Debreceni Egyetem Komplex függvénytan Jegyzet Készítette: Szokol Patrícia Dr. Molnár Lajos előadása alapján
Tartalomjegyzék. Bevezetés 3.. Komplex számok, számsorozatok 3.2. Lineáris törtfüggvények 7 2. Síkbeli tartományok 0 3. Komplex függvények differenciálhatósága 2 4. Hatványsorok 6 5. Exponenciális és trigonometrikus függvények 20 6. Pályamenti integrál 25 7. Holomorf függvények Cauchy-elmélete 30 7.. Liouville-tétel 40 7.2. Cauchy integráltétel és integrálfomulák homológ változata 44 8. Holomorf függvények zérushelyei 45 8.. Maximum-tétel 46 9. Laurent-sor 47 0. Holomorf függvények izolált szinguláris helyei 52. Cauchy-féle reziduum-tétel és alkalmazásai 58.. Trigonometrikus integrálok 6.2. Racionális törtfüggvények improprius integrálja 62.3. Argumentum elv és Rouché-tétel 70 2
. Bevezetés.. Komplex számok, számsorozatok. A matematika fejlődése során a komplex számok bevezetését elsősorban az motiválta, hogy bizonyos racionális együtthatós polinomoknak, például az x 2 + polinomnak nincs gyöke a valós számok teste felett. Azóta viszont ismeret az algebra alaptétele, mely szerint minden legalább elsőfokú, valós vagy komplex együtthatós polinomnak van komplex gyöke... Definíció. Tekintsük az {(x, y) : x, y R} halmazt majd értelmezzük ezen a halmazon az összeadás és a szorzás műveletet a következő módon. Bármely két (x, y), (u, v) R R esetén legyen () (x, y) + (u, v) = (x + u, y + v) (x, y)(u, v) = (xu yv, xv + yu) Ezekkel a műveletekkel R 2 testet alkot, melyet a komplex számok testének nevezünk és C-vel jelölünk. Könnyen látható, hogy az x (x, 0) (x R) transzformáció révén R részteste a komplex számok testének. A C elemei között kitüntetett szerepe van az i := (0, ) elemnek. Az () alapján könnyen ellenőrizhető, hogy i 2 = (0, ) 2 = (, 0), valamint, hogy az := (, 0) a komplex számok multiplikatív egységeleme, azaz bármely (x, y) C esetén (, 0)(x, y) = (x, y)(, 0) = (x, y)..2. Definíció. Másik jelölés használatával jutunk a komplex számok úgynevezett binom alakjához. (x, y) = (x, 0) + (0, y) = (x, 0) + (y, 0)(0, ) = x + yi. A fenti jelölésekkel a z komplex szám valós részén Re(z) := x, képzetes részén pedig a Im(z) := y számot értjük. A derékszögű koordinátarendszer vízszintes tengelyén a komplex szám valós részét, a függőleges tengelyen pedig a képzetes részt jelölve a komplex számokat vektorként ábrázolhatjuk..3. Definíció. A z = x + iy komplex szám konjugáltján a z := x iy komplex számot értjük, abszolútértékén pedig a számot. z = x 2 + y 2 = zz /2 3
.4. Megjegyzés. () A definícióból látszik, hogy egy z komplex szám z konjugáltjának megfelelő vektort megkapjuk, ha a z-hez tartozó vektort az x-tengelyre tükrözzük. (2) Egy z komplex szám abszolútértéke a neki megfelelő vektor hossza. (3) Könnyen ellenőrizhető, hogy bármely z, w C esetén zw = z w. Minden komplex szám felírható a hosszának és irányának szorzataként az alábbi módon..5. Definíció. Legyen a z C-nek megfelelő vektor x-tengellyel bezárt szöge θ, ahol θ [0, 2π[. Ezt a θ szöget z argumentumának nevezzük és z trigonometrikus alakján a (2) z = z (cos θ + i sin θ) kifejezést értjük. A későbbiekben látni fogjuk, hogy teljesül a következő összefüggés e iz = cos z + i sin z melyet felhasználva (2)-ből kapjuk, hogy z = z e iθ. (z C), Könnyen megmutatható, hogy két komplex számot összeszorozva a komplex számok hossza összeszorzódik, az argumentum pedig az argumentumok összegével lesz egyenlő modulo 2π. Legyen z, w C, továbbá legyen θ, ill. φ rendre z, ill. w argumentuma. Ekkor zw = z w e iθ e iφ = zw e i(θ+φ), ami valóban mutatja, hogy arg(zw) = arg(z) + arg(w).6. Tétel. Legyen z, z 2,..., z n C. Ekkor z + z 2 z + z 2 (mod 2π). z + z 2 +... + z n z + z 2 +... + z n (z,..., z n C), azaz a valós esethez hasonlóan igaz a háromszög-egyenlőtlenség, valamint a sokszögegyenlőtlenség..7. Megjegyzés. A fenti tételben pontosan akkor kapunk egyenlőséget, ha a z, z 2,..., z n komplex számoknak megfelelő vektorok azonos irányúak és azonos irányításúak..8. Tétel. Legyen z, w C. Ekkor z w z w. Az alábbiakban metrikus szemszögből vizsgáljuk C-t, (mely metrikus szempontból megegyezik R 2 -vel) és emlékeztetünk a legfontosabb metrikus fogalmakra. 4
.9. Definíció. Legyen z, w C. Ezek távolságát a d(z, w) = z w képlettel definiáljuk. A fenti d nyilvánvalóan metrika, ugyanis d(z, w) pontosan a z és w, mint R 2 -beli vektorok euklideszi távolságával egyenlő..0. Definíció. Legyen z C és r > 0. A z középpontú, r sugarú nyílt, illetve zárt körlapot a következőképpen definiáljuk: D r (z) := {w C : z w < r} illetve D r (z) := {w C : z w r}. További metrikus fogalmak:.. Definíció. Egy z C pont az A C halmaznak belső pontja, ha r > 0, hogy D r (z) A; torlódási pontja, ha r > 0 esetén {D r (z)\{z}} A ; érintkezési pontja, ha r > 0 esetén D r (z) A határpontja, ha r > 0 esetén D r (z) A és D r (z) A c ; (itt A c az A halmaz komplemeterét jelöli.) A C egy részhalmazát nyíltnak nevezzük, ha a részhalmaz minden pontja belső pont és zártnak mondjuk, ha komplementere nyílt..2. Megjegyzés. Az előző definíciók alapján könnyen végiggondolhatók az alábbi egyszerű állítások: Egy halmaz pontosan akkor zárt, ha minden torlódási pontját tartalmazza. Egy halmaz pontosan akkor zárt, ha megegyezik érintkezési pontjai halmazával..3. Definíció. A (z n ) : N C komplex számsorozatot konvergensnek nevezzük, ha z C, úgy, hogy ɛ > 0 esetén n 0 N, hogy n n 0 esetén z n z < ɛ. A z komplex számot a komplex számsorozat határértékének nevezzük..4. Tétel. Legyenek (z n ), (w n ) : N C konvergens sorozatok, melyekre z n z és w n w és λ C. Ekkor (z n + w n ), (λz n ), (z n ), (z n w n ) illetve, ha w w n 0 (n N), akkor (z n /w n ) sorozatok is konvergensek és határértékeik rendre z + w, λz, z, zw illetve z/w. A Bolzano-Weierstrass tétel valamint a Cauchy-kritérium is fennállnak ugyanúgy, mint valós esetben..5. Tétel (Bolzano-Weierstrass). Minden korlátos komplex számsorozatnak van konvergens részsorozata..6. Tétel. A (z n ) : N C komplex számsorozat pontosan akkor konvergens, ha ɛ > 0 esetén n 0 N, hogy n, m n 0 esetén z n z m < ɛ. 5
Ismeretes, hogy R n -ben egy halmaz pontosan akkor kompakt, ha korlátos és zárt. Láttuk, hogy C metrikus szempontból megegyezik R 2 -vel. Mivel C nem korlátos, így nem is kompakt, azonban már egy pont hozzávételével kompakttá tehető a következő módon. A komplex számsíkra helyezve az R 3 -beli egységsugarú gömböt úgy, hogy az érintkezési pont (déli pólus) az origóban legyen, a (0,0,2) pontból (Északi-pólusból) kiinduló félegyenesek segítségével a komplex sík pontjainak egyértelműen megfeleltethetőek a gömb pontjai. A komplex sík egy pontjának a gömb azon, Északi pólustól különböző pontját feleltetjük meg, melyben a megfelelő félegyenes metszi a gömböt. Könnyen végiggondolható, hogy ha a komplex sík egy z elemére z, akkor a z pont gömbön felvett képe az Északi-pólushoz tart. Az Északi-pólust a sík végtelen pontjának megfeleltetve, kölcsönösen egyértelmű megfeletetés adható a végtelennel kibővített számsík és a teljes számgömb között. Nyilvánvaló, hogy ez a leképezés mindkét irányban folytonos. A fenti beazonosításban szereplő gömböt Riemann-féle vagy komplex számgömbnek nevezzük, a leképezés pedig a sztereografikus vetítés..7. Definíció. Azt mondjuk, hogy a (z n ) komplex számsorozat tart a végtelenbe, ha K > 0 valós számhoz n 0 N, hogy n 0 n esetén z n > K..8. Megjegyzés. Ez azt jelenti, hogy a (z n ) komplex számsorozat pontosan akkor tart a végtelenhez, ha z n +, mint valós számsorozat. Következésképpen a már említett Bolzano-Weierstrass tétel a következő formában is igaz. Kibővített számsíkon minden sorozatnak van konvergens részsorozata. A továbbiakban a komplex függvények tulajdonságai kerülnek összefoglalásra..9. Definíció. Legyen D C nyílt halmaz, f : D C és z 0 D. Ekkor f folytonos z 0 -ban, ha ɛ > 0 esetén δ > 0, hogy z z 0 < δ, z D esetén f(z) f(z 0 ) < ɛ. Könnyen látható, hogy egy komplex függvény akkor folytonos, ha mint 2-változós valós függvény folytonos..20. Definíció. Legyen D C nyílt halmaz és z 0 torlódási pontja D-nek. Az f : D C függvénynek z 0 -ban létezik határértéke és az w 0 C, ha ɛ > 0 esetén δ > 0, hogy 0 < z z 0 < δ, z D esetén f(z) w 0 < ɛ. A folytonosság átviteli elvvel, illetve a határérték sorozatokkal történő megfogalmazása komplex függvényekkel kapcsolatban hasonlóan érvényben marad, mint a valós függvények esetében. Valamint igaz az összegfüggvény, szorzatfüggvény folytonosságára vonatkozó tétel is..2. Tétel. Legyen D C nyílt halmaz és az f, g : D C függvények folytonosak z 0 D-ben. Ekkor f +g, f g, fg, illetve, ha g(z 0 ) 0, akkor f/g is folytonosak z 0 -ban. Hasonlóan,.22. Tétel. Legyen D C nyílt halmaz és z 0 torlódási pontja D-nek és tegyük fel, hogy az f, g : D C függvényeknek létezik a határértékük z 0 -ban és lim z z0 f(z) = u és 6
lim z z0 g(z) = v, ahol u, v C. Ekkor az f + g, f g, fg, illetve, ha g(z 0 ) 0, v 0, akkor az f g függvényeknek is létezik a határértékük a z 0 pontban, és lim (f(z) + g(z)) = u + v; z z 0 lim (f(z)g(z)) = uv; z z 0 lim (f(z) g(z)) = u v; z z0 ( ) f(z) lim = u z z0 g(z) v. Összetett függvények esetén a következő állítások teljesülnek:.23. Tétel. Legyen D, D 2 C és f : D C, valamint g : D 2 C, ahol f(d ) D 2. Ha f folytonos z 0 D -ben, g pedig folytonos f(z 0 )-ban, akkor a g f összetett függvény is folytonos z 0 -ban..24. Tétel. Legyen D C és f : D C, valamint g : f(d ) C. Továbbá legyen z 0 a D -nek, w 0 pedig f(d )-nek torlódási pontja úgy, hogy z z 0 esetén f(z) w 0. Ha léteznek a következő határértékek lim f(z) = w 0 ; z z 0 akkor létezik a lim z z0 (g f)(z) = A. lim g(w) = A, w w 0 A fenti tételek alapján látható, hogy a komplex függvények folytonosságára illetve határértékeire vonatkozóan hasonló szabályok érvényesek, mint a valós függvényekkel kapcsolatban..2. Lineáris törtfüggvények. Ebben a részben a komplex lineáris törtfüggvények geometriai szerkezete kerül leírásra. A valós esettől komplikáltabb a szerkezet. Már az az + b alakú lineáris függvényt tekintve is könnyen észrevehető a különbség. Valós esetben ugyanis egy ilyen lineáris transzformáció egy nyújtás és egy eltolás kompozíciójaként áll elő, a komplex esetben azonban már megjelenik a forgatás is..25. Definíció. A w = f(z) = az + b (z C) cz + d alakú függvényeket, ahol a, b, c, d C, melyekre teljesül, hogy a b c d 0, lineáris törtfüggvényeknek nevezzük. Ezen törtfüggvények vizsgálatához tegyük fel először, hogy c 0. Ekkor a lineáris törtfüggvény a z = d/c helyen nincs értelmezve. Viszont ekkor észrevehetjük, hogy z d/c esetén f(z). Abban az esetben pedig, amikor z, akkor f(z) a/c. A definícióban szereplő törtfüggvényt úgy értelmezve, hogy a z = d/c pontnak a pontot feleltetjük meg, a z = pontnak pedig az a/c pontot, a lineáris törtfüggvény a kibővített komplex számsíkot (illetve a Riemann-féle számgömböt) egyértelműen képezi le önmagára. 7
A következő lépésben tegyük fel, hogy c = 0. Ekkor a feltételek miatt d 0, így f(z) = a d z + b d alakú lineáris függvény adódik. Ekkor z esetén f(z). Így azt kapjuk, hogy z = pontnak a pontot megfeleltetve, a lineáris törtfüggvény a kibővített komplex számsíkot (illetve a Riemann-féle számgömböt) egyértelműen képezi le önmagára. Az f függvény inverze is könnyen kiszámolható, mely szintén lineáris törtfüggvény f (w) = dw b cw + a. A továbbiakban a lineáris törtfüggvények szerkezetét vizsgáljuk meg. Megnézzük, hogy milyen transzformációk kompozíciójaként állíthatóak elő ezek a törtfüggvények. Az elsőként vizsgált, c = 0 esetben f(z) = a d z + b d = a z + b alakú lineáris függvény, ahol a 0. Kisebb átalakítás után adódik, hogy f(z) = a (z + b a ) = a a a (z + b a ), ahol z (z + b a ) egy eltolást, a a valós számmal való szorzás egy nyújtást vagy zsugorítást, végül a a a egy abszolútértékű komplex számmal való szorzás egy forgatást jelent. A c 0 esetben pedig alakban írható, ahol f(z) = az + b cz + d = a bc ad c + c 2 = a z + d c c + bc ad c 2 z + d c z z + a c egy eltolás, a bc ad c 2 számmal való szorzás egy nyújtás vagy zsugorítás és egy forgatás kompozíciója és z z + d c egy eltolás és a reciprok vétel kompozíciója. A reciprok vételt tovább vizsgálva, z z = z z 2 = adódik, ami egy egységkörre vonatkozó tükrözés z z z 2 és egy tükrözés kompozíciója. Összefoglalva a fentieket: z z z z 2,, 8
.26. Tétel. Minden komplex lineáris törtfüggvény előállítható a következő egyszerű transzformációk kompozíciójaként: eltolás nyújtás forgatás (origó körül, rögzített szöggel) valós tengelyre való tükrözés egységkörre való inverzió..27. Megjegyzés. Az eltolás, a nyújtás, a forgatás, a valós tengelyre való tükrözés, valamint az egységkörre való inverzió is kört körbe vagy egyenesbe, egyenest pedig egyenesbe vagy körbe képeznek. (Valójában ezek közül csak az egységkörre való inverzió az a transzformáció, ami a kört átviszi egyenesbe, az egyenest pedig körbe.) Valamint két egyenest tekintve, az általuk bezárt szög megegyezik a fenti leképezések során kapott egyenesek által bezárt szöggel, azaz ezen leképezések szögtartóak. A forgási irányt pedig csak a valós tengelyre való tükrözés és az egységkörre való inverzió fordítja meg, de ezek a lineáris törtfüggvény szerkezetében mindig egyszerre fordulnak elő. Ezeket összefoglalva:.28. Tétel. Lineáris törtfüggvény szögtartó (konformis) és a forgási irányt is megtartja. Továbbá kört körbe vagy egyenesbe és egyenest egyenesbe vagy körbe képez..29. Definíció. Legyen z, z 2, z 3, z 4 C. Ezen komplex számok kettős viszonya alatt a következő mennyiséget értjük: (z, z 2, z 3, z 4 ) = z 3 z z 3 z 2 z4 z z 4 z 2..30. Tétel. A lineáris törtfüggvény megtartja a kettősviszonyt. A következő alakú lineáris törtfüggvények segítségével a felső félsík egységkörlapra való leképezése is elérhető w = k z α z α, ahol k és α olyan komplex számok, melyekre k = és az α képzetes része pozitív. Valamint az alábbi alakú lineáris törtfüggvényeket alkalmazva az egységkörlap is leképezhető önmagára w = k z α αz, ahol k és α tetszőleges komplex számok, melyekre k = és α <. 9
2. Síkbeli tartományok 2.. Definíció. Az X metrikus teret összefüggőnek nevezzük, ha nem létezik U, V X nemüres, nyílt részhalmaz, hogy U V = és U V = X. 2.2. Tétel. Legyen X metrikus tér. Ekkor a következő állítások ekvivalensek: () X nem összefüggő; (2) A X nyílt-zárt halmaz, melyre A, A X; (3) f : X R folytonos függvény: f(x) = {0, }. Bizonyítás. () (2) Ha X nem összefüggő, akkor felbontható két nemüres, diszjunkt nyílt részhalmaz uniójára, azaz U, V X nemüres, nyílt részhalmazok, melyekre U V = és U V = X. Tekintve az U nemüres, nyílt halmazt, ennek komplementuma a U c = V, mely szintén nemüres, nyílt. Ebből következően U zárt is és U X. (2) () Ha U olyan nyílt-zárt halmaz, amire U, U X, akkor mivel U zárt, akkor komplementuma nyílt és mivel U nem az egész tér, akkor U c. Így elő tudtuk állítani az X metrikus teret két nemüres, diszjunkt, nyílt halmaz uniójaként. () (3) X = U V, ahol U, V nyílt, U, V. Ekkor legyen { 0 ha x U f(x) = ha x V. Könnyen látható, hogy f(x) = {0, }. Valamint f folytonos is, ugyanis R egy N nyílt részhalmaza esetén az N halmaz f általi inverz képe U, V, illetve X valamelyike lesz, melyek mindegyike nyílt. (3) () Létezik f : X R folytonos, melyre f(x) = {0, }. Ekkor legyen U = f (( /2, /2)) V = f ((/2, 3/2)). A folytonosság miatt U és V nyílt, diszjunkt, melyekre U V = X. Így X nem összefüggő. 2.3. Definíció. Az X metrikus tér részhalmaza összefüggő, ha mint altér (metrikus tér) összefüggő. 2.4. Állítás. Legyen X metrikus tér és A X részhalmaza. Az A altér nyílt részhalmazai az A U alakú halmazok, ahol U X nyílt. Hasonló igaz zárt halmazokra is. Bizonyítás. Legyen A részhalmaza X-nek és U X nyílt halmaz. Az U-nak minden pontja belső pont. Tekintsünk az A U halmazból egy pontot. Ez U-nak belső pontja, így ha vesszük ezen belső pont A-ba eső környezetét, akkor látható, hogy az említett pont az A U halmaznak belső pontja lesz. Minden metszetbeli ponthoz tudunk olyan környezetet adni, ami benne van A-ban. Ez definíció szerint azt jelenti, hogy A U nyílt A-ban. 0
Megfordítva, meg kell mutatni, hogy A minden nyílt halmaza A U alakú. Legyen N A nyílt A-ban. Vegyünk N minden pontja körül olyan nyílt környezetet, amely benne van N-ben. Így N egy lefedését kapjuk, azaz N = x N{D r (x) A r > 0, D r (x) A N}, így ( ) N = x N {D r (x) r > 0, D r (x) A N} A, ahol ( x N {D r(x) r > 0, D r (x) A N} ) nyilvánvalóan nyílt részhalmaza X-nek. 2.5. Tétel. Összefüggő metrikus tér folytonos képe is összefüggő. 2.6. Definíció. Legyen X metrikus tér. Az A X részhalmaz maximálisan összefüggő, ha nem létezik B X összefüggő részhalmaz, hogy A B és A B. 2.7. Definíció. Metrikus tér maximális összefüggő részhalmazait a tér komponenseinek nevezzük. 2.8. Állítás (Komponensek létezése). Legyen X egy metrikus tér és x X. Ekkor azon összefüggő részhalmazok uniója, melyek x-et tartalmazzák X egy komponensét adják. Az, hogy ez maximális, az nyilvánvaló. Az összefüggőség pedig a következő állításból következik. 2.9. Állítás. Metrikus térben tekintsük összefüggő halmazok egy tetszőleges rendszerét. Ha ezek metszete nemüres, akkor uniója összefüggő. Bizonyítás. Ez az állítás a 2.2 tétel (3)-as részéből következik. Ha ezen Y unió nem lenne összefüggő, akkor lenne olyan f : Y {0, } folytonos függvény, hogy f(y ) = {0, }. Legyen x tetszőleges közös eleme a halmazrendszer tagjainak, y Y pedig olyan elem, melyre f(x) f(y). Nyilván y eleme az uniót alkotó halmazok valamelyikének, ez viszont x-et is kell tartalmazza. Tehát ezen az összefüggő halmazon az f folytonos függvény a 0-t és az -t is felveszi, ami nyilvánvaló ellentmondás. 2.0. Állítás. Legyen X metrikus tér és C illetve C 2 két tetszőleges komponense X-nek. Ekkor C C 2 =. Így a komponensek a metrikus tér egy osztályozását adják. 2.. Definíció. Az X metrikus teret ívszerűen összefüggőnek nevezzük, ha x X, y X esetén a, b R, a b és : [a, b] X folytonos függvény, melyre (a) = x és (b) = y. 2.2. Állítás. Minden ívszerűen összefüggő metrikus tér összefüggő, de a megfordítás nem igaz. Bizonyítás. Tegyük fel, hogy X ívszerűen összefüggő, de nem összefüggő. Ekkor f : X R folytonos függvény, melyre f(x) = {0, }. Ami azt jelenti, hogy x, y X,
melyre f(x) = 0 és f(y) =. Másrészt, mivel X ívszerűen összefüggő, a, b R, hogy a b és : [a, b] X folytonos függvény, melyre (a) = x illetve (b) = y. Ekkor f is folytonos lesz az [a, b] intervallumon és (f )([a, b]) = {0, }, ami ellentmondás, hiszen az [a, b] intervallum összefüggő. Vegyük a síkon a H = {(x, sin /x) x > 0} halmazt. Ez ívszerűen összefüggő, így összefüggő. A H lezártat tekintve, az összefüggőség megmarad, azonban ívszerűen nem összefüggő a H halmaz. 2.3. Állítás. Legyen X metrikus tér és A X összefüggő részhalmaz. Ekkor tetszőleges A B A esetén B is összefüggő. Ez az állítás megint a 2.2 tétel (3)-as része alapján igazolható. 2.4. Állítás. Ha D C nyílt, akkor D komponensei nyílt halmazok (nyílt részhalmazai a síknak). Bizonyítás. Legyen C a D egy komponense. A D nyíltsága miatt, a C egy x pontjához r > 0 : D r (x) D. Ez a D r (x) nyílt körlap azonban összefüggő, hiszen ívszerűen összefüggő. C maximális összefüggősége miatt ekkor D r (x) C, azaz C tetszőleges pontja körül van olyan nyílt körlap, ami benne van C-ben. Így C nyílt. 2.5. Definíció. Ha T C nemüres, összefüggő, nyílt halmaz, akkor T -t tartománynak nevezzük. 2.6. Tétel. Ha T tartomány, akkor T bármely két pontja T -beli töröttvonallal (véges sok szakasz uniójával) összeköthető és így T ívszerűen összefüggő. Bizonyítás. Legyen z T. Jelölje E z a T azon pontjait, amelyek összeköthetőek a z ponttal töröttvonal segítségével, N z pedig azon pontokat, amelyek nem. Ekkor E z N z = T és E z N z =. Azt állítjuk, hogy mindkét halmaz nyílt. E z, mivel z E z. Legyen w E z, ekkor r > 0 : D r (w) T és minden D r (w)-beli u elemre u E z. Ami azt jelenti, hogy E z nyílt. Ugyanez a gondolat működik N z -re. Összefoglalva a fentieket: T = E z N z ; E z N z = ; E z ; melyekből T összefüggősége miatt következik, hogy N z =, E z = T. 3. Komplex függvények differenciálhatósága 3.. Definíció. Legyen D C nyílt halmaz, f : D C és z 0 D. Azt mondjuk, hogy az f függvény differenciálható a z 0 pontban, ha létezik a f(z) f(z 0 ) lim z z 0 z z 0 2
határérték. Továbbá ezt a komplex számot az f függvény z 0 pontbeli differenciálhányadosának nevezzük és f (z 0 )-lal jelöljük. Ha f differenciálható a D minden pontjában, akkor f-et holomorfnak nevezzük D-n. Adott D esetén az összes ilyen f függvény halmazát H(D)-vel jelöljük. 3.2. Állítás. Legyen D C nyílt halmaz és f, g : D C olyan függvények, melyek differenciálhatóak a z 0 D pontban. Ekkor f + g is differenciálható z 0 -ban és (f + g) (z 0 ) = f (z 0 ) + g (z 0 ); bármely c C esetén (cf) is differenciálható a z 0 pontban és (cf) (z 0 ) = cf (z 0 ); (fg) is differenciálható a z 0 pontban és (fg) (z 0 ) = f (z 0 )g(z 0 ) + f(z 0 )g (z 0 ); ha g(z 0 ) 0, akkor f g is differenciálható z 0-ban és ( ) f (z 0 ) = f (z 0 )g(z 0 ) f(z 0 )g (z 0 ). g [g(z 0 )] 2 Továbbá, ha D C nyílt, f(d) D és a h : D C függvény differenciálható f(z 0 )- ban, akkor h f is differenciálható a z 0 pontban és (h f) (z 0 ) = h (f(z 0 ))f (z 0 ). Ezen differenciálási szabályok bizonyításai teljesen analóg módon történnek, mint valós függvények esetén. 3.3. Állítás. Legyen D C nyílt halmaz, f : D C és z 0 D. Ha f differenciálható z 0 -ban, akkor f folytonos a z 0 pontban. 3.4. Megjegyzés. A fentiek szerint, tetszőleges D C nyílt halmaz esetén H(D) függvényalgebra. A következőkben a komplex differenciálhatóságra szeretnénk kritériumot adni a valós differenciálhatóság segítségével. Látni fogjuk, hogy a valós differenciálhatóság nem elegendő feltétel. Emellett szükség lesz az úgynevezett Cauchy-Riemann egyenletek teljesülésére is. Rögzítsünk néhány jelölést. Legyen D C nyílt halmaz és tekintsük az f : D C komplex függvényt. A z = x + iy (x, y R) jelöléssel ahol u, v : D R 2 R. f(z) = u(x, y) + iv(x, y), 3
3.5. Tétel. A fenti jelölésekkel az f függvény (komplex értelemben) differenciálható a z 0 = x 0 + iy 0 D (x 0, y 0 R) pontban akkor és csak akkor, ha az u, v kétváltozós valós függvények differenciálhatóak az (x 0, y 0 ) pontban (valós értelemben) és teljesülnek az alábbi úgynevezett Cauchy-Riemann egyenletek: Továbbá ebben az esetben u x (x 0, y 0 ) = v y (x 0, y 0 ); u y (x 0, y 0 ) = v x (x 0, y 0 ). f (z 0 ) = u x (x 0, y 0 ) + i v x (x 0, y 0 ). Bizonyítás. Az f függvény pontosan akkor differenciálható (komplex értelemben) a z 0 = x 0 + iy 0 pontban, ha a, b R, hogy f(z) f(z 0 ) lim z z 0 z z 0 = a + ib. A jobboldalt kivonva és közös nevezőre hozva ez ekvivalens a következővel: f(z) f(z 0 ) (a + ib)(z z 0 ) lim = 0, z z 0 z z 0 ami pedig részletesen kiírva, azt jelenti, hogy ha z z 0 és z = x + iy (x, y R), akkor u(x, y) u(x 0, y 0 ) + i(v(x, y) v(x 0, y 0 )) z z 0 a(x x 0) b(y y 0 ) + ib(x x 0 ) + ia(y y 0 ) 0. z z 0 A képzetes és a valós részt különvéve z z 0 esetén u(x, y) u(x 0, y 0 ) (a(x x 0 ) b(y y 0 )) z z 0 + + i[v(x, y) v(x 0, y 0 ) (b(x x 0 ) + a(y y 0 ))] z z 0 0 A következőkben felhasználjuk, hogy egy komplex számsorozat pontosan akkor tart 0- hoz, ha abszolút értéke tart 0-hoz, az abszolút érték pedig pontosan akkor tart 0-hoz, ha az abszolút érték négyzete tart a 0-hoz. Ez jelen esetben azt jelenti, hogy és [u(x, y) u(x 0, y 0 ) (a(x x 0 ) b(y y 0 ))] 2 (x x 0 ) 2 + (y y 0 ) 2 0 [v(x, y) v(x 0, y 0 ) (b(x x 0 ) + a(y y 0 ))] 2 (x x 0 ) 2 + (y y 0 ) 2 0. Ez ekvivalens azzal, hogy u és v differenciálható (x 0, y 0 )-ban és u (x 0, y 0 ) = (a, b); v (x 0, y 0 ) = (b, a), 4
azaz u és v differenciálható az (x 0, y 0 ) pontban és teljesülnek a Cauchy-Riemann egyenletek. Továbbá, ha f differenciálható a z 0 pontban, akkor f (z 0 ) = a + ib = u x (x 0, y 0 ) + i v x (x 0, y 0 ). Nézzünk néhány példát ezzel kapcsolatban: () Tekintsük a z Re(z) (z C) leképezést. Ekkor egy (x, y) komplex szám esetén (x, y) (x, 0), ami valós értelemben minden pontban differenciálható. A Cauchy-Riemann egyenletek azonban a következők: u x = ; u y = 0; v x = 0 v y = 0, azaz a Cauchy-Riemann egyenletek sehol sem állnak fent, így a tétel szerint ez a függvény komplex értelemben sehol sem differenciálható. (2) A z z 2 (z C), azaz az (x, y) (x 2 + y 2, 0) (x, y R) leképezés valós értelemben minden pontban diferrenciálható. Nézzük a Cauchy-Riemann egyenleteket: u x = 2x; v x = 0 u y = 2y; v y = 0. Csak a (0, 0) pontban áll fenn a Cauchy-Riemann egyenlet, ami azt jelenti, hogy a függvény komplex értelemben pontosan a (0, 0) pontban differenciálható. (3) Végül tekintsük a z z (z C), azaz az (x, y) (x, y) (x, y R) leképezést, ami valós értelemben szintén minden pontban differenciálható. Azonban u x = = v y, miatt kapjuk, hogy komplex értelemben egyetlen pontban sem differenciálható. Ebben az esetben a problémát a tükrözés jelenti, ami a forgási irányt megfordítja. A differenciálható esetben sosem fordulhat meg a forgási irány. Valóban, ha D C nyílt, f : D C pedig differenciálható z 0 D-ben, továbbá f (z 0 ) 0, akkor f lineárisan approximálható, azaz f(z) f(z 0 ) = f (z)(z z 0 ) + ω(z)(z z 0 ) (z C) valamely ω : D C függvénnyel, melyre ω(z) 0, ha z z 0. Ekkor f(z) f (z 0 )(z z 0 ) + f(z 0 ) z 0 egy kicsi környezetében, így f(z) jól közelíthető nyújtás, forgatás és eltolás segítségével, melyek mindegyike szögtartó és a forgási irányt megtartja. Következésképpen, ha egy komplex függvény a forgási irányt nem tartja meg, akkor nem lesz differenciálható komplex értelemben. 5
4. Hatványsorok 4.. Definíció. A c n komplex számsort konvergensnek nevezzük, ha az s n = n k=0 c k részletösszegek sorozatának létezik a határértéke, azaz c C : s n c, ha n. 4.2. Definíció. A c n számsort abszolút konvergensnek nevezzük, ha a c n valós számsor konvergens. 4.3. Megjegyzés. Ha egy sor abszolút konvergens, akkor konvergens. 4.4. Tétel (Cauchy-féle gyökkritérium). Legyen c n komplex tagú sor. () Ha lim n c n <, akkor a c n sor abszolút konvergens; (2) ha lim n c n >, akkor a c n sor divergens. 4.5. Tétel (D Alembert-féle hányadoskritérium). Legyen c n olyan komplex tagú sor, melyre n 0 N, hogy n 0 < n esetén c n 0. () Ha lim c n+ c n <, akkor a c n sor abszolút konvergens; (2) ha lim >, akkor a c n sor divergens. c n+ c n 4.6. Megjegyzés. A Cauchy-féle gyökkritérium "jobb" abban az értelemben, hogy ha egy sor konvergenciáját el lehet dönteni a D Alembert-féle hányadoskritériummal, azt el lehet dönteni a gyökkritériummal is. Ha ugyanis a n > 0 (n N), akkor ( ) ( ) an+ lim lim n a n lim n an+ a n lim. a n A következő sorozat egy olyan példa, ahol a Cauchy-féle gyökkritérium segítségével eldönthető a konvergencia, de a D Alembert-féle hányadoskritériummal nem. Legyen { 3 n, ha n páros a n = 5 n, ha n páratlan. Ekkor lim n a n = 3 amiből <, viszont 5 (n+) 3 n = 5 lim ( an+ a n ( ) n 5 ; 3 ) = 0; lim 3 (n+) 5 n = 3 ( an+ a n ) =. a n ( ) n 3, 5 4.7. Definíció. Legyen z 0 C és c n C adottak n = 0,, 2... esetén. Ekkor a c n(z z 0 ) n (z C) sort z 0 körüli hatványsornak nevezzük. Ezen hatványsor konvergenciasugara R = lim n c n, ha 0 < lim n c n < 0, ha lim n c n =, ha lim n c n = 0. 6
4.8. Tétel (Cauchy-Hadamard tétel). Legyen a c n(z z 0 ) n hatványsor konvergenciasugara R. Ekkor () ha z z 0 < R, akkor a c n(z z 0 ) n sor abszolút konvergens; (2) ha z z 0 > R, akkor a c n(z z 0 ) n divergens. Bizonyítás. A Cauchy-féle gyökkritérium alapján, ha lim z z 0 n c n <, akkor a hatványsor abszolút konvergens z-ben és ha lim z z 0 n c n >, akkor divergens z-ben. A lim n c n értéke alapján három esetet különböztetünk meg. Legyen először 0 < lim n c n <. Ekkor z z 0 < lim n c n esetén a hatványsor konvergens a z pontban, z z 0 > lim n c n esetén a hatványsor divergens a z pontban. A lim n c n = 0 esetben a hatványsor minden z pontban abszolút konvergens. Végül, ha lim n c n =, akkor a hatványsor csak a z = z 0 pontban konvergens. 4.9. Megjegyzés. Az R konvergenciasugár egyértelműen meghatározott azáltal, hogy a z 0 körüli, R sugarú körlap belsejében abszolút konvergens a hatványsor, azon kívül pedig divergens. Függvénysorként tekintve a hatványsort, a konvergenciasugárnak megfelelő nyílt körlap belsejében az pontonként konvergens lesz, azonban sokkal hasznosabb lenne, ha az egyenletes konvergencia is teljesülne. A konvergenciasugárnak megfelelő teljes nyílt körlapon ez nem teljesül, azonban igaz a következő tétel. 4.0. Tétel. A fenti jelölésekkel, ha R < R, akkor a c n(z z 0 ), mint függvénysor egyenletesen konvergens a z z 0 R zárt körlapon. Bizonyítás. Legyen R < R, ekkor R < lim n, mely szerint létezik olyan q, hogy c n lim n c n R < q <. A lim definíciója miatt, ebből következik, hogy n 0 N, melyre azaz n 0 N, hogy n 0 n sup n 0 n n cn R < q, n cn R < q. Végül ezt n-edik hatványra emelve kapjuk, hogy (R ) n c n < q n, 7
melyet felhasználva az adódik, hogy c n (z z 0 ) n = c n z z 0 n c n (R ) n < q n (z D R (z 0 )). Így a függvénysor n 0 < n indexű tagjai az R sugarú zárt körlapon a z-től függetlenül abszolút értékben becsülhető a qn konvergens numerikus sor megfelelő tagjaival. Így a Weierstrass majoráns kritérium miatt a hatványsor egyenletesen konvergens a D R (z 0 ) zárt körlapon. 4.. Tétel. Legyen c n C, n N {0} és z 0 C, továbbá legyen a c n(z z 0 ) n hatványsor konvergenciasugara R. Ekkor az f(z) = c n (z z 0 ) n ( z z 0 < R) módon értelmezett függvény differenciálható és deriváltja f (z) = nc n (z z 0 ) n n= ( z z 0 < R). Ebből következik, hogy az f függvény végtelen sokszor differenciálható és a c n együtthatókat egyértelműen meghatározza az összegfüggvény a következő módon: Bizonyítás. w helyen, c n = f (n) (z 0 ) n! (n N {0}). Legyen R < R és z, w D R (z 0 ). Írjuk ki tagonként az f függvényt a z és f(z) = c 0 + c (z z 0 ) + c 2 (z z 0 ) 2 + c 3 (z z 0 ) 3 +...; f(w) = c 0 + c (w z 0 ) + c 2 (w z 0 ) 2 + c 3 (w z 0 ) 3 +... A formális, tagonkénti differenciálással g(w) = c + 2c 2 (w z 0 ) + 3c 3 (w z 0 ) 2 +... adódna. A g(w) pontosan akkor konvergens, ha w z 0 esetén a nc n (w z 0 ) n konvergens. Ez utóbbi hatványsor konvergenciasugara, felhasználva a lim n n= n n, lim n n c n = lim n n n c n = lim n c n összefüggéseket, szintén R lesz. Azonban ez a hatványsor pontosan ott konvergens, ahol a g konvergens, ami azt jelenti a 4.9 megjegyzés miatt, hogy g konvergenciasugara szintén R. A továbbiakban azt állítjuk, hogy f(z) f(w) z w g(w) 0, ha z w. 8
A baloldalt részletesebben kiírva c ((z z 0 ) (w z 0 )) + c 2 ((z z 0 ) 2 (w w 0 ) 2 ) + c 3 ((z z 0 ) 3 (w w 0 ) 3 ) +... z w (c + 2c 2 (w z 0 ) + 3(w z 0 ) 2 +...). Látható, hogy a következő alakú tagokat kell vizsgálni, c n [(z z 0 ) n (w z 0 ) n ] c n n(w z 0 ) n = z w [ ] (z z0 ) n (w z 0 ) n = c n n(w z 0 ) n (n N). z w Általánosabb formában tekintve és a c n szorzót elhagyva a fenti kifejezés következőképpen írható a n b n a b nbn, ahol a, b C. Ezt részletesen kiírva (3) a n b n a b nbn = = a n + a n 2 b +... + ab n 2 + b n b n b n... b n b n = (a n b n ) + (a n 2 b b n ) +... + (ab n 2 b n ) Az utóbbi összeg minden tagja felírható szorzat alakban, a n b n = (a b)(a n 2 + a n 3 b + a n 4 b 2 +... + ab n 3 + b n 2 ) a n 2 b b n = (a b)(ba n 3 + ba n 4 b +... + bab n 4 + bb n 3 ) melynek segítségével az (3) továbbírható. ab n 2 b n = (a b)b n 2, (a b)(a n 2 + 2a n 3 b +... + (n )b n 2 ) alakban. Abszolútértékben ez a kifejezés becsülhető: (a b)(a n 2 + 2a n 3 b +... + (n )b n 2 ) (a b) ( a n 2 + 2 a n 3 b +... + (n ) b n 2 ) a b ( +... + (n ))(R ) n 2 ahol felhasználtuk, hogy a = z z 0 és b = w z 0 és így a, b < R. Így azt kaptuk, hogy ( (4) f(z) f(w) ) g(w) n(n ) z w z w c n (R ) n 2. 2 n=2 9
Mivel egy konvergens sort megszorozva egy konstanssal a sor konvergens marad, ezért az alábbi két sor egyszerre konvergens (z z 0 ) n(n ) c n (z z 0 ) n 2 n(n ) ; c n (z z 0 ) n. 2 2 n=2 Felhasználva, hogy a jobboldali hatványsor konvergenciasugara lim n n(n ) 2 n=2 c n = lim n n(n ) 2 n cn = lim n c n miatt szintén R, valamint, hogy a fenti két hatványsor egyszerre konvergens, az adódik, hogy a baloldali hatványsor konvergenciasugara szintén R. A (4) esetén (z z 0 ) helyére az R- nél kisebb R van írva, így ( z w c n n=2 ) n(n ) (R ) n 2 0, 2 ha z w. Ebből következik, hogy z w esetén a (4) baloldala is tart 0-hoz, azaz f (w) = g(w). Továbbá írjuk ki ekkor f első néhány magasabbrendű deriváltját: f (z) = c + 2c 2 (z z 0 ) + 3c 3 (z z 0 ) 2 + 4c 4 (z z 0 ) 3 +... f (z) = 2c 2 + 3 2c 3 (z z 0 ) + 4 3c 4 (z z 0 ) 2 +... f (z) = 3 2c 3 + 4 3 2c 4 (z z 0 ) +... f (4) (z) = 4 3 2 c 4 +.... Ekkor az együtthatókra igaz az alábbi összefüggés: f (n) (z 0 ) = n!c n. 5. Exponenciális és trigonometrikus függvények 5.. Definíció. exp(z) = cos(z) = z n n! ; sin(z) = ( ) n (2n + )! z2n+ ; ( ) n (2n)! z2n (z C). Ha numerikus sorként tekintem az exp függvényt definiáló kifejezést és nem hatványsorként, akkor a D Alembert-féle hányadoskritérium alapján: c n+ c n = z n + 0, ha n, 20
azaz ez a sor minden z C esetén abszolút konvergens, a konvergenciasugara. Ugyanilyen módon belátható, hogy a másik két függvénysor is a teljes komplex számsíkon értelmezett, komplex értelemben végtelen sokszor differenciálható függvények lesznek. 5.2. Definíció. A teljes C számsíkon értelmezett, differenciálható függvényeket egész függvényeknek nevezzük. A 4.0 illetve a 4. tételek miatt kapjuk, hogy tetszőlegesen nagy, véges sugarú, zárt körlapon a konvergencia egyenletes lesz, illetve a derivált meghatározható tagonkénti differenciálással. 5.3. Tétel. Az exp, sin és cos függvények differenciálhatóak és exp (z) = exp(z); sin (z) = cos(z); cos (z) = sin(z) (z C). 5.4. Tétel (Euler-féle összefüggések). Az exp, sin és cos függvényekre teljesülnek az alábbi, úgynevezett Euler-féle összefüggések. exp(iz) = cos(z) + i sin(z); exp( iz) = cos(z) i sin(z) (z C). A tétel könnyen igazolható a hatványsorokba történő behelyettesítéssel. A továbbiakban vezessük be az exp(z) = e z jelölést. 5.5. Következmény. Az Euler-féle összefüggések alapján igazak a következők: cos(z) = eiz + e iz ; sin(z) = eiz e iz 2 2i (z C). 5.6. Definíció. A c n és a d n komplex számsorok Cauchy-szorzata alatt a ( n ) c k d n k módon definiált sort értjük. k=0 5.7. Tétel. Két abszolút konvergens sor Cauchy-szorzata is abszolút konvergens és a Cauchy-szorzat összege a tényező sorok összegének a szorzata. Egy abszolút konvergens és egy feltételesen konvergens sor Cauchy-szorzata is konvergens, de nem abszolút konvergens és összege a tényezők összegének a szorzata. Az 5.7 tételből valamint abból, hogy az exp, sin és cos függvényeket definiáló sorok abszolút konvergensek következnek az alábbi állítások. 5.8. Tétel. Bizonyítás. e z e w = e z+w ; sin(z + w) = sin(z) cos(w) + cos(z) sin(w); cos(z + w) = cos(z) cos(w) sin(z) sin(w) k=0 (z, w C). Az első állításhoz írjuk fel a Cauchy-szorzat n-edik tagját: n z k k! w n k (n k)!. 2
Ezt összegezve 0-tól végtelenig megkapjuk az e z és az e w abszolút konvergens sorok Cauchy-szorzatát, mely szintén abszolút konvergens lesz és ( n ) e z e w z k = k! w n k. (n k)! k=0 A jobboldal ekkor tovább alakítható, ( n ) z k k! w n k = (n k)! ahol felhasználtuk, hogy n k=0 k=0 ( n! n k=0 n! zk k! w n k (n k)! = (z + w)n. ) n! zk k! w n k = e z+w (n k)! Ennek segítségével már a másik két állítás is igazolható felhasználva az 5.5-ben szereplő összefüggéseket is. 5.9. Megjegyzés. Az előző tétel speciális eseteként megjegyezzük, hogy ( sin z + π ) = cos(z), 2 felhasználva, hogy sin ( π 2 ) = és cos ( π 2 ) = 0; valamint igaz a következő összefüggés is: ahol z C. = cos(z z) = cos 2 (z) + sin 2 (z), 5.0. Megjegyzés. Legyen z = x + iy, ahol x, y R. Ekkor e z = e x+iy = e x (cos y + i sin y), ahol e x = e z az e z hossza, y = arg e z (mod 2π). Speciálisan, e i π 2 = i; e i π 2 = i; e 2πi = ; valamint amiből kapjuk, hogy e iπ =, e iπ + = 0. A komplex exponenciális függvényt tovább vizsgálva, már találunk különbségeket a valós esethez képest. () Ilyen különbség például, hogy az exponenciális függvény periodikus az imaginárius tengely irányába, ugyanis e z+2πi = e z e 2πi = e z (z C). Megmutatható, hogy az exponenciális függvény csak 2πi egész számú többszörösei szerint periodikus. Tegyük fel, hogy x 0, y 0 R úgy, hogy z 0 = x 0 + iy 0 -ra fennáll e z+z 0 = e z (z C). 22
Ekkor e z 0 =, azaz = e z 0 = e x 0 (cos y 0 + i sin y 0 ), amiből adódik, hogy x 0 = 0 és y 0 = 2kπ (k Z), így z 0 valóban 2kπi- vel lesz egyenlő. (2) Az exp függvény seholsem 0. Ha w C esetén e w = 0 lenne, akkor e z+w = e z e w (z C) miatt az exp függvény azonosan 0 lenne. Ez ellentmondás, hiszen exp(0) =. Sőt, exp értékkészlete: C\{0}. Legyen ugyanis w C. Azt állítjuk, hogy z C, hogy w = e z. A w = e z = e Re(z) (cos Im(z) + i sin Im(z)), összefüggés miatt, felhasználva a valós exp, sin és cos függvények tulajdonságait, z hosszát és argumentumát elő lehet állítani. (3) Az exp függvény a komplex számsík x-tengellyel párhuzamos 2π szélességű, "felül zárt", "alul nyílt" sávját bijektív módon képezi le a C\{0}-ra. Az injektivitás a következő miatt áll fent. Ha e z = e w (z, w C), akkor e z w =, amely azt jelenti, hogy z w = 2kπi. Azonban a megadott sávon belül ez nem fordulhat elő, így z w = 0. (4) Ebben a sávban az x-tengellyel párhuzamos egyenes képe "origóból induló" (ahol az origó nincs benne) sugár. (Ugyanis a szög fix, csak a hossz változik.) (5) A "mindkét oldalán nyílt" sáv képe: valamely sugártól és origótól megfosztott sík. (6) Az y-tengellyel párhuzamos egyenes képe: origó körüli kör végtelen sokszor befutva. A komplex számsíkon a π és π által meghatározott "alul nyílt" és "felül nyílt" sávot tekintve az exp függvény bijekció lesz, melynek értékkészlete ama halmaz, melyet a komplex számsíkból a negatív félegyenest elhagyva kapunk. Ezen függvény inverzét nevezzük a logaritmus főágának, mely differenciálható és deriváltja z. z 5.. Megjegyzés. Nincs olyan függvény C\{0}-n, aminek deriváltja a z z (z C\{0}) függvény. A továbbiakban a sin és cos függvények tulajdonságaival foglalkozunk. Ezen függvények zérushelyei ugyanazok lesznek, mint a valós esetben. Nézzük meg ezt a sin esetében. Egyrészt azt akarjuk, hogy sin(z) = 0 fennálljon valamely z C-re. Másrészt az 5.5 következmény alapján, sin(z) = eiz e iz, 2i amiből adódik, hogy e iz = e iz és így e 2iz =. Ekkor felhasználva az (5.0) megjegyzést következik, hogy 2iz = 2kπi (k Z), 23
azaz z = kπ (k Z). A cos függvényre hasonlóan megmutatható, hogy cos(z) = 0 z = (2k + ) π 2 (k Z). Szintén az exp függvény segítségével belátható, hogy a valós esethez hasonlóan fennállnak az alábbiak: cos(z) = cos(w) z = ±w + 2kπ (k Z) sin(z) = sin(w) z = w + 2kπ vagy z = (π w) + 2kπ (k Z). A sin és cos függvényeknél is van azonban egy nagy különbség a komplex és a valós eset között. Nevezetesen, míg valós esetben ezek a függvények korlátosak, addig a komplex sin és cos függvények minden komplex értéket felvesznek. Legyen w C tetszőleges. Belátjuk, hogy létezik olyan z C, melyre cos z = w. A 5.5 következményt felhasználva az utóbbi egyenlőség az alábbival ekvivalens w = eiz + e iz, 2 ahol e iz C\{0}. Az e iz = u jelöléssel ez azt adja, hogy melyet átalakítva a w = u + u 2 (u 0), 0 = u 2 2uw + egyenlet adódik. Ez pedig az algebra alaptétele miatt garantáltan megoldható a komplex számok teste felett, ami azt jelenti, hogy z C : cos(z) = w. Felhasználva a sin 2 (z) + cos 2 (z) = azonosságot, sin 2 (z) = w 2 adódik, melyet az Euler-féle cos(z) + i sin(z) = e iz összefüggésbe írva, a megfelelő megszorításokkal z = i log(w + w 2 ), ahol a log jelöli a logaritmus főágát. Hasonlóan a egyenletből sin(z) = w z = π 2 + i log(w w 2 ). 24
6. Pályamenti integrál 6.. Definíció. A : [a, b] C (a, b R, a < b) folytonos függvényt görbének nevezzük. A értékkészletét -gal jelöljük. A görbét zártnak nevezzük, ha (a) = (b). 6.2. Definíció. A : [a, b] C görbe megfordításán a ˇ : [ b, a] C görbét értjük, melyre ˇ(t) = ( t) (t [ b, a]). 6.3. Definíció. Legyen : [a, b] C és δ : [b, c] C két görbe, melyekre (b) = δ(b). Ekkor a és δ görbék egyesítésén a { (t),ha t [a, b] ( δ)(t) = δ(t),ha t [b, c]. módon definiált görbét értjük. 6.4. Definíció. A : [a, b] C szakaszonként sima (szakaszonként folytonosan differenciálható) görbét pályának nevezzük. A zárt pálya olyan pálya, amely mint görbe zárt. 6.5. Megjegyzés. A görbéknél leírtakhoz hasonlóan értelmezhető a pályák megfordítása, valamint a pályák egyesítése. 6.6. Definíció. Legyen : [a, b] C pálya, f : C folytonos függvény. Ekkor az f függvény pályamenti integrálján a b f(z)dz = f((t)) (t)dt komplex számot értjük. a 6.7. Megjegyzés. () A jobboldal létezik, hiszen a szakaszonként folytonos. Azon intervallumokon kiszámolva az integrál értéket, ahol a folytonos, majd ezeket az értékeket összeadva adódik a jobboldal által meghatározott komplex érték. (2) Az [a, b] felbontásától független a jobboldali integrál értéke. 6.8. Példák. () Legyen (t) = z 0 + re it, ahol t [0, 2π], r > 0 és z 0 C. Ekkor a z 0 körüli, r-sugarú körpálya. Az f : C folytonos függvény pályamenti integrálja: 2π 2π f(z)dz = f(z 0 + re it )re it idt = ir f(z 0 + re it ) e it dt. 0 0 (2) Legyen (t) = a + t(b a), ahol t [0, ] és a, b C. Ekkor az a és b pontokat összekötő szakaszpálya (lineáris pálya), melyre: f(z)dz = f(a + t(b a))(b a)dt = (b a) f(a + t(b a))dt tetszőleges f C( ) esetén. 0 0 25
6.9. Megjegyzés. () Legyen : [a, b] C pálya, f : C folytonos függvény és ϕ : [α, β] [a, b] olyan szürjektív, szigorúan monoton növekedő függvény, mely folytonosan differenciálható. Továbbá legyen = ϕ. Ekkor f(z)dz = f(z)dz. Valóban, átalakítva az f(z)dz integrált, β f(z)dz = f(( ϕ)(t)) (ϕ(t))ϕ (t)dt = α β b = f((ϕ(t))) (ϕ(t))ϕ (t)dt = f((s)) (s)ds = α a f(z)dz. (2) Legyen : [a, b] C pálya, melynek megfordítása ˇ és f : C folytonos függvény. Ekkor f(z)dz = f(z)dz, ˇ ugyanis a f(z)dz = f(ˇ(s))ˇ (s)ds = = a b ˇ b f(( s)) ( s)( )ds = b a f((t)) (t)dt. (3) Tekintsük a : [a, b] C és δ : [b, c] C pályákat, melyekre (b) = δ(b). Ekkor f(z)dz = f(z)dz + f(z)dz. δ (4) A pályamenti integrál lineáris. Legyen : [a, b] C pálya és f, g : C folytonos függvények. Ekkor (f + g)(z)dz = f(z)dz + g(z)dz; valamint (λf)(z)dz = λ f(z)dz (λ C). (5) A pályamenti integrált lehet becsülni a következőképpen. Legyen : [a, b] C pálya és f : C folytonos függvény. Ekkor f(z)dz f l(), ahol továbbá l() = sup { n f = sup z f(z), } (t i+ ) (t i ) : n N, a t t 2... t n b. i= δ 26
Megjegyezzük, hogy pálya esetén l() = b a (t) dt. 6.0. Következmény. Ha : [a, b] C görbe, f n, f : C (n N) folytonos függvények és f n f egyenletesen ( -on), akkor f n (z)dz f(z)dz, azaz a pályamenti integrál és a határátmenet felcserélhető. Valóban, az integrálbecslést alkalmazva ) f n (z)dz f(z)dz = (f n f)(z)dz (sup f n (z) f(z) l() (n N), z ahol sup z f n (z) f(z) a feltétel miatt tart 0-hoz midőn n. 6.. Példák. () Legyen (t) = e it, ahol t [0, 2π] és f(z) = (z C\0). Ekkor z a pályamenti integrál: 2π 0 e it eit idt = 2πi. (2) Tekintsük az f(z) = Re(z) és g(z) = z 2 (z C) függvényeket és integráljuk őket a következő pályák mentén. [ (t) = e (t it 0, π ]), 2 δ(t) = + t(i ) (t [0, ]). Ekkor kiszámolva a pályamenti integrálokat, f(z)dz = iπ 4 2 ; f(z)dz = i 2. illetve, g(z)dz = ( + i); 3 δ δ g(z)dz = ( + i). 3 A z 2 holomorf függvény esetén a megegyező kezdő-, illetve végpontú pályák mentén vett pályamenti integrál megegyezett, míg a komplex értelemben nem differenciálható z Re(z) függvény esetén ezen pályamenti integrálok különböztek. 6.2. Tétel. Legyen : [α, β] C zárt pálya, f : C folytonos függvény. Definiáljuk a g(z) = ξ z dξ (z / ) függvényt. Ekkor g holomorf függvény a C\ halmazon, sőt előáll a g(z) = c n (z z 0 ) n hatványsor összegeként a z 0 C\ körüli azon legnagyobb sugarú nyílt körlapon, ami nem metsz bele a -ba. Továbbá itt c n = dξ n = 0,, 2,... (ξ z 0 ) n+ 27
Bizonyítás. Világos, hogy g jól definiált komplex függvény C\ -on. Továbbá elegendő megmutatni, hogy hatványsorba fejthető, ugyanis a 4. tétel szerint a hatványsorok végtelen sokszor differenciálhatóak. Felhasználva, hogy kompakt halmaz folytonos képe is kompakt halmaz, kompakt részhalmaza C-nek, amiből z 0 / esetén d(z 0, ) = ρ > 0. Legyen ξ és z D ρ (z 0 ), ahol ρ < ρ adott, tetszőleges pozitív szám. Tekintsük a (5) ξ z = (ξ z 0 ) (z z 0 ) = [ (ξ z 0 ) z z 0 ξ z 0 ] kifejezést. Felhasználva, hogy ξ z 0 ρ és z z 0 < ρ < ρ kapjuk, hogy z z 0 ξ z 0 < ρ ρ <, ami egy ξ-től független becslés. Így (5) egyenlő a ( z z0 ξ z 0 ξ z 0 kifejezéssel. Továbbá, ( ρ egy konvergens numerikus sor, ami a Weierstrass tétel miatt azt jelenti, hogy ( ) n z z0 ρ ) n ) n ξ z 0 ξ-ben egyenletesen konvergens. Az f kompakt halmazon folytonos függvény, így f korlátos a -on, amiből következik, hogy ξ z = (ξ z 0 ) (z z 0) n n+ is egyenletesen konvergens. Ekkor a 6.0 következmény miatt tagonként lehet integrálni, azaz g(z) = ξ z dξ = ( ) dξ (z z (ξ z 0 ) n+ 0 ) n ( z z 0 < ρ ), ahol ρ < ρ tetszőleges. 6.3. Megjegyzés. A hatványsorba fejtés az egész ρ sugarú körlapon igaz. 6.4. Tétel. Legyen : [a, b] C zárt pálya. Ekkor az Ind (z) = 2πi ξ z dξ (z / ) módon definiált függvény a C\ -on folytonos, egész értékű, ebből adódóan konstans a C\ komponensein és zérus a C\ nem korlátos komponensén. 28
Bizonyítás. Az előző 6.2 tétel miatt Ind holomorf, így a pálya komplementerén folytonos. Az egész értékűséghez definiáljuk a g(t) = t a (s) (s) z ds t [a, b] (z C\ ) függvényt. Ekkor a g : [a, b] C függvény miatt szakaszonként sima, folytonos függvény lesz. Továbbá a h(t) =e g(t) ((t) z) t [a, b] módon definiált függvény szintén folytonos, szakaszonként sima függvény. Felhasználva, hogy integrálható függvény felső határfüggvénye folytonos, valamint folytonos függvény felső határfüggvénye differenciálható, kapjuk, hogy h (t) = e g(t) ( (t) (t) z ) ((t) z) + e g(t) (t) = 0 véges sok t [a, b] ponttól eltekintve. Ebből következik, hogy h konstans, így speciálisan h(a) = h(b), melyet részletesen kiírva (a) z = e 2πi Ind(z) ((b) z) adódik. Innen zártsága miatt majd az 5.0 megjegyzésből e 2πi Ind(z) =, így valóban, 2πi Ind (z) = 2nπi n Z, Ind (z) = n n Z. c nyílt részhalmaza C-nek, melynek egy felbontását adják a komponensei. A komponensek összefüggő halmazok és összefüggő halmaz képe szintén összefüggő, melyekből következik, hogy Ind konstans a komponenseken. Továbbá, kompakt részhalmaza C-nek, így komplemeterének pontosan egy darab nem korlátos komponense van. Legyen M > 0, z C úgy, hogy d(z, ) > M és vizsgáljuk a függvényt. Ekkor ξ ξ z (ξ ) ξ z < M (ξ ), amiből a 6.9 megjegyzés (5) része miatt ξ z dξ M l(), ahol l() adott konstans. Így kapjuk, hogy Ind (z) tart 0-hoz, ahogy z, azaz Ind zérus a c nem korlátos komponensén. 29
6.5. Definíció. A fenti tétel jelöléseivel az Ind (z) mennyiséget a zárt pálya z-re vonatkozó körüljárási számának, illetve a z pont pályára vonatkozó indexének nevezzük. 6.6. Példa. Legyen : [0, 2π] C a z 0 C középpontú, r > 0 sugarú körpálya, azaz (t) = z 0 + re it t [0, 2π]. Ekkor Ind (z 0 ) = 2π re it i =. 2πi 0 re it 7. Holomorf függvények Cauchy-elmélete 7.. Állítás. Ha D C nyílt, F H(D), ahol F folytonos, továbbá : [a, b] D zárt pálya, akkor F (z)dz = 0. Bizonyítás. Valóban, a Newton-Leibniz formulát szakaszonként alkalmazva F (z)dz = b a F ((t)) (t)dt = b a (F ) (t)dt = [F ((t))] b a = 0. 7.2. Következmény. Ha : [a, b] C zárt pálya, akkor z n dz = 0 n = 0,, 2,..., továbbá ez az egyenlőség teljesül n = 2, 3,... esetén is, ha 0 /. 7.3. Tétel (Goursat-lemma). Legyen D C nyílt, H egy olyan háromszög-pálya, ami belsejével együtt benne van D-ben és f H(D). Ekkor f(z)dz = 0. H Bizonyítás. Tekintsük a H = H 0 háromszög-pályának azt a felbontását, amit úgy kapunk, hogy a háromszög-pálya minden oldalát megfelezzük és a felezőpontokat összekötjük egymással. Így 4 kisebb háromszög-pályát kapunk, legyenek ezek H, H 2, H 3 és H 4. Végigjárva a keletkezett kis háromszög-pályákat pozitív irányban, a felező pontokat összekötő szakaszokon mindkét irányban áthaladunk, így ezeken a szakaszokon az integrál 0. Ez azt jelenti, hogy, ha a H 0 eredeti háromszög-pályát is pozitív irányban járjuk végig, akkor I = f(z)dz = f(z)dz + f(z)dz + f(z)dz + f(z)dz, H 0 H H 2 H 3 H 4 30
amiből következik, hogy valamelyik H i feletti integrál abszolútértéke legalább I /4. Legyen i =, azaz f(z)dz I H 4. Az előző eljárást megismételve H -re, majd az eme lépésben kiválasztott H 2 -re és így tovább, háromszögeknek olyan (H n ) sorozata adódik (a háromszögeket belsejükkel együtt értve), melyek egymásba skatulyázottak és az átmérőjük tart a 0-hoz. Valamint f(z)dz I (n N). H n 4 n Felhasználva, hogy az eredeti H háromszög belsejével együtt D-ben van, ez a sorozat egy pontra húzódik össze. Legyen ez z 0. Az f függvény differenciálható z 0 -ban, így lineárisan approximálva f(z) = f(z 0 ) + f (z 0 )(z z 0 ) + ω(z)(z z 0 ) (z D), ahol ω : D C úgy, hogy ω(z) 0, ha z z 0. Legyen n N. Ekkor f(z)dz = f(z 0 )dz + f (z 0 )(z z 0 )dz + ω(z)(z z 0 )dz, H n H n H n H n ahol f(z 0 ) konstans, f (z 0 )(z z 0 )-nak pedig létezik primitív függvénye, így f(z 0 )dz = 0, f (z 0 )(z z 0 )dz = 0. H n H n Továbbá, f(z)dz = ω(z)(z z 0 )dz H n H sup ω(z) diam(h n ) l(h) sup ω(z) l(h)2 n z H n 2 n z H n 4. n Másrészt, így adódik, hogy f(z)dz I H n 4, n I sup z H n ω(z) l(h) 2, ahol sup z Hn ω(z) 0, ha n. Ez valóban azt jelenti, hogy I = 0. 7.4. Következmény (Cauchy-tétel lokális változata). Legyen D C nyílt körlap, f H(D) és : [a, b] D zárt pálya. Ekkor f(z)dz = 0. Bizonyítás. Azt kell megmutatni, hogy f-nek van primitív függvénye. Legyen z, z 0, w D és f-nek a z 0 pontot a z ponttal összekötő szakaszpálya mentén vett pályamenti integrált jelöljük a következő módon F (z) = z z 0 dξ. 3
Ekkor a Goursat-lemma miatt z amelyből azt kapjuk, hogy Ezt felhasználva, F (z) F (w) z w z 0 dξ + f(w) = w z dξ + F (z) F (w) = z w z w z0 w dξ = 0, dξ. dξ f(w)(z w) z w = z ( f(w))dξ w z w adódik, amiről azt kell belátni, hogy z w esetén tart 0-hoz. Valóban, ha [z, w] jelöli a z-t és w-t összekötő szakaszt, akkor kapjuk, hogy z ( f(w))dξ ( supξ [z,w] f(w) ) z w w = sup f(w), z w z w ξ [z,w] amely z w esetén f folytonossága miatt tart 0-hoz. Ebből következik, hogy F differenciálható és F (w) = f(w), ha w D. Ez azt jelenti, hogy f-nek van primitív függvénye, így a 7. állítás miatt következik, hogy f(z)dz = 0. 7.5. Definíció. Legyen D C nyílt halmaz, ϕ 0, ϕ : [a, b] D zárt görbék. Azt mondjuk, hogy ϕ 0 és ϕ homotóp görbék D-ben, ha létezik olyan φ : [a, b] [0, ] D folytonos függvény, melyre (a) ϕ 0 (t) = φ(t, 0) (t [a, b]); (b) ϕ (t) = φ(t, ) (t [a, b]); (c) t φ(t, p) (t [a, b]) zárt görbe minden p [0, ] esetén. Ha ϕ 0 és ϕ zárt pályák, akkor azt mondjuk, hogy homotópok D-ben, ha mint görbék homotópok. 7.6. Megjegyzés. A D-ben zárt pályák homotópiája ekvivalenciareláció. 7.7. Tétel (A Cauchy-integráltétel homotóp változata). Legyen D C nyílt halmaz, f : D C holomorf függvény. Legyen 0, : [a, b] D a D-ben homotóp, zárt pályák. Ekkor f(z)dz = 0 f(z)dz. Bizonyítás. Feltehető, hogy [a, b] = [0, ]. A homotópia definíciójából következik, hogy φ : [0, ] 2 D folytonos függvény, melyre 0 (t) = φ(t, 0) (t [0, ]) (t) = φ(t, ) (t [0, ]) 32