VEKTORSZÁMÍTÁS. VEKTORLGEBR.. vektor semléletes értelmeése ok a fka meyséek, melyekek aysáuko kívül ráyuk s va, vektorok. ( vektorok abstrakt matematka defícójába dötő serepe va a össeadásak és a skalárral való sorásak. olya halmaok elemet evek vektorokak, amelyek elemere értelmeve vaak eek a műveletek, és a műveletek léyees sabálya meeyeek a ráyított eyees sakasok össeadásáak és sámmal való sorásáak főbb sabályaval.) vektort eyértelműe meadhatjuk a hossával és a ráyával; em tektük külöböőek két vektort, ha aok párhuamos eltolással átvhetők eymásba... vektor absolút értéke vektor kedő- és vépotjáak távolsáát a vektor absolút értékéek (hossáak, aysááak) eveük. Jelölése: a vay a. Ha a vektor hossa eyséy, akkor a vektort eysévektorak, ha ulla, akkor ullvektorak modjuk. Nullvektor csak ey va, de eysévektorból vétele sok külöböő va..3. Vektorok össeadása Két vektor össeét a paraleloramma-sabály defálja: össeadás vertálható művelet, ver művelete a kvoás. Tehát ha a+ b= c, akkor (és csak akkor) a= c b..4. Vektor sorása skalárral a vektorak λ sámmal való sorata b= λ a ey olya vektor, melyek aysáa b = λa = λ a, ráya ped meeyek a a vektor ráyával, ha λ>, és elletétes, ha λ<.
.5. skalársorat Két vektorho, a-ho és b-he redeljük hoá ey sámot: a két vektor absolút értékéek és a általuk köbeárt sö kosusáak soratát. Et a sámot a két vektor skalárs (belső) soratáak eveük: a b= abcos( ab, ) Sokásos jelölések mé (a,b) és (a b) s..6. Vektorsorat Két vektorho, a-ho és b-he redeljük hoá ey c vektort, melyek aysáa a két vektor által mehatároott paraleloramma területe, ráya ped merőlees a a és b vektorok által mehatároott síkra, úy, hoy a a, b és c vektorok jobbredsert alkossaak, aa a c vektor vépotjából éve a a vektort π- él ksebb söű potív (a óramutató járásával elletétes) ráyú foratás vye át a b vektor ráyába. (Semléletesebbe. ha a jobb ké hüvelykujja a a, mutatóujja a b vektor ráyába mutat, akkor a köépső ujj beállítható a c vektor ráyába.) íy defált c vektort a a és b vektor vektoráls (külső) soratáak eveük: c= a b Sokásos jelölés mé ab, s. vektorsorat absolút értéke: a b = a b s( a, b)..7. Vetület a vektor (merőlees) vetülete a b vektor ráyára: a b = a cos( a, b) = a e b, b ahol eb = a b ráyú eysévektor. b a = a e = ( a e ) e b b b b b vektort a a vektor b ráyú (vektor- )kompoeséek eveük. a vektor felbotható ey b ráyú és ey b-re merőlees kompoes össeére: a= a + a b b b vektorra merőlees a b kompoes aysáát a Ptaoras-tétellel kapjuk: a = a a = a s( a, b). b b
vetületek jeletős serepet játsaak a vektorok sorásáál - et mutatja a alább két aoossá: a b= a b = a b = a b a b a a b = a b = a b a b.8. vektoralebra fotosabb sabálya és aoossáa Leyeek a, b és c tetsőlees vektorok, λ és µ tetsőlees skalárok. a+ = a a+ b= b+ a ( a+ b) + c= a+ ( b+ c) λ = a= a= a λµ ( a) = ( λµ ) a ( λ + µ ) a= λ a+ µ a λ( a+ b) = λa+ λb a = a b= b a a ( b+ c) = a b+ a c ( λa) b= λ( a b) = a ( λb) ha a b=, akkor (és csak akkor) a b aa = a a = a b= b a tehát a vektorsorat atkommutatív! a ( b+ c) = a b+ a c ( λa) b= λ( a b) = a ( λb) ha a b=, akkor (és csak akkor) a b a a= hármas vektorsorat kfejtés tétele: a ( b c) = ( a c) b ( a b) c Véül meemlítjük a ú. veyes soratot: a ( b c) = ( a b) c, melyek értéke -előjeltől eltektve- a három vektor által kfesített paraleleppedo térfoatával eyelő..9. Vektorok Descartes-féle koordátá Leyeek, j és k ortoormált básvektorok, amelyek jobbredsert alkotak: = j = k = ; j= k Ekkor bármely a vektor eyértelműe felírható három merőlees kompoes össeekét: a= a + a j+ a k x y ax, ay, a sámokat a a vektor koordátáak eveük a, j, k básvektorok által mehatároott jobbsodrású Descartes-féle (x,y,) koordátaredserbe. 3
.. Vektorok köött műveletek Descartes-féle koordátákba Össeadás: ha c= a+ b, akkor cx = ax + bx, stb. Sorás skalárral: ha c= λ a, akkor cx = λ ax, stb. Skalársorat: a b= ab x x + ab y y + ab Vektorsorat: ha c= a b, akkor c = a b a b, stb. x y y össeadás, skalárral való sorás és a vektoráls sorat y koordátáját a x koordáta kfejeéséből cklkus permutácóval kapjuk a x dex helyett y-t, y helyett -t és helyett x-et írva. koordátára voatkoó kfejeéseket smételt cklkus permutácóval kapjuk me. vektorsoratot a alább determás kfejtésével s mekaphatjuk: j k a b= ax ay a bx by b Vektor absolút értéke: a = a + a + a x y vektorak a koordátateelyekkel beárt söeek kosusa, aa a vektor ráykosusa: a a x y a cos α =, cos β=, cos γ = a a a ráykosusok eybe a a ráyú e a eysévektor koordátá, eért cos α+ cos β+ cos γ =.. VEKTOR-SKLÁR FÜGGVÉNY vektor-skalár füvéy füetle váltoója skalár, füő váltoója vektor. Ilye füvéyekre a határérték, folytoossá, dfferecálhatósá foalma a valós füvéyekél taultakho hasolóa alkalmaható. a= a() t füvéy határértéke a t = t potba a, vays lm a( t) = a, ha tetsőlees ε> sámho található olya δ>, hoy t t a() t a < ε, ha t t < δ. a a füvéyértékkel: lm a( t) = a( t ) t t = a() t füvéy a t potba folytoos, ha létek határértéke, és a eyelő 4
t = t potba a a= a() t füvéy dfferecálható, ha létek a a a() t a( t) = dfferecaháyados határértéke t = t -ba. Ha e a határérték t t t b, akkor b-t a a( t ) t -bel dfferecálháyadosáak, derváltjáak eveük. Jelölése: da a a(t) a(t ) a! (t ) = lm = lm dt t t t t t t t= t dfferecálháyadost mde potba képeve kapuk ey újabb vektor-skalár füvéyt, a dervált füvéyt: a! = a(t)! Ha e a füvéy s dfferecálható, akkor derváltját a a( t ) füvéy másodk dfferecálháyadosáak eveük: d a da! (t)! a ( t) = = dt dt Hasoló módo defálhatjuk a maasabbredű derváltakat. skalár-skalár füvéyek dfferecálás sabályaval aaló össefüések állak fe vektor-skalár füvéyekre s. Ha λ(t) dfferecálható skalár-skalár füvéy, a(t) és b(t) dfferecálható vektor-skalár füvéyek, akkor a alább dfferecálás sabályok alkalmahatók: Össe dfferecálása: d da db a() t + b() t = + dt dt dt Sorat dfferecálása: d dλ da λ() t a() t = a+ λ dt dt dt d da db a() t b() t = b + a dt dt dt d da db a() t b() t = b+ a dt dt dt Követett füvéy dfferecálása: d da dλ a( λ( t)) = dt dλ dt Ha a a(t) vektorokat köös kedőpotból mérjük fel, akkor a vektorok vépotja ey térörbét írak le, mköbe a t váltoó értéke véfut ey tervallumo; a a!(t ) dervált vektor ped a térörbe értőjéek ráyába mutat. Ha a a(t) vektor eysévektor, akkor a térörbe ey ömbfelülete les rajta, és a a&( t ) dervált vektor merőlees les a a(t)-re. Et a követkeőképpe láthatjuk be. d d d [ a (t) a(t) ] = a(t) a! (t) = a(t) = {} = dt dt dt Tehát mvel a(t) és a! (t) skalársorata érus, a két vektor merőlees eymásra. 5
.. Vektor-skalár füvéy Descartes-féle koordátákba Röített Descartes-féle koordátaredserbe a vektort meadhatjuk koordátával, eért a a= a() t füvéy három skalár-skalár füvéyel eyeértékű: ax = ax(), t ay = ay(), t a = a() t Eek a eyeletek a a= a() t füvéy által mehatároott térörbe paraméteres eyelete. Ha a t paramétert valamelyk eyeletből kfejeük és behelyettesítjük a másk kettőbe, kapjuk a térörbe eyeletét f a,a,a =, a,a,a alakba. ( ) ( ) x y x y = vektor-skalár füvéyek tulajdosáa mefoalmahatók a koordáták seítséével s. Íy pl. beboyítható, hoy a a= a() t füvéy akkor és csak akkor dfferecálható, ha a ax(), t ay(), t a() t koordáták mdeyke dfferecálható, és ekkor feáll a a! t) = a! (t) + a! (t) j + a (t) k össefüés. (! x y Hasoló össefüés áll fe maasabb redű derváltakra. 3. SKLÁR- ÉS VEKTORTEREK fkába yakra előfordul, hoy eyes meyséek értéke fü a helytől. Mvel a helyet a helyvektorral adhatjuk me, íy eekek a meyséekek a helyfüését olya füvéyek írják le, melyekek füetle váltoója vektor. okat a füvéyeket, melyekek füetle váltoója vektor, füő váltoója ped skalár, skalár-vektor füvéyekek vay skalárterekek eveük. okat a füvéyeket ped, melyekek mdkét váltoója vektor, vektor-vektor füvéyekek vay vektorterekek eveük. lye típusú füvéyekre hasoló módo értelmehetjük a határérték és a folytoossá foalmát, mt a vektor-skalár füvéyekre. képletek alakla váltoatlaok maradak, csak a füetle vektor váltoót kell a ott sereplő t helyébe ír, a füő váltoó helyébe ped a mefelelő skalár vay vektor füő váltoót, attól füőe, hoy skalár- vay vektortérről va só. dfferecálháyados foalmát aoba em lehet követleül a vektor-skalár füvéy dfferecálháyadosáak mtájára értelme, hse a füetle váltoó jele esetbe vektor, mellyel osta em lehet. 6
3.. Skalártér stfelülete Leye ϕ = ϕ() r ey skalártér. Mvel a r vektort kfejehetjük x, y, Descartes-féle koordátával: r= x+ yj+ k, eért a skalárteret ey háromváltoós füvéyel s leírhatjuk: ϕ = ϕ( x, y, ). skalártér semléltetésére beveethetjük a stfelületek (ívófelületek) foalmát. stfelületek ao r potok mérta helye, amelyekre a füvéy értéke álladó. stfelületek eyelete Descartes-féle koordátákba: ϕ( x, y, ) = ϕ = kost. Külöböő ϕ értékekhe külöböő stfelületek tartoak, íy a ϕ = ϕ() r skalártérhe eyparaméteres stfelület-sere tartok - paraméterek tekthetjük a ϕ értéket. hőmérséklet, a yomás, ll. a potecál térbel eloslását leíró skalárterek stfelületet oterma, obár, ll. ekvpotecáls felületekek eveük. 3.. Iráymet dervált és rades köösées dervált a füő váltoó váltoás sebesséét jelet. Skalárterek eseté beveetjük a ráymet dervált foalmát. Leye e ey eysévektor. ϕ = ϕ() r = ϕ( x, y,) skalártér e ráyú ráymet derváltjáak a r potba a ehhe a ráyho tartoó füvéyérték-váltoás sebesséet eveük: dϕ ϕ r + se = lm ( ) ds s e s r Látható, hoy e a dervált eyelő a ϕ ˆ :s " ϕ( r + s e) füvéyek s sert köösées derváltjával a s= potba: dϕ dϕ( r + se) = dse ds r s= ráymet dervált seítséével semléletese defálhatjuk a rades foalmát. Képeük a r potba a össes ráymet derváltat, majd keressük me at a e eysévektort, amelyhe tartoó ráymet dervált a leayobb. r potba a rades vektor absolút értéke eyelő a leayobb ráymet derválttal, ráya ped a e ráyával meeyeő. rades absolút értéke tehát a adott potbel leayobb füvéyérték-váltoás sebesséet jelet, ráya ped a leyorsabb övekedés ráyába mutat. rades vektor defálása törtéhet más módo, a köösées dervált mtájára s. Ehhe aoba em hasálható a dfferecaháyados alak, mvel vektor em kerülhet a eveőbe. Vsot a eveővel átsorova a követkeőképpe 7
defálható ey skalár-skalár füvéy derváltja: a y=y(x) füvéy derváltja a x potba y, ha y meváltoása y = y ( x ) x + ε( x, x) x alakba felírható, ahol lm ε ( x, x) =. x Eek mtájára ey ϕ = ϕ() r skalár-vektor füvéy derváltja a r potba a Φ=radϕ vektor, ha ϕ= radϕ r+ ε( r, r) r alakba felírható, ahol lm ε ( r, r) =. r 3.3. Iráymet dervált és rades Descartes-féle koordátákba Leyeek a e eysévektor koordátá ex, ey, e, a r poté ped x, y,. kkor a ráymet dervált a követett füvéyre voatkoó dfferecálás sabály felhasálásával: dϕ dϕ( r + se ) = ds ds e r s= = d ds ϕ( x + se x, y + se y, + se ) s= ϕ ϕ ϕ = ex + ey + e, x y r r r ϕ ϕ ϕ am a e vektor skalársorata a,, vektorral. utóbb éppe a rades x y vektor Descartes-féle koordátákba kfejeve: dϕ ϕ ϕ ϕ radϕ = = + j+ k, amvel tehát dr dx dy dx dϕ = radϕ e = radϕ cos α r r dse r ahol α a radϕ és a e vektorok által beárt sö. utóbb alakból a s látható, hoy a ráymet dervált maxmuma éppe radϕ (cos α=). Másrést -radϕ éppe a leyorsabb csökkeés ráyába mutat (cos α=-). Ha vsot radϕ és e merőleesek eymásra (cos α=), a ráymet dervált érus, aa a radϕ merőlees a ϕ = ϕ() r skalártér stfelületere. 3.4. vektortér vektorvoala Leye a= a() r ey vektortér. a vektor koordátával kfejehető, eért a a= a() r vektortér eyeértékűe meadható a ax = ax() r = ax( x, y,) ay = ay() r = ay( x, y,) a = a() r = a( x, y,) három skalártérrel, ll. három darab háromváltoós füvéyel. 8
vektortér semléltetésére beveetjük a vektorvoalak foalmát. vektorvoalak értője bármely potba eyeő ráyú a ahho a potho tartoó füvéyérték ráyával. fkába előforduló két lefotosabb vektortér: a erőtér -ekkor a a vektor térerősséet jelet-, és a áramlás tér - ekkor a a vektor a áramló folyadék sebesséét jelet. erőtér vektorvoalat erővoalakak, a áramlás tér vektorvoalat áramvoalakak eveük. Sokás a vektortér füő váltoójáak a absolút értékét a vektorvoalak sűrűséével jelleme oly módo, hoy a vektorvoalakra merőlees eyséy felülete éppe ay vektorvoal haladjo át, amey a füő váltoó absolút értéke (ld. később a fluxust). 3.5. Vektorterek terálja 3.5.. Voalterál Leye ey ráyított térörbe, a= a() r ped ey vektortér. Ossuk fel a örbét résre, a ostópotok leyeek P, P,..., P. Jelöljük a P P vektort s -vel, a P P örbeív valamely köbeső potjáak helyvektorát r -vel. Képeük a = ar ( ) s terálköelítő össeet. Eek a össeek a "vételeül fomodó beostásra voatkoó határértéke" a voalterál: lm a( r ) s = ( ) a a r dr = s = s ds, ahol ds jelöl a ívhosselemet, a s ped a a vektorak a örbe értője ráyába eső vetületét. Descartes-féle koordátaredserbe a voalterál ey köösées eyváltoós határoott terállá alakítható át. Leye adott a örbe paraméteres alakba (a paraméter lehet pl. a ívhoss vay a dő): x = x( τ), y = y( τ), = ( τ), τ τ τ Ekkor a voalterál a követkeőképpe alakítható át: a( r) dr = (a xdx + a ydy + a d) = τ = a τ x dx( τ) dτ dy( τ) dτ [ x( τ), y( τ), ( τ) ] + a [ x( τ), y( τ), ( τ) ] + a [ x( τ), y( τ), ( τ) ] dτ y d( τ) dτ 9
3.5.. Felület terál Leye ey felület, a= a() r ped ey vektortér. Ossuk be a felületet résre, a rések területe:,,...,. Mdeyk résfelülete válassuk k ey potot, melyek helyvektora: r, r,..., r. felület ormálsa a r potba leye (r). Képeük a = ar ( ) r ( ) terálköelítő össeet. Eek a össeek a "vételeül fomodó beostásra voatkoó határértéke" a felület terál: lm = a ( r ) ( r ) = a( r) d = a d Φ, ahol a = ar () r () a a vektor ormáls ráyú kompoese. a() r vektortérek a felületre vett felület terálját a a fluxusáak eveük. vektorvoalak sűrűsééek sokásos meválastása eseté a fluxus éppe eyelő a felülete áthaladó vektorvoalak sámával. Ha a felület ormálvektoráak helyett --et válastjuk, akkor a felület terál előjelet vált. Boyos specáls esetekbe a eyk ráy ktütetett ráy:./ árt felület esetébe md a "külső" (kfelé mutató) ormálst válastjuk;./ ha a felületet ey ráyított árt örbe határolja, akkor a felület ormálsát úy válastjuk me, hoy a a örbe körüljárás ráyával jobbcsavart alkosso. Leröítve a felület ormálsáak ráyát, a felülete a árt örbéket md olya körüljárással vessük fel, hoy a ormáls ráya aal jobbcsavart alkosso. Eek a kovecók külööse olya aoossáok alkalmaásáál fotosak, ahol eydejűle többféle terál fordul elő (ld. később Gauss-Ostroradskj-tétel, Stokes-tétel). felület terál általába kétseres terállal sámítható k. terál ksámításáho süksées, hoy a d felületelemet a koordátákkal és a koordátadfferecálokkal fejeük k. Heer-, ll. ömbfelület esetébe a d felületelemet célserű úy meválasta, hoy éle a e, k, ll. a e, e básvektorok ráyába mutassaak. ϕ ϕ ϑ a d = ρdϕd d = r s υdυdϕ
3.5.3. Vektorértékű voal- és felület terál Ha a voalterál terálköelítő össeébe a skalárs sorást vektoráls sorásra cseréljük k, akkor a ar ( ) s = terálköelítő össeet kapjuk, melyek határértéke a a dr vektorértékű voalterál. Hasolóa a = ar ( ) r ( ) terálköelítő össe határértéke a a d vektorértékű felület terál. 3.5.4. Vektortér térfoat terálja Leye ar () ey vektortér, V ped a tér ey tartomáya. Ossuk be a V tartomáyt résre, melyek térfoata: V, V,..., V. Mde réstartomáyból válassuk k ey potot, melyek helyvektora: r, r,..., r. Képeük a = ar ( ) V terálköelítő össeet. Eek a össeek a "vételeül fomodó beostásra voatkoó határértéke" a a(r)dv V térfoat terál. Heer, ll. ömb eseté célserű a dv térfoatelemet télatestek válasta, melyek éle a heer-, ll. polárkoordáta-redser básvektora ráyába mutatak; ekkor: heerél: dv = d dρ= ρdρdϕ d, ömbél: dv = d dr = r s ϑdr dϑdϕ. 3.5.5. terálok tulajdosáa fetebb táryalt terálokra s érvéyesek a köösées terálsámítás fotosabb sabálya: a) össe taokét terálható; b) kostas a teráljel elé kemelhető;
c) eymásba em yúló tartomáyok (tervallumok, felületek) eyesítésére vett terál eyelő a réstartomáyokra vett terálok össeével. 3.6. Rotácó Leye ar () ey vektortér, S ped ey, a r poto átmeő sík, melyek ormálvektora. S síko veyük fel ey ráyított árt örbét úy, hoy a r pot a örbe belsejébe esse. a dr meysé határértékét, mköbe a (röített) S síkba lévő örbe a (röített) r potra suorodk, jelöljük b -el: b = lm a dr, ahol jelöl a örbe által körülárt területet. r potot továbbra s röítve, de a S síkot (íy a ormálvektort s) váltotatva, mde -he kapuk ey b értéket. Kmutatható, hoy a íy kapott b értékek ey vektorak a ráyú kompoese; et a vektort a a vektor rotácójáak eveük a r potba: ( rota) = (rota) = = rot a lm a dr Kmutatható, hoy Descartes-koordátákba a a y rot xa = y másk két koordátát cklkus permutácóval kapjuk: ax a rot y a = x ay ax rot a = x y a dr meyséet a vektortérek a örbé vett crkulácójáak evek. E a meysé a vektortér vektorvoalaak csavarodásával fü össe. crkulácóak és a beárt felületek a háyadosát, am a rotácó defícójába serepel, átlaos felület örvéysűrűséek evek. Ha a a vektortér áramlás tér, akkor a rotácó a áramlás foró, örvéylő jelleével fü össe. 3.7. Dvereca ar () vektortér fluxusa ey árt felülete meadja a felület belsejéből kjövő vektorvoalak sámát (e termésetese úy értedő, hoy a felületbe bemeő vektorvoalak eatív előjellel jöek sámításba). Et a meyséet a a vektortér forrásáak eveük a felület által körülárt V térfoatú tartomáyba. Ha a a eyséy sűrűséű kompressbls folyadék sebessée, akkor a a forrása
sámértékbe eyelő a V térfoatból dőeysé alatt káramló folyadék térfoatával - e dokolja a "forrás" eleveést. forrásak és a térfoatak a háyadosát átlaos forrássűrűséek eveük. átlaos forrássűrűsé határértékét, amt a V térfoat ey (röített) r potra suorodk, a a vektortér r potbel forrássűrűsééek vay dverecájáak eveük: dva = lm a d V V Kmutatható, hoy Descartes-koordátákba a a x y a l dva = + + x y 3.8. Stokes-tétel árt örbe met és a felület terálok köött állapít me össefüést Stokes tétele (rotácó-tétel): a dr = rota d ahol a ráyított árt örbe által határolt felület. Stokes-tétel boyítása a követkeő odolatmeete alapul: ossuk be a felületet olya ks felületrésekre, amelyeke a átlaos felület örvéysűrűsé már jól meköelít a rotácó értékét, aa rot a a dr ahol a -edk résfelületet, a területű, ormálsú felületet határoló árt örbe. Össeeve: = rot a a dr (!) = Fyeljük me, hoy a örbe met terálokál a "belső" sakasok járuléka két somsédos örbéél serepelek elletétes előjellel (ábra), eért a össeeésél kesek. Marad tehát a dr = = a dr mí (!) bal oldalá a rota d terál köelítő össee serepel, íy a (!) össefüésből határértékbe követkek a Stokes-tétel. 3
3.9. Vektortér örvéymetessééek feltétele Örvéymetesek eveük a a vektorteret, ha rotácója ulla. örvéymetes vektorterek főbb sajátossáa: a./ rot a= b./ vektortér ey ϕ skalárpotecálból sármatatható: a = radϕ c./ vektortér voalterálja mde olya örbére eyelő, melyek kedő- és vépotja meeyek; aa a voalterál füetle a úttól, csak a kedő- és vépottól fü. d./ vektortérek bármely árt örbére vett voalterálja ulla. Ha a vektortér a fet tulajdosáok bármelykével redelkek, akkor redelkek a többvel s. a./ és d./ tulajdosáok eyeértékűséét a Stokes-tételből követleül láthatjuk. c./ tulajdosáot a követkeőképpe láthatjuk be: Leye és két olya örbe, amelyek kedőpotja P, vépotja P. örbe ráyítását mefordítva ey árt örbét kapuk, amelyre: a dr = a dr a dr Eért d./-ből követkek c./ és vsot. Véül teyük fel, hoy a a y rot a=, aa =, stb. y Jelöljük ϕ( r) -rel a alább módo defált skalárteret: x y a x (x,,)dx + a y (x, y,)dy + ϕ( x, y,) = a (x, y, ) d, aa ϕ ( r) = a dr ahol ey koordátateelyekkel párhuamos élekből álló töröttvoal, melyek kedőpotja a oró, vépotja a (x,y,) pot. Beboyítható, hoy ha rot a=, akkor radϕ = a, aa a a./ sajátsából követkek a b./ sajátsá; uyaakkor b./-ből s követkek a./, mert rot rad ϕ = bármely ϕ( r) -re. c./ tulajdosá matt ϕ = a dr, 4
ahol a oróba kedődő és a r potba véődő tetsőlees örbe. Ha ϕ keléít a a = radϕ eyeletet, akkor mde olya ϕ skalártér s keléít, amelyk a ϕ () r -től csak kostasba tér el (ϕ = ϕ + c), mert rad ϕ= rad ( ϕ + c) = rad ϕ + rad c = radϕ = a dott örvéymetes térhe tehát a potecált csak ey ökéyese válastható addtív álladó erejé határohatjuk me, ematt a örbéről süksétele kköt, hoy a oróba kedődjö. 3.. Gauss-Ostroradskj-tétel árt felület és térfoat terálok köött állapít me össefüést a Gauss- Ostroradskj-tétel (Gauss-tétel, dvereca-tétel): a d = dvadv V ahol a V térfoatot határoló árt felület. Gauss-tétel boyítása teljese aaló a Stokes-tételével. V térfoatot ks résekre ostva, a dvereca defícójából kapjuk, hoy köelítőle a d V dva,..., = ahol a V térfoatot határoló árt felület. Össeeésél a "belső" felületek járuléka eltűek, és határértékbe adódk a Gauss-tétel. 3.. Vektortér forrásmetessééek feltétele forrásmetes vektorterek főbb sajátsáa: a./ dva = b./ vektortér vektorpotecálból sármatatható, aa va olya b vektortér, amelyre rot b= a c./ vektortér felület terálja eyelő a olya felületekre, amelyeket uyaa a ráyított árt örbe határol. d./ vektortér fluxusa bármely árt felülete érus. fet tulajdosáok bármelykéből követkek a több. a./ és d./ tulajdosáok eyeértékűsée követleül jö a Gauss-tételből. c./ és d./ tulajdosáok eyeértékűséét köye beláthatjuk, ha a árt örbére két felületet fektetük rá. felület ráyítását mefordítva ey árt felületet kapuk, amelyre a d = a d a d 5
vektorpotecálból sármatatott vektortér forrásmetes, mert dv rot b bármely b(r) vektortér eseté érus. tétel fordítottjáak aolása és adott forrásmetes vektortérhe tartoó vektorpotecál mekostruálása boyolultabb, eért eel tt em folalkouk. 3.. Nabla-operátor. Maasabbredű derváltak. Vektoraaltka aoossáok skalár- és vektorterek dfferecálásával kapcsolatba sokás beveet a abla-operátort: r = + j + k x y abla ey vektoroperátor, amelyet sorohatuk jobbról skalár- vay vektortérrel. Eel a jelöléssel köye mejeyehetővé válak a vektoraaltka aoossáok, mert a vektorokál tault sorás sabálya általába érvéyesek maradak olya soratba, amelyek első téyeője a. r Skalártérre alkalmava a abla-operátort: # ϕ ϕ ϕ ϕ = + j + k ϕ = + j + k = radϕ x y x y Vektortérrel skalársa sorova: a x # a = + j + k a = x y x és vektorálsa sorova: # a = x a x j y a y k a = rota a y a + + y = dva abla-operátor ömaával vett skalársoratát Laplace-operátorak eveük: # # = = + +, tehát x y # # u u u u = ( u) = dv( radu) = + + x y Mejeyeük, hoy a abla-operátort lehetsées defál emcsak Descarteskoordátákkal, haem általáosa s. Más koordátákba a első- és másodredű derváltak kfejeése más, uyaakkor a alább vektoraaltka aoossáok mde koordátaredserbe érvéyesek. skalár- és vektorterek dfferecálás sabálya sármatathatók a köösées dfferecálás sabályaból, amelyek felhasálásával köyű aol Descartes-féle koordátákba a alább vektoraaltka aoossáokat: 6
Össe dfferecálása: rad ϕ + ψ = radϕ + rad ( ) ψ ( a + b) = rota rotb ( a + b) = dva dvb rot + dv + Sorat dfferecálása: rad ϕ ψ = ϕ radψ + ψrad rot dv ( ) ϕ ( ϕa ) = ϕrota + radϕ a ( ϕa) = ϕdva + radϕ a ( a b) = a rotb + b rota dv Követett füvéy dfferecálása: d dr ϕ(()) r t = rad ϕ dt dt df rad f ( ϕ( r )) = rad ϕ dϕ Maasabbredű derváltak: dv radϕ= ϕ rad dv a= rot rot a+ a rot rad ϕ = dv rot a = Eekbe a össefüésekbe ϕ és ψ skalártereket, a és b vektortereket jelölek, t skalárváltoó, f ped skalár-skalár füvéy. Homoé vektortér dverecája ll. rotácója ulla ll. ullvektor; homoé (aa kostas) skalártér radese érus. utóbb állítás mefordítható: ha ey skalártér radese a tér ey össefüő tartomáyába érus, akkor a skalártér ebbe a tartomáyba kostas. fetekbe láttuk a első derváltak ( ϕ, a, a) "varás" (aa koordátaredsertől füetle) jeletését. Laplace-operátorak s va lye jeletése. Emléketetőül: ha a f eyváltoós füvéy rafkoja alulról kovex (ll. kokáv), akkor a f másodk dervált eatív (ll. potív). Et a sajátsáot többváltoós füvéyekre a követkeőképpe általáosíthatjuk. kovex füvéy kokáv füvéy f > f < x + x f (x) + f (x ) x + x f (x) + f (x f < f > ) 7
ϕ > a kérdéses potba a ϕ értéke ksebb, mt a "köryeet átla". Itt a köryeet átlaot a követkeőképpe értjük: veyük körül a r potot ey ks ε suarú ε ömbbel; ekkor a köryeet átla ϕ-ek a ε felületre vett átlaa: ϕ ε = ϕ( r) d 4πε ε ömbfelület potjaba ϕ( r) ϕ( r) + rad ϕ ε ϕ( r) + rad ϕ ε, eért ϕ ε r ϕ( r ) + radϕ ε d 4πε radϕd = ε dvradϕdv ϕ 4π ε r 3 ε 3 Ee össefüésekből ϕ ϕ ε ϕ = 3lm ε ε Tehát ha ϕ >, akkor a köryeet átla -elé ks köryeetbe- ayobb, mt a ϕ potbel értéke ( ϕ > ϕ ). ε r 8