Debrecei Egyetem Közgazdaság- és Gazdaságtudomáyi Kar Feladatok a Gazdasági matematika I. tárgy gyakorlataihoz a megoldásra feltétleül ajálott feladatokat jelöli e feladatokat a félév végére megoldottak tekitjük a ehezebb feladatokat jelöli Halmazelmélet () Legye A = { 3 4} B = { 5 6} C = {5 6 } D = {6}. (a) Melyik igaz az alábbi állítások közül: 4 C A B D C B = C A = B. (b) Határozzuk meg az A B A B A \ B (A B) \ (A B) A B C halmazokat! () (a) A költők között a legagyobb festő és a festők között a legagyobb költő vajo ugyaaz a személy-e? (b) A költők között a legöregebb festő és a festők között a legöregebb költő vajo egy és ugyaaz a személy? (3) Legye X a DE hallgatóiak összessége L a hallgatóláyok halmaza K a közgazdászhallgatók halmaza C az egyetemi kórus tagjaiak halmaza B a biológia tárgyat felvett hallgatók halmaza T pedig a teiszezőké. Fogalmazzuk meg az alábbi állításokat a halmazelmélet yelvé: (a) Mide biológiát tauló hallgató közgazdász. (b) Az egyetem kórusába va biológiát felvett hallgató. (c) Azo hallgatóláyok akik se em teiszezek se em éekkarosok mid taulak biológiát. (4) Egy társaságba végzett felmérés szerit a társaságból ötvee kávézak és egyvee teázak. Harmicöt olya személy va aki kávézi és teázi is szokott valamit tíz olya személy va aki egyiket sem. Háy tagú a társaság? (5) Legye A B := (A \ B) (B \ A) az A és B halmazok szimmetrikus differeciája. Igazoljuk hogy bármely két halmaz eseté A B = B A A B = (A B) \ (A B). (6) Az alábbi halmazazooságok közül az egyik em igaz. Melyik? (A B) C = A (B C) (A C) B = (A B) (C B) A A =. (7) Igazoljuk hogy ha A \ B = B \ A akkor A = B. (8) Állapítsuk meg hogy a következő összefüggések közül melyek igazak tetszőleges A B és C halmazokra. (a) A (B \ C) = (A B) \ C (b) (c) A B C = A B (B C) [ ( A \ A \ B)] B = A B. (9) Legye A = { N páros} B = { N < 4} C = { N > }. Állapítsuk meg mik leszek az X = [A \ (B C)] [(A \ B) \ C] halmaz elemei. () Hozzuk egyszerűbb alakra a következő kifejezéseket: (a) (b) (c) (A B) (A B) (A B) (B C) (A B) (B Ā) (A B).
() Vizsgáljuk meg hogy milye kapcsolat áll fe az A és B halmazok között ha teljesül az A B = A egyelőség. () Állapítsuk meg milye esetbe állhat fe az A B = Ā egyelőség. (3) Vizsgáljuk meg hogy milye kapcsolat áll fe az A és B halmazok között ha teljesül az A B = A egyelőség. (4) Vizsgáljuk meg milye A és B kapcsolata ha A B = A B teljesül. (5) Milye kapcsolat áll fe az A és B halmazok között ha az A (B Ā) = B igaz? (6) Vizsgáljuk meg hogy milye esetbe teljesül az (A B) \ B = A egyelőség. (7) Mutassuk meg hogy tetszőleges A és B eseté [A \ (A B)] B = A B. (8) Legye A = { } B = { 3}. Írjuk fel az halmazok elemeit. (A B) (B A) és az (A B) \ (B A) (9) Legye A = {( y) R R y = a + b} és B = {( y) R R y = c + d}. Mit modhatuk az a b c és d paraméterekről ha tudjuk hogy (a) A \ B = A (b) A B = {( )} (c) A \ B = (d) {( ) ( )} A B. () Ábrázoljuk a Z R és R Z halmazokat a koordiátasíko. () Lássuk be hogy tetszőleges A B és C halmazokra (a) (b) (c) (d) A (B C) = (A B) (A C) A (B C) = (A B) (A C) (A B) C = (A C) (B C) (A B) C = (A C) (B C). () Igazoljuk hogy tetszőleges A és B B... B halmazokra A (B B B ) = A (B B B ) = B i = i= B i = i= (A B i ) i= (A B i ) i= B i B i. i= i= (3) Legye A egy elemű halmaz. Igazoljuk hogy az A részhalmazaiak száma. (4) Legye m N eseté m O ha m osztható 7-tel. Igazolja hogy O ekvivalecia reláció N-e. Mik leszek az ekvivalecia osztályok? (5) Legye a D reláció N-e az alábbi Igazolja hogy D féligredezés N-e. ( m N)(m D ha m osztója -ek.
3 (6) Tekitsük a következő leképezéseket: F : N N F () = ( N) G : Q Q G() = ( Q) H : R R H() = ( R) L : N N L() = ( N). Állapítsuk meg közülük melyik ijektív szürjektív ill. bijektív. (7) Legye A és B véges halmaz. Mit modhatuk A és B elemeiek a számáról ha tudjuk hogy létezik olya F : A B leképzés amely: (a) ijektív (b) szürjektív (c) bijektív. Idukció (8) Bizoyítsuk be teljes idukcióval hogy mide N re vagy a megadott ekre ( + ) (a) + + 3 + + = (b) + + 3 + + ( + )( + ) = 6 [ ] ( + ) (c) 3 + 3 + 3 3 + + 3 = ( + )( + ) (d) + 3 + + ( + ) = 3 (e)! +! + +! = ( + )! (f) + 3 +... ( + ) = + (g) 3 + 3 5 +... ( ) ( + ) = + (h) + 3 + 4 3 + + = ( ) (i) j (j) j= j= j ( + ) (k) 4 +4 > ( + 4) 4 (l) + j > 3 ( ) 4 j= (m) 3 < + ( > 8) () 3 + 3 4 (o) ( + )! > +3 ( 5) (p) 3 3 + 5 5 + 7 5 egész szám (q) + 3 4 + + 5 osztható 9-cel (r) 3 + 5 + 6 osztható 3-mal.
4 (9) Mutassuk meg hogy ahol ( )! = k k!( k)!. ( ) + = k + ( ) ( ) + k k + (3) Bizoyítsuk be a biomiális tételt: ( ) ( ) (a + b) = a + a b + + ( ) ab + ( ) b ahol tetszőleges természetes szám a b tetszőleges valós számok. A feti egyelőség tömörebb formája: ( ) (a + b) = a k b k. k k= (3) Bizoyítsuk be hogy mide természetes szám és szám eseté teljesül a Beroulli egyelőtleség: ( + ) + és itt egyelőség akkor és csakis akkor teljesül ha = vagy =. (3) Bizoyítsuk be hogy ha... ( ) emegatív valós számok akkor teljesül a számtai és mértai közép közötti egyelőtleség: + + +.... Egyelőség potosa akkor teljesül ha = = =. Valós számok (33) Bizoyítsuk be következő egyelőtleségeket (a > b > ): (a) ab a+b ab a (b) +b a+b (c) a. b + b a (34) Mutassuk meg hogy < + + 3 + + <. (35) A valós számok (test)aiómáit felhaszálva igazolja hogy bármely y z R eseté továbbá ha + y = + z akkor y = z ha y = z akkor y = z ha + y = akkor y = ha y = akkor y = ha + y = akkor y = ha y = akkor y = ( ) = ha akkor ( ) = = y y ( )y = (y) = ( y) ( )( y) = y. (36) A valós számok (redezett test) aiómáit felhaszálva igazolja hogy bármely y z R eseté akkor és csakis akkor ha ha y z akkor y yz ha y z akkor y yz ha akkor > speciálisa > ha < y akkor < y és y. (37) Bizoyítsuk be hogy ha r Q R Q akkor r + és ha r akkor r R \ Q.
5 (38) Bizoyítsuk be hogy irracioális ha a) = b) = 6 c) 3 = 5. (39) Mivel egyelő if H sup H mi H ma H ha H = ( {( ) ) } { 3 : N! { m + 4 } m : m N (Utóbbi két feladatál helyettesítsük r = m -et!) (4) Legye } : N E = [ ] { 3} F = { r : r Q r < } G = { } + m : m N Z. [ Határozzuk meg e halmazok belső izolált torlódási és határpotjait! Sorozatok = + (4) Állapítsuk meg hogy az alábbi sorozatok közül melyek kovergesek melyek divergesek. a = ( ) b = c = log ( + ) d = 8 si(7 ) e = si(π ) f = + 7 3 ( N). (4) Vizsgáljuk meg a következő sorozatokat mootoitás és korlátosság szempotjából. Határozzuk meg a sorozatok határértékét is. (a) a = + + + ( + )( + ) (b) a = + + + + 4 ] (c) a = 5+.! (43) Vizsgáljuk meg hogy háyadik tagtól kezdve esek a sorozat elemei a határérték ε > sugarú köryezetébe: (a) a = + 3 8 (b) a = ( ). (44) Határozzuk meg az alábbi a ( N) sorozatok határértékét ameyibe az létezik. 3 4 + 3 (a) a = + (b) a = + (c) a = + + + 3 + 4 + 5 (d) a = 5 + (e) a = + + 3 + 6 + 5 3 + 5 + 3 + 7 ( ) 5 3 (f) a = 5 ( ) + +5 (g) a = + 3 (h) a = ( + ) ( + ) ( + 3 (i) a = + 5 + + 5 (j) a = + 8 3 + 9 )... ( + )
6 (k) a = + 8 3 + 9 3 (l) a = + 8 3 + 9 + log (m) a = 3 + 7 + 49 3a + 3 () a = log 3( + + ) log 3 (o) a = log ( + 3) log ( + ) (p) a = + 3. ( ) + 8 3 + 9 (a R adott) (45) Tudjuk hogy lim (log ( + + 4)) = +. Tetszőleges K > számhoz határozzuk meg egy olya N természetes számot hogy log( + + 4) > K ha > N. (46) Tegyük fel hogy a + b. Lehetséges-e hogy a b a b 3 a b a b? (47) Tegyük fel hogy a /. Képezzük a b = a b = a a b 3 = a a a 3 b 4 = a a a 3 a 4... sorozatot. Bizoyítsuk be hogy b. (48) Bizoyítsuk be hogy ha a a és a > bármely N-re akkor a a. (49) Tegyük fel hogy a +. Bizoyítsuk be hogy log a +. (5) Tegyük fel hogy a 3. Bizoyítsuk be hogy lim (a + a ) =. (5) Tegyük fel hogy egy sorozatak végtele sok pozitív és végtele sok egatív eleme va. Lehet-e ez a sorozat koverges? (5) Legye a = a = koverges. + 3 a 3 = + 3 + 3 4.... Bizoyítsuk be hogy az a sorozat (53) Legye a = a = + a 3 = + + 3.... Bizoyítsuk be hogy az a sorozat koverges. (54) Számítsuk ki a lim s határértéket ahol (a) s = 3 + 3 5 + + ( )( + ) (b) s = + 6 + + ( + ). (55) Tegyük fel hogy az a sorozat koverges. Mutassuk meg hogy tetszőleges ε > -hoz létezik olya N hogy a a m < ε ha > N és m > N. (56) Igazoljuk az előző állítás megfordítását! Tegyük fel hogy tetszőleges ε > -hoz létezik olya N hogy a a m < ε ha > N. Bizoyítsuk be hogy a koverges.
7 Sorok (57) Határozzuk meg hogy az alábbiak közül melyik geometriai sor és a kovergesekek számítsuk ki az összegét! (a) 8 + + 8 + 64 +... (b) + 3 4... (c) (e) p + p + p 3 +... (d) + + + ( + ) +... + (f) + + + +... (58) Határozzuk meg a sor összegét. k= ( b + p ) k (59) 97-be a világ teljes vasfelhaszálása kb. 794 millió toa volt. Ha a világ teljes vas-készlete 49 milliárd toa és a felhaszálás évi 5%-kal ő akkor meyi ideig lesz elég a készlet? (6) Számítsuk ki a következő végtele sorok összegét: (a) 5 + (b) + ( ) = = (c) = ( + ) (d) ( + ). = (6) Mutassuk meg hogy az alábbi sorok divergesek! (a) + (b) ( ) (c) = = ( ) +. = (6) Kovergesek-e a következő sorok: (alkalmazzuk a majorás háyados vagy gyök tesztet) (a) (b) (c) + 3 = = = (d) k= l k (e) k= k (f) k! = ()! (g) p= p (h) ( ) = (i) k= k + k(k + ) (j) = 3 + (k) s= (s)! s s (l) = ( ) +. 3 (63) Számítsuk ki a következő hatváysorok kovergeciasugarát: (a) (b) 3 + (c) = = k= k (k)!.
8 Függvéyek határértéke és folytoossága (64) Az f() = 5 függvéy az = helye ics értelmezve. Közelítsük meg a -t először az = + + sorozattal majd az y = + ( N) sorozattal és határozzuk meg a megfelelő függvéyértékek sorozatáak határértékét. Értelmezzük az eredméyt. (65) Határozzuk meg a következő határértékeket: 3 (a) lim 3 (b) lim 5 + 6 5 5 (c) (e) (g) lim 3 + (d) lim + ( lim 3 ) 3 (f) lim + lim + 4 [ ( (h) lim a + a )] (i) ( 4 3 + lim + 5 ) (j) lim + (k) lim + 3 3 + (l) lim 3 + 3 + 4 + (m) lim ( ) + + () lim (66) Igazoljuk hogy feállak a következő összefüggések: ( ) + + 3. + (a) (c) lim( + y) y = e (b) lim + 3 = e 3 y log lim a ( + ) = log a e (a > a ) (d) lim ( + a) = e a (a > N). (67) Dötsük el mootook-e a következő függvéyek: (a) f() = ( < ) (b) f() = + ( ) (c) f() = 4 ( < < ) (d) f() = ( > ). (68) Lehetséges-e hogy em folytoos függvéyek összege illetve szorzata folytoos? (69) Bizoyítsuk be hogy mide páratla fokú valós együtthatós egyeletek va valós gyöke. (7) Vizsgáljuk meg hogy viselkedek a következő függvéyek szakadási helyeik köryezetébe és a végtelebe:
9 (a) f() = 3 ha f() = (b) f() = ( ) 5 + 6 (c) f() = 3 + ha f( ) = (d) f() = ha ha (e) f() = (f) f() = ( ) ha < ha > 4 ha >. (7) Állapítsuk meg hogy vaak-e olya potok melybe az 4 ha racioális f() = 4 + ha irracioális függvéy folytoos. (7) Hol vaak értelmezve és hol folytoosak a következő függvéyek? (a) f() = 5 + 4 (b) f() = (c) f() = (d) f() = + (e) f() = + (f) f() = + ( + ) 3/. (73) Legye f() := ( ] ]) g() := ( [ [). Igazoljuk hogy midkét függvéy folytoos (mideütt ahol értelmezve va) de f em korlátos g em veszi fel a függvéyértékek potos alsó korlátját. (74) Melyek azok a függvéyek amelyek valósziűleg az időek folytoos függvéyei? (a) Egy ucia aray ára a zürichi aray piaco. (b) Egy övekedő gyermek magassága. (c) Egy repülőgép föld feletti magassága. (d) Egy autó által megtett út.
Differeciálszámítás Deriváltak kiszámítása (75) Számítsuk ki az f() = / függvéy deriváltját = -be a defiíció segítségével azaz / / határozzuk meg a lim határértéket. (76) Bizoyítsuk be hogy az f() = függvéy em differeciálható = -ba. Ez pl. igazolható egy olya sorozat megadásával melyre az = sorozat em koverges. (77) Ábrázoljuk az ha < ha < f() = és a g() = ha ha függvéyeket. Differeciálható-e f és g az = -ba? (78) Deriváljuk a következő függvéyeket: f() = ; g() = + 4 5 ; h() = + ; i() = si ; j() = si cos ; k() = si 3 ; l() = si(cos ); m() = l(si ); () = ; o() = tg ; p() = ( tg + cos ) 3 ; q() = tg / cos. (79) Adjuk meg a következő függvéyek deriváltját: ( ) + cos si() f() = l ; g() = l si 3 + (3 ) ; h() = cos ; i() = + (si ) si ; j() = (l ) 3 ; k() = (3 ) 3 4 ; (( ) ) 3 4 l() = lg{5 3 + 3 si 7 ( )}; m() = ( 4) 6. (8) Hol em differeciálhatók az alábbi függvéyek? Számítsuk ki a differeciálháyadosukat ott ahol differeciálhatók! f() = 3 ; g() = l ; h() = l 3 ; i() = 3. (8) Létezik-e a deriváltja az ha f() = e ha > függvéyek az = potba? (8) Határozzuk meg a következő függvéyek magasabbredű deriváltjait: (a) f() = 8 4 + 4 5 + 3 + 5 f (5) () = (b) f() = e f () () = (c) f() = e cos f (3) () = (d) f() = l f () () = (e) f() = arc tg f (3) () =
Középértéktételek Taylor tétel (83) Legye f() =. Lagrage tétele szerit létezik egy olya ξ ( ) szám hogy = 3 = f (ξ). Keressük meg ξ-t. (84) Határozzuk meg az y = cos függvéy Maclauri-sorát valamit az = π körül a Taylor sorát. (85) Legye g() = 6 6 5 5 +8 4 9 3 +4 +. Írjuk fel a függvéy = körüli Taylor-formuláját azaz alakítsuk át a függvéyt úgy hogy bee csak az ( ) hatváyai szerepeljeek. (86) Határozzuk meg az y = e függvéy Taylor-sorát az = pot körül. Függvéyvizsgálat mootoitás koveitás szélsőérték (87) Vizsgáljuk meg a következő függvéyeket. (Határozzuk meg a zérushelyeket határértékeket azokat az itervallumokat ahol mooto övekvő illetve csökkeő kove illetve kokáv végül ábrázoljuk a függvéyt.) (a) f () = 8( 3 9); (b) f () = ( ) ( + 3) ; (c) f 3 () = + ; (e) f 5 () = (g) f 7 () = si cos (d) f 4() = + 3 ; ( )e ; (f) f 6() = si + cos ; < < π. (88) Határozzuk meg a következő függvéyek lokális szélsőértékeit és azokat az itervallumokat amelyekbe a függvéy mooto kove/kokáv. (a) f() = 4 ; (b) f() = ; (c) f() = ; (d) f() = si + cos ; + (e) f() = ; (f) f() = l. (89) A következő függvéyekél vizsgáljuk meg hogy a függvéy görbéje mely itervallumba kove illetve kokáv. Határozzuk meg a függvéy ifleiós helyeit is. (a) f() = 3 3 9 + 9; (b) g() = ( ) 5; (c) h() = 4 ; (d) i() = + + (e) j() = + l ; (f) k() = arc tg ; ( ) + ; (g) l() = (e e ); (h) m() = (l ) ; (k) () = 3 + ; o() = 5 5. (9) Ha f differeciálható az belső potba és f-ek ott helyi szélső értéke va akkor f ( ) =. Adjuk meg egy olya kokrét függvéyt hogy f ( ) = de f-ek ics helyi szélsőértéke -ba.
(9) L Hospital szabály alkalmazásával határozzuk meg az alábbi határértékeket: cos k (a) lim ; (b) lim cos m (d) lim π (g) lim (j) l tg si ( ) ; (e) lim ; (h) lim l( + ) l a l ; (f) lim π e ; (c) lim si ; tg tg 5 ; arc tg 7 5 ; (i) lim + ; lim l ; (k) lim + + si ; (l) lim ctg 3; (m) lim + (si ) ; () lim e (p) (s) si lim ; (q) lim lim ; (t) lim 5 / (9) Bizoyítsuk be az alábbi egyelőtleségeket ( ) e si tg tg 5 ; 3 ; (o) lim 5 4 ; ; (r) lim (u) lim (a) log a < ( ) log a e ha > a > ; (b) l( + ) > + ha > ; (c) (a + )e a < ha a > > ; 9 + 7 + / ; 7 3 cos. (d) + > e ha < <. (93) A K = cm kerületű téglalapok közül melyikek a legagyobb a területe? (94) Az m területű téglalapok közül melyikek a legagyobb a kerülete? (95) Az r = m sugarú körbe írható téglalapok közül melyikek a legagyobb a területe? És a kerülete? (96) Határozza meg az f() = + függvéy ifimumát és szuprémumát a ] [ itervallumo! + 4 (97) Egy d átmérőjű kör alakú fatörzsből geredát faragak melyek keresztmetszete b alapú és h magasságú téglalap. Mikor lesz a gereda (bh -tel aráyos) szilárdsága a maimális? (98) Az R sugarú gömbbe írjuk maimális térfogatú hegert! (99) Határozzuk meg azt a legagyobb térfogatú kúpot amelyek alkotója adott l hosszúságú! () Egymással ϑ szöget bezáró egyeesek meté egy-egy hajó halad álladó u ill. v sebességgel. Határozzuk meg a hajók közti legrövidebb távolságot ha egy adott időpillaatba a hajók távolsága az egyeesek metszéspotjától számítva a ill. b! () Egy személy Ft bruttó jövedelme utái A() Ft adóját az A() = a(b + c) p + k képlettel számolhatjuk ahol a b c pozitív álladók p > k R. Milye jövedelem mellett lesz az átlagos adóháyad Ā() = A() miimális? () Adott darab szám a a... a. Keressük meg azt az számot amely ezeket legjobba közelíti abba az értelembe hogy a d() := ( a ) + ( a ) + + ( a )
3 a lehető legkisebb legye! (3) Keressük meg az f() = 3 3 + 8 függvéy (globális) maimumát és miimumát a [ ] itervallumo. (4) Egy cég egyféle terméket gyárt. Egy adott időszakba termelt és eladott meyiségű termékből B() bevétele va míg költségei K()-t teszek ki (valamilye pézegységbe). Az meyiségű termék eladásából származó P () profit P () = B() K(). Techikai korlátok miatt a cég egy adott időszakba legfeljebb meyiségű terméket tud előállítai így [ ]. Milye [ 5] mellett lesz a profit maimális ha (a) B() = 84 K() = + 4 + 5 (b) B() = 4 K() = + 4 + 5 (c) B() = 84 K() = + 94 + 5. (5) Az előző feladatba legye K() = a 3 + b + c + d ahol a > b c d > adott kostasok. Igazolja hogy az A() := K() átlagos költségfüggvéyek va miimuma a ] [ itervallumba. Keressük meg ezt a miimumhelyet ha b =. (6) Legye most K() = a b + c ahol a > b > c >. Igazolja hogy az átlagos költségfüggvéyek va miimuma a ] [ itervallumba és keresse is meg ezt a miimumhelyet! (elég az első deriváltat kiszámoli!) Határozatla itegrál (7) Az alapitegrálok elemi átalakítások és lieáris helyettesítések segítségével számítsuk ki a következő itegrálokat! a) d b) + d + c) d d) ( + e )d e) ( 4 + 3 + 5 + ) d f) ( ) d g) ( )( ) d h) ( + + 3 ) d i) d /3 + j) d k) (t + 6t 5)dt l) d ( m) e + 5 + ) cos d ) + 5 d o) ( 3) d p) 3 3 d q) d 5 r) 5 + d s) + 3 d t) d 3 (8) Az f α f = f α+ α + (α ) és f = l f f
4 formulák segítségével határozzuk meg a következő itegrálokat! a) b) c) d) e) f) + + d ( 4) d l d tg d si + si d 8 7 4 7 + d g) h) i) j) k) l) e + e + d + 3 d 5 d + 5 + 3 d + + 3 d d (9) Számítsuk ki (parciális itegrálással) a következő határozatla itegrálokat! a) e d e) e cos d b) 3 e d f) e cos d c) si d g) e si d d) l d h) l d i) ( 3 + 3 + )e d m) 7 l d j) ( + ) cos d ) arc tg d k) ( 3 3 7) si d o) arc tg d l) ( + ) l d p) arcsi d () Alkalmas helyettesítésekkel határozzuk meg a következő határozatla itegrálokat! a) e d 3 b) ( + 3 ) 3 d c) ( + ) d d) d (8 + 7) 3 e) d f) si 3 cos d 3 + g) d 5 si h) cos3 d arc tg 3 i) + d tg j) cos d () Itegráljuk a következő racioális törtfüggvéyeket!
5 () Botsa fel a 3 a) + d b) 3 d c) + + 6 d + 3 d) + 3 d e) f) g) h) 5 ( )( + 5) d + 3 ( )( + 5) d 3 d 3 + + 5 + 6 d 3 ( + ) ( + ) 5 ( ) 3 ( + ) ( + + ) racioális törteket parciális törtekre és az együtthatók kiszámolása élkül (határozatla együtthatókkal) határozza meg e függvéyek itegrálját! (3) Alkalmas helyettesítéssel számítsuk ki az alábbi határozatla itegrálokat! a) + cos d (t = tg 3 i) ( + ) 4 d b) d d k) + + ( + ) 3 + si e 4 c) + e d d l) + cos e l d) d (e = t ) m) + l d e) tg 3 d d (t = tg ) ) cos e f) d d o) 5 + 3 cos g) d ( = si t) p) si(l ) d h) + d Határozott itegrál (4) Számítsuk ki a következő határozott itegrálokat! 3 d ; π si d ; cos d ; π d ; d. (5) Legye ha < f() = 3 ha = ha > ; g() = { ha < ha >. Meyi a következő itegrálok értéke? 3 5 f() d ; g() d.
6 (6) Számítsuk ki a következő itegrálokat! 3 e d ; ( ) 7 d ; π/ π/3 ctg () d. (7) Számítsuk ki a következő határozott itegrálokat! 3 e d ; 4 d ; e e 4 + e d ; 4 3 d. Improprius itegrálok (8) Létezek-e a következő improprius itegrálok? Ha ige számítsuk ki őket! l d ; e l d ; l d ; d ; d ; e d ; + e d ; d ; d ; 3 d ; 3 d d +. (9) Létezek-e az alábbi improprius itegrálok? Ha ige számítsuk ki őket! d 3 ; d ( ) ; 4 e d ; d ; + 6 e /3 d ; 3 d ; d ; + d. Az itegrál alkalmazásai () Egy mukás bére egy adott év -edik apjá b() = 5 + 5 + forit. Meyit keres így egy év alatt? Helyes-e az itegrálszámítást haszáli a feladat megoldásához? () Egy üzem raktárába r egység ayagmeyiség va és ezt T ap alatt dolgozzák fel. A redelkezésre álló adatok szerit a raktárkészlet fogyásáak grafikoja jól közelíthető egy y = a( b) parabolával a [ T ] itervallumo. Számítsuk ki a -t és b -t majd határozzuk meg a T apra fizetedő raktározási költségeket ha egy egység raktározása R foritba kerül apokét. () Legye A = {( y) y } és B = {( y) y + }. Meyi A B területe? (3) Meyi az a + y = ellipszis területe? b (4) Meyi az f() = 4 függvéy görbéjéek a hossza = 5 és = között?
7 (5) Ha egy [a b]- értelmezett f() függvéy görbéjét megforgatjuk az -tegely körül akkor az általa határolt forgástest térfogata V = b a f () π d. Ezt felhaszálva számítsuk ki egy gömb és egy kúp térfogatát! (6) Forgassuk meg az y tegely körül az y = 8 egyeletű paraboláak az első síkegyedbe eső részét! Mekkora térfogatú test keletkezik? Kettős itegrál (7) Számítsuk ki a következő itegrálokat: y d dy ; e +y dy d ; b d y d dy a c (8) Itegrálja a következő függvéyeket a megadott A tartomáyo! ( + y ) d dy A = {( y) y } A (a + by + c) d dy A = {( y) ( ) + (y ) } A cos( + y) d dy A = {( y) y + y π} A ( + y + ) d dy A = {( y) + y y} ( > adott). A (9) Határozza meg a ddy kettős itegrál értéket ahol A A = { ( y) y y }! (3) Határozza meg a ddy kettős itegrál értéket ahol A az y = 3 és az y = + 4 A parabolák által közrezárt tartomáy! (3) Határozza meg a ( + y) ddy kettős itegrál értéket ahol A az = y = és az A A + y = egyeletű egyeesek által határolt háromszög! (3) Határozza meg a e y ddy kettős itegrál értéket ahol A az = y = és az y = egyeletű görbék által határolt síkrész!