. hét. Teljesülnek-e az alábbi egyenl½oségek? (a) A n B = B n A (b) A \ B \ A \ B = A \ B \. Fejezzük ki (a) A \ B -t a n és [ m½uveletével! A \ B (b) A [ B -t a \ m½uveletével és az A; B halmazra vonatkozó komplementer képzéssel! 3. Mikor teljesülhet: (a) A \ B = A (b) A [ B = A 4. Legyen F = f] ; a[] ; b[j a; b Rg R ; fejezzük ki az [5; [[3; 4[ intervallumot F intervallumaival! 5. Legyenek A A ; egy H halmazgy½ur½u elemei, adjunk meg olyan B ; B ; H páronként diszjunkt halmazokat, amivel [ n i=a i = [ n i=b i : 6. Legyen = [; ], milyen struktúrát alkotnak az alábbi halmazrendszerek? (a) A = [ k ; l [j k l = ; ; ; ; (b) B = f[ n i=a i j A i Ag ; (c) C = fa j A véges halmazg ; mi lesz (C) ; (d) -algebra-e D = fa j A vagy A c Cg ; (e) E = fa j A véges vagy megszámlálhaztó halmazg ; mi lesz (E) ;(+p) (f) -algebra-e F = fa j A vagy A c Eg ; 7. Ha a kockadobás lehetséges eredményeinek halmaza, hány eseménye van a halmazalgebrának? 8. Adjunk meg 6 elem½u -algebrát! 9. Legyenek A; B ; adjuk meg (fa; Bg)-t!
. hét. Legyen = [; ]; A = fa j A vagy A c megszámlálhatóg ; milyen tulajdonságúak a következ½o halmazfüggvények: (A) = ha A véges + egyébként (A) = ha A megszámlálható + egyébként. Legyen = R; milyen tulajdonságú a ha A (A) = egyébként A R halmazfüggvény? 3. Legyen véges, n elem½u halmaz és A =, milyen tulajdoságú a következ½o halmazfüggvény: (A) =<A elemeinek száma> A? (A) = <A elemeinek száma> n A? 4. Legyen = R és A =, milyen tulajdoságú a következ½o halmazfüggvény: 5. Milyen tulajdonságú a halmazfüggvény, ha (A) =< A elemeinek száma > A R? (a) = N, és (A) =< A elemeinek száma> A N; (b) = R, és (A) =< A \ N elemeinek száma> A R; (c) = R, és (I) = b a I intervallum, a b R b végpontokkal; 6. Legyen F : R! R + monoton nem csökken½o, balról mindenütt folytonos függvény. Igazoljuk, hogy a : f] ; c[j Rg! R (] ; c[) 7! F (c) halmazfüggvény egyértelm½uen egyértelm½uen meghatároz egy -véges, folytonos és additív halmazfüggvénnyt a (a) F = f[a; b[j a b; b Rg félgy½ur½un; (b) I = f[a; b[; [a; b]; ]a; b[; ]; ]a; b] j a b Rg félgy½ur½un; (+3p)
3. hét. Legyen F : R! R monoton nem csökken½o, balról mindenütt folytonos függvény. Igazoljuk, hogy a : f[a; b[j Rg! R ([a; b[) 7! F (b) F (a) halmazfüggvény egyértelm½uen egyértelm½uen meghatároz egy -véges, folytonos és additív halmazfüggvénnyt a (a) F = f[a; b[j a b; b Rg félgy½ur½un; (+p) I = f[a; b[; [a; b]; ]a; b[; ]; ]a; b] j a b Rg félgy½ur½un;. Legyen = f; ; 3; 4; 5; 6g; A = ; :Mérték-e a maxfk j k Ag ha ; 6= A A (A) = ha ; = A halmazfüggvény? 3. Legyen a számegyenes B Borel halmazain az x 3 ha x F (x) = + x 3 ha < x eloszlásfüggvény által meghatározott mérték. (a) Véges mérték-e? (b) Számítsuk ki: ([; [) (]; [) ([ ; ]) 4. Legyen a : B! R halmazfüggvény olyan, hogy Adjuk meg -t két mérték különbségeként! ([a; b]) = Z b a x dx : 5. Legyen a mérték az F elsozlásfüggvény által meghatározott mérték, azaz (a) F (x) = x x (b) F (x) = ha x x ha x > ([a; b[) = F (b) F (a) : Adjuk meg az alábbi halmazok mértékét: [; [; ]; 4]; [ ; 5]; R + ; ]; +] 6. Legyen = R ; F = f[a; b[[c; d[j a b; c d Rg, additív-e a ([a; b[[c; d[) = b a halmazfüggvény? 3
7. Legyen a számegyenes B Borel halmazain az ha x F (x) = +x e x ha < x eloszlásfüggvény által meghatározott mérték. (a) Véges mérték-e? (b) Számítsuk ki: ([; ln [) (]; [) ([ ; ]) 8. Válasszunk találomra két számot a [; ] intervallumból, és az (a) = [; ] intervallum rész-intervallumainak mértéke legyen (I) = P (a két szám maximuma I) ; adjuk meg (kiterjeszésének) eloszlásfüggvényét! Megadható-e hozzá s½ur½uségfüggvény? +3p = [; ] [; ] intervallum rész-intervallumainak mértéke legyen (I J) = P (a két szám maximuma I és az els½onek választott J) ; adjuk meg (kiterjeszésének) eloszlásfüggvényét! Megadható-e hozzá s½ur½uségfüggvény? 4
4-5. hét. Legyen Z R egy véges vagy megszámlálható halmaz, ellen½orízzük, hogy (a) (A) = P za\z (b) (A) = P za\z p z ahol p z > és P zz p z = -véges mértékek B-n, és valószín½uségi mérték, azaz (R) =: Vázoljuk eloszlásfüggvényeiket, ha Z = f; ; ; Ng illetve Z = N.. Legyen = R, mik lesznek a mérhet½o függvények, ha (a) A = (] ; [; [; +[) (b) A = (] ; [; [; [; [; [; [; 3[; [3; +[) 3. Adjuk meg az A f -algebrát és a f mértéket, ha (a) f(x) = (x ) x = f; ; 3g A = a "számláló" mérték; (b) f(x) = [x] x = [; 4[ A = B [;4[ = m (c) f(x) = x x = [; [ A = B [;] = m 4. Adjuk meg az A f -algebrát és a f mértéket, ha (a) f(x) = (x ) x = f; ; 3g A = a "számláló" mérték; (b) f(x) = [x] x = [; 4[ A = B [;4[ = m (c) f(x) = x x = [; [ A = B [;] = m Ismétl½o feladatok. Milyen feltétel mellett teljesül: A [ (B \ A c ) = B. Legyenek A; B, ellen½orízzük, hogy A c ; A r B; A \ B teljes eseményrendszer, azaz az egy diszjunkt halmazokra történ½o partíciója! 3. Hozzuk egyszer½ubb alakra az (A [ B) \ (C [ B) kifejezést, ha A B C. 4. Legyenek F = [; 5[ R G = [; 4[ R H = [4; 5[ R I = [ ; 3] R J =]; 3[ R (a) Írjk fel az F r G; F \ G c \ H c illetve I r J; I \ J c \ H c halmazokat páronként F beli illetve I beli intervallumok úniójaként! (b) Állítsuk el½o az F; G; H halmazokat a halmazrendszer elemeivel! f[ ; c[j c Rg 5
5. Legyenek F = [; 5[[3; [ R G = [; 4[[5; [ R H = [4; 5[[; 3[ R I = [ ; 3] ]; 5[ R J = [; ] ]; 3[ R (a) Írjk fel az F r G; F \ G c \ H c illetve I r J; I \ J c \ H c halmazokat páronként F beli illetve I beli intervallumok úniójaként! (b) Állítsuk el½o az F; G; H halmazokat a halmazrendszer elemeivel! f[ ; c[[ ; d[j c; d Rg 6. Legyen = [; 5], milyen halmazok alkotják, és hány eleme van a (f[; [; [; [; [; 3[; [3; 4[g) - algebrának? 7. Kockát gurítunk, és vezessük be a kimenetelek = f; ; 3; 4; 5; 6g halmazában a következ½o eseményeket: A = ; A k az eredmény legfeljebb k k = ; ; 3; 4; 5; 6 : (a) Halmazgy½ur½ut alkot-e a H = fa k j k = ; ; ; 3; 4; 5; 6g? 8. Egy tanulócsoport tagjai közül öten nem beszélnek idegen nyelvet, 8 tanuló legalább egy, 4 tanuló legalább két és tanuló három idegen nyelvet beszél. Hány f½os a tanulócsoport? 9. Legyen f(x) = (x ) x = f; ; 3g, adjuk meg A f -et! Mi lesz f, ha a "számláló" mérték -án?. Legyen f(x) = [x] x = [; 4[, adjuk meg A f -et! Mi lesz f, ha a Lebesgue mérték lesz½ukítése -ra?. Legyen f(x) = x x = [; [, adjuk meg A f -et! Mi lesz f, ha a Lebesgue mérték lesz½ukítése -ra? 6
6. hét. Legyen Z R egy véges vagy megszámlálható halmaz, ellen½orízzük, hogy (a) (A) = P za\z (b) (A) = P za\z p z ahol p z > és P zz p z = -véges mértékek B-n, és valószín½uségi mérték, azaz (R) =: Vázoljuk eloszlásfüggvényeiket, ha Z = f; ; ; Ng illetve Z = N.. Legyne az.a. feladat mértéke, f(x) = ( )[x] [x]+ Z f(x) d(x) x, számítsuk ki, ha létezik Z f (x) d(x) : 3. Lgyen az.b. feladat mértéke, és számítsuk ki az integrálok értékét, ha Z x (dx) Z x d (a) Z = f; ; 3; ; ng p k = n k Z; (b) Z = fx ; x ; ; x n g p k = p xk = n x k Z; (c) Z = f; ; ; 3; ; ng p k = n k p k ( p) n k k Z ; ahol < p < ; (d) Z = f; ; ; 3; g +4p Legyen p k = k k! e k Z ; ahol < ; f(x) = ( ) n számítsuk ki a számegyenesen az f függvény (a) (Riemann-) improprius integrálját, (b) Lebesgue mérték szerinti integrálját, ha létezik! n+ ha n x < n + n N egyébként (+3p) Ha F egy véges mérték eloszlásfüggvénye B-n, mutassuk meg, hogy csak legfeljebb megszámlálhatóan sok helyen lehet szakadása, theát m.m. folytonos! 4. Legyen a mérték a számegyenes Borel halmazain az 8 < ha x a x a (a) F (x) = ha a < x b b a a < b R : ha b < x ha x (b) F (x) = e x < R ha < x (c) F (x) = (x) = R x p e x dx (d) F (x) = + arctan x eloszlásfüggvény által meghatározott Lebesgue-Stieltjes mérték, számítsuk ki az integrálokat, ha léteznek. Z x df (x) 7 Z x df (x) ;
5. Legyen Számítsuk ki! (A) = X na\n + n (A) = X na\n + A R (a) ([; [) ([; 3[) (] ; p 5]) (Q) ([; 3[) (] ; p 5]) (Q) ([; [) (b) F (x) = (] ; x[) x R (c) d d (d) R [;3[ x df (x) R[;3[ x d (e) R df (x) R ( )[x] df (x) R 3 x d R R 3 x d ( ) [x] df (x) n R R 3 x d d d ( ) [x] n d d d 6. Legyen F (x) = + arctan x x R, (A) = R df A B, számítsuk ki, ha van értelme: A (a) ([; [) ([; p 3[) (] ; p 3]) (Q) 3 (b) d dm (c) R x df (x) R R x df (x) x df (x) 7. Legyen F (x) = x x [; ], (A) = R A df A B [;], számítsuk ki, ha van értelme: (a) ([; [) (Q\[; ]) (b) d dm (c) R x df (x) R x df (x) R df (x) R x 3 df (x) x 8
7. hét. Válasszunk egy pontot az = [; ] [; ] intervallumban a geometriai valószín½uség szerint, és jelölje X(u; v) = maxfu; vg (u; v). Számítsuk ki az ZZ p Z p X dm x dpx [;] integrálokat!. Legyen a Borel-mérték az 8 < ha x 5 F (x) = : x + ha < x 6 ha x > eloszlásfüggvénnyel de niált mérték, és számítsuk ki az R f(x) df (x) integrált, ha B (a) f(x) = x x R B=R; [; ]; ]; [; ]; +[ x 6= (b) f(x) = x B=R; [; ]; ]; [; ]; +[ x = x 6= (c) f(x) = x B=R; [; ]; ]; [; ]; +[ x = 3. Számítsuk ki: R x d cos x R p R x d ln x R e tx d( e x ) jt= d dt 4. Számítsuk ki: Z Z Z [;][;] Z d x y+xy [;][; ] x sin y dx y Z Z [;][;] xy Z d ln x x R e tx d( e x ) jt= d dt R e tx d( e x ) jt= xy d x y+xy Z [;][; ] x y x sin y dx y 5. Legyem m a számegyenesen a Lebesgue mérték, számítsuk ki az R etx dp integrált, ha dp dm (x) = e x x dp dm (x) = p e x x R dp (x) = x [; ] dm 6. Legyen az origó k½ozéppontú egységsugarú körlemez, P (A) = m (A) A B. Legyenek továbbá X(x; y) = x Y (x; y) = y (x; y) : (a) Mi lesz A (X;Y )? (b) Adjuk meg X; Y; (X; Y ) eloszlásfüggvényét! (c) R -en szorzatmértéket határoz-e meg (X; Y )? 9
8 (d) Adjuk meg R = p ha X Y = >< X + Y ha X < Y = ; = arccos >: X ; (R; ) eloszlásfüggvényét! ha Y > R + arccos X ha Y < R (e) A (X;Y ) -mérhet½o-e (R; )? (f) R -en szorzatmértéket határoz-e meg (R; )? (g) Számítsuk ki a következ½o integrálokat! R p RR p X + Y dp R x + y df (X;Y ) (x; y) R X dp RR x df RR X(x) x df R (X;Y ) (x; y) R r df RR R R(r) r df R (X;) (r; ') RR r cos ' df R (X;) (r; ')
8. hét. Vizsgáljuk az alábbi függvénysorozatok konvergencia tulajdoságait: ha x n f n (x) = n = ; ; = R (A) = m(a) A B n ha n < x ha x n f n (x) = n = ; ; = R (A) = m(a) A B ha n < x n f n (x) = n sin x n = ; ; = R (A) = P na A B ha x n f n (x) = n = ; ; = [; +[ (A) = m(a) A B ha n < x x ha x n f n (x) = n = ; ; = [; +[ (A) = P ha n < x na A B x ha x n f n (x) = n = ; ; = [; +[ (A) = P ha n < x na A B n x. Legyen = f; ; ; ng; A = ; (A) = P ka : Mik lesznek, és milyen struktúrát alkotnak az f :! R függvények? 3. Legyen = f; ; ; n; g; A = ; (A) = P ka : Mik lesznek, és milyen struktúrát alkotnak az f :! R integrálható, négyzetesen integrálható függvények? 4. Legyen = R + A = B R + = m, f n (x) = n p x ha x ha < x n = ; ; Vizsgáljuk az (f n ) n= függvénysorozat konvergencia tulajdonságait! 5. Dobjunk egy érmét és válasszunk egy véletlen számot a [; ] intervallumban! Az X v.v. értéke legyen a választott szám, ha az érme dobás eredménye fej, és eggyel több, ha írás. Adjuk meg X eloszlását, várható értékét és szórását! 6. Dobjunk egy érmét és egy kockát, valamint válasszunk egy véletlen számot a [; ] intervallumban! A kockadobás eredményét½ol függ½oen, ha a dobás hatos az X v.v. értéke legyen vagy az érme dobás fej ill. írás kimenetelének megfelel½oen.adjuk meg X eloszlását, várható értékét és szórását! 7. Adjuk meg az exponenciális eloszlás momentumgeneráló függvényét! ( G X (w) = E e Xw ) (3p) A momentumgeneráló függvénnyel igazoljuk, hogy két független standard normális eloszlású v.v. négyzetének összege exponenciális eloszlású!
9-. hét. Válasszunk két véletlen számot (egymástól függetlenül) a [; ] intervallumban, és adjuk meg az (X; Y ) : [; ]! R (x; y) 7! (x; maxfx; yg) v.v.v. eloszlásfüggvényét! Abszolut folytonos-e P (X;Y ) a kétdimenziós Lebesgue-mértékre vonatkozóan?. Legyen X egyenletes eloszlású v.v. a [; ] intervallumban, és Y = X. Adjuk meg az lineáris regressziós közelítést! 3. Legyen = [; ], = m: Keressünk alakban páronként "mer½oleges" polinomokat! Ellen½orízzük, hogy a Y ax + b f (x) = a f (x) = b + b x f (x) = c + c x + c x f (x) = f n+ (x) = sin (nx) f n(x) = cos (nx) n = ; ; függvények ortonormált rendszert alkotnak! 4. Legyen (; A; P ) egy valószín½uségi mértéktér, A; B A és < P (B) <. Milyen függvények alkotják az B Keressük meg A mer½oleges vetületét ebben az altérben! (A B ) mérhet½o négyzetesen integrálható függvények alterét? 5. Legyen (; A; P ) egy valószín½uségi mértéktér, A A és Y = P k y k fy =yk g egy megszámlálható értékkészlet½u mérhet½o függvény. Milyen függvények alkotják az Y (A Y ) mérhet½o négyzetesen integrálható függvények alterét? Keressük meg A mer½oleges vetületét ebben az altérben! 6. Legyen (; A; P ) egy valószín½uségi mértéktér, X L n, alteret alkotnak-e a p n (X) = a + a X + a X + + a n X n a i R i = ; ; ; ; n (az X v.v. legfeljebb n-edfokú polinomfüggvényei) az L (; A X ; P ) térben? (4p) Ha igen, zárt-e ez az altér n = esetén? 7. Legyen (; A; P ) egy valószín½uségi mértéktér, X = P l x l fx=xl g és Y = P k y k fy =yk g megszámlálható értékkészlet½u mérhet½o függvények. Milyen függvények alkotják az Y (A Y ) mérhet½o négyzetesen integrálható függvények alterét? Keressük meg X mer½oleges vetületét ebben az altérben! 8. Dobjunk kétszer egy kockát, és jelölje X az els½o eredményt, Y pedig a két eredmény minimumát. Keressük azt a H függvényt, amivel D (X H(Y )) minimális!
-. hét. Legyen a (X; Y ) v.v.v. diszkrét eloszlása: X Y 3 : :5 :4 : :8 :5 Adjuk meg az E(Y j X) feltételes várható értéket! Mennyi a maradék szórásnégyzet?. Kockát dobunk kétszer. Jelölje a két eredmény minimumát X; maximumát Y. Adjuk meg az E(Y jx) feltételes várható értéket! 3. Legyen a (X; Y ) v.v.v. s½ur½uségfüggvénye: (a) (b) (c) (d) f(x; y) = f(x; y) = f(x; y) = f(x; y) = ( c y x ha < y < x < egyébként ( c y x ha < x < y < egyébként ( c(x + y) ha < x < < y < egyébként ( e y x ha < y és < x < egyébként : Adja meg az E(Y jx) feltételes várható értéket, és a közelítés maradék szórását! 8 >< ha x n x+ 4. Legyen F n (x) = n ha n n >: < x n = ; ; n ha < x (a) Adjuk meg a (m.m) lim n! F n (b) Adjuk meg a (w) lim n! F n határértéket ha létezik! határértéket ha létezik! 5. Az (X; Y ) :! R v.v.v. s½ur½uségfüggvénye: f(x; y) = c 3x 3 e xy x < y. (a) Adjuk meg X és Y eloszlását, várható értékét és szórását! (b) Számítsuk ki az E(XY ) várható értéket! (c) Függetlenek-e X és Y? (d) Adjuk meg az E(Y jx = ) feltételes várható értéket, és a maradék szórásnégyzetet! 6. Tudjuk, hogy a fér ak magassága N (8; ), a n½ok magassága pedig N (7; ) eloszlású véletlen mennyiség. Ha egy 6 fér ból és 4 n½ob½ol álló társaságból találomra választott személy 75cm magas, mennyi annak valószín½usége, hogy n½ot, illetve fér t választottunk? Adjunk döntési szabályt a magasság alapján egy találomra választott személy nemére! 7. Hagyományos izzólámpából és energiatakarékos kompakt ég½ob½ol 6 illetve 4 darab van egy raktárban. Mindkét típus élettartama exponenciális eloszlású illetve 8 óra várható élettartammal. Ha találomra választunk egy ég½ot a raktárból, 3
(a) mennyi lesz az élettartam várható értéke és szórása? (b) Ha a választott ég½o 5 óra után ég ki, melyik típust választottuk a legnagyobb valószín½uséggel? (+3p) Legyenek a ; ; : : : ; n U(; d) valószín½uségi változók függetlenek, és jelölje a legnagyobbat n = max ( ; ; : : : ; n ). Adjuk meg az E( k j n) k = ; ; : : : ; n feltételes várható értéket! (+) Legyenek i i = ; ; ; r független Poisson eloszlású v.v.-k i i = ; ; ; r paraméterrel, adjuk meg (+p) a P feltételes eloszlást! (+p) az E feltételes várható értéket!! rx = k ; = k ; ; r = k r j i = n i=!! rx rx k j i = n E k l j i = n i= i= 4
3. hét. Legyen az X v.v. N (; ) eloszlású, Y pedig exponenciális eloszlású várható értékkel két független v.v.! Adjuk meg a Z = Y + X v.v. lineáris regressziós közelítését az Y v.v.-val! Mennyi a közelítés hibája, hasonlítsuk azt össze a Z E(ZjY ) közelítés maradék szórásával!. Egy véletlen mennyiség feltételes s½ur½uségfüggvénye az A esemény bekövetkezése esetén f (x) = ha < x < egyébként ; A = A c esetén pedig Ha P (A) = ; adjuk meg 4 f (x) = 3x ha < x < egyébként : (a) s½ur½uségfüggvényét, várható értékét, szórását; (b) E( j A) és E( j A) értékét; (c) a P (A j ) és P (A j ) feltételes valószín½uségeket; (+3p) a döntési szabályt a véletlen mennyiség meg gyelt értékéb½ol az A illetve A c események bekövetkezésére. Mennyi a döntési hiba valószín½usége? 3. Kétféle izzólámpából 6 illetve 4 van egy raktárban. Mindkét típus élettartama exponenciális eloszlású, várható élettartamuk pedig (ebben a sorrenben) ill. óra. Véletlenszer½uen választunk egy izzót a raktárból, adjuk meg a m½uködési id½o eloszlását! Ha a választott izzó óráig m½uködik, mennyi annak valószín½usége, hogy az egyik ill. másik csoportból való? (+3p) Adjuk meg a Bayes döntést, és a döntés hibavalószín½uségét! (+p) Mennyi a választott izzó élettartamának várható értéke és szórása? 4. Legyen a Z = (X; Y ) v.v.v. s½ur½uségfüggvénye f(x; y) = c(x + y) x; y [; ]. Adjuk meg Z kovariancia mátrixtát és várható értékét. 5. Legyenek X és Y független v.v.-k binomiális, n = p = : paraméterekkel, és 4 várható érték½u Poisson eloszlásúak! Legyenek továbbá Z = X Y 8 Z = X + Y + 6 U = X Y + és adjuk meg Z = (Z ; Z ) kovariancia mátrixát és várható érték vektorát, továbbá a Z és U kovariancia mátrixát! 6. A ( ; ; 3 ) v.v.v. kovariancia mátrixa és várható érték vektora: V = 4 6 3 3 6 3 5 ; m = 4 (a) Határozza meg a 3 a + b + c regressziós közelítés paramétereit, és maradék szórását! (b) Határozza meg a a + b 3 + c regressziós közelítés paramétereit, és maradék szórását, és a többszörös korrelációs együtthatót! a c (c) Határozza meg a b 3 + regressziós közelítés paramétereit, és maradék szórását! d 5 3 3 5 :
(d) Határozza meg a ; j 3 (e) Határozza meg a ; 3 j parciális korrelációs együtthatót! parciális korrelációs együtthatót! 7. A X = (X ; X ) v.v.v. kovariancia mátrixa: 34 cov(x; X) = 4 E(X) = (a) Adjuk meg a f½ofaktor és f½okomponens súlyokat! (b) Határozza meg az (; ) meg gyelt értékhez tartozó f½okomponens és f½ofaktor értékeket! 8. Keressük meg a ( ; ) (; ) (; ) (; 4) R pontokhoz azt az egyenest, melyt½ol való távolságok négyzetösszege minimális! közelítés hibáját az y = ax + b regressziós egyenes hibájával! Hasonlítsuk össze a 6
4. hét Ismétl½o feladatok. Egy betör½o magasságát három szemtanú egymástól és a rabló magasságától is független azonos eloszású véletlen Z ; Z ; Z 3 hibával adta meg, vagyis ha az Y véletlen mennyiség a meg gyelt betör½o magassága, a szemtanúk által közölt értékek: Tudjuk továbbá, hogy X = Y + Z X = Y + Z X 3 = Y + Z 3 : E(Y ) = 8 D(Y ) = E(X k ) = D(Z k ) = k = ; ; 3 Adjuk meg az X = (X ; X ; X 3 ) v.v.v. várható érték vektorát és kovariancia mátrixát, és az regressziós közelítést! Y ax + bx + cx 3 + d. Legyen az X :! R v.v. feltételes s½ur½uségfüggvénye a :5 valószín½uség½u A esemény bekövetkezése esetén f A (x) = x < x < és A c esetén (a) Adjuk meg X várható értékét és szórását! f A c(x) = 3x < x < : (b) Milyen valószín½uséggel következik be az A esemény, ha X értéke.? (c) Milyen x [; ] esetén teljesül P (A j X = x) > P (A c j X = x)? 3. Legyen az X :! R p v.v.v. feltételes eloszlása egy p valószín½uség½u A esemény bekövetkezése esetén N (m ; V ) és A c esetém N (m ; V ). Adjuk meg, hogy mely x R p esetén teljesül: P (A j X = x) > P (A c j X = x). 4. A 3 lapos magyar kártya csomagból három lapot választunk visszatevéssel. Jelölje: X X X 3 X 3 a piros lapok száma a három között a zöld lapok száma a három között a makk lapok száma a három között a tök lapok száma a három között Adjuk meg X = (X ; X ; X 3 ; X 4 ) eloszlását, várható érték vektorát és kovariancia mátrixát! 5. Egy r számú kimenetellel rendelkez½o véletlen kísérletben az egyes kimenetelek valószín½uségei: p ; p ; ; p r [; ] rx p i = : i= A kísérletet n-szer függetlenül ismételve, jelölje X k a k-adik kimenetel bekövetkezéseinek számát k = ; ; ; r Adjuk meg X = (X ; X ; ; X r ) eloszlását, várható érték vektorát és kovariancia mátrixát! 7
6. Az X = (X ; X ) v.v.v. s½ur½uségfüggvénye: f(x; y) = c ha < x < y < (a) Adjuk meg X várható érték vektorát és kovariancia mátrixát! (b) Adjuk meg az X ax + b regressziós közelítést! (c) A f½okomponensek egyeneseit! 7. Legyen (X ; X ; X 3 ) N @ 4 3 3 5 ; 4 4 4 3 3 5A ; (a) adjuk meg az E(X j X ; X 3 ) feltételes várható értéket! (b) Adjuk meg az X ax 3 + b regressziós közelítést, ha X =! (c) Mennyi annak valószín½usége, hogy X értéke legalább 3, ha X = X =? (3p) Oldjuk meg az. feladatot n számú szemtanú esetén, és Y N (m; ) X k N (; ) feltételezésével! Mi lesz az E(Y j X ; X ; ; X n ) feltételes várható érték? k = ; ; ; n 8