Vetor+ Művelete: specáls relácó S A A... A B vagy s: A A... A B csoportosítható a változó száa szert ( változós a leggyaorbb változós űvelete típusa: A B C A A A A B A A A B B A A Művelet szabályo: általáos szabályo ( : outatvtás: a A, b B: a b= b a outatív űvelete ele: + asszocatvtás ( A A A-ál: a, b A: ( a b c= a ( b c atoutatvtás (létez verz: a A, b B: a b= ( b a dsztrbutvtás (többűveletes strutúráál: ab, A, c C:( a+ b c= ( a c + ( b c Jacob azoosság (többűveletes strutúráál, létez addtív seleges ele: abc,, A:( a b c+ ( b c a+ ( c a b= specáls elee létezése ( : seleges ele: baloldal seleges ele: s A: a A: s a= a obboldal seleges ele: s A: a A: a s= a addtív seleges ele: ullele ultplatív seleges ele: egységele agresszív ele: baloldal agresszív ele: v A: a A: v a= v obboldal agresszív ele: v A: a A: a v= v Száosságo: attól függőe hogy a terészetes száo és a otu özött va-e ás száosság étféle algebrát építhetü föl Strutúrá: félcsoport ( S, : zárt: ab, S: c= ab S asszocatív egységelees félcsoport ( S, : zárt asszocatív egységele létez: e S : a S : ea= ae= a csoport : (, G zárt e e e
asszocatív egységele létez verz létez: a G: a G: aa = e Iverz egyértelűségée bzoyítása dret ódo ( aa = e aa = e: a = ea = ( aa a = a ( aa = ae = a Egy érdees csoport: egy égyzet alább traszforácóa halaza dettás: e forgatás obbra 9 -al: r tegelyes türözés egy adott szetrategelyre: t űvelet: folytasd G, + outatív csoport, Ábel-csoport ( gyűrű ( R, +, : ( R, + outatív csoport ( a+ b c= ac+ bc ( R, félcsoport a( b+ c = ab+ ac ha ab = a = b =, aor ullosztó-etes gyűrű egyébét ullosztós gyűrű egységelees gyűrű outatív gyűrű outatív egységelees gyűrű test ( K, +, : ( K, + outatív csoport ( K \{ }, csoport outatív test: racoáls, valós és oplex száo vetortér, leárs tér ( V S, +, ( V, + outatív csoport ( S, +, egységelees gyűrű : S V V űvelet: αβ v= α βv ( ( v= v ( α + β v= ( αv + ( βv α ( v+ u = ( αv + ( αu reprezetácó dezós vetorteree: a= α e a+ b= + e ( α β λ ( λα a= e
outatív vetortér: függvéye, sorozato algebra ( A, +,, : S A S vetortér űvelet: zárt a ( b+ c = ( a b + ( a c a ( αb = ( αa b= α( a b pld.: ( V, +,, reprezetácó dezós algebráo: l l e e = C e C l : az algebra strutúraálladó l outatív algebra: C = C atoutatív algebra: C l l = C l l l c= a b= αe βle = αβ l( e e = αβ lce = l. l. l. l = αβ lc e = χe. l asszocatív algebra: ( A, félcsoport outátor [ a, a ] outatív algebra: atoutatív algebra: a atoutátor { a, a } = l ( a a ( a a = outatív algebra: a a ( a a + ( a a a atoutatív algebra: példá: leárs operátoro (operátor algebra oplex száo testet s alota szorzástáblázat - Study-féle száo: w w w w harad fata étdezós algebra: e
e e e quateró ( H : testet s alota q = a + b + c + d szorzás: - - - - - - qq = aa bb cc dd + ab + ba + d c cd + ac + ca + db bd + ad + d a + bc cb ( ( ( ( q = a b c d qq = a + b + c + d = q q q q = { q } ( (, q = aa bb cc dd + ab + ba atoutátor: + ( ac + ca + ( ad + da outátor: [ q, q ] = ( d c c d + ( db bd + ( bc cb fel lehet fog egy vetor és egy salár együtteseét: Re q= a Ve q= b+ c+ d H : tsztá vetoráls quateró: q = b+ c+ d H H altere: H < H ebből dolgoztá a térvetoroat q, q = q q [ ] { q, q } = ( q q ( S : ( A S, +, vetortér A < A Le-algebra A, +,,[,] S S tetszőleges asszocatív algebrából lehet száraztat a, a = (pld.: oplex száo outatív algebráál trváls [ ] [,] űvelet: atoutatív Jacob azoosság telesül rá outátora A S példá: térvetoro a vetoráls szorzással a quateró Le-algebráa E, +,, : Euldesz tér ( S + +
( E, +, vetortér S : E E S űvelet: a b+ c = a b+ ac ( ( b+ c a= b a+ c a a a oplex euldesz teree e gaza: outatív α a b = αa b= a αb ( ( ( pszeudo-euldesz teree (pld.: Mows-tér e gaz: a a= a= reprezetácó euldesz tére: l l etrus tezor: g = e e e oplex euldesz teree: g l = g l l l a b= αe βle = αβl( e e = αβ lg l, l, l Mátrxo * dezós leárs teret alota: a a a a a a a = + a a a + a + + a *-es átrxora (4 dezós leárs tér: a b = a + b + c + d c d Ee egy dezós altere: a b C( a, b = b a altér, ert: C( a, b + C( a, b = C( a + a, b + b és αc( a, b = C( αa, αb dezós ert: (, C a b a b = + = ae+ bi C a, b C a, b = C aa bb, ab + ba ( ( ( az lye átrxo a oplex száo reprezetácó E I E E I I I -E z C a, b = C a, b ( ( l
( C a, b = C( a, b a + b tehát az lye alaú átrxo testet alota cos s trgooetrus ala: C( a, b r ϕ ϕ = = ( cos s cos r ϕ E + sϕ ϕ ϕ I F ϕ = C cos ϕ,sϕ egységör: ( ( F( α F( β = F( α + β F ( ϕ - a szorzásra ézve folytoos csoportot alota expoecáls ala bevezetéséhez szüséges valós és oplex soro: x x e = =! x x x ( e = = e! x e = = = ( ( x! x x e + e x ch x = =! = ( x x + e e x sh x = = +! = ( 4 4+ 4+ x x x x x x e = = + + + 4 + 3! 4! 4+! 4+! 4+ 3! ( ( ( ( = = = = = ( 4 4 4 x x + + x x x x e = = + + + 4 + 3! 4! 4+! 4+! 4+ 3! ( ( ( ( = = = = = x x 4 4+ e + e x x cos x = = 4! 4+! ( ( = = x x e e + + x x s x = = 4+! 4+ 4 4 3 3! ( ( = = a oplex sío egy adott sor overgecasugara overges, ülöbe e, ha x R f, ha x f < R aor a sor = R aor előfordulhat dettő, a feteél R = B B égyzetes átrxo expoecáls függvéye: e = =! ás függvéyeet s így lehet égyzetes átrxora értelez I C a, b = re ϕ expoecáls ala: ( ( ( Iϕ ϕ + x x e = I = E+ I = cosϕe+ sϕi = F( ϕ =! = (! = ( +! ásfata özelítése az expoecáls függvéye:
x l + = e B B e = l E+ x ϕ Iϕ ϕ e = l E+ = l = ϕ ϕ ϕ ϕ + + ϕ = l + = ϕ ϕ ϕ + + ϕ = l cosα sα + = sα cosα ϕ cos α s α cosϕ sϕ = l + l = F ( ϕ s α cos α = s ϕ cos ϕ Egyparaéteres Le-csoporto: Ω= + αω α α α L( α = e = Ω = E+ ch E sh! ( Ω= α + α Ω= = =! = ( +! chα shα = shα chα L α L β = L α +β ( ( ( L( α - a szorzásra ézve folytoos csoportot alota Loretz-traszforácó Gallle-traszforácó: N = α N α α G( α = e = N = E+ αn = =! G α G β = G α +β ( ( ( G ( α - a szorzásra ézve folytoos csoportot alota
A átrxfüggvéyeről: P = P αp α α e = P = E+ P= E+!! ha ( aor α e P = = f x = c x = ( = ( = = + = ( + ( ( f P c P c E c P f E f f P = = ( ( ( ( ( = f P+ f E P = f P+ f Q a átrxfüggvéye proetoro leárobácóa Forgásátrxo: forgássí ellező ráu, aelybe törté a forgatás, a több dezó egarad 3 dezós forgatáso F, α F, β = F, α +β ( ( ( folytoos csoportot alota ( SO ( 3 csoport F(, ϕ F(, ϕ F(, Ortogoáls átrxo: F = F ( FF = E = = ϕ : ortogoáls átrxo dezós ortogoáls átrxo csoportot alota ( ( zártság: FF 3 3 = FFFF = E egységele: E asszocatvtás, verz trváls det F = det Fdet F = det FF = det E = ( ( det F {,} det F = SO ( : csoport ( dezós valód forgatáso det F = : türözéses forgatáso O SO C, SO O ( = ( ( ( F( ϕ SO( O( F(, ϕ SO( 3 O( 3 Forgatáso: F Φ defícó: uv, : u = Fuv, = Fv: uv = uv O csoport: folytoos csoportot alota (egegyzés: a valat egtartó traszforácó általába csoportot alota, az at egtartaa a csoportépző tuladoság + Φ Φ: F a b = Fa Fb ( Φ ( ( + O, Φ SO uv uv Fu F v FF uv = = ( ( = ( uv= uv l l= uv l δl l l l l
( δ uv, : FF uv = FF δ = l l l l l ( FF = l = El l δ Forgásátrxo expoecálsa fölírva: általáos eset: ϕ N ϕ N A( ϕ = e = =! da( ϕ ϕ ϕ ϕ = N = N = N N = NA( ϕ dϕ!!! ( da ϕ dϕ ϕ = ( = = = ( = NA = NA = N az N -e dg atszetrusa és a főátlóuba csupa va ( paraéter va N = N az dezós N -e leárs teret alota étdezós: N F sϕ cosϕ = ( ϕ = cos s I ϕ = = ϕ ϕ ϕ = hárodezós: F, ϕ = cosϕ + δ cosϕ+ ε sϕ ( ( d ( l l l l dϕ Fl, ϕ = sϕl δl sϕ+ εl cosϕ d dϕ (, = N = F ϕ = ε = ε l l ϕ l l 3 3 N = 3 = B + B + 3B = B, ahol B l = ε Nl = Bl B átrxo algebrát alota a outátorral, t űvelettel a fet állításo bzoyítása ( (, N F e ϕ ϕ ϕ = = e B : l szabad 3 3 3 N = 3 3 3 = = (Q az N 3 3 3 3 3 = E = Q által eghatározott forgássíra épző operátor ( N = NNl = ( εpp ( εlqq = ε pεlqpq = ( δ plδq δpqδl l pq = = δ = δ = E ( l q l l l l 3 ( ( ( ( N = N N = δ ε = δ ε = N l 3 N = N l lp p lp p l
4 ( N = ( N ( N = ( δ( l δl = l l = δ δ + δ δ = δ = N ( l l l l l l l 4 N = N =Q 5 4 3 N = N N = N N = N = N l ( ( l+ ( ( l l ϕn ϕ N ϕ ϕ e = = E+ N + Q! l l+! l l+! ϕn ( e = δl sϕεl + ( cosϕ ( δl l = l = cosϕ + cosϕδ + s ϕε = F, ϕ + + ( ( l l l l dezós dagoáls átrx: N B F e ϕ ϕ = = e B - a forgatáso a oordátasíoba, eze geerálá az összes forgatást
Ortoorált teles bázs: ortoorált: teles: ( ( l Vetor+ 4 Áttérés ferdeszögű bázsra e e = δ l (reprezetálva: ( ( e e = E (reprezetálva: ( v= v e és v e = ( ( reprezetálva: e = δ = O = O telesség: OpOq = δ pq, ebből: OO = E v ( ( l e e = δ l ( ( ep eq = δ pq ortooráltság: OOl = δl, ebből: OO = E a ét állítás egyeértéű Tetszőleges bázs: ( ( u bázsvetoro (reprezetálva: u vetoro legye U = u legye ( ( v recpro-vetorredszer: ( ( ( l l legye Vl = v ( ( l ( ( l v u = v u = VUl = ( VU = δ l l ebből: VU = E, tehát V = U v u = δ l E UV U V u v = = = = u v = δ ( ( ( ( ebből: ( tehát: pq pq p q p q pq pq ( ( u v = E létez: A= UΛ V, ahol Λ pq = λpδ pq, λ λ Λ= λ ( ( ( ( ( ( ( q Al = UΛ qvql = u λδ qvl = u λvl = λ u v q q ( ( ( ( ( ( legye P = u v, eor: P P = δ P A= λ P ( ( ( ( ( ( ( ( ( s s s ( ( ( s s s Au = λ u v u = λ u v u = λ u δ = λ u hasolóéppe: ( s ( s v A= λ v s l
( s ( s létez A operátor, elye reprezetácóa A, v A = λ v és ( s ( s s Au = λ u λ λ A = ( UΛV( UΛ V = UΛ V és Λ = λ λ λ ebből: A = UΛ V és Λ = λ Áttérés ortoorált bázsról ( e ( ( általáos bázsra ( f : l ( ( l a = a e = a f l ( l l ( ( ( ( ( l l a = e a= e a l f = a l e f = V a tehát: a= Va legye ( g l l l ( f recpro-vetorredszere ( ( ( ( ( a = ag = a e g = U a a = U a, ezért V = U ( ( ( U = e g = g ( ( l ( l Vl = e f = f specáls eset: ( ( g = f ( f ortoorált: ( ( ( l ( f g = δ l : U = g = f = V U = V : ortogoáls átrxo átrxo traszforácóa: b= Ca reprezetálható b= Ca-ét és b = C a -ét s Ca = b = Ub= UCa= UCVa tehát: C = UCV = UCU (bagoly-traszforácó C l = UCpU pl specáls eset: = ( Cl UUlpCp f ortoorált ( U = U : Vetoro osztályozása traszforácó szert: forgatásoal szebe (e outatív csoport: tezor red. redű tezor (salár: α = α s
. redű tezor (vetor: b = Ub. redű tezor: C l = UUlpCp 3. redű tezor: T l = UpUlqUsTpqs 4. redű tezor: Θ l = UpUlqUsUtΘpqst stb. eltolásoal szebe (outatív csoport: ötött vetor, szabad vetor, stb. türözéseel szebe: előelet vált: polárvetor e vált előelet: axálvetor Loretz-trazforácóval szebe: ú besorolást ell ad észíte
Recpro vetorredszer: egy abc,, vetoroból álló ( ( f F = δ A= b c, abc,, ( ( Vetorszáítás. ( f vetorredszer recpro vetorredszere B = c a és C = abc a b,, ( ( abc,, ( ( ( F, ha példa: szóródás opta rácso, ét töeg által csgá segítségével húzott harad Reprezetácó: a = a f ( a = ( a, a, a 3 ( af = a ( f F = δ = δ ( elölése a Jáos öyv szert: ( a = a F a= ( a, a, a3 általu alalazott elölése: a = a f = a F ( Ferdeszögű oordátaredszere Vetoro, vetorűvelete ( a : otravarás opoes, a : ovarás opoes Művelete: száal szorzás (b= λa: ( ( b = bf = λaf = λa b = bf = λaf = λa ( ( összeadás ( a+ b= c: a + b = af + bf = a+ b F = cf = c ( ( ( ( ( a + b = af + bf = a+ b f = cf = c salárs szorzás: ( ( ( ( ( ab = a f b F = a b δ = a b = a b ( ( ab = a f b f = a b G, G ( ( ( ( = G = f f : etrus tezor ( ( ( ( ab = a F b F = a b G, G = G = F F
G b = b és Ga = a(lehúzás és felhúzás GG = δ vetoráls szorzás: legye v=, f, f f ( ( ( 3 ( cf = c= a b= af b f = abvε F c = vε ab ( ( c f = c= a b= a F b f = ab vε F ( c = vε ab ( ( ε = ε Leárs operátoro reprezetácóa: b= Aa ( ( ( ( b = bf = ( Aa F = Aa f F F Af = a = A a ( ( ( A = F Af ( ( ( A = F AF, b = A A = f Af, b = A ( ( A = f AF, b A ( ( a a = a apcsolat az operátoro alaa özött: AG = A és G A = A AG = A és GA AG = A és G A A G = A és G A = A = A = A evezetes operátoro: N = N = N = N = ( ( E = F F = G és E = f f = G ( ( ( ( ( ( E = F f = δ és E = f F = δ Áttérés ás bázsra: vetoro: a = a f ( ( ( a = af = f F a = S a ( ugyaígy: a = T a tezoro: A = S S S T T T A l l p q s l pq s l p q s p q s ( (
Saátértéprobléa: ( l ( l AS = λ S Vetoraalízs görbevoalú, ortogoáls oordátaredszerebe ( ( ( Derválttezor v r = v r + r v r = D r+ ε r v( r Dr+ v reprezetálva: v= D r+ ε r v = D x + ε x v v v D = + ε = l = = v = v x x x x ( Sp D= dvv D = v ( D D r = rot v r (derválttezor vetorvarása a rotácó -- szerese legye = (, v, w v u, eor a Jacoby-deterás: J( u v w dexes tezorra: x ( s J r = A l ls a deforácótezor a derválttezor szetrus része,, = detd Görbevoalú oordáta-redszere görbevoalú oordátá: r( u, u, u 3 becó, az azoos u -ű poto egy síot u u alota (pld.: térbel polároordáta-redszer, r = uu u3 loálsa az esetleges szgulárs poto (pld.: Észa-sar, Dél-sar vételével egyeesvoalú ferdeszögű oordáta-redszere tethető x = f ( x, x, x 3 : e leárs apcsolat x de x = x = S x : leárs apcsolat x x a otravarás vetort alot, ha a = a x x b ovarás vetort alot, ha b = b x Görbevoalú, ortogoáls oordáta-redszere r r ortogoaltás: u u = loálsa az esetleges szgulárs poto (pld.: Észa-sar, Dél-sar vételével egyeesvoalú derészögű oordáta-redszere tethető
legye h r u =, eor: ( r r u u s = r = u = u = h u fza opoese: a vetor opoese a ezdőpotba llesztett ortogoáls oordátaredszerbe azoos dezóúa Grades: φ gradφ = = a x Vetoraalízs φ φ x x ovarás vetort alot, ert: a = = = a x x x x φ fza opoeseel: ( gradφ = h u Rotácó: ( rot v ( vh v ( vh u ( vh v + ( vh u 3 u+ u v+ v u v uh vh tehát: ( rot v hasolóéppe: ( és: ( rot v általáosa: ( Dvergeca: dvv v F = V uh vh wh ( ( vh ( vh = 3 hh u v vh vh rot v = hh 3 v w ( vh ( vh 3 3 = hh 3 w u h ( vh rot v = ε hhh u 3 3, ( ( 3 3 (( vh vh3 w ( vh vh3 w + ( vh uh3 w ( vh uh3 w + ( v3h uh v ( v u u u v v v w w 3h uh v + + + w tehát: ( vhh 3 ( vhh 3 ( vhh 3 vhhh 3 dvv = + + = hhh 3 u v w hhh 3 u h örvéy és forrásetes vetorező: dvv= rot v= A Laplace egyelet és egoldása pld.: agetosztatus ező, töltésetes eletrosztatus ező, zárt és súrlódásetes folyadéáralás sebességezee, hőára (forrásetes v= gradφ r φ = dvgradφ = (Laplace egyelet ( Earshaw-tétel:
eletroosa töltött testet e lehet csa eletroos erőel stabls egyesúlyba tarta (ágeses és gravtácós térre s gaz F E r ρ r dv F R = E R+ r ρ r dv = ( (, ívülről ézve: ( ( ( ( stabls egyesúly feltétele: dv R F < ( dv R F ( R = dv E ( R + r ρ dv = Harous függvéye: harous függvéy az a függvéy, a elégít a Laplace egyeletet csa yeregpota vaa se ua, se axua csa a határo Taylor sorba fetve: φ( r = φ( r + a( r r + ( r r A( r r φ = SpA =, tehát A saátértée ülöböző előelűe legye w f ( z u v f ( x y u( x y v( x y = + = +, =, = φda G φ =, aor egy r özéppotú, r sugarú göbö tegrálva ( r 4r π = φ Egyértelűség tétele: I. pereérté-feladat, Drchlet-feladat: ha φ a határo eg va adva (és folytoos, aor egyértelű a egoldás t. f. h.: φ ( r φ ( r φ és =, ψ = és ψ a határo = =, legye φ φ ψ φ a határo f ( r = = = ( + = ( ψ gradψd A dv( ψ grad ψ dv gradψ ψ ψdv gradψ dv ebből gradψ = ψ = ψ = φ = φ II. pereérté-feladat, Neua-feladat: ha gradφ a határo eg va adva (és folytoos, aor φ ereég egyértelű a egoldás t. f. h.: φ( r = φ( r =, gradφ és gradφ a határo g( r legye φ φ = ψ, ψ = és gradψ a határo = = = ( + = ( ψ gradψd A dv( ψ grad ψ dv gradψ ψ ψdv gradψ dv ebből gradψ = ψ = ψ φ = φ + φ III. pereérté-feladat: α r φ+ β r φ a határo eg va adva (és folytoos, aor egyértelű ha ( ( grad a egoldás Nuerus egoldás: vegyü egy téglalap alaú tartoáyt (ha e lye a tartoáyu, aor a szélé lévő rácpotoból dulu ad és osszu fel x = y oldalú s égyzetere eor a övetezőéppe tudu száíta egy potba φ -t, ha serü a öryező potoba φ φ φ φb φ b x x φ + φ φ φ φ f + φl φ φf + φl φ = =, ugyaígy = = x x x y y x
φ + φb + φf + φl 4φ φ + φb + φf + φ = φ = φ = l (egyeletredszer x 4 ha e rácspotra aaru száol, aor terpolálu terácós elárás: φ = -ról dulva sorra száolva a fet eredéyt a rácspotora, ad sételve (gyorító elárás: belealulálu egy s túllövést a Mote Carlo ódszer: a P potból véleteleszerű bolyogás a határg N-szer, a potecál értée a határo = φ, eor l φ ( P N N φ N φ = = φ N Hulláegyelet φ φ φ =, átsálázva φ = c t ( ct = t t egydezós hulláegyelet: φ x, t = f x t + g x+ t ált. egoldása: ( ( ( loalzált hullá loalzált arad hárodezós göbszetrus φ ( rt, hulláo: ( rφ φ φ ( rφ φ φ = + = r r = φ = = r r r r r r r t r t f ( r t g( r+ t ebből φ = + r r loalzált hullá loalzált arad ét dezós hulláo: Bessel-függvéye, -ese csegee le r voalszerű hulláforrásból duló étdezós hulláo egydezós hulláot alota (általáosítható N dezóra utózegés: páros dezóba va, páratla dezóba cs Nuerus egoldás: ét dezóba (háro dezóra általáosítható: 4 φésőbb = φörbe φelőbb φost c t = x