Analízis 1. (BSc) vizsgakérdések Programtervez informatikus szak 2008-2009. tanév 2. félév

Analízis 1. (BSc) vizsgakérdések Programtervez informatikus szak 2008-2009. tanév 2. félév Valós számok 1. Hogyan szól a Bernoulli-egyenl tlenség? Mikor van egyenl ség? Válasz. Minden h 1 valós számra és minden n N természetes számra (1 + h) n 1 + nh. Ezekre a h és n értékekre egyenl ség akkor és csak akkor teljesül, ha h = 0 vagy n = 1. 2. Fogalmazza meg a számtani és a mértani közép közötti egyenl tlenséget. Mikor van egyenl ség? Válasz. Legyen n 2 tetsz leges természetes szám és a 1, a 2,..., a n tetszés szerinti nemnegatív valós szám. Ekkor n a1 a 2 a n a 1 + a 2 + + a n. n Egyenl ség akkor és csak akkor áll fenn, ha a 1 = a 2 = = a n. 3. Írja le a valós számok közötti rendezés és a m veletek kapcsolatára vonatkozó axiómákat. Válasz. Ha x, y, z R, akkor (i) x y x + z y + z (ii) x y és 0 z x z y z. 4. Mit mond ki a teljességi axióma? Válasz. Ha A, B R, A, B és a A, b B esetén a b, akkor ξ R a A b B : a ξ b. 5. Fogalmazza meg a szuprémum elvet. Válasz. Ha H R, H és H felülr l korlátos, akkor H fels korlátai között van legkisebb. 6. Mit jelent az, hogy a H R halmaz induktív? Válasz. H R induktív, ha 0 H, továbbá, ha x H esetén x + 1 H. 7. Hogyan értelmezi a természetes számok halmazát? Válasz. N a legsz kebb induktív részhalmaza R-nek. 8. Fogalmazza meg a teljes indukció elvét! Válasz. Legyen A(n) egy állítás minden n N-re. Tegyük fel, hogy A(0) igaz és ha A(n) igaz akkor A(n + 1) is igaz (n N). Ekkor A(n) igaz minden n N-re. 9. Mikor van egy = A R halmaznak maximuma (minimuma)? Válasz. Ha létezik α A, minden x A-ra x α (x α). 1

10. 11. 12. 13. 14. 15. Pozitív állítás formájában fogalmazza meg azt, hogy a = A R halmaznak nincs minimuma. Válasz. Minden α A-ra létezik x A, hogy x < α. Pozitív állítás formájában fogalmazza meg azt, hogy a = A R halmaznak nincs maximuma. Válasz. Minden α A-ra létezik x A, hogy x > α. Mikor felülr l (alulról) korlátos egy A R halmaz? Válasz. Ha létezik K R, hogy minden a A-ra a K (a K). Fogalmazza meg pozitív állítás formájában azt, hogy egy = A R halmaz felülr l nem korlátos! Válasz. Minden K R-re létezik a A, hogy a > K. Legyen = A R, ξ R. Mit jelent az A elemeire nézve az, hogy ξ = sup A? Válasz. Minden x A-ra x ξ és minden K < ξ-re x A, hogy x > K. Legyen = A R, ξ R. Mit jelent az A elemeire nézve az, hogy ξ = inf A? Válasz. Minden x A-ra x ξ és minden K > ξ-re x A, hogy x < K. 16. Mit jelent az, hogy a valós számok halmaza rendelkezik az archimédeszi tulajdonsággal? Válasz. a > 0 b R n N : b < na. 17. Mit jelent az, hogy a valós számok halmaza rendelkezik a Cantor-tulajdonsággal? Válasz. Ha [a n+1, b n+1 ] [a n, b n ] ( n N, a n, b n R), akkor [a n, b n ]. n N Relációk és függvények 18. Deniálja a következ fogalmakat: reláció, reláció értelmezési tartománya és értékkészlete. Válasz. Legyen A és B nemüres halmaz. Az A B Descartes-szorzat nemüres r részhalmazait az A és a B halmaz elemei közötti relációnak hívjuk. Ha (a, b) r A B, akkor azt mondjuk, hogy az a elem az r relációban van b-vel. A D r := {a A b B úgy, hogy (a, b) r} halmazt az r reláció értelmezési tartományának, az R r := {b B a A úgy, hogy (a, b) r} halmazt az r reláció értékkészletének nevezzük. 2

19. Adja meg a függvény denícióját. Válasz. Legyenek A és B nemüres halmazok. A nemüres f A B reláció függvény, ha x D f -hez egyértelm en y B, hogy (x, y) f. 20. Hogyan értelmezzük halmaz függvény által létesített képét? Válasz. Legyen f : A B függvény. A C A halmaz f által létesített képe az halmaz. f[c] := {f(x) B x C} 21. Hogyan értelmezzük halmaz függvény által létesített sképét? Válasz. Legyen f : A B függvény. A D B halmaz f által létesített sképe az halmaz. f 1 [D] := {x A f(x) D} A 22. Mikor nevezünk egy függvényt invertálhatónak? Válasz. Az f : A B függvény invertálható, ha különböz értelmezési tartománybeli elemekhez különböz helyettesítési értékeket rendel. 23. Deniálja az inverz függvényt. Válasz. Legyen f : A B invertálható függvény. f inverz függvénye az függvény. f 1 : R f y x, amelyre f(x) = y 24. Mi a bijekció deníciója? Válasz. Az f : A B függvény az A és a B halmaz közötti bijekció (vagy az A és B halmaz elemei közötti kölcsönösen egyértelm megfeleltetés), ha f invertálható és R f = B. 25. Írja le az összetett függvény fogalmát. Válasz. Legyen f : A B, g : C D és tegyük fel, hogy R g D f. Ekkor f és g összetett függvénye az függvény. f g : {x D g g(x) D f } B, ( f g ) (x) := f ( g(x) ). Sorozatok 26. Deniálja a következ fogalmakat: valós sorozat; sorozat n-edik tagja, index. Válasz. Egy a : N R függvényt (valós) sorozatnak nevezünk. Ennek a függvénynek az n N helyen felvett a(n) helyettesítési értékét az a sorozat n-edik tagjának mondjuk és az a n szimbólummal jelöljük. Az n szám az a n tag indexe. 27. Mit jelent az, hogy egy (a n ) : N R sorozat korlátos? Válasz. Létezik K R, hogy minden n N-re a n K. 3

28. Pozitív állítás formájában fogalmazza meg azt, hogy az (a n ) sorozat nem korlátos. Válasz. L R-hez n N : a n > L. 29. Mit jelent az, hogy egy (a n ) számsorozat indexsorozat? Válasz. (a n ) : N N szigorúan monoton növeked. 30. Egy (a n ) sorozatról mikor mondjuk, hogy a (b n ) sorozat részsorozata? Válasz. Ha ν : N N indexsorozat, hogy (a n ) = (b n ) ν. 31. Mit ért egy sorozat részsorozatán? Válasz. Ha a : N R sorozat és ν : N N indexsorozat, akkor az a ν : N R sorozatot a részsorozatának nevezzük. 32. Mi a deníciója annak, hogy egy valós számsorozatnak van csúcsa? Válasz. n 0 N az (a n ) sorozat csúcsa, ha n > n 0 -ra a n < a n0. 33. Deniálja az A R elem ε > 0 sugarú környezetét. Válasz. Az A R valós szám ε > 0 sugarú környezetén a k ε (A) := (A ε, A + ε) intervallumot értjük. Az A = + elem ε > 0 sugarú környezete a az A = elemé pedig a intervallum. k ε (+ ) := ( 1 ε, + ), k ε ( ) := (, 1 ε ) 34. Mikor nevezünk egy (a n ) valós sorozatot konvergensnek? Válasz. Ha A R ε > 0 n 0 N n N, n > n 0 : a n A < ε. 35. Mit jelent az, hogy az (a n ) sorozat divergens? Válasz. (a n ) divergens, ha nem konvergens, azaz A R ε > 0 n 0 N n N, n > n 0 : a n A ε. 36. Tegyük fel, hogy az (a n ) : N R sorozat határértéke az A R szám. Igaz-e az, hogy n 0 N, hogy ɛ > 0-ra és n n 0 -ra a n A < ɛ? (Válaszát indokolja!) Válasz. Nem igaz, hiszen a feltételb l az következik, hogy a n = A n n 0 -ra. 4

37. Tegyük fel, hogy az A R szám minden környezete az (a n ) sorozatnak végtelen sok tagját tartalmazza. Következik-e ebb l az, hogy az (a n ) sorozat konvergens? Válasz. Nem. A ( ( 1) n) sorozat divergens, de pl. az A = 1 szám minden környezetébe a sorozatnak végtelen sok tagja esik. 38. Mit jelent az, hogy az (a n ) sorozat (+ )-hez tart? Válasz. lim(a n ) = + P R n 0 N n N, n > n 0 a n > P. 39. Mi a deníciója annak, hogy az (a n ) sorozatnak a határértéke? Válasz. lim(a n ) = P R n 0 N n N, n > n 0 a n < P. 40. Mit jelent az, hogy az (a n ) sorozatnak van határértéke? Válasz. Azt, hogy a sorozat konvergens, vagy plusz végtelenhez, vagy pedig mínusz végtelenhez tart. Ez azzal egyenérték, hogy A R ε > 0 n 0 N n N, n > n 0 : a n k ε (A). 41. Adott (a n ) : N R, A R esetén mi a deníciója a lim(a n ) = A egyenl ségnek? Válasz. ε > 0 n 0 N n N, n > n 0 : a n k ε (A). 42. Fogalmazza meg a sorozatok konvergáciájára vonatkozó szükséges feltételt. Válasz. Ha egy valós sorozat konvergens, akkor egyúttal korlátos is. Megfordítva nem igaz, lásd a (( 1) n ) sorozatot. 43. Fogalmazza meg a sorozatokra vonatkozó közrefogási elvet. Válasz. Tegyük fel, hogy az (a n ), (b n ) és (c n ) valós sorozatokra teljesülnek a következ k: (a) N N : n > N-re a n b n c n ; (b) lim(a n ), lim(c n ) és lim(a n ) = lim(c n ) =: A R. Ekkor a közrefogott (b n ) sorozatnak is van határértéke és lim(b n ) = A. 44. Milyen állításokat ismer a határérték és a rendezés között? Válasz. Tegyük fel, hogy az (a n ), (b n ) sorozatoknak van határértékük és lim(a n ) =: A R, lim(b n ) =: B R. 1 o Ha A > B, akkor N N : n > N, n N-re a n > b n. 2 o Ha N N : n > N, n N-re a n b n, akkor A B. 45. Igaz-e az, hogy ha az (a n ) és a (b n ) sorozatoknak van határértéke és a n > b n minden n-re, akkor lim(a n ) > lim(b n )? Válasz. Nem, pl. a n := 1 n > 0 =: b n (n N), de lim ( 1 n) = 0. 5

46. Mondja ki a monoton sorozatok konvergenciájára és határértékére vonatkozó állításokat. Válasz. 1 o Ha az (a n ) sorozat monoton növeked és felülr l korlátos [monoton csökken és alulról korlátos], akkor konvergens, és lim(a n ) = sup { a n n N } R [lim(a n ) = inf { a n n N } R]. 2 o Ha az (a n ) sorozat monoton növeked és felülr l nem korlátos [monoton csökken és alulról nem korlátos], akkor lim(a n ) = + [lim(a n ) = ]. 47. Milyen m veleti tételeket ismer konvergens sorozatokra? Válasz. Ha az (a n ) és a (b n ) sorozat konvergensek és lim(a n ) =: A R, lim(b n ) =: B R, akkor 1 o az (a n + b n ) sorozat is konvergens és lim(a n + b n ) = A + B; 2 o az (a n b n ) sorozat is konvergens és lim(a n b n ) = A B; 3 o ha még b n 0 (n N) és B 0 is teljesül, akkor az ( a ) ( n b sorozat is konvergens és an ) lim = A. n b n B 48. Igaz-e az, hogy ha (a n ) konvergens és (b n ) divergens, akkor (a n + b n ) is divergens. Válasz. Igen, mert ha (a n +b n ) konvergens lenne, akkor (a n +b n a n ) = (b n ) is konvergens lenne. 49. Fogalmazza meg sorozatok összegének határértékére vonatkozó állítást. Válasz. Tegyük fel, hogy az (a n ) és a (b n ) sorozatoknak van határértéke, és lim(a n ) =: A R, lim(b n ) =: B R. Ekkor az (a n + b n ) sorozatnak is van határértéke, és lim(a n + b n ) = A + B, feltéve hogy A + B értelmezve van. 50. Táblázattal szemléltesse a sorozatok szorzatának a határértékére vonatkozó állítást. Válasz. szorzat A > 0 A = 0 A < 0 A = + A = B > 0 + B = 0 A B B < 0 + B = + + + B = + + 6

51. Fogalmazza meg a BolzanoWeierstrass-féle kiválasztási tételt. Válasz. Minden korlátos valós sorozatnak van konvergens részsorozata. 52. Deniálja a Cauchy-sorozatot. Válasz. Az (a n ) sorozatot Cauchy-sorozat, ha ε > 0 n 0 N m, n N, m, n n 0 : a n a m < ε. 53. Fogalmazza meg pozitív állítás formájában azt, hogy egy (a n ) : N R sorozat nem Cauchy-sorozat! Válasz. Az (a n ) : N R sorozat nem Cauchy-sorozat, ha ɛ > 0, n 0 N, n, m n 0 : a n a m ɛ. 54. Fogalmazza meg a sorozatokra vonatkozó Cauchy-féle konvergenciakritériumot. Válasz. Egy valós sorozat akkor és csak akkor konvergens, ha Cauchy-sorozat. 55. Hogyan értelmeztük az e számot? Válasz. Az a n := ( 1 + 1 n) n (n N) sorozat monoton növeked és felülr l korlátos, tehát konvergens. e-vel jelöljük ennek a sorozatnak a határértékét: e := lim n + ( 1 + 1 n) n. 56. Milyen állítást ismer a (q n ) mértani sorozat határértékével kapcsolatosan? Válasz. lim n + qn = 0, ha q < 1 = 1, ha q = 1 = +, ha q > 1 nem létezik, ha q 1. 57. Fogalmazza meg egy valós szám m-edik gyökének a létezésére vonatkozó tételt. Válasz. Ha m N, m 2, akkor A 0! α 0 : α m = A. 58. Legyen A > 0, 1 < m N. Melyik az a sorozat, amelynek határértéke m A? Válasz. x 0 > 0, x n+1 := 1 m ( ) A x m 1 + (m 1)x n n (n = 0, 1, 2,...). 7

Végtelen sorok 59. Mi a végtelen sor deníciója? Válasz. Az (a n ) : N R sorozatból képzett s n := a 1 + a 2 + + a n (n N) sorozatot nevezzük az (a n ) által generált végtelen sornak. 60. Mit jelent az, hogy a a n végtelen sor konvergens, és hogyan értelmezzük az összegét? Válasz. A a n sor konvergens, ha a részletösszegeinek az s n = a 1 + + a n (n N) sorozata konvergens. A lim(s n ) számot nevezzük a sor összegének. 61. Milyen tételt ismer q R esetén a q n geometriai sor konvergenciájáról? Válasz. A q n sor akkor és csak akkor konvergens, ha q < 1 és ekkor 1 1 q az összege. 62. Mi a teleszkópikus sor és mi az összege? Válasz. A 1 n(n+1) sor és az összege + n=1 1 n(n+1) = 1. 63. Fogalmazza meg a sorokra vonatkozó Cauchy-féle konvergenciakritériumot. Válasz. A a n sor akkor és csak akkor konvergens, ha ε > 0 n 0 N m, n N, m > n n 0 : a n+1 +... + a m < ε. 64. Ismer-e sorok konvergenciájára vonatkozó szükséges feltételt? Válasz. Ha a a n sor konvergens, akkor lim(a n ) = 0. 65. Igaz-e az, hogy ha lim(a n ) = 0, akkor a a n sor konvergens? Válasz. Nem, a 1 n harmonikus sor divergens és lim( 1 n ) = 0. 66. Fogalmazza meg a nem-negatív tagú sorok konvergenciájára vonatkozó tételt! Válasz. A a n nem-negatív tagú sor akkor és csak akkor konvergens, ha az s n = a 1 +... + a n, n N részletösszegekb l álló sor felülr l korlátos. 67. Fogalmazza meg a végtelen sorokra vonatkozó összehasonlító kritériumot. Válasz. Tegyük fel, hogy az (a n ), (b n ) sorozatokra N N n N, n N : 0 a n b n. Ekkor, ha 1. a b n sor konvergens, akkor a n is konvergens; 2. a a n sor divergens, akkor b n is divergens. 8

68. Fogalmazza meg a végtelen sorokra vonatkozó gyökkritériumot. Válasz. Tegyük fel, hogy létezik az A := lim ( n a n ) R határérték. ekkor 1 o A < 1 esetén a a n sor abszolút konvergens; 2 o A > 1 esetén a a n sor divergens; 3 o A = 1 esetén a a n sor lehet konvergens is és divergens is. 69. Fogalmazza meg a végtelen sorokra vonatkozó hányadoskritériumot. Válasz. Tegyük fel, hogy a n 0 (n N) és létezik az A := lim ( a n+1 ) a n R határérték. ekkor 1 o A < 1 esetén a a n sor abszolút konvergens; 2 o A > 1 esetén a a n sor divergens; 3 o A = 1 esetén a a n sor lehet konvergens is és divergens is. 70. Mik a Leibniz-típusú sorok és milyen konvergenciatételt ismer ezekkel kapcsolatban? Válasz. Ha 0 a n+1 a n (n N), akkor a ( 1) n+1 a n sort nevezzük Leibniz-típusú sornak. Ezek akkor és csak akkor konvergensek, ha lim(a n ) = 0. Ha A := + ( 1) n+1 a n, n=1 akkor A n ( 1) k+1 a k a n k=1 9 (n N). 71. Adjon meg egy olyan végtelen sort, amelyik konvergens, de nem abszolút konvergens. Válasz. ( 1) n+1 n. 72. Adjon meg egy olyan végtelen sort, amelyiknek az összege az e szám. Válasz. + 1 n! = e. 73. Mondja ki a tizedestörtekr l a tételeket! Válasz. [0, 1]. 1 o Ha (a n ) : N {0, 1, 2,..., 9}, akkor a n=1 a n 10 sor konvergens és n n=1 2 o Ha x [0, 1] akkor létezik (a n ) : N {0, 1, 2,..., 9}, hogy x = n=1 74. Mit nevez egy számsor zárójelezett sorának? a n 10. n a n 10 n Válasz. Legyen (m n ) : N N szigorúan monoton növ. A a n sor (m n ) indexsorozat által meghatározott zárójelezésén a α n sort értjük, ahol α n := m n i=m n 1+1 a i, m 0 := 1. 75. Hogyan szólnak a végtelen sorok zárójelezésére vonatkozó tételek? Válasz. 1 o Ha a n konvergens, akkor α n is az minden zárójelezés mellett és a n = α n. 2 o Ha az (m n+1 m n ) sorozat korlátos, lim a n = 0 és α n konvergens, akkor a n is konvergens.

76. Mit nevez egy végtelen sor átrendezésének? Válasz. Ha p : N N bijekció, akkor a a n sor p által meghatározott átrendezésén a apn sort értjük. 77. Fogalmazza meg a feltételesen konvergens sorok átrendezésére vonatkozó Riemann-tételt. Válasz. Ha a n feltételesen konvergens, akkor 1 o A R esetén a p(n) átrendezés, hogy + a p(n) = A; 2 o a p(n) átrendezés, ami divergens. 78. Milyen állítást ismer abszolút konvergens sorok átrendezésével kapcsolatban? Válasz. Ha a n abszolút konvergens, akkor minden (p n ) : N N bijekció esetén a a p(n) sor is konvergens és + a n = + a p(n). n=1 n=1 79. Deniálja a a n, b n sorok téglányszorzatát. Válasz. A t n, t n := max{i,j}=n a i b j (n N) sor. 10 n=1 80. Deniálja a a n, b n sorok Cauchy-szorzatát. Válasz. A c n, c n := i+j=n a i b j (n N) sor. 81. Adjon meg olyan végtelen sorokat, amelyek Cauchy-szorzata divergens. Válasz. A ( 1) n n konvergens sor önmagával vett Cauchy-szorzata divergens. 82. Fogalmazza meg az abszolút konvergens sorok szorzatára vonatkozó Cauchytételt. Válasz. Tegyük fel, hogy a a n és a b n sorok mindegyike abszolút konvergens. Ekkor (a) a t n téglányszorzatuk is abszolút konvergens, (b) a c n Cauchy-szorzatuk is abszolút konvergens, (c) az összes a i b j (i, j = 0, 1, 2,...) szorzatból tetszés szerinti sorrendben képzett d n végtelen sor is abszolút konvergens, és az összeg mindegyik esetben a tényez k összegének a szorzata: + t n = + c n = + ( + ) ( + ) d n = a n b n. 83. Fogalmazza meg a Mertens-tételt. Válasz. Ha a a n sor abszolút konvergens és b n konvergens, akkor a c n Cauchyszorzatuk konvergens és + ( + ) ( + ) c n = a n b n.

Hatványsorok, elemi függvények 84. Írja le a hatványsor denícióját. Válasz. Az (α n ) : N R sorozattal és az a R számmal képzett αn (x a) n (x R) függvénysort a középpontú, α n együtthatójú hatványsornak nevezzük. 85. Fogalmazza meg a hatványsorok konvergencia sugaráról az általánosított Cauchy Hadamard-tételt. Válasz. A α n (x a) n hatványsorra a következ három eset egyike fennáll: 1. Létezik 0< < -re, amire < - abszolút konvergens a hatványsor > - divergens a hatványsor 2. a hatványsor csak x=a esetén konvergens ( = 0) 3. R-re abszolút konvergens a hatványsor ( = ) Az R számot a hatványsor konvergenciasugarának nevezzük. 86. Fogalmazza meg a CauchyHadamard-tételt. Válasz: Tekintsük a ( ) hatványsort és tegyük fel, hogy lim. Legyen, h =0 0, h = 1, ü ö Ha < akkor a ( ) hatványsor abszolút konvergens, ha > akkor divergens. 87. Adjon meg egy olyan hatványsort, amelyiknek a konvergenciahalmaza a ( 1, 1) intervallum. Válasz. x n. 88. Adjon meg egy olyan hatványsort, amelyiknek a konvergenciahalmaza a ( 1, 1] intervallum. Válasz. ( 1) n n x n. 89. Adjon meg egy olyan hatványsort, amelyiknek a konvergenciahalmaza a [ 1, 1) intervallum. Válasz. x n n. 90. Adjon meg egy olyan hatványsort, amelyiknek a konvergenciahalmaza a [ 1, 1] intervallum. Válasz. x n n 2. 11

91. Adjon meg egy olyan hatványsort, amelyik csak az a = 2 pontban konvergens. Válasz. n n (x 2) n. 92. Deniálja az exp függvényt. Válasz. exp(x) := + x n n! 93. Deniálja a sin függvényt. Válasz. sin x := + (x R). x2n+1 ( 1) n (2n + 1)! 94. Deniálja a cos függvényt. Válasz. cos x := + ( 1) n x2n (2n)! (x R). (x R). 95. Írja fel sin (x + y)-t sin x, cos x, sin y, cos y segítségével. Válasz. sin (x + y) = sin x cos y + cos x sin y (x, y R). Függvény határértéke 96. Mit jelent az, hogy a R torlódási pontja a H R halmaznak? Válasz. Az a bármely környezetében végtelen sok H-beli elem van. 97. Mivel egyenl az R, a Q és az ({ 1 n n N}) halmaz? Válasz. R = R, Q = R és ({ 1 n n N}) = {0}. 98. Adott f R R, a D f, A R esetén mi a deníciója a lim a f = A egyenl ségnek? Válasz. ε > 0 δ > 0 x (k δ (a) \ {a}) D f : f(x) k ε (A). 99. Adja meg egyenl tlenségek segítségével a végesben vett véges határérték denícióját. Válasz. Legyen f R R, a D f R, A R. Ekkor: lim a f = A ε > 0 δ > 0 x D f, 0 < x a < δ : f(x) A < ε. 100. Adja meg egyenl tlenségek segítségével a végesben vett plusz végtelen határérték denícióját. Válasz. Legyen f R R, a D f R. Ekkor: lim a f = + P > 0 δ > 0 x D f, 0 < x a < δ : f(x) > P. 12

101. Adja meg egyenl tlenségek segítségével a végesben vett mínusz végtelen határérték denícióját. Válasz. Legyen f R R, a D f R. Ekkor: lim a f = P < 0 δ > 0 x D f, 0 < x a < δ : f(x) < P. 102. Adja meg egyenl tlenségek segítségével a plusz végtelenben vett véges határérték denícióját. Válasz. Legyen f R R, + D f, A R. Ekkor: lim f = A ε > 0 x 0 > 0 x D f, x > x 0 : f(x) A < ε. + 103. Adja meg egyenl tlenségek segítségével a mínusz végtelenben vett véges határérték denícióját. Válasz. Legyen f R R, D f, A R. Ekkor: lim f = A ε > 0 x 0 < 0 x D f, x < x 0 : f(x) A < ε. 104. Adja meg egyenl tlenségek segítségével a plusz végtelenben vett plusz végtelen határérték denícióját. Válasz. Legyen f R R, + D f. Ekkor: lim f = + P > 0 x 0 > 0 x D f, x > x 0 : f(x) > P. + 105. Adja meg egyenl tlenségek segítségével a plusz végtelenben vett mínusz végtelen határérték denícióját. Válasz. Legyen f R R, + D f. Ekkor: lim f = P < 0 x 0 > 0 x D f, x > x 0 : f(x) < P. + 106. Adja meg egyenl tlenségek segítségével a mínusz végtelenben vett plusz végtelen határérték denícióját. Válasz. Legyen f R R, D f. Ekkor: lim f = + P > 0 x 0 < 0 x D f, x < x 0 : f(x) > P. 107. Adja meg egyenl tlenségek segítségével a mínusz végtelenben vett mínusz végtelen határérték denícióját. Válasz. Legyen f R R, D f. Ekkor: lim f = P < 0 x 0 < 0 x D f, x < x 0 : f(x) < P. 108. Írja le a határértékre vonatkozó átviteli elvet. Válasz. Legyen f R R, a D f és A R. Ekkor lim a f = A (x n ) : N D f \ {a}, lim(x n ) = a esetén lim(f(x n )) = A. 13

109. Mit tud mondani a hatványsor összegfüggvényének a határértékér l? Válasz. Ha f(x) = + α k (x a) k (R > 0, x a < R), akkor bármely b a < R esetén k=0 létezik a lim f b határérték és lim f = b f(b). 110. Mit lehet mondani monoton növeked függvény határértékér l? Válasz. Legyen (α, β) tetsz leges intervallum, f : (α, β) R egy monoton növeked függvény. Ekkor f-nek minden a (α, β) pontban létezik a jobb oldali, illetve a bal oldali határértéke is és lim f = inf{ f(x) x D f, x > a }, a+0 lim f = sup{ f(x) x D f, x < a }. a 0 111. Mit lehet mondani monoton csökken függvény határértékér l? Válasz. Legyen (α, β) tetsz leges intervallum, f : (α, β) R egy monoton csökken függvény. Ekkor f-nek minden a (α, β) pontban létezik a jobb oldali, illetve a bal oldali határértéke is és lim f = sup{ f(x) x D f, x > a }, a+0 lim f = inf{ f(x) x D f, x < a }. a 0 Függvények folytonossága 112. Deniálja egy f R R függvény pontbeli folytonosságát. Válasz: Egy R R az pontban folytonos, ha > 0 > 0, < : ( ) ( ) <. 113. Mi a kapcsolat a pontbeli folytonosság és a határérték között? Válasz: Ha, akkor ( ) lim és lim = ( ). 114. Milyen tételt ismer hatványsor összegfüggvényének a folytonosságáról? Válasz: Hatványsor összegfüggvénye folytonos a konvergenciahalmaz belsejében (a konvergenciatartományon). 115. Hogyan szól a folytonosságra vonatkozó átviteli elv? Válasz: ( ) ( ):N,lim = :lim ( ) =lim ( ). 116. Fogalmazza meg a hányadosfüggvény folytonosságára vonatkozó tételt. Válasz:, ( ), ekkor ha ( ) 0 akkor ( ). 117. Milyen tételt ismer az összetett függvény pontbeli folytonosságáról? Válasz: ( ), ( ) ( ). 118. Deniálja a megszüntethet szakadási hely fogalmát. Válasz: f-nek megszüntethető szakadási helye van az -ben, ha lim és ez véges, és lim ( ). 14

119. Deniálja az els fajú szakadási hely fogalmát. Válasz: f-nek elsőfajú szakadási helye van -ben, ha lim, lim és ezek végesek, de lim lim 120. Mit tud mondani monoton függvény szakadási helyeir l? Válasz: Ha :(, ) R monoton. Ekkor f-nek legfeljebb elsőfajú szakadásai lehetnek, azaz f vagy folytonos egy pontban, vagy elsőfajú szakadása van. 121. Mit tud mondani a korlátos és zárt [a, b] R intervallumon folytonos függvény értékkészletér l? Válasz: A korlátos és zárt [a, b] R intervallumon folytonos függvény értékkészlete is korlátos. 122. Hogyan szól a Weierstrass-tétel? Válasz: Ha : [, ] R folytonos akkor f-nek létezik abszolút minimuma és abszolút maximuma. 123. Mit mond ki a Bolzano-tétel? Válasz: Tegyük fel, hogy : [, ] R folytonos függvény. Ha ( ) ( )<0, akkor van olyan (, ), hogy ( ) = 0. 15