SZÉCHENYI ISTVÁN EGYETEM AKAMAZOTT MECHANIKA TANSZÉK 9. MECHANIKA-VÉGESEEM MÓDSZER EŐADÁS (kidolgozta: Szül Vronika, g. ts.) VIII. lőadás 4. Izoparamtriks lmcsalád A krskdlmi szoftvrkbn lggakrabban ún. izoparamtriks lmkt alkalmaznak. Az izoparamtriks lző azt lnti, hog a gomtria lképzésér alkalmazott (csomóponti) paramétrk száma azonos az ismrtln mző közlítésér flvtt paramétrk számával. Ez azt is lnti, hog ganazon alakfüggvénkt alkalmazzk a gomtria lképzésér, mint az ismrtln mző közlítésér. Az lm típs szélskörű ltrdés lsősorban annak köszönhtő, hog az lm mrvségi mátriának és thrvktorának lőállításakor az intgrálás könnn lvégzhtő. Egaránt alkalmazható g-, két-, és háromdimnziós fladatokra. A valóságban lntkző mchanikai fladatok általában térbli llgűk, azonban a mchanikai problémák g rész bizonos fltétlk stén visszavzthtők g dimnziós (D-s) illtv síkbli D-s fladatokra. A D-s fladatok közül az alábbi három formalizmsát tkintv hasonlóan tárgalható: általánosított síkfszültségi állapotú fladat, vagis tárcsafladat, síkalakváltozási fladat, tnglszimmtriks fladat. Ezn fztbn az D-s és D-s lmkkl foglalkoznk, a 3D-s lmk származtatása az lőzőkhz nagon hasonlóan történik.
Hagomános és izoparamtriks végslmk összhasonlítása: avag miln érvk szólnak az izoparamtriks végslmk alkalmazása mlltt? Hagomános lmk lllmzői: Az lmhatár gns vonal vag sík flült. Az intgrálás lvégzésénk mgkönnítésér lmhz kötött, hli koordináta-rndszrt vszünk fl. Az lmozdlás mzőt a hli koordináta-rndszrbn hatvánsorral közlítük (a hatvánsor gütthatóinak nincs fizikai tartalma). Az gütthatókat kifzzük a hli koordináta-rndszrbn vtt csomóponti paramétrkkl (az lmk szintén gnltrndszrt kll mgoldani). Az lm mrvségi mátriát és a csomópont trhlésvktorát hli koordináta-rndszrbn állítk lő (az intgrálás zárt alakban még hli KR-bn, gns/sík oldalak stén sm gszrű). Az lmk összkapcsolásához a mrvségi mátriokat és a csomóponti trhlésvktorokat g globális KR-b kll transzformálni. Célkitűzés: N klln lmnként gnltrndszrt mgoldani. N klln koordináta-transzformációt végzni. gn gszrű az intgrálás. Izoparamtriks lmk llmzői: Az lmhatár görb vonal, görbült flült is lht. Az lm gomtriáának lírását lképzéssl végzzük l az lmhz illszkdő trmészts,, KR-t vszünk fl. Az lmozdlás mzőkt lmnként a globális,, z KR-bn közlítük. Az lmozdlás mzők közlítésér a lképzésnél használt függvénkt alkalmazzk. A közlítő függvénkbn közvtlnül a globális KR-bn vtt csomóponti paramétrk lnnk mg. Az intgrálást a trmészts,, változók szrint végzzük l g kocka/négzt tartománra. Az intgrálást nm zárt alakban, hanm nmriksan végzzük l. 4..Elmk csoportosítása a) Kitrdésük szrint A korábban mlítttk szrint -bizonos fltétlk tlsülés stén- lhtőség van a 3D-s stk síkbli (síkfszültség, síkalakváltozás és tnglszimmtriks) vizsgálatára, vag gszrűsíttt térbli, ganakkor vag dimnziós topológiával rndlkző (rúd, hé, stb.) modllk használatára. Mivl az D-s, illtv D-s modllk lmszáma óval kisbb, mint ganazon szrkzt 3D-s modllénk, zért a fladat mgoldási id sokkal kvsbb, valamint a szimláció bállítása is gszrűbb. Az analízis során használt lmk a
gomtriától függőn kitrdésük szrint a kövtkzők lhtnk: dimnzió nélküli pont, D-s flülti vag 3D-s térfogati lmk. A pont lmkt (point lmnt) g csomópont (nod) dfiniál (példál, mint tömgpont vag csomópont-flült kontaktlm). A vonal lmkt (lin lmnt) két vg három csomópontot összkötő gns, vag ív dfiniál. A vonallm lht rúd (trst), grnda (bam), cső (pip) és tnglszimmtriks hé (aismmtric shll). A flültlmk háromszög (trianglar), vag négszög (qadrilatral) alakúak, illtv D-s sík modll (D síkfszültség, síkalakváltozás és tnglszimmtriks), vag hé (shll) lmk lhtnk. A térfogati lmk ttraédr (ttrahdral), gúla (piramid), prizma (wdg) vag tégla (brick, hahdron) alakú, 3D-s szilárd tst (3D-s solid) lmk lhtnk. A prmfltétlk dfiniálására (kontaktok, rgó lmk, tömgpont, stb.) spciális tladonságokkal rndlkző lmkt használnk. Az D-s lmkkl trmésztsn síkbli és térbli szrkztk is vizsgálhatók, ganúg, ahog a a D-s lmk lhtnk hélmk is, amlk alkalmasak térbli lmz-, illtv hészrkztk vizsgálatára is. a ttrahdron és hahdron görög kifzésk rndr a mgfllő gomtriai alakzat oldallapainak számát lntik, azaz ttra=4 és ha=6. A kövtkző táblázatok a lggakrabban használt izoparamtriks lmkt foglalák össz tkintttl a bmtatott csoportosítási lhtőségkr. D (vonal) D (flült) DOF/Nod Vonal Háromszög Négszög (in) (Triangl) (Qadrilatral) ináris (inar) 3 4 Másodfokú (Qadratic) 3 6 8 Harmadfokú (Cbic) 4. táblázat: D-s, D-s lmk 9
ináris (inar) b) Fokszámk szrint A végslm szimláció során alkalmazott lmk gomtriák és intrpolációs függvénük fokszáma szrint linárisak (linar, first-ordr), másodfokúk (scond-ordr, qadratic, parabolic) vag harmadfokúak (third-ordr, cbic) lhtnk. Azaz g lináris háromszög lm (triangl) 3 csomóponttal és 3 gns élll dfiniált. A magasabb rndű háromszög lm stén a 3 csúcsnál lvő csomóponton flül a görb vonalú élkn közts csomópontok is találhatóak. ináris vag magasabb rndű lmk választásakor a kövtkzőkr kll üglni: azonos hálósűrűség mlltt a magasabb rndű lmk adnak pontosabb rdmént, mivl obb matmatikai közlítést használnak, és az ívs élkkl/flültkkl határolt gomtriát pontosabban kövtik, ganakkor nagobb tlsítmént, több számolási időt igénlnk. 3D (térfogat) 3 DOF/Nod Ttraédr (Ttrahdron) Gúla (Piramid) Prizma(Pntahdral, Prism, Wdg) Tégla (Hahdron) Másodfo kú (Qadrat ic) 4 5 6 8 5 0 Harmadf okú (Cbic) 0 3 4 3 6. táblázat: 3D-s lmk c) Szabadságfokk szrint Az lmk szabadságfoka határozza mg, hog mlik lm miln típsú analízisr alkalmas (pl.: szrkzti, hő, áramlástani, lktromos, mágnss analízisr). Eg térbli szrkzti analízisbn használt lm csomópontainak 3 szabadságfoka van,, z, viszont g hőtani szimlációban csak g, a hőmérséklt. A mgfllő szabadságfokú lmtíps
választása llmzi a modll válaszát. Az lmk fölöslgs szabadságfoka növli a szimláció mmóriafoglalását és ftási idét. Hasonlóan a szükségtln lmtladonságokkal rndlkző lm (pl.: plasztiks tladonságok g rgalmas szimlációban) alkalmazása szintén növli a ftásidőt. Általános stbn az lmk koordinátarndszrir, bmnő adataira (csomópontok, szabadságfok, anagtladonságok, trhlésk, stb..) és a szimláció rdménir (a csomópontok lmozdlása, fszültség, rakciórő, stb.) oszthatók. 3D (Solid),, z Sík fszültség (Plan Strss), Általánosított síkfszültség állapot (ÁSF) vag tárcsafladat: Olan tst, amlnk gik mért léngsn nagobb, mint a másik kttő, értlmzhtő középsíkkal rndlkzik, és a trhlés vastagság mnti rdő zn középsíkba sik. Sík alakváltozás (Plan Strain) (SA), Általánosított sík alakváltozási állapot (SA): a vizsgált tst rndlkzik g kitüntttt síkkal, amlll párhzamos összs többi sík alakváltozása azonos és a síkok távolsága nm változik. Tnglszimmtriks (Aismmtric), A forgásszimmtriks tst gomtriáa és trhlési is forgásszimmtriks, bármlik mridián mtsztébn ganolan alakváltozási és fszültségi állapot ébrd. 3. táblázat: Gakori mchanikai lmtípsok és a csomópontok szabadságfoka
4..D-s húzott-nomott rúdlm A végslm programokban a húzott-nomott rúdlmt angoll rod vag trss lmnk nvzzük. Tkintsük ismét az V. lőadásban bmtatott húzott-nomott rúdfladatot. AE, f 3 3 l F i i i P P i 0 P. ábra: D-s lm lképzés Tkintsük a -s végslmt, aml általános, i, csomópont párral adott. Az. ábrán a rúdlmhz g lokális ún. trmészts koordinátatnglt kötöttünk. Krssük a trmészts koordinátáú pont és a hozzátartozó pont globális koordinátáa közötti kapcsolat, azaz a lképző függvént. A tnglr mrőlgsn flmérük a csomópontok koordinátáit, mad gnssl összkötv mgkapk a lképzés függvén képét. A tngln g ttszőlgs P pontból függőlgsn flvtítv mgkapk a hozzárndlt P képt vagis azt az -t, aml az adott -hz tartozik. A lképző függvén mrdkség és tnglll vtt mtszésponta alapán könnn flírhatk az gns gnltét, amlt tána célszrűn átrndzünk: i i i
, ahol a csomóponti koordináták gütthatói a h h i i az ún. alakfüggvénknk. h h 0 0 Az lmozdlás mzőt zn két alakfüggvén és az, csomóponti lmozdlások sgítségévl fogk közlítni: i i H q Az lmozdlás ismrtébn az alakváltozás lőállítható a láncszabál alkalmazásával: d d d, d d d ahol az lső tag szrinti driválása i i H q bhlttsítés tán végrhatható, a második közvtlnül nm, d az invrz i i i ismrtébn képzhtő: d i. d Eztán visszahlttsítük i i H q rciprokát d i d a kövtkző összfüggésb: i d d d, íg d d d i i i
i E E Célnk, hog lőállítsk az lm potnciális nrgiáát d d p i, AE d pzd d d, 0 0 ahol az lső intgrálból származtatható az lm mrvségi mátria, a másodikból az lm thrvktora. Az intgrálást most nm szrint hanm szrint hatk végr. A d lőállításához flhasználk d A mrvségi mátri lőállítása: d i. d d i AE d i AE d d d 0 K, AE AE AE AE ahol K d AE AE AE AE Konstans mgoszló trhlést fltétlzv a thrvktor származtatása: f f f fd i f d i 0, ahol az gs lmk intgrálai: f f f d 4 f f f d 4 Végül az lm tls potnciális nrgiáa: AE AE f i p i, i i AE AE. f A további lépésk azonosan hathatók végr, mint az V. lőadásban.