Függvények július 13. Határozza meg a következ határértékeket! 1. Feladat: x 0 7x 15 x ) = lim. x 7 x 15 x ) = (2 + 0) = lim.

Hasonló dokumentumok
Függvények december 6. Határozza meg a következő határértékeket! 1. Feladat: x 0 7x 15 x ) = lim. Megoldás: lim. 2. Feladat: lim.

Függvények július 13. f(x) = 1 x+x 2 f() = 1 ()+() 2 f(f(x)) = 1 (1 x+x 2 )+(1 x+x 2 ) 2 Rendezés után kapjuk, hogy:

Függvények határértéke, folytonossága

Határozott integrál és alkalmazásai

: s s t 2 s t. m m m. e f e f. a a ab a b c. a c b ac. 5. Végezzük el a kijelölt m veleteket a változók lehetséges értékei mellett!

Taylor-polinomok. 1. Alapfeladatok április Feladat: Írjuk fel az f(x) = e 2x függvény másodfokú Maclaurinpolinomját!

Trigonometria Megoldások. 1) Igazolja, hogy ha egy háromszög szögeire érvényes az alábbi összefüggés: sin : sin = cos + : cos +, ( ) ( )

Példatár Lineáris algebra és többváltozós függvények

L'Hospital-szabály március 15. ln(x 2) x 2. ln(x 2) = ln(3 2) = ln 1 = 0. A nevez határértéke: lim. (x 2 9) = = 0.

Abszolútértékes és gyökös kifejezések Megoldások

MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK MEGOLDÁSAI EMELT SZINT Exponenciális és Logaritmikus kifejezések

a) A logaritmus értelmezése alapján: x 8 0 ( x 2 2 vagy x 2 2) (1 pont) Egy szorzat értéke pontosan akkor 0, ha valamelyik szorzótényező 0.

MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK MEGOLDÁSAI EMELT SZINT Abszolútértékes és Gyökös kifejezések

First Prev Next Last Go Back Full Screen Close Quit. (L Hospital szabály, Taylor-polinom,

Exponenciális és logaritmikus kifejezések Megoldások

IV. INTEGRÁLSZÁMÍTÁS Megoldások november

Tartalomjegyzék. Tartalomjegyzék Valós változós valós értékű függvények... 2

Sorozatok, sorozatok konvergenciája

MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK MEGOLDÁSAI EMELT SZINT Exponenciális és Logaritmikus kifejezések

MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK MEGOLDÁSAI EMELT SZINT Trigonometria

Egyenletek, egyenlőtlenségek VII.

Brósch Zoltán (Debreceni Egyetem Kossuth Lajos Gyakorló Gimnáziuma) Megoldások

Brósch Zoltán (Debreceni Egyetem Kossuth Lajos Gyakorló Gimnáziuma) Megoldások

Egyenletek, egyenlőtlenségek V.

konvergensek-e. Amennyiben igen, számítsa ki határértéküket!

Gyakorló feladatok az II. konzultáció anyagához

A dierenciálszámítás alapjai és az érint

1. Ábrázolja az f(x)= x-4 függvényt a [ 2;10 ] intervallumon! (2 pont) 2. Írja fel az alábbi lineáris függvény grafikonjának egyenletét!

Függvény határérték összefoglalás

Figyelem, próbálja önállóan megoldani, csak ellenőrzésre használja a következő oldalak megoldásait!

GAZDASÁGMATEMATIKA KÖZÉPHALADÓ SZINTEN

Egyenletek, egyenletrendszerek, egyenlőtlenségek Megoldások

Feladatok megoldásokkal a 9. gyakorlathoz (Newton-Leibniz formula, közelítő integrálás, az integrálszámítás alkalmazásai 1.

First Prev Next Last Go Back Full Screen Close Quit

MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK MEGOLDÁSAI KÖZÉPSZINT Abszolútértékes és gyökös kifejezések

2014. november 5-7. Dr. Vincze Szilvia

egyenlőtlenségnek kell teljesülnie.

A L Hospital-szabály, elaszticitás, monotonitás, konvexitás

2. Algebrai átalakítások

Függvények határértéke és folytonosság

Feladatok a Diffrenciálegyenletek IV témakörhöz. 1. Határozzuk meg következő differenciálegyenletek általános megoldását a próba függvény módszerrel.

Függvény differenciálás összefoglalás

Magasabbfokú egyenletek

1. Fuggveny ertekek. a) f (x) = 3x 3 2x 2 + x 15 x = 5, 10, 5 B I. x = arcsin(x) ha 1 x 0 x = 1, arctg(x) ha 0 < x < + a) f (x) = 4 x 2 x+log

[f(x) = x] (d) B f(x) = x 2 ; g(x) =?; g(f(x)) = x 1 + x 4 [

2) Írja fel az alábbi lineáris függvény grafikonjának egyenletét! (3pont)

Improprius integrálás

Általános és Középiskolai alapismeretek

A 2014/2015. tanévi Országos Középiskolai Tanulmányi Verseny második forduló MATEMATIKA I. KATEGÓRIA ( SZAKKÖZÉPISKOLA ) Javítási-értékelési útmutató

1. Folytonosság. 1. (A) Igaz-e, hogy ha D(f) = R, f folytonos és periodikus, akkor f korlátos és van maximuma és minimuma?

Második zárthelyi dolgozat megoldásai biomatematikából * A verzió

Függvényhatárérték és folytonosság

Az f függvénynek van határértéke az x = 2 pontban és ez a határérték 3-mal egyenl½o lim f(x) = 3.

Paraméteres és összetett egyenlôtlenségek

Szögfüggvények értékei megoldás

6. Függvények. 1. Az alábbi függvények közül melyik szigorúan monoton növekvő a 0;1 intervallumban?

Hatványsorok, Fourier sorok

8. Egyenletek, egyenlőtlenségek, egyenletrendszerek II.

= x2. 3x + 4 ln x + C. 2. dx = x x2 + 25x. dx = x ln 1 + x. 3 a2 x +a 3 arctg x. 3)101 + C (2 + 3x 2 ) + C. 2. 8x C.

Függvények vizsgálata

Határozatlan integrál

Egyenletek, egyenlőtlenségek X.

Matematika A2 vizsga mgeoldása június 4.

Komplex számok szeptember Feladat: Legyen z 1 = 2 3i és z 2 = 4i 1. Határozza meg az alábbi kifejezés értékét!

1. Analizis (A1) gyakorló feladatok megoldása

minden x D esetén, akkor x 0 -at a függvény maximumhelyének mondjuk, f(x 0 )-at pedig az (abszolút) maximumértékének.

Improprius integrálás

8. feladatsor: Többváltozós függvények határértéke (megoldás)

Komplex számok. A komplex számok algebrai alakja

Az integrálszámítás néhány alkalmazása

Kalkulus I. gyakorlat Fizika BSc I/1.

KOVÁCS BÉLA, MATEMATIKA I.

Feladatok matematikából 3. rész

Függvények Megoldások

25 i, = i, z 1. (x y) + 2i xy 6.1

ALGEBRAI KIFEJEZÉSEK, EGYENLETEK

9. Trigonometria. I. Nulladik ZH-ban láttuk: 1. Tegye nagyság szerint növekvő sorrendbe az alábbi értékeket! Megoldás:

FÜGGVÉNYTANI ALAPOK A) ÉRTELMEZÉSI TARTOMÁNY

Brósch Zoltán (Debreceni Egyetem Kossuth Lajos Gyakorló Gimnáziuma) Megoldások. alapfüggvény (ábrán: fekete)

3. Lineáris differenciálegyenletek

Brósch Zoltán (Debreceni Egyetem Kossuth Lajos Gyakorló Gimnáziuma) Megoldások

352 Nevezetes egyenlôtlenségek. , az átfogó hossza 81 cm

Trigonometria Megoldások. 1) Oldja meg a következő egyenletet a valós számok halmazán! (12 pont) Megoldás:

Az Országos Középiskolai Tanulmányi Verseny tanévi második fordulójának feladatmegoldásai. x 2 sin x cos (2x) < 1 x.

Megoldott feladatok november 30. n+3 szigorúan monoton csökken, 5. n+3. lim a n = lim. n+3 = 2n+3 n+4 2n+1

2010. október 12. Dr. Vincze Szilvia

I. Egyenlet fogalma, algebrai megoldása

Matematika 11. osztály

Nagy András. Feladatok a logaritmus témaköréhez 11. osztály 2010.

Megoldások. Brósch Zoltán (Debreceni Egyetem Kossuth Lajos Gyakorló Gimnáziuma) 1. Határozd meg a következő kifejezésekben a c értékét!

Feladatok megoldásokkal a harmadik gyakorlathoz (érintési paraméterek, L Hospital szabály, elaszticitás) y = 1 + 2(x 1). y = 2x 1.

Egészrészes feladatok

Elemi algebrai eszközökkel megoldható versenyfeladatok Ábrahám Gábor, Szeged

462 Trigonometrikus egyenetek II. rész

Feladatok megoldásokkal a második gyakorlathoz (függvények deriváltja)

Matematika szintfelmérő dolgozat a 2018 nyarán felvettek részére augusztus

Másodfokú egyenletek, egyenlőtlenségek

Gyakorlo feladatok a szobeli vizsgahoz

Bevezetés. 1. fejezet. Algebrai feladatok. Feladatok

GAZDASÁGMATEMATIKA KÖZÉPHALADÓ SZINTEN

Átírás:

Függvények 205. július 3. Határozza meg a következ határértékeket!. Feladat: 2. Feladat: 3. Feladat: 4. Feladat: (2 + 7 5 ) (2 + 7 5 ) (2 + 0 ) (2 + 7 5 ) (2 + 7 5 ) (2 + 0) (2 + 0 7 5 ) (2 + 0 7 5 ) (2 + 7 0 5 0 ) 2 + 2 (5 4 7 + 4) ( (5 4 7 + 4) 7 2 4 + 4 ) 7 ( ( 4)) 5. Feladat: (5 4 7 + 4) 7 (5 4 7 + 4) ( 2 4 + 4 ) 7 ( ( 4))

6. Feladat: (5 4 7 + 4) (5 4 7 + 4) ( ) 5 4( ) 7 + 4 7 7. Feladat: (52 3 2) (52 3 2) 5 2 3 2 0 8. Feladat: 9. Feladat: 0. Feladat: 5 2 3 2 2 5 5 + 7 5 2 3 2 0 2 5 5 + 7 0 3 2 + log 4 (8 + 4) log 4 (8 + 4) log 4 6 2 3 2 + (cos 2 2 sin + 5) π 2 (cos 2 2 sin + 5) cos 2 π π 2 2 sin π 2 + 5 2 + 5 2 2. Feladat: Ábrázolja f függvényt és olvassa le az f jobb- és baloldali határértékét az pontban! Majd adja meg f határértékét pontban! { 2 3 ha f() 2 + ha < 2

Az ábráról a következ jobb -és baloldali határérték olvasható le: f() 2 + f() Mivel a jobb és baloldali határértékek különböz ek, pontban f függvénynek nem létezik határértéke. Megjegyzés: Ábra nélkül a határértékeket behelyettesítéssel is meg tudjuk határozni: + f() (2 + ) + 2 f() (2 3) 2 3 + 2. Feladat: Ábrázolja f függvényt, majd olvassa le az f jobb - és baloldali határértékét az 0 pontban! Majd adja meg f határértékét 0 pontban! f() { 2 ha 0 ha < 0 Ábrázoljuk f-t. 3

Az ábráról a következ jobb -és baloldali határértékek olvashatóak le: f() 0 f() 0+ Mivel a jobb- és baloldali határértékek megegyeznek, f függvénynek létezik határértéke és 0 f(). Megjegyzés: Behelyettesítéssel következ képpen járhatunk el: f() ( ) 0 0 0 f() 0+ 0+ 2 2 0 3. Feladat: 4 + 3+ 6 2 Véges helyen vizsgáljuk a határértéket, helyettesítsünk be 3-t. 4 + 3+ 6 2 3 0 Mivel a számláló nem nulla, a nevez 0, további vizsgálatra van szükség. Ha meg tudjuk mondani, hogy a nevez milyen értékeken keresztül tart 0-hoz, akkor felhasználhatjuk, hogy 0 0+ 0 0± divergens Ábrázoljuk a nevez ben lév g() 2 + 6 függvényt. Majd olvassuk le a nullához közelítés irányát. Az ábrán jól látható, hogy ha 3-nál 4

nagyobb értékeken keresztül közelítünk 3-hoz, akkor a helyettesítési értékek negatív számokon keresztül közelítik meg nullát. 4. Feladat: 4 + 3+ 6 2 3 0 3 0 3 2 ( ) 0 4 + 3 6 2 4 + 3 6 2 3 0 Az el z feladatnál lév ábra alapján balról közelítve 3-t, nevez ben a helyettesítési értékek pozitív számokon keresztül közelítik meg a nullát. 5. Feladat: 4 + 3 6 2 3 0 3 0+ 3 0+ 3 4 4 ( + 4) 2 ( + 4) 2 5 0 Mivel a nevez ben egy teljes négyzet szerepel a nullához közelítés csak pozitív számokon keresztül lehet, így a keresett határérték: 6. Feladat: 4 ( + 4) 2 5 0+ 4 4 ( + 4) 2 ( + 4) 2 5 0 Mivel a nevez ben egy teljes négyzet szerepel a nullához közelítés akár jobbról, akár balról csak pozitív számokon keresztül lehet, így a keresett határérték: 4 ( + 4) 2 5 0+ 5

7. Feladat: 4 4 2 + 2 2 + 2 4 0 Ábrázoljuk a nevez ben szerepl g() 2 + 2 hozzárendeléssel adott függvényt, majd olvassuk le a közelítés irányát. 4 2 + 2 4 0+ 8. Feladat: 4 + 5 4 + 5 ( 4 + ) ( 5 ) 4 + 5 4 9. Feladat: 2 + 3 5 4 2 + 7 5 2 + 3 5 4 2 + 7 5 2 ( + 3 5 2 ) ( 2 4 + 7 5 ) 2 + 3 5 2 4 + 7 5 4 2 20. Feladat: 2 + 3 5 4 2 + 7 5 6

2 + 3 5 4 2 + 7 5 2 ( + 3 5 ) 2 ( 2 4 + 7 5 ) 2 + 3 5 2 4 + 7 5 4 2 2. Feladat: 3 + 5 4 4 2 + 7 3 + 5 4 4 2 + 7 3 ( + 5 2 ) 4 (4 2 + 7 4 ) + 5 2 4 + 7 0 4 0 2 4 22. Feladat: 0 3 0 3 0 ( ) 9 3 ( ) 2 7 9 ( ) 2 23. Feladat: 2 + 3 3 + 4 2 + 3 2 + 3 3 + 4 2 + 3 3 + (2 + 3 ) ( 2 4 + 3 ) 2 ( 3 + (2 + 3 ) 4 + 3 2 ) 2 3 + 2 2 5 24. Feladat: 3 2 3 + 2 + 3 7 2 + 3 + 4 3 2 3 + 2 + 3 7 2 + 3 + 4 2 3 + + 3 3 7 + 3 + 4 2 3 3 (2 + + 3 3 ) 2 (7 + 3 + 4 2 ) 3 2 + + 3 7 3 + 3 + 4 2 3 2 7 7

25. Feladat: 5 7 6 + 4 5 2 3 4 3 + 6 5 5 7 + 5 3 2 4 6 3 2 4 + 2 3 26. Feladat: 5 7 6 + 4 5 2 3 4 3 + 5 ( 6 7 + 5 3 ) 2 4 6 ( 3 4 + ) 2 3 3 0 7 2 0 5 2 25 5 7 + 5 3 5 2 4 6 7 0 4 + 2 0 2 3 Véges helyen vizsgáljuk a határértéket, kezdjük behelyettesítéssel. 7 2 0 5 2 0 25 0 Ennél a típusnál alakítsuk szorzattá a számlálót és a nevez t. Keressük meg a polinomok gyökeit és használjuk a gyöktényez s felírást. 7 2 0 ( 2)( 5) mivel 5 2 2 2 25 2 5 2 ( 5)( + 5) 7 2 0 5 2 0 25 0 ( 2)( 5) 5 ( 5)( + 5) ( 2) 5 ( + 5) 3 0 27. Feladat: 2 2 7 4 4 2 4 2 2 7 4 4 2 0 4 0 (2 + )( 4) 2 + 9 4 ( 4) 4 4 Felhasználva, hogy 2 2 7 4 0 ha 4 2 2 így a gyöktényez s alak: 2 2 7 4 2( 4)( + ) ( 4)(2 + ) 2 8

28. Feladat: 2 2 + 2 2 6 2 2 + 2 2 6 0 0 2 ( + 2) ( 3)( + 2) 2 3 2 5 29. Feladat: 6 9 2 0 3 + 2 30. Feladat: 6 9 2 0 3 + 2 0 0 (6 9) 0 ( 2 + 2) 6 9 0 2 + 2 6 2 3 2 8 + 3 9 2 3+4 2 8 + 3 2 8 8 3 9 2 3+4 9 2 4 8 8 (6 3 ( ) 8) 8 (9 ( 6 3 ( ) 8 8 6) 9 ( ) 8 6 ) 3. Feladat: 6 7 3 2+2 + 4 32. Vizsgafeladat: 6 7 3 2+2 + 4 6 6 7 3 2 9 + 4 6 (6 ( ) 7 6 ) 6 9 (3 2 + ( ) 4 ) 6 7 6 9 9 3 2 + ( ) 4 0 6 9 0 9 ( 3 2 + 7 + 9 3 2 + 9 5) A határérték típusú, így alkalmazzuk a következ b vítést: A B ( A B) A + B A + B A B A + B 9

( 3 2 + 7 + 9 3 2 + 9 5) ( 3 2 + 7 + 9 ) 3 2 3 + 9 5 2 + 7 + 9 + 3 2 + 9 5 3 2 + 7 + 9 + 3 2 + 9 5 3 2 + 7 + 9 (3 2 + 9 5) 3 2 + 7 + 9 + 3 2 + 9 5 Egyszer sítsünk -szel: 2 + 4 n 3 + 7 + 9 2 + 2 3 + 9 5 2 3 3 2 2 + 4 3 2 + 7 + 9 + 3 2 + 9 5 33. Vizsgafeladat: ( 8 2 + 3 9 2 + 7) A határérték típusú, de 2 együtthatói nem egyenl ek, így emeljük ki 2 -t: ( 8 2 + 3 ( ) 9 2 + 7) 8 + 3 9 2 + 7 2 ( 8 3) 34. Feladat: 0 3 4 3 5 6 + 8 9 + 6 0 3 4 3 5 6 + 8 9 + 6 3 ( 0 4 ) 2 ( 3 ) 2 3 5 + 8 9 + 6 5 6 35. Vizsgafeladat: 5 32 6 + 4 + 3 3 8 4 + 3 3 + 7 + 2 3 3 ( 2 0 4 3 ) 5 2 3 + 8 9 + 6 5 6 2 0 4 3 5 + 8 5 9 6 + 6 5 32 6 + 4 + 3 3 8 4 + 3 3 + 7 + 2 0 5 6 ( 32 + 2 + 3 5 ) 3 ( 4 8 + 3 + 7 + 2 ) 3 4 0 3 5 + 0

36. Vizsgafeladat: 6 5 5 32 + 2 + 3 5 4 3 8 2 5 3 + 3 + 7 + 2 3 4 5 2 9 2 4 2+ + 5 0 + 6 +2 32 + 2 + 3 5 0 3 8 + 3 + 7 + 2 3 4 2 9 2 4 2+ + 5 2 9 2 9 4 6 + 5 0 + 6 +2 0 + 6 2 6 ( ) 6 2 9 2 ( ) 9 ( 6 4 + 5 ) 6 6 4 0 6 + 6 2 36 37. Vizsgafeladat: 2 8 + 3 2 + 3 5 2 3+4 2 8 + 3 2 + 3 2 8 8 3 2 3 + 3 5 2 3+4 5 6 8 ) ) 38. Vizsgafeladat: 8 ( 6 3 2 ( 3 ( 8) + 3 8 8 (( ) 5 ) 8 6 ( ) 4 5 7+0 4 + 3 ( ) 4 5 7+0 4 + 3 n Felhasználva, hogy [ ( + 8 ) ] 7+0 4+3 4+3 4 + 3 ( ) 4 + 3 8 7+0 4 + 3 ( e 8) 7 4 e 4 5 32 3 8 0 7 + 0 4 + 3 0 (7 + ) (4 + 3 ) 7 + 0 4 + 3 7 4 ha

39. Vizsgafeladat: ( 5 2 ) 0 3 + 4 5 2 + 4 ( 5 2 ) 0 3 + 4 5 2 + 4 Felhasználva, hogy 40. Vizsgafeladat: 4. Vizsgafeladat: 42. Vizsgafeladat: [ ( + 0 ) ] 5 2 +4 0 3 5 2 +4 5 2 + 4 ( 5 2 ) 0 3 + 4 + 0 5 2 + 4 ( e 0) 0 e 0 0 3 5 2 + 4 0 3 5 + 4 0 2 0 2 ( ) 8 + 5 9 2 +3 2 + 0 ( ) 8 + 5 9 2 +3 2 + 0 ( 3 2 ) 4+2 4 5 2 + ( 3 2 ) 4+2 4 n 5 2 + 3 2 + ln 2 ( ) 8 4 2 ( ) 3 0 5 3 2 + ln 2 4 0 Négyzetre emelés miatt a nevez csak pozitív irányból közelítheti nullát, így 3 2 + ln 2 4 0+ 4 0+ 4(+ ) 2

43. Vizsgafeladat: 0+ 4 + 2e 2 Helyettesítsünk be: 0+ 4 + 2e 2 0 Az osztás nem végezhet el. Ábrázoljuk az f() 2e 2 függvényt, majd olvassuk le, hogy milyen értékeken keresztül közelíti meg f a nullát. 4 + 0+ 2e 2 0+ 3

44. Vizsgafeladat: 25 7 + e 5 Helyettesítsünk be: 25 7 + e 5 7 + e25 0 A m velet nem végezhet el. Ábrázoljuk g() 5 függvényt és olvassuk le a nullához való közelítés irányát, majd adjuk meg a határértéket: 25 7 + e 5 7 + e25 0

45. Vizsgafeladat: 0 0+ 2 5 lg 5 2 5 lg 5 2 0 Vizsgáljuk meg, hogy a nevez milyen értékeken keresztül tart nullához. 0+ 2 5 lg 5 2 0+ 5