Bevezetés az elméleti zikába

Bevezetés az elméleti zikába egyetemi jegyzet Merev test mozgása Lázár Zsolt, Lázár József Babe³Bolyai Tudományegyetem Fizika Kar 011

TARTALOMJEGYZÉK 0.1. Alapfogalmak,jelölések............................ 6 0.. A tehetetlenségi nyomaték........................... 7 0.3. A merev test impulzusmomentuma...................... 9 0.4. Az Euler-szögek................................. 11 0.5. Az Euler-egyenletek.............................. 13

6 TARTALOMJEGYZÉK 0.1. Alapfogalmak,jelölések A merev test úgy deniálható, mint olyan tömegpontok rendszere, amelyek egymától való távolsága állandó. A szilárd testek többsége csak közelít leg tesznek eleget ennek a feltételnek. A továbbiakban gyakran a merev testeket,bár folytonosnak tekintjük, mint diszkrét tömegpontok rendszerének fogjuk fel.a diszkrét pontokra való összegezést tartalmazó képletekr l úgy térünk át a folytonos testre érvényes képletekre, hogy a részecskék tömegét egyszer en a dv térfogatban elhelyezked ϱ dv t0meggel helyettesítjük, majd integrálunk a test egész térfogatára. 1. ábra. Merevtesthez kötött x 1 = x, x = y, x 3 = z mozgó koordináta rendszer A merev test mozgásának a leírására két koordináta-rendszert veetünk be : egy nyugalmi(xyz)-inercia-, koordináta-rendszert, és az x 1 = x, x = y, x 3 = z mozgó koordináta-rendszert, amelyet a merev testhez rögzítünk, így az részt vesz annak minden mozgásában (1 ábra). A mozgó koordináta-rendszer kezd pontját célszer a test tömegközéppontjába helyezni. A merev test helyzetét a nyugalmi koordináta-rendszerhez viszonyítva teljes egészében meghatározza a mozgó koordináta-rendszer helyzete. Jelölje R a mozgó rendszer O origójának helyzetvektorát (lásd a bemutató anyagot). E rendszer tengelyeinek irányát a nyugvó rendszerhez képest három független szög adja meg, s így R komponenseivel együtt összesen hat koordinátánk van. A merev testnek tehát hat szabadsági fokú mechanikai rendszer. A merev test végtelen kis elmozdulását el ál1thatjuk két elmozdulás összegeként. El ször egy végtelen kicsiny párhuzamos eltolás.ilyenkor a tömegtközéppont átmegy kezdeti helyzetéb l a végs be úgy, hogy közben a koordináta-rendszer tengelyeinek irénya nem változik.a második elmozdulás végtelen kis elforgatás a tömegközéppont körül.jeöljük r-el a merev test tetsz leges P pontjának helyzetvektorát a mozgó koordinátarendszerben, r 0 -val ugyanannak a pontnak a nyugvó koordináta-rendszerben mért helyzetvektorát.ekkor a P pont kis dr 0 elmozdulása a tömegközépponttal együtt végzett dr tranzlációból és a tömegközéppot körüli végtelen kis dϕ szög forgásnak megfelel dϕ r elmozdulásból tev dik össze : dr 0 = dr + dϕ r.

0.. A TEHETETLENSÉGI NYOMATÉK 7 Azzal a dt id vel osztva az egyenl séget, amely alatt a vizsgált elmozdulás végbement es bevezetve az alábbi jelöléseket : dr 0 dt = v, dr dt = V, dϕ dt = ω, ahol v a P pont sebessége, V a merev test tömegközéppontjának a sebessége; szokás a haladó mozgás sebességének is nevezni. Az ω vektor a merev test forgásának a szögsebessége és iránya megegyezik a forgás tengelyének az irányával.közöttük fennáll az alábbi összefüggés : v = V + ω r A fenti képle levezetésénél nem használtuk fel, hogy a kkordináta-rendszer kezd pontját a test tömegközéppontjába helyeztük. Ha a mozgó koordináta-rendszer nem az O tömegközéppontban van hanem attól a távolságra az O pontban, tehát r = r +a. Behelyettesítés után : v = V + ω r + ω r, = V = V + ω r, ω = ω A haladó mozgás sebességének nincs abszolútjellege mint a szögsebességnek. Ha V és ω vektorok az O pont egy bizonyos választása esetén mer legesek, akkor tetsz leges más O választás esetén is mer legesek egymásra. Mindig választható olyan O kezd pont, amelynek V sebessége nulla. A mozgás tiszta forgatásként fogható fel. Ezt a tengelyt a test pillanatnyi forgástengelyének nevezzük. 0.. A tehetetlenségi nyomaték A merev test nozgási energiája diszkrét tömegpontok rendszere esetén : T = mv ahol az összegezést a testet alkotó összes pontra kell elvégeznünk. T = m (V + ω r) = m V + mv(ω r) + m (ω r). ahol mv(ω r) = mr(v ω) = (V ω) mr = 0 mivel a kezd pontot a tömegközéppontban választottuk. T = MV + 1 m(ω r ( ωr) ) A test energiáját csak akkor bonthatjuk fel két, haladó és forgó mozgási energiákra, ha a kezd pontot a tömegközéppontban vesszük fel.a forgási energia tenzorjelölésekkel : T rot = 1 m(ω i x i ω i x i ω k x k ) = 1 m(ωi ω k δ ik x l ω i ω k x i x k ) = 1 ω iω k m(x l δ ik x i x k ). felhasználtuk az azonos indexekre vonatkozó összegeszési megállapodást. Bevezetve a Θ ik = m(x l δ ik x i x k )

8 TARTALOMJEGYZÉK másodrend szimmetrikus tenzort, a kinetikus energia kifejezése : és a merev test Lagrange-függvénye T = MV L = MV + 1 Θ ikω i ω k + 1 Θ ikω i ω k U ahol az U potenciális energia függhet, a tömegközéppont X, Y, Z koordinátáitól és a mozgó koordináta-rendszer tengelyeinek irányát megadó három szögt l. A θ ik tenzor a test tehetetlenségi nyomatékának tenzora vagy egyszer en a tehetetlenségi tenzora. A tenzor komponensei : m(y + z ) mxy mxz Θ ik = myx m(x + z ) myz mzx mzy m(x + y ) ahol Θ xx, Θ yy, Θ zz komponenseket a megfelel tengelyekre vonatkozó tehetetlenségi nyomatéknak nevezzük. A tehetetlenségi nyomaték additív. Ha a merev testet folytonosnak tekintjük, akkor az el bbi összegek helyébe a test térfogatára vett integrál lép : Θ ik = ρ(x l δ ik x i x k )dv. Mint minden másodrend szimmetrikus tenzort ezt is diagonalizálni lehet az x 1, x és x 3 tengelyek megfelel irányúválasztásával.ezeket az irányokat a f tehetetlenségi tengelyeknek hívjuk, a tenzor megfelel komponenseit pedig F tehetetlenségi nyomatékoknak nevezzük. Ilyen választás esetén : T rot = 1 (Θ 1ω 1 + Θ ω + Θ 3 ω 3) Mivel Θ 1 + Θ = m(x 1 + x + x 3) m(x 1 + x ) = Θ 3, egyik f tehetetlenségi nyomaték sem lehet nagyobb mint a másik kett összege. Az olyan testet melynek mindhárom f tehetetlenségi nyomatéka különböz, aszimmetrikus pörgenty nek nevezzük. Ha két f tehetetlenségi nyomaték megegyezik egymással : Θ 1 = Θ Θ 3, akkor a testet szimmetrikus p0rgenty nek hívjuk.ebben az esetben a f tengelyek az x 1 x síkban tetsz legesen választhatók. Ha mindhárom f tehetetlenségi nyomaték ugyanaz, gömbi pörgetty r l beszélünk. Ilyenkor mindhárom f tehetetlenségi tengely tetsz legesen választható. A f tengely megtalálása leegyszer södik, ha a merev test valamilyen szimmetriával rendelkezik. Ha a testnek van szimmetriasíkja, akkor a tömegközéppontnak ebben a síkban kell elhelyezkednie. és két f tehetetlenségi temgely, a harmadik mer leges rá. Nyilvánvaló példfa ilyen esetre az egy síkban elhelyezked részecskék rendszere.ha a rendszer síkja az x 1 x, akkor, mivel x 3 = 0 Θ 1 = mx, Θ = mx 1, Θ 3 = m(x 1 + x ) tehát Θ 3 = Θ 1 + Θ.

0.3. A MEREV TEST IMPULZUSMOMENTUMA 9 Ezt a Θ 3 tehetetlenségi nyomatékot még a következ képen is kiszámithatjuk : Θ 3 = i = 1 M i,k m i r i = 1 M i,k m i m k r i = 1 M m i m k (r i r i r k + r k) = 1 M m i m k (ri + rk) = i,k m i m k (r i r k ) ahol felhasználtuk, hogy m i r i = 0 mivel a kezd pont a test tömegközéppontjában van. Tehát a Θ 3 = 1 m i m k l ik M i,k kifejezésben nem a pontok koordinátái, hanem az egymástól mért távolságok szerepelnek. Ha a testnek van(valamilyen rend )szimmetriatengelye, akkor a tömegközéppont ezen a tengelyen van. Megegyezik ezzel a tengellyel az egyik f tehetetlenségi tengely is.. Ha a szimmetriatngely rendje kett nél nagyobb, akkor a test szimmetrikus pörgetty. Ha a rendszert alkotó részecskék egy egyenes mentén helyezkednek el, például az x 3 mentén, akkor ; Θ 1 = Θ = mx 3, Θ 3 = 0 Az ilyen rendszert rotátornak nevezzük. Ha a mozgó koordináta-rendszer kezd pontját nem az O-val jelölt tömegközáppontban hanem egy olyan O pontban vesszük fel melynek helyzetvektora O-hoz képest a lesz, akkor r = r + a, x i = x i + a i és a tehetetlenségi nyomaték új tenzora Θ ik = Θ ik + M(a δ ik a i a k ) lesz (Steiner képlete) ami gyakran megkönnyíti Θ ik kiszámítását. i,k 0.3. A merev test impulzusmomentuma Egy rendszer impulzusmomemtuma függ attól, hogy milyen pontra vonatkoztatva adjuk meg. Merev test esetén ésszer a mozgó koordináta-rendszer origóját a tömegközéppontban választani. A J = mr v kifelyezésben v-t ω r-rel helyettesítve: vagy tenzorjelöléssel: J = mr (ω r) = m [ r ω r(r ω) ], J i = m(x l ω i x i x k ω k ) = ω k m(x l δ ik x i x k ) = Θ ik ω k. Ha a mozgó koordináta-rendszer tengelyei a f tehetetlenségi irányaiba mutatnak, akkor Gömbi pörgetty esetén: J 1 = Θ 1 ω 1, J = Θ ω, J 3 = Θ 3 ω 3. J = Θω. Általános esetben J ω csak akkor párhuzamos ha a test valamelyik f tehetetlenségi tengelye kürül forog.

10 TARTALOMJEGYZÉK Merev test szabad mozgása. Precesszió Megvizsgáljuk küls er hatástól mentes merev test szabad mozgását. Csak a szabad forgásával foglalkozunk. A szabadon forgó test impulzusnyomatéka állandó. Gömbi pörgetty esetén ilyenkor az ω is állandó. A rotátor esetén szintén J = Θω, ahol ω mer leges a rotátor tengelyére.. ábra. Szabad szimmetrikus pörgetty forgómozgása. ω p az ún. precessziós szögsebesség, ami az x 3 szimmetriatengelynek a J impulzusnyomaték iránya által meghatározott tengely körüli forgását jellemzi A szimmetrikus pörgetty esetén az x 3 szimmetriatengelyére mer leges x 1 és x f tehetetlenségi tengelyeket tetsz legesen választhatjuk. Legyen az x tengely mer leges J-re. Tehát J = 0 és ω = 0. Ez azt jelenti, hogy J, ω és a pörgetty tengelye egy síkban vannak ( ábra). A pörgetty tengelye egyenletesen forog ω p szögsebességgel J iránya körül, egy körkúpot írva le. (A pörgetty reguláris precessziót végez). A precesszióval egyidej leg a pörgetty egyenletesen forog saját tengelye körül. A precesszió ω p sebességének meghatározásához az ω vektort a paralelogramma-szabály szerint felbontjuk x 3 és J irányú komponensekre. A megfelel hasonló háromszögekben ω p ω 1 = J J 1, ahonnan a J 1 = Θ 1 ω 1 összefüggés gyelembevételével: ω pr = J Θ 1.

0.4. AZ EULER-SZÖGEK 11 0.4. Az Euler-szögek A mozgó koordináta-rendszer x 1, x, x 3 tengelyének irányát a nyugvó koordinátarendszer X, Y, Z tengelyéhez visszonyítva kényelmes az úgynevezett Euler-szögekkel kifejezni. 3. ábra. Forgatás leírása Euler-szögek segítségével A mozgó x 1 x sík a nyugvó XY síkot egy OC egyenes mentén metszi (3), ezt csomóvonalnak hívjuk. Az x 1, x, x 3 tengelyeknek az X, Y, Z tengelyekhez visszonyított irányát a következ szögekkel határozzuk meg: a Z és az x 3 tengely ϑ szögével, a X tengely és az OC egyenes közötti ϕ szöggel, valamint az OC egyenes és az x 1 tengely ψ szögével. ϑ nullától π-ig, ϕ és ψ nullától π-ig változik. Fejezzük ki az ω szögsebesség komponenseit a mozgó koordináta-rendszerben az Euler-szögekkel és deriváltjaikkal. Ehhez meg kell határoznunk a ϑ, ϕ, psi szögsebességek vetületeit az x 1, x, x 3 tengelyekre. A ϑ szögsebesség összetev i a következ k: ϑ 1 = ϑ cos ψ, ϑ = ϑ sin ψ, ϑ3 = 0. Hasonlóan a ϕ és a ψ esetén is az ábra (lásd a bemutató anyagot)alapján könnyen megadhatjuk a komponenseket: ϕ 1 = ϕ sin ϑ sin ψ, ϕ = ϕ sin ϑ cos ψ, ϕ 3 = ϕ cos ϑ, Összegy jtve a megfelel komponenseket: ψ 1 = 0, ψ = 0, ψ 3 = ψ. ω 1 = ϑ cos ψ + ϕ sin ϑ sin ψ, ω = ϑ sin ψ + ϕ sin ϑ cos ψ, ω 3 = ϕ cos ϑ + ψ.

1 TARTALOMJEGYZÉK Szimmetrikus pörgetty re (Θ 1 = Θ Θ 3 )a mozgási energia, rendezés után: T rot = Θ 1 ( ϕ sin ϑ + ϑ ) + Θ 3 ( ϕ cos ϑ + ψ). Másképpen is megkaphattuk volna az eredményt, gyelembe véve, hogy az x 1, x tengelyeket tetsz legesen választhatjuk. Legyen az x 1 tengely a csomóvonal mentén (ψ = 0). Következik, hogy ω 1 = ϑ, ω = ϕ sin ϑ, ω 3 = ϕ cos ϑ + ψ. Az Euler-szögek alkalmazásának egyszer példájaként tárgyaljuk a szimmetrikus pörgettyü már ismert szabad mozgását. A z tengely legyen a pörgetty állandó J impulzusmomentumának az iránya. Az x 3 tengely legyen a pörgetty tengelye, az x 1 tengely pedig az adott pillanatban essen egybe a csomóvonallal. Az x 3 tengely legyen a pörgetty tengelye. Ekkor a J vektor komponenseire a fenti összefüggések alapján J 1 = Θ 1 ω 1 = Θ 1 ϑ, J = Θ ω = Θ 1 ϕ sin ϑ, J 3 = Θ 3 ω 3 = Θ 3 ( ϕ cos ϑ + ψ). Másrészt mivel az x 1 tengely (csomóvonal) mer leges a z tengelyre: A megfelel kifejezéseket összevetve: J 1 = 0, J = J sin ϑ, J 3 = J cos ϑ. ϑ = 0, Θ 1 ϕ = J, Θ 3 ( ϕ cos ϑ + ψ) = J cos ϑ. Az els egyenletb l ϑ = const. adódik, tehát a pörgetty tengelye J irányával állandó szöget zár be. A második egyenlet meghatározza a precesszió ϕ = J Θ 1 szögsebességét. Végül a harmadik megadja a pörgetty saját tengelye körül végzett forgásának szögsebességét: ω 3 = J cos ϑ Θ 3. 0.5. Az Euler-egyenletek A dp d t = F, dj dt = M mozgásegyenletek inerciarendszerre vonatkoznak. Mivel a test J impulzusmomentumának komponensei és a szögsebesség komponensei között abban a mozgó koordinátarendszerben a legegyszerübb a kapcsolat, amelynek tengelyei a f tehetetlenségi irányokba mutatnak.hogy ezt a kapcsolatot felhasználhassuk, el bb át kell transzformálnunk a mozgásegyenleteket az x 1, x, x 3 mozgó koordinátákra. Ez a következ képpen megy történik: egy A vektor a mozgó koordináta-rendszerben A = 3 A i e i, i=1 ahol e 1, e, e 3 a testhez kapcsolt mozgó x 1, x, x 3 tengelyek menti egységvektorok. A test ω szögsebességgel történ forgása miatt de i dt = ω e i, (i = 1,, 3)

0.5. AZ EULER-EGYENLETEK 13 ezért da dt = 3 i=1 amit írhatunk a következ formában: da i dt e i + 3 A i ω e i, i=1 da dt = d A + ω A. dt A mozgásegyenletet ennek az általános képletnek a segítségével átírhatjuk a következ alakba: d P dt + ω P = F, d J dt + ω J = M. Az els egyenletben P helyett MV-t írva: ( ) dv1 M dt + ω V 3 ω 3 V = F 1, ( ) dv M dt + ω 3V 1 ω 1 V 3 = F, ( ) dv3 M dt + ω 1V ω V 1 = F 3. A második egyenletrendszerben J 1 = Θ 1 ω 1 -t stb. írva a következ adódik: Θ 1 dω 1 dt + (Θ 3 Θ )ω ω 3 = M 1, Θ dω dt + (Θ 1 Θ 3 )ω 3 ω 1 = M, Θ 3 dω 3 dt + (Θ Θ 1 )ω 1 ω = M 3. Ezeket az egyenleteket Euler-egyenleteknek nevezzük. Szabad forgás esetén (M = 0) az Euler egyenletek a következ alakot öltik: dω 1 dt + Θ 3 Θ Θ 1 ω ω 3 = 0, dω dt + Θ 1 Θ 3 Θ ω 3 ω 1 = 0, dω 3 dt + Θ Θ 1 Θ 3 ω 1 ω = 0. Példaként alkalmazzuk ezeket az egyenleteket a szimmetrikus pörgetty korábban vizsgált szabad forgására. A Θ 1 = Θ egyenl ségb l ω 3 = const.. Az els két egyenletet írjuk ω 1 = γω, ω = γω 1, alakba, ahol γ = ω 3 Θ 3 Θ 1 Θ 1.

14 TARTALOMJEGYZÉK A fenti két egyenletet felírva komplex formában amib l: d dt (ω 1 + iω ) = iγ(ω 1 + iω ), ω 1 + iω = Ae iγt, adódik, ahol A állandó, melyet valósnak vehetünk, így: ω 1 = A sin γt, ω = A sin γt. Tehát a szögsebesség vetülete a pörgetty tengelyére mer leges síkban γ szögsebességgel forog. Nagysága, (A = ω1 + ω állandó. Mivel a pörgetty tengelyére es ω 3 vetület szintén állandó, látjuk, hogy az egész ω vektor γ szögsebességgel egyenletesen forog. Az x 3 tengely körül forgó J vektor (z tengely) az Euler-szögekkel kifejezve, megegyezik a ψ szögsebességgel. A megfelel el z egyenlet segítségével: vagy ψ = J cos ϑ Θ 3 ( 1 ϕ cos ϑ = J cos ϑ 1 ), Θ 3 Θ 1 ψ = ω 3 Θ 3 Θ 1 Θ 1, összhangban az el z leg már megkapott eredménnyel.