Tartalom 1. Stabilitáselmélet stabilitás feltételei inverz inga egyszerűsített modellje 2. Zárt, visszacsatolt rendszerek stabilitása Nyquist stabilitási kritérium Bode stabilitási kritérium 2018 1
Stabilitáselmélet Dinamikus rendszerek egyik fontos kvalitatív tulajdonsága a stabilitás. Amennyiben egy rendszer dinamikus viselkedése nem stabil, akkor irányítási feladat lehet egy olyan szabályozó tervezése, amely stabilizálja a visszacsatolt (zárt) rendszert. A legtöbb működő rendszert eleve stabilisra tervezik! 2018 2
Stabilitáselmélet Tekintsünk először egy lineáris, időinvariáns, dinamikus rendszert, amelynek bemenőjele u(t), 0 t <, kimenőjele pedig y(t), 0 t <. Adott a rendszer g(t) súlyfüggvénye, illetve ennek L-transzformáltja: G(s) = L{g(t)}. u(t) g(t) y(t) 2018 3
Stabilitáselmélet A bemenet/kimenet kapcsolatot zérus kezdeti feltétel mellett az alábbi konvolúciós integrál adja meg: y(t) = t 0 g(τ)u(t τ)dτ = t 0 g(t τ)u(τ)dτ Feltettük, hogy a rendszer a kezdeti időpontban nyugalmi állapotban van. 2018 4
Bemenőjel tulajdonságai Ezután feltehetjük a kérdést, hogy mi a feltétele annak, hogy ha u(t) > 0 gerjesztés éri a rendszert, és az u(t) valamilyen tulajdonsággal rendelkezik, a kimenőjel is ugyanilyen tulajdonsággal rendelkezzen. A bemenőjel tulajdonságai pl. a következők lehetnek: Amplitúdó korlátosság: u(t) K a <, 0 t <. Energia korlátosság: u(t) 2 dt K e <, 0 t <. 2018 5
Stabilitás feltételei Állítás: Egy lineáris, időinvariáns, dinamikus rendszer stabil (minden amplitúdó korlátos bemenőjelre amplitúdó korlátos kimenőjelet ad (BIBO = Bounded Input Bounded Output stabilis) akkor és csak akkor, ha 2018 6
Stabilitás feltételei 1. A rendszer súlyfüggvénye abszolút integrálható, g(t) dt < 2. A rendszer G(s) = L{g(t)} átviteli függvényének pólusai a baloldali komplex félsíkon helyezkednek el, azaz Re p i < 0, i, ahol p i a G(s) pólusa. 3. A súlyfüggvény határértéke zérus, azaz lim t g(t)=0. 2018 7
Stabilitás elégséges feltétele Az ekvivalens stabilitási feltételek bizonyítása: 1. Bizonyítás: Megmutatjuk, hogy az (1.) a BIBO stabilitás szükséges és elégséges feltétele. Tegyük fel, hogy u(t) K a <, 0 t <, és a g(t) súlyfüggvény abszolút integrálható. Ekkor a kimenőjelet a konvolúciós integrállal felírva: 2018 8
Stabilitás elégséges feltétele y(t) = 0 K a 0 g(τ)u(t τ)dτ g(τ) u(t τ) dτ g(τ) dτ < tehát y(t) <, 0 t < ; a kimenőjel is amplitúdó korlátos (a súlyfüggvény abszolút integrálhatósága tehát elégséges feltétel). 0 2018 9
Stabilitás szükséges feltétele A szükségesség megmutatásához tegyük fel, hogy g(τ) dτ. 0 Ekkor tudunk konstruálni olyan korlátos bemenőjelet, hogy a megfelelő kimenőjel nem korlátos. Legyen 1 ha g(τ) > 0 u(t 1 τ) = signg(τ) = 0 ha g(τ) = 0 1 ha g(τ) < 0 ahol t 1 egy rögzített időpont. 2018 10
Stabilitás szükséges feltétele Ekkor y(t 1 ) = 0 g(τ)u(t 1 τ)dτ = 0 g(τ) dτ. Tehát a kimenőjel nem korlátos. A súlyfüggvény abszolút integrálhatósága így szükséges feltétele a BI- BO stabilitásnak. 2018 11
Stabilitás szükséges feltétele 2. Bizonyítás: A definíció szerint G(s) = Mivel 0 g(t)e st dt és G(s) e st 1, ha Res > 0, 0 g(t) e st dt. ezért G(s) 0 g(t) dt, ha Re s > 0. 2018 12
Stabilitás szükséges feltétele Az átviteli függvény abszolút értéke tehát korlátos a jobboldali komplex számsíkon ha a súlyfüggvény abszolút integrálható. Ha G(s) korlátos a jobb félsíkon, akkor itt nem lehet pólusa (csak a bal félsíkon lehet), azaz a pólusok valós része mind negatív. 2018 13
Stabilitás szükséges feltétele 3. Bizonyítás: A bizonyítás a (2.) feltételből következik. Mivel a g(t) súlyfüggvény lineáris időinvariáns rendszereknél felírható (egyszeres multiplicitású pólusokat feltételezve) a következőképpen: n g(t) = C i e pit, i=1 ahol n a pólusok száma és C i -k pedig konstans együtthatók, így lim g(t) = 0 t akkor és csak akkor ha Rep i < 0, i = 1,...,n. 2018 14
Inverz inga egyszerűsített modellje Az inverz inga egy M tömegű kocsira rögzített csapágyon szabadon elforgó rúd, amelynek m tömege a rúd közepére van redukálva (a rúd eredeti hossza 2l). 2018 15
Inverz inga egyszerűsített modellje Az inverz inga, mint dinamikus rendszer súlyfüggvényének és átviteli függvényének levezetéséhez a newtoni mozgásegyenletekből indulunk ki, amelyeket az M és m tömegekre írunk fel. A rendszer bemenőjele a kocsira ható horizontális u(t) erő, kimenőjele a rúd vertikális iránytól való elfordulásának θ(t) szöge. 2018 16
Inverz inga egyszerűsített modellje Jelölje a kocsi elmozdulását a z(t) változó. Kis θ szögelfordulást tekintve a cosθ 1, sinθ θ és θ 2 0 közelítéssekkel a mozgást két egyenlettel írhatjuk le: (M + m) z(t) + ml θ(t) = u(t) ml z(t) + ml 2 θ(t) mlgθ(t) = 0. A L-transzformációt zérus kezdeti feltételek mellett alkalmazva (M + m)s 2 Z(s) + mls 2 Θ(s) U(s) = 0 mls 2 Z(s) + ml 2 s 2 Θ(s) mlgθ(s) = 0 2018 17
Inverz inga egyszerűsített modellje A mozgásegyenletekből a kocsi Z(s) elmozdulását kiküszöbölve kapjuk a Θ(s) szögelfordulás függését az U(s) gerjesztő erőtől: Θ(s) = 1 1/(Ml) (M + m)g Mls 2U(s) = U(s). s 2 (M + m)g + Ml 2018 18
Inverz inga egyszerűsített modellje Vizsgáljuk azt az egyszerűsítést, amikor M m. Ekkor Θ(s) 1/(Ml) s 2 g/l U(s). Az átviteli függvény pólusai: p 1 = g/l, p 2 = g/l. A p 1 pólus a jobboldali komplex félsíkra esik, tehát az inverz inga önmagában instabil. 2018 19
Tartalom 1. Stabilitáselmélet stabilitás feltételei inverz inga egyszerűsített modellje 2. Zárt, visszacsatolt rendszerek stabilitása Nyquist stabilitási kritérium Bode stabilitási kritérium 2018 20
Zárt, visszacsatolt rendszerek stabilitása A szabályozási kör hatásvázlatát átalakításokkal az alábbi ábrának megfelelő struktúrára hozhatjuk. 2018 21
Zárt, visszacsatolt rendszerek stabilitása A szabályozási kör minden egyes eleme (mind a szabályozó, mind a rendszer) dinamikus rendszer, amely önmagában vizsgálva lehet akár stabil, akár instabil. Ha a szabályozási körben lévő minden elem, mint dinamikus rendszer önmagában stabil, akkor azt mondjuk, hogy a zárt rendszer belső stabilitási tulajdonsággal rendelkezik. 2018 22
Zárt, visszacsatolt rendszerek stabilitása Cél: A szabályozó tervezésénél mindig biztosítani kell, hogy akár stabil, akár instabil a szabályozott folyamat, a zárt rendszer stabil legyen. Feladat: A szabályozási kör elemeinek ismeretében döntsük el, hogy a zárt rendszer stabil-e. 2018 23
Zárt, visszacsatolt rendszerek stabilitása A stabilitás vizsgálat feltételezi, hogy a szabályozó és a szabályozott rendszer adott, pl. a súlyfüggvényeikkel vagy átviteli függvényeikkel. A zárt rendszer átviteli függvénye: G z (s) = C(s)G(s) 1 +C(s)G(s) = G H(s) 1 + G H (s), ahol G H (s) a hurokátviteli függvény. 2018 24
Zárt, visszacsatolt rendszerek stabilitása A zárt rendszer stabil akkor és csak akkor, ha pólusai a baloldali komplex félsíkon helyezkednek el, tehát az 1 + G H (s) = 0 egyenlet p 1,..., p n gyökereire teljesül a Re p i < 0, i = 1,...,n feltétel, ahol n a G H (s) pólusainak száma. 2018 25
Nyquist stabilitási kritérium A NYQUIST stabilitási kritérium a hurokátviteli függvény frekvenciafüggvénye alapján képes a zárt rendszer stabilitásáról képet adni. Tegyük fel először, hogy az átviteli függvénynek nincsenek jobboldali pólusai. 2018 26
Nyquist stabilitási kritérium Ha a G H (iω) frekvenciafüggvény épp átmegy a komplex számsík 1 pontján, azaz G H (iω 0 ) = 1, akkor ω 0 körfrekvencián a zárt rendszerben csillapítatlan lengések keletkeznek. Ekkor azt mondjuk, hogy a zárt rendszer a stabilitás határán van. 2018 27
Nyquist stabilitási kritérium Állítás: Rajzoljuk meg a frekvenciafüggvényt a < ω < tartományra. (A negatív frekvenciákra a függvény a pozitív frekvenciákra ismert módon levezetett függvényeknek a valós tengelyre vett tükörképe lesz.) Ha a felnyitott hurok G H (iω), < ω < frekvenciafüggvénye a növekvő frekvenciák irányába haladva 2018 28
Nyquist stabilitási kritérium nem veszi körül a 1 pontot a zárt rendszer stabil átmegy a 1 ponton a zárt rendszer a stabilitás határán van körülveszi a 1 pontot a zárt rendszer instabil. 2018 29
Nyquist stabilitási kritérium Bizonyítás: A zárt rendszer átviteli függvénye: G z (s) = Ennek pólusai az G H(s) 1 + G H (s) = b z(s) a z (s), a z (s) = 1 + G H (s) = 0 egyenlet gyökei, mely ekvivalens a G H (s) = 1 egyenlettel. 2018 30
Nyquist stabilitási kritérium G H (iω) frekvenciafüggvény konform leképezést valósít meg, melynek során a komplex számsík iω képzetes tengelyét képezi le a teljes komplex számsík egy görbéjére. 2018 31
Nyquist stabilitási kritérium A képzetes tengelytől balra eső, azzal párhuzamos egyenes egyenlete α + iω, a jobbra eső párhuzamos egyenes egyenlete α + iω, ahol α > 0 egy adott pozitív szám, és ω a és + között változik. A konform leképezés tulajdonságából (szög és aránytartás) adódóan a α + iω egyenes G H ( α + iω) képe G H (iω)-tól balra, az α + iω egyenes G H (α + iω) képe a G H (iω)-tól jobbra lesz. 2018 32
Nyquist stabilitási kritérium Ha tehát a G H (iω) a 1 ponttól jobbra metszi a valós tengelyt és nem fogja körül a 1 pontot, akkor a G H (s) = 1 csak olyan s i gyökökre teljesülhet, amelyeknek negatív valós része van, azaz s i = α i + iω, α i > 0. Ebből következik, hogy a G H (s) = 1 egyenlet minden gyökének negatív lesz a valós része, tehát a zárt rendszer stabil. 2018 33
Nyquist stabilitási kritérium Hasonló érveléssel láthatjuk be, hogy ha G H (iω) a 1 ponttól balra metszi a valós tengelyt, akkor a G H (s) = 1 egyenletnek lehetnek pozitív valós részű gyökei, amiből következik, hogy a zárt rendszer instabil. 2018 34
Bode stabilitási kritérium A stabilitás analízist a Bode-diagram alapján is elvégezhetjük, ez az ún. Bode-stabilitási kritérium. Ha a felnyitott hurok G H (iω), 0 < ω < frekvenciafüggvényének amplitúdó Bode diagramja -20 db/dek-dal metszi az ω(lg) tengelyt: a zárt rendszer (ZR) stabil ϕ(ω c ) > 180 : stabil a ZR -40 db/dek-dal metszi az ω(lg) tengelyt és ϕ(ω c ) < 180 : instabil a ZR -60 db/dek-dal metszi az ω(lg) tengelyt: a zárt rendszer instabil. 2018 35
Bode stabilitási kritérium A zárt szabályozási körök stabilitásával kapcsolatban bevezetjük a ϕ t fázistartalék és a κ t erősítési tartalék fogalmát. Fázistartalék: ϕ t = 180 + ϕ(ω c ), Látható, hogy ϕ t > 0 ha ϕ(ω c ) > 180. (lásd: ábra) 2018 36
Bode stabilitási kritérium Erősítési tartalék: A κ t erősítési tartalék azt mutatja, hogy mennyivel tudjuk még növelni a statikus körerősítést, úgy, hogy épp a stabilitás határára kerüljön a rendszer. 2018 37
Bode stabilitási kritérium 2018 38