5. LINÁRIS LKÉPZÉSK Az ddg fjztb gy-gy rögzíttt vtortrt vzsgáltu. Most több vtortér gymáshoz vló vszoyávl fogllozu. pcsoltot vtortr özött oly lépzés létsít, mly mgırz vtortér mővltt. Lgy K gy tst, V és V' tst fltt vtortr. A V vtortér V' vtortérb vló L mővlttrtó lépzését lárs lépzés, vgy vtortér homomorfzmus vzzü. Az L:V V' thát lárs lépzés, h md x,y V vtorr és md K slárr z LxyLxLy, 2 Lx Lx tuljdoságo tljsül. Az tuljdoságot z L lépzés ddtív, míg 2 tuljdoságot z L lépzés homogé tuljdoságá vzzü. A lárs lépzés gys ülölgs str övtzı lvzést hszálju: z L:V V' lárs lépzés pmorfzmus, h z L szürjtív, moomorfzmus, h z L jtív, zomorfzmus, h z L bjtív, domorfzmus, h VV' utomorfzmus, h VV' és L bjtív. 5.. Péld: A 2. fjzt példához pcsolódv gomtr sí vtor G 2 tréb z orgó örül dott ráyú és gyságú lforgtás, z orgór votozó türözés, z orgó özéppotú rögzíttt ráyú hsolóság gy-gy péld lárs lépzésr. A gomtr tér vtor G 3 tréb tér párhuzmos vtítés gy orgó átmı sír, tér türözés gy orgó átmı sír, tér z orgó átmı tgly örül dott ráyú és dott gyságú lforgtás s gy-gy péld lárs lépzésr. 44
5.2. Péld: Lgy K gy tst és K 2.2. példáb bvzttt vtortér. A ttszılgs x,...,x K lmhz z x,0,...,0 K lm hozzárdlés gy lárs lépzés. 5.3. Péld: Lgy K gy tst és K[x] K tst fltt -htároztlú polomo 2.3. példáb bvzttt vtortr. Az x - x -... x 0 K[x] polomhoz rdljü hozzá z x - - - x -2... K[x] polomot. z hozzárdlés gy lárs lépzés, mlyt polom dffrcálásá vzü. 5.4. Péld: A 2.4., lltv 3.7. példáb mlíttt [,b] R trvllumo értlmztt vlós értéő folytoos függvéy C[,b] tréb ttszılgs fx C[,b] függvéyhz rdljü hozzá függvéy [,b] trvllumo vtt tgrálját, zz b f x dx R számot. z hozzárdlés gy lárs lépzés. 5.5. Péld: A omplx számo C vtortréb ttszılgs z C omplx számhoz rdljü hozzá Rz vlós részét, lltv z Imz épzts részét. Mdét lépzés lárs. Az smrtttt példá részlts dolgozását z olvsór bízzu. Tovább példá fjzt végé lvı fldto özött tlálhtó. Az L:V V' lárs lépzést gylı modju z M:W W' lárs lépzéssl, h VW, V'W' és md x V lmr LxMx tljsül. A lárs lépzés most értlmztt gylıségérıl öy bláthtju, hogy gy vvlcrlácó. zutá lárs lépzés lm tuljdoságvl fogllozu. 5.6. Tuljdoság: H V és V' K tst fltt vtortr, or z L:V V' lépzés or és css or lsz lárs, h md,b K és md x,y V sté érvéys z Lxby Lxb Ly összfüggés. 45
A lárs lépzés értlmzésé és 2 fltétlébıl zol övtz, hogy LxbyLxLby Lxb Ly. Mgfordítv, z b stb z ddtív tuljdoság, míg, b0 sté 2 homogé tuljdoság dód z Lxby Lxb Ly összfüggésbıl. 5.7. Tuljdoság: H V és V' K tst fltt vtortr, L:V V' gy lárs lépzés, or md c,c 2,...,c K és md x,x 2,...,x V sté 46 Lc x c 2 x 2...c x c Lx c 2 Lx 2...c Lx. Állításu 2 sté z 5.6. tuljdoság lpjá ylvávló. Tgyü most fl, hogy z állítás md - sté gz. or Lc x...c - x - c x Lc x...c - x - c x Lc x...c - x Lc x [c Lx...c - Lx - ]c Lx c Lx...c Lx, s zzl állításut gzoltu. 5.8. Tuljdoság: H V és V' K tst fltt vtortr és L:V V' gy lárs lépzés, or L00', hol 0 V, 0' V' z gys vtortr zérusvtort jlöl. Vlób, L0L00L0L0 z ddtív tuljdoság szrt, ho 2.0. tuljdoság flhszálásávl zol dód 0'L0. 5.9. Tuljdoság: H V és V' K tst fltt vtortr és L:V V' gy lárs lépzés, or md x V vtorr tljsül z L-x -Lx összfüggés. Vlób, z 5.8. tuljdoság flhszálásávl 0'L0Lx-xLxL-x, mbıl 2.8. tuljdoság lpjá özvtlül dód -LxL-x. zutá mgvzsgálju z L:V V' lárs lépzés V vtortér ltrr gyorolt htását.
5.0. Tuljdoság: H V és V' K tst fltt vtortr, L:V V' gy lárs lépzés és U V vtortér gy ttszılgs ltr, or LU V' gy ltr lsz, h LU jlöl z U ltér vtor L mlltt ép hlmzát. A 3.8. állítás szrt lgdı mgmutt, hogy h ',b' LU, or 'b' LU és h K, ' LU, or ' LU tljsül. H ',b' LU, or létz oly,b U vtorpár, hogy L' és Lbb'. Az L lépzés ddtív tuljdoság szrt or 'b'l LbLb, s mvl U ltér, így b U s tljsül, thát pott összfüggés épp zt jlt, hogy 'b' LU. H ' LU, or létz oly U, hogy L'. Az L lépzés 2 homogé tuljdoság szrt or ' LL, d U ltér, így U tljsül, zért yrt összfüggés épp zt fjz, hogy ' LU s gz. 5.. Tuljdoság: H V és V' K tst fltt vtortr, L:V V' gy lárs lépzés, U V vtortér gy végs dmzós ltr, mly B{,..., } gy bázs, or LU L,...,L. Mvl L LU, l, így blılü épztt lárs ombácó s LU lm lsz 3.8. állítás és z 5.0. tuljdoság szrt, zért L,...,L LU. Mgfordítv, h x' LU, or létz oly x U, hogy Lxx'. D B z U ltér gy bázs, így x gyértlmő állíthtó lı 4.5. állítás szrt z xx...x lb, hol x K l. or x'lxlx...x x L...x L z 5.7. tuljdoság szrt, mbıl 3.. állítás lpjá x' L,...,L övtz, zz LU L,...,L s tljsül. 5.2. Kövtzméy: H V és V' K tst fltt vtortr, L:V V' gy lárs lépzés és U V vtortér gy végs dmzós ltr, or dmlu dmu. Az 5.. tuljdoság jlölést és rdméyét flhszálv dm[lu] dm L,...,L rg{l,...,l } dmu dód. 47
zutá blátju, hogy md lárs lépzést gyértlmő mghtároz gy bázsr gyorolt htás, vgys md vtor lárs lépzés mlltt ép smrt, h tudju gy bázs vtor épt. 5.3. Állítás: Lárs lépzés lptétl Lgy B{,... } K tst fltt végs dmzós V vtortér gy bázs, {u,...u } pdg szté K tst fltt ttszılgs V' vtortér vlmly számú lmbıl álló vtorrdszr. or gy és css gy oly L:V V' lárs lépzés létz, mlyr L u l tljsül. lıször mgmuttju, hogy gytl, z állítás fltétl lgt tvı lárs lépzés létzht csupá. Bármly x V 4.5. állítás szrt gyértlmő állíthtó lı z xx...x lb, s h L z állítás fltétl mgfllı lárs lépzés, or LxLx...x x L...x L x u...x u. zzl z lıállítássl Lx, s így z L s gyértlmő mghtározott. Másodszor blátju, hogy létz z állítás fltétlb mgfoglmzott lárs lépzés. H ttszılgs x V vtor 4.5. állítás szrt lıállítás xx...x, or ttsü z Lx x u...x u lépzést. H x,y V gy ttszılgs vtorpár és xx...x, yy...y, továbbá K ttszılgs slár, or és LxyLx...x y...y Lx y...x y x y u...x y u x u...x u y u...y u Lx...x Ly...y LxLy, LxLx...x Lx...x x u...x u x u...x u Lx...x Lx, thát z L:V V' gy lárs lépzés. Mvl 0...0-0...0, zért L 0u...0u - u 0u...0u u l, s zzl állításut mrdétlul gzoltu. H V és V' K tst fltt vtortr és L:V V' gy lárs lépzés, or lépzésél éplm hlmzát z L épé vzzü és ImL szmbólumml jlöljü, zz ImL {Lx x V}. 48
Azo lm hlmzát pdg, mly ép V' zérusvtor, z L mgjá vzzü és KrL szmbólumml jlöljü, vgys KrL {x V Lx0'}. 5.4. Péld: A K tst fltt K vtortérb z 5.2. példáb bmuttott L:x,...,x x,0,...,0 lárs lépzés ép ImL{x,0,...,0 x K}, mgj pdg KrL{0,x 2,...,x x K, 2 }. A ostrucóból ylvávló, hogy ImL V' és KrL V. Mgmuttju, hogy ImL és KrL mcs részhlmzo, hm ltr s mgfllı vtortérb. 5.5. Állítás: H V és V' K tst fltt vtortr és L:V V' lárs lépzés, or ImL«V' és KrL«V. Az 5.0. tuljdoság rdméyét z UV stb llmzv zol dód, hogy ImLLV«V'. H,b KrL, or L0' és Lb0', így 0'LLbLb, zért b KrL. H pdg KrL, or L0', s ttszılgs K slárrl 0'0' LL, thát KrL. Két utóbb mgállpításu 3.8. állítás lpjá épp zt jlt, hogy KrL«V. Imét bzoyított állításu lpjá z ImL hlmzt z L lépzés éptré, KrL hlmzt pdg z L lépzés mgtré vzzü. A éptér és mgtér sgítségévl öy zlhtı rtérumot yrhtü rr ézv, hogy gy L:V V' lárs lépzés mor lsz moomorfzmus és mor lsz pmorfzmus. 5.6. Állítás: H V és V' K tst fltt vtortr, or z L:V V' lárs lépzés potos or moomorfzmus, h KrL{0}, és potos or pmorfzmus, h ImLV'. 49
Mvl z 5.8. tuljdoság szrt L00', így h L moomorfzmus, thát jtív lépzés, or z Lx0' összfüggésbıl x0 övtz, zért KrL{0}. Mgfordítv, h z L lárs lépzésr KrL{0}, or z LxLy összfüggésbıl Lx-yLx-Ly0' flhszálásávl x-y0 dód, így L jtív lépzés, thát moomorfzmus, hsz LxLy mg utá voj xy tljsülését. A tétl másod állítás z pmorfzmus és éptér foglm lpjá ylvávló. Az 5.2. övtzméyt éptérr llmzv öy dód, hogy dm[iml] dmv végs dmzós V vtortér sté. él zob többt s állíthtu, szoros pcsolt v ugys mgtér és éptér özött. rr vlágít rá övtzı 5.7. Állítás: Lárs lépzés dmzó-tétl H V és V' K tst fltt vtortr, V végs dmzós és L:V V' gy lárs lépzés, or érvéys dm[krl]dm[iml]dmv összfüggés. Lgy dmv, 4.8. és z 5.5. állítás lpjá KrL s végs dmzós és dm[krl], lgy továbbá {,..., } KrL ltér gy bázs. A V vtortér z {,..., } lárs függtl vtorrdszrét 4.2. állítás flhszálásávl gészítsü V vtortér B{,...,,..., } bázsává. Mgmuttju, hogy z {L,...,L } vtoro z ImL ltér gy bázsát lotjá. Az 5.. tuljdoságot tljs V vtortérr llmzv láthtó, hogy ImL L,...,L, ám,..., KrL mtt L 0', thát ImL L,...,L. zzl bláttu, hogy z {L,...,L } vtoro z ImL gy grátorrdszrét épz. Igzolu ll még, hogy vtoro lárs függtl. Ttsü z L... L 0' lárs ombácót. Mvl L gy lárs lépzés, így bbıl L... 0' dód, mbıl mgtér értlmzés folytá... KrL övtz. or zob z 50
vtor KrL mgtér {,..., } bázs sgítségévl 4.5. állítás lpjá flírhtó z... b...b lb, mly gyszrő átrdzésévl b...b -...- 0 dód. D B{,..., } V vtortér gy bázs, thát lárs függtl vtorrdszr, zért b b 2...b -...- 0, mbıl... 0 övtz, így z {L,...,L } vlób lárs függtl vtorrdszr. Az {L,...,L } thát z ImL gy bázs, mly - számú vtorból áll, zért dm[iml]-. D dmv és dm[krl], így tétl állítás gz. A dm[rl] számot z L dftusá, dm[iml] számot pdg z L rgjá vzzü, s dfl, lltv rgl szmbólumml jlöljü. 5.8. Kövtzméy: H V és V' K tst fltt végs dmzós vtortr, dmv és dmv'm, or z L:V V' lárs lépzésr érvéys z lább tuljdoságo: L pmorfzmus or és css or, h rglm, 2 L moomorfzmus or és css or, h rgl, 3 L zomorfzmus or és css or, h rglm. Az 5.6. állításból z 5.7. állítás, vlmt lárs lépzés rgjá fgylmbvétlévl zol dód z állítás. 5.9. Kövtzméy: H V és V' K tst fltt vtortr, V végs dmzós, L:V V' gy moomorfzmus és U V gy ttszılgs ltr, or dm[lu]dmu. A 4.8. állítás mtt z U ltér végs dmzós, s z L:V V' lárs lépzés z ltérr törtéı L lszőítés s moomorfzmus, így z 5.8. övtzméy 2 potj szrt dm[lu]rg L dmu, m állításut bzoyítj. zutá lárs lépzés özött értlmzhtı mővltl, s mővlt tuljdoságvl fogllozu. 5
Lgy V és V' K tst fltt vtortér. A V vtortér V' vtortérb vló lárs lépzés, vgy más szóvl homomorfzmus hlmzát továbbb HomV,V' szmbólum jlöl. H L,M HomV,V', or ét lárs lépzés LM:V V' összg lépzését úgy értlmzzü, hogy ttszılgs x V sté lgy LMx LxMx. H pdg L HomV,V' és K, or lárs lépzés slárszorosát úgy értlmzzü, hogy ttszılgs x V sté lgy Lx Lx. 5.20. Péld: Lgy K gy tst és K 2 2.2. példáb bvzttt vtortér 2 st. H L:K 2 K 2,x,x 2 x,-x 2 és M:K 2 K 2, x,x 2 -x,x 2, or z L és z M lárs lépzés, továbbá LMx,x 2 0,0, vgys ét lépzés összg md x,x 2 vtort 0,0 zérusvtorb vsz. rrıl szté láthtó, hogy lárs lépzés, s zérus lépzés hívju. H N:K 2 K 2, x,x 2 x,0 és - K, or N lárs lépzés és -Nx,x 2 -x,0, m szté lárs lépzés. 5.2. Állítás: H V és V' K tst fltt vtortr, továbbá L,M HomV,V' és K, or LM,L HomV,V', vgys lárs lépzés összg és lárs lépzés slárszoros s lárs lépzés. lgdı mgmutt, hogy z LM és L lépzés s rdlz z 5.6. tuljdosággl. Md,b K és md x,y V sté 52 LMxbyLxbyMxby Lxb Ly Mxb My [LxMx]b [LyMy] [LMx]b [LMy], továbbá Lxby [Lxby] [ Lxb Ly] Lxb Ly [ Lx]b [ Ly] [Lx]b [Ly], m állításut gzolj.
5.22. Állítás: H V és V' K tst fltt vtortr, or V vtortérbıl V' vtortérb vvı lárs lépzés HomV,V' hlmz lárs lépzés összdás és lárs lépzés slárrl vló szorzás mővltévl K tst fltt gy vtortrt lot. Az állítás gzolásához ll muttu, hogy HomV,V' lárs lépzés összdás és lárs lépzés slárrl vló szorzás mővltévl lgt tsz vtortér A.-A.4, M.-M.4 xómá. Az összdás ommuttív, mrt md L,M HomV,V' és ttszılgs x V sté: LMxLxMxMxLxMLx, így lárs lépzés gylıség lpjá LMML, thát A. tljsül. Az összdás sszoctív, hsz md L,M,N HomV,V' és ttszılgs x V mlltt: [LMN]xLMxNx[LxMx]Nx Lx[MxNx]LxMNx[LMN]x, zért lárs lépzés gylıség lpjá bbıl LMNLMN övtz, így A.2 tljsül. Az O:V V', x 0' zérus lépzés öy bláthtó lárs és md L HomV,V' és ttszılgs x V sté: OLxOxLx0'LxLx és LOxLxOxLx0'Lx, mlybıl lárs lépzés gylıség folytá LOOLL övtz, s zért A.3 tljsül. Md L HomV,V' sté ttsü L -L HomV,V' lépzést. Ttszılgs x V mlltt or [L-L]xLx-LxLx-Lx0'Ox [-LL]x-LxLx-LxLx0'Ox, és 53
mlybıl lárs lépzés gylıség szrt fáll L-L -LLO, thát A.4 s tljsül. Md,l K slárpárr, md L HomV,V' lépzésr és ttszılgs x V vtorr: [ll]xl Lx Lxl LxLxlLxLlLx, mbıl lárs lépzés gylıség folytá lllll dód, így M. tljsül. Md K slárr és md L,M HomV,V' lépzéspárr ttszılgs x V mlltt: [LM]x LMx [LxMx] Lx MxLxMxLMx, s így lárs lépzés gylıség lpjá LMLM övtz, thát M.2 s tljsül. Md,l K slárpárr, md L HomV,V' lépzésr és ttszılgs x V vtorr: [ll]xl Lx [l Lx] llx[ll]x, mbıl lárs lépzés gylıségét flhszálv llll övtz, így z M.3 s tljsül. Végül z K gységlm és md L HomV,V' lépzésr ttszılgs x V mlltt: Lx LxLx, mbıl szté lárs lépzés gylıségét hszálv LL dód, thát M.4 s tljsül, s zzl állításut bzoyítottu. Imét állításub szrplı K,HomV,V' vtortrt V vtortérbıl V' vtortérb vvı lárs lépzés vtortré vzzü. 54
5.23. Állítás: H V és V' K tst fltt végs dmzós vtortr, or lárs lépzés HomV,V' vtortr s végs dmzós és dm[homv,v'] dmv dmv'. Lgy dmv, dmv'm és B{,..., } V, B'{f,...,f m } pdg V' vtortér gy-gy ttszılgs, d rögzíttt bázs. Ttsü lárs lépzés zo m számú j HomV,V', j m rdszrét, mlyr j f j : 0' tljsül. Az j lépzés z 5.3. állítás szrt jól dfált, hsz smrjü B bázsr gyorolt htásut. Mgmuttju, hogy z j, j m lépzés HomV,V' gy bázsát lotjá. Vlób, ttsü z O c c c 2 2 c c c 2 22 2 2 22 2... c... c... c m 2m m m 2m m lárs ombácót, hol c j K, j m és O HomV,V' zérus lépzés. or z gylıség mdét oldlát z bázsvtorr llmzv: 55
56............ ' c c c c c c c c O m m m m m m m m f f 0 mbıl c...c m 0 övtz, hsz B' V' vtortér gy bázs. zzl bláttu, hogy z j, j m lépzés lárs függtl rdszrt lot. Lgy L HomV,V' gy ttszılgs lárs lépzés. Mvl L V', így B' bázs sgítségévl 4.5. állítás lpjá gyértlmő írhtó fl z... L m m f f lb, hol j K, j m. Ttsü most z z sláro sgítségévl lıállított ', Hom...... : V V F m m m m lépzést. Mvl, L F m m m m m m m m............ f f
így z L és z F lárs lépzés gyformá ht B bázsr, thát z 5.3. állítás övtztéb FL tljsül. Ttszılgs L HomV,V' lıállíthtó ft szrt z j lépzés lárs ombácójét z L...... m m m m lb, így j, j m grátorrdszr s lárs lépzés HomV,V' vtortréb. A ft bzoyítjá, hogy z j lárs lépzés HomV,V' vtortér gy m lmbıl álló bázsát lotjá, thát HomV,V' s végs dmzós vtortér és dm[homv,v'] m. Lgy zutá V,V' és V'' K tst fltt vtortér. H L HomV,V' és M HomV',V'', or ét lárs lépzés M L:V V'' ompozícóját, vgy más lvzéssl szorzt lépzését úgy értlmzzü, hogy ttszılgs x V sté lgy M Lx MLx. 5.24. Péld: Lgy K gy tst és K 2 2.2. példáb bmuttott vtortér 2 st. Az 5.20. példáb mlíttt L:K 2 K 2, x,x 2 x,-x 2 és z M:K 2 K 2, x,x 2 -x,x 2 lárs lépzés M L:K 2 K 2 ompozícój ttszılgs x,x 2 vtorhoz -x,-x 2 -x,x 2 vtort rdl. Köy bláthtó, hogy z M L lépzés s lárs. 5.25. Állítás: H V,V' és V'' K tst fltt vtortr, továbbá L HomV,V' és M HomV',V'', or M L HomV,V'', vgys ét lárs lépzés ompozícój s lárs. lgdı blát, hogy z M L lépzés s rdlz z 5.6. tuljdosággl. Md,b K és md x,y V sté 57
58 M LxbyMLxbyM Lxb Ly MLxb MLy M Lxb M Ly, m állításu hlysségét gzolj. 5.26. Állítás: H V,V',V'' és V''' K tst fltt vtortr, továbbá L HomV,V', M HomV',V'' és N HomV'',V''', or N M LN M L, vgys ompozícóépzés ft fltétl mlltt sszoctív. A lárs lépzés gylıségé foglmát flhszálv lgdı bzoyít, hogy ttszılgs x V vtorr tljsül [N M L]x [N M L]x. Vlób, [N M L]xN M[Lx]N{M[Lx]}N[M Lx][N M L]x, m állításut bzoyítj. 5.27. Állítás: H V,V' és V'' K tst fltt vtortr, továbbá L,M HomV,V' és N,P HomV',V'', or NP LN LP L és N LMN L N M, vgys ompozícóépzés lépzés összdásár ézv ft fltétl mlltt blról és jobbról s dsztrbutív. A lárs lépzés gylıségér hvtozv lgdı mgmutt, hogy ttszılgs x V vtorr [NP L]xN LP Lx és [N LM]x N LN Mx s tljsül. Vlób, továbbá [NP L]xNP[Lx]N[Lx]P[Lx] N LxP LxN LP Lx, [N LM]xN[LMx]N[LxMx] N[Lx]N[Mx]N LxN MxN LN Mx, s zzl állításut gzoltu.
5.28. Állítás: H V,V' és V'' K tst fltt vtortr, továbbá L HomV,V', M HomV',V'', vlmt K, or érvéys M LM LM L zoosság. A lárs lépzés gylıség szrt lgdı mgmutt, hogy ttszılgs x V vtorr [M L]x[M L]x, vlmt [M L]x [M L]x s tljsül. Vlób, [M L]xM[Lx]{M[Lx]}[M Lx][M L]x, és [M L]xM[Lx]M{[Lx]} {M[Lx]}[M Lx][M L]x, m állításu hlysségét gzolj. zutá lárs lépzés ompozícójá ommuttvtását vzsgálju mg. Lgy V,V' és V'' K tst fltt vtortr, továbbá ttsü z L HomV,V' és z M HomV',V'' lárs lépzést. or z M L ompozícó értlmzhtı, z L M zob cs or, h VV'' s tljsül. Az M L:V V és z L M:V' V' lépzés gylıségéhz VV' fltétl s szüségs. Azob még VV'V'' stb sm lsz M L és L M áltláb gylı. gzolásár ttsü K tst fltt K 2 vtortrt z,0, 2 0, bázssl. Lgy L:K 2 K 2 és M:K 2 K 2 z 5.3. állítás lpjá gyértlmő mghtározott zo ét lárs lépzés, mlyr L, L 2 0 és M 2, M 2 0 tljsül. or z M L:K 2 K 2 lárs lépzésr M L 2 és M L 2 0, z L M:K 2 K 2 lárs lépzésr pdg L M 0 és L M 2 0 dód, zért z 5.3. állítás szrt L M és M L lépzés bztos ülöböz, thát áltláb L M M L. Lgy V K tst fltt vtortér. A V vtortér ömgáb vló lárs lépzés, vgy más szóvl domorfzmus hlmzát továbbb dv jlöl. Az domorfzmus év mlltt hszálju még lárs trszformácó lvzést s. Most zt vzsgálju mg özlbbrıl. 59
5.29. Állítás: H V K tst fltt vtortér, or V domorfzmus dv hlmz lárs lépzés összdás és ompozícóépzés mővltévl gységlms győrőt lot. H L,M dv, or z 5.2. és z 5.25. állításo szrt LM,L M dv dód, így dv zárt z összdás és ompozícóépzés mővltér ézv s. Az 5.22. állítás lpjá bbıl özvtlül dód, hogy z dv, strutúr gy Abl csoport. Az 5.26. állítás szrt ompozícóépzés sszoctív, mbıl stüb z övtz, hogy z dv, strutúr gy félcsoport. Mvl z :V V,x x dtus lépzés, vgy más lvzéssl gység trszformácó z dv lm, s ttszılgs L dv lépzésr és md x V vtorr L xlxlx és LxLxLx tljsül, így z dv, strutúr gységlms félcsoport. Végül ompozícóépzés dsztrbutív z összdásr ézv blról és jobbról s, m özvtlül dód z 5.27. állításból. A ftt összgzv mgállpíthtju, hogy z dv,, strutúr vlób gységlms győrő. Az dv,, strutúrát V vtortér lárs trszformácó győrőjé, vgy domorfzmus győrő vzzü. zutá vtortér zomorfzmusol fogllozu. Lárs lépzés vrz áltláb m lépzés. Tudju, hogy gy lépzés vrz potos or lépzés, h lépzés bjtív. Lát fogju, hogy h lárs lépzés bjtív, vgys gy vtortér zomorfzmus, or vrz s lárs lépzés, sıt vtortér zomorfzmus. 5.30. Állítás: H V és V' K tst fltt vtortr és L:V V' gy zomorfzmus, or z L - :V' V vrz s gy zomorfzmus. H z L HomV,V' gy zomorfzmus, or bjtív lépzés, s zért L - :V' V vrz s bjtív lépzés, továbbá z vrz értlmzés folytá md z V vtorr L - Lzz és md z' V' vtorr LL - z'z' tljsül. or md,b K és md x',y' V' sté 60
L - x'by'l - { L[L - x']b L[L - y']}l - {L[ L - x']l[b L - y']} L - {L[ L - x'b L - y']} L - x'b L - y', m z 5.6. tuljdoság lpjá gzolj, hogy L - HomV',V, s mvl bjtív s, zért L - :V' V gy zomorfzmus. Lgy V és V' K tst fltt vtortér. Azt modju, hogy V vtortér zomorf V' vtortérrl, h létz gy L:V V' zomorfzmus. A V- V'-vl vló zomorfáját V V' szmbólum jlöl. 5.3. Péld: A 2.5. példáb bvzttt C omplx számo hlmz, mt vlós számo R hlmz fltt vtortér zomorf rdztt vlós számpáro R 2 vtortrévl, mrt özöttü z L:C R 2, b,b lépzés gy zomorfzmus. 5.32. Állítás: A K tst fltt vtortr zomorfáj gy vvlcrlácó, zz md V vtortérr V V, 2 h V,V' vtortrr V V', or V' V, 3 h V,V' és V'' vtortrr V V' és V' V'', or V V'' s tljsül. A K tst fltt md V vtortérb vtortér dtus lépzés gy zomorfzmus, így V V, thát rlácó rflxív. H K tst fltt V és V' vtortérr V V' tljsül, or létz gy L:V V' zomorfzmus. Az 5.30. állítás szrt zob L - :V' V s zomorfzmus, zért V' V s tljsül, thát rlácó szmmtrus. H K tst fltt V,V' és V'' vtortérr V V' és V' V'' tljsül, or létz gy L:V V' és gy M:V' V'' zomorfzmus. Az L és M lépzés M L ompozícój s bjtív, sıt z 5.25. állítás szrt lárs s. Az M L:V V'' thát gy zomorfzmus, zz V V'' tljsül, zért rlácó trztív. Lgy V K tst fltt vtortér. A V vtortér ömgár vló bjtív, lárs lépzés, vgy más szóvl utomorfzmus hlmzát továbbb AutV jlöl. Az utomorfzmus év mlltt hszálju még m lfjuló, vgy rgulárs lárs trszformácó lvzést s. 6
5.33. Állítás: H V K tst fltt vtortér, or V utomorfzmus AutV hlmz ompozícóépzés mővltévl csoportot lot. H L,M AutV, or z 5.25. állítás folytá L M AutV s tljsül, vgys AutV zárt ompozícóépzés mővltér. bbıl övtz, hogy AutV, gységlms félcsoport, hsz z 5.29. állítás szrt dv, s gységlms félcsoport volt. A strutúr gységlm most s z :V V, x x dtus lépzés. Az 5.30. állítás flhszálásávl pdg öy bláthtó, hogy h L AutV, or L - AutV s tljsül. Az AutV, strutúr thát vlób csoport. Az AutV, strutúrát V m lfjuló lárs trszformácó csoportjá, vgy utomorfzmus csoportjá vzzü. Láttu, hogy K tst fltt vtortr zomorfáj vvlcrlácó. Végs dmzós vtortr sté öy mghtározhtju z vvlcrlácóhoz trtozó osztályozást z lább szrt. 5.34. Állítás: Végs dmzós vtortr strutúr-tétl A K tst fltt bármly -dmzós V vtortér zomorf K tst lmbıl álló rdztt lm -s K vtortrévl, zz V K. Lgy B{,..., } V vtortér gy ttszılgs, d rögzíttt bázs, B'{u,...,u } pdg K vtortér 4.. példáb bmuttott ous bázs, vgys u,0,...,0, u 2 0,,0,...,0,...,u 0,...,0,. Az 5.3. állítás szrt gy és css gy oly F HomV,K lárs lépzés létz, mlyr F u tljsül. H x V ttszılgs vtor és x B x,...,x z x vtor 4.5. állítás szrt gyértlmő mghtározott oordátá, or 62 FxFx...x x F...x F x u...x u x,0,...,0...x 0,...,0,x,0,...,0...0,...,0,x x,...,x, thát F:V K, x x B. Mvl x és x B ölcsöös és gyértlmő mghtározzá gymást B bázs rögzítés utá, így z F bjtív lépzés, thát V K.
A ft állításb szrplı F:V K lépzést ous zomorfzmus, K vtortrt pdg K tst fltt stdrd -dmzós vtortér vzzü. 5.35. Kövtzméy: H V és V' K tst fltt végs dmzós vtortr, or V V' or és css or, h dmvdmv'. H dmvdmv', or z 5.34. állítás szrt V K és V' K, mbıl rlácó trztív tuljdoság lpjá V V' dód. Mgfordítv, h V V', or létz gy L:V V' zomorfzmus, mlyr vszot z 5.8. övtzméy szrt érvéys rgldmvdmv'. A ftbıl vlágos láthtó, hogy K tst fltt végs dmzós vtortr özül mggyzı dmzójú lotjá z zomorf vvlcrlácójá gy-gy osztályát. Most lárs lépzés gy ülölgs típusávl, lárs fucoálol fogllozu. A orább fjztb már láttu, hogy md K tst ömg fltt gy - dmzós vtortrt lot, mly trmészts bázs z K gységlm. fgylmbvétlévl lgy V K tst fltt vtortér. Az L HomV,K lárs lépzést lárs fucoál, vgy lárs -formá vzzü. Az 5.22. állítás szrt HomV,K vtortrt lot, mlyt V vtortér duáls vtortré vzzü és V* szmbólumml jlöljü. 5.36. Péld: A K tst fltt K stdrd vtortérb z L:K K,x,...,x x... x gy lárs fucoál, h,..., K gy rögzíttt vtor. A K tst fltt polomo K[x] vtortréb z M:K[x] K, fx f lárs fucoál, h K gy rögzíttt slár és f z fx polom z K hly vtt hlyttsítés érté. 63
Az 5.4. példáb bmuttott [,b] R trvllumo folytoos függvéy C[,b] tréb z N:C[,b] R,fx fxdx gy lárs fucoál. b A omplx számo C vtortréb R:C R,b vlós rész épzés gy lárs fucoál. 5.37. Állítás: H V K tst fltt végs dmzós vtortér, or V* duáls vtortr s végs dmzós és dmvdmv*. H dmv, or z 5.23. állítás lpjá dmv*dmhomv,k dmv dmk, s mvl K tst, mt ömg fltt vtortér -dmzós, így zol dód z állítás. H B{,..., } z -dmzós V vtortér gy ttszılgs bázs, or sgítségévl öy mgszrszthtjü V* duáls tér gy bázsát. Az 5.23. állítás bzoyításából olvshtó ugys z m, f K és B'{f } spcáls stét, hogy z : 0 összfüggéssl dfált számú lárs fucoál V* gy B*{,..., } bázsát lotj. A B* bázst B duáls bázsá vzzü, mly sgítségévl 4.5. állítás, lltv z 5.23. állítás bzoyításá mt lpjá md L V* gyértlmő állíthtó lı z 64 LL...L lb. Más szóvl z zt jlt, hogy z L lárs fucoál B* bázsr votozó oordátá L B* L,...,L. A B* duáls bázst dfáló összfüggés jobb oldlát, mly értéét z, dxpár htározz mg, tömör δ szmbólumml jlöljü és Krocr-fél δ függvéy vzzü, zz
δ :. 0 A ft smrtttt módo md V vtortérhz mghtározhtju V* duáls vtortrt. Vzsgálju mg, hogy m törté or, h z ljárást mgsmétljü. A V**V** m más, mt V* vtortér K tstb vló lárs lépzés HomV*,K vtortr. Azt tudju, hogy gyzo tst fltt végs dmzós vtortr özött z gylı dmzójú zomorf gymássl. vtortr özött létsíthtı zomorfzmus áltláb függ z gys vtortrb válsztott bázsotól. Az ugyzo tst fltt oly vtortrt, mly özött bázso mgválsztásától függtl zomorfzmus létsíthtı, ous zomorf, vgy zoosíthtó vtortr vzzü. Végs dmzós stb V és V* vtortr m zoosíthtó ft értlmb, V és V** vszot zoosíthtó. Igz ugys z 5.38. Állítás: H V K tst fltt végs dmzós vtortér, or V** vtortér ous zomorf V vtortérrl. Lgy x V ttszılgs vtor, s ttsü z f x :V* K,L Lx lépzést. Md,b K és md L,M V* sté f x LbMLbMx Lxb Mx f x Lb f x M dód, így f x z 5.6. tuljdoság lpjá lárs, vgys f x V**. Ttsü zutá z F:V V**, x f x lépzést. Ttszılgs L V* lárs fucoálr md,b K és x,y V mlltt f xby LLxby Lxb Ly f x Lb f y L f x Lb f y L f x b f y L, mbıl lárs lépzés gylıségét flhszálv zz f xby f x b f y, Fxby Fxb Fy 65
övtz, vgys z F:V V** gy lárs lépzés. Mgmuttju, hogy z F bjtív lépzés s. Az 5.37. állítás lpjá mgállpíthtju, hogy dmv**dmv*dmv. H B{,..., } V vtortér gy ttszılgs bázs, B*{,..., } B duáls bázs V* vtortérb, or f j j δ j mbıl z övtz, hogy B**{ f,..., f } B* duáls bázs V** vtortérb. Mvl F f, vgys z F lépzés V gy bázsát V** gy bázsáb vsz, így z 5.. és z 5.6. állításo flhszálásávl Im F F,..., F f,..., f V **, thát z F gy szürjtív lépzés. H FxFy, vgys f x f y, or md L V* sté f x Lf y L, zz LxLy övtz. Ám ttszılgs L V* mlltt z css or lhtségs, h xy, s zért z F jtív lépzés s. Mgmutttu thát, hogy z F:V V** lárs és bjtív lépzés, s mvl értlmzés függtl bázso mgválsztásától, így F gy ous zomorfzmus. Imét állításu bzoyítás pcsá érdms mgjgyz, hogy h x V ttszılgs vtor, mly B{,..., } bázsr votozó oordátá x B x,...,x, or z F lépzés lárs tuljdoság szrt, f x x x f... x f..., m 4.5. állítás lpjá épp zt jlt, hogy z f x Fx éplm B**{ f,..., f } bázsr votozó oordátá f x B** x,...,x, zz x B f x B** tljsül. Az F ous zomorfzmus sgítségévl thát V és V** zoosíthtó vtortr, jlölj zt gyszrő VV**. Mgsmétlv duáls tér épzésé ljárását, z gylıség, vgys zoosítás flhszálásávl 66
V***V***V*, V****V****V**V,... dód. z más szóvl zt jlt, hogy gy vtortérbıl páros számú dulzálássl yrt vtortr lot gy-gy osztályt. Mgmlítjü még, hogy végtl dmzós vtortr sté z 5.38. állítás áltláb m tljsül. Lgy V és V' K tst fltt vtortér, s jlölj V* V és V'* V' duáls trét. H L HomV,V', or z L D :V'* V*, X X L lépzést z L duáls, vgy trszpoált lépzésé vzzü. Mvl L HomV,V' és X V'*HomV',K, így z L D XX L ompozícój s lárs lépzés z 5.25. állítás lpjá, thát L D HomV'*,V*. 5.39. Állítás: H V és V' K tst fltt vtortr, V* V, V'* pdg V' duáls vtortr, or z L:V V' lárs lépzés z L D :V'* V* duáls lépzését mgfllttı f:homv,v' HomV'*,V*, L L D gy lárs lépzés. Az 5.6. tuljdoságr hvtozv lgdı mgmutt, hogy ttszılgs,b K és L,M HomV,V' sté flbm flb fm, zz LbM D L D b M D tljsül. Vlób, md X V'* sté z 5.27. és 5.28. állításo flhszálásávl LbM D XX LbMX LX bmx LbX M L D Xb M D X L D Xb M D X L D b M D X, m lárs lépzés gylıségé értlmzését flhszálv állításu hlysségét bzoyítj. 67
5.40. Állítás: H V, V' és V'' K tst fltt vtortr, V* V, V'* V' és V''* V'' duáls tr, továbbá L HomV,V' és M HomV',V'', or érvéys z M L D L D M D zoosság. A lárs lépzés gylıségé értlmzés szrt lgdı bzoyít, hogy ttszılgs X V''* sté fáll z M L D XL D M D X gylıség. Vlób, z 5.26. állítás flhszálásávl 68 M L D XX M LX M LM D X LL D M D XL D M D X, m állításut gzolj. 5.4. Állítás: H V és V' K tst fltt végs dmzós vtortr, V* V és V'* V' duáls vtortr, or HomV'*,V* vtortér ous zomorf HomV,V' vtortérrl. Az 5.39. állításb szrplı f:l L D lárs lépzésrıl muttju, hogy végs dmzós V, V' vtortr sté zomorfzmus s lsz. Mvl f lárs, így lgdı lépzés bjtvtását gzol. Az 5.6. állítás szrt z f potos or lsz moomorf, h KrfO, hol O HomV,V' zérus lépzés. H O* HomV'*,V* zérus lépzés, or z L D flo* összfüggésbıl ttszılgs X V'* és ttszılgs y V sté L D XyX Ly XLy0 K övtz. H B'{f,...,f m } V' végs dmzós vtortér gy bázs és B'*{F,...,F m } B' duáls bázs V'* vtortérb, or lgy Lyy f...y m f m. A ft összfüggésb szrplı X V'* fucoál rdr z F,...,F m lépzést válsztv, bból z y F Ly0 K m összfüggés dód, mlybıl özvtlül övtz Ly0'. Mvl pdg y V ttszılgs vtor volt, így css LO lhtségs, zért vlób KrfO tljsül. Az 5.6. állítás szrt f potos or lsz pmorf, h ImfHomV'*,V*. gzolásához lgy B{,..., } V végs dmzós vtortér gy bázs és B*{,..., } B duáls bázs V* vtortérb. or z 5.23. állítás lpjá dmhomv,v' m és z
69, ' : m j j j 0 f összfüggésl dfált lépzés HomV,V' vtortér gy m lmbıl álló bázsát htározzá mg. zzl lóg módo szté z 5.23. állításr hvtozv dmhomv'*,v*m és z j O j F j : * összfüggésl dfált lépzés HomV'*,V* vtortér gy m lmbıl álló bázsát lotjá. Mgmuttju, hogy md, j m sté D j j * tljsül. Vlób, gyrészt, l F l F F F F j l j l j l D j ' 0 f mbıl F f j δ j flhszálásávl j l j l F l D j 0 dód, másrészt, j O j F l l l j * mbıl pdg l δ l flhszálásávl l j l j F l j 0 *
övtz. Ft ét részrdméyübıl láthtó, hogy z D j F és z * j F gyformá ht B bázs vtorr, így z 5.3. állítás lpjá érvéys z D j F * j F összfüggés. bbıl smét z 5.3. állítás flhszá- D lásávl j * D * j, j m övtz, hsz j és j s gyformá ht B'* bázs vtorr. z z összfüggés más mgfoglmzássl z * f j j, j m lot ölt, mbıl Imf f,...,f j,...,f m * * j,...,,..., * m HomV'*,V* övtz, thát z f:homv,v' HomV'*,V*, L L D bjtív és lárs, vgys gy zomorfzmus. Mvl z f értlmzés függtl bázso mgválsztásától, így z f ous zomorfzmus s gyb. 5.42. Állítás: H V és V' K tst fltt végs dmzós vtortr, L HomV,V', or z L DD L D D összfüggéssl értlmztt lépzésr L DD L tljsül. Az 5.38. állítás lpjá V és V**, lltv V' és V'** zoosíthtó vtortr, s így L DD :V** V'** tuljdoépp gy L DD :V V' típusú lárs lépzés. or ttszılgs X V'* és ttszılgs y VV** sté XL DD yx L DD yx L D D yl D XyX LyXLy, mly lpjá z XL DD yxly ttszılgs X és rögzíttt y mlltt css z L DD yly stb állht ft, s mvl z ttszılgs y sté tljsül, így lárs lépzés gylıség lpjá L DD L övtz. Fldto:. Mutssu mg, hogy övtzı lépzés mdgy lárs: G 2 sí türözés gy, z orgó átmı gysr, b G 3 tér türözés gy, z orgó átmı gysr, c z R 2 mrılgs vtítés z x x 2 gyltő gysr, 70
d z R R, x,...,x cx,...,cx, c R, c 0 lépzés, z R 2 R 2, x,x 2 x x 2,x 2 yírás vztt lépzés. 2. Htározzu mg övtzı lárs lépzés mgtrét és éptrét: G 2 sí lforgtás z orgó örül dott ráyb, dott gyságú szöggl, b C 3 C 3,x,x 2,x 3 x,0,x 3 mrılgs vtítés, c z O:V V', x 0' zérus lépzés, d z :V V, x x dtus lépzés. 3. Htározzu mg z lább lárs lépzéspáro mdét sorrdb vtt összgét: G 2 sí gy Dscrts-fél oordátrdszrét rögzítv z x-, lltv z y-tglyr votozó türözés, b omplx számo vtortréb R:C C,b és z I:C C, b b lépzés. 4. M lsz z R 2 R 2, x,x 2 x,-x 2 tglys türözés 2-szrs, lltv --szrs lépzés? 5. Htározzu mg övtzı lárs lépzéspáro mdét sorrdb vtt ompozícóját: G 2 sí lforgtás z orgó örül dott ráyb, dott gyságú szöggl és G 2 sí orgó ctrumú rögzíttt poztív vlós ráyú özéppotos hsolóság, b G 2 sí türözés z orgó átmı gy rögzíttt gysr és G 2 sí orgó ctrumú rögzíttt poztív vlós ráyú özéppotos hsolóság, c z R 2 R 2, x,x 2 x,-x 2 és z R 2 R 2, x,x 2 -x,x 2 tglys türözés, d z R 3 R 3, x,x 2,x 3 x,x 2,0 és z R 3 R 3, x,x 2,x 3 0,x 2,0 vtítés. 6. Bzoyítsu b, hogy omplx számo vtortréb C C, b -b ojugálás gy ömgár vló zomorf, vgys utomorf lépzés. 7. Rögzítsü gy Dscrts-fél oordátrdszrt G 3 térb, s mutssu mg, hogy G 3 R 3,x x,x 2,x 3 lépzés gy zomorfzmus. 7
8. Bzoyítsu b, hogy K tst fltt lgföljbb -d foú polomo K [x] vtortr zomorf K tst lmbıl álló rdztt lm - s K vtortrévl. 9. Mutssu mg, hogy C 3 C,z,z 2,z 3 z z 2 z 3 lépzés gy lárs fucoál. 0. Rögzítsü K tst fltt K 3 vtortér B {, 2, 3 } ous bázsát, zz lgy,0,0, 2 0,,0 és 3 0,0,. H B*{, 2, 3 } B duáls bázs, or htározzu mg z x, 2 x és z 3 x sláro értéét, hol x,-,-. 72