Tartalomjegyzék GEOMETRIA MATEMATIKAI ANALÍZIS
|
|
- Klaudia Juhászné
- 7 évvel ezelőtt
- Látták:
Átírás
1
2 Tartalomjegyzék GEOMETRI 1 Vektorok 1 11 Irányított szakaszok Vektorok 1 1 Műveletek vektorokkal 1 Kollineáris vektorok 5 14 Helyzetvektor 6 15 Párhuzamosság, összefutás, kollinearitás 7 16 Skaláris szorzás 10 nalitikus geometria 1 Trigonometria 19 1 trigonometria elemei 19 Trigonometrikus egyenletek 4 Trigonometria síkmértani alkalmazásai 8 MTEMTIKI NLÍZIS 1 Valós számok, valós számhalmazok 0 Valós számsorozatok 1 Valós sorozatok Műveletek valós sorozatokkal Egyenlőtlenségek és határértékek 5 4 Konvergencia, monotonitás, korlátosság 6 5 Részsorozatok 7 6 Néhány fontos határérték 7 7 Határozatlansági esetek feloldása 8 Függvényhatárértékek 40 1 Függvény határértéke 40 Határértékekkel végzett műveletek 4 Határértékek tulajdonságai 4
3 4 Fontos határértékek 44 4 Folytonos függvények folytonosság értelmezése 46 4 Műveletek folytonos függvényekkel 48 4 Folytonosság és Darboux tulajdonság 49 5 Deriválható függvények derivált értelmezése 50 5 derivált mértani jelentése 5 5 Műveletek deriválható függvényekkel 5 54 Elemi függvények deriváltjai Összetett függvény deriváltja Magasabb rendű deriváltak differenciálszámítás középértéktételei Fermat-tétel Rolle-tétel és a Rolle-sorozat Lagrange-tétel L Hospital-szabály 6 58 Függvény grafikus képe szimptoták 6 58 Konvexitás és konkavitás Függvény ábrázolása 66 6 határozatlan integrál Primitív függvény határozatlan integrál 68 6 Primitiválható függvények 70 6 parciális integrálás módszere 7 64 Első helyettesítési módszer 7 65 Második helyettesítési módszer Törtfüggvények integrálása z Euler-helyettesítések Trigonometrikus függvények integrálása 81 7 határozott integrál 8 71 Riemann-integralható függvények 8 7 Integrálható függvények tulajdonságai 85 7 parciális integrálás módszere Első helyettesítési módszer Második helyettesítési módszer Középértéktételek z integrálszámítás alaptétele határozott integrál alkalmazásai 91
4 Tárgymutató abszcissza, 1 aszimptota függőleges, 6 ferde, 6 vízszintes, 6 áthajlási pont, 65 Bernoulli-egyenlőtlenség, 58 Cesaro tétele, 7 Darboux-tulajdonságú függvény, 49 derékszögű koordináta-rendszer, 1 derivált bal oldali, 50 jobb oldali, 50 magasabb rendű, 56 pontbeli derivált, 50 Descartes-féle koordináta-rendszer, 1 e, 6 egyenes általános egyenlete, 16 explicit egyenlete, 16 iránytényezője, 15 első helyettesítési módszer, 7, 87 Euler-egyenes, 8 Euler-helyettesítések, 80 függvény halmazon deriválható, 50 pontban deriválható, 50 primitiválható, 68 Riemann-integrálható, 8 függvény határértéke, 40 bal oldali, 41 jobb oldali, 41 féltengely, 1 Fermat tétele, 57 fogó-tétel, 4 folytonos függvény balról folytonos, 46 halmazon folytonos függvény, 46 jobbról folytonos, 46 pontbeli folytonosság, 46 forgástest, 9 térfogata, 9 Héron-képlet, 9 halmaz alsó határ, 0 alsó korlát, 0 alulról korlátos, 0 felülről korlátos, 0 felső határ, 0 felső korlát, 0 infimum, 0 szuprémum, 0 véges halmaz, 0 határozatlan integrál, 68 határozott integrál, 8 helyzetvektor, 6 adott szakaszt adott arányban osztó pont helyzetvektora, 6
5 háromszög súlypontjának helyzetvektora, 6 háromszögbe írt kör középpontjának helyzetvektora, 7 szakasz felezőpontjának helyzetvektora, 6 inflexiós pont, 65 intervallum felosztása, 8 egyenközű, 8 felosztás normája, 8 közbeeső pontrendszer, 8 osztópontok, 8 irányított szakasz, 1 ekvipolens, 1 izolált pont, 1 környezet, 1 koszinusz, 19 koszinusz-tétel, 9 kotangens, 0 kotangens-tengely, 0 L Hospital szabály, 6 Lagrange tétele, 60 lokális maximumpont, 57 lokális minimumpont, 57 lokális szélsőértékpont, 57 második helyettesítési módszer, 75, 88 Rolle tétele, 58 Rolle-sorozat, 59 sorozat, csökkenő, divergens, konvergens, korlátos, növekvő, periodikus, sorozat határértéke, összeg-sorozat határéréke, hányados-sorozat határéréke, szorzat-sorozat határéréke, sorozatok összege, hányadosa, szorzata, stacionárius pont, 57 szögfelező hossza, 1 szögpont, 51 szakadási pont, 47 elsőfajú, 47 másodfajú, 47 megszüntethető, 47 szinusz, 19 szinusz-tétel, 9 szubgrafikon, 9 területe, 9 oldalfelező hossza, 1 ordináta, 1 origó, 6, 1 parciális integrálás, 7, 86 π, 19 primitív függvény, 68 részsorozat, 7 radián, 19 Riemann-összeg, 8 tétel Ceva tétele, 9 koszinusz-tétel, 1 Meneláosz tétele, 9 Papposz tétele, 6 Stewart tétele, 1 szögfelező tétele, 7 Thálész tétele, 7 fordítottja, 7 tangens, 0 tangens-tétel, 9
6 tangens-tengely, 0 torlódási pont, 1 trigonometria alapképlete, 1 trigonometrikus kör, 19 univerzális helyettesítés, 81 vektor, 1 azonos állású vektorok, 5 ellentétes vektor, hossza, 1 modulusza, 1 nullvektor, 1 reprezentánsa, 1 skaláris négyzete, 11 vektorok összeadása, egyenlősége, különbsége, kollineáris vektorok, 5 merőleges vektorok, 10 skaláris szorzata, 10 szöge, 10 visszatérési pont, 51 Weierstrass tétele, 6
7 B ha ha 1 Vektorok 11 Irányított szakaszok Vektorok Irányított szakaszok rtelmezés z (, B) rendezett pontpárt irányított szakasznak nevezzük és így jelöljük: B rtelmezés z B és CD irányított szakaszokat ekvipolenseknek nevezzük (jelölés: B CD), ha az [D] és [BC] szakaszok felezőpontjai egybeesnek Megjegyzés Ha B CD, akkor az B szakaszt párhuzamos eltolással a CD szakaszra lehet helyezni Tulajdonság z irányított szakaszok halmazán az ekvipolencia egy ekvivalencia-reláció, azaz B (reflexív), B CD, akkor CD B (szimmetrikus), B CD és CD EF, akkor B EF (tranzitív) B C D B és CD pontosan akkor ekvipolensek, ha BDC egy paralelogramma vagy az, B, C, D pontok kollineárisak és az [D], [BC] felezőpontja megegyezik B D C Vektorok rtelmezés Egy adott irányított szakasszal ekvipolens irányított szakaszok halmazát vektornak nevezzük Jelölés z B irányított szakasz által meghatározott vektort B-vel (vagy egy kisbetűvel) jelöljük: B = { CD CD B } Megjegyzés Ha B CD, akkor B = CD z u = B = CD jelöléssel az B (vagy a CD) az u egy reprezentánsa rtelmezés z u hossza (modulusza) az őt reprezentáló irányított szakaszok közös hosszával egyenlő és u -val jelöljük rtelmezés nulla hosszúságú vektort nullvektornak nevezzük 1
8 (Háromszög-szabály): (Paralelogramma-szabály): rtelmezés z B és CD vektorok egyenlőek (jelölés: B = CD), ha az B és CD irányított szakaszok ekvipolensek Megjegyzés Két vektor akkor egyenlő, ha irányuk megegyezik (tartóegyeneseik párhuzamosak), hosszuk egyenlő és ugyanaz az irányításuk Tétel (dott kezdőpontú reprezentáns létezése) Ha adott az u vektor és egy tetszőleges M pont, akkor létezik egyetlen olyan M pont, amelyre u = MM Következmény z egyértelműség alapján, ha M = MB, akkor = B z irányított szakaszok halmaza = u C D G H B v E = F mellékelt ábrán u = B = CD =, v = EF = GH =, CD az u egy reprezentánsa, EF a v egy reprezentánsa, B = CD 1 Műveletek vektorokkal Vektorok összeadása z u és v vektorok összegét a következőképpen szerkesztjük meg egy tetszőleges M pontból kiindulva megszerkesztjük az MN = u majd az NP = v vektorokat Ekkor az u és v összege az u + v = MP vektor ha u és v nem kollineárisak, egy tetszőleges M pontból kiindulva megszerkesztjük az MN = u és az MP = v vektorokat, majd az MNQP paralelogrammát Ekkor az u és v összege az u + v = MQ vektor v u N u M v P u + v Háromszög-szabály N Q u M v P Paralelogramma-szabály u + v
9 asszociatív: kommutatív: a minden vektorok összeadásának tulajdonságai rtelmezés z B vektor ellentétes vektora a B = B vektor Tulajdonság vektorok összeadásának tulajdonságai ( a, b, c tetszőleges vektorok): ( a + b) + c = a + ( b + c); ( a ) + b = b + a; nullvektor 0 az összeadás semleges eleme: a + 0 = 0 + a = a; a vektornak van ellentettje ( a): a + ( a) = ( a) + a = 0 Feladat Bizonyítsuk be, hogy az BCD paralelogramma síkjának bármely M pontja esetén M + MC = MB + MD M z BCD paralelogrammában B = DC = CD és D = BC = CB B C M + MC = M = ( MB + B) + ( MD + DC) = = MB + MD + B + DC = D = MB + MD Vektorok kivonása z u és v vektorok különbségén az u v = u+( v) vektort értjük és a következőképpen szerkesztjük meg: egy tetszőleges M pontból kiindulva felvesszük az MN = u és MP = v vektorokat Ekkor u v = P N u v u M N u v v P Tetszőleges M, N, P pontok esetén MN MP = MN + P M = P N Feladat z BC háromszögben az B + C és B C vektorok modulusza egyenlő Bizonyítsuk be, hogy az BC háromszög derékszögű! M z B + C megszerkesztése érdekében megrajzoljuk az BDC paralelogrammát: B + C = D, így B + C = D = D C B C = B + C = C + B = CB, így B C = CB = CB B + C = B C D = BC, vagyis az BCD paralelogramma egy téglalap Tehát B D m( BC) = 90
10 15 Párhuzamosság, összefutás, kollinearitás Tétel Legyen, B, C, D négy nem kollineáris pont z B és CD egyenesek pontosan akkor párhuzamosak, ha létezik olyan α R, amelyre B = α CD Tétel (Thálész tétele) z BC háromszög valamely oldalával húzott párhuzamos a másik két oldalon arányos szakaszokat határoz meg: ha DE BC, D B, E C, akkor D DB = E EC Következmény tétel feltételei mellett D B = E C, DB B = EC C Tétel (Thálész tételének fordítottja) Ha a D és E pontok az BC háromszög B és C oldalát arányos szakaszokra osztják, akkor DE BC E D D B E B C D C E B C háromszög szögfelezőinek tulajdonságai Tétel (Szögfelező tétele) Ha (D az BC háromszög BC szögének szögfelezője, D (BC), akkor BD DC = B C Tétel háromszögbe írt kör kör középpontja a háromszög szögfelezőinek I metszéspontja Tétel Ha O a sík egy tetszőleges pontja, a háromszögbe írt kör középpontjának helyzetvektorát az OI = a O + b OB + coc képlet adja meg, ahol a = BC, a + b + c b = C, c = B Kollinearitás Tétel z, B, C pontok pontosan akkor helyezkednek el egy egyenesen, ha létezik olyan α valós szám, amelyre B = α C Tétel z, B, C pontok pontosan akkor helyezkednek el egy egyenesen, ha létezik olyan α valós szám, amelyre bármely O pont esetén OC = α O + (1 α) OB 7
11 Feladat z BCD paralelogramma oldalain vegyük fel az E és F pontokat úgy, hogy 1 BE = B és F = D Igazoljuk, hogy C, E, F kollineárisak M z 1 BE = B feltétel alapján E = EB (lásd az ábrát), így E az B irányított szakaszt λ = arányban osztja Kezdőpontnak a C pontot választva, a helyzetvektor képlete alapján C CB CB + B CB CE = = = CB B 1 Hasonlóan, F = D F = F D, D azaz F az D irányított szakaszt λ = B arányban osztja E C F C ( ) CD CF = 1 = CD + D CD = CD D = B CB = CB B = CE, azaz E, C, F kollineárisak z BC háromszögben jelölje O a háromszög köré írt kör középpontját, G a háromszög súlypontját, H a háromszög magasságpontját (a magasságvonalak metszéspontját) Tétel (Sylvester tétele) z BC háromszögben O + OB + OC = OH Tétel z BC háromszögben az O, G, H pontok egy egyenesen helyezkednek el, melynek neve a háromszög Euler-egyenese és OH = OG B H O Sylvester tétele C H B G O C 8
12 nalitikus geometria Derékszögű koordináta-rendszer síkban tekintsük az egymása merőleges xx és yy egyeneseket, amelyek az O pontban metszik egymást és amelyeken kijelöltünk egy-egy pozitív irányt rtelmezés z (xox, yoy ) rendszert derékszögű koorináta-rendszernek vagy Descartes-féle koordináta-rendszernek nevezzük z O pont neve origó z [Ox, [Oy félegyenesek a pozitív féltengelyek, [Ox, [Oy a negatív féltengelyek Jelölés z (xox, yoy ) koordináta-rendszert (xoy)-nal jelöljük z [Ox illetve az [Oy féltengelyek egységvektorait i, j-vel jelöljük Descartes-féle koordináták Legyen M egy tetszőleges pont az xoy koordináta-rendszer síkjában Jelölje x M az M pontnak az Ox-tengelyre eső vetületének koordinátáját, y M az M pontnak az Oy-tengelyre eső vetületének koordinátáját rtelmezés z x M számot az M pont abszcisszájának, az y M pontot az M ordinátájának nevezzük z (x M, y M ) számpárt az M koordinátáinak nevezzük Ezzel egyenértékű a következő értelmezés rtelmezés z M pont r M = OM helytevketorát az i és j vektorok szerint felbontva OM = x M i + y M j, ahol x M, y M R z (x M, y M ) számpárt az M pont koordinátáinak nevezzük Jelölés Ez utóbbi értelmezés alapján (formálisan) r M = (x M, y M ) Két pont távolsága z (x, y ) és B(x B, y B ) pontok távolságát a B = (x B x ) + (y B y ) képlet adja meg Feladat Határozzuk meg az OB háromszög kerületét, ahol (, 4) és B(1, 5) M O = + 4 = 5, OB = = 1, B = = 8, így K OB =
13 Feladat Határozzuk meg az m R számot úgy, hogy az (; m) és B(m; ) pontok távolsága 4 legyen! M B = (m ) + ( m) = 4 m + 8 = 16 m = ± Műveletek kötött vektorokkal Legyen u = (a 1, b 1 ) és v = (a, b ) két vektor és λ egy valós szám Tulajdonság (Két vektor egyenlősége) u = v (a 1 = a és b 1 = b ) Tulajdonság (Két vektor összege) u + v = (a 1 + a, b 1 + b ) Tulajdonság (Vektor szorzata valós számmal) λ u = (λ a 1, λ b 1 ) Tulajdonság (Két vektor skaláris szorzata) u v = a 1 a + b 1 b R Tulajdonság z u vektor hossza u = a 1 + b 1 Következmény Két vektor skaláris szorzatának értelmezéséből a 1 a + b 1 b cos(û, v) = a 1 + b 1 a + b Következmény u pontosan akkor merőleges v -re, ha a 1 a + b 1 b = 0 Tétel z u és v vektorok pontosan akkor párhuzamosak, ha a 1 = b 1, a b a 1, a, b 1, b 0 vagy a 1 = a = 0 vagy b 1 = b = 0 Feladat dottak az a = i + j, b = i j és u = 6 i + j vektorok Határozzuk meg a p, r R számokat úgy, hogy fennálljon az u = p a +r b egyenlőség! M a = (1, 1), v = (1, 1), b = (6, ) p a + r { b = p (1, 1) + r (1, 1) = p + r = 6 (p, p) + (r, r) = (p + r, p r) = (6, ) p = 4, r = p r = Feladat Számítsuk ki: ( i + 5 j ) ( i 4 j ) M skaláris szorzás értelmezéséből i i = i i cos( i, i ) = 1 1 cos 0 = 1, j j = 1 1 cos 0 = 1, i j = i j cos( i, j ) = 1 1 cos 90 = 0, így ( i + 5 j ) ( i 4 j ) = 6 i 8 i j + 15 j i 0 j = 6 0 = 14 Másképp: formálisan írhatjuk, hogy ( i + 5 j ) ( i 4 j ) = (, 5) (, 4) = + 5 ( 4) = 14 Feladat Határozzuk meg az m R azon értékét, amelyre az u = i 5 j és v = 4 i + (m 1) j vektorok merőlegesek egymásra! M u v u v = 0 4+( 5) (m 1) = m+5 = 0 m = 1 10 Feladat Igazoljuk, hogy az u = 4 i 5 j és v = i +7 j vektorok tompaszöget zárnak be M u v = (4, 5) (, 7) = 1 5 = < 0, így a két vektor által bezárt szög 14
14 koszinusza negatív, azaz a szög tompaszög Feladat Határozzuk meg az m R paraméter értékét úgy, hogy az u = a i + j és v = 4 i + (a + 4) j vektorok párhuzamosak legyenek! M u v a 4 = a + 4 a + 4a 1 = 0 a 1 =, a = 6 Feladat z xoy koordináta-rendszerben adottak az O(0, 0), (, 1) és B(, 1) pontok Határozzuk meg az O és OB vektorok által bezárt szög koszinuszát! M O = (, 1), OB = (, 1), O = 5, OB = 5; O OB = O OB cos(âob) = 5 5 cos(âob) = cos(âob) = 5 Legyen r = (x, y ), r B = (x B, y B ), r C = (x C, y C ) Tétel z B vektor koordinátái B = (x B x, y B y ) Tétel Ha M (B) úgy, hogy M = k MB, akkor x k xb y k yb x M = és y M = 1 k 1 k Következmény z [B] szakasz M felezőpontjának ( koordinátái x + x B, y ) + y B Következmény z BC ( háromszög G súlypontjának koordinátái ) x + x B + x C y + yb + yc, Feladat Legyen G az BC háromszög súlypontja z, B és G helyzetvektorai r = 4 i + 7 j, r B = i j és r G = 4 i + 4 j Határozzuk meg a C pont helyzetvektorát! ( xc M (4, 4) =, ) yc x C = 6, y C = 6 C(6, 6) Egyenes iránytényezője rtelmezés Legyen d egy egyenes, mely nem párhuzamos az Oy-tengellyel d egyenes iránytényezője a d-nek az Ox-tengellyel bezárt szögének tangense: m = tg φ, ahol φ [0, 180 ] \ {90 } (az Oy-nal párhuzamos egyeneseknek nincs iránytényezőjük) Tétel z (x, y ) és B(x B, y B ) pontokon átmenő egyenes iránytényezője m B = y y B x x B Tétel d : ax+by +c = 0, b 0 egyenletű egyenes iránytényezője m d = a b Tétel z y = mx + n egyenletű egyenes iránytényezője m 15
15 y d y d d y O x φ O x O φ x φ = 0, m = 0 Két egyenes szöge φ (0, 90 ), m > 0 φ (90, 180 ), m < 0 Legyen m 1 a d 1, m a d egyenes iránytényezője (d 1 d, d 1 Oy, d Oy) Tétel d 1 és d egyenesek akkor és csakis akkor párhuzamosak, ha m 1 = m Tétel d 1 és d egyenesek akkor és csakis akkor merőlegesek, ha m 1 m = 1 Tétel d 1 és d egyenesek által bezárt ) szög tangense m1 m tg ( d 1, d = 1 + m 1 m Egyenes egyenlete rtelmezés Legyenek a, b, c R, a 0 vagy b 0 zon (x, y) koordinátájú pontok, amelyekre ax + by + c = 0, egy d egyenesen helyezkednek el, melyet az ax + by + c = 0 egyenletű egyenesnek nevezünk és így jelölünk: d : ax + by + c = 0 (egyenes általános egyenlete) Tétel z Oy-tengelyt a (0, n) pontban metsző, m iránytényezőjű egyenes egyenlete y = mx + n (egyenes explicit egyenlete) Tétel z (x, y ) ponton áthaladó és m iránytényezőjű egyenes egyenlete y y = m(x x ) Tétel z (x, y ) és B(x B, y B ) pontokon áthaladó egyenes egyenlete y y yb y =, ha x x B és x = x, ha x = x B x x x B x x y 1 Megjegyzés fenti összefüggés x y 1 = 0 alakba is írható x B y B 1 Következmény zon egyenes egyenlete, amely a tengelyeket az (a, 0) és (0, b) pontokban metszi, (a, b 0), x a + y b 1 = 0 16
16 Trigonometria 1 trigonometria elemei Szög-mértékegységek rtelmezés Egy kör félkerületének és sugarának aránya állandó és π,1415- tel egyenlő rtelmezés kör sugarával megegyező hosszúságú körívhez tartozó középponti szög mértéke 1 radián Megjegyzés Egy szögnek fokban illetve radiánban való mértéke közt fennáll az α = 180 összefüggés, ahol α a szög fokban kifejezett, xr a szög radiánban x r π kifejezett mértéke II P 5π/6 P π/ P π/ P π/ P π/6 P π O P 0 P 7π/6 P 11π/6 III P 4π/ P π/ P 5π/ I IV trigonometrikus kör rtelmezés dott egy xoy derékszögű koordináta-rendszer z O középpontú, egységsugarú kört, amelyen kijelöltünk egy pozitív körbejárási irányt (az óramutató járásával ellentétes irányt), trigonometrikus körnek nevezzük Jelölés Legyen t R egy szám Ekkor egyetlen olyan P t-vel jelölt pont van a trigonometriai körön, amely m(âop t ) = t Szinusz és koszinusz Legyen t egy valós szám és P t a hozzátartozó pont a körön rtelmezés P t pont ordinátáját a t valós szám szinuszának nevezzük és így jelöljük: sin t rtelmezés P t pont abszcisszáját a t valós szám koszinuszának nevezzük és így jelöljük: cos t 19
17 ctg t T sin t t O cos t P t O t P t T tg t Tangens és kotangens rtelmezés z x = 1 egyenletű függőleges egyenest tangens-tengelynek, az y = 1 egyenletű vízszintes { egyenest pedig kotangens-tengelynek nevezzük π } rtelmezés Ha t R \ + kπ k Z, P t a t-nek megfelelő pont és T az OP t egyenes és a tangens-tengely metszéspontja, akkor T ordinátáját t tangensének nevezzük és így jelöljük: tg t rtelmezés Ha t R \ {kπ k Z}, P t a t-nek megfelelő pont és T az OP t egyenes és a kotangens-tengely metszéspontja, akkor T abszcisszáját t kotangensének nevezzük és így jelöljük: ctg t Fontosabb értékek x 0 sin x 0 cos x 1 tg x 0 ctg x π 6 π π π 1 1 π π 4 5π 6 π Visszavezetés az első negyedbe x N x N x N 4 sin x = sin(π x) sin x = sin(x π) sin x = sin(π x) cos x = cos(π x) cos x = cos(x π) cos x = cos(π x) tg x = tg (π x) tg x = tg (x π) tg x = tg (π x) ctg x = ctg (π x) ctg x = ctg (x π) ctg x = ctg (π x) 0
18 trigonometrikus függvények előjele π π x 0 N 1 N π N N 4 π sin x cos x tg x ctg x trigonometrikus függvények monotonitása π π x 0 N 1 N π N N 4 π sin x cos x tg x ctg x lapösszefüggések sin x + cos x = 1 (a trigonometria alapképlete) tg x = sin x cos x = 1 ( ctg x π ) sin x = cos x sin( x) = sin x sin(x + π) = sin x ( π ) cos x = sin x cos( x) = cos x cos(x + π) = cos x ( π ) tg x = ctg x tg ( x) = tg x tg (x + π) = tg x ( π ) ctg x = tg x ctg ( x) = ctg x ctg (x + π) = ctg x 1
19 (x Függvényhatárértékek 1 Függvény határértéke rtelmezés zt mondjuk, hogy az f : D R, D R függvény határértéke az x 0 R torlódási pontban l R, ha az l bármely V l környezete esetén létezik az x 0 olyan U x0 környezete, amelyre x Ux 0 D esetén f(x) V l Jelölés Ha az f : D R függvény határértéke az x 0 R pontban l R, akkor ezt így jelöljük: lim f(x) = l x x 0 Tétel ( határérték Heine féle értelmezése) Legyen f : D R, x 0 R, l R Egyenértékűek a következő állítások: lim f(x) = l, x x 0 n) n 1, x n D, x n x 0, lim xn = x0 sorozat lim f(xn) = l n n Feladat Igazoljuk, hogy az f : R R, f(x) = sin 1 függvénynek nincs határértéke az x 0 = 0 pontban! x M Tekintsük az (x n ) n 1 és (x n) n 1 sorozatokat, ahol x n = 1 nπ, x n = (4n + 1)π Ekkor lim x n = lim n n x n = 0 és lim f(x n) = lim sin 1 = lim sin nπ = 0, n n x n n lim n f(x n) = lim sin 1 (4n + 1)π = lim sin = 1, n x n n így f-nek nincs határértéke 0-ban Határérték az x 0 R pontban rtelmezés lim x x 0 f(x) = l R ε > 0, δ(ε) > 0 úgy, hogy ha x x 0 < δ(ε), x x 0 akkor f(x) l < ε rtelmezés lim x x 0 f(x) = + ε > 0, δ(ε) > 0 úgy, hogy ha x x 0 < δ(ε), x x 0 akkor f(x) > ε rtelmezés lim x x 0 f(x) = ε > 0, δ(ε) > 0 úgy, hogy ha x x 0 < δ(ε), x x 0 akkor f(x) < ε Feladat Igazoljuk, hogy lim x 0 x 1 x =! 40
20 M Igazoljuk, hogy ε > 0 esetén δ > 0 úgy, hogy ha x < δ, x 0, akkor f(x) > ε f(x) > ε x 1 ( 1 1 4ε > ε εx x + 1 < 0 x, 1 + ) 1 4ε { x ε ε 1 1 4ε δ = min ε, 1 } 1 4ε ε választással tehát x < δ f(x) < ε Határérték + -ben rtelmezés lim f(x) = l R x ε > 0, δ(ε) > 0 úgy, hogy ha x > δ(ε) akkor f(x) l < ε rtelmezés lim f(x) = + x ε > 0, δ(ε) > 0 úgy, hogy ha x > δ(ε) akkor f(x) > ε rtelmezés lim f(x) = x ε > 0, δ(ε) > 0 úgy, hogy ha x > δ(ε), akkor f(x) < ε Határérték -ben rtelmezés rtelmezés rtelmezés lim f(x) = l R x ε > 0, δ(ε) > 0 úgy, hogy ha x < δ(ε) akkor f(x) l < ε lim x lim x f(x) = + ε > 0, δ(ε) > 0 úgy, hogy ha x < δ(ε) akkor f(x) > ε f(x) = ε > 0, δ(ε) > 0 úgy, hogy ha x < δ(ε), akkor f(x) < ε Jobb és bal oldali határérték rtelmezés zt mondjuk, hogy az f : D R, D R függvény bal oldali határértéke az x 0 R torlódási pontban l R, ha az l bármely V l környezete esetén létezik az x 0 olyan U x0 környezete, amelyre x Ux 0 D, x < x 0 esetén f(x) V l Jelölés lim f(x) vagy lim f(x) x x 0 x x x<x 0 0 Tétel lim f(x) = l x x 0 x<x 0 (x n ) n 1, x n D, x n < x 0, lim x n = x 0 sorozat esetén lim f(x n) = l n n Megjegyzés Hasonlóan értelmezhető a jobb oldali határérték is Tétel z f : D R függvénynek a D halmaz x 0 torlódási pontjában akkor és csakis akkor van határértéke, ha van bal és jobb oldali határértéke és ezek egyenlők 41
21 Határértékekkel végzett műveletek Összeg, szorzat határértéke Tétel Ha az f, g függvényeknek van határértéke x 0 -ban és a határértékek összege illetve szorzata értelmezett, akkor az f + g illetve f g függvénynek is van határértéke x 0 -ban és lim (f(x) + g(x)) = lim f(x) + lim g(x), x x 0 x x 0 x x 0 lim (f(x) g(x)) = lim f(x) lim g(x) x x 0 x x 0 x x 0 Határozatlan esetek: + ( ), ( ) +, illetve 0 (± ), (± ) 0 Hányados határértéke Tétel Ha az f, g függvényeknek van határértéke x 0 -ban és a határértékek hányadosa értelmezett, akkor az f függvénynek is van határértéke x0-ban és g ( ) lim f(x) f(x) x x 0 lim = x x 0 g(x) lim g(x) x x 0 Határozatlan esetek: 0 0, ± ± Hatvány határértéke Tétel Ha az f, g függvényeknek van határértéke x 0 -ban és a határértékek hatványa értelmezett, akkor az f g függvénynek is van határértéke x 0-ban és ( ) lim g(x) lim f(x) g(x) x x = lim f(x) 0 x x 0 x x 0 Határozatlan esetek: 0 0, 1, 0 Összetett függvény határértéke Tétel Ha g : D E, f : E R, x 0 a D torlódási pontja, lim g(x) = x x 0 l 0, g(x) l 0, ha x x 0 és lim f(u) = l, akkor az f g függvénynek van u l0 határértéke x 0 -ban és lim (f g)(x) = l x x 0 Példa Ha lim f(x) = l R, akkor lim sin f(x) = sin lim f(x) = sin l x x 0 x x 0 x x 0 4
22 54 Elemi függvények deriváltjai függvény függvény deriváltja Deriválhatósági tartomány f(x) = c, c R f (x) = 0 R f(x) = x n, n N f (x) = nx n 1 R f(x) = x a, a R f (x) = ax a 1 (0, ) f(x) = x f (x) = 1 x f(x) = log a x, a>0, a 1 f (x) = 1 x ln a (0, ) (0, ) f(x) = ln x f (x) = 1 x (0, ) f(x) = a x, a>0, a 1 f (x) = a x ln a R f(x) = sin x f (x) = cos x R f(x) = cos x f (x) = sin x R f(x) = tg x f (x) = 1 cos x f(x) = ctg x f (x) = 1 sin x f(x) = arcsin x f 1 (x) = 1 x { π } R \ + kπ k Z R \ {kπ k Z} ( 1, 1) f(x) = arccos x f 1 (x) = 1 x ( 1, 1) f(x) = arctg x f (x) = x R f(x) = arcctg x f (x) = x R 54
GEOMETRIA A trigonometria elemei Trigonometrikus egyenletek Trigonometria síkmértani alkalmazásai. 57
Tartalomjegyzék GEOMETRIA 1 Vektorok 1 11 Irányított szakaszok Vektorok 1 12 Műveletek vektorokkal 3 13 Kollineáris vektorok 8 14 Helyzetvektor 10 15 Párhuzamosság, összefutás, kollinearitás 12 16 Skaláris
Részletesebben5. Deriválható függvények A derivált értelmezése A derivált mértani jelentése Műveletek deriválható függvényekkel...
Tartalomjegyzék GEOMETRIA 1 Vektorok 1 11 Irányított szakaszok Vektorok 1 1 Műveletek vektorokkal 3 13 Kollineáris vektorok 6 14 Helyzetvektor 8 15 Párhuzamosság, összefutás, kollinearitás 10 16 Skaláris
RészletesebbenA fontosabb definíciók
A legfontosabb definíciókat jelöli. A fontosabb definíciók [Descartes szorzat] Az A és B halmazok Descartes szorzatán az A és B elemeiből képezett összes (a, b) a A, b B rendezett párok halmazát értjük,
Részletesebben3 függvény. Számítsd ki az f 4 f 3 f 3 f 4. egyenlet valós megoldásait! 3 1, 3 és 5 3 1
Érettségi, M, I-es feladatsor, természettudomány.. Számítsd ki a C! összeget! log 4. Határozd meg a. Számítsd ki az egyenlet valós megoldásait! összeg értékét, ha és az 4. Adott az f : 0,, f. Adottak az
RészletesebbenSíkbeli egyenesek. 2. Egy egyenes az x = 1 4t, y = 2 + t parméteres egyenletekkel adott. Határozzuk meg
Analitikus mértan 3. FELADATLAP Síkbeli egyenesek 1. Írjuk fel annak az egyenesnek a paraméteres egyenleteit, amely (i) áthalad az M 0 (1, 2) ponton és párhuzamos a a(3, 1) vektorral; (ii) áthalad az origón
RészletesebbenSíkbeli egyenesek Egy egyenes az x = 1 4t, y = 2 + t parméteres egyenletekkel adott. Határozzuk meg
Analitikus mértan 5. FELADATLAP Síkbeli egyenesek 5.1. Írjuk fel annak az egyenesnek a paraméteres egyenleteit, amely (i) áthalad az M 0 (1, 2) ponton és párhuzamos a a(3, 1) vektorral; (ii) áthalad az
RészletesebbenBrósch Zoltán (Debreceni Egyetem Kossuth Lajos Gyakorló Gimnáziuma) Megoldások
Megoldások 1. Tekintsük az alábbi szabályos hatszögben a következő vektorokat: a = AB és b = AF. Add meg az FO, DC, AO, AC, BE, FB, CE, DF vektorok koordinátáit az (a ; b ) koordinátarendszerben! Alkalmazzuk
RészletesebbenFELVÉTELI VIZSGA, szeptember 12.
BABEŞ-BOLYAI TUDOMÁNYEGYETEM, KOLOZSVÁR MATEMATIKA ÉS INFORMATIKA KAR FELVÉTELI VIZSGA, 08. szeptember. Írásbeli vizsga MATEMATIKÁBÓL FONTOS TUDNIVALÓK: A feleletválasztós feladatok,,a rész esetén egy
RészletesebbenVektoralgebra feladatlap 2018 január 20.
1. Adott az ABCD tetraéder, határozzuk meg: a) AB + BD + DC b) AD + CB + DC c) AB + BC + DA + CD Vektoralgebra feladatlap 018 január 0.. Adott az ABCD tetraéder. Igazoljuk, hogy AD + BC = BD + AC, majd
Részletesebben1/1. Házi feladat. 1. Legyen p és q igaz vagy hamis matematikai kifejezés. Mutassuk meg, hogy
/. Házi feladat. Legyen p és q igaz vagy hamis matematikai kifejezés. Mutassuk meg, hogy mindig igaz. (p (( p) q)) (( p) ( q)). Igazoljuk, hogy minden A, B és C halmazra A \ (B C) = (A \ B) (A \ C) teljesül.
RészletesebbenAz egyenlőtlenség mindkét oldalát szorozzuk meg 4 16-al:
Bevezető matematika kémikusoknak., 04. ősz. feladatlap. Ábrázoljuk számegyenesen a következő egyenlőtlenségek megoldáshalmazát! (a) x 5 < 3 5 x < 3 x 5 < (d) 5 x
RészletesebbenSkaláris szorzat: a b cos, ahol α a két vektor által bezárt szög.
1 Összeadás: Legyen a (7; 3) és b (- 2; 4), akkor az összegük a + b (7 + (-2); 3 + 4) = (5; 7) Kivonás: Legyen a (7; 3) és b (- 2; 4), akkor a különbségük a b (7 - (-2); 3-4)=(9; - 1) Valós számmal való
RészletesebbenVektorok és koordinátageometria
Vektorok és koordinátageometria Vektorral kapcsolatos alapfogalmak http://zanza.tv/matematika/geometria/vektorok-bevezetese Definíció: Ha egy szakasz két végpontját megkülönböztetjük egymástól oly módon,
Részletesebben9. Írjuk fel annak a síknak az egyenletét, amely átmegy az M 0(1, 2, 3) ponton és. egyenessel;
Síkok és egyenesek FELADATLAP Írjuk fel annak az egyenesnek az egyenletét, amely átmegy az M 0(,, ) ponton és a) az M(,, 0) ponton; b) párhuzamos a d(,, 5) vektorral; c) merőleges a x y + z 0 = 0 síkra;
Részletesebben5 1 6 (2x3 + 4) 7. 4 ( ctg(4x + 2)) + c = 3 4 ctg(4x + 2) + c ] 12 (2x6 + 9) 20 ln(5x4 + 17) + c ch(8x) 20 ln 5x c = 11
Bodó Beáta ISMÉTLÉS. ch(6 d.. 4.. 6. 7. 8. 9..... 4.. e (8 d ch (9 + 7 d ( + 4 6 d 7 8 + d sin (4 + d cos sin d 7 ( 6 + 9 4 d INTEGRÁLSZÁMÍTÁS 7 6 sh(6 + c 8 e(8 + c 9 th(9 + 7 + c 6 ( + 4 7 + c = 7 4
RészletesebbenA Matematika I. előadás részletes tematikája
A Matematika I. előadás részletes tematikája 2005/6, I. félév 1. Halmazok és relációk 1.1 Műveletek halmazokkal Definíciók, fogalmak: halmaz, elem, üres halmaz, halmazok egyenlősége, részhalmaz, halmazok
RészletesebbenExponenciális és logaritmusos kifejezések, egyenletek
Eponenciális és logaritmusos kifejezések, egyenletek. Hatványozási azonosságok. Számítsd ki a következő hatványok pontos értékét! a) 8 b) 4 c) d) 7 e) f) 9 0, g) 0, 9 h) 6 0, 7,, i) 8 j) 6 k) 4 l) 49,.
RészletesebbenVektorgeometria (1) First Prev Next Last Go Back Full Screen Close Quit
Vektorgeometria (1) First Prev Next Last Go Back Full Screen Close Quit 1. A térbeli irányított szakaszokat vektoroknak hívjuk. Két vektort egyenlőnek tekintünk, ha párhuzamos eltolással fedésbe hozhatók.
Részletesebbenminden x D esetén, akkor x 0 -at a függvény maximumhelyének mondjuk, f(x 0 )-at pedig az (abszolút) maximumértékének.
Függvények határértéke és folytonossága Egy f: D R R függvényt korlátosnak nevezünk, ha a függvényértékek halmaza korlátos. Ha f(x) f(x 0 ) teljesül minden x D esetén, akkor x 0 -at a függvény maximumhelyének
RészletesebbenAnalízis II. Analízis II. Beugrók. Készítette: Szánthó József. kiezafiu kukac gmail.com. 2009/ félév
Analízis II. Analízis II. Beugrók Készítette: Szánthó József kiezafiu kukac gmail.com 2009/20 10 1.félév Analízis II. Beugrók Függvények folytonossága: 1. Mikor nevez egy függvényt egyenletesen folytonosnak?
RészletesebbenSíkgeometria 12. évfolyam. Szögek, szögpárok és fajtáik
Szögek, szögpárok és fajtáik Szögfajták: Jelölés: Mindkét esetben: α + β = 180 Pótszögek: Olyan szögek, amelyeknek összege 90. Oldalak szerint csoportosítva A háromszögek Általános háromszög: Minden oldala
RészletesebbenI. feladatsor i i i i 5i i i 0 6 6i. 3 5i i
I. feladatsor () Töltse ki az alábbi táblázatot: Komplex szám Valós rész Képzetes rész Konjugált Abszolútérték + i i 0 + i i 5 5i 5 5i 6 6i 0 6 6i 6 5i 5 + 5i + i i 7i 0 7 7i 7 () Adottak az alábbi komplex
RészletesebbenKoordináta-geometria feladatok (középszint)
Koordináta-geometria feladatok (középszint) 1. (KSZÉV Minta (1) 2004.05/I/4) Adott az A(2; 5) és B(1; 3) pont. Adja meg az AB szakasz felezőpontjának koordinátáit! 2. (KSZÉV Minta (2) 2004.05/I/7) Egy
RészletesebbenBrósch Zoltán (Debreceni Egyetem Kossuth Lajos Gyakorló Gimnáziuma) Megoldások
Megoldások 1. Határozd meg a szakasz hosszát, ha a végpontok koordinátái: A ( 1; ) és B (5; )! A szakasz hosszához számítsuk ki a két pont távolságát: d AB = AB = (5 ( 1)) + ( ) = 6 + 1 = 7 6,08.. Határozd
Részletesebbenf(x) a (x x 0 )-t használjuk.
5. FÜGGVÉNYEK HATÁRÉRTÉKE ÉS FOLYTONOSSÁGA 5.1 Függvény határértéke Egy D R halmaz torlódási pontjainak halmazát D -vel fogjuk jelölni. Definíció. Legyen f : D R R és legyen x 0 D (a D halmaz torlódási
RészletesebbenHÁZI FELADATOK. 1. félév. 1. konferencia A lineáris algebra alapjai
HÁZI FELADATOK. félév. konferencia A lineáris algebra alapjai Értékelés:. egység: önálló feladatmegoldás.8. Döntse el, párhuzamosak-e a következő vektorpárok: a) a( ; ; 7) b(; 5; ) b) c(; 9; 5) d(8; 6;
RészletesebbenDierenciálhatóság. Wettl Ferenc el adása alapján és
205.0.9. és 205.0.26. 205.0.9. és 205.0.26. / Tartalom A dierenciálhatóság fogalma Pontbeli dierenciálhatóság Jobb és bal oldali dierenciálhatóság Folytonosság és dierenciálhatóság Deriváltfüggvény 2 Dierenciálási
RészletesebbenKoordináta-geometria feladatok (emelt szint)
Koordináta-geometria feladatok (emelt szint) 1. (ESZÉV Minta (2) 2004.05/7) Egy ABC háromszögben CAB = 30, az ACB = 45. A háromszög két csúcsának koordinátái: A(2; 2) és C(4; 2). Határozza meg a harmadik
Részletesebbenf(x) vagy f(x) a (x x 0 )-t használjuk. lim melyekre Mivel itt ɛ > 0 tetszőlegesen kicsi, így a a = 0, a = a, ami ellentmondás, bizonyítva
6. FÜGGVÉNYEK HATÁRÉRTÉKE ÉS FOLYTONOSSÁGA 6.1 Függvény határértéke Egy D R halmaz torlódási pontjainak halmazát D -vel fogjuk jelölni. Definíció. Legyen f : D R R és legyen x 0 D (a D halmaz torlódási
RészletesebbenANALITIKUS MÉRTAN I. VEKTORALGEBRA. 1. Adott egy ABCD tetraéder. Határozzuk meg az alábbi összegeket: a) AD + BC = BD + AC.
ANALITIKUS MÉRTAN INFORMATIKA CSOPORT I. VEKTORALGEBRA 1. Feladatlap Műveletek vektorokkal 1. Adott egy ABCD tetraéder. Határozzuk meg az alábbi összegeket: a) AB + BD + DC; b) AD + CB + DC; c) AB + BC
RészletesebbenValós függvények tulajdonságai és határérték-számítása
EL 1 Valós függvények tulajdonságai és határérték-számítása Az ebben a részben szereplő függvények értelmezési tartománya legyen R egy részhalmaza. EL 2 Definíció: zérushely Az f:d R függvénynek zérushelye
RészletesebbenBrósch Zoltán (Debreceni Egyetem Kossuth Lajos Gyakorló Gimnáziuma) Vektorok II.
Vektorok II. DEFINÍCIÓ: (Vektorok hajlásszöge) Két vektor hajlásszögének azt a φ (0 φ 180 ) szöget nevezzük, amelyet a vektorok egy közös pontból felmért reprezentánsai által meghatározott félegyenesek
RészletesebbenMatematika A1a Analízis
B U D A P E S T I M Ű S Z A K I M A T E M A T I K A É S G A Z D A S Á G T U D O M Á N Y I I N T É Z E T E G Y E T E M Matematika A1a Analízis BMETE90AX00 Vektorok StKis, EIC 2019-02-12 Wettl Ferenc ALGEBRA
RészletesebbenMatematika A1a Analízis
B U D A P E S T I M Ű S Z A K I M A T E M A T I K A É S G A Z D A S Á G T U D O M Á N Y I I N T É Z E T E G Y E T E M Matematika A1a Analízis BMETE90AX00 Differenciálhatóság H607, EIC 2019-03-14 Wettl
RészletesebbenKoordináta-geometria II.
Koordináta-geometria II. DEFINÍCIÓ: (Alakzat egyenlete) A síkon adott egy derékszögű koordináta rendszer. A síkban levő alakzat egyenlete olyan f (x, y) = 0 egyenlet, amelyet azoknak és csak azoknak a
RészletesebbenTartalomjegyzék. 3. Elsőfokú egyenletek és egyenlőtlenségek... 8 3.1. Elsőfokú egyenletek... 8 3.2. Valós szám abszolút értéke...
Tartalomjegyzék 1. Műveletek valós számokkal... 1 1.1. Gyökök és hatványozás... 1 1.1.1. Hatványozás... 1 1.1.2. Gyökök... 1 1.2. Azonosságok... 2 1.3. Egyenlőtlenségek... 3 2. Függvények... 5 2.1. A függvény
RészletesebbenMatematika I. NÉV:... FELADATOK: 2. Határozzuk meg az f(x) = 2x 3 + 2x 2 2x + 1 függvény szélsőértékeit a [ 2, 2] halmazon.
215.12.8. Matematika I. NÉV:... 1. Lineáris transzformációk segítségével ábrázoljuk az f(x) = ln(2 3x) függvényt. 7pt 2. Határozzuk meg az f(x) = 2x 3 + 2x 2 2x + 1 függvény szélsőértékeit a [ 2, 2] halmazon.
Részletesebben5. előadás. Skaláris szorzás
5. előadás Skaláris szorzás Bevezetés Két vektor hajlásszöge: a vektorokkal párhuzamos és egyirányú, egy pontból induló félegyenesek konvex szöge. φ Bevezetés Definíció: Két vektor skaláris szorzata abszolút
RészletesebbenMATEK-INFO UBB verseny április 6.
BABEŞ-BOLYAI TUDOMÁNYEGYETEM, KOLOZSVÁR MATEMATIKA ÉS INFORMATIKA KAR MATEK-INFO UBB verseny 219. április 6. Írásbeli próba matematikából FONTOS MEGJEGYZÉS: 1) Az A. részben megjelenő feleletválasztós
RészletesebbenMATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK MEGOLDÁSAI KÖZÉP SZINT. Koordináta-geometria
MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK MEGOLDÁSAI KÖZÉP SZINT 1) Adott két pont: A 4; 1 felezőpontjának koordinátáit! AB felezőpontja legyen F. Koordináta-geometria és B 3 1; Írja fel az AB szakasz 1 3 4
Részletesebben13. Trigonometria II.
Trigonometria II I Elméleti összefoglaló Tetszőleges α szög szinusza a koordinátasíkon az i vektortól az óramutató járásával ellentétes irányban α szöggel elforgatott e egységvektor második koordinátája
RészletesebbenVIK A1 Matematika BOSCH, Hatvan, 5. Gyakorlati anyag
VIK A1 Matematika BOSCH, Hatvan, 5. Gyakorlati anyag 2018/19 1. félév Függvények határértéke 1. Bizonyítsuk be definíció alapján a következőket! (a) lim x 2 3x+1 5x+4 = 1 2 (b) lim x 4 x 16 x 2 4x = 2
RészletesebbenÉrettségi feladatok Koordinátageometria_rendszerezve / 5
Érettségi feladatok Koordinátageometria_rendszerezve 2005-2013 1/ 5 Vektorok 2005. május 28./12. Adottak az a (4; 3) és b ( 2; 1) vektorok. a) Adja meg az a hosszát! b) Számítsa ki az a + b koordinátáit!
RészletesebbenNagy András. Feladatok a koordináta-geometria, egyenesek témaköréhez 11. osztály 2010.
Nagy András Feladatok a koordináta-geometria, egyenesek témaköréhez 11. osztály 010. Feladatok a koordináta-geometria, egyenesek témaköréhez 11. osztály 1) Döntsd el, hogy a P pont illeszkedik-e az e egyenesre
RészletesebbenMinimum követelmények matematika tantárgyból 11. évfolyamon
Minimum követelmények matematika tantárgyból. évfolyamon A hatványozás általánosítása pozitív alap esetén racionális kitevőre. Műveletek hatványokkal. A, a 0 függvény. Az eponenciális függvény. Vizsgálata
RészletesebbenBrósch Zoltán (Debreceni Egyetem Kossuth Lajos Gyakorló Gimnáziuma) Vektorok I.
Vektorok I. DEFINÍCIÓ: (Vektor) Az egyenlő hosszúságú és egyirányú irányított (kezdő és végponttal rendelkező) szakaszoknak a halmazát vektornak nevezzük. Jele: v ; v; AB (ahol A a vektor kezdőpontja,
RészletesebbenFELVÉTELI VIZSGA, július 17.
BABEŞ-BOLYAI TUDOMÁNYEGYETEM, KOLOZSVÁR MATEMATIKA ÉS INFORMATIKA KAR FELVÉTELI VIZSGA, 2017. július 17. Írásbeli vizsga MATEMATIKÁBÓL I. TÉTEL (30 pont) 1) (10 pont) Igazoljuk, hogy tetszőleges m R esetén
Részletesebben2014. november Dr. Vincze Szilvia
24. november 2-4. Dr. Vincze Szilvia Tartalomjegyzék. Meredekség, szelő, szelő meredeksége 2. Differencia-hányados fogalma 3. Differenciál-hányados fogalma 5. Folytonosság és differenciálhatóság kapcsolata
RészletesebbenA matematika írásbeli vizsga tematikája
A matematika írásbeli vizsga tematikája Megjegyzés. A tematika megegyezik az aktuális érettségi programjával (a X. osztályos gazdasági matematika tartalmának kivételével) IX. OSZTÁLY Halmazok és a matematikai
RészletesebbenKomplex számok. A komplex számok algebrai alakja
Komple számok A komple számok algebrai alakja 1. Ábrázolja a következő komple számokat a Gauss-féle számsíkon! Adja meg a számok valós részét, képzetes részét és számítsa ki az abszolút értéküket! a) 3+5j
RészletesebbenKoordináta - geometria I.
Koordináta - geometria I A koordináta geometria témaköre geometriai problémákat old meg algebrai módszerekkel úgy, hogy a geometriai fogalmaknak algebrai fogalmakat feleltet meg: a pontokat, vektorokat
RészletesebbenMATE-INFO UBB verseny, március 25. MATEMATIKA írásbeli vizsga
BABEŞ-BOLYAI TUDOMÁNYEGYETEM, KOLOZSVÁR MATEMATIKA ÉS INFORMATIKA KAR MATE-INFO UBB verseny, 218. március 25. MATEMATIKA írásbeli vizsga FONTOS TUDNIVALÓK: 1 A feleletválasztós feladatok,,a rész esetén
RészletesebbenFüggvények Megoldások
Függvények Megoldások ) Az ábrán egy ; intervallumon értelmezett függvény grafikonja látható. Válassza ki a felsoroltakból a függvény hozzárendelési szabályát! a) x x b) x x + c) x ( x + ) b) Az x függvény
RészletesebbenMegoldások. Brósch Zoltán (Debreceni Egyetem Kossuth Lajos Gyakorló Gimnáziuma)
Megoldások 1. Határozd meg az a és b vektor skaláris szorzatát, ha a = 5, b = 4 és a közbezárt szög φ = 55! Alkalmazzuk a megfelelő képletet: a b = a b cos φ = 5 4 cos 55 11,47. 2. Határozd meg a következő
RészletesebbenA kör. A kör egyenlete
A kör egyenlete A kör A kör egyenlete 8 a) x + y 6 b) x + y c) 6x + 6y d) x + y 9 8 a) x + y 6 + 9 b) x + y c) x + y a + b 8 a) (x - ) + (y - ) 9, rendezve x + y - 8x - y + b) x + y - 6x - 6y + c) x +
RészletesebbenÉrettségi feladatok: Koordináta-geometria 1/5
Érettségi feladatok: Koordináta-geometria 1/5 2003. Próba/ 13. Adott egy háromszög három csúcspontja a koordinátáival: A( 4; 4), B(4; 4) és C( 4; 8). Számítsa ki a C csúcsból induló súlyvonal és az A csúcsból
RészletesebbenAlapfogalmak, valós számok Sorozatok, határérték Függvények határértéke, folytonosság A differenciálszámítás Függvénydiszkusszió Otthoni munka
Pintér Miklós miklos.pinter@uni-corvinus.hu Ősz Alapfogalmak Halmazok Definíció Legyen A egy tetszőleges halmaz, ekkor x A (x / A) jelentése: x (nem) eleme A-nak. A B (A B) jelentése: A (valódi) részhalmaza
RészletesebbenFüggvény differenciálás összefoglalás
Függvény differenciálás összefoglalás Differenciálszámítás: Def: Differenciahányados: f() f(a + ) f(a) függvényérték változása független változó megváltozása Ha egyre kisebb, vagyis tart -hoz, akkor a
RészletesebbenMatematika 11. osztály
ELTE Apáczai Csere János Gyakorló Gimnázium és Kollégium Humán tagozat Matematika 11. osztály II. rész: Trigonometria Készítette: Balázs Ádám Budapest, 018 . Tartalomjegyzék Tartalomjegyzék II. rész: Trigonometria...........................
RészletesebbenMATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK MEGOLDÁSAI KÖZÉP SZINT Koordináta-geometria
MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK MEGOLDÁSAI KÖZÉP SZINT Koordináta-geometria A szürkített hátterű feladatrészek nem tartoznak az érintett témakörhöz, azonban szolgálhatnak fontos információval az érintett
Részletesebben4. Vektorok. I. Feladatok. vektor, ha a b, c vektorok által bezárt szög 60? 1. Milyen hosszú a v = a+
4 Vektorok I Feladatok Milyen hosszú a v a b c vektor, ha a b, c vektorok által bezárt szög 60? c b, a, b, c és az a és Mit állíthatunk az BCD konvex négyszögről, ha B D B BC CB CD DC D 0? Igaz-e, hogy
RészletesebbenÖsszeállította: dr. Leitold Adrien egyetemi docens
Az R 3 tér geometriája Összeállította: dr. Leitold Adrien egyetemi docens 2008.09.08. 1 Vektorok Vektor: irányított szakasz Jel.: a, a, a, AB, Jellemzői: irány, hosszúság, (abszolút érték) jel.: a Speciális
Részletesebben9. Trigonometria. I. Nulladik ZH-ban láttuk: 1. Tegye nagyság szerint növekvő sorrendbe az alábbi értékeket! Megoldás:
9. Trigonometria I. Nulladik ZH-ban láttuk: 1. Tegye nagyság szerint növekvő sorrendbe az alábbi értékeket! x = cos 150 ; y = sin 5 ; z = tg ( 60 ) (A) z < x < y (B) x < y < z (C) y < x < z (D) z < y
RészletesebbenDifferenciálszámítás. 8. előadás. Farkas István. DE ATC Gazdaságelemzési és Statisztikai Tanszék. Differenciálszámítás p. 1/1
Differenciálszámítás 8. előadás Farkas István DE ATC Gazdaságelemzési és Statisztikai Tanszék Differenciálszámítás p. 1/1 Egyenes meredeksége Egyenes meredekségén az egyenes és az X-tengely pozitív iránya
Részletesebbenegyenletrendszert. Az egyenlő együtthatók módszerét alkalmazhatjuk. sin 2 x = 1 és cosy = 0.
Magyar Ifjúság. X. TRIGONOMETRIKUS FÜGGVÉNYEK A trigonometrikus egyenletrendszerek megoldása során kísérletezhetünk új változók bevezetésével, azonosságok alkalmazásával, helyettesítő módszerrel vagy más,
RészletesebbenMatematika A1a Analízis
B U D A P E S T I M Ű S Z A K I M A T E M A T I K A É S G A Z D A S Á G T U D O M Á N Y I I N T É Z E T E G Y E T E M Matematika A1a Analízis BMETE90AX00 Elemi függvények H607, EIC 2019-03-13 Wettl Ferenc
RészletesebbenÉrtelmezési tartomány, tengelymetszetek, paritás. (ii) Határérték. (iii) Első derivált, monotonitás, x x 2 dx = arctg x + C = arcctgx + C,
25.2.8. Kalkulus I. NÉV:... A csoport EHA:... FELADATOK:. Lineáris transzformációk segítségével ábrázoljuk az f() = ln(2 3) függvényt. 7pt 2. Határozzuk meg az f() = 2 3 + 2 2 2 + függvény szélsőértékeit
RészletesebbenI. Vektorok. Adott A (2; 5) és B ( - 3; 4) pontok. (ld. ábra) A két pont által meghatározott vektor:
I. Vektorok 1. Vektorok összege Általánosan: Az ábra alapján Adott: a(4; 1) és b(; 3) a + b (4 + ; 1 + 3) = (6; ) a(a 1 ; a ) és b(b 1 ; b ) a + b(a 1 + b 1 ; a + b ). Vektorok különbsége Általánosan:
RészletesebbenKalkulus I. gyakorlat Fizika BSc I/1.
. Ábrázoljuk a következő halmazokat a síkon! {, y) R 2 : + y < }, b) {, y) R 2 : 2 + y 2 < 4}, c) {, y) R 2 : 2 + y 2 < 4, + y < }, {, y) R 2 : + y < }. Kalkulus I. gyakorlat Fizika BSc I/.. gyakorlat
RészletesebbenNULLADIK MATEMATIKA ZÁRTHELYI
NULLADIK MATEMATIKA ZÁRTHELYI 08-09-07 Terem: Munkaidő: 0 perc. A dolgozat megírásához íróeszközön kívül semmilyen segédeszköz nem használható! A feladatlap kizárólag kék vagy fekete tollal tölthető ki.
RészletesebbenMatematika I. NÉV:... FELADATOK:
24.2.9. Matematika I. NÉV:... FELADATOK:. A tanult módon vizsgáljuk az a = 3, a n = 3a n 2 (n > ) rekurzív sorozatot. pt 2n 2 + e 2. Definíció szerint és formálisan is igazoljuk, hogy lim =. pt n 3 + n
RészletesebbenAz Országos Középiskolai Tanulmányi Verseny tanévi második fordulójának feladatmegoldásai. x 2 sin x cos (2x) < 1 x.
Az Országos Középiskolai Tanulmányi Verseny 2005-2006. tanévi második fordulójának feladatmegoldásai matematikából, a II. kategória számára 1. Oldja meg a következő egyenlőtlenséget, ha x > 0: x 2 sin
RészletesebbenAlkalmazott matematika és módszerei I Tantárgy kódja
Tantárgy neve Alkalmazott matematika és módszerei I Tantárgy kódja MTB1901 Meghirdetés féléve Kreditpont 4 Összóraszám (elm+gyak) + Számonkérés módja G Előfeltétel (tantárgyi kód) - Tantárgyfelelős neve
RészletesebbenFeladatok megoldásokkal a harmadik gyakorlathoz (érintési paraméterek, L Hospital szabály, elaszticitás) y = 1 + 2(x 1). y = 2x 1.
Feladatok megoldásokkal a harmadik gyakorlathoz (érintési paraméterek, L Hospital szabály, elaszticitás). Feladat. Írjuk fel az f() = függvény 0 = pontbeli érintőjének egyenletét! Az érintő egyenlete y
Részletesebben1. Folytonosság. 1. (A) Igaz-e, hogy ha D(f) = R, f folytonos és periodikus, akkor f korlátos és van maximuma és minimuma?
. Folytonosság. (A) Igaz-e, hogy ha D(f) = R, f folytonos és periodikus, akkor f korlátos és van maimuma és minimuma?. (A) Tudunk példát adni olyan függvényekre, melyek megegyeznek inverzükkel? Ha igen,
RészletesebbenAnalízis házi feladatok
Analízis házi feladatok Készült a PTE TTK GI szakos hallgatóinak Király Balázs 200-. I. Félév 2 . fejezet Első hét.. Házi Feladatok.. Házi Feladat. Írjuk fel a következő sorozatok 0.,., 2., 5., 0. elemét,
RészletesebbenKalkulus I. NÉV: Határozzuk meg a következő határértékeket: 8pt
27.2.2. Kalkulus I. NÉV:... A csoport KÓD:.... Adjuk meg a b n = 3n 7 9 2n sorozat infimumát, szuprémumát. 8pt 2. Határozzuk meg a következő határértékeket: 8pt (a) ( lim n 2 3n n 2 n 3) n ( ) 3n 5 3 2n,
RészletesebbenFüggvény határérték összefoglalás
Függvény határérték összefoglalás Függvény határértéke: Def: Függvény: egyértékű reláció. (Vagyis minden értelmezési tartománybeli elemhez, egyértelműen rendelünk hozzá egy elemet az értékkészletből. Vagyis
RészletesebbenTARTALOM. Előszó 9 HALMAZOK
TARTALOM Előszó 9 HALMAZOK Halmazokkal kapcsolatos fogalmak, részhalmazok 10 Műveletek halmazokkal 11 Számhalmazok 12 Nevezetes ponthalmazok 13 Összeszámlálás, komplementer-szabály 14 Összeszámlálás, összeadási
RészletesebbenTanmenet a évf. fakultációs csoport MATEMATIKA tantárgyának tanításához
ciklus óra óra anyaga, tartalma 1 1. Év eleji szervezési feladatok, bemutatkozás Hatvány, gyök, logaritmus (40 óra) 2. Ismétlés: hatványozás 3. Ismétlés: gyökvonás 4. Értelmezési tartomány vizsgálata 2
RészletesebbenI. feladatsor. 9x x x 2 6x x 9x. 12x 9x2 3. 9x 2 + x. x(x + 3) 50 (d) f(x) = 8x + 4 x(x 2 25)
I. feladatsor () Határozza meg az alábbi függvények határozatlan integrálját: (a) f(x) = (b) f(x) = x + 4 9x + (c) f(x) = (d) f(x) = 6x + 5 5x + f(x) = (f) f(x) = x + x + 5 x 6x + (g) f(x) = (h) f(x) =
Részletesebben2012. október 2 és 4. Dr. Vincze Szilvia
2012. október 2 és 4. Dr. Vincze Szilvia Tartalomjegyzék 1.) Az egyváltozós valós függvény fogalma, műveletek 2.) Zérushely, polinomok zérushelye 3.) Korlátosság 4.) Monotonitás 5.) Szélsőérték 6.) Konvex
RészletesebbenMATEMATIKA 2. dolgozat megoldása (A csoport)
MATEMATIKA. dolgozat megoldása (A csoport). Definiálja az alábbi fogalmakat: (egyváltozós) függvény folytonossága, differenciálhatósága, (többváltozós függvény) iránymenti deriváltja. (3x8 pont). Az f
RészletesebbenMATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK MEGOLDÁSAI KÖZÉPSZINT Koordináta-geometria
MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK MEGOLDÁSAI KÖZÉPSZINT Koordináta-geometria A szürkített hátterű feladatrészek nem tartoznak az érintett témakörhöz, azonban szolgálhatnak fontos információval az érintett
RészletesebbenMATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK MEGOLDÁSAI KÖZÉPSZINT Függvények
MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK MEGOLDÁSAI KÖZÉPSZINT Függvények A szürkített hátterű feladatrészek nem tartoznak az érintett témakörhöz, azonban szolgálhatnak fontos információval az érintett feladatrészek
RészletesebbenFüggvények határértéke és folytonosság
Függvények határértéke és folytonosság ) Bizonyítsa be a határérték definíciója alapján, hogy teljesül! + 5 + = Megoldás Heine definíciója alapján): Igazolandó, hogy a függvény értelmezve van a egy környezetében,
Részletesebbenλ 1 u 1 + λ 2 v 1 + λ 3 w 1 = 0 λ 1 u 2 + λ 2 v 2 + λ 3 w 2 = 0 λ 1 u 3 + λ 2 v 3 + λ 3 w 3 = 0
Vektorok a térben Egy (v 1,v 2,v 3 ) valós számokból álló hármast vektornak nevezzünk a térben (R 3 -ban). Használni fogjuk a v = (v 1,v 2,v 3 ) jelölést. A v 1,v 2,v 3 -at a v vektor komponenseinek nevezzük.
RészletesebbenMATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK MEGOLDÁSAI EMELT SZINT Paraméter
MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK MEGOLDÁSAI EMELT SZINT Paraméter A szürkített hátterű feladatrészek nem tartoznak az érintett témakörhöz, azonban szolgálhatnak fontos információval az érintett feladatrészek
RészletesebbenMATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK KÖZÉPSZINT Függvények
MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK KÖZÉPSZINT Függvények A szürkített hátterű feladatrészek nem tartoznak az érintett témakörhöz, azonban szolgálhatnak fontos információval az érintett feladatrészek megoldásához!
Részletesebben= Y y 0. = Z z 0. u 1. = Z z 1 z 2 z 1. = Y y 1 y 2 y 1
Egyenes és sík a térben Elméleti áttekintés Az egyenes paraméteres egyenlete: X = u 1 λ + x 0 Y = u λ + y 0, Z = u λ + z 0 ahol a λ egy valós paraméter Az u = (u 1, u, u ) az egyenes irányvektora és P
RészletesebbenKoordináta-geometria feladatgyűjtemény
Koordináta-geometria feladatgyűjtemény A feladatok megoldásai a dokumentum végén találhatók Vektorok 1. Egy négyzet két szemközti csúcsának koordinátái: A( ; 7) és C(4 ; 1). Határozd meg a másik két csúcs
RészletesebbenAnalízis I. beugró vizsgakérdések
Analízis I. beugró vizsgakérdések Programtervező Informatikus szak 2008-2009. 2. félév Készítette: Szabó Zoltán SZZNACI.ELTE zotyo@bolyaimk.hu v1.7 Forrás: Dr. Weisz Ferenc: Prog. Mat. 2006-2007 definíciók
Részletesebben6. Folytonosság. pontbeli folytonosság, intervallumon való folytonosság, folytonos függvények
6. Folytonosság pontbeli folytonosság, intervallumon való folytonosság, folytonos függvények Egy függvény egy intervallumon folytonos, ha annak miden pontjában folytonos. folytonos függvények tulajdonságai
RészletesebbenRacionális számok: Azok a számok, amelyek felírhatók két egész szám hányadosaként ( p q
Szóbeli tételek matematikából 1. tétel 1/a Számhalmazok definíciója, jele (természetes számok, egész számok, racionális számok, valós számok) Természetes számok: A pozitív egész számok és a 0. Jele: N
RészletesebbenKoordináta-geometria feladatgyűjtemény (A feladatok megoldásai a dokumentum végén találhatók)
Koordináta-geometria feladatgyűjtemény (A feladatok megoldásai a dokumentum végén találhatók) Vektorok 1. Egy négyzet két szemközti csúcsának koordinátái: A( ; 7) és C(4 ; 1). Határozd meg a másik két
Részletesebben17. előadás: Vektorok a térben
17. előadás: Vektorok a térben Szabó Szilárd A vektor fogalma A mai előadásban n 1 tetszőleges egész szám lehet, de az egyszerűség kedvéért a képletek az n = 2 esetben szerepelnek. Vektorok: rendezett
RészletesebbenMegoldott feladatok november 30. n+3 szigorúan monoton csökken, 5. n+3. lim a n = lim. n+3 = 2n+3 n+4 2n+1
Megoldott feladatok 00. november 0.. Feladat: Vizsgáljuk az a n = n+ n+ sorozat monotonitását, korlátosságát és konvergenciáját. Konvergencia esetén számítsuk ki a határértéket! : a n = n+ n+ = n+ n+ =
Részletesebben8n 5 n, Értelmezési tartomány, tengelymetszetek, paritás. (ii) Határérték. (iii) Első derivált, monotonitás,
3... Kalkulus I. NÉV:... A csoport EHA:... FELADATOK:. Definíció szerint és formálisan is határozzuk meg az f() = 4 deriváltját az = helyen.pt. Határozzuk meg a következő határértékeket: pt lim n 8n 5
RészletesebbenObudai Egyetem RKK Kar. Feladatok a Matematika I tantárgyhoz
Obudai Egyetem RKK Kar Feladatok a Matematika I tantárgyhoz Gyakorló Feladatok a Matematika I Tantárgyhoz Els rész: Feladatok. Halmazelmélet, Számhalmazok, Függvények... Feladat. Legyen A = { : + 3 = 3},
Részletesebben