Tartalomjegyzék GEOMETRIA 1 Vektorok 1 11 Irányított szakaszok Vektorok 1 12 Műveletek vektorokkal 3 13 Kollineáris vektorok 8 14 Helyzetvektor 10 15 Párhuzamosság, összefutás, kollinearitás 12 16 Skaláris szorzás 18 2 Analitikus geometria 24 3 Trigonometria 37 31 A trigonometria elemei 37 32 Trigonometrikus egyenletek 47 33 Trigonometria síkmértani alkalmazásai 57 MATEMATIKAI ANALÍZIS 1 Valós számok, valós számhalmazok 62 2 Valós számsorozatok 65 21 Valós sorozatok 65 22 Műveletek valós sorozatokkal 68
23 Egyenlőtlenségek és határértékek 73 24 Konvergencia, monotonitás, korlátosság 75 25 Részsorozatok 77 26 Néhány fontos határérték 78 27 Határozatlansági esetek feloldása 80 3 Függvényhatárértékek 83 31 Függvény határértéke 83 32 Határértékekkel végzett műveletek 87 33 Határértékek tulajdonságai 89 34 Fontos határértékek 92 4 Folytonos függvények 96 41 A folytonosság értelmezése 96 42 Műveletek folytonos függvényekkel 100 43 Folytonosság és Darboux tulajdonság 101 5 Deriválható függvények 104 51 A derivált értelmezése 104 52 A derivált mértani jelentése 109 53 Műveletek deriválható függvényekkel 110 54 Elemi függvények deriváltjai 113 55 Összetett függvény deriváltja 115 56 Magasabb rendű deriváltak 117
57 A differenciálszámítás középértéktételei 120 58 Függvény grafikus képe 133 6 A határozatlan integrál 141 61 Primitív függvény A határozatlan integrál 141 62 Primitiválható függvények 145 63 A parciális integrálás módszere 149 64 Első helyettesítési módszer 152 65 Második helyettesítési módszer 157 66 Törtfüggvények integrálása 159 7 A határozott integrál 174 71 Riemann-integralható függvények 174 72 Integrálható függvények tulajdonságai 180 73 A parciális integrálás módszere 182 74 Első helyettesítési módszer 185 75 Második helyettesítési módszer 187 76 Középértéktételek 189 77 Az integrálszámítás alaptétele 192 78 A határozott integrál alkalmazásai 194
AB AB 1 Vektorok 11 Irányított szakaszok Vektorok Irányított szakaszok rtelmezés Az (A,B) rendezett pontpárt irányított szakasznak nevezzük és így jelöljük: AB rtelmezés Az AB és CD irányított szakaszokat ekvipolenseknek nevezzük (jelölés: AB CD), ha az [AD] és [BC] szakaszok felezőpontjai egybeesnek Megjegyzés HaAB CD, akkor azab szakaszt párhuzamos eltolással acdszakaszra lehet helyezni Tulajdonság Az irányított szakaszok halmazán az ekvipolencia egy ekvivalencia-reláció, azaz (reflexív), ha AB CD, akkor CD AB (szimmetrikus), ha AB CD és CD EF, akkor AB EF (tranzitív) AB és CD pontosan akkor D ekvipolensek, ha ABDC B egy paralelogramma vagy az A,B,C,D pontok kollineárisak és az [AD], [BC] felezőpontja megegyezik A C A C B D 1
Vektorok rtelmezés Egy adott irányított szakasszal ekvipolens irányított szakaszok halmazát vektornak nevezzük Jelölés Az AB irányított szakasz által meghatározott vektort AB-vel (vagy egy kisbetűvel) jelöljük: { } AB= CD CD AB Megjegyzés Ha AB CD, akkor AB= CD Az u = AB= CD jelöléssel az AB (vagy a CD) az u egy reprezentánsa rtelmezés Az u hossza (modulusza) az őt reprezentáló irányított szakaszok közös hosszával egyenlő és u -val jelöljük rtelmezés A nulla hosszúságú AA vektort nullvektornak nevezzük rtelmezés Az AB és CD vektorok egyenlőek (jelölés: AB= CD), ha az AB és CD irányított szakaszok ekvipolensek Megjegyzés Két vektor akkor egyenlő, ha irányuk megegyezik (tartóegyeneseik párhuzamosak), hosszuk egyenlő és ugyanaz az irányításuk Tétel (Adott kezdőpontú reprezentáns létezése) Ha adott az u vektor és egy tetszőleges M pont, akkor létezik egyetlen olyan M pont, amelyre u = MM Következmény Az egyértelműség alapján, ha MA= MB, akkor A=B 2
Az irányított szakaszok halmaza u = C D G H A B v = F A mellékelt ábrán u = AB= CD=, v = EF = = GH=, CD az u egy reprezentánsa, EF a v egy reprezentánsa, AB= CD 12 Műveletek vektorokkal Vektorok összeadása Az u és v vektorok összegét a következőképpen szerkesztjük meg (Háromszög-szabály): egy tetszőleges M pontból kiindulva megszerkesztjük az E MN= u majd az NP = v vektorokat Ekkor az u és v összege az u+ v= MP vektor (Paralelogramma-szabály): ha u és v nem kollineárisak, egy tetszőleges M pontból kiindulva megszerkesztjük az MN= u és az MP = v vektorokat, majd az MNQP paralelogrammát Ekkor az u és v összege az u+ v= MQ vektor 3
v u N v u u+ v P M Háromszög-szabály N Q u M v P Paralelogrammaszabály u+ v A vektorok összeadásának tulajdonságai rtelmezés Az AB vektor ellentétes vektora a AB= BA vektor Tulajdonság A vektorok összeadásának tulajdonságai ( a, b, c tetszőleges vektorok): asszociatív: ( a+ b)+ c= a+( b+ c); kommutatív: a+ ( b= b+ a; a nullvektor 0) az összeadás semleges eleme: a+ 0= 0+ a= a; minden a vektornak van ellentettje ( a): a+( a)=( a)+ a= 0 Feladat Bizonyítsuk be, hogy az ABCD paralelogramma síkjának bármely M pontja esetén MA+ MC= MB+ MD M Az ABCD paralelogrammában AB= DC= CD és AD= BC= CB B C MA+ MC= M =( MB+ BA)+ A D +( MD+ DC)= 4
= MB+ MD+ BA+ DC= MB+ MD Vektorok kivonása Az u és v vektorok különbségén az u v= u+ ( v) vektort értjük és a következőképpen szerkesztjük meg: egy tetszőleges M pontból kiindulva felvesszük az MN= u és MP = v vektorokat Ekkor u v= P N v N Tetszőleges M,N,P pontok esetén u u MN MP = M v P MN+ P M= P N u v Feladat Az ABC háromszögben az AB+ AC és AB AC vektorok modulusza egyenlő Bizonyítsuk be, hogy az ABC háromszög derékszögű! M Az AB+ AC megszerkesztése érdekében megrajzoljuk az ABDC paralelogram-mát: AB+ AC= AD, így AB+ AC = AD =AD A C AB AC= AB+ CA= CA+ AB= CB, így AB CA = CB = CB B D AB+ AC = AB AC AD=BC, vagyis az ABCD paralelogramma egy téglalap Tehát m( BAC)=90 5
Vektor szorzása valós számmal Legyen u egy vektor és α egy valós szám rtelmezés Az u 0 vektornak az α R számmal való szorzatán azt a α u-val jelölt vektort értjük, amely azonos állású u-val; ha α>0, akkor azonos irányú, ha α<0, akkor ellentétes irányú u-val; hossza α u -val egyenlő Ha u= 0 vagy α=0, akkor α u= 0 Vektorok és valós számok szorzásának tulajdonságai Tulajdonság Tetszőleges u, v vektorok és α,β valós számok esetén (α+β) u=α u+β u; α( u+ v)=α u+α v; α(β u)=(αβ) u; 1 u= u; ( α) u=α( u)= (α u) Feladat Legyen M a [BC] felezőpontja és A egy tetszőleges pont a síkban Igazoljuk, hogy AM= 1 ( AB+ AC ) 2 M A háromszög-szabály { alapján AM= AB+ BM AM= AC+ CM 2 AM= 6
= AB+ AC+ BM+ CM = AB+ AC, }{{} ahonnan AM= 1 2 = 0 ( AB+ AC ) Feladat Az E, F, G, H pontok az ABCD négyszög [BC], [DA], [AB] illetve [CD] oldalainak a felezőpontjai Bizonyítsuk be, hogy EF + HG= CA M G az [AB] felezőpontja, így 1 AG= GB= AB 2 1 Hasonlóan, BE= EC= BC, 2 CH= HD= 1 1 CD, DF = F A= DA 2 2 D F EF + HG= A =( EC+ CD+ DF )+ H G ( HD+ DA+ AG)= =( CD+ DA)+( EC+ B E C HD+ DF + AG)= = 1 CA+ BC+ 1 CD+ 1 DA+ 1 AB= 2 2 2 2 = 1 ( CA+ BC+ CD+ DA+ AB )= 2 = 1 CA+ 0= CA 2 7
3 Trigonometria 31 A trigonometria elemei Szög-mértékegységek rtelmezés Egy kör félkerületének és sugarának aránya állandó és π 3,1415-tel egyenlő rtelmezés A kör sugarával megegyező hosszúságú körívhez tartozó középponti szög mértéke 1 radián Megjegyzés Egy szögnek fokban illetve radiánban α való mértéke közt fennáll az = 180 összefüggés, ahol α a szög fokban kifejezett, xr a szög radi- xr π ánban kifejezett mértéke II P 2π/3 P 5π/6 P π/2 I P π/3 P π/6 Pπ P 7π/6 A O P 0 P 11π/6 P 4π/3 III P 3π/2 P 5π/3 IV 37
A trigonometrikus kör rtelmezés Adott egy xoy derékszögű koordinátarendszer Az O középpontú, egységsugarú kört, amelyen kijelöltünk egy pozitív körbejárási irányt (az óramutató járásával ellentétes irányt), trigonometrikus körnek nevezzük Jelölés Legyen t R egy szám Ekkor egyetlen olyan P t -vel jelölt pont van a trigonometriai körön, amely m(âop t )=t Szinusz és koszinusz Legyen t egy valós szám és P t a hozzátartozó pont a körön rtelmezés A P t pont ordinátáját a t valós szám szinuszának nevezzük és így jelöljük: sint rtelmezés A P t pont abszcisszáját a t valós szám koszinuszának nevezzük és így jelöljük: cost P t sint t O cost A ctgt T P t T tgt t O A 38
Tangens és kotangens rtelmezés Az x=1 egyenletű függőleges egyenest tangens-tengelynek, az y=1 egyenletű vízszintes egyenest pedig kotangens-tengelynek { nevezzük π } rtelmezés Ha t R\ +kπ k Z, P t a 2 t-nek megfelelő pont és T az OP t egyenes és a tangens-tengely metszéspontja, akkor T ordinátáját t tangensének nevezzük és így jelöljük: tgt rtelmezés Ha t R\{kπ k Z}, P t a t- nek megfelelő pont és T az OP t egyenes és a kotangens-tengely metszéspontja, akkor T abszcisszáját t kotangensének nevezzük és így jelöljük: ctgt Fontosabb értékek π π π π x 0 6 4 3 2 sinx 0 1 2 3 1 2 2 2 cosx 1 3 2 1 0 2 2 2 tgx 0 3 1 3 3 ctgx 3 1 3 0 3 39
Fontosabb értékek 2π 3π 5π x π 3 4 6 sinx 3 2 1 0 2 2 2 cosx 1 2 2 3 1 2 2 tgx 3 1 3 0 3 ctgx 3 1 3 3 Visszavezetés az első negyedbe x C 2 x C 3 sinx=sin(π x) sinx= sin(x π) cosx= cos(π x) cosx= cos(x π) tgx= tg(π x) tgx=tg(x π) ctgx= ctg(π x) ctgx=ctg(x π) x C 4 sinx= sin(2π x) cosx=cos(2π x) tgx= tg(2π x) ctgx= ctg(2π x) 40
1 Valós számok, valós számhalmazok rtelmezés Az A R halmaz véges, ha létezik egy n természetes szám és egy f:a {1,2,,n} bijektív függvény rtelmezés Az A R hamaz alulról korlátos, ha létezik olyan m R, amelyre m x, x A Az m az A egy alsó korlátja rtelmezés Az A R hamaz felülről korlátos, ha létezik olyan M R, amelyre M x, x A Az M az A egy felső korlátja rtelmezés Ha A alulról korlátos, akkor A alsó korlátai között van egy legnagyobb, melyet az A alsó határának vagy infimumának nevezünk és h=infaval jelölünk Tétel Legyen A R Egyenértékű a következő két állítás: 1 h R az A alsó határa; 2 a h, a A és ε>0, aε A, amelyre aε<h+ε rtelmezés Ha A felülről korlátos, akkor A felső korlátai között van egy legkisebb, melyet az A felső határának vagy szuprémumának nevezünk és H=supA-val jelölünk Tétel Legyen A R Egyenértékű a következő két állítás: 1 H R az A felső határa; 2 a H, a A és ε>0, aε A, amelyre aε>h ε 62
Az R halmaz lezártja rtelmezés Ha az A halmaz alulról (felülről) nem korlátos, akkor azt mondjuk, hogy A alsó (felső) határa (+ ) Az R=R {,+ } halmazt az R lezártjának nevezzük Tulajdonság Az R halmazon végzett műveletek tulajdonságai: x+(+ )=(+ )+x= =(+ )+(+ )=+, x R; x (+ )= (+ )+x= x+( )=( )+( )=, x R; { x (+ )=(+ ) x= +, ha x>0, ha x<0 ; x = x =0, x R; + =( ) ( )=, ( )= Valós szám környezete rtelmezés Az x 0 valós szám egy környezete egy olyan halmaz, amely tartalmaz egy olyan nyílt intervallumot, amelynek eleme x 0 Egy ilyen halmazt V (x 0 )-val jelölünk: V (x 0 ) környezete x 0 -nak ε>0 úgy, hogy (x 0 ε,x 0 +ε) V (x 0 ) 63
Valós szám környezete - folytatás Tulajdonság Az x 0 valós szám környezeteinek tulajdonságai: az x 0 minden környezete tartalmazza x 0 -t; ha V az x 0 egy környezete és V U, akkor az U is egy környezete az x 0 -nak; az x 0 két környezetének metszete szintén környezete x 0 -nak; az x 0 egy tetszőleges V környezete esetén létezik az x 0 olyan U környezete úgy, hogy V az U minden pontjának is környezete Tétel Ha x y, akkor léteznek a Vx és Vy halmazok, Vx környezete x-nek, Vy környezete y-nak úgy, hogy Vx Vy = Torlódási pont, izolált pont Legyen A R egy halmaz rtelmezés Az x 0 R pontot az A halmaz torlódási pontjának nevezzük, ha az x 0 tetszőleges környezete az A halmaz végtelen sok elemét tartalmazza Az A halmaz torlódási pontjainak halmazát A -tel jelöljük rtelmezés Ha x 0 A és x 0 nem torlódási pontja A-nak, akkor x 0 az A egy izolált pontja Példa Ha A véges, akkor A-nak nincs torlódási pontja, A minden pontja izolált pont Az A=(a,b) intervallum torlódási pontjainak halmaza A =[a,b] 64
4 Folytonos függvények 41 A folytonosság értelmezése rtelmezés Az f:d R függvény folytonos az x 0 D pontban, ha az f(x 0 ) bármely V (f(x 0 )) környezetének megfelel az x 0 olyan U(x 0 ) környezete, amelyre bármely x D V (x 0 ) esetén f(x) V (f(x 0 )) Tétel Az f:d R függvény akkor és csakis akkor folytonos az x 0 D pontban, ha x 0 a D izolált pontja vagy lim f(x)=f(x x x 0 ) 0 Tétel (Heine-féle kritérium) Az f:d R függvény akkor és csakis akkor folytonos az x 0 D pontban, ha tetszőleges (xn), xn D, lim n xn=x 0 sorozat esetén lim n f(xn)=f(x 0 ) Tétel Az f:d R függvény akkor és csakis akkor folytonos az x 0 D pontban, ha ε>0, δ(ε)>0 úgy, hogy x D, x x 0 <δ(ε) esetén f(x) f(x 0 ) <ε rtelmezés Az f:d R függvény folytonos a D halmazon, ha f folytonos a D minden pontjában Tétel Az elemi függvények folytonosak az értelmezési tartományuk nyílt intervallumain 96
Feladat Igazojuk, hogy az f:r R, { f(x)= x 2 2x, ha x Q függvény x 2, ha x R\Q nem folytonos az x 0 =3 pontban! M Tekintsünk egy racionális elemekből álló (an) sorozatot, amelyre an x 0 és egy irracionális elemekből álló (bn) sorozatot, amelyre bn x 0 Ekkor lim n f(an)= n lim a2 n 2an= 3 2 2 3=3 lim n f(bn)= n lim bn 2= 3 2=1 A Heine-féle kritérium alapján f nem folytonos x 0 =3-ban Jobb és bal oldali folytonosság rtelmezés Az f:d R függvény balról folytonos az x 0 D pontban, ha x 0 a D izolált pontja vagy lim x x 0 x<x 0 f(x)=f(x 0 ) rtelmezés Az f:d R függvény jobbról folytonos az x 0 D pontban, ha x 0 a D izolált pontja vagy lim f(x)=f(x x x 0 ) 0 x>x 0 97
Szakadási pontok rtelmezés Ha az f:d R függvény az x 0 D pontban nem folytonos, akkor f szakadásos az x 0 pontban és x 0 szakadási pont rtelmezés Ha lim f(x)=l R, de x x 0 l f(x 0 ), akkor x 0 megszüntethető szakadási pont rtelmezés Ha lim f(x)=l x x b R, 0 x<x 0 lim f(x)=l x x j R, de l b l j, akkor 0 x>x 0 x 0 elsőfajú szakadási pont rtelmezés Minden más szakadási pont másodfajú szakadási pont Példa f:r R, 2x 1, ha x<1 0, ha x=1 x 2, ha x (1,2) f(x)= x+1, ha x [2,3] 1, ha x (3, ) x 3 f folyt (,1) (1,2) (2,3) (3, )-n lim f(x)= lim f(x)=1, f(1)=0 x 1 x 1 x 0 =1 megszüntethető szakadási pont lim f(x)=4, lim x 2 x 2 f(x)=3 x 1 =2 elsőfajú szakadási pont lim f(x)=4, lim x 3 x 3 f(x)=+ 98
x 2 =3 másodfajú szakadási pont Feladat Tanulmányozzuk az f:r R, sinx, ha x<0 f(x)= x függvény 1, ha x=0 x 2 2x+2, ha x>0 folytonosságát az x 0 =0 pontban M Megvizsgáljuk, hogy teljesül-e a lim f(x)= x x 0 =lim x x0 f(x)=f(x 0 ) egyenlőségsor sinx lim f(x)= lim =1 x x 0 x 0 x lim f(x)= lim x x 0 x 0 x2 2x+2=1 f(x 0 )=f(0)=1 l b (x 0 )=l j (x 0 )=f(x 0 ) f folyt x 0 -ban Feladat Határozzuk meg az a R paraméter értékét úgy, hogy { f folytonos legyen R-n, ahol f:r R, ax f(x)= 2 +x+a+1, ha x<1 x 2 +ax 2, ha x 1 M Az f folytonos a (,1) és (1, ) intervallumokon (az elemi függvények folytonosak), tehát csak x 0 =1-ben kell vizsgálni a folytonosságot lim f(x)= lim x x 0 x 1 ax2 +x+a+1=2a+2 lim f(x)= lim x x 0 x 1 x2 +ax 2=a 1 f(x 0 )=f(1)=a 1 2a+2=a 1 a= 3 99