GEOMETRIA A trigonometria elemei Trigonometrikus egyenletek Trigonometria síkmértani alkalmazásai. 57

Átírás

1

2 Tartalomjegyzék GEOMETRIA 1 Vektorok 1 11 Irányított szakaszok Vektorok 1 12 Műveletek vektorokkal 3 13 Kollineáris vektorok 8 14 Helyzetvektor Párhuzamosság, összefutás, kollinearitás Skaláris szorzás 18 2 Analitikus geometria 24 3 Trigonometria A trigonometria elemei Trigonometrikus egyenletek Trigonometria síkmértani alkalmazásai 57 MATEMATIKAI ANALÍZIS 1 Valós számok, valós számhalmazok 62 2 Valós számsorozatok Valós sorozatok Műveletek valós sorozatokkal 68

3 23 Egyenlőtlenségek és határértékek Konvergencia, monotonitás, korlátosság Részsorozatok Néhány fontos határérték Határozatlansági esetek feloldása 80 3 Függvényhatárértékek Függvény határértéke Határértékekkel végzett műveletek Határértékek tulajdonságai Fontos határértékek 92 4 Folytonos függvények A folytonosság értelmezése Műveletek folytonos függvényekkel Folytonosság és Darboux tulajdonság Deriválható függvények A derivált értelmezése A derivált mértani jelentése Műveletek deriválható függvényekkel Elemi függvények deriváltjai Összetett függvény deriváltja Magasabb rendű deriváltak 117

4 57 A differenciálszámítás középértéktételei Függvény grafikus képe A határozatlan integrál Primitív függvény A határozatlan integrál Primitiválható függvények A parciális integrálás módszere Első helyettesítési módszer Második helyettesítési módszer Törtfüggvények integrálása A határozott integrál Riemann-integralható függvények Integrálható függvények tulajdonságai A parciális integrálás módszere Első helyettesítési módszer Második helyettesítési módszer Középértéktételek Az integrálszámítás alaptétele A határozott integrál alkalmazásai 194

5 AB AB 1 Vektorok 11 Irányított szakaszok Vektorok Irányított szakaszok rtelmezés Az (A,B) rendezett pontpárt irányított szakasznak nevezzük és így jelöljük: AB rtelmezés Az AB és CD irányított szakaszokat ekvipolenseknek nevezzük (jelölés: AB CD), ha az [AD] és [BC] szakaszok felezőpontjai egybeesnek Megjegyzés HaAB CD, akkor azab szakaszt párhuzamos eltolással acdszakaszra lehet helyezni Tulajdonság Az irányított szakaszok halmazán az ekvipolencia egy ekvivalencia-reláció, azaz (reflexív), ha AB CD, akkor CD AB (szimmetrikus), ha AB CD és CD EF, akkor AB EF (tranzitív) AB és CD pontosan akkor D ekvipolensek, ha ABDC B egy paralelogramma vagy az A,B,C,D pontok kollineárisak és az [AD], [BC] felezőpontja megegyezik A C A C B D 1

6 Vektorok rtelmezés Egy adott irányított szakasszal ekvipolens irányított szakaszok halmazát vektornak nevezzük Jelölés Az AB irányított szakasz által meghatározott vektort AB-vel (vagy egy kisbetűvel) jelöljük: { } AB= CD CD AB Megjegyzés Ha AB CD, akkor AB= CD Az u = AB= CD jelöléssel az AB (vagy a CD) az u egy reprezentánsa rtelmezés Az u hossza (modulusza) az őt reprezentáló irányított szakaszok közös hosszával egyenlő és u -val jelöljük rtelmezés A nulla hosszúságú AA vektort nullvektornak nevezzük rtelmezés Az AB és CD vektorok egyenlőek (jelölés: AB= CD), ha az AB és CD irányított szakaszok ekvipolensek Megjegyzés Két vektor akkor egyenlő, ha irányuk megegyezik (tartóegyeneseik párhuzamosak), hosszuk egyenlő és ugyanaz az irányításuk Tétel (Adott kezdőpontú reprezentáns létezése) Ha adott az u vektor és egy tetszőleges M pont, akkor létezik egyetlen olyan M pont, amelyre u = MM Következmény Az egyértelműség alapján, ha MA= MB, akkor A=B 2

7 Az irányított szakaszok halmaza u = C D G H A B v = F A mellékelt ábrán u = AB= CD=, v = EF = = GH=, CD az u egy reprezentánsa, EF a v egy reprezentánsa, AB= CD 12 Műveletek vektorokkal Vektorok összeadása Az u és v vektorok összegét a következőképpen szerkesztjük meg (Háromszög-szabály): egy tetszőleges M pontból kiindulva megszerkesztjük az E MN= u majd az NP = v vektorokat Ekkor az u és v összege az u+ v= MP vektor (Paralelogramma-szabály): ha u és v nem kollineárisak, egy tetszőleges M pontból kiindulva megszerkesztjük az MN= u és az MP = v vektorokat, majd az MNQP paralelogrammát Ekkor az u és v összege az u+ v= MQ vektor 3

8 v u N v u u+ v P M Háromszög-szabály N Q u M v P Paralelogrammaszabály u+ v A vektorok összeadásának tulajdonságai rtelmezés Az AB vektor ellentétes vektora a AB= BA vektor Tulajdonság A vektorok összeadásának tulajdonságai ( a, b, c tetszőleges vektorok): asszociatív: ( a+ b)+ c= a+( b+ c); kommutatív: a+ ( b= b+ a; a nullvektor 0) az összeadás semleges eleme: a+ 0= 0+ a= a; minden a vektornak van ellentettje ( a): a+( a)=( a)+ a= 0 Feladat Bizonyítsuk be, hogy az ABCD paralelogramma síkjának bármely M pontja esetén MA+ MC= MB+ MD M Az ABCD paralelogrammában AB= DC= CD és AD= BC= CB B C MA+ MC= M =( MB+ BA)+ A D +( MD+ DC)= 4

9 = MB+ MD+ BA+ DC= MB+ MD Vektorok kivonása Az u és v vektorok különbségén az u v= u+ ( v) vektort értjük és a következőképpen szerkesztjük meg: egy tetszőleges M pontból kiindulva felvesszük az MN= u és MP = v vektorokat Ekkor u v= P N v N Tetszőleges M,N,P pontok esetén u u MN MP = M v P MN+ P M= P N u v Feladat Az ABC háromszögben az AB+ AC és AB AC vektorok modulusza egyenlő Bizonyítsuk be, hogy az ABC háromszög derékszögű! M Az AB+ AC megszerkesztése érdekében megrajzoljuk az ABDC paralelogram-mát: AB+ AC= AD, így AB+ AC = AD =AD A C AB AC= AB+ CA= CA+ AB= CB, így AB CA = CB = CB B D AB+ AC = AB AC AD=BC, vagyis az ABCD paralelogramma egy téglalap Tehát m( BAC)=90 5

10 Vektor szorzása valós számmal Legyen u egy vektor és α egy valós szám rtelmezés Az u 0 vektornak az α R számmal való szorzatán azt a α u-val jelölt vektort értjük, amely azonos állású u-val; ha α>0, akkor azonos irányú, ha α<0, akkor ellentétes irányú u-val; hossza α u -val egyenlő Ha u= 0 vagy α=0, akkor α u= 0 Vektorok és valós számok szorzásának tulajdonságai Tulajdonság Tetszőleges u, v vektorok és α,β valós számok esetén (α+β) u=α u+β u; α( u+ v)=α u+α v; α(β u)=(αβ) u; 1 u= u; ( α) u=α( u)= (α u) Feladat Legyen M a [BC] felezőpontja és A egy tetszőleges pont a síkban Igazoljuk, hogy AM= 1 ( AB+ AC ) 2 M A háromszög-szabály { alapján AM= AB+ BM AM= AC+ CM 2 AM= 6

11 = AB+ AC+ BM+ CM = AB+ AC, }{{} ahonnan AM= 1 2 = 0 ( AB+ AC ) Feladat Az E, F, G, H pontok az ABCD négyszög [BC], [DA], [AB] illetve [CD] oldalainak a felezőpontjai Bizonyítsuk be, hogy EF + HG= CA M G az [AB] felezőpontja, így 1 AG= GB= AB 2 1 Hasonlóan, BE= EC= BC, 2 CH= HD= 1 1 CD, DF = F A= DA 2 2 D F EF + HG= A =( EC+ CD+ DF )+ H G ( HD+ DA+ AG)= =( CD+ DA)+( EC+ B E C HD+ DF + AG)= = 1 CA+ BC+ 1 CD+ 1 DA+ 1 AB= = 1 ( CA+ BC+ CD+ DA+ AB )= 2 = 1 CA+ 0= CA 2 7

12 3 Trigonometria 31 A trigonometria elemei Szög-mértékegységek rtelmezés Egy kör félkerületének és sugarának aránya állandó és π 3,1415-tel egyenlő rtelmezés A kör sugarával megegyező hosszúságú körívhez tartozó középponti szög mértéke 1 radián Megjegyzés Egy szögnek fokban illetve radiánban α való mértéke közt fennáll az = 180 összefüggés, ahol α a szög fokban kifejezett, xr a szög radi- xr π ánban kifejezett mértéke II P 2π/3 P 5π/6 P π/2 I P π/3 P π/6 Pπ P 7π/6 A O P 0 P 11π/6 P 4π/3 III P 3π/2 P 5π/3 IV 37

13 A trigonometrikus kör rtelmezés Adott egy xoy derékszögű koordinátarendszer Az O középpontú, egységsugarú kört, amelyen kijelöltünk egy pozitív körbejárási irányt (az óramutató járásával ellentétes irányt), trigonometrikus körnek nevezzük Jelölés Legyen t R egy szám Ekkor egyetlen olyan P t -vel jelölt pont van a trigonometriai körön, amely m(âop t )=t Szinusz és koszinusz Legyen t egy valós szám és P t a hozzátartozó pont a körön rtelmezés A P t pont ordinátáját a t valós szám szinuszának nevezzük és így jelöljük: sint rtelmezés A P t pont abszcisszáját a t valós szám koszinuszának nevezzük és így jelöljük: cost P t sint t O cost A ctgt T P t T tgt t O A 38

14 Tangens és kotangens rtelmezés Az x=1 egyenletű függőleges egyenest tangens-tengelynek, az y=1 egyenletű vízszintes egyenest pedig kotangens-tengelynek { nevezzük π } rtelmezés Ha t R\ +kπ k Z, P t a 2 t-nek megfelelő pont és T az OP t egyenes és a tangens-tengely metszéspontja, akkor T ordinátáját t tangensének nevezzük és így jelöljük: tgt rtelmezés Ha t R\{kπ k Z}, P t a t- nek megfelelő pont és T az OP t egyenes és a kotangens-tengely metszéspontja, akkor T abszcisszáját t kotangensének nevezzük és így jelöljük: ctgt Fontosabb értékek π π π π x sinx cosx tgx ctgx

15 Fontosabb értékek 2π 3π 5π x π sinx cosx tgx ctgx Visszavezetés az első negyedbe x C 2 x C 3 sinx=sin(π x) sinx= sin(x π) cosx= cos(π x) cosx= cos(x π) tgx= tg(π x) tgx=tg(x π) ctgx= ctg(π x) ctgx=ctg(x π) x C 4 sinx= sin(2π x) cosx=cos(2π x) tgx= tg(2π x) ctgx= ctg(2π x) 40

16 1 Valós számok, valós számhalmazok rtelmezés Az A R halmaz véges, ha létezik egy n természetes szám és egy f:a {1,2,,n} bijektív függvény rtelmezés Az A R hamaz alulról korlátos, ha létezik olyan m R, amelyre m x, x A Az m az A egy alsó korlátja rtelmezés Az A R hamaz felülről korlátos, ha létezik olyan M R, amelyre M x, x A Az M az A egy felső korlátja rtelmezés Ha A alulról korlátos, akkor A alsó korlátai között van egy legnagyobb, melyet az A alsó határának vagy infimumának nevezünk és h=infaval jelölünk Tétel Legyen A R Egyenértékű a következő két állítás: 1 h R az A alsó határa; 2 a h, a A és ε>0, aε A, amelyre aε<h+ε rtelmezés Ha A felülről korlátos, akkor A felső korlátai között van egy legkisebb, melyet az A felső határának vagy szuprémumának nevezünk és H=supA-val jelölünk Tétel Legyen A R Egyenértékű a következő két állítás: 1 H R az A felső határa; 2 a H, a A és ε>0, aε A, amelyre aε>h ε 62

17 Az R halmaz lezártja rtelmezés Ha az A halmaz alulról (felülről) nem korlátos, akkor azt mondjuk, hogy A alsó (felső) határa (+ ) Az R=R {,+ } halmazt az R lezártjának nevezzük Tulajdonság Az R halmazon végzett műveletek tulajdonságai: x+(+ )=(+ )+x= =(+ )+(+ )=+, x R; x (+ )= (+ )+x= x+( )=( )+( )=, x R; { x (+ )=(+ ) x= +, ha x>0, ha x<0 ; x = x =0, x R; + =( ) ( )=, ( )= Valós szám környezete rtelmezés Az x 0 valós szám egy környezete egy olyan halmaz, amely tartalmaz egy olyan nyílt intervallumot, amelynek eleme x 0 Egy ilyen halmazt V (x 0 )-val jelölünk: V (x 0 ) környezete x 0 -nak ε>0 úgy, hogy (x 0 ε,x 0 +ε) V (x 0 ) 63

18 Valós szám környezete - folytatás Tulajdonság Az x 0 valós szám környezeteinek tulajdonságai: az x 0 minden környezete tartalmazza x 0 -t; ha V az x 0 egy környezete és V U, akkor az U is egy környezete az x 0 -nak; az x 0 két környezetének metszete szintén környezete x 0 -nak; az x 0 egy tetszőleges V környezete esetén létezik az x 0 olyan U környezete úgy, hogy V az U minden pontjának is környezete Tétel Ha x y, akkor léteznek a Vx és Vy halmazok, Vx környezete x-nek, Vy környezete y-nak úgy, hogy Vx Vy = Torlódási pont, izolált pont Legyen A R egy halmaz rtelmezés Az x 0 R pontot az A halmaz torlódási pontjának nevezzük, ha az x 0 tetszőleges környezete az A halmaz végtelen sok elemét tartalmazza Az A halmaz torlódási pontjainak halmazát A -tel jelöljük rtelmezés Ha x 0 A és x 0 nem torlódási pontja A-nak, akkor x 0 az A egy izolált pontja Példa Ha A véges, akkor A-nak nincs torlódási pontja, A minden pontja izolált pont Az A=(a,b) intervallum torlódási pontjainak halmaza A =[a,b] 64

19 4 Folytonos függvények 41 A folytonosság értelmezése rtelmezés Az f:d R függvény folytonos az x 0 D pontban, ha az f(x 0 ) bármely V (f(x 0 )) környezetének megfelel az x 0 olyan U(x 0 ) környezete, amelyre bármely x D V (x 0 ) esetén f(x) V (f(x 0 )) Tétel Az f:d R függvény akkor és csakis akkor folytonos az x 0 D pontban, ha x 0 a D izolált pontja vagy lim f(x)=f(x x x 0 ) 0 Tétel (Heine-féle kritérium) Az f:d R függvény akkor és csakis akkor folytonos az x 0 D pontban, ha tetszőleges (xn), xn D, lim n xn=x 0 sorozat esetén lim n f(xn)=f(x 0 ) Tétel Az f:d R függvény akkor és csakis akkor folytonos az x 0 D pontban, ha ε>0, δ(ε)>0 úgy, hogy x D, x x 0 <δ(ε) esetén f(x) f(x 0 ) <ε rtelmezés Az f:d R függvény folytonos a D halmazon, ha f folytonos a D minden pontjában Tétel Az elemi függvények folytonosak az értelmezési tartományuk nyílt intervallumain 96

20 Feladat Igazojuk, hogy az f:r R, { f(x)= x 2 2x, ha x Q függvény x 2, ha x R\Q nem folytonos az x 0 =3 pontban! M Tekintsünk egy racionális elemekből álló (an) sorozatot, amelyre an x 0 és egy irracionális elemekből álló (bn) sorozatot, amelyre bn x 0 Ekkor lim n f(an)= n lim a2 n 2an= =3 lim n f(bn)= n lim bn 2= 3 2=1 A Heine-féle kritérium alapján f nem folytonos x 0 =3-ban Jobb és bal oldali folytonosság rtelmezés Az f:d R függvény balról folytonos az x 0 D pontban, ha x 0 a D izolált pontja vagy lim x x 0 x<x 0 f(x)=f(x 0 ) rtelmezés Az f:d R függvény jobbról folytonos az x 0 D pontban, ha x 0 a D izolált pontja vagy lim f(x)=f(x x x 0 ) 0 x>x 0 97

21 Szakadási pontok rtelmezés Ha az f:d R függvény az x 0 D pontban nem folytonos, akkor f szakadásos az x 0 pontban és x 0 szakadási pont rtelmezés Ha lim f(x)=l R, de x x 0 l f(x 0 ), akkor x 0 megszüntethető szakadási pont rtelmezés Ha lim f(x)=l x x b R, 0 x<x 0 lim f(x)=l x x j R, de l b l j, akkor 0 x>x 0 x 0 elsőfajú szakadási pont rtelmezés Minden más szakadási pont másodfajú szakadási pont Példa f:r R, 2x 1, ha x<1 0, ha x=1 x 2, ha x (1,2) f(x)= x+1, ha x [2,3] 1, ha x (3, ) x 3 f folyt (,1) (1,2) (2,3) (3, )-n lim f(x)= lim f(x)=1, f(1)=0 x 1 x 1 x 0 =1 megszüntethető szakadási pont lim f(x)=4, lim x 2 x 2 f(x)=3 x 1 =2 elsőfajú szakadási pont lim f(x)=4, lim x 3 x 3 f(x)=+ 98

22 x 2 =3 másodfajú szakadási pont Feladat Tanulmányozzuk az f:r R, sinx, ha x<0 f(x)= x függvény 1, ha x=0 x 2 2x+2, ha x>0 folytonosságát az x 0 =0 pontban M Megvizsgáljuk, hogy teljesül-e a lim f(x)= x x 0 =lim x x0 f(x)=f(x 0 ) egyenlőségsor sinx lim f(x)= lim =1 x x 0 x 0 x lim f(x)= lim x x 0 x 0 x2 2x+2=1 f(x 0 )=f(0)=1 l b (x 0 )=l j (x 0 )=f(x 0 ) f folyt x 0 -ban Feladat Határozzuk meg az a R paraméter értékét úgy, hogy { f folytonos legyen R-n, ahol f:r R, ax f(x)= 2 +x+a+1, ha x<1 x 2 +ax 2, ha x 1 M Az f folytonos a (,1) és (1, ) intervallumokon (az elemi függvények folytonosak), tehát csak x 0 =1-ben kell vizsgálni a folytonosságot lim f(x)= lim x x 0 x 1 ax2 +x+a+1=2a+2 lim f(x)= lim x x 0 x 1 x2 +ax 2=a 1 f(x 0 )=f(1)=a 1 2a+2=a 1 a= 3 99