Kvatummechaika gyakorlo felaatok - Megolások felaat: z eltolás operátoráak megtalálásával teljese aalóg móo fejtsük Taylor-sorba a hullámfüggvéyt a változójába: ψr θ ϕ + ϕ ψr θ ϕ + ψr θ ϕ ϕ + ψr θ ϕ ϕ ϕ! ϕ + ψr θ ϕ ϕ! ϕ + Tujuk hogy az impulzusmometum z kompoeséek operátora így ˆL z i ψr θ ϕ +ϕ ψr θ ϕ+ i ˆL z ψr θ ϕ ϕ +! Kiemeljük jobb olalo a ψr θ ϕ függvéyt: ψr θ ϕ + ϕ ϕ i ˆL ψr z θ ϕ ϕ + i! ˆL ψr z θ ϕ ϕ + + i ˆL z ϕ + i! ˆL z ϕ + i! ˆL z ϕ + ψr θ ϕ Felismerhetjük az expoeciális függvéy efiícióját: ψr θ ϕ + ϕ e i ˆLz ϕ ψr θ ϕ vagyis Û ϕ e i ˆLz ϕ felaat: Ki kell számoli az impulzus sajátfüggvéyek szeriti kifejtési együttható-függvéyt a hullámfüggvéy Fourier traszformáltját eek abszolútérték-égyzete aja az impulzus valószíűségsűrűségét ψk ˆ + ψxe ikx x ˆ Parciális itegrálást alkalmazva: ˆ ψk x k xe ikx x + x sikxx xe ikx x + ˆ xe ikx x si k k sikxx x coskxx xe ikx x si k cos k + k k
Összevoás utá: ψk k si k + cos k k keresett valószíűség a valószíűségsűrűség efiíciója szerit: P [ k] ψ k vagyis szükség va a ψk függvéy k helye felvett értékére Eze a helye a kifejezés számlálója és evezője is ulla ezért határértéket kell vei lkalmazzuk a L Hospital szabályt: k si k + cos k lim ψk k si k + k cos k si k cos k k k k k k Vagyis a keresett valószíűség: P [ k] k felaat: z paraméterrel jellemzett koheres állapot Ha z valós akkor z z így ϕ z x e zâ z âψ x ϕ z x e zâ â Ψ x Tujuk hogy az impulzus operátor a következőképpe fejezhető ki a léptetőoperátorokkal: mω ˆp i â â vagyis a koheres állapot kifejezésébe szereplő expoeciális függvéy argumetumába megjeleik az impulzus operátor: ϕ z x e iˆpz / mω Ψ x Kicsit átalakítva: ami ϕ z x e i ˆp z /mω Ψ x ϕ z x e i ˆp x Ψ x Ψ x + x alakú vagyis egy valós paraméterrel jellemzett koheres állapot valóba a harmoikus oszcillátor alapállapoti hullámfüggvéyéek eltoltja z eltolás x paraméteréről leolvasható hogy értéke x z mω
felaat: feltétel szerit a pertület z kompoeséek sajátfüggvéyei szeriti kifejtésbe csak tag va: Ψ c i Ψ i c Ψ + c Ψ + c Ψ i Mivel a kifejtési együtthatók abszolútértékégyzete maga a mérési valószíűség és a három érték azoos valószíűséggel mérhető ezért: P c eiα P c eiα P 7 c eiα ahol α α α tetszőleges szögek hullámfüggvéy ezzel és a óra felaatába felírt ereméyel: [ Ψr θ φ fr θ eiα e iφ + eiα ] e iφ + eiα e 7iφ 5 felaat: lakítsuk át a hullámfüggvéyt: hol felhaszáltuk hogy si x ormálásból: ψ ˆ ˆ ψ xψxx ψx si x cos x si x ˆ si x cos x Ha fizikai állapotról va szó akkor a si x x ˆ x 6 cos x x ˆ 6 cos x x [ ] 6 si x z impulzus mometum sajátfüggvéyek szeriti kifejtés ahol fehaszáljuk az óra felaatáak ereméyeit: ψ c ψ c e i x c együtthatók kiszámításáak mója: c ψ ψ ˆ e i x si x x i ˆ i e x e i x e i x x
tag: i i ei x i x x cos +i si i tag: i i e i i i x i x x cos ++i si + i+ ei x x i [ e i i si i i δ i i i + e i x x i si + i+ ] x + i i x e i + i e i i i i si+ i+ i δ Tehát c -ek két tagja va:c i δ i δ Ezzel a hullámfüggvéy: i e i+ i+ ψ c ψ c e i x i δ δ e i x -t beírva: ψ i δ δ e i x i δ δ e i x 6 felaat: a â Ĥ [ â ω â â â + ] ω â â + â â + â ω ââ â + â â ââ â ω ââ â â ââ ω ââ â â â ω [ â â ] â ωâ b e i Ĥt âe i Ĥt âe iωt másoik e-a tagot sorbafejtjük: Ha beírjuk miehova az hogy: i Ĥt âe iωt e i Ĥt â i Ĥt â Ĥ ωâ kommutátort és reezzük az egyeletet akkor azt kapjuk â iωt iωt âe iωt Látható hogy a kapott kifejezés az expoeciális függvéy efiíciója így az egyelőség teljesül c Koheres állapot vagyis be kell láti hogy ha az alapállapot Ψ x â sajátfüggvéye akkor Ψt x e i Ĥt Ψ x is â sajátfüggvéye vagyis ha a sajátérték egyelet Ψ x-ra âψ x zψ x ahol z akkor âψt x âe i Ĥt Ψ x
is teljesül Felhaszálva az előzőekbe felírt sorfejtést és kommutátort: âψt x âe i Ĥt Ψ x e i Ĥt âψ x + âe iωt Ψ x Felhaszálva hogy e i Ĥt âψ x az egyelet a következőképp alakul: âe iωt Ψ x ze iωt Ψ x kostasokat átreezhetjük így a kiiulási sajátértékegyeletet kapjuk vissza 7 felaat: másoik felaat megolásához hasoló a megolás meete e itt most visszafele Fourier-traszformációt alkalmazuk ψx ˆ ψke ikx k e ikx k ˆ e ikx k + e ikx e ikx k e ikx k e ikx k + e ikx k coskxk [sikx] six 5