Nem teljesen kitöltött páros összehasonlítás mátrixok sajátérték optimalizálása Newton-módszerrel Ábele-Nagy Kristóf BCE, ELTE Bozóki Sándor BCE, MTA SZTAKI 2010. november 4. Nem teljesen kitöltött páros összehasonlítás mátrixok sajátérték optimalizálása Newton-módszerrel p. 1/29
Vázlat Páros összehasonlítás mátrix Nem teljesen kitöltött páros összehasonlítás mátrix Sajátérték optimalizálás Ciklikus koordináták Egyváltozós Newton-módszer Többváltozós Newton-módszer Nem teljesen kitöltött páros összehasonlítás mátrixok sajátérték optimalizálása Newton-módszerrel p. 2/29
Adott n elem a w 1,w 2,w 3,...,w n súlyokkal. A páros összehasonlítás mátrixot a következõképpen értelmezzük: w 1 1 w 1 w w 2 w 3... 1 w n ahol w 2 w w 1 1 2 w 3 w 3 w 1. w n w 1 w w 3... 2 w n w w 2 1... 3 w n,...... w n w 3... 1 w n w 2 w ij > 0, w ij = 1 w ji, w ij = w ik w kj. minden i, j, k indexre. Nem teljesen kitöltött páros összehasonlítás mátrixok sajátérték optimalizálása Newton-módszerrel p. 3/29
Valós döntési helyzetekben a súlyok ismeretlenek, de páros összehasonlításokat lehet alkotni: 1 a 12 a 13... a 1n a 21 1 a 23... a 2n A = a 31 a 32 1... a 3n,....... a n1 a n2 a n3... 1 ahol a ij > 0, a ij = 1 a ji. minden i,j = 1,...,n-re. A cél, hogy meghatározzuk a súlyvektort: w = (w 1,w 2,...,w n ) R n +. Nem teljesen kitöltött páros összehasonlítás mátrixok sajátérték optimalizálása Newton-módszerrel p. 4/29
A Sajátvektor módszerben (EM) w EM amely w közelítése, így határozzuk meg: Aw EM = λ max w EM, ahol λ max jelöli az A legnagyobb sajátértékét, vagy más néven Perron-sajátértékét, és w EM jelöli az A mátrix λ max -hoz tartozó jobb oldali sajátvektorát Perron tétele szerint, w EM pozitív, és skalár szorzótól eltekintve egyértelmû. A leggyakrabban használt n normalizálás: wi EM = 1. i=1 Nem teljesen kitöltött páros összehasonlítás mátrixok sajátérték optimalizálása Newton-módszerrel p. 5/29
Saaty a következõ módon definiálta az inkonzisztencia hányadost: CR = λ max n n 1 RI n, ahol λ max a döntéshozó által megadott páros összehasonlítás mátrix Perron sajátértéke, és RI n így adható meg: λ max n n 1, ahol λ max véletlen generált n n-es páros összehasonlítás mátrixok átlagos Perron sajátértéke. Ismert, hogy λ max n és egyenlõ n-el pontosan akkor ha a mátrix konzisztens, azaz a tranzitivitás fennáll. A definícióból következik, hogy CR pozitív lineáris transzformációja λ max -nak. Saaty szerint, CR nagyobb értéke nagyobb mértékû inkonzisztenciát jelez, és a 10%-os szabály (CR 0.10) választja el az elfogadható mátrixokat a nem elfogadhatóaktól. Nem teljesen kitöltött páros összehasonlítás mátrixok sajátérték optimalizálása Newton-módszerrel p. 6/29
Nem teljesen kitöltött páros összehasonlítás mátrix ( = páros összehasonlítás mátrix hiányzó elemekkel) A = 1 a 12... a 1n 1/a 12 1 a 23... 1/a 23 1... a 3n....... 1/a 1n 1/a 3n... 1. Nem teljesen kitöltött páros összehasonlítás mátrixok sajátérték optimalizálása Newton-módszerrel p. 7/29
Nem teljesen kitöltött páros összehasonlítás mátrix ( = páros összehasonlítás mátrix hiányzó elemekkel) A = 1 a 12 x 1... a 1n 1/a 12 1 a 23... 1/x 1 1/a 23 1... a 3n....... 1/a 1n 1/a 3n... 1. Nem teljesen kitöltött páros összehasonlítás mátrixok sajátérték optimalizálása Newton-módszerrel p. 8/29
Nem teljesen kitöltött páros összehasonlítás mátrix ( = páros összehasonlítás mátrix hiányzó elemekkel) A = 1 a 12 x 1... a 1n 1/a 12 1 a 23... x d 1/x 1 1/a 23 1... a 3n....... 1/a 1n 1/x d 1/a 3n... 1, Nem teljesen kitöltött páros összehasonlítás mátrixok sajátérték optimalizálása Newton-módszerrel p. 9/29
Nem teljesen kitöltött páros összehasonlítás mátrix ( = páros összehasonlítás mátrix hiányzó elemekkel) A = 1 a 12 x 1... a 1n 1/a 12 1 a 23... x d 1/x 1 1/a 23 1... a 3n....... 1/a 1n 1/x d 1/a 3n... 1, ahol x 1,x 2,...,x d R +. Nem teljesen kitöltött páros összehasonlítás mátrixok sajátérték optimalizálása Newton-módszerrel p. 10/29
A fenti ötlet alapján Shiraishi, Obata és Daigo a következõ módon fogalmazta meg a sajátérték optimalizálási problémát: Egy hiányzó elem esetén, jelölje x, a λ max (A(x)) minimalizálandó: min x>0 λ max(a(x)). Több hiányzó elem esetén, amelyet az x vektorba rendezünk, a cél megoldani: min λ max(a(x)). x>0 Nem teljesen kitöltött páros összehasonlítás mátrixok sajátérték optimalizálása Newton-módszerrel p. 11/29
Nem teljesen kitöltött páros összehasonlítás mátrix gráf reprezentációja Adott A, n n-es nem teljesen kitöltött páros összehasonlítás mátrix. A G = (V,E) gráf a következõ módon van definiálva: V = {1, 2,...,n} E = {e(i,j) a ij (és a ji ) adottak és i j} Spec. eset: ha az összes összehasonlítás adott, a hozzá tartozó gráf K n. Nem teljesen kitöltött páros összehasonlítás mátrixok sajátérték optimalizálása Newton-módszerrel p. 12/29
Nem teljesen kitöltött páros összehasonlítás mátrix gráf reprezentációja Nem teljesen kitöltött páros összehasonlítás mátrixok sajátérték optimalizálása Newton-módszerrel p. 13/29
Tétel (Bozóki, Fülöp, Rónyai, 2010): A min λ max(a(x)). x>0 sajátérték minimalizálási feladat optimális megoldása egyértelmû akkor és csak akkor, ha a nem teljesen kitöltött páros összehasonlítás mátrixhoz tartozó G gráf összefüggõ. Ha a nem teljesen kitöltött páros összehasonlítás mátrixhoz tartozó G gráf összefüggõ, akkor az exponenciális paraméterezést alkalmazva x 1 = e y 1,x 2 = e y 2,...x d = e y d, a sajátérték minimalizálási probléma egy szigorúan konvex optimalizálási feladattá transzformálódik. Nem teljesen kitöltött páros összehasonlítás mátrixok sajátérték optimalizálása Newton-módszerrel p. 14/29
Példa Q = 1 2 x 1/2 1 4. 1/x 1/4 1 λ max (Q(x)) és az x = e t exponenciális skálázást használva λ max (Q(e t )) kirajzolva: Nem teljesen kitöltött páros összehasonlítás mátrixok sajátérték optimalizálása Newton-módszerrel p. 15/29
Algoritmusok a sajátérték minimalizációs probléma megoldására min x>0 λ max(a(x)). Ciklikus koordináták a Matlab fminbnd függvényével Ciklikus koordináták az egyváltozós Newton-módszerrel Többváltozós Newton-módszer Nem teljesen kitöltött páros összehasonlítás mátrixok sajátérték optimalizálása Newton-módszerrel p. 16/29
Ciklikus koordináták módszere M(x) = 1 5 3 7 6 6 1/3 1/4 1/5 1 x 1 5 x 2 3 x 3 1/7 1/3 1/x 1 1 x 4 3 x 5 6 x 6 1/7 1/5 1/x 4 1 x 7 1/4 x 8 1/8 1/6 1/x 2 1/3 1/x 7 1 x 9 1/5 x 10 1/6 1/3 1/x 5 4 1/x 9 1 x 11 1/6 3 1/x 3 1/6 1/x 8 5 1/x 11 1 x 12 4 7 1/x 6 8 1/x 10 6 1/x 12 1 Nem teljesen kitöltött páros összehasonlítás mátrixok sajátérték optimalizálása Newton-módszerrel p. 17/29
Ciklikus koordináták módszere Jelölje x (k) i az x i értékét az iteráció k-ik lépésében, melynek d (a példában d = 12) részlépése van minden k-ra. k = 0-ra: A kezdõérték minden változóra legyen 1: while x (0) i := 1 (i = 1, 2,...,d). max i=1,2,...,d xk i xk 1 i > T x (k) i := arg min λ max (M(x (k) x 1,...,x(k) i i 1,x i,x (k 1) i+1,...,x (k 1) d )), i = 1, 2,...,d next k end while Nem teljesen kitöltött páros összehasonlítás mátrixok sajátérték optimalizálása Newton-módszerrel p. 18/29
Ciklikus koordináták módszere Tekintsük min x i λ max (M(x (k) 1,...,x(k) i 1,x i,x (k 1) i+1,...,x (k 1) d )) A Matlab fminbnd függvénye ezt közvetlenül és gyorsan megoldja. Nem teljesen kitöltött páros összehasonlítás mátrixok sajátérték optimalizálása Newton-módszerrel p. 19/29
Egyváltozós Newton-módszert is alkalmazhatunk. min x>0 λ max(a(x)) Legyen x = e t and L(t) = λ max (e t ). t n+1 = t n L (t n ) L (t n ) = t n 2 λ max (x) ( x) 2 λ max (x) x e t n + λ max (x) x. Harker alapján, a formális deriváltak, λ max(x) x ismertek. és 2 λ max (x) ( x) 2 Nem teljesen kitöltött páros összehasonlítás mátrixok sajátérték optimalizálása Newton-módszerrel p. 20/29
Harker formulája az elsõ deriváltra λ max(x) x ( ) λmax (A) i > j = ij ( [y(a) i x(a) j ] [y(a) ) jx(a) i ] [a ij ] 2 ahol x(a),y(a) rendre az A jobb oldali és bal oldali Perron sajátvektora, az y(a) T x(a) = 1 normalizálással. Nem teljesen kitöltött páros összehasonlítás mátrixok sajátérték optimalizálása Newton-módszerrel p. 21/29
Harker formulája a második deriváltra 2 λ max (A) ij kl = (x(a)y(a) T ) li Q + jk + (x(a)y(a)t ) jk Q + li ha i k vagy j l, (x(a)y(a)t ) ki Q + jl + (x(a)y(a)t ) jl Q + ki [a kl ] 2 (x(a)y(a)t ) lj Q + ik + (x(a)y(a)t ) ik Q + lj [a ij ] 2 + (x(a)y(a)t ) kl Q + il + (x(a)y(a)t ) il Q + kj [a ij ] 2 [a kl ] 2 Nem teljesen kitöltött páros összehasonlítás mátrixok sajátérték optimalizálása Newton-módszerrel p. 22/29
Harker formulája a második deriváltra 2 λ max (A) ij kl = 2(x(A)y(A)T ) ij [a ij ] 3 + 2(x(A)y(A) T ) ji Q + ii 2 (x(a)y(a)t ) ii Q + jj + (x(a)y(a)t ) jj Q + ii [a ij ] 2 +2 (x(a)y(a)t ) ij Q + ij [a ij ] 4 ha i = k és j = l, ahol Q = λ max (A)I A és Q + a Q Moore-Penrose pszeudoinverze. Nem teljesen kitöltött páros összehasonlítás mátrixok sajátérték optimalizálása Newton-módszerrel p. 23/29
Többváltozós Newton-módszer t n+1 = t n [HL(t n )] 1 L(t n ). Nem teljesen kitöltött páros összehasonlítás mátrixok sajátérték optimalizálása Newton-módszerrel p. 24/29
Az eredmények alkalmazása: A sajátvektor módszer általánosítása a nem teljesen kitöltött esetre CR-inkonzisztenciát lehet számolni a kitöltés alatt, amint egy összefüggõ gráfot kapunk A felhasználó automatikus figyelmeztetést kaphat elírásoknál, amint a CR-inkonzisztenciában történõ nagy ugrással detektálhatunk Nem teljesen kitöltött páros összehasonlítás mátrixok sajátérték optimalizálása Newton-módszerrel p. 25/29
Kérdések: Hány összehasonlításra van szükség, ha kevesebbre mint n(n 1)/2? A figyelmeztetés küszöbértéke? Más inkonzisztencia indexek Nem teljesen kitöltött páros összehasonlítás mátrixok sajátérték optimalizálása Newton-módszerrel p. 26/29
Hivatkozások 1/2 Ábele-Nagy, K. [2010]: Incomplete pairwise comparison matrices in multi-attribute decision making, Master s Thesis, Eötvös Loránd University. Bozóki, S., Fülöp, J., Rónyai, L. [2010]: On optimal completions of incomplete pairwise comparison matrices, Mathematical and Computer Modelling, 52, pp. 318 333. Harker, P.T. [1987]: Incomplete pairwise comparisons in the analytic hierarchy process. Mathematical Modelling, 9(11), pp. 837 848. Harker, P.T. [1987]: Derivatives of the Perron root of a positive reciprocal matrix: with application to the Analytic Hierarchy Process. Applied Mathematics and Computation, 22, pp. 217 232. Nem teljesen kitöltött páros összehasonlítás mátrixok sajátérték optimalizálása Newton-módszerrel p. 27/29
Hivatkozások 2/2 Saaty, T.L. [1977]: A scaling method for priorities in hierarchical structures, Journal of Mathematical Psychology, 15, pp. 234 281. Saaty, T.L. [1980]: The analytic hierarchy process, McGraw-Hill, New York. Shiraishi, S., Obata, T., Daigo, M. [1998]: Properties of a positive reciprocal matrix and their application to AHP. Journal of the Operations Research Society of Japan, 41(3), pp. 404 414. Shiraishi, S., Obata, T. [2002]: On a maximization problem arising from a positive reciprocal matrix in AHP. Bulletin of Informatics and Cybernetics, 34(2), pp. 91 96. Nem teljesen kitöltött páros összehasonlítás mátrixok sajátérték optimalizálása Newton-módszerrel p. 28/29
Köszönöm a figyelmet. Nem teljesen kitöltött páros összehasonlítás mátrixok sajátérték optimalizálása Newton-módszerrel p. 29/29