A deceber -i gyakorlat téája A hipotézisvizsgálat fotos probléája a következő két kérdés vizsgálata. a) Egy véletle eyiség várható értékéek agyságáról va bízoyos feltevésük. Elleőrizi akarjuk e feltevés helyességét. Eek érdekébe éréseket végzük, és ezek alapjá kíváuk dötei. Ez forálisa azt jeleti, hogy elleőrizi akarjuk, X,..., X függetle egyfora eloszlású valószíűségi változók egy sorozata (ait itáak is evezük), µ várható értékű valószíűségi változókból áll-e. Feltételezzük, hogy ezek a valószíűségi változók orális eloszlásúak. (E feltételezés ögött a űszaki életbe hibatörvéyek evezett jeleség va.) b) Két külöböző véletle eyiség va, és ezek µ és µ várható értékét akarjuk összehasolítai. Va aikor arra vagyuk kivácsiak, hogy egyelőek-e ezek a várható értékek, va aikor arra, hogy igaz-e, hogy µ µ. A kérdés eldötése érdekébe függetle éréseket végzük. Bizoyos X,..., X µ várható értékű, és Y,..., Y µ várható értékű függetle éréseket végzük, és ezek alapjá kíváuk dötést hozi. Most is feltesszük, hogy a ért értékek orális eloszlásúak. Mid a két feladat vizsgálatába egkülöböztetük két külööző esetet. Az első (egyszerűbb) eset az, aikor iserjük a egfigyelt véletle érések igadozását érő szóráségyzetet, a ásodik (boyolultabb) eset az, aikor ezt e iserjük. Az első esetbe a cetrális határeloszlástétel segítségével tudjuk egadi az eljárást. Akkor, aikor iserjük a egfigyelt valószíűségi változó szóráségyzetét, az a) kérdésre adott eljárást egyitás U-próbáak, a b) kérdésre adott eljárást kétitás U-próbáak evezzük. (Va, ahol ezeket az eljárásokat Z-próbáak hívják.) Egyitás U-próba. Legye adva függetle orális eloszlású µ várható értékű és (isert) σ szóráségyzetű valószíűségi változók X,..., X sorozata. Készítsük el e valószíűségi változók X = X + +X átlagát és a U(X,..., X ) = X µ σ próbafüggvéyt. Az U(X,..., X ) próbafüggvéy a feti tulajdoságok teljesülése eseté stadard orális eloszlású. Eze összefüggés alapjá tuduk előírt ε elsőfajú hibával redelkező jó dötést hozi arról, hogy elfogadjuk-e az EX = µ vagy EX µ feltevést. Kétitás U-próba. Legye adva függetle orális eloszlású valószíűségi változók X,..., X sorozata µ várható értékkel és (isert) σ szóráségyzettel, illetve függetle orális eloszlású valószíűségi változók Y,..., Y sorozata µ várható értékkel és (isert) σ szóráségyzettel. Tegyük fel azt is, hogy az X,..., X és Y,..., Y valószíűségi változók sorozata függetle egyástól. Vezessük be az X = X + +X és Ȳ = Y + +Y átlagokat valait az U(X,..., X, Y,..., Y ) = X Ȳ σ + σ
próbafüggvéyt. Az U(X,..., X, Y,..., Y ) próbafüggvéy a feti tulajdoságok teljesülése eseté stadard orális eloszlású. Eze összefüggés alapjá tuduk előírt ε elsőfajú hibával redelkező jó dötést hozi arról, hogy elfogadjuk-e a µ = µ vagy µ µ feltevést. Ha e iserjük a szóráségyzetet, akkor érdees azt jól egbecsüli, és a(z iseretle) szóráségyzet helyett aak becsült értékével száoli. Eze alapul az egy és kétitás U-statisztika eljárása. Eek kidolgozása érdekébe oldjuk eg először a következő feladatot..) Legye adva függetle F (x) eloszlású valószíűségi változók ξ,..., ξ sorozata. Legye ξ = ξ k. Mutassuk eg, hogy az S = (ξ j ξ) kifejezés a k= szóráségyzet torzítatla becslése, azaz ES = σ. Továbbá Var S = ( E(ξ Eξ ) 4 3 ) (Var ξ ). Megoldás: Írjuk át az S kifejezést száukra alkalasabb alakba. S = = ξj Továbbá, E (ξ j ξ) = ξj ξ = Eξ, E ( (ξj + ξ ξξ j ) = ) ξ j = ξj Eξ j + ( ) j<k ξ j Eξ j ξ k = Eξ + ( )Eξ ξ = Eξ + ( )(Eξ ). Ie ES = Eξ Eξ (Eξ ) = Eξ (Eξ ) = Var ξ. A Var S szóráségyzetet száoljuk ki először abba a speciális esetbe, aikor Eξ = 0. Ekkor Var S = Var ( ) ξ j ξ i ξ j ( ) i<j = Var ξ j + Var ( ) ξ iξ j, i<j ert a ξ j és ( ) ξ iξ j valószíűségi változók korrelálatlaok. A i<j ( ) további korrelálatlaságok iatt Var ξ j = Var ξ = (Eξ4 (Eξ) ), és.
Var ( i<j ( ) ξ iξ j ) = ( ) (Eξ ), ahoa Var S = ( Eξ 4 3 ) (Eξ ). Ie következik a feladat állítása abba a speciális esetbe, ha Eξ = 0. Az általáos eset visszavezethető erre a speciális esetre a ξ j = ξ j Eξ j, ˆξ = ξ j változók bevezetésével az ( ξ j ˆξ) azoosság felhaszálásával. (ξ j ξ) = Abba az esetbe, ha e iserjük a egfigyelt véletle eyiségek szóráségyzetét, a szóráségyzet helyett aak becslését, az úgyevezett tapasztalati szóráségyzetet haszáljuk. Isertete a tapasztalati szóráségyzet defiicióját, illetve azt a tételt, aely a vizsgált kérdések egoldására javasolt ódszerek hátterébe va akkor, ha a a szóráségyzetet e iserjük. Ezeket a ódszereket egyitás és kétitás t-próbáak hívják. Tapasztalati szóráségyzet defiiciója. Legye X,..., X függetle egyfora eloszlású valószíűségi változók sorozata. Az S = (X j X), ahol X = X k (A) képlettel egadott kifejezést e valószíűségi változók tapasztalati szóráségyzetéek evezik. Az előző feladat célja aak egagyarázása volt, hogy iért érdees a tapasztalati szóráségyzet fet bevezetett alakját haszáli. Ez azt utatja, hogy a tapasztalati szóráségyzet a valódi szóráségyzet olya torzítatla becslése, aelyek a szóráségyzete agy ita esetébe kicsi, agyságredű. Függetle stadard orális valószíűségi változók esetébe további tartalas eredéyeket lehet bizoyítai a tapasztalati szóráségyzet viselkedését. Ezt odja ki a következő tétel, aely a t- statisztikák hátterébe va. Tétel. Legye X,..., X függetle stadard orális eloszlású valószíűségi változók sorozata. Ekkor az általuk az (A) képletbe defiiált S valószíűségi változó és az X = X j valószíűségi változók egyástól függetleek. Továbbá az ( )S valószíűségi változó eloszlása az szabadságfokú χ-égyzet, az változó eloszlása a stadard orális eloszlás. X valószíűségi A későbbi eredéyek egfogalazása érdekébe érdees bevezeti a Studet eloszlás defiicióját. 3
Studet eloszlás defiiciója. Legye X és Y két függetle valószíűségi változó, aelyek közül X stadard orális eloszlású, Y pedig szabadságfokú χ-égyzet eloszlású. Ekkor az X háyados eloszlása az szabadságfokú Studet eloszlás. Y Megfogalazo az egy és kétitás t-próbák alapjául szolgáló eredéyeket. Egyitás t-próba. Legye adva függetle orális eloszlású µ várható értékű és (iseretle) σ szóráségyzetű valószíűségi változók X,..., X sorozata. Készítsük el e valószíűségi változók X = X + +X átlagát és a t (X,..., X ) = X µ S próbafüggvéyt, ahol az S kifejezést az (A) képletbe defiiáltuk. A t (X,..., X ) próbafüggvéy eloszlása a feti tulajdoságok teljesülése eseté az szabadságfokú Studet eloszlás. Eze összefüggés alapjá tuduk előírt ε elsőfajú hibával redelkező jó dötést hozi arról, hogy elfogadjuk-e az EX = µ vagy EX µ feltevést. Kétitás t-próba. Legye adva függetle orális eloszlású valószíűségi változók X,..., X sorozata µ várható értékkel és (iseretle) σ szóráségyzettel, illetve függetle orális eloszlású valószíűségi változók Y,..., Y sorozata µ várható értékkel és (iseretle) σ szóráségyzettel. (Feltettük, hogy a két sorozat iseretle szóráségyzete egegyezik.) Tegyük fel azt is, hogy az X,..., X és Y,..., Y valószíűségi változók sorozata függetle egyástól. Vezessük be az X = X + +X és Ȳ = Y + +Y átlagokat valait az t + (X,..., X, Y,..., Y ) = X Ȳ ( + ) ( )S + ( )S + próbafüggvéyt, ahol az S valószíűségi változót az (A) képletbe defiiáltuk, és az S valószíűségi változót szité hasolóa defiiáljuk az (A) forula segítségével azzal a külöbséggel, hogy az Y,..., Y itát haszáljuk az X,..., X ita helyett. A t + (X,..., X, Y,..., Y ) próbafüggvéy eloszlása a feti tulajdoságok teljesülése eseté az úgyevezett szabadságfokú Studet eloszlás. Eze összefüggés alapjá tuduk előírt ε elsőfajú hibával redelkező jó dötést hozi arról, hogy elfogadjuke az µ = µ vagy µ µ feltevést. A következő, a MobiDIÁK köyvtár Feladatok a hipotézisvizsgálat téaköréből szárazó. példa az egy és kétitás U-próbára utat példát..) Egy kiterjedt épegészségügyi vizsgálat sorá egállapították, hogy az egészséges felőtt populáció eseté a diasztolés (alsó) véryoás értékek átlaga 84.8 higayilliéter, szórása pedig.8 higayilliéter. Az Alsóbezgeyei Atlétikai Klub hat 4
véletleszerűe kiválasztott verseyzőjéél a klub sportorvosa az alábbi diasztolés értékeket jegyezte fel: 79., 64.6, 86.8, 73.7, 74.9, 6.3. a) A sportorvos ezek alapjá úgy godolta, hogy az atléták átlagos diasztolés véryoása alacsoyabb, it 84.8. Feltételezve, hogy az atléták diasztolés véryoása orális eloszlást követ, szórása pedig egegyezik a teljes populációra kapott értékkel (.8 higayilliéter), dötsö 95%-os szite arról, hogy igaza va-e a doktorak. Az Alsóbezgeyei Sakk Klub verseyzői szité eglátogatták a fet elített doktort, aki az ő esetükbe is feljegyezte hat véletleszerűe kiválasztott sportoló diasztolés véryoás értékét, aelyek az alábbiak: 84.6, 93., 04.6, 06.7, 76.3, 78.. b.) Hipotéziseit potosa egfogalazva dötsö 95%-os szite arról, hogy a sakkozók diasztolés véryoása agasabb-e, it az atlétáké! A sakkozók diasztolés véryoásáról szité feltehetjük, hogy orális eloszlást követ, szórása pedig egegyezik a teljes épesség körébe ért értékkel. Megoldás a) rész A feladat így fogalazható eg: H 0 : µ x = 84.8; H : µ x < 84.8. α = 0.05. egyoldali ellehipotézis Ekkor = 6, az átlag x = 73.5833, σ x =.8. A próbastatisztika: U = x µ x,0 σ x = 73.5833 84.8.8 6 =.465. A kritikus tartoáy U U(0.05) =.645. A kapott érték,.465 kisebb eél, ezért elvetjük a H 0 hipotézist. Megoldás b) rész A feladat így fogalazható eg: H 0 : µ x = µ y ; H : µ x < µ y. α = 0.05. egyoldali ellehipotézis Ebbe az esetbe = = 6, x = 73.5833, ȳ = 90.6, σ x = σ y =.8. A próbastatisztika: U = x ȳ 3 =.306. σ x + σ y = 73.58.33 90.6.8 A kritikus tartoáy U U(0.05) =.645. eél, ezért elvetjük a H 0 hipotézist. A kapott érték,.306 kisebb Az előbbi feladatsor.5 példája az egyitás t-statisztikára utat példát. 5
3.) Egy üze gyártósorá az egyik szerelési feladatra egadott szitidő 9 perc. Az e poto dolgozó alkalazottak ár több kérvéybe kérték a szitidő feleelését, ivel véleéyük szerit az e elegedő a feladat elvégzésére. Az üze vezetősége egy elleőrt küldött ki, aki véletleszerűe kiválasztott alkaloal egérte a feladat elvégzéséhez szükséges időt. Az eredéyek az alábbiak: 9.4, 8.8, 9.3, 9., 9.4, 8.9, 9.3, 9., 9.6, 9.3, 9.3, 9.. Hipotéziseit és az adatokra voatkozó feltételeit potosa egfogalazva dötsö 99%-os szite, hogy igazuk va-e a ukásokak! Megoldás: A feladat így fogalazható eg: H 0 : µ = 9; H : µ > 9. α = 0.0. egyoldali ellehipotézis Feltételezzük, hogy a feladat elvégzéséhez szükséges idő orális eloszlású. Ekkor a ita eleszáa =, az átlag x = 9.50, a tapasztalati szóráségyzet s = 0.0493, s = 0., A próbastatisztika: t = x µ s = 3.5093. Ha igaz a H 0 ull-hipotézis, akkor a próbastatisztika eloszlása t-statisztika ν = szabadságfokkal, aelyek értéke t (0.99) =.78. A ért érték eél agyobb, ezért elvetjük a ull-hipotézist. 4.) Legye ξ és η két függetle, a [, ] itervalluba egyeletes eloszlású valószíűségi változó, azaz legye ξ és η sűrűségfüggvéye f(x) =, ha x, és f(x) = 0 egyébkét. Száoljuk ki ξ + η sűrűségfüggvéyét. Megoldás: A ξ+η valószíűségi változó sűrűségfüggvéye a g(x) = f(y)f(x y) dy függvéy, ahol f(x) a [, ] itervalluba egyeletes eloszlás sűrűségfüggvéye. Ezért f(y)f(x y) =, ha y, és x y, azaz +x y +x, és ulla egyébkét. Ez azt jeleti, hogy a ξ + η összeg g(x) sűrűségfüggvéye az x potba egegyezik a [, [ ] + x, + x] itervallu hosszával. Ha x >, akkor a feti etszet üres, ezért ebbe az esetbe g(x) = 0. Ha 0 x, akkor ez a etszet a [ + x, ] itervallu, és eek hossza x, azaz ebbe az esetbe g(x) = x. Ha x 0, akkor ez a etszet a [, + x] itervallu, aelyek hossza + x = x, azaz g(x) = + x = x. Ez azt jeleti, hogy g(x) = x, ha x, és g(x) = 0, ha x >. 5.) Legye ξ stadard orális eloszlású valószíűségi változó. Száoljuk ki a ξ valószíűségi változó egyedik oetuát. Legye ξ egy várható értékű és kettő szóráségyzetű orális eloszlású valószíűségi változó. Száoljuk ki ξ sűrűségfüggvéyét és egyedik oetuát. 6
Megoldás: Eξ 4 = = x 4 e x / dx = π [ x 3 π e x / ] + = 3 x e x / dx = 3. π x 3 d ( ) e x / dx dx π 3x π e x / dx A ξ = ξ valószíűségi változó stadard orális eloszlású, és ξ = ( ξ + ), ahol ξ stadard orális eloszlású, ha ξ orális eloszlású várható értékű és szóráségyzetű valószíűségi ( változó. ) Ezért, it azt az előző órá egtárgyaltuk ξ sűrűségfüggvéye x ϕ = π e (x ) /4. Ezért E ξ 4 = x 4 π e (x ) /4 dx, ahoa u = x helyettesítéssel E ξ 4 = ( u + ) 4 e u /4 du = 4 π + 8 + 4 = + 0 + + 0 + = 5 u 3 π e u /4 du + u e u /4 du + π u 4 π e u /4 du u π e u /4 du π e u /4 du Valójába az E ξ 4 egyedik oetuot egyszerűbbe is kiszáolhattuk vola. E ξ 4 = E( ξ +) 4 = 4E ξ 4 +8 E ξ 3 +E ξ +4 ξ + = 4 3+0+ + = 5. 7