4 3. Egyváltozós valós függvények 3.. Valós függvényekkel kapcsolatos alapfogalmak 3... A függvények megadása Az első fejezetben általánosan értelmeztük a függvényt. Most csak olyan függvényekkel foglalkozunk, amelyeknek értelmezési tartománya és képtartománya is valós számokból áll. Az ilyen f : A R B R függvényeket egyváltozós valós függvényeknek nevezzük, s a latin vagy a görög ábécé betűivel jelöljük, például: f, g, h,..., φ, ψ, ϑ stb. Az A halmazt az f függvény értelmezési tartományának domenjének nevezzük és D f - fel jelöljük, míg a B halmazt az f függvény értékkészletének kodomenjének nevezzük és R f -fel jelöljük. Valós függvényeknél általában a független változó jelölésére az, a függő változó jelölésére az y betűt használjuk, de ha szükséges, akkor más betűket is használhatunk. A függvény jelölésénél sokszor az y f szimbólumot használjuk, ami azt jelenti, hogy y valamilyen függvénye -nek. Ha 0 D f, akkor az f függvény 0 ponthoz rendelt értékét f 0 -lal jelöljük, és az f függvény 0 pontban felvett helyettesítési értékének nevezzük. Ha f 0 0, akkor 0 az f függvény zérushelye vagy nullahelye. A valós függvény megadásához nem elég csak az értelmezési tartományt és az értékkészletet megadni, azt is tudnunk kell, hogyan találhatjuk meg a független változó egyes értékeihez tartozó függvényértéket, vagyis ismernünk kell a hozzárendelési törvényt. A hozzárendelési törvény megadása sokféleképpen történhet. A függvény hozzárendelési törvényét például megadhatjuk táblázattal. Ez abban áll, hogy kiírjuk a független változó számos értékét, s melléírjuk a nekik megfelelő függvényértéket. A függvények táblázattal való megadásának fő hiányossága a nagy terjedelem és a szemléletesség hiánya, de ettől függetlenül igen elterjedt megadási mód a természettudományokban és a műszaki tudományokban. A függvény megadásának legfontosabb módja a képlettel formulával való megadás. Ekkor megadunk egy olyan képletet, amely az független változón kívül csupa adott számot tartalmaz. Ha képlettel adjuk meg a függvényt, akkor az értelmezési tartományt mindazok a valós számok alkotják, amelyre a képletben szereplő műveletek mindegyike elvégezhető és a képlet valós értéket vesz fel. Adott f és g valós függvényekből képzett összetett függvények értelmezési tartományának meghatározásakor figyelembe kell venni a következőket:. y f g esetén g 0.. y n f esetén f 0 n N. 3. y log a f esetén f > 0 a > 0, a. 4. y tg f esetén f π + kπ, k Z.
3.. Valós függvényekkel kapcsolatos alapfogalmak 5 5. y ctg f esetén f kπ, k Z. 6. y arcsin f és y arccos f esetén f. 3.. Példa. Az f + függvény racionális törtfüggvény, ezért a nevezője nem 3 4 lehet nulla. Keressük meg tehát a nevező nullahelyeit és zárjuk ki azokat az értelmezési tartományból. 3 4 0 akkor és csakis akkor, ha + 0, innen pedig megkapjuk, hogy a nevező nulla, ha 0, vagy ha, vagy ha. Ezért az értelmezési tartomány D f R \ {, 0, }, vagy más felírásban D f,, 0 0,,. 3.. Példa. Az f 6 függvény páros gyökkitevőjű irracionális függvény, ezért a gyök alatti mennyiség nem lehet negatív, vagyis teljesülnie kell az 6 0, illetve 4 + 4 0 egyenlőtlenségnek. Oldjuk meg táblázattal ezt a másodfokú egyenlőtlenséget. D f, 4 4, 4 4, 4 + + 4 + + 6 + + A táblázatból kiolvashatjuk, hogy az f függvény csak a 4, 4 intervallumon negatív, tehát D f, 4] [4,. 3.3. Példa. Mivel minden logaritmusfüggvény csak pozitív értékekre értelmezett, ezért + + az f ln függvény csak akkor értelmezett, ha az 4 + 3 4 + 3 > 0 egyenlőtlenség teljesül. Mivel + > 0 minden valós számra, ezért a törtfüggvény előjele csak a nevezőtől függ. Bontsuk tényezőkre a nevezőt és oldjuk meg táblázattal az így kapott 3 > 0 egyenlőtlenséget. D f,, 3 3, 3 + + + 4 + 3 + + A táblázatból kiolvashatjuk, hogy az f függvény csak az [, 3] intervallumon nempozitív, tehát D f, 3,. 3.4. Példa. Az f tg függvény nem értelmezett azokban a pontokban, ahol π + kπ, k Z, illetve π + kπ, k Z. A keresett értelmezési tartomány tehát 3.5. Példa. Az f arcsin 6 + 9 D f R \ {k + π, k Z}. függvény csak akkor értelmezett, ha a 6 + 9
6 3. EGYVÁLTOZÓS VALÓS FÜGGVÉNYEK 6 egyenlőtlenségrendszer teljesül. Mivel a nevezője minden valós számra pozitív, + 9 ezért mindkét egyenlőtlenséget szorozhatjuk + 9-cel. Ekkor 9 < 6 < + 9, azaz a 9 6 és 6 + 9 egyenlőtlenségeknek kell teljesülniük, azaz megoldáshalmazaik metszete adja az f függvény értelmezési tartományát. Mivel a fenti egyenlőtlenségrendszer ekvivalens az 6 9 0 és 6 + 9 0, illetve az + 3 0 és 3 0 egyenlőtlenségrendszerekkel, így látható, hogy mindkettő megoldáshalmaza az R halmaz, tehát metszetük is az, és így D f R. A függvény grafikonja vagy görbéje a Descartes-féle derékszögű koordináta-rendszer által meghatározott síkban az olyan, f pontok halmaza, amelyek abszcisszái az független változó értékei, ahol D f, ordinátái pedig az ezeknek megfelelő függvényértékek, azaz y f, s ezt az egyenletet nevezzük a függvénygörbe egyenletének. A függvény grafikus megadása azt jelenti, hogy a függvény grafikonját adjuk meg, és a független változó 0 értékéhez tartozó f 0 függvényérték a görbe 0 abszcisszájú pontjának ordinátája. Gyakran előfordul, hogy a függvény grafikonja csak néhány pontból áll, mégis általánosan elterjedt, hogy a függvény grafikonját görbének nevezzük, s így a függvény és a görbe fogalma szorosan összefügg. Egy függvény megadása egy görbe, a függvény grafikonjának megadását jelenti, és fordítva: egy görbe megadásával egy függvényt is megadunk, azt a függvényt, amelynek a megadott görbe a grafikonja. Természetesen csak olyan görbét adhatunk meg függvény grafikonjaként, amely esetében az y-tengellyel párhuzamos egyenesek a görbét legfeljebb egy pontban metszhetik. 3.6. Példa. A mellékelt táblázattal megadott f függvény grafikonja mindössze három pontból áll, az, 3,, 4 és 3, 5 pontokból, mivel D f {,, 3}. 3 f 3 4 5 3.7. Példa. Legyen az f + függvény értelmezési tartománya D f [, 3]. Az f függvény grafikonja most az y + görbe [, 3] intervallumhoz tartozó darabja, azaz az, 3 és 3, 5 pontokat összekötő szakasz. 3.8. Példa. Legyen az f + függvény értelmezési tartománya most D f R. Az f függvény grafikonja most az y + egyenes.
3.. Valós függvényekkel kapcsolatos alapfogalmak 7 y y y 5 5 5 y 4 4 4 3 3 3 3 3 3 A függvény grafikonja a függvény nullahelyében metszi át az -tengelyt. A függvény értelmezési tartományának azon pontjaiban, ahol a függvényértékek pozitívak, a függvény grafikonja az -tengely felett van, az értelmezési tartomány azon pontjaiban pedig, ahol a függvényértékek y negatívak, a függvény grafikonja az -tengely alatt van. 3.9. Példa. Az f függvény nullahelyei az f 0, illetve az 0 egyenlet megoldásai, azaz és. Az y parabola tehát a, 0 és, 0 pontokban metszi át az -tengelyt, s mivel főegyütthatója pozitív, minimuma van. A függvény előjelét leolvashatjuk a grafikonról: f > 0, ha,,, és f < 0, ha,. y A függvény y f megadási módjára azt mondjuk, hogy a függvény eplicit alakban van megadva. Ha használjuk ezt a jelölést, akkor az F, y 0 egyenlet is értelmezhet egy vagy több függvényt. Ekkor azt mondjuk, hogy F, y 0 egy implicit alakban megadott függvény. 3.0. Példa. + y 0 az egységsugarú körvonal implicit alakú megadása. Mivel ebből y ±, ezért + y 0 jelentheti az f függvényt, de az f függvényt is. Az f függvény grafikonja az egységsugarú körvonal felső, pozitív félsíkhoz tartozó félköríve, az f függvény grafikonja pedig az egységsugarú körvonal alsó, negatív félsíkhoz tartozó félköríve. y y y y y
8 3. EGYVÁLTOZÓS VALÓS FÜGGVÉNYEK 3.. Példa. A parabola y 0 implicit alakú megadása, y ± miatt jelentheti az f függvényt, de az f függvényt is. Az f függvény grafikonja a parabolagörbe felső, pozitív félsíkhoz tartozó íve, az f függvény grafikonja pedig a parabolagörbe alsó, negatív félsíkhoz tartozó íve. y y y y y FELADATOK. Határozzuk meg a következő függvények értelmezési tartományát.. f 3 + 5 Megoldás. Mivel a racionális törtfüggvény nevezője nem nulla, hiszen + 5 > 0, ezért a függvény minden valós számra értelmezett, azaz D f R,. +. f 3 + 6 + 8 Megoldás. A racionális törtfüggvény nevezője nem lehet nulla, azaz 3 + 6 + 8 + 4 + 0 kell teljesüljön, amely feltétel akkor és csakis akkor igaz, ha 0 és 4 és. Az értelmezési tartomány tehát D f R \ { 4,, 0}, 4 4,, 0 0,. 3. f 3 + Megoldás. Páratlan gyökkitevőjű a függvény, tehát minden valós számra értelmezett, ezért most csak az alatta levő tört nevezőjére kell feltenni, hogy ne legyen nulla, azaz 0, így D f R \ {0}, 0 0,. 4. f 5 Megoldás. A tört miatt a nevező nem lehet nulla, a páros gyökkitevőjű függvény alatti kifejezés pedig nem lehet negatív, így megállapíthatjuk, hogy a két feltétel összesítve az 5 5 > 0 feltételhez vezet. Oldjuk meg táblázattal ezt a másodfokú egyenlőtlenséget. D f, 0 0, 5 5, + + 5 + + 5 + A táblázatból kiolvashatjuk, hogy az 5 másodfokú kifejezés csak a 0, 5 intervallumon pozitív, tehát az f függvény értelmezési tartománya D f 0, 5.
3.. Valós függvényekkel kapcsolatos alapfogalmak 9 5. f 5 + + Megoldás. Figyelembe véve a törtet és a páros gyökkitevőjű függvényeket, a következő kikötéseket kell tennünk: 5 + > 0 és 0. Az egyenlőtlenségek megoldáshalmazai > 5 és 0, amelyek egyidőben 5 < 0 valós számokra teljesülnek, tehát D f 5, 0]. + 5 6. f ln 5 Megoldás. A logaritmusfüggvény csak szigorúan pozitív értékekre értelmezett és a nevező nem lehet nulla, ezért az + 5 5 > 0 egyenlőtlenségnek kell teljesülnie. Táblázatba foglalva a számláló és nevező tulajdonságait, a következőket kapjuk: D f, 5 5, 5 5, + 5 + + 5 + + + 5 5 + 7. f ln A táblázatból látható, hogy az + 5 5 törtkifejezés csak a 5, 5 intervallumon pozitív, tehát az f függvény értelmezési tartománya D f 5, 5. Megoldás. A logaritmusfüggvény csak szigorúan pozitív értékekre értelmezett és 0 minden valós számra. Ez azt jelenti, hogy csupán a nullát kell kizárni az értelmezési tartományból, azaz D f R \ {0}, 0 0,. 8. f log cos Megoldás. A logaritmusfüggvény csak szigorúan pozitív értékekre értelmezett, ezért teljesülnie kell a cos > 0 feltételnek, ami azt jelenti, hogy az f függvény értelmezési tartománya azoknak az intervallumoknak az uniójából áll, amelyekben az y cos függvénygörbe az -tengely fölött helyezkedik el. Ezért D f π + kπ, π + kπ. k Z 9. f ln Megoldás. Vegyük figyelembe a logaritmusfüggvény és a páros gyökkitevőjű irracionális függvény értelmezettségét is. Ekkor teljesülnie kell a következő feltételeknek: > 0 és ln 0. Az ln 0 egyenlőtlenség akkor és csakis akkor igaz, ha, vagyis az + 0 másodfokú egyenlőtlenség is teljesül. Az + másodfokú trinomról megállapíthatjuk, hogy determinánsa D 4 3 < 0, tehát az y + parabolának nincs valós nullahelye, viszont a főegyütthatója a > 0, vagyis konve és minimuma van, ami azt jelenti, hogy minden valós számra szigorúan pozitív értéket vesz fel. Ezért az + 0 másodfokú egyenlőtlenség egyetlen egy valós számra sem teljesül, tehát D f.
0 3. EGYVÁLTOZÓS VALÓS FÜGGVÉNYEK 0. f ln sin Megoldás. A logaritmusfüggvény és a páros gyökkitevőjű irracionális függvény értelmezettségét is figyelembe véve kikötjük, hogy teljesülnie kell a feltételeknek, illetve az ezzel ekvivalens sin > 0 és ln sin 0 sin > 0 és sin egyenlőtlenségrendszernek. Az egyenlőtlenségrendszer megoldását a sin egyenlőtlenség megoldáshalmaza, illetve a sin feltétellel összesítve a sin egyenlet megoldáshalmaza adja meg. Ezért { π } D f + kπ, k Z.. f arccos + sin Megoldás. Vegyük észre, hogy a tört nevezőjében szereplő +sin kifejezés mindig szigorúan pozitív, tehát nem lehet nulla. Ezért csupán a, illetve + sin + sin és + sin egyenlőtlenségrendszert kell megoldani. Mivel + sin > 0 minden valós számra, ezért mindkét egyenlőtlenség beszorozható + sin -szel, s így a illetve a sin és + sin, sin 4 és sin 0 egyenlőtlenségeket kapjuk, amelyek közül az első mindig teljesül, a második megoldáshalmaza pedig minden olyan intervallum uniója, ahol az y sin függvénygörbe nem az -tengely alatt van, tehát D f k Z [kπ, k + π].. f 3 + log4 + 3 Megoldás. Vegyük figyelembe mindhárom összeadandó értelmezési tartományát és keressük meg ezek metszetét. Kikötéseink a következők: 3 0 és 4 > 0 és 0, illetve 0 és < 4 és. A keresett értelmezési tartomány így D f [0,, 4.
3.. Valós függvényekkel kapcsolatos alapfogalmak 3. f e + arcsin + + arctg ln + Megoldás. Vegyük figyelembe, hogy az eponenciális függvény kitevőjében levő tört nevezője nem lehet nulla, azaz + 0, illetve kell, hogy teljesüljön. A négyzetgyök alatti kifejezés nem lehet negatív, tehát kikötjük, hogy arcsin + 0 teljesüljön, ami akkor és csak akkor lehetséges, ha 0 teljesül. Mivel + + > 0, ezért a kapott egyenletrendszer ekvivalens a 0 + egyenletrendszerrel, amelynek megoldáshalmaza a valós számok halmaza. Az y arctg függvény minden valós számra értelmezett, tehát itt nincs kikötés, a logaritmusfüggvény viszont csak szigorúan pozitív értékekre értelmezett, és az + kifejezés teljesíti ezt a feltételt. Összegezve a fenti feltételek mindegyikét azt kapjuk, hogy az adott függvény értelmezési tartománya D f R \ { }, azaz 4. f + D f,,. Megoldás. Az eponenciális függvény alapja csak -től különböző pozitív valós szám lehet, így teljesülnie kell az illetve az > 0 és, + > 0 és 3 0 feltételeknek. Az első egyenlőtlenség megoldása az,, intervallum, a második megoldása pedig: ± 3. Ezért a megadott függvény értelmezési tartománya D f, 3 3,, + 3 + 3,. 5. f log 3 3 4 Megoldás. A logaritmusfüggvény csak pozitív értékekre értelmezett, alapja pedig csak -től különböző pozitív valós szám lehet, ezért kikötéseink most: 3 3 > 0 és 3 3 és 4 > 0. Mivel a fenti egyenlőtlenségrendszer megoldáshalmazát az >, az 4 3, valamint a < < tulajdonságok egyidőben történő megvalósulása adja meg, ezért az f függvény értelmezési tartománya D f, 4 4 3 3,.
3. EGYVÁLTOZÓS VALÓS FÜGGVÉNYEK Határozzuk meg a következő függvények értelmezési tartományát, nullahelyeit, majd vizsgáljuk ki az előjelüket, azaz határozzuk meg mely intervallumokon pozitívak és mely intervallumokon negatívak. 6. f 6 3 Megoldás. Mivel f lineáris függvény, ezért D f R. A függvény nullahelye az f 0 függvény megoldása, ebben az esetben a 6 3 0 egyenlet gyöke, azaz. Ez azt jelenti, hogy az f függvény görbéje az N, 0 pontban metszi az - tengelyt. Az f függvény akkor és csakis akkor pozitív, ha f > 0, azaz 6 3 > 0, tehát > esetén. Az f függvény akkor és csakis akkor negatív, ha f < 0, azaz 6 3 < 0, tehát < esetén. Ezeket a tulajdonságokat táblázatban is összefoglalhatjuk. D f,, f + 7. f 5 Az f függvény pozitív az, intervallumon, és negatív a, intervallumon. Megoldás. A függvény értelmezési tartománya D f R, mert f másodfokú függvény. f 0 akkor és csakis akkor, ha 5 0, azaz 5 vagy 5 esetén, tehát a függvény grafikonja N 5, 0 és N 5, 0 pontokban metszi az -tengelyt. Felhasználva, hogy a függvény f 5 5 + alakban is felírható, az előjellel kapcsolatos tulajdonságokat táblázatban foglaljuk össze. D f, 5 5, 5 5, 5 + + 5 + + + f + 8. f 3 + + Megállapíthatjuk, hogy az f függvény pozitív a 5, 5 intervallumon, és negatív a, 5 5, intervallumon. Megoldás. f polinomfüggvény, tehát az értelmezési tartománya D f R. f 0 akkor és csakis akkor, ha + + 0, azaz csupán 0 esetén, mert + + + + 7 > 0. A függvény grafikonja tehát csak az N0, 0 4 pontban metszi az -tengelyt. Az f függvény előjele így csak -től függ, vagyis f > 0, ha 0,, és f < 0, ha, 0. 9. f 3 3 + 9 Megoldás. f racionális törtfüggvény, így a nevező nem lehet nulla, azaz 9 0, ami azt jelenti, hogy 3 és 3. Az értelmezési tartomány ennek alapján D f R \ { 3, 3}, illetve intervallumos alakban D f, 3 3, 3 3,. f 0 akkor és csakis akkor, ha a számláló nulla, vagyis 0. A kapott egyenlet megoldásai 0, és 3, tehát a függvény grafikonja az N 0, 0, N, 0 és N 3, 0 pontokban metszi az -tengelyt. Végezzük táblázattal az előjel vizsgálatát.
3.. Valós függvényekkel kapcsolatos alapfogalmak 3 D f, 3 3, 0 0,,, 3 3, + + + + 3 + + + + + + 9 + + f + + + Megállapíthatjuk, hogy f > 0, ha 3, 0, 3, és f < 0, ha, 3 0,, 3. 0. f 4 Megoldás. Az eponenciális függvény minden valós számra értelmezett, ezért az értelmezési tartomány D f R. A függvény nullahelyét az f 0 egyenletből számíthatjuk ki. 4 0 akkor és csakis akkor, ha, amelyből, vagyis az f függvény grafikonja egyetlen pontban metszi át az -tengelyt, ez pedig N, 0. A függvény előjelének kivizsgálásához eponenciális egyenlőtlenségeket kell megoldani. f > 0 akkor és csakis akkor, ha 4 > 0, azaz >, amelyből következik, hogy >. f < 0 akkor és csakis akkor, ha <, ahonnan <. Összefoglalva, az f függvény pozitív, ha, és az f függvény negatív, ha,. 5 3. f 6 Megoldás. A nevező nem lehet nulla és a gyök alatti kifejezés nem lehet negatív, ezért 6 > 0 esetén lesz csak értelmezett a függvény, ami azt jelenti, hogy az értelmezési tartomány D f 6,. f 0 akkor és csakis akkor, ha 5 3 0, azaz 5 esetében, de mivel 5 / D f, ezért a függvénynek nincs nullahelye. Az előjel kivizsgálásánál vegyük észre, hogy 6 > 0 az értelmezési tartomány minden pontjára, tehát a függvény előjele csak a számláló előjelétől függ. Ezért f > 0 akkor és csakis akkor, ha 5 3 > 0, vagyis < 5 esetén, ami nem lehetséges, mert ez az intervallum nincs benne az értelmezési tartományban. f < 0 akkor és csakis akkor, ha 5 3 < 0, vagyis > 5 esetén. Ez azt jelenti, hogy az f függvény a teljes értelmezési tartományon negatív.. f ln ln Megoldás. A logaritmusfüggvény csak pozitív értékekre értelmezett, ezért az egyik kikötésünk az, hogy > 0. A nevező nem lehet nulla, ezért a másik kikötésünk az ln, vagyis e. Ezért a függvény értelmezési tartománya D f 0, e e,. f 0 akkor és csakis akkor, ha ln 0, ez pedig esetén teljesül, tehát a függvénygrafikon az N, 0 pontban metszi át az abszcissza tengelyt. Foglaljuk táblázatba a függvény előjelének kivizsgálását. D f 0,, e e, ln + + ln + + f + A táblázatból megállapíthatjuk, hogy f > 0, ha, e, és f < 0, ha 0, e,.
4 3. EGYVÁLTOZÓS VALÓS FÜGGVÉNYEK 3. f log + 3 Megoldás. Az f függvény akkor és csakis akkor értelmezett, ha + 3 > 0. Készítsük el a kapott egyenlőtlenség megoldásának táblázatát.,, 3 3, + + + 3 + + 3 + + f 0 akkor és csakis akkor, ha + 3 A táblázatból megállapíthatjuk, hogy a függvény értelmezési tartománya D f, 3,., azaz + 3 esetén, e ennek az egyenletnek nincs megoldása, így a függvénynek nincs nullahelye. f > 0 akkor és csakis akkor, ha 0 < + + + 3 <, azaz akkor és csakis akkor, ha < 0. 3 3 5 A kapott egyenlőtlenség megoldása < 0, illetve 3 < 0 megoldásával ekvivalens, ami azt jelenti, hogy az f függvény pozitív < 3 esetén, tehát a, 3 intervallumon. f < 0 akkor és csakis akkor, ha + >, azaz akkor és csakis 3 5 akkor, ha > 0. A kapott egyenlőtlenség megoldása 3 > 0 megoldásával 3 ekvivalens, ami azt jelenti, hogy az f függvény negatív a 3, intervallumon. 4. f e Megoldás. Mivel az eponenciális függvény kitevőjében levő nevező nem lehet nulla, ezért 0, s így D f R \ {0}, 0 0,. f 0 akkor és csakis akkor, ha 0, tehát a függvény nullahelye. Ez azt jelenti, hogy a függvénygrafikon az N, 0 pontban metszi az -tengelyt. Mivel az eponenciális függvény mindig pozitív, ezért f > 0 akkor és csakis akkor, ha > 0, és f < 0 akkor és csakis akkor, ha < 0. Az f függvény tehát pozitív > -re, azaz, esetén, és negatív < -re, azaz, esetén. 5. f cos sin Megoldás. Az f függvényben szereplő két trigonometrikus függvény minden valós számra értelmezett, tehát az f függvény értelmezési tartománya D f R. Alkalmazva a trigonometriai azonosságokat átalakíthatjuk az f függvényt: f cos sin cos sin sin sin sin. Ekkor f 0 akkor és csakis akkor, ha sin + sin 0. Bevezetve a sin t helyettesítést az egyenlet a t + t 0 másodfokú egyenletre vezetődik vissza, amelynek megoldásai t és t. Visszahelyettesítve az eredeti változót a sin és egyenleteket kapjuk, amelyek megoldásai sin π 6 + kπ, 5π 6 + kπ és 3 3π + kπ, k Z.
3.. Valós függvényekkel kapcsolatos alapfogalmak 5 Mivel az f függvény f sin sin + alakban is felírható és sin + 0, ezért f > 0 akkor és csakis akkor, ha sin < 0, illetve f < 0 akkor és csakis akkor, ha sin > 0. Összegezve a fentieket megállapíthatjuk, hogy az f függvény pozitív, ha 0 + kπ, π 6 + kπ 5π 6 + kπ, 3π 3π + kπ 3π + kπ, 6 + kπ, π illetve az f függvény negatív, ha 6 + kπ, 5π 6 + kπ. 3... Valós függvények tulajdonságai A következőkben felsoroljuk azokat a legegyszerűbb fogalmakat, amelyek a függvények vizsgálata során leggyakrabban előfordulnak. 3.. Definíció. Az f függvényt felülről alulról korlátosnak nevezzük, ha van olyan K k szám, hogy minden D f pontra f < K k < f. Az f függvény korlátos, ha alulról és felülről is korlátos, ekkor f ma{ k, K }, azaz k f K. Azt mondjuk, hogy K az f függvény egy felső, k pedig az f függvény egy alsó korlátja. Fontos kihangsúlyozni, hogy ha a függvénynek van egy felső korlátja vagy egy alsó korlátja, akkor ezekből végtelen sok is van. Tehát a felső és alsó korlát fogalma nem egyértelmű. Lehet definiálni korlátos függvény legkisebb felső korlátját, mint a függvény szuprémumát, vagy korlátos függvény legnagyobb alsó korlátját, mint a függvény infimmumát, de a korlátosság szempontjából ezek nem a legfontosabb fogalmak. 3.. Példa. a Az f + függvény felülről korlátos, egy felső korlátja a, tehát a függvény grafikonja az y egyenes alatt helyezkedik el. b Az f függvény alulról korlátos, egy alsó korlátja a 0, tehát a függvény grafikonja az y 0 egyenes felett helyezkedik el. c Az f cos függvény korlátos, egy felső korlátja az, egy alsó korlátja a, tehát a függvény grafikonja az y és az y egyenesek között helyezkedik el. d Az f 3 függvény sem alulról, sem felülről nem korlátos. 3.. Definíció. Az f függvényt szigorúan monoton növekvőnek csökkenőnek nevezzük, ha az értelmezési tartomány bármely két olyan pontjára, amelyekre <, az f < f f > f reláció teljesül. Az f függvényt monoton nemcsökkenőnek nemnövekvőnek mondjuk, ha < esetén az teljesül, hogy f f f f.
6 3. EGYVÁLTOZÓS VALÓS FÜGGVÉNYEK A szigorúan monoton növekvő, szigorúan monoton csökkenő, monoton nemcsökkenő és monoton nemnövekvő függvényeket közös néven monoton függvényeknek nevezzük. A szigorúan monoton növekvő és szigorúan monoton csökkenő függvényekre azt mondjuk, hogy szigorúan monotonak. 3.3. Példa. a Az f függvény szigorúan monoton csökkenő. b Az f ln függvény szigorúan monoton növekvő. c Az f függvény monoton nemcsökkenő és monoton nemnövekvő is. A monotonitás definiálható az értelmezési tartomány valamely részintervallumán is. Ekkor a szóban forgó intervallumon monoton függvényről beszélünk. 3.4. Példa. a Az f függvény a, 0 intervallumon szigorúan monoton növekvő, a 0, intervallumon pedig szigorúan monoton csökkenő, de a teljes értelmezési tartományon vizsgálva nem monoton. b Az f +3 függvény a, intervallumon szigorúan monoton csökkenő, a, intervallumon pedig szigorúan monoton növekvő, de a teljes értelmezési tartományon vizsgálva nem monoton. 3.3. Definíció. Legyen 0 az f függvény értelmezési tartományának egy pontja. Az f függvénynek az 0 pontban helyi vagy lokális maimuma minimuma van, ha megadható az 0 pontnak olyan környezete, hogy az ebbe eső D f, de 0 pontokra igaz, hogy f < f 0 f > f 0. Azt az 0 pontot, ahol az f függvény eléri helyi maimumát minimumát, az f függvény helyi maimuma minimuma helyének nevezzük. Az 0, f 0 pont az y f függvénygörbe helyi maimumpontja minimumpontja. A helyi maimumhelyet és minimumhelyet egy szóval helyi szélsőértékhelynek nevezzük, a helyi maimumpont és minimumpont közös neve pedig helyi szélsőértékpont. 3.5. Példa. a Az f + függvénynek az 0 pontban helyi minimuma van, amelynek értéke f min 0. b Az f + függvénynek az pontban helyi maimuma van, amelynek értéke f ma. c Az f 3 függvénynek nincs helyi szélsőértéke. Az olyan függvények esetében vizsgálható a függvénygörbe alakja a konveitás szempontjából, amelyek értelmezési tartományának van olyan részhalmaza, amely intervallum. 3.4. Definíció. Az [a, b] intervallumon értelmezett f függvényt konvenek konkávnak nevezzük, ha minden a < < b esetén f < f + f f f > f + f f.
3.. Valós függvényekkel kapcsolatos alapfogalmak 7 A fenti definíció szemléletesen a következőképpen fogalmazható meg: egy függvénygörbét konvenek konkávnak nevezünk, ha bármely ívének minden pontja a végpontok kivételével a végpontok által meghatározott húr alatt felett van. A konve görbeívre tehát az jellemző, hogy bármely pontjához húzott érintője fölött halad, míg a konkáv görbeívre az, hogy bármely pontjához húzott érintője alatt halad. A fenti elnevezések akkor lennének pontosak, ha azt is hozzátennénk, hogy a függvény felülről nézve konve, illetve konkáv, de mi mindig ilyen értelemben használjuk őket. 3.5. Definíció. Egy függvénynek az 0 pontban infleiós vagy áthajlási pontja van, ha az 0 pontnak van olyan jobb és bal oldali környezete, hogy az egyikben a függvény szigorúan konve, a másikban szigorúan konkáv, vagy fordítva. 3.6. Példa. Az f 3 függvény a, 0 intervallumon konkáv, a 0, intervallumon konve, az 0 pontban pedig infleiós pontja van és f inf 0 0. 3.6. Definíció. Az f függvényt, amelynek értelmezési tartománya szimmetrikus az origóra, páros függvénynek nevezzük, ha bármely D f pontra f f, és páratlan függvénynek, ha bármely D f pontra f f. A definícióból következik, hogy a páros függvények grafikonja tengelyesen szimmetrikus az y-tengelyre, a páratlan függvények grafikonja pedig középpontosan szimmetrikus az origóra. 3.7. Példa. Az f + függvény páros, mert f + + f. 3.8. Példa. Az f 3 + függvény páratlan, mert f 3 + 3 3 + f. 3.9. Példa. Ha tudjuk, hogy a trigonometrikus függvények közül csak az y cos páros, a többi páratlan, akkor megállapíthatjuk, hogy az f sin + cos függvény se nem páros, se nem páratlan, mivel f sin + cos sin + cos ±f. 3.0. Példa. Az f log se nem páros, se nem páratlan, mert az értelmezési tartománya nem szimmetrikus az origóra. 3.7. Definíció. Az f függvény periodikus, ha létezik olyan ω pozitív valós szám, amelyre teljesül a következő két feltétel:. minden D f esetén következik, hogy + kω D f, ahol k Z;. minden D f esetén f + ω f. Ekkor ω-t az f függvény periódusának nevezzük. Természetesen, ha ω periódus, akkor ennek bármely pozitív egész számszorosa is periódus. A függvény lehető legkisebb periódusát a függvény alapperiódusának nevezzük és ω 0 -val jelöljük.
8 3. EGYVÁLTOZÓS VALÓS FÜGGVÉNYEK 3.. Példa. A trigonometrikus függvények periodikusak. Közülük az f sin és f cos függvények alapperiódusa ω 0 π. Ez azt jelenti, hogy sin + π sin, azaz, hogy sin + kπ sin, k Z, illetve hogy cos + kπ cos, k Z. Az f tg és az f ctg függvények alapperiódusa ω 0 π. Ebből azt tudjuk, hogy tg + kπ tg, k Z, és ctg + kπ ctg, k Z. 3.. Példa. Az f függvény nem periodikus, mert nem találunk olyan ω pozitív valós számot, hogy f+ω f, vagyis + ω teljesüljön, hiszen akkor +ω kellene, hogy igaz legyen minden valós 0 értékre, amely csak ω 0 esetben valósul meg. 3.3. Példa. Vizsgáljuk most ki az f sin 3 függvény periodikusságát. Mivel általános esetben tudjuk, hogy az f függvény periodikusságához egy olyan ω > 0 számot keresünk, amelyre f + ω f igaz, és ebben az esetben tudjuk, hogy az y sin függvény periodikus és π az alapperiódusa, ezért most a sin 3 + ω sin3 + kπ, k Z egyenlőségnek kell teljesülnie. Innen 3 + ω 3 + kπ akkor és csakis akkor, ha 3ω kπ, vagyis ω kπ 3, k Z. Az alapperiódust a legkisebb pozitív egész k számra kapjuk, tehát k esetén, s így az f függvényről megállapítható, hogy periodikus, alapperiódusa pedig ω 0 π 3. 3.4. Példa. Mutassuk meg, hogy az f tg függvény nem periodikus. E célból tegyük fel, hogy az f függvény periodikus ω periódussal, azaz teljesül, hogy tg + ω tg + kπ, k Z. Ebből + ω + kπ, k Z, ahonnan négyzetre emeléssel azt kapjuk, hogy Ekkor + ω + kπ + k π, k Z. ω kπ + k π / R +, k Z, mivel az változó is szerepel a kifejezésben. Ezért az f függvény egy nem periodikus trigonometrikus függvény. FELADATOK. Vizsgáljuk ki az alábbi függvények paritását.. f Megoldás. Mivel f f, az adott függvény páratlan.
3.. Valós függvényekkel kapcsolatos alapfogalmak 9. f 4 + 5 + 6 + 3 cos Megoldás. Mivel f 4 + 5 + 6 + 3 cos 4 + 5 + 6 + 3 cos f, az adott függvény páros. 3. f sinsin Megoldás. Mivel f sinsin sin sin sinsin f, az adott függvény tehát páratlan. 4. f 3 + + + Megoldás. A függvény se nem páros, se nem páratlan, hiszen f 3 + + + 3 + + ±f. cos 5 5. f 3 + Megoldás. A függvény páratlan, mert D f, 0 0, és f 6. f 3 3 Megoldás. Mivel cos 5 3 + cos 5 3 cos 5 3 + f. f 3 3 3 3 3 3 f, ezért a függvény páratlan. 7. f 3 + + 3 + Megoldás. Vegyük észre, hogy D f,,, és f 3 + + 3 + + 3 + 3 + + 3 + 3 + f, ezért a függvény páratlan. 8. f 3 + + 3 Megoldás. Mivel f 3 + + 3 3 + 3 + f, a függvény páros.
30 3. 9. f log a + + Megoldás. A függvény páratlan, mert EGYVÁLTOZÓS VALÓS FÜGGVÉNYEK f log a + + log a + + + + + + log a log a + + loga + + f. + + 0. f ln + cos cos Megoldás. A függvény páros, mert f ln + cos cos Vizsgáljuk ki az alábbi függvények periodikusságát. ln + cos cos f.. f sin Megoldás. Alkalmazzuk a sin cos trigonometriai azonosságot, s így cos valójában az f függvény periodikusságát kell kivizsgálni. Olyan ω pozitív valós számot keresünk, hogy teljesüljön az f + ω f egyenlőség, illetve ha felhasználjuk az y cos periodikusságát, akkor igaz legyen, hogy Innen vagyis cos + ω cos + kπ, k Z. cos + ω cos + kπ, k Z, + ω + kπ, k Z. Ebből adódik, hogy az f függvény periódusa ω kπ, k Z, az alapperiódusa pedig k -re ω 0 π.. f sin Megoldás. Olyan ω pozitív valós számot keresünk, amelyre sin + ω sin + kπ, k Z. Ebből vagyis ahonnan + ω + kπ, k Z, + ω + kπ, illetve + kπ + ω + kπω, k Z, ω kπ + kπ / R+, tehát ez a függvény nem periodikus.
3.. Valós függvényekkel kapcsolatos alapfogalmak 3 3. f 3 ctg π Megoldás. Mivel 3 ctg π + ω 3 ctg π + kπ, k Z, kell legyen, ezért π + πω π + kπ, k Z, ahonnan ω k, k Z, a periódus, és ω 0 az alapperiódus. 4. f sin π + 3 sin π 3 Megoldás. Mivel most két összeadandónk van, mindkettőnek keressük a periódusát, majd a kapott periódusok legkisebb közös többszöröse lesz az f összegfüggvény periódusa. Először a egyenlőségből kapjuk, hogy ahonnan ω 4k, k Z. Másodszor a egyenlőségből kapjuk, hogy sin π + ω sin π + kπ, k Z, π + πω π + kπ, k Z, 3 sin π 3 + ω 3 sin π 3 + kπ, k Z, π 3 + πω 3 π + kπ, k Z, 3 ahonnan ω 6k, k Z. Mivel LKT 4k, 6k k, az adott f függvény periódusa ω k, k Z, alapperiódusa pedig ω 0. 5. f cos π Megoldás. Vizsgáljuk meg, hogy van-e olyan pozitív valós ω, amelyre teljesül a egyenlőség. Innen cos + ω π π cos + kπ, k Z π + ω π π + kπ, k Z kell legyen, ahonnan ω kπ, k Z a függvény periódusa, ω 0 π pedig az alapperiódus.
3 3. EGYVÁLTOZÓS VALÓS FÜGGVÉNYEK 3..3. Műveletek függvényekkel, az inverz függvény 3.8. Definíció. Az f és g valós függvények összegén, különbségén, szorzatán, hányadosán rendre azt az F, G, H, R függvényt értjük, amely azokban és csak azokban a pontokban értelmezett, amelyekben f és g is értelmezett kivéve az R függvényt, amely g 0 esetén nem értelmezett, és minden ilyen pontban: F f + g f + g, G f g f g, H f g f g, f R f g g. 3.9. Definíció. Az f és g valós függvények összetételén vagy kompozícióján azt a F függvényt értjük, amelynek értelmezési tartománya a g függvény értelmezési tartományának azon pontjaiból áll, amelyekre a g függvényérték hozzátartozik az f függvény értelmezési tartományához, és minden ilyen pontban F f g fg. 3.5. Példa. Ha f +, R és g, 0, akkor f g fg f +, 0, g f gf g + + +,. 3.6. Példa. Bontsuk fel belső és külső függvényekre a F 3 + + 4 függvényt. Ha g + + 4 és f 3, akkor fg 3 + + 4. Viszont, ha g + és f 3 +, akkor f g 3 + + 3 + + 4. 3.0. Definíció. Legyen az f valós függvény által létesített leképezés kölcsönösen egyértelmű bijektív. Az f függvény inverz függvényén értjük azt az f függvényt, amelynek értelmezési tartománya az f értékkészlete, s a hozzárendelési törvénye a következő: egy 0 értékhez olyan f 0 értéket rendel, amely helyen az f függvény az 0 értéket vette fel, azaz ff 0 0. Szigorúan monoton függvénynek mindig létezik inverze, ugyanis ekkor a hozzárendelés kölcsönösen egyértelmű. Ha az f invertálható függvény grafikonja megrajzolható, akkor az f grafikonja is, és ez az f függvény grafikonjának az y egyenesre vonatkozó tükörképe a Descartes-féle derékszögű koordináta-rendszerben. 3.7. Példa. Az f 3 + + 5 függvény f inverzfüggvénye az 3f + f + 5 összefüggésből f 5 3, ahol D f R f R \ { 5} és R f D f R \ {3}.
3.. Valós függvényekkel kapcsolatos alapfogalmak 33 3.8. Példa. Legyen f log + 3 adott függvény, ahol D f, és R f R. Az f függvény f inverzére az ff tulajdonság alapján érvényes, hogy ahol D f R és R f,. logf + 3, azaz f 0 3 +, FELADATOK. Határozzuk meg a következő függvények inverzeit.. f 4 + 3 Megoldás. Az y 4 + 3 függvénygrafikonról megállapítható, hogy az f függvény bijektív a, ], illetve a [, intervallumon, ezért ezek bármelyikén kereshetünk inverzfüggvényt. Ha y 4 + 3, akkor az y változócsere után y 4y + 3, illetve y 4y + 3 0, innen pedig y + + és y +. Ha az f 4 + 3 függvény az f függvény leszűkítése az a, ] intervallumra, vagyis D f, ], az f 4 + 3 függvény pedig az f függvény leszűkítése az a [, intervallumra, vagyis D f [,, akkor f +, és f + +, és R f [, miatt mindkét függvény értelmezési tartománya D f D f [,.. f 3 Megoldás. Írjuk fel a függvényt y 3 alakban. változócsere után 3 y írható fel, ahonnan Ekkor az y + 3 y, illetve y log 3 + egyenlőségekhez jutunk, ahonnan az inverzfüggvény f + + log 3. 3. f 3 + ln + Megoldás. Mivel most y 3 + ln +, az y változócsere után felírható, hogy 3 + lny +. Ha ebből kifejezzük az y függő változót, akkor ebből 3 lny +, illetve e 3 y +, ahonnan megkapjuk, hogy az inverzfüggvény f e 3.
34 3. EGYVÁLTOZÓS VALÓS FÜGGVÉNYEK 4. f + Megoldás. Végezzük el az y változócserét az y + egyenletben. Ekkor az y + egyenletet kapjuk, ahonnan ki kell fejeznünk az y függő változót. Az y átalakítás során azt kapjuk, hogy y y +, illetve y +, ahonnan az inverz függvény f +. Vegyük észre, hogy az f függvény most önmagának inverze, ami azt jelenti, hogy a függvény grafikonja szimmetrikus az y egyeneshez viszonyítva. 5. f Megoldás. Vezessük be az y egyenletbe az y változócserét. Ekkor az y y összefüggést kapjuk, amelyből ki kell fejezni a függő y változót. Rendezve az egyenletet adódik, hogy y y, illetve y y. Ha a kapott egyenletben bevezetjük a y t helyettesítést, akkor a t t 0 másodfokú egyenletet kapjuk, amelyből illetve a visszahelyettesítés után t + + és t +, y + + vagy y +. Mivel + < 0, ezért csak a y + + egyenlőség lehetséges, ahonnan mindkét oldal logaritmálása után kapjuk meg, hogy f log + +. 6. f a a, a > 0, a a + a Megoldás. Bővítsük az f függvényt a -nel. Így az y a egyenletbe kell a + bevezetni az y változócserét, s ekkor ay. Kifejezve ebből a függő a y + változót adódik, hogy a y +, illetve a y +, amelyből megkaphatjuk, hogy a keresett inverzfüggvény f log a +. 7. f ln +
3.. Valós függvényekkel kapcsolatos alapfogalmak 35 Megoldás. Az y változócsere után az y ln + ln + y egyenletet, amelyből y-t fejezzük ki. Ekkor y e y + y, illetve y e + e egyenletből kapjuk az az ekvivalens egyenlet, ahonnan a keresett inverzfüggvény f e e +. 8. f log a + +, a > 0, a Megoldás. Ismételjük meg az előző feladatokból már jól ismert eljárást, azaz vezessük be az y log a + + egyenletben az y változócserét. Ekkor log a y + y +, ahonnan a y y +. Négyzetre emelés után adódik, hogy a ya + y y +, illetve ya a, innen pdig következik, hogy az inverzfüggvény f a a. 9. f sin 3 Megoldás. Alkalmazzuk az y Ekkor az sin 3y sin 3 egyenletet kapjuk, ahonnan az sin 3y, illetve egyenletre az y változócserét. sin 3y ekvivalens egyenleteket kapjuk. A keresett inverzfüggvény tehát 0. f ecos + e cos f 3 arcsin. Megoldás. Ha y ecos, akkor az inverzfüggvényt az y változócsere + ecos után az ecos y egyenletből határozzuk meg. Innen + ecos y e cos y +, azaz cos y ln +, a keresett inverzfüggvény pedig f arccos ln +.
36 3. EGYVÁLTOZÓS VALÓS FÜGGVÉNYEK. Írjuk fel az f 4 + felhasználásával. Megoldás. Mivel függvényt más alakban, az abszolútérték definíciójának {, ha 0,, ha < 0, így + { +, ha, +, ha <. Ezért az f függvény felírható a következő alakban: f 4, ha, + 4, ha <. +. Írjuk fel az f + sgn + 5 3 + függvényt más alakban, az előjel függvény definíciójának felhasználásával. Megoldás. Mivel, ha > 0, sgn 0, ha 0,, ha < 0, + 3 +, ha > 5, ezért f + 0 3 +, ha 5, + 3 +, ha < 5, rendezés után pedig 4, ha > 5, f 3, ha 5, 4, ha < 5. 3. Ha f, akkor határozzuk meg az és y értékét úgy, hogy ff 0 és ffy y igaz legyen. Megoldás. Alkalmazva az összetett függvény szabályát az ff 0 feltételből az f 0 illetve 0 egyenlet következik, amelynek megoldása 3 4. Az ffy y feltételből következik, hogy így a kapott egyenlet megoldása y. fy y vagyis y y, 4. Ha f +, akkor határozzuk meg a g függvényt az f + g + 3 összefüggésből. Megoldás. Ha f + g + 3, akkor az f függvény definíciója alapján érvényes, hogy + g + + 3 azaz + g + + 3, ahonnan g.
3.. Valós függvényekkel kapcsolatos alapfogalmak 37 5. Keressük meg mindazokat az f : R R függvényeket, melyekre f00 és ffy f y érvényes legyen minden, y R esetén. Megoldás. Vegyük észre, hogy minden y R esetén fy 0 kell legyen, mert ha létezne olyan y R, amelyre fy 0 lenne, akkor minden R esetén érvényes lenne, hogy f 0 f y, amely csak f 0 esetén lenne igaz, de ez az f00 feltétel miatt nem lehetséges. Vegyük észre továbbá azt, hogy y választásával ami lehetséges, hiszen az ffy f y egyenlet minden, y R esetén érvényes fyfy fy adódik, ahonnan fy f, amely függvény eleget tesz az f00 feltételnek is. Így a keresett függvény az f konstans függvény. 6. Határozzuk meg mindazokat az f valós függvényeket, melyekre érvényes, hogy fy ffy és f + y f + fy + y minden, y R esetén. Megoldás. Ha y 0, akkor az f + y f + fy + y feltételből következik, hogy f f + f0, azaz f0 0 adódik. Ha az f + y f + fy + y feltételben y, akkor f0 f + f. Mivel f0 0, így az következik, hogy f + f. Írjuk fel az előbbi lépésben kapott feltételt f + f alakban, majd alkalmazzuk rá az fy ffy feltételt. Ekkor f f + f f, ahonnan ff + f. Ha most az f+y f+fy+y feltételben -et és y -et választunk, akkor f + f következik, ahonnan megkapjuk az f megoldást. 7. Ha f e e és g e + e, akkor mutassuk meg, hogy f ± y fgy ± gfy. Megoldás. Először mutassuk meg, hogy f + y fgy + gfy teljesül. f + y e+y e y e+y e +y e e y 4e e y e e y e y + e + e e y + e y e 4e e y e e y + e e y + e + e y e e y e e ey + e y + e + e ey e y e e ey + e y + e + e ey e y fgy + gfy.
38 3. EGYVÁLTOZÓS VALÓS FÜGGVÉNYEK Mutassuk meg hasonlóképpen, hogy az f y fgy gfy összefüggés is teljesül. f y e y e +y e y e y e e y 4e e y e e y e + e y + e e y + e e y 4e e y e e y + e e y + e + e y e e y e e e y + e y + e + e e y e y e + e e y e y + e e e y + e y fgy gfy. 8. Legyen f adott függvény és n N. Határozzuk meg az f n + kifejezést, ha f f és f n ff n. Megoldás. Mivel f f f ff f + f 3 ff f + f 4 ff 3 f + 3 ahonnan most már megsejthetjük, hogy f n +, + + + + + + +3 + +3 + n, n N. Az állítást matematikai indukcióval bizonyítjuk. o n -re az állítást igaz. o Feltesszük, hogy az állítás igaz n k-ra, azaz f k + + + + +3 + +3 +4 +3 +, + 3, + 4, + k, k N. 3 o Igazoljuk, hogy ekkor az állítás n k + -re is igaz. Mivel f k+ ff k f +k, + k + + k + +k ezzel az állítást igazoltuk. 9. Mutassuk meg, hogy minden valós esetén arctg arcsin +. Megoldás. Ha két függvényérték egyenlő, akkor tangenseik is egyenlőek, tehát tg arctg tg arcsin, R. +
3.. Függvények folytonossága 39 és végezzük el a megfelelő transz- Használjuk fel, hogy tg α sin α cos α formációkat. Ekkor sin arcsin + sin arcsin + sin α sin α következik, amivel az állításunkat igazoltuk. 0. Mutassuk meg, hogy ha <, akkor arcsin arctg, innen +, illetve +. Megoldás. Vegyük észre, hogy < esetén az kifejezés értelmezett. Ha két függvényérték megegyezik, akkor színuszaik is megegyeznek, tehát sin arcsin sin arctg, <. A sin α tg α + tg α trigonometriai azonosság alkalmazásával következik, hogy tg arctg + tg arctg, ebből, illetve + következik, amivel az állításunkat igazoltuk. 3.. Függvények folytonossága 3... A folytonosság definíciója 3.9. Példa. Tekintsük az f sgn előjel függvényt D f R és az 0 pontot. Tudjuk, hogy sgn 0 0. Vegyünk egy olyan 0-hoz tartó { n } sorozatot, amelyben n < 0. Legyen például n. Ekkor n n 0, a megfelelő függvényértékekből n alkotott sorozat határértékére pedig érvényes, hogy f n f. n n n n Ha n, akkor most n n > 0 és n 0, a megfelelő függvényértékekből alkotott n sorozat határértékére pedig igaz, hogy f n f +. n n n n
40 3. EGYVÁLTOZÓS VALÓS FÜGGVÉNYEK Vegyünk most olyan 0-hoz tartó sorozatot, amelyben az elemek felváltva pozitív, illetve negatív előjelűek. Legyen például n n, ahol n n 0, a megfelelő n függvényértékekből alkotott sorozat pedig f, f, f, f, 3 4 f n, f n, 5 Ez a sorozat nem is konvergens. Megállapíthatjuk tehát, hogy az f sgn függvény értéke nullában értelmezett és f0 0. Ha az { n } sorozat balról tart 0-hoz, akkor f n, ha az { n } sorozat jobbról tart 0-hoz, akkor f n, és ezek a n n határértékek nem egyeznek meg az f0 függvényértékkel, a 0-hoz tartó oszcilláló { n } sorozat esetén pedig f n nem is létezik. Vegyük észre azt is, hogy a szignum n függvény grafikonja a 0-ban megszakad. 3.30. Példa. Tekintsük most az f {} törtrész függvényt és az pontot D f R, ahol a {} [], vagyis [] az valós szám egész részét, {} pedig az valós szám törtrészét jelöli. Vegyünk először olyan sorozatot, melynek minden eleme -nél kisebb és -hez tart. Ilyen például az n n. E sorozat elemeihez tartozó n függvényértékekből alkotott sorozat f0 0, f n, f 3 3 3, f 3 n 4 4, f n n n, Így a függvényértékekből alkotott sorozat -hez tart. Vegyünk most olyan sorozatot, amelynek minden eleme -nél nagyobb és ez a sorozat is tartson -hez. Ilyen például az n n +. E sorozat elemeihez tartozó függvényértékekből alkotott sorozat n 3 f 0, f 4, f 5 3 3, f n + 4 4, f n n, Ez a sorozat 0-hoz konvergál. Tudjuk továbbá azt is, hogy a függvényérték f {} [] 0. Vegyük tehát észre, hogy f 0, f n, ha az { n } n sorozat balról tart -hez, és f n 0, ha az { n } sorozat jobbról tart -hez. A n törtrész függvény grafikonjáról azt is láthatjuk, hogy a grafikon -ben megszakad. 3.3. Példa. Tekintsük most az f függvényt és az pontot. Ekkor f 4. Vegyünk fel olyan tetszőleges { n} sorozatot, amely -hez tart. A megfelelő függvényértékek sorozata { n} és határértékére igaz, hogy n n n n 4,
3.. Függvények folytonossága 4 amely érték megegyezik az f grafikonját vizsgáljuk az 4 függvényértékkel. Ha az f függvény pontban, akkor az előző két példával ellentétben megállapíthatjuk, hogy a függvény grafikonja az pontban nem szakad meg. Másképpen is leírható a függvény -ben vizsgált tulajdonsága. Adjunk meg egy tetszőleges pozitív ε számot és legyen 0 < <. Ekkor 4 + + 3 < ε, ha < ε 3. Ezért, ha a δ pozitív számot -nél kisebbre választjuk, akkor az -nek van olyan δ-sugarú környezete, hogy az ebbe eső pontokban a függvény értéke az 4 kevesebbel tér el. függvényértéktől ε-nál Ezen gondolatmenet alapján megfogalmazhatjuk a folytonosság definícióját. Ezért a továbbiakban mindig feltesszük, hogy a függvény, nemcsak a vizsgált pontban, hanem annak valamely környezetében esetleg csak félkörnyezetében értelmezve van. A folytonosság pontos fogalmára két definíciót is adunk. y f 0 ε f 0 f y f 3.. Definíció. Cauchy. Az f függvény folytonos az 0 pontban, ha bármely pozitív ε-hoz megadható olyan pozitív δ δ az ε és az 0 függvénye, hogy 0 δ, 0 + δ D f, és ha 0 < δ, akkor f f 0 < ε, miközben 0, D f. f 0 ε 0 0 0 3.. Definíció. Heine. Az f függvény folytonos az 0 D f pontban, ha f az 0 szimmetrikus környezetében értelmezve van, és minden olyan { n } n D f sorozatra, amely 0 -hoz tart, az f n függvényértékek sorozata az f 0 függvényértékhez tart. Ezen definíciók azon megfogalmazásnak adnak pontos értelmet, miszerint, ha az pont elég közel van 0 -hoz, akkor f közel van f 0 -hoz. Belátható, hogy a Heine-féle és a Cauchy-féle folytonossági definíciók ekvivalensek. Az alábbiakban megadjuk a féloldali folytonosság fogalmát is a Cauchy-féle megfogalmazás szerint. Minden folytonossági definíció megfogalmazható Heine szerint is.
4 3. EGYVÁLTOZÓS VALÓS FÜGGVÉNYEK 3.3. Definíció. Cauchy. Az f függvényt az 0 -ban balról jobbról folytonosnak nevezzük, ha f az 0 megfelelő félkörnyezetében értelmezett és bármely ε > 0-hoz megadható olyan pozitív δ δ az ε és az 0 függvénye, hogy < 0 > 0 és 0 δ, 0 0, 0 + δ, akkor f f 0 < ε, miközben 0, D f. 3.. Tétel. Az f függvény egy 0 pontban akkor és csak akkor folytonos, ha 0 -ban balról is és jobbról is folytonos. 3.3. Példa. a Az f függvény minden 0 pontban folytonos. b Az f sgn függvény az 0 pontban nem folytonos. c Az {}, az ún. törtrész-függvény minden egész értékben balról nem folytonos, jobbról viszont folytonos. 3... Folytonos függvények 3.. Tétel. Ha két függvény folytonos az 0 pontban, akkor összegük, különbségük és szorzatuk is folytonos az 0 pontban. Hányadosuk is folytonos, ha a nevezőben levő függvény az 0 pontban nullától különböző. 3.3. Tétel. Az f g összetett függvény folytonos az 0 pontban, ha a g belső függvény folytonos 0 pontban és az f függvény folytonos g 0 pontban. A folytonosság pontbeli tulajdonság, bár a függvénynek a vizsgált pont környezetében való értelmezettsége is szükséges az e pontbeli folytonossághoz. Most ezt a pontbeli tulajdonságot intervallumokra is kiterjesztjük. 3.4. Definíció. Az f függvényt egy nyitott intervallumon folytonosnak nevezzük, ha az intervallum minden pontjában folytonos. Az f függvényt egy zárt intervallumon folytonosnak nevezzük, ha az intervallum minden belső pontjában folytonos, a bal végpontban jobbról és a jobb végpontban balról folytonos. 3.5. Definíció. Egy függvényt folytonosnak mondunk, ha értelmezési tartományának minden pontjában folytonos. Amennyiben az értelmezési tartomány több intervallumból áll, akkor minden intervallumon megköveteljük a folytonosságot. Az olyan helyeken, ahol a függvény nincs értelmezve, a folytonosság kérdésének feltevése eleve indokolatlan. Fontos megjegyezni, hogy az elemi függvények folytonosak az értelmezési tartományukon. 3.4. Tétel. Bolzano-tétel. Ha a függvény a zárt intervallumon folytonos, és az intervallum két végpontjában az értékei különböző előjelűek, akkor az intervallum belsejében van nullahelye. A tétel geometriai jelentése a következő: ha az f függvény az [a, b] zárt intervallumban folytonos és grafikonjának az -tengely mindkét oldalán van pontja, akkor van a grafikon e két pont közötti ívének az -tengellyel legalább egy metszéspontja. A következő tétel a zárt intervallumon folytonos függvények, a későbbi alkalmazások szempontjából nagyon fontos tulajdonságát fogalmazza meg.
3.3. Függvények határértéke 43 3.5. Tétel. Zárt intervallumon folytonos függvény korlátos ezen az intervallumon. A tétel geometriai jelentése: ha az f függvény az [a, b] intervallumban folytonos, akkor grafikonja nem távolodhat el akármilyen messzire az -tengelytől; megadható olyan, az -tengellyel párhuzamos sáv, hogy az f függvény grafikonjának az [a, b] intervallumhoz tartozó szakasza a sávban halad. Végül következzen két tétel, melyek az inverz függvényekkel kapcsolatosak. 3.6. Tétel. Legyen az f függvény folytonos az [a, b] intervallumon, ekkor az f függvény létezéséhez szükséges és elégséges, hogy az f függvény szigorúan monoton legyen az [a, b] intervallumon. 3.7. Tétel. Ha f az [a, b] intervallumon szigorúan monoton folytonos függvény, inverze, f is folytonos azon az [α, β] intervallumon, amelynek végpontjai α min{fa, fb} és β ma{fa, fb}. 3.3. Függvények határértéke 3.3.. Függvény határértékével kapcsolatos alapfogalmak Legtöbbször olyan függvényeket vizsgálunk, amelyek egy intervallumon vannak értelmezve. Vannak azonban olyan példák is, ahol a függvények egy pontban vagy nincsenek értelmezve, vagy az adott pontban végtelen nagy értéket vesznek fel. Ilyen esetekben szükség van a függvénynek a pont egy környezetében való vizsgálatára. Nézzünk először néhány példát. 3.33. Példa. Az f sgn függvény az origóban nem folytonos, viszont ha n 0 és n 0, akkor a {sgn n } sorozat konvergens és -hez tart, hiszen minden n-re sgn n. y y sgn 3.34. Példa. Az y f függvény az pontban nem folytonos, de megállapíthatjuk, hogy bármely n és n sorozatra { } n { n + } n y konvergens és -höz tart. 3.35. Példa. Az f függvény az origóban nem folytonos, de bármely más { } pontban igen. Bármely n 0 és például n sorozatra a konvergens, sőt határértéke megegyezik a függvény pontban vett helyettesítési értékével, az 4 -del. n
44 3. EGYVÁLTOZÓS VALÓS FÜGGVÉNYEK Az ilyen és hasonló tulajdonságú függvényekről azt mondjuk, hogy létezik a határértékük. Most is azt feltételezzük, hogy a vizsgált pont valamely környezetében vagy félkörnyezetében értelmezve van a függvény a vizsgált helyen a függvény nem feltétlenül értelmezett. y f 0 A ε y f 3.6. Definíció. Legyen az f függvény az 0 pont valamely környezetében értelmezett, kivéve esetleg az 0 pontot. Ekkor azt mondjuk, hogy az f függvény 0 pontbeli határértéke az A szám, ha bármely ε > 0- hoz létezik olyan δ > 0 δ függvénye ε-nak és az 0 -nak, hogy ha 0 < δ 0, akkor f A < ε. Természetesen D f. A f A ε 0 0 0 3.36. Példa. A fenti példák esetében tehát felírható, hogy sgn és 0 + +. 3.7. Definíció. Legyen az f függvény az 0 pont valamely jobb, illetve bal oldali félkörnyezetében értelmezett, kivéve esetleg az 0 pontot. Ekkor azt mondjuk, hogy az f függvény 0 pontbeli jobboldali baloldali határértéke az A szám, ha bármely ε > 0 számhoz megadható olyan δ > 0 δ függvénye ε-nak és az 0 -nak, hogy ha 0 < < 0 +δ 0 δ < < 0, akkor f A < ε. Természetesen D f. A jobboldali, illetve baloldali határértékek jelölése: f A, illetve f A. 0 +0 0 0 3.37. Példa. a Az f sgn függvény viselkedését az 0 pont környezetében a féloldali határértékek segítségével így írhatjuk fel: sgn és sgn. 0 0 0+0 b Az f [] egészrész függvény viselkedése az 3 pont környezetében így írható fel: [] 3 és [] 4. 3 0 3+0 c Az f {} törtrész függvény viselkedése az pont környezetében így írható fel: {} és {} 0. 0 +0 3.8. Tétel. Az f függvénynek az 0 pontban akkor és csak akkor létezik határértéke, ha ott létezik a jobb és bal oldali határértéke és ezek egyenlőek, azaz f f f. 0 +0 0 0 0
3.3. Függvények határértéke 45 3.3.. Függvény határértékének tulajdonságai Most pedig megfogalmazunk néhány, a függvényekkel végezhető műveletekre, a függvények határértékére és folytonosságára vonatkozó egyszerű állítást. 3.9. Tétel. Ha f 0 és 0 f létezik, akkor 0 f 0. 3.0. Tétel. Ha f és g létezik, akkor az 0 pontban az f és g függvények 0 0 összegének és különbségének határértéke is létezik és [f + g] f + g, 0 0 0 [f g] f g. 0 0 0 3.. Tétel. Ha f és g létezik, akkor az 0 pontban az f és g függvények 0 0 szorzatának határértéke is létezik és 0 [fg] 0 f 0 g. 3.. Tétel. Ha f és g létezik és g 0, akkor az 0 pontban az 0 0 0 f és g függvények hányadosának határértéke is létezik és f 0 g 0 f 0 g. 3.3. Tétel. Ha f és g létezik, valamint az 0 valamely környezetében 0 0 f g, akkor f g. 0 0 3.4. Tétel. Rendőr-elv. Ha f és g határértékek léteznek és egyenlőek, 0 0 azaz f g A 0 0 valamint az 0 valamely környezetében f h g, akkor h A. 0 3.5. Tétel. Az f függvénynek 0 -ban akkor és csak akkor létezik határértéke, ha {f n } konvergens, valahányszor n 0 n 0, n D f. 3.6. Tétel. Az f függvény akkor és csak akkor folytonos az 0 pontban, ha az 0 pontban létezik határértéke és 0 f f 0.