Páros összehasonlítás mátrixokból számolt súlyvektorok Pareto-optimalitása Bozóki Sándor 1,2, Fülöp János 1,3 1 MTA SZTAKI; 2 Budapesti Corvinus Egyetem 3 Óbudai Egyetem XXXI. Magyar Operációkutatási Konferencia Cegléd, 2015. június 11. Inefficiency p. 1/38
Páros összehasonlítások Llull (1280-as és 1290-es évek) Condorcet (1785), Borda (1781) Fechner, Weber (1860) Thorndike (1920), Thurstone (1927) Saaty Analytic Hierarchy Process (AHP, 1980) Inefficiency p. 2/38
Páros összehasonlítás mátrix Adott n objektum w 1,w 2,w 3,...,w n súlyokkal. Definiáljuk a páros összehasonlítás mátrixot: w 1 1 w 1 w w 2 w 3... 1 w n w 2 w w 1 1 2 w w 3... 2 w n w 3 w 3 w w 1 w 2 1... 3 w n,....... w n w 3... 1 w n w 1 w n w 2 ahol minden i, j, k indexre w ij > 0, w ij = 1 w ji, w ij = w ik w kj. Inefficiency p. 3/38
1 a 12 a 13... a 1n a 21 1 a 23... a 2n A = a 31 a 32 1... a 3n....... a n1 a n2 a n3... 1 ahol i,j = 1,...,n re, a ij > 0, a ij = 1 a ji. A feladat: w = (w 1,w 2,...,w n ) R n + súlyvektor meghatározása. Inefficiency p. 4/38
Sajátvektor módszer Aw = λ max w n w i = 1 i=1 (w i > 0, i = 1, 2,...,n) Inefficiency p. 5/38
Legkisebb négyzetek módszere min n i=1 n j=1 n w i = 1 i=1 ( a ij w i w j ) 2 w i > 0, i = 1, 2,...,n Inefficiency p. 6/38
Logaritmikus legkisebb négyzetek módszere min n i=1 n j=1 n w i = 1 i=1 [ log a ij log ( wi w j )] 2 w i > 0, i = 1, 2,...,n Inefficiency p. 7/38
Hagyományos és új kutatási irányok, alkalmazások Súlyozási módszerek Inkonzisztencia Nem teljesen kitöltött mátrixok Alkalmazások Pareto-optimalitás Inefficiency p. 8/38
Pareto-optimalitás A többcélú optimalizálási feladatunk: min x i > 0 i ( a ij x i x j ) i j Inefficiency p. 9/38
Pareto-optimalitás Legyen A = [a ij ] i,j=1,...,n egy n n-es páros összehasonlítás mátrix és w = (w 1,w 2,...,w n ) egy pozitív súlyvektor. Definíció: a w súlyvektor Pareto-optimális, ha nem létezik olyan w = (w 1,w 2,...,w n) súlyvektor, hogy a ij w i w j a ij w i w j minden 1 i,j n, esetén, és a kl w k < a kl w k valamely 1 k,l n esetén. w l w l Inefficiency p. 10/38
Egy Pareto-optimális súlyvektort tehát nem lehet dominálni, azaz megjavítani úgy, hogy legalább egy pozícióban jobban közelítse a döntéshozó által megadott értéket, miközben egyetlen más pozícióban sem keletkezik rosszabb közelítés. Inefficiency p. 11/38
Lokális Pareto-optimalitás Definíció: a w súlyvektor lokálisan Pareto-optimális, ha van olyan V (w) környezet, amelyben egyetlen w = (w 1,w 2,...,w n) súlyvektorra sem teljesül, hogy a ij w i w j a ij w i w j minden 1 i,j n, esetén, és a kl w k < a kl w k valamely 1 k,l n esetén. w l w l Inefficiency p. 12/38
Belső Pareto-optimalitás Definíció: a w súlyvektor belső Pareto-optimális, ha nem létezik olyan w = (w 1,w 2,...,w n) súlyvektor, hogy a ij w i w j = a ij w i w j a ij w i w j = a ij w i w j a kl w k w l = w k w l a kl w k w l = w k w l w i w j w i w j < w k w l > w k w l } minden 1 i,j n, esetén, és valamely 1 k,l n esetén. Inefficiency p. 13/38
Inefficiency p. 14/38
Pareto-optimalitás A definíciókból következik, hogy Pareto-optimalitás = lokális Pareto-optimalitás, Pareto-optimalitás = belső Pareto-optimalitás, Inefficiency p. 15/38
Pareto-optimalitás A definíciókból következik, hogy Pareto-optimalitás = lokális Pareto-optimalitás, Pareto-optimalitás = belső Pareto-optimalitás, valójában azonban: Tétel: A Pareto-optimalitás, a lokális Pareto-optimalitás és a belső Pareto-optimalitás ekvivalensek. Inefficiency p. 16/38
Pareto-optimalitás Blanquero, Carrizosa és Conde (2006) példája: A = 1 2 6 2 1/2 1 4 3, w EM = 1/6 1/4 1 1/2 1/2 1/3 2 1 6.01438057 4.26049429, w = 1 2.0712416 6.01438057 4.26049429. 1.003 2.0712416 i a i3 x EM i3 x i3 a i3 x EM i3 a i3 x i3 1 6 6.01438057 5.99639139 0.01438057 0.00360859 2 4 4.26049429 4.24775103 0.26049429 0.24775103 3 1 1 1 0 0 4 2 2.07124160 2.06504646 0.07124160 0.06504646 Inefficiency p. 17/38
A = 1 4 1/9 9 1/9 1/8 1/4 1 1/8 1/4 1/7 1/5 9 8 1 8 4 1/2 1/9 4 1/8 1 7 1/3 9 7 1/4 1/7 1 1/5 8 5 2 3 5 1, w EM = 0.1281 0.0180 0.3028, w = 0.1237 0.1440 0.2835 0.1281 0.0206 0.3471. 0.1237 0.1440 0.3249 A közelítések: X EM X 1 7.13 0.42 1.03 0.88 0.45 0.14 1 0.05 0.14 0.12 0.06 2.36 16.86 1 2.44 2.10 1.06, 0.96 6.88 0.40 1 0.85 0.43 1.12 8.02 0.47 1.16 1 0.50 2.21 15.78 0.93 2.29 1.96 1 1 6.22 0.36 1.03 0.88 0.39 0.16 1 0.05 0.16 0.14 0.06 2.71 16.86 1 2.80 2.40 1.06 0.96 6.01 0.35 1 0.85 0.38 1.12 7.00 0.41 1.16 1 0.44 2.53 15.78 0.93 2.62 2.25 1 Inefficiency p. 18/38
A(p,q) = 1 p p p... p p 1/p 1 q 1... 1 1/q 1/p 1/q 1 q... 1 1................ 1/p 1 1 1... 1 q 1/p q 1 1... 1/q 1, Állítás: Legyen p,q > 0,q 1 tetszőleges. Ekkor w EM nem Pareto-optimális. Ráadásul a fenti mátrix CR-inkonzisztenciája tetszőlegesen alacsony lehet, ha q elég közel van 1-hez. Inefficiency p. 19/38
A sajátvektor mint optimalizálási feladatok megoldása: Fichtner (1984) metrikája Perron és Frobenius min max és max min feladatai Inefficiency p. 20/38
Fichtner (1984) metrikája δ(a,b) def = n i=1 ( w EM(A) i ) w EM(B) 2 λ max (A) λ max (B) i + 2(n 1) +χ(a,b) λ max(a) + λ max (B) 2n, 2(n 1) + ahol χ(a,b) = { 0 ha A = B, 1 ha A B. Inefficiency p. 21/38
Tétel (Perron, Frobenius). Jelölje λ max az A n n-es páros összehasonlítás mátrix legnagyobb sajátértékét. Ekkor max w R n + min 1 i n n j=1 w i a ij w j λ max min 1 i n max w R n + n j=1 w i a ij w j ahol w = (w 1,w 2,...,w n ). Továbbá mindkét egyenlőtlenség pontosan akkor teljesül egyenlőséggel, ha w = κw EM, ahol κ tetszőleges pozitív szám. Inefficiency p. 22/38
Pareto-optimalitás Jelölje ε ij := min x i > 0 i w i w j a ij ( a ij x i Állítás: w akkor és csak akkor Pareto-optimális, ha bármely k,l = 1, 2,...,n, k l indexpárra w optimális megoldása az alábbi törtprogramozási feladatnak: inf x k a kl x l x i a ij x j ε ij minden (i,j) (k,l)-re x 1,x 2,...,x n > 0. x j ) i j Inefficiency p. 23/38
x i a ij x j ε ij x i a ij x j ε ij x j x i a ij x j + t ij ε ij x j a ij x j x i + t ij ε ij x j t ij 0 Inefficiency p. 24/38
ε ij := w i a ij w j Legyenek a β ij > 0 (i,j = 1, 2,...,n) szorzók tetszőlegesek. n n max β ij t ij i=1 j=1 x i (a ij + ε ij )x j + t ij 0, i,j = 1, 2,...,n x i + (a ij ε ij )x j + t ij 0, i,j = 1, 2,...,n x 1 = 1, x i 0, i = 2, 3,...,n t ij 0, i,j = 1, 2,...,n t ii = 0, i = 1, 2,...,n (LP) Változók: x i, i = 1, 2,...,n, és t ij, i,j = 1, 2,...,n. Inefficiency p. 25/38
ε ij := w i a ij w j n n max β ij t ij i=1 j=1 x i (a ij + ε ij )x j + t ij 0, i,j = 1, 2,...,n x i + (a ij ε ij )x j + t ij 0, i,j = 1, 2,...,n x 1 = 1, x i 0, i = 2, 3,...,n t ij 0, i,j = 1, 2,...,n t ii = 0, i = 1, 2,...,n (LP) Tétel: A fenti LP optimumértéke nemnegatív és véges. Továbbá w akkor és csak akkor Pareto-optimális, ha a fenti LP optimumértéke 0. Inefficiency p. 26/38
Az LP feladat megoldása, azaz w egy javítása még nem feltétlenül Pareto-optimális. Inefficiency p. 27/38
A logaritmizált változat min z R n ( z i z j log a ij ) i j Jelölje q i := log w i (i = 1, 2,...,n), µ ij := q i q j log a ij (i,j = 1, 2,...,n) és legyenek a ϑ ij > 0, 1 i < j n szorzók tetszőlegesek. n n max ϑ ij s ij i=1 j=i+1 z i z j log a ij µ ij + s ij 0, 1 i < j n z j z i + log a ij µ ij + s ij 0, 1 i < j n (loglp) z 1 = 0 s ij 0, 1 i < j n Változók: z i, i = 1, 2,...,n, s ij, 1 i < j n. Inefficiency p. 28/38
Tétel: Az alábbi állítások ekvivalensek: (1) w Pareto-optimális a ( min a ij x ) i x x i > 0 i j többcélú optimalizálási feladatban; (2) LP optimumértéke 0; (3) q = logw Pareto-optimális a i j min z R n ( z i z j log a ij ) i j többcélú optimalizálási feladatban; (4) loglp optimumértéke 0. Inefficiency p. 29/38
Tegyük fel, hogy w nem Pareto-optimális, és oldjuk meg a loglp feladatot, az optimális megoldást jelölje z. Meglepő módon w := expz, nem feltétlenül dominálja w-t. A következő előadásban a Pareto-optimalitás egy további karakterizációja jelenik meg. Inefficiency p. 30/38
A sajátvektor Pareto-optimalitása A sajátvektor biztosan nem Pareto-optimális: a korábban említett, tetszőlegesen alacsony CR-inkonzisztenciájú mátrixokra: 1 p p p... p p 1/p 1 q 1... 1 1/q 1/p 1/q 1 q... 1 1................ 1/p 1 1 1... 1 q 1/p q 1 1... 1/q 1 Inefficiency p. 31/38
A sajátvektor Pareto-optimalitása A sajátvektor biztosan Pareto-optimális, ha a páros összehasonlítás mátrix konzisztens; 3 3-as, hiszen ekkor sajátvektor megegyezik a logaritmikus legkisebb négyzetek módszerével kapott mértani középpel; egy vagy két elem (és reciprokaik) megváltoztatásával konzisztenssé tehető ez is a következő előadás témája Inefficiency p. 32/38
A sajátvektor Pareto-optimalitása Nyitott kérdés: a sajátvektor Pareto-optimalitásának szükséges és elégséges feltétele. Inefficiency p. 33/38
Hivatkozások 1/4 Saaty, T.L. (1977): A scaling method for priorities in hierarchical structures. Journal of Mathematical Psychology, 15(3):234 281. Saaty, T.L. (1980): The Analytic Hierarchy Process, McGraw-Hill, New York. Fichtner, J. (1984): Some thoughts about the Mathematics of the Analytic Hierarchy Process, Report 8403, Universität der Bundeswehr München, Fakultät für Informatik, Institut für Angewandte Systemforschung und Operations Research, Werner-Heisenberg-Weg 39, D-8014 Neubiberg, F.R.G. Inefficiency p. 34/38
Hivatkozások 2/4 Blanquero, R., Carrizosa, E., Conde, E. (2006): Inferring efficient weights from pairwise comparison matrices, Mathematical Methods of Operations Research 64(2):271 284. Conde, E., Pérez, M.d.l.P.R. (2010): A linear optimization problem to derive relative weights using an interval judgement matrix, European Journal of Operational Research, 201(2):537 544. Inefficiency p. 35/38
Hivatkozások 3/4 Bozóki, S. (2014): Inefficient weights from pairwise comparison matrices with arbitrarily small inconsistency, Optimization, 63(12):1893 1901. Ábele-Nagy, K., Bozóki, S. (2015): Efficiency analysis of simple perturbed pairwise comparison matrices, bírálat alatt. Ábele-Nagy, K., Bozóki, S., Rebák, Ö. (2015): Efficiency analysis of double perturbed pairwise comparison matrices, benyújtás előtt. Inefficiency p. 36/38
Hivatkozások 4/4 Bozóki, S., Fülöp, J. (2015): Efficient weight vectors from pairwise comparison matrices, benyújtás előtt. Inefficiency p. 37/38
Köszönöm a figyelmet. bozoki.sandor@sztaki.mta.hu http://www.sztaki.mta.hu/ bozoki Inefficiency p. 38/38