PÉCSI TUDOMÁNYEGYETEM TERMÉSZETTUDOMÁNYI KAR FIZIKAI INTÉZET Méréstai összefoglaló (köryezettudomáyi szakos hallgatók laboratóriumi mérési gyakorlataihoz) Összeállította: Dr. Német Béla Pécs 2008 1
Bevezetés Ez rövid méréstai összefoglaló, amely köryezettudomáyi szakos hallgatók laboratóriumi mérési gyakorlatait tartalmazó segédlethez csatlakozik. Tartalmazza a legalapvetőbb méréstai fogalmakat, szó va bee az egyes meyiség mérési eredméyeiek kiértékeléséről, (a hibaszámításról), két meyiség közötti kvatitatív kapcsolat felismeréséek módszeréről (a paraméterbecslésről). Pécs, 2008. jauár 20. A szerző 1. Alapvető fogalmak a mérésről 1.1. Méréstai alapfogalmak A mérés (a mérési folyamat): összehasolítás. A kísérlet lefolyásáak egy része. A mérés sorá a vizsgált test, a lehetőségekhez képest jól defiiált köryezetbe va. A mérés sorá mérőeszközt haszáluk, amikor is egy mérési eljárással meghatározzuk a vizsgált test, eseméy jellemző fizikai meyiségéek X, adott mértékegységbe [X], a mérőszámát {X}, a mérési körülméyek által meghatározott értékes jegyre. Ezt az eredméyt a következőképpe írjuk fel általáosa: Tehát a mérési folyamat három fő eleme: -a méredő objektum, -a mérési eljárás, -a mérési eredméy. X={X} [X] (1.1) A mérési eljárás olya feldolgozás, amely sorá a jeleket a mérés célkitűzéséek megfelelő alakra hozzuk. Lépései: -becslési eljárás, -dötési eljárás. Egyszerű mérési eljárások: -etaloillesztés (skalár jellegű meyiségekél), -kompezációs módszer (Pl. méredő erőt kompezáljuk a diamométer feszültségével, méredő áramot kompezáljuk egy másik áramkör áramával), -helyettesítési módszer. 2
Az etalo valamely mérhető meyiség mértékegységéek megadására, megőrzésére, vagy reprodukálására szolgáló eszköz, amely mértékegységéek más mérőeszközre való továbbszármaztatására szolgál. A mérőeszköz a mérési eljárást realizálja, a méredő objektumból származó jeleket átalakítja, tartalmazza a méréstől elválaszthatatla "skálaiformációt". A mérőeszközök kategóriái: -mérőműszer, -mérőkészülék, -mérőredszer. A mérőműszer olya mérőeszköz, ahol elmarad az iformáció feldolgozási fukció. A mérőkészülék olya mérőeszköz, ahol agyjából egyforma a mérőhálózat és az iformáció feldolgozó boyolultsága. A mérőredszerél jeletős túlsúlyba kerülek az iformáció feldolgozási fukciók. 1.2. A mérőműszer legfotosabb jellemzői A mérőműszer a méredő meyiséget közvetleül mérhető jellé (pl. hosszúsággá, szögelfordulássá, számokká) alakítja. Az átalakítást a műszer mutatójáak a kitérése, újabba a számkijelző számaiak értékei (α), és a méredő meyiség () között a skálakarakterisztika függvéy, α=f() írja le. A műszer érzékeysége (E) a kimeő jel megváltozásáak [ α] ás a bemeő jel megváltozásáak [ ] a háyadosa, ill. a skálakarakterisztika függvéy [α =f()] deriváltja: Az érzékeység reciproka a műszerálladó: E C d = α (1.2) d = 1 (1.3) E Megjegyzések: Mivel az átlag ember szabad szemmel egy mutató mozgását elfogadhatóa kb. 1 mm-él em sűrűbb beosztású skála előtt tudja leolvasi, így a műszerálladó számértéke megadja a méredő fizikai meyiség azo legkisebb értékét, amely "léptékbe" tuduk külöbséget tei a két mért érték között. Szokták a műszerálladót redukciós faktorak, vagy felbotóképességek is evezi. Eszerit felbotóképesség az a legkisebb jelkülöbség, amit még megkülöböztetük (így általába 1 skr, vagy fél skr.). 3
A mérőműszer mérési tartomáya megadja a jelátalakítási képességéek a mértékét, megadja a legkisebb és a legagyobb jelek a agyságát, amely jelek átvitelére a műszer még képes. Megjegyzések: Az alsó méréshatárt pl. úgy lehet megadi, hogy a relatív hiba még e legye agyobb, mit 10%. A felső méréshatárt pedig úgy célszerű megválasztai, ahol a mérés sorá a műszert ért terhelés még semmilye maradadó károsodást em okoz. Egy műszer aál jobb, miél agyobb a mérési tartomáya és miél érzékeyebb. A mérőműszer potossága (aak egy mérési tartomáyá) az abszolút hibájáak ( = Xk Xm ) és a méredő meyiség egy u. kovecioális értékéek (Xk) a háyadosa: C hrel (%) = (1.4) felsõ k Megjegyzés: Az abszolút hiba közelíthető a felső méréshatár közelébe a készülékálladóval. Pl.: egy diamométer potossága=1%, ha a diamométer mérési tartomáyá 100 mm-t yúlik meg, 1 mm-es a beosztás és 1 mm-es léptékél fiomabb leolvasás em végezhető. k 1.3. A mérési eredméyeket befolyásoló téyezők A mérési hiba az ideális mérési eredméytől (a valódi értéktől - M) vett eltérés mértéke. A hibák származhatak: -a megfigyelés (mérés) körülméyeiből, -a mérőeszközből, -a mérési folyamatot befolyásoló külső zavarokból. A mérési hibák típusai: -abszolút hiba, -relatív hiba, -redszeres hiba, -véletle hiba. Az abszolút hiba ( ) a méredő meyiség valódi értékéek (M) és a méréssel meghatározott (várható) értékek (X) a külöbsége: =M X (1.5) A relatív hiba ( ) az abszolút hiba és a méredő meyiség várható értékéek a háyadosa 100-zal megszorozva, százalékos alakba megadva: = 100% (1.6) 4
Megjegyzés: Elektromechaikus műszerél (de ez voatkoztatható hosszúságmérő eszközökre, diamométerekre is) általába a végkitérésre voatkoztatott relatív hibát adják meg, amely egybe a műszer potossági osztálya. A redszeres (szisztematikus) hiba olya ok következméye, amely redszerese, meghatározott iráyba fejti ki hatását. Megjegyzés: A redszeres hibák okai elvileg felismerhetők, velük megfelelőe korrigálható a mérési eredméy, vagy megszűtethető a hibaforrás. A véletle hiba olya ok(ok) következméye, amely(ek) redszerteleül, változó iráyba fejti(k) ki hatásukat. Megjegyzések: Nem lehet a véletle hibát előre figyelembe vei. Leírásával a hibaszámítás foglalkozik, a számítás végeredméye a hibát, mit kofidecia itervallumot adja meg. Egy mérésből két ismeretle: és M egyszerre em határozható meg. Ezek becslését többszöri mérés adatából a kofidecia számítás (valószíűség számítás) szerit kaphatjuk meg. A mérés potosságát és szabatosságát a következőképpe lehet értelmezi: A mérés potossága a mérési hiba (szisztematikus+véletle) és a mért meyiség háyadosával va defiiálva. A mérés szabatossága a mért értékek egy sorozatáak átlaga, valamit egy kovecioális érték közti külöbség és az átlag háyadosával va defiiálva. Megjegyzés: Egy mérőeszköz, ill. egy mérési eljárás szolgáltathat agyo szabatos eredméyt, de em potosat, azaz a mérés elég kis szórással végezhető el (a véletle hibákak kicsi a szórásuk), de em potosa (azaz valamilye szisztematikus hiba az átlag értéket jeletőse eltéríti a kovecioális értéktől. 1.4. A mérési adatok kiértékeléséről. A hibaszámítás alapfogalmai. A fizikai meyiség valódi értékéek (M), valamit a mérés abszolút hibájáak ( ) a mérési eredméyekből, számítással törtéő megállapítása a valószíűség számítás szerit úgy lehetséges, hogy megadjuk a méréseredméyek valószíűségi eloszlását (ilye eloszlás sokféle lehet: ormális-, biomiális-, Poisso-, epoeciális-, stb...), miközbe a mért adatot valószíűségi váltózóak tekitjük. A fizikai meyiségek mérés eredméyeiek túlyomó többsége ormális eloszlást mutat, amelyet az u. Gauss-függvéy ír le: 1 ( µ ) 2 f ( ) = ep( ) σ 2π 2σ 2 (1.7) ahol: σ- az ifleiós pot helye - szórás, µ- a valószíűségi változó várható értéke. 5
Megjegyzések: Az f() függvéybe szereplő paraméterek µ és σ szolgálak az M és a becslésére (számítására). A µ és a σ értékeket kétféleképpe kaphatjuk meg: - vagy agyo agy számú mérés eredméyét ábrázoljuk, és ezekre Gaussfüggvéyt illesztük, - vagy további becsléssel élük: A várható érték számítása a következő itegrállal törtéhet: amelyek legjobb becslése a számtai közép (): µ = f ( ) d (1.8), i = i = 1 (1.9) ahol - a mérések száma, i - az i-dik mérés értéke. Tétel: A szórás, azaz az egyes észlelések potosságáak becslése a stadard deviációval, az u. korrigált tapasztalati szórással törtéik: i s i ( ) 2 = = 1 1 (1.10) Tétel: A mérések középértékéek, a várható értékek a potosságát a stadard hiba, (az átlagérték stadard deviációja) adja: 2 i ) i s s = = 1 ( = (1.11) ( 1) Megállapodás: A mérési eredméyek megadási formája: Egy fizikai meyiség várható értékéek közelítését akkor adjuk meg jól (kerekítéssel), ha ayi ( darab) értékes (helyes) jegyet íruk le, hogy a mérés stadard hibája e haladja meg az -dik (tehát utolsó) jegy helyi értékéek a felét. Eek általáos alakja a következő: M ± s = (1.12). 6
2. A vizsgált függvéy kapcsolat "felismeréséek" egyszerű esetei. Két meyiség között (y és között), matematikailag legegyszerűbb a lieáris függvéykapcsolat. Az egyees egyeletéek általáos alakja: y m+ b = (2.1), ahol m - az egyees meredeksége, b - az =0 érték eseté az ordiáta és az egyees metszéspotja. Megjegyzések: Gyakra a függvéy kapcsolatok, ha em is lieárisak, függvéy traszformációval liearizálhatók, (most csak ilye esetekkel foglalkozuk). Egyees egyeletére vezető egyszerű függvéy traszformáció hatváykitevős és epoeciális függvéyek esetébe az, ha midkét oldal logaritmusát képezzük. Ezzel elérjük, hogy a kitevőbe szereplő kostasok (, B) az így "létrejött" egyees meredekségekét jeleek meg. A tegelymetszetekből (lk, la) pedig a függvéykapcsolat együtthatói olvashatók le: hatváykitevős alak: epoeciális alak: y = k l y l + l k B = (2.2) y = Ae l y B + l A = (2.3). Megjegyzések: Ha a méréseredméyeket (i, yi), mit potokat ábrázoljuk milliméterpapíro és az y=f() között a kapcsolat lieárisak "látszik", a "kiértékelés" legegyszerűbb esetbe törtéhet csak voalzóval is ("szemmértékkel" húzuk egyeest). A paraméterbecslésről általába (olvasmáy) A mérési eredméyekre illeszthető "legjobb" egyees "kiválasztásáak" matematikai módszere a lieáris regresszió számítás, a paraméterbecslés. Ezzel kapcsolatos fogalmak és legegyszerűbb eljárások a következők: Paraméterbecslés az az eljárás, amellyel a feltételezett y=f(,p) függvéyt a p paraméterek megfelelő választásával a mért y adatokra illesztjük. Célfüggvéy (Qp), amely a becslés következtébe létrejövő eltérés mértékét adja meg. Megjegyzés: Leggyakrabba a célfüggvéyt az u. legkisebb égyzetek (LKN) módszerével adják meg a következőképpe: ahol Q p = [ y i f ( i, p)] 2 w i= 1 i wi az i-edik mérés súlyát jeleti. (2.4) 7
Paraméterbecslés lieáris regresszióval. A legkisebb égyzetek módszere. (olvasmáy) Lieáris regresszió az az eljárás, ha az f(,p) a paraméterek lieáris függvéye. Ebbe az esetbe meghatározadó a mérési adatokból aak az egyeesek az iráytagese (m) és tegelymetszete (b), amely a Gauss-féle LKN módszerrel számolható ki. Ekkor a célfüggvéy alakja a következő, melyek miimum helye adja a keresett paramétereket: 2 2 Q = [ y f (, m, b)] = ( y m b) = mi. p i i i i i = 1 i = 1 (2.5) A keresedő paraméterek, m és b (mit változók) úgy számolhatók ki, hogy a Qp függvéy eze "változók" szeriti parciális deriváltjait egyelővé kell tei zérussal. Eek a számolásak a végeredméyei a következők: 1 b = yi m i = y m [ ] (2.6) i = 1 i = 1 i yi i yi i = 1 i = 1 i = 1 m = 2 2 ( ) i = 1 i i = 1 i = y y 2 2 (2.7). Tartalomjegyzék 1. Alapvető fogalmak a mérésről 2 1.1. Méréstai alapfogalmak 2 1.2. A mérőműszer legfotosabb jellemzői 3 1.3. A mérési eredméyeket befolyásoló téyezők 4 1.4. A mérési adatok kiértékeléséről. A hibaszámítás alapfogalmai 5 2. A vizsgált függvéy kapcsolat "felismeréséek" egyszerű esetei 7 Pécs, 2008. jauár 20. Dr. Német Béla 8