok fokszámai rendre:,,, 4, 4, 4, 4 4 pont Páros gráfban a csúcsok halmaza két részhalmazra bontható (A és B) úgy, hogy mindegyik él két különböző halmazbeli csúcsot köt össze. Ezért az A-beli csúcsok fokszámainak összege egyenlő kell legyen a B-beli csúcsok fokszámainak összegével, azaz P Aϕ(P)= ϕ(p)=. Ez azonban nem lehetséges, mert P B minden pont fokszáma páros. Tehát nincs a feltételnek eleget tevő páros gráf. c) Van-e zárt, illetve nyitott Euler-sétája az ábrán látható gráfnak? Van-e Hamiltonköre? 7 pont Jelölje S a valós numerikus sorozatok halmazát. Használja az x, y individuumváltozókat, a H predikátumjelet és az f függvényjelet, továbbá a szokásos logikai és segédjeleket!
Sem zárt sem nyitott Euler-sétája nincs, mert 6 db páratlanfokú pontja van. Hamilton-köre van. 6. Adott az f :R R, f ( x, y ) = x y függvény. a) Határozza meg az f függvényα=0 -os szöghöz tartozó iránymenti deriváltját a P 0 (, ) pontban! f α (P 0)= f x (P 0) cosα+ f y (P 0) sinα= xy P0 cos 0 + x P0 sin 0 = = +, 964. b) Számítsa ki a függvény kettős integrálját a T= {( x, y ) x, y } tartományon! T f ( x, y ) dt= x ydxdy= [ x y ] dy= ydy= [ y ] =. 0 pont
Matematika szigorlat javítókulcs, Informatika I. 006. jún... Legyen f :R\{} R, f (x)=e x+ x. a) Vizsgálja meg a függvényt monotonitás szempontjából! f (x)=e x+ x (x ) < 0. A függvény a ], [ és ], [ intervallumok mindegyikén szigorúan monoton csökken, de nem monoton. b) Az injektív, szürjektív, bijektív tulajdonságok közül melyikkel rendelkezik a függvény? Injektív (e x és x+ is injektív). Nem szürjektív(pl. negatív értékeket nem vesz fel). x Nem bijektív. c) Írja fel a függvénygörbe x 0 = abszcisszájú pontjához tartozó érintő egyenletét! y 0 = f (x 0 )=e, m= f (x 0 )= e, az érinő egyenlete: y= e x+5e.. Adottak az A(,, 4), B(8,, ), C(4,, ) pontok. a) Írja fel az ABC sík egyenletét! 6 pont AB(5,, ), AC(,, ), S: x+y+z=7. AB AC=i+9j+6k, n(,, ) b) Legyen aϕ:r R lineáris transzformáció mátrixa M= 0 0 0 4 pont Határozza meg az A pontϕ (A) képét! Tehát A (7, 6, ). 0 0 0 4 4 = 7 6
c) Határozza meg a b) pontban megadott lineáris transzformáció sajátértékeit és sajátvektorait! λ 0 A 0 λ = 0 karakterisztikus egyenlet megoldásai: 0 4 λ λ =,λ =,λ =. Az ezeknek megfelelő sajátvektorok rendre: t 0 0 t R, u u u u R, v v v v R 8 pont. Hányféleképpen lehet kitölteni egy lottószelvényt, ha a) csak hárommal osztható számot jelölünk meg; 4 pont ( ) 0 = 4 506 5 b) két páros és három páratlan számot jelölünk meg; 6 pont ( ) 45 ( ) 45 = 4 048 00 c) a legnagyobb és a legkisebb megjelölt szám különbsége 50? 8 pont 40 ( ) 49 = 76 960 4. Jelölje U a P 0 R egy környezetében értelmezettr R függvények halmazát. Vezessük be a következő predikátumokat: Px: x mindkét változója szerint parciálisan differenciálható P 0 -ban; Tx: x totálisan differenciálható P 0 -ban; Fx: x folytonos P 0 -ban. Használjuk továbbá az f ( x, y ) = x+ y jelölést. Írja le szöveggel a következő formulák által megfogalmazott állításokat és döntse el, hogy igazak-e vagy sem! a) x y ( ( Fx Fy ) F f ( x, y ) ) Ha két kétváltozós függvény mindegyike folytonos P 0 -ban, akkor az összegük is folytonos P 0 -ban. (Igaz.) ötöslottó: 90 számból 5-öt kell megjelölni 4 pont
b) x ( Tx (Fx Px) ) 4 pont Ha egy kétváltozós függvény totálisan differenciálható a P 0 pontban, akkor ott folytonos és mindkét változója szerint parciálisan differenciálható. (Igaz) c) x y ( P f ( x, y ) T f ( x, y )) 6 pont Minden P 0 egy környezetében értelmezett kétváltozós függvényhez található egy ugyancsak P 0 egy környezetében értelmezett kétváltozós függvény úgy, hogy összegük akkor és csak akkor totálisan differenciálható, ha mindkét változója szerint parciálisan differenciálható. (Igaz, pl. választhatjuk y-nak az x függvény -szeresét.) 5. a) Egy körmentes gráf csúcsainak száma 006, éleinek száma 848. Hány komponensből áll a gráf? A komponensek száma: 006 848 = 58. pont b) Határozza meg a következő síkgráf kromatikus számát! 6 pont χ (G) 4, mert a kisebbik szabályos ötszög egy páratlan hosszú kör, amelynek színezéséhez legalább szín szükséges, és kell egy negyedik szín a középső ponthoz. A négyszíntétel miatt ennél nagyobb nem lehet a kromatikus szám, tehátχ (G)=4. c) Rajzolja le azt a fát, amelynek Prüfer-kódja (, 7, 7, 4,,, 4,, 7) 6 pont 4 7 8 5 6 0 9
6. a) Döntse el, hogy az alábbi numerikus sorok konvergensek vagy divergensek! i) ii) 4 + 4 7 + 7 0 +...+ (n ) (n+) +... Ez egy pozitív tagú sor, melynek majoránsa a konvergens sor. Tehát n= n (n+) a majoráns kritérium értelmében a sor konvergens. + + 4 +...+ n (n+) +... Ennek a sornak minoránsa a pozitív tagú divergens sor. Tehát a minoráns kritérium értelmében a sor n= n+ divergens. b) Határozza meg a n= (x+) n pont pont n függvénysor konvergenciatartományát! 8 pont Használjuk a hatványsorokra vonatkozó gyökkritériumot: r= lim n = lim n n =. Tehát a függvénysor konvergens a ] 4, [ intervallum pontjaiban. cn n Az intervallum végpontjaiban külön vizsgálat szükséges: Mivel a ( ) n és n= n n numerikus sorok konvergensek, ezért a függvénysor konvergenciatartománya a [ 4, ] intervallum. n= n c) Az f (x) = cos x függvény Maclaurin-sorának felhasználásával közelítjük a cos 8 értékét. Hány tagot kell felhasználni a sorból, hogy három tizedesjegyre pontos közelítést kapjunk? Írja fel a közelítő értéket! 8 pont cos x= x! + x4 4! x6 +... Mivel a sor váltakozó előjelű, ezért a közelítés hibáját az első fel nem használt tag abszolút értékével becsülhetjük. A szög értéke 6! 8 = π 0, tehát x n (n)! = π n 0 n (n)! < 5 0 4 -nek kell teljesülnie. Az egyenlőtlenség már n= esetén teljesül (ekkor az baloldal 0, 000406), tehát az első két tag megfelelő közelítést biztosít: cos 8 = π 0, 95. 00
Matematika szigorlat javítókulcs, Informatika I. 006. jún... Legyen f (x)= x. x a) Adja meg a függvény értelmezési tartományát! pont D f =R\{0} b) Írja fel a függvény első és második deriváltfüggvényét! 6 pont f (x)= x + x f (x)= x c) Számítsa ki a következő határértékeket: lim f (x)= x lim f (x)= x lim f (x)= x 0 + lim f (x)= x 0 6 pont d) Az injektív, szürjektív, bijektív tulajdonságok közül melyikkel rendelkezik a függvény? Nem injektív (minden valós értéket kétszer vesz fel). Szürjektív. Nem bijektív.. Adottak az A(,, 5), B(5,, ), C(4,, ) pontok. a) Számítsa ki az ABC háromszög kerületét! pont AB(,, ), BC(, 4, ), CA(, 5, ) k= AB + BC + CA = 4+ 8+ 8 4, 5. b) Határozza meg az ABC háromszög legnagyobb szögét! 4 pont cosβ= BC BA BC BA = 4 8 0, 89 β 00, 9.
c) Írja fel az ABC háromszög síkjának az egyenletét! 6 pont AB AC= i j k = 7i+5j k 5 S: 7x 5y+z=69 d) Rajta van-e a P (7,, 5) pont az AB egyenesen? 4 pont Igen, mert OP= OB+4 AB. Jelölje H a 00-nál nem nagyobb pozitív páros számok halmazát. a) Hányféleképpen lehet H elemei közül 4-et kiválasztani úgy, hogy a kiválasztás sorrendje is számít? 50 49 48 47=5 57 00 b) Hányféleképpen lehet H elemei közül 4-et kiválasztani úgy, hogy a kiválasztás sorrendje nem számít? ( ) 50 = 0 00 4 c) Értelmezzük a (H; R) relációt a következőképpen: xry: x y osztható -mal. Igazolja, hogy R ekvivalencia-reláció és adja meg az ekvivalencia-osztályokat! A reláció homogén, bináris. Reflexív, mert x H : x x=0, szimmetrikus, mert x, y H : x y y x, tranzitív, mert x, y, z H esetén ha x y és y z, akkor ( x y ) + ( y z ) = (x z). Három ekvivalencia-osztály van: H 0 ={x H x osztható -mal}, H ={x H x -mal osztva maradékot ad.}, H ={x H x -mal osztva maradékot ad.}. 4 pont 4 pont 8 pont 4. Legyen f :R R, f ( x, y ) = x e y a) Számítsa ki az f függvényα=45 -os szöghöz tartozó iránymenti deriváltját a P 0 (, 0) pontban! f x (P 0)= xe y P0 =, f y (P 0)= x e y P0 =, f α (P 0)= f x (P 0) cosα+ f y (P 0) sinα=, 6 pont b) Írja fel a függvényt ábrázoló felület érintősíkjának egyenletét a P 0 pontban! 6 pont n (,, ), z 0 =, S: x+ y z=
c) Határozza meg az f függvény kettős integrálját a T= {( x, y ) x, 0 y } tartományon! 8 pont T f ( x, y ) dt= 0 x e y dydx= = [ x e y] 0 dx= [ x ( e ) ] x ( e ) dx= = 7( e ) 4, 9 5. Vizsgáljuk a következő két gráfot: G G a) Melyik gráfnak van zárt, illetve nyitott Euler-sétéja a fentiek közül? 6 pont A G gráfnak van zárt Euler-sétája, mert összefüggő és minden pontjának a fokszáma páros. A G gráfnak sem zárt, sem nyitott Euler-sétája nincs, mert négy páratlan fokú pontja van. b) A fenti két gráf közül melyik síkgráf? 6 pont G az egyik Kuratowski-gráf (teljes ötgráf), tehát nem síkgráf. G síkgráf, hiszen felrajzolható a következőképpen is: G
c) Rajzolja le azt a fát, amelynek Prüfer-kódja (5, 4, 9, 8, 5, 4, 4) 6 pont 4 5 9 8 7 6 6. Határozza meg az y + 4y = e x differenciálegyenlet megoldását az y(0) =, y (0)=5 kezdeti feltételek mellett! 0 pont I. Y=C cos x+c sin x, y p = e x, y=c cos x+c sin x+e x, y 0 = sin x+e x II. ȳ= s + s (s ) (s + 4) = s + s + 4 y 0= sin x+e x