Térbeli pont helyzetének és elmozdulásánk meghtározásáról - I Egy korábbi dolgoztunkbn melynek címe: Hely és elmozdulás - meghtározás távolságméréssel már volt szó címbeli témáról Ott térbeli mozgást végző pont helyzetének távolságméréssel történő egymás utáni meghtározásávl oldottuk meg feldtot, szkirodlomr is támszkodv A megoldás lényege ott is, itt is ábr : ábr z elmozdulásvektor: e = u + v + w ui v j w k, ( ) hol: u X X, v Y Y, w Z Z A feldt tehát: ( X, Y, Z ) és ( X, Y, Z ) meghtározás, méréssel / számítássl Ez megoldhtó z lábbik szerint is ( )
Most tekintsük ábrát! ábr Itt egy áltlános elrendezési vázlt láthtó, sok felvett mennyiséggel Hogy melyiket hsználjuk fel, zt mgunk döntjük el ld lább! Most képzeljük el, hogy PP v egyenest úgy szármzttjuk, hogy képezzük z α és β függőleges vetítősíkok metszésvonlát! A keresett P pont ezen pl λ hjlású OP egyenessel jelölhető ki Így máris előttünk áll z Adott: ; α, β, λ Keresett: ( X, Y, Z ) P Feldt: A ábr szerint P indexet elhgyv : X t cos, Y t sin, Z t tg ( 3 ) Most szinusztétellel: t sin sin sin 80 sin,
3 innen: sin t sin Mjd ( 3 ) és ( 4 ) - gyel: cos sin X, sin sin sin Y, sin tg sin Z sin ( 4 ) ( 5 ) Ezzel z feldtot megoldottuk Az előzőből könnyen képezhető Feldt: Adott: d ; α, λ Keresett: ( X, Y, Z ) P A ábr szerint: t d cos, ( 6 ) így ( 3 ) és ( 6 ) - tl: X d cos cos, Y d cos sin, Z d sin ( 7 ) A ( 7 ) képletsor P pont polárkoordinátás megdásánk is tekinthető Ezzel z feldtot megoldottuk A következő 3 feldt egy kicsit összetettebb Ehhez tekintsük 3 ábrát is!
4 Adott:, d, d ; α, λ Keresett: ( X, Y, Z ) P 3 ábr Először helymeghtározás geometriájáról szólunk Az (, d, d ) dthárms felvétele nem lehet teljesen tetszőleges: fenn kell állni közöttük d d ( 8 ) egyenlőtlenségnek H (, d, d ) már dott és ( 8 ) fennáll, kkor háromszöget lkotnk, melynek 3 ábrán jelölt P pontj lesz keresett térbeli pont Cskhogy ezzel P meghtározás még nem egyértelmű, mert háromszöget z oldl mentén megforgtv P pontok egy kört írnk le, mely végtelen sok pontból áll A körpontok közül z lesz keresett, me - lyet egy előre megdott φ szöggel zonosítunk Minthogy utóbbi dt esetleg egyáltlán nem mérhető, ezért helyette könnyen meghtározhtó α és λ szögeket válsztjuk
3 Az OAP háromszög OA egyenes körüli megforgtásávl két, z lpjukkl egymásr támszkodó forgáskúp - drb áll elő Egy kúp lkotói egyform hosszúk A fenti geometrii összefogllás után számítás z lábbi A 3 ábr szerint: ~ z OCP derékszögű háromszögből: m d X ; ( 9 ) ~ CAP derékszögű háromszögből: 5 m d X ; ( 0 ) most ( 9 ) és ( 0 ) - zel: d X d X ; rendezéssel: d X d X X ; d X d X X ; X d d, innen: d d X Most ( 9 ) és ( ) - gyel: d d d d m d X d d, d innen: m d d d d ( ) ( ) A P pont koordinátáit többféleképpen is felírjuk; ennek mgyráztávl később fogllkozunk Az első képletsor: X X, Y X tg, Z Y tg A második képletsor ( 7 ) ismétlése: ( 3 )
6 X d cos cos, Y d cos sin, Z d sin ( 7 ) Most hsonlítsuk össze kpott képleteket! ( 3 / ) és ( 7 / ) szerint ( ) - gyel is: d d X d cos cos ; innen: X d d coscos ; d d Minthogy ( 4 ) bl oldlár 3 ábr szerint: X d d cos 0, d d ( 4 ) ( 5 ) hol α 0 d lkotójú kúp félnyílásszöge, ( 4 ) és ( 5 ) - tel kpjuk, hogy: cos cos cos ( 6 ) 0 A ( 3 / ) és ( 7 / ) összehsonlítás nem hoz újt De ( 3 / 3 ) és ( 7 / 3 ) összevetéséből: Z Y tg d sin ; rendezéssel és ( 3 / ) - vel: d sin d sin tg tg, Y d cos sin sin tehát: tg tg sin ( 7 ) Az eredmények elgondolkodttók: vlóbn szükség vn 3 feldtbn 5 db (, d, d ; α, λ ) bemenő dtr, mikor feldtbn ugynrr csk 3 db (d ; α, λ ) kellett? A kérdésre válsz: nem és igen Ugynis ( 6 ) és( 7 ) megfelelőjét felírhtjuk z ábr dtivl d lkotójú kúpr is: cos cos cos, ( 8 ) 0
7 hol X d d cos 0, d d ( 8 / ) vlmint tg tg sin ( 9 ) A és 3 ábr összehsonlításából kiderül, hogy h 3 ábr szerinti (, d, d, φ ) dtokkl dolgozunk, kkor ez egyenértékű z ( ; d, α, λ ; d, β, μ ) dtválsztássl E 7 dt között 4 db kpcsolti egyenlet ( 6 ), ( 7 ), ( 8 ), ( 9 ) áll fenn, így független dtok szám 7 4 = 3 most is Akkor feltehető kérdés, hogy miért fogllkozunk 3 feldttl, h feldt célsze - rűen és gzdságosn megoldott zt? Azért, mert mérések eredményeinek megbízhtó feldolgozásához szükség vn fölös mérésekre, mérési hibák kiegyenlítéséhez Hiszen h feldt 3 dtából csk egy is elvész vgy erősen hibás, kkor mérés ki - értékelése meghiúsul: hiáb dolgoztunk Persze, meg lehet kérdezni zt is, hogy miért nem z O pontbn végzünk fölös mérése - ket Erre válsz lehet z, hogy z O - bn felállított mérőeszközzel P cél nem mindig látszik jól, stb Természetesen, földméréssel szkmszerűen fogllkozók nyilván tud - nk más megoldást is; itt cél: bemuttni nem csk távolságméréssel dolgozó helymeg - htározási lehetőségeket is mgunk kedvére vló módon Most térjünk vissz 3 feldthoz! A fölös mérésekkel P pont koordinát - lkji pl z lábbik: d d X, Y Xtg Xtg, ( 0 ) Z d sin d sin További képletek írhtó fel ( 7 ) felhsználásávl Tudjuk, hogy cos, tg ( ) vlmint
8 tg sin tg ( ) A 3 ábr lpján: Y mcos, ( 3 ) Z msin ( 4 ) Most pl ( ), ( 7 ), ( ) és ( 3 ) - ml: d d d Y mcos m d, tg tg sin tehát: d d Y d d tg sin ( 5 ) Mjd pl ( ), ( 7 ), ( ) és ( 4 ) - gyel: tg tg d d Z msin m d sin, d tg tg sin tehát: tg d d Z d sin d tg sin ( 6 ) Természetesen ( 7 ) helyett ( 9 ) - et is hsználhtjuk Még egy további kérdés vár megválszolásr: miért vn z, hogy z feldtnál 4 dt
( ; α, β, λ ), 3 feldtnál 4 dt (, d, d ; φ ), feldtnál pedig csk 3 dt ( d ; α, λ ) kellett feldt egyértelmű megoldásához? A válszhoz tekintsük 4 ábrát is, mely z előbbiek egyes elemeit ismétli meg 9 A 4 ábr szerint is: 0 4 ábr X d cos d cos cos, ( 7 / )* innen ismét cos cos cos ( 6 ) 0 kpcsolt dódik Ugyninnen, ( 6 ) - tl is: 0 0 PC m d sin d cos d cos cos, tehát: m d cos cos ( 7 ) Most ( 7 ), ( ), ( 3 ), ( 7 ) képletekkel: cos cos Y mcos m d, tg tg sin
0 tehát: cos cos Y d tg sin ( 8 ) Hsonlón ( 7 ), ( ), ( 4 ), ( 7 ) képletekkel: tg tg Z msin m d sin cos cos, tg tg sin tehát: tg Z d sin cos cos tg sin ( 9 ) Látjuk, hogy ( 7 / )*, ( 8 ) és ( 9 ) szerint is kifejezhetők 3 feldt eredményei 3 db prméterrel, d, α és λ - vl Az előzőek és z utóbbik egyezése zonos átlkításokkl meg is mutthtó Először emlékeztetünk rr, hogy ( 7 / ) és ( 7 / )* ugynzt dt ki Most ( 7 / ) és ( 8 ), vlmint ( 7 / 3 ) és ( 9 ) egyezését kell kimuttni Kezdjük ( 7 / ) és( 8 ) - cl:? cos cos Y d d cos sin tg sin (? ) H (? ) igz, kkor cos cos cos sin tg sin ( ) Azonos átlkításokkl:
cos cos cos cos cos cos sin tg tg sin tg sin sin cos cos cos cos sin sin sin tg sin sin cos cos cos sin cos cos sin sin sin cos cos cos cos sin sin sin cos sin cos cos cos cos sin sin sin cos cos sin cos cos sin sin sin cos sin sin cos sin cos, cos sin sin mit igzolni kellett Hsonlón ( 7 / 3 ) és ( 9 ) - cel: tg? Z d cos cos sin d sin tg sin H (?? ) igz, kkor tg cos cos sin sin tg sin (?? ) ( ) Felhsználv z imént igzolt ( ) - t is, ( ) bl oldl így írhtó:
tg sin cos cos tg cos cos tg tg sin sin sin tg sincos sin, sin mit igzolni kellett Ezzel beláttuk, hogy fennállnk z lábbik: X d cos d cos cos, 0 coscos Y d d cos sin, tg sin cos cos tg Z d d sin tg sin sin ( A ) De kkor z előbb miért kellett 4 dt ugynehhez? Vlójábn nem kellett, csk kényelem könnyebb áttekinthetőség okán válsztottuk zokt prmétereket A fentiekben minden szög: pozitív közbezárt szög Vn még néhány kpcsolt, mit érdemes lehet felderíteni Ennek céljából térjünk vissz 4 ábrához! Innen: Y X tg, tg tg cos ; Y m cos X tg cos 0 0 ( 30 ) vlmint Y X tg, tg tg 0 cos Y m cos X tg cos 0 ( 3 ) Most ( 30 ) és ( 3 ) - ből:
3 tg tg tg tg 0 0 ( 3 ) A ( 3 ) képlet fontos jelentése, hogy bár z α és β szögek változók, tngenseik hány - dos zonbn állndó Kíváncsiságunkt kielégítendő számítsuk is ki ezt z állndót! Az OAP háromszögből koszinusztétellel: d d d cos, 0 innen: d d cos 0 d ( 33 ) Ebből d d 0 rccos d Hsonlón: d d d cos, 0 innen: d d cos 0 d Ebből: d d 0 rccos d ( 34 ) ( 35 ) ( 36 ) Most trigonometrii zonosságokkl: sin x cos x cos x cos x cos x cos x cos x tgx, ( 37 ) így ( 33 ) és ( 37 ) szerint: d tg0, cos 0 d d d d d tehát:
4 d tg 0 d d ( 38 ) Teljesen hsonlón kpjuk, hogy d tg 0 d d Utóbbik hánydos: tg tg d d d d 0 d d 0 d d d d d d, ( 39 ) ( 40 ) vgyis ( 3 ) és ( 40 ) szerint: d tg d d tg d d d ( 4 ) Most vissztérünk ( 4 ) képlethez: sin t sin ( 4 ) Azonos átlkításokkl: sin sincos cossin sin tg cos cos, sin sin tg tg tehát: sin sin tg cos tg ( 4 )
5 Most ( 4 ) és ( 4 ) - vel: sin t sin tg cos tg Most felidézzük ( 3 ) - t: X t cos, Y t sin, Z t tg Mjd ( 3 / ) és ( 43 ) - ból: X tg tg ( 43 ) ( 3 ) ( 44 ) Most ( 4 ) és ( 44 ) - gyel: X ; tg d tg d d d d d ( 45 ) ezután ( 3 / ), ( 4 ) és ( 43 ) - ml: tg Y tg ; tg d tg d d d d d ( 46 ) végül ( 3 / 3 ), ( 4 ) és ( 43 ) - ml:
6 tg tg Z tg cos d tg d d cos d d d ( 47 ) A ( 45), ( 46 ), ( 47 ) képletekből jól láthtó, hogy dott (, d, d ) esetén: X X,d,d konst, Y Xtg Y,d,d ; vr, tg Z X Z,d,d ;, vr cos ( 48 ) Megjegyezzük még, hogy ( 30 ) és ( 3 ) összefüggések rr figyelmeztetnek, hogy α és φ, vlmint β és φ nem függetlenek egymástól A fenti sokféle képlet felírásávl zt kívántuk bemuttni, hogy z dott feldt megol - dás során milyen sokféleképpen járhtunk el; másképpen mondv: milyen szbdsá - gunk vn A szbdsági fokok szám mint láttuk prméterek / változók megvá - lsztásától is függ Láttuk ( 7 ) képlet, hogy legkevesebb 3 dttl rendelkeznünk kell P pont térbeli koordinátáink, mjd z ezekből dódó ( ) elmozdulás - összetevők számításához Azt is láttuk, hogy jóvl több is lehet felhsznált mennyiségek szám, megoldás berendezkedési módjától függően Szóltunk rról is, hogy nem biztos, hogy célszerű lehető legkevesebb dttl dolgozni: fölös dtok / mérések növelik munk eredményességét, megbízhtóságát Azt még el kell mondni, hogy fentiek szerinti fölös mérések gykrn szinte mguktól dódnk Ugynis h felállunk z O pontbn egy távolság -, vlmint vízszintes és függőleges síbeli szögek mérésére is lklms műszerrel és z idevágó geodézii műszerek ilyenek, kkor z A és P pontok beirányzás és z eredmények leolvsás után rendelkezésünkre állnk z, d, d hosszúság -, vlmint z α, β, λ, μ szög - dtok Némelyik kár duplán is, hiszen = OA = AO Azz z O és z A pontbeli felállássl és egy - egy leolvsássl 8 db dtot gyűjthetünk be Ezek szám zonbn több méréssel és leolvsássl még növelhető Sződliget, 0 július 3 Összeállított: Glgóczi Gyul mérnöktnár