Függvények 205. július 3. Határozza meg a következ határértékeket!. Feladat: 2. Feladat: 3. Feladat: 4. Feladat: (2 + 7 5 ) (2 + 7 5 ) (2 + 0 ) (2 + 7 5 ) (2 + 7 5 ) (2 + 0) (2 + 0 7 5 ) (2 + 0 7 5 ) (2 + 7 0 5 0 ) 2 + 2 (5 4 7 + 4) ( (5 4 7 + 4) 7 2 4 + 4 ) 7 ( ( 4)) 5. Feladat: (5 4 7 + 4) 7 (5 4 7 + 4) ( 2 4 + 4 ) 7 ( ( 4))
6. Feladat: (5 4 7 + 4) (5 4 7 + 4) ( ) 5 4( ) 7 + 4 7 7. Feladat: (52 3 2) (52 3 2) 5 2 3 2 0 8. Feladat: 9. Feladat: 0. Feladat: 5 2 3 2 2 5 5 + 7 5 2 3 2 0 2 5 5 + 7 0 3 2 + log 4 (8 + 4) log 4 (8 + 4) log 4 6 2 3 2 + (cos 2 2 sin + 5) π 2 (cos 2 2 sin + 5) cos 2 π π 2 2 sin π 2 + 5 2 + 5 2 2. Feladat: Ábrázolja f függvényt és olvassa le az f jobb- és baloldali határértékét az pontban! Majd adja meg f határértékét pontban! { 2 3 ha f() 2 + ha < 2
Az ábráról a következ jobb -és baloldali határérték olvasható le: f() 2 + f() Mivel a jobb és baloldali határértékek különböz ek, pontban f függvénynek nem létezik határértéke. Megjegyzés: Ábra nélkül a határértékeket behelyettesítéssel is meg tudjuk határozni: + f() (2 + ) + 2 f() (2 3) 2 3 + 2. Feladat: Ábrázolja f függvényt, majd olvassa le az f jobb - és baloldali határértékét az 0 pontban! Majd adja meg f határértékét 0 pontban! f() { 2 ha 0 ha < 0 Ábrázoljuk f-t. 3
Az ábráról a következ jobb -és baloldali határértékek olvashatóak le: f() 0 f() 0+ Mivel a jobb- és baloldali határértékek megegyeznek, f függvénynek létezik határértéke és 0 f(). Megjegyzés: Behelyettesítéssel következ képpen járhatunk el: f() ( ) 0 0 0 f() 0+ 0+ 2 2 0 3. Feladat: 4 + 3+ 6 2 Véges helyen vizsgáljuk a határértéket, helyettesítsünk be 3-t. 4 + 3+ 6 2 3 0 Mivel a számláló nem nulla, a nevez 0, további vizsgálatra van szükség. Ha meg tudjuk mondani, hogy a nevez milyen értékeken keresztül tart 0-hoz, akkor felhasználhatjuk, hogy 0 0+ 0 0± divergens Ábrázoljuk a nevez ben lév g() 2 + 6 függvényt. Majd olvassuk le a nullához közelítés irányát. Az ábrán jól látható, hogy ha 3-nál 4
nagyobb értékeken keresztül közelítünk 3-hoz, akkor a helyettesítési értékek negatív számokon keresztül közelítik meg nullát. 4. Feladat: 4 + 3+ 6 2 3 0 3 0 3 2 ( ) 0 4 + 3 6 2 4 + 3 6 2 3 0 Az el z feladatnál lév ábra alapján balról közelítve 3-t, nevez ben a helyettesítési értékek pozitív számokon keresztül közelítik meg a nullát. 5. Feladat: 4 + 3 6 2 3 0 3 0+ 3 0+ 3 4 4 ( + 4) 2 ( + 4) 2 5 0 Mivel a nevez ben egy teljes négyzet szerepel a nullához közelítés csak pozitív számokon keresztül lehet, így a keresett határérték: 6. Feladat: 4 ( + 4) 2 5 0+ 4 4 ( + 4) 2 ( + 4) 2 5 0 Mivel a nevez ben egy teljes négyzet szerepel a nullához közelítés akár jobbról, akár balról csak pozitív számokon keresztül lehet, így a keresett határérték: 4 ( + 4) 2 5 0+ 5
7. Feladat: 4 4 2 + 2 2 + 2 4 0 Ábrázoljuk a nevez ben szerepl g() 2 + 2 hozzárendeléssel adott függvényt, majd olvassuk le a közelítés irányát. 4 2 + 2 4 0+ 8. Feladat: 4 + 5 4 + 5 ( 4 + ) ( 5 ) 4 + 5 4 9. Feladat: 2 + 3 5 4 2 + 7 5 2 + 3 5 4 2 + 7 5 2 ( + 3 5 2 ) ( 2 4 + 7 5 ) 2 + 3 5 2 4 + 7 5 4 2 20. Feladat: 2 + 3 5 4 2 + 7 5 6
2 + 3 5 4 2 + 7 5 2 ( + 3 5 ) 2 ( 2 4 + 7 5 ) 2 + 3 5 2 4 + 7 5 4 2 2. Feladat: 3 + 5 4 4 2 + 7 3 + 5 4 4 2 + 7 3 ( + 5 2 ) 4 (4 2 + 7 4 ) + 5 2 4 + 7 0 4 0 2 4 22. Feladat: 0 3 0 3 0 ( ) 9 3 ( ) 2 7 9 ( ) 2 23. Feladat: 2 + 3 3 + 4 2 + 3 2 + 3 3 + 4 2 + 3 3 + (2 + 3 ) ( 2 4 + 3 ) 2 ( 3 + (2 + 3 ) 4 + 3 2 ) 2 3 + 2 2 5 24. Feladat: 3 2 3 + 2 + 3 7 2 + 3 + 4 3 2 3 + 2 + 3 7 2 + 3 + 4 2 3 + + 3 3 7 + 3 + 4 2 3 3 (2 + + 3 3 ) 2 (7 + 3 + 4 2 ) 3 2 + + 3 7 3 + 3 + 4 2 3 2 7 7
25. Feladat: 5 7 6 + 4 5 2 3 4 3 + 6 5 5 7 + 5 3 2 4 6 3 2 4 + 2 3 26. Feladat: 5 7 6 + 4 5 2 3 4 3 + 5 ( 6 7 + 5 3 ) 2 4 6 ( 3 4 + ) 2 3 3 0 7 2 0 5 2 25 5 7 + 5 3 5 2 4 6 7 0 4 + 2 0 2 3 Véges helyen vizsgáljuk a határértéket, kezdjük behelyettesítéssel. 7 2 0 5 2 0 25 0 Ennél a típusnál alakítsuk szorzattá a számlálót és a nevez t. Keressük meg a polinomok gyökeit és használjuk a gyöktényez s felírást. 7 2 0 ( 2)( 5) mivel 5 2 2 2 25 2 5 2 ( 5)( + 5) 7 2 0 5 2 0 25 0 ( 2)( 5) 5 ( 5)( + 5) ( 2) 5 ( + 5) 3 0 27. Feladat: 2 2 7 4 4 2 4 2 2 7 4 4 2 0 4 0 (2 + )( 4) 2 + 9 4 ( 4) 4 4 Felhasználva, hogy 2 2 7 4 0 ha 4 2 2 így a gyöktényez s alak: 2 2 7 4 2( 4)( + ) ( 4)(2 + ) 2 8
28. Feladat: 2 2 + 2 2 6 2 2 + 2 2 6 0 0 2 ( + 2) ( 3)( + 2) 2 3 2 5 29. Feladat: 6 9 2 0 3 + 2 30. Feladat: 6 9 2 0 3 + 2 0 0 (6 9) 0 ( 2 + 2) 6 9 0 2 + 2 6 2 3 2 8 + 3 9 2 3+4 2 8 + 3 2 8 8 3 9 2 3+4 9 2 4 8 8 (6 3 ( ) 8) 8 (9 ( 6 3 ( ) 8 8 6) 9 ( ) 8 6 ) 3. Feladat: 6 7 3 2+2 + 4 32. Vizsgafeladat: 6 7 3 2+2 + 4 6 6 7 3 2 9 + 4 6 (6 ( ) 7 6 ) 6 9 (3 2 + ( ) 4 ) 6 7 6 9 9 3 2 + ( ) 4 0 6 9 0 9 ( 3 2 + 7 + 9 3 2 + 9 5) A határérték típusú, így alkalmazzuk a következ b vítést: A B ( A B) A + B A + B A B A + B 9
( 3 2 + 7 + 9 3 2 + 9 5) ( 3 2 + 7 + 9 ) 3 2 3 + 9 5 2 + 7 + 9 + 3 2 + 9 5 3 2 + 7 + 9 + 3 2 + 9 5 3 2 + 7 + 9 (3 2 + 9 5) 3 2 + 7 + 9 + 3 2 + 9 5 Egyszer sítsünk -szel: 2 + 4 n 3 + 7 + 9 2 + 2 3 + 9 5 2 3 3 2 2 + 4 3 2 + 7 + 9 + 3 2 + 9 5 33. Vizsgafeladat: ( 8 2 + 3 9 2 + 7) A határérték típusú, de 2 együtthatói nem egyenl ek, így emeljük ki 2 -t: ( 8 2 + 3 ( ) 9 2 + 7) 8 + 3 9 2 + 7 2 ( 8 3) 34. Feladat: 0 3 4 3 5 6 + 8 9 + 6 0 3 4 3 5 6 + 8 9 + 6 3 ( 0 4 ) 2 ( 3 ) 2 3 5 + 8 9 + 6 5 6 35. Vizsgafeladat: 5 32 6 + 4 + 3 3 8 4 + 3 3 + 7 + 2 3 3 ( 2 0 4 3 ) 5 2 3 + 8 9 + 6 5 6 2 0 4 3 5 + 8 5 9 6 + 6 5 32 6 + 4 + 3 3 8 4 + 3 3 + 7 + 2 0 5 6 ( 32 + 2 + 3 5 ) 3 ( 4 8 + 3 + 7 + 2 ) 3 4 0 3 5 + 0
36. Vizsgafeladat: 6 5 5 32 + 2 + 3 5 4 3 8 2 5 3 + 3 + 7 + 2 3 4 5 2 9 2 4 2+ + 5 0 + 6 +2 32 + 2 + 3 5 0 3 8 + 3 + 7 + 2 3 4 2 9 2 4 2+ + 5 2 9 2 9 4 6 + 5 0 + 6 +2 0 + 6 2 6 ( ) 6 2 9 2 ( ) 9 ( 6 4 + 5 ) 6 6 4 0 6 + 6 2 36 37. Vizsgafeladat: 2 8 + 3 2 + 3 5 2 3+4 2 8 + 3 2 + 3 2 8 8 3 2 3 + 3 5 2 3+4 5 6 8 ) ) 38. Vizsgafeladat: 8 ( 6 3 2 ( 3 ( 8) + 3 8 8 (( ) 5 ) 8 6 ( ) 4 5 7+0 4 + 3 ( ) 4 5 7+0 4 + 3 n Felhasználva, hogy [ ( + 8 ) ] 7+0 4+3 4+3 4 + 3 ( ) 4 + 3 8 7+0 4 + 3 ( e 8) 7 4 e 4 5 32 3 8 0 7 + 0 4 + 3 0 (7 + ) (4 + 3 ) 7 + 0 4 + 3 7 4 ha
39. Vizsgafeladat: ( 5 2 ) 0 3 + 4 5 2 + 4 ( 5 2 ) 0 3 + 4 5 2 + 4 Felhasználva, hogy 40. Vizsgafeladat: 4. Vizsgafeladat: 42. Vizsgafeladat: [ ( + 0 ) ] 5 2 +4 0 3 5 2 +4 5 2 + 4 ( 5 2 ) 0 3 + 4 + 0 5 2 + 4 ( e 0) 0 e 0 0 3 5 2 + 4 0 3 5 + 4 0 2 0 2 ( ) 8 + 5 9 2 +3 2 + 0 ( ) 8 + 5 9 2 +3 2 + 0 ( 3 2 ) 4+2 4 5 2 + ( 3 2 ) 4+2 4 n 5 2 + 3 2 + ln 2 ( ) 8 4 2 ( ) 3 0 5 3 2 + ln 2 4 0 Négyzetre emelés miatt a nevez csak pozitív irányból közelítheti nullát, így 3 2 + ln 2 4 0+ 4 0+ 4(+ ) 2
43. Vizsgafeladat: 0+ 4 + 2e 2 Helyettesítsünk be: 0+ 4 + 2e 2 0 Az osztás nem végezhet el. Ábrázoljuk az f() 2e 2 függvényt, majd olvassuk le, hogy milyen értékeken keresztül közelíti meg f a nullát. 4 + 0+ 2e 2 0+ 3
44. Vizsgafeladat: 25 7 + e 5 Helyettesítsünk be: 25 7 + e 5 7 + e25 0 A m velet nem végezhet el. Ábrázoljuk g() 5 függvényt és olvassuk le a nullához való közelítés irányát, majd adjuk meg a határértéket: 25 7 + e 5 7 + e25 0
45. Vizsgafeladat: 0 0+ 2 5 lg 5 2 5 lg 5 2 0 Vizsgáljuk meg, hogy a nevez milyen értékeken keresztül tart nullához. 0+ 2 5 lg 5 2 0+ 5