Egy energiapiaci kombinatorikus aukció hálózati korlátozásokkal
|
|
- Piroska Barna
- 9 évvel ezelőtt
- Látták:
Átírás
1 Egy energiapiaci kombinatorikus aukció hálózati korlátozásokkal Csercsik Dávid MTA KRTK, PPKE ITK MTA KRTK KTI 2015 Csercsik D. (MTA KRTK) SING 2014 PPKE-ITK 1 / 14
2 Motiváció Elektromos Energia Piac Nincs tárolási lehetőség - a termelésnek és a fogyasztásnak minden pillanatban egyensúlyban kell lennie Termelők (generátorok): Kis kihasználtság esetén alacsony hatékonyság: Konkáv termelési karakterisztika (pl lin csökkenő marginális termelási ár) A hálózat Globális összepacsoltság globális kölcsönhatási viszonyok Energiaáram korlátozásai az egyes vonalaknak (távvezeték) vannak, de az adott vonal terhelésében minden betáplált és levett teljesítmény szerepet játszik Csercsik D. (MTA KRTK) SING 2014 PPKE-ITK 2 / 14
3 Motiváció Elektromos Energia Piac Nincs tárolási lehetőség - a termelésnek és a fogyasztásnak minden pillanatban egyensúlyban kell lennie Termelők (generátorok): Kis kihasználtság esetén alacsony hatékonyság: Konkáv termelési karakterisztika (pl lin csökkenő marginális termelási ár) A hálózat Globális összepacsoltság globális kölcsönhatási viszonyok Energiaáram korlátozásai az egyes vonalaknak (távvezeték) vannak, de az adott vonal terhelésében minden betáplált és levett teljesítmény szerepet játszik Csercsik D. (MTA KRTK) SING 2014 PPKE-ITK 2 / 14
4 Motiváció Elektromos Energia Piac Nincs tárolási lehetőség - a termelésnek és a fogyasztásnak minden pillanatban egyensúlyban kell lennie Termelők (generátorok): Kis kihasználtság esetén alacsony hatékonyság: Konkáv termelési karakterisztika (pl lin csökkenő marginális termelási ár) A hálózat Globális összepacsoltság globális kölcsönhatási viszonyok Energiaáram korlátozásai az egyes vonalaknak (távvezeték) vannak, de az adott vonal terhelésében minden betáplált és levett teljesítmény szerepet játszik Csercsik D. (MTA KRTK) SING 2014 PPKE-ITK 2 / 14
5 Motiváció Elektromos Energia Piac Nincs tárolási lehetőség - a termelésnek és a fogyasztásnak minden pillanatban egyensúlyban kell lennie Termelők (generátorok): Kis kihasználtság esetén alacsony hatékonyság: Konkáv termelési karakterisztika (pl lin csökkenő marginális termelási ár) A hálózat Globális összepacsoltság globális kölcsönhatási viszonyok Energiaáram korlátozásai az egyes vonalaknak (távvezeték) vannak, de az adott vonal terhelésében minden betáplált és levett teljesítmény szerepet játszik Csercsik D. (MTA KRTK) SING 2014 PPKE-ITK 2 / 14
6 Motiváció Elektromos Energia Piac Nincs tárolási lehetőség - a termelésnek és a fogyasztásnak minden pillanatban egyensúlyban kell lennie Termelők (generátorok): Kis kihasználtság esetén alacsony hatékonyság: Konkáv termelési karakterisztika (pl lin csökkenő marginális termelási ár) A hálózat Globális összepacsoltság globális kölcsönhatási viszonyok Energiaáram korlátozásai az egyes vonalaknak (távvezeték) vannak, de az adott vonal terhelésében minden betáplált és levett teljesítmény szerepet játszik Csercsik D. (MTA KRTK) SING 2014 PPKE-ITK 2 / 14
7 A Modell Nincs időbeliség (csak egy pillanatban kell kielégíteni a fogyasztási igényeket) Adottak a fogyasztási igények (fogyasztási hely, mennyiség és az azért kínált ár). A generátorok licitálnak az igények kielégítésére a hálózatirányítónál. (Pontosabban: Nem az egyes igényekre licitálnak, hanem az összes felmerülő fogyasztási igény összes lehetséges részhalmazára.) Csercsik D. (MTA KRTK) SING 2014 PPKE-ITK 3 / 14
8 A Modell Nincs időbeliség (csak egy pillanatban kell kielégíteni a fogyasztási igényeket) Adottak a fogyasztási igények (fogyasztási hely, mennyiség és az azért kínált ár). A generátorok licitálnak az igények kielégítésére a hálózatirányítónál. (Pontosabban: Nem az egyes igényekre licitálnak, hanem az összes felmerülő fogyasztási igény összes lehetséges részhalmazára.) Csercsik D. (MTA KRTK) SING 2014 PPKE-ITK 3 / 14
9 A Modell Nincs időbeliség (csak egy pillanatban kell kielégíteni a fogyasztási igényeket) Adottak a fogyasztási igények (fogyasztási hely, mennyiség és az azért kínált ár). A generátorok licitálnak az igények kielégítésére a hálózatirányítónál. (Pontosabban: Nem az egyes igényekre licitálnak, hanem az összes felmerülő fogyasztási igény összes lehetséges részhalmazára.) Csercsik D. (MTA KRTK) SING 2014 PPKE-ITK 3 / 14
10 A kombinatorikus Aukció (CAP) matematikai formája max st. b j (S)x(S, j) j N S M x(s, j) 1 S i j N i M x(s, j) 1 j N S M x(s, j) = 0, 1 S M, j N Legyen a termelők száma n g és a fogyasztók száma n c Jelen esetben M az összes fogyasztási igény halmaza. S M S = 2 nc 1 (csak a nemüres részhalmazokat tekintjük) b = [b 1, b 2,..., b ng ], b j egy S hosszú vektor Csercsik D. (MTA KRTK) SING 2014 PPKE-ITK 4 / 14
11 Villamosenergia-piaci CAP I b j -ben a lehetséges S-ekhez tartozó licitek vannak sorbarendezve (valamilyen rendszer szerint, ugyanúgy minden játékosnál). b j elemeit a j játékos határozza meg, valamilyen elv szerint. Triviális megfontolás pl: Minden termelő ismeri a saját termelési karakterisztikáját és az adott termelési igény kielégítéséért potenciálisan kapott összeget úgy fog licitálni, hogy a profit pozitív maradjon. Egy termelő (generátor) profitja (ϑ(j)) a következőképp számolható: ϑ(j) = I j S M b j (S)y(S, j) GC j (x) ahol I j a j-ik generátor bevétele, b a licitvektor, GC j (x) a termelési költség Csercsik D. (MTA KRTK) SING 2014 PPKE-ITK 5 / 14
12 Probléma Megrendezhetünk egy kombinatorikus aukciót hogy a megrendeléseket a termelőkhöz rendeljük, de a kiadódó teljesítményviszonyokat nem biztos hogy bírni fogja a hálózat. vegyük hozzá a problémához a hálózati korlátozásokat is. Csercsik D. (MTA KRTK) SING 2014 PPKE-ITK 6 / 14
13 A villamosenergia-piaci CAP - A hálózati modell "DC-Load flow" Adott a hálózati gráf. A hatásos teljesítmény áram i-ből j-be: q ij = V i V j Y ij sin(θ i θ j ) Az áram-egyenletek mátrix formája - egy csomópont vagy termelő, vagy fogyasztó. AQ = P A - A hálózat illeszkedési mátrixa (Node-branch incidence matrix) - minden oszlopban 1 db 1 és 1 db -1, annyi oszlop ahány él Q - teljesítményáram-vektor - elemei az adott éleken mért teljesítményaáramok P - teljesítmén betáplálás-vektor (hossza megegyezik a csomópontok számával) Csercsik D. (MTA KRTK) SING 2014 PPKE-ITK 7 / 14
14 A villamosenergia-piaci CAP - A hálózati modell II B(Y)Θ = P B(Y) - szuszceptancia-mátrix: B kl = Y kl az off-diagonális elemekre, és B kk = l k Ω Θ - A csomópontokban mérhető feszültségvektorok szögeit tartalmazó vektor. A vonalak korlátozott terhelhetőségéből adódó összefüggés: B kl Q = B D A T Θ < Q Q teljesítményáram-korlát vektor, B D - diagonális matrix: B D kk = Y ij Csercsik D. (MTA KRTK) SING 2014 PPKE-ITK 8 / 14
15 A villamosenergia-piaci CAP - A hálózati modell II B(Y)Θ = P B(Y) - szuszceptancia-mátrix: B kl = Y kl az off-diagonális elemekre, és B kk = l k Ω Θ - A csomópontokban mérhető feszültségvektorok szögeit tartalmazó vektor. A vonalak korlátozott terhelhetőségéből adódó összefüggés: B kl Q = B D A T Θ < Q Q teljesítményáram-korlát vektor, B D - diagonális matrix: B D kk = Y ij Csercsik D. (MTA KRTK) SING 2014 PPKE-ITK 8 / 14
16 A villamosenergia-piaci CAP - A hálózati modell II B(Y)Θ = P B(Y) - szuszceptancia-mátrix: B kl = Y kl az off-diagonális elemekre, és B kk = l k Ω Θ - A csomópontokban mérhető feszültségvektorok szögeit tartalmazó vektor. A vonalak korlátozott terhelhetőségéből adódó összefüggés: B kl Q = B D A T Θ < Q Q teljesítményáram-korlát vektor, B D - diagonális matrix: B D kk = Y ij Csercsik D. (MTA KRTK) SING 2014 PPKE-ITK 8 / 14
17 A villamosenergia-piaci CAP - A hálózati modell III Tudjuk hogy BΘ = P B nem invertálható, de a teljesítmény kiszámításánál valójában csak Theta vektor elemei közti különbség számít: Θ = B + P ahol B + B Moore-Penrose pszeudoinverze. A korlátozás eredő alakja ezután: B D A T Θ = B D A T B + P < Q Csercsik D. (MTA KRTK) SING 2014 PPKE-ITK 9 / 14
18 Kapcsolat a CAP változói és P között W ygggggga P P = Wx W első oszlopa - mik lesznek a csomóponti teljesítmények ha az első játékos kapja meg a megrendelések első részhalmazát... stb A hálózati korlátozások felírhatóak a CAP változóival. 1 1 picit csaltunk, de nem nagyon Csercsik D. (MTA KRTK) SING 2014 PPKE-ITK 10 / 14
19 Néhány eredmény Példa: 3 generátor, 4 fogyasztó, 10 távvezeték (3) 5 Y 35 =1.4 Y 45 =1 (1) Y 15 =1 1 (4.5) 4 6 (2) Y 12 =1 Y 46 =1 2 (6) Y 13 =1.1 Y 36 =1.4 3 Y 26 =1 (7) Y 27 =1 Y 57 =1 7 (1.5) Csercsik D. (MTA KRTK) SING 2014 PPKE-ITK 11 / 14
20 Néhány eredmény II G1 G2 G Price p j [MWh] Csercsik D. (MTA KRTK) SING 2014 PPKE-ITK 12 / 14
21 Néhány eredmény III A liciteket a generátorok a potenciális profit 0.3-szorosával számolják. Eladási árak: q/y I c ϑ 1 ϑ 2 ϑ 3 ϑ GC Csercsik D. (MTA KRTK) SING 2014 PPKE-ITK 13 / 14
22 További fejlesztési irányok és Kooperáció Lehetséges további fejlesztési irányok Unit commitment probléma. Licitsrtatégiák elemzése, asszimetrikus információ hatása - licitre illetve termelési karakterisztikára vonatkozóan. Kooperáçió Licitek egyeztetése (Collusion) - especially in unit commitment, including startup costs. Hálózat manipulációja: vonalak lekapcsolása (karbantartás időzítése) illetve hálózatbővítés. Csercsik D. (MTA KRTK) SING 2014 PPKE-ITK 14 / 14
23 További fejlesztési irányok és Kooperáció Lehetséges további fejlesztési irányok Unit commitment probléma. Licitsrtatégiák elemzése, asszimetrikus információ hatása - licitre illetve termelési karakterisztikára vonatkozóan. Kooperáçió Licitek egyeztetése (Collusion) - especially in unit commitment, including startup costs. Hálózat manipulációja: vonalak lekapcsolása (karbantartás időzítése) illetve hálózatbővítés. Csercsik D. (MTA KRTK) SING 2014 PPKE-ITK 14 / 14
24 További fejlesztési irányok és Kooperáció Lehetséges további fejlesztési irányok Unit commitment probléma. Licitsrtatégiák elemzése, asszimetrikus információ hatása - licitre illetve termelési karakterisztikára vonatkozóan. Kooperáçió Licitek egyeztetése (Collusion) - especially in unit commitment, including startup costs. Hálózat manipulációja: vonalak lekapcsolása (karbantartás időzítése) illetve hálózatbővítés. Csercsik D. (MTA KRTK) SING 2014 PPKE-ITK 14 / 14
25 További fejlesztési irányok és Kooperáció Lehetséges további fejlesztési irányok Unit commitment probléma. Licitsrtatégiák elemzése, asszimetrikus információ hatása - licitre illetve termelési karakterisztikára vonatkozóan. Kooperáçió Licitek egyeztetése (Collusion) - especially in unit commitment, including startup costs. Hálózat manipulációja: vonalak lekapcsolása (karbantartás időzítése) illetve hálózatbővítés. Csercsik D. (MTA KRTK) SING 2014 PPKE-ITK 14 / 14
matematikai statisztika 2006. október 24.
Valószínűségszámítás és matematikai statisztika 2006. október 24. ii Tartalomjegyzék I. Valószínűségszámítás 1 1. Véletlen jelenségek matematikai modellje 3 1.1. Valószínűségi mező..............................
Klasszikus alkalmazások
Klasszikus alkalmazások Termelésoptimalizálás Hozzárendelési probléma: folytonos eset Arbitrázsárazás p. Termelésoptimalizálás A gazdasági élet és a logisztika területén gyakran találkozunk lineáris optimalizálási
Bevezetés a játékelméletbe Kétszemélyes zérusösszegű mátrixjáték, optimális stratégia
Bevezetés a játékelméletbe Kétszemélyes zérusösszegű mátrixjáték, optimális stratégia Készítette: Dr. Ábrahám István A játékelmélet a 2. század közepén alakult ki. (Neumann J., O. Morgenstern). Gyakran
Mikrohullámok vizsgálata. x o
Mikrohullámok vizsgálata Elméleti alapok: Hullámjelenségen valamilyen rezgésállapot (zavar) térbeli tovaterjedését értjük. A hullám c terjedési sebességét a hullámhossz és a T rezgésido, illetve az f frekvencia
VILLAMOS ENERGETIKA ELŐVIZSGA DOLGOZAT - A csoport
VILLAMOS ENERGETIKA ELŐVIZSGA DOLGOZAT - A csoport 2013. május 22. NÉV:... NEPTUN-KÓD:... Terem és ülőhely:... 1. 2. 3. 4. 5. Értékelés: Ha az 1. feladat eredménye
Megújuló energia piac hazai kilátásai
Megújuló energia piac hazai kilátásai Slenker Endre vezető főtanácsos Magyar Energia Hivatal 1 Tartalom Az energiapolitika releváns célkitűzései EU direktívák a támogatásról Hazai támogatási rendszer Biomassza
Mérôváltó bemenetek és általános beállítások
Mérôváltó bemenetek és általános beállítások DE50583 Mérôváltó bemenetek A analóg bemenetekkel rendelkezik, amelyekre az alkalmazás által megkívánt mérôváltókat lehet csatlakoztatni. S80, S81, S82 T81,
MIKROÖKONÓMIA I. Készítette: K hegyi Gergely és Horn Dániel. Szakmai felel s: K hegyi Gergely. 2010. június
MIKROÖKONÓMIA I. Készült a TÁMOP-4.1.2-08/2/a/KMR-2009-0041 pályázati projekt keretében Tartalomfejlesztés az ELTE TáTK Közgazdaságtudományi Tanszékén az ELTE Közgazdaságtudományi Tanszék az MTA Közgazdaságtudományi
Irányításelmélet és technika I.
Irányításelmélet és technika I. Elektromechanikai rendszerek dinamikus leírása Magyar Attila Pannon Egyetem Műszaki Informatikai Kar Villamosmérnöki és Információs Rendszerek Tanszék amagyar@almos.vein.hu
www.percept.hu BIZTONSÁGI ÉS JELZŐ BERENDEZÉSEK SZÁMÁRA KIFEJLESZTETT "LSzR" TÍPUSÚ FÉLVEZETŐS FÉNYFORRÁSOK
BIZTONSÁGI ÉS JELZŐ BERENDEZÉSEK SZÁMÁRA KIFEJLESZTETT "LSzR" TÍPUSÚ FÉLVEZETŐS FÉNYFORRÁSOK Tartalom Bevezető 3. oldal 1, Elméleti alapok 6. oldal 2, Nagy intenzitású LED-ek 6. oldal 3, Tipizálás 8. oldal
1. Előadás Lineáris programozás Szállítási feladatok
1. Előadás Lineáris programozás Szállítási feladatok Salamon Júlia Előadás II. éves gazdaság informatikus hallgatók számára Projekt Témák: Lineáris programozási feladat (3 hallgató) Szállítási feladat
Elektrotechnika. 4. előadás. Budapest Műszaki Főiskola Bánki Donát Gépész és Biztonságtechnikai Kar Mechatronikai és Autechnikai Intézet
udapest Műszaki Főiskola ánki Donát Gépész és iztonságtechnikai Kar Mechatronikai és utechnikai ntézet Elektrotechnika 4. előadás Összeállította: Langer ngrid őisk. adjunktus Háromázisú hálózatok gyakorlatban
A lineáris tér. Készítette: Dr. Ábrahám István
A lineáris tér Készítette: Dr. Ábrahám István A lineáris tér fogalma A fejezetben a gyakorlati alkalmazásokban használt legfontosabb fogalmakat, összefüggéseket tárgyaljuk. Adott egy L halmaz, amiben azonos
Egy irányított szakasz egyértelműen meghatároz egy vektort.
VEKTOROK VEKTOROK FOGALMA Ha egy szakasz két végpontját megkülönböztetjük egymástól oly módon, hogy az egyik pont a kezdőpont, a másik pont a végpont, akkor irányított szakaszt kapunk. Egy irányított szakasz
Körmozgás és forgómozgás (Vázlat)
Körmozgás és forgómozgás (Vázlat) I. Egyenletes körmozgás a) Mozgás leírását segítő fogalmak, mennyiségek b) Egyenletes körmozgás kinematikai leírása c) Egyenletes körmozgás dinamikai leírása II. Egyenletesen
Mátrixaritmetika. Tartalom:
Mátrixaritmetika Tartalom: A vektor és mátrix fogalma Speciális mátrixok Relációk és műveletek mátrixokkal A mátrixok szorzása A diadikus szorzat. Hatványozás Gyakorlati alkalmazások Készítette: Dr. Ábrahám
4/2011. (I. 31.) NFM rendelet. a villamos energia egyetemes szolgáltatás árképzéséről. 1. A rendelet alkalmazási köre. 2. Értelmező rendelkezések
A jogszabály mai napon hatályos állapota 4/2011. (I. 31.) NFM rendelet a villamos energia egyetemes szolgáltatás árképzéséről A villamos energiáról szóló 2007. évi LXXXVI. törvény 170. (2) bekezdés 1.
GAZDASÁGMATEMATIKA KÖZÉPHALADÓ SZINTEN
GAZDASÁGMATEMATIKA KÖZÉPHALADÓ SZINTEN ELTE TáTK Közgazdaságtudományi Tanszék Gazdaságmatematika középhaladó szinten LINEÁRIS PROGRAMOZÁS Készítette: Gábor Szakmai felel s: Gábor Vázlat 1 2 3 4 A lineáris
Dualitás Dualitási tételek Általános LP feladat Komplementáris lazaság 2015/2016-2. Szegedi Tudományegyetem Informatikai Tanszékcsoport
Operációkutatás I. 2015/2016-2. Szegedi Tudományegyetem Informatikai Tanszékcsoport Számítógépes Optimalizálás Tanszék 6. Előadás Árazási interpretáció Tekintsük újra az erőforrás allokációs problémát
Nem teljesen kitöltött páros összehasonlítás mátrixok sajátérték optimalizálása Newton-módszerrel p. 1/29. Ábele-Nagy Kristóf BCE, ELTE
Nem teljesen kitöltött páros összehasonlítás mátrixok sajátérték optimalizálása Newton-módszerrel Ábele-Nagy Kristóf BCE, ELTE Bozóki Sándor BCE, MTA SZTAKI 2010. november 4. Nem teljesen kitöltött páros
Nagyordó, Omega, Theta, Kisordó
A növekedés nagyságrendje, számosság Logika és számításelmélet, 6. gyakorlat 2009/10 II. félév Számításelmélet (6. gyakorlat) A növekedés nagyságrendje, számosság 2009/10 II. félév 1 / 1 Nagyordó, Omega,
A VÁROSBAN IS ÜGYES KISTEHERAUTÓ
TERET AD VÁLLALKOZÁSÁNAK 18% cégautó kedvezmény START400 finanszírozással akár 2 621 000Ft nettó kezdőártól* 2,5% -os Növekedési Hitelre is elérhető** KIEMELKEDŐ RAKTÉRKAPACITÁS 2 db EUR raklap is elfér
AZ MVM RT. ÁLTAL RENDEZETT ELSÔ MAGYAR KAPACITÁSAUKCIÓRÓL
AZ MVM RT. ÁLTAL RENDEZETT ELSÔ MAGYAR KAPACITÁSAUKCIÓRÓL n A 2001. ÉVI CX. TÖRVÉNY A VILLAMOS ENERGIÁRÓL (TOVÁBBIAKBAN VET) ELSÔ MONDATA SZE- RINT AZ ORSZÁGGYÛLÉS A FOGYASZTÓK BIZTONSÁGOS, MEGFELELÔ MINÔSÉGÛ
Megoldások. 2001. augusztus 8.
Megoldások 2001. augusztus 8. 1 1. El zetes tudnivalók a különböz matematikai logikai nyelvekr l 1.1. (a) Igen (b) Igen (c) Nem, mert nem kijelent mondat. (d) Nem fejez ki önmagában állítást. "Ádám azt
4. előadás. Vektorok
4. előadás Vektorok Vektorok bevezetése Ha adottak a térben az A és a B pontok, akkor pontosan egy olyan eltolás létezik, amely A-t B- be viszi. Ha φ egy tetszőleges eltolás, akkor ez a tér minden P pontjához
A RENDELET HATÁLYA. 1.. (1) E rendelet Soltvadkert közigazgatási területére terjed ki.
SOLTVADKERT VÁROS ÖNKORMÁNYZATA KÉPVISELŐ-TESTÜLETÉNEK 11/2003. (VIII.12.) KT rendelete a helyi építési szabályokról) 1 Soltvadkert Város Képviselő-testülete az 1999. évi CXV. törvénnyel módosított 1997.évi
A beszerzési logisztikai folyamat tervezésének és működtetésének stratégiái II.
A beszerzési logisztikai folyamat tervezésének és működtetésének stratégiái II. Prof. Dr. Cselényi József Dr. Illés Béla PhD. egyetemi tanár tanszékvezető egyetemi docens MISKOLCI EGYETEM Anyagmozgatási
hőfogyasztással rendelkező tizedének átlagos éves fajlagos
Gazdálkodásra vonatkozó gazdasági és műszaki információk I. táblázat Az előző két üzleti ben távhőszolgáltatással kapcsolatban elért, az eredménykimutatásban szereplő árbevételre és egyéb bevételekre vonatkozó
13/2007. (XII.29.) ÖNKORMÁNYZATI RENDELET HELYI ÉPÍTÉSI SZABÁLYZAT. Nógrád község településrendezési tervéhez
13/2007. (XII.29.) ÖNKORMÁNYZATI RENDELET HELYI ÉPÍTÉSI SZABÁLYZAT Nógrád község településrendezési tervéhez Egységes szerkezetben 9/2009.(IX.19.) módosítással, 3/2010.(III.27.) módosítással, 6/2014.(X.07.)
Dinamikus rendszerek paramétereinek BAYES BECSLÉSE. Hangos Katalin VE Számítástudomány Alkalmazása Tanszék
Dinamikus rendszerek paramétereinek BAYES BECSLÉSE Hangos Katalin VE Számítástudomány Alkalmazása Tanszék 1 Bayes-becslések 1. A véletlen Bayes féle fogalma A "véletlen" Bayes féle értelmezése a megfigyelést
2. Hőmérséklet érzékelők vizsgálata, hitelesítése folyadékos hőmérő felhasználásával.
2. Hőmérséklet érzékelők vizsgálata, hitelesítése folyadékos hőmérő felhasználásával. A MÉRÉS CÉLJA Az elterjedten alkalmazott hőmérséklet-érzékelők (ellenállás-hőmérő, termisztor, termoelem) megismerése,
LEKÉRDEZÉSEK SQL-BEN. A relációs algebra A SELECT utasítás Összesítés és csoportosítás Speciális feltételek
LEKÉRDEZÉSEK SQL-BEN A relációs algebra A SELECT utasítás Összesítés és csoportosítás Speciális feltételek RELÁCIÓS ALGEBRA A relációs adatbázisokon végzett műveletek matematikai alapjai Halmazműveletek:
Szellőzőrács. Ferdinand Schad KG Steigstraße 25-27 D-78600 Kolbingen Telefon 0 74 63-980 - 0 Telefax 0 74 63-980 - 200 info@schako.de www.schako.
Szellőzőrács Ib Ferdinand Schad KG Steigstraße 25-27 D-78600 Kolbingen Telefon 0 74 63-980 - 0 Telefax 0 74 63-980 - 200 info@schako.de www.schako.de Tartalom Leírás... 3 Kialakítás... 3 Kivitel... 3 Tartozékok...
Gazdálkodási modul. Gazdaságtudományi ismeretek I. Közgazdaságtan. KÖRNYEZETGAZDÁLKODÁSI MÉRNÖKI MSc TERMÉSZETVÉDELMI MÉRNÖKI MSc
Gazdálkodási modul Gazdaságtudományi ismeretek I. Közgazdaságtan KÖRNYEZETGAZDÁLKODÁSI MÉRNÖKI MSc TERMÉSZETVÉDELMI MÉRNÖKI MSc A monopólium, oligopólium és monopolisztikus verseny 7. lecke Piaci szerkezetek
Műszaki folyamatok közgazdasági elemzése Előadásvázlat 2016. április 5. Piaci szerkezetek, piaci koncentráció: tökéletes verseny monopólium
Műszaki folyamatok közgazdasági elemzése Előadásvázlat 206. április 5. Piaci szerkezetek, piaci koncentráció: tökéletes verseny monopólium. Optimális (maximális profitot biztosító) termelési mennyiség
Lakossági felhasználók számára kiszámlázott használati melegvíz alapdíj ezer Ft 0 0
I. 1. A fűtési időszak átlaghőmérséklete C 7,8 6,8 2. Lakossági felhasználók számára értékesített fűtési célú hő GJ 4 565 6 716 3. Lakossági felhasználók számára értékesített használati melegvíz felmelegítésére
ISMÉT FÖLDKÖZELBEN A MARS!
nikai Vállalat, Audió, EVIG Egyesült Villamosgépgyár, Kismotor- és Gépgyár, Szerszámgép Fejlesztési Intézet (Halásztelek), Pestvidéki Gépgyár (Szigethalom), Ikladi ûszeripari ûvek (II), Kôbányai Vas- és
Térinformatika. j informáci. ciós s rendszerek funkciói. Kereső nyelvek (Query Languages) Az adatok feldolgozását (leválogat
Térinformatika Elemzék 2. Az informáci ciós s rendszerek funkciói adatnyerés s (input) adatkezelés s (management) adatelemzés s (analysis) adatmegjelenítés s (prentation) Összeállította: Dr. Szűcs LászlL
SolarHP 43 50 MEGNÖVELT HATÁSFOKÚ, SÖTÉTEN SUGÁRZÓK
SolarHP 43 50 MEGNÖVELT HATÁSFOKÚ, SÖTÉTEN SUGÁRZÓK MŰSZAKI INFORMÁCIÓ A SZERELŐ ÉS A FELHASZNÁLÓ SZÁMÁRA 2015.11.17. - 2 - Tartalom 1. Bevezetés... 3 1.1. Általános tudnivalók... 3 1.1.1. A gyártó felelőssége...
A rendelet alkalmazási köre
44/2008. (XII. 31.) KHEM rendelet a villamosenergia-piaci egyetemes szolgáltatás árképzéséről, valamint az egyetemes szolgáltatás keretében nyújtandó termékcsomagokról A villamos energiáról szóló 2007.
1. A fűtési időszak átlaghőmérséklete C 5,72 7,82 2. Lakossági felhasználók számára értékesített fűtési célú hő GJ 8962 7342
Az előző két üzleti évben távhőszolgáltatással kapcsolatban elért, az eredmény-kimutatásban szereplő árbevételre és egyéb bevételekre vonatkozó információk (a felhasználóhoz legközelebb eső felhasználási
Kötések. Feladat: 3 db, szabványos kötőelemeket tartalmazó gépszerkezet részlet összeállítási rajzának elkészítése, ceruzával.
Műszaki ábrázolás alapjai HF-04 1 Kötések Feladat: 3 db, szabványos kötőelemeket tartalmazó gépszerkezet részlet összeállítási rajzának elkészítése, ceruzával. Szükséges eszközök: 3 db. A3-as, 1 db. A4-es
Az ipari energiaköltségek csökkentésének lehetőségei egy svéd vasöntöde példáján
BME OMIKK ENERGIAELLÁTÁS, ENERGIATAKARÉKOSSÁG VILÁGSZERTE 44. k. 11. sz. 2005. p. 55 65. Racionális energiafelhasználás, energiatakarékosság Az ipari energiaköltségek csökkentésének lehetőségei egy svéd
4. sz. Füzet. A hibafa számszerű kiértékelése 2002.
M Ű S Z A K I B I Z O N S Á G I F Ő F E L Ü G Y E L E 4. sz. Füzet A hibafa számszerű kiértékelése 00. Sem a Műszaki Biztonsági Főfelügyelet, sem annak nevében, képviseletében vagy részéről eljáró személy
Sorszám. Mértékegység 2013. év 2014. év. Megnevezés. 1. A fűtési időszak átlaghőmérséklete C
Az előző két üzleti évben távhőszolgáltatással kapcsolatban elért, az eredmény-kimutatásban szereplő árbevételre és egyéb bevételekre vonatkozó információk (a felhasználóhoz legközelebb eső felhasználási
Tómács Tibor. Matematikai statisztika
Tómács Tibor Matematikai statisztika Eszterházy Károly Főiskola Matematikai és Informatikai Intézet Tómács Tibor Matematikai statisztika Eger, 01 Szerző: Dr. Tómács Tibor főiskolai docens Eszterházy Károly
Munkapiaci áramlások Magyarországon
Kónya István MTA-KRTK Közgazdaságtudományi Intézet és Közép-európai Egyetem 2015.11.13 MTA KRTK KTI Motiváció Munkapiaci áramlások központi szerepe Munkapiac keresési modellje Munkanélküliség és aktivitás
5. Előadás. Megyesi László: Lineáris algebra, 29. 36. oldal. 5. előadás Lineáris függetlenség
5. Előadás Megyesi László: Lineáris algebra, 29. 36. oldal. Gondolkodnivalók Vektortér 1. Gondolkodnivaló Alteret alkotnak-e az R n n (valós n n-es mátrixok) vektortérben az alábbi részhalmazok? U 1 =
SZIGETELETLEN ALUMÍNIUM DOBOZ FELÉPÍTMÉNY
SZIGETELETLEN ALUMÍNIUM DOBOZ FELÉPÍTMÉNY ALUMÍNIUM DOBOZ FELÉPÍTMÉNY 10.1 A szigeteletlen alumínium doboz felépítmény 3 különböz típusban kapható, az els dleges verziók az L - M - R szériák. Az kiegészít
Grant Agreement no. 265212
Grant Agreement no. 265212 FP7 Environment (Including Climate Change) Alkalmazkodási költségek csökkentése a Közös Agrárpolitika keretében 2014-tôl érvényes ökológiai fókuszterületek kialakítása során
Matematika emelt szintû érettségi témakörök 2013. Összeállította: Kovácsné Németh Sarolta (gimnáziumi tanár)
Matematika emelt szintû érettségi témakörök 013 Összeállította: Kovácsné Németh Sarolta (gimnáziumi tanár) Tájékoztató vizsgázóknak Tisztelt Vizsgázó! A szóbeli vizsgán a tétel címében megjelölt téma kifejtését
Feladatok a koordináta-geometria, egyenesek témaköréhez 11. osztály, középszint
TÁMOP-.1.4-08/2-2009-0011 A kompetencia alapú oktatás feltételeinek megteremtése Vas megye közoktatási intézményeiben Feladatok a koordináta-geometria, egyenesek témaköréhez 11. osztály, középszint Vasvár,
Pontszerű test, pontrendszer és merev test egyensúlya és mozgása (Vázlat)
Pontszerű test, pontrendszer és merev test egyensúlya és mozgása (Vázlat) I. Pontszerű test 1. Pontszerű test modellje. Pontszerű test egyensúlya 3. Pontszerű test mozgása a) Egyenes vonalú egyenletes
MIKROÖKONÓMIA I. B. Készítette: K hegyi Gergely, Horn Dániel és Major Klára. Szakmai felel s: K hegyi Gergely. 2010. június
MIKROÖKONÓMIA I. B Készült a TÁMOP-4.1.2-08/2/a/KMR-2009-0041 pályázati projekt keretében Tartalomfejlesztés az ELTE TáTK Közgazdaságtudományi Tanszékén az ELTE Közgazdaságtudományi Tanszék az MTA Közgazdaságtudományi
8. osztály. 2013. november 18.
8. osztály 2013. november 18. Feladatok: PÉCSI ISTVÁN, középiskolai tanár SZÉP JÁNOS, középiskolai tanár Lektorok: LADÁNYI-SZITTYAI ANDREA, középiskolai tanár DANKOVICS ATTILA, ELTE-TTK matematikus hallgató,
Járattípusok. Kapcsolatok szerint: Sugaras, ingajárat: Vonaljárat: Körjárat:
JÁRATTERVEZÉS Kapcsolatok szert: Sugaras, gaárat: Járattípusok Voalárat: Körárat: Targocás árattervezés egyszerű modelle Feltételek: az ayagáram determsztkus, a beszállítás és kszállítás dőpot em kötött
2011. JANUÁR SZSÉGIPARI PROGRAM CIÓ PROGRAM INNOVÁCI TUDOMÁNY FOGLALKOZTATÁSI PROGRAM
ÚJ J SZÉCHENYI TERV PÁLYÁZATI LEHETŐSÉGEK 2011. JANUÁR ÚJ J SZÉCHENYI TERV KITÖRÉSI PONTJAI GYÓGY GYÍTÓ MAGYARORSZÁG EGÉSZS SZSÉGIPARI PROGRAM ZÖLDGAZDASÁG G FEJLESZTÉSI SI PROGRAM VÁLLALKOZÁSFEJLESZTÉSI
1.1. Gyökök és hatványozás... 1 1.1.1. Hatványozás... 1 1.1.2. Gyökök... 1 1.2. Azonosságok... 2 1.3. Egyenlőtlenségek... 3
Tartalomjegyzék 1. Műveletek valós számokkal... 1 1.1. Gyökök és hatványozás... 1 1.1.1. Hatványozás... 1 1.1.2. Gyökök... 1 1.2. Azonosságok... 2 1.3. Egyenlőtlenségek... 3 2. Függvények... 4 2.1. A függvény
µflow 100 Áramlás számító egység
µflow 100 Áramlás számító egység µflow 100 Gáz µflow 100 Gőz Kompakt kompenzációszámító gázokra és gőzökre letárolt összenyomhatósági táblázatokkal Gyártó: RFA Industrietechnik e. K. D-82362 Weilheim Web:
Háromfázisú hálózat.
Háromfázisú hálózat. U végpontok U V W U 1 t R S T T U 3 t 1 X Y Z kezdőpontok A tekercsek, kezdő és végpontjaik jelölése Ha egymással 10 -ot bezáró R-S-T tekercsek között két pólusú állandó mágnest, vagy
Dinamikus programozás alapú szivattyú üzemvitel optimalizálási technikák (főként) kombinatorikus vízműhálózatokra
Systeemitekniikan Laboratorio Dinamikus programozás alapú szivattyú üzemvitel optimalizálási technikák (főként) kombinatorikus vízműhálózatokra Bene József HDR, Dr. Hős Csaba HDR, Dr. Enso Ikonen SYTE,
I. táblázat. Mértékegy- Megnevezés 2012. év 2013. év. 1 A fűtési időszak átlaghőmérséklete C 5,15 5,22
I. táblázat Az előző két üzleti évben távhőszolgáltatással kapcsolatban elért, az eredmény-kimutatásban szereplő árbevételre és egyéb bevételekre vonatkozó információk (a felhasználóhoz legközelebb eső
Alkalmazott modul: Programozás
Eötvös Loránd Tudományegyetem Informatikai Kar Alkalmazott modul: Programozás Feladatgyűjtemény Összeállította: Giachetta Roberto groberto@inf.elte.hu http://people.inf.elte.hu/groberto Frissítve: 2015.
Kirándulni indul a tópartra? Megígérte, hogy segít a barátjának költözködni? Facsemetéket kell elhoznia a kertészetből? Az EVALIA mindenre képes!
NISSAN EVALIA Kedvezményekről érdeklődjön a márkakereskedéseknél! 5050000 Ft bruttó kezdőártól HATÁRTALAN SOKOLDALÚSÁG Kirándulni indul a tópartra? Megígérte, hogy segít a barátjának költözködni? Facsemetéket
Matematikai logika. Nagy Károly 2009
Matematikai logika előadások összefoglalója (Levelezős hallgatók számára) Nagy Károly 2009 1 1. Elsőrendű nyelvek 1.1. Definíció. Az Ω =< Srt, Cnst, F n, P r > komponensekből álló rendezett négyest elsőrendű
Lineáris programozás. Modellalkotás Grafikus megoldás Feladattípusok Szimplex módszer
Lineáris programozás Modellalkotás Grafikus megoldás Feladattípusok Szimplex módszer Feladat: Egy gyár kétféle terméket gyárt (A, B): /db Eladási ár 1000 800 Technológiai önköltség 400 300 Normaóraigény
Elzáró csappantyúk. AKK típus. Szennyezett levegőhöz
. X X testregistrierung Elzáró csappantyúk típus Kör keresztmetszetű csatlakozócsonkkal szerelt változat Szennyezett levegőhöz Műanyag, kör keresztmetszetű lezáró csappantyúk, agresszív anyagokat tartalmazó
Mesterséges Intelligencia I. (I602, IB602)
Dr. Jelasity Márk Mesterséges Intelligencia I. (I602, IB602) harmadik (2008. szeptember 15-i) előadásának jegyzete Készítette: Papp Tamás PATLACT.SZE KPM V. HEURISZTIKUS FÜGGVÉNYEK ELŐÁLLÍTÁSA Nagyon fontos
Lineáris algebra és mátrixok alkalmazása a numerikus analízisben
Eötvös Loránd Tudományegyetem Természettudományi kar Lineáris algebra és mátrixok alkalmazása a numerikus analízisben Szakdolgozat Készítette: Borostyán Dóra Matematika BSc matematikai elemző Témavezető:
Elektrosztatikai jelenségek
Elektrosztatikai jelenségek Ebonit vagy üveg rudat megdörzsölve az az apró tárgyakat magához vonzza. Két selyemmel megdörzsölt üvegrúd között taszítás, üvegrúd és gyapjúval megdörzsölt borostyánkő között
4.. Szabályozási elemek
4.. Szabályozási elemek (1) A szabályozási terv kötelező elemeinek jelmagyarázatát a szabályozási terv tartalmazza (2) Kötelező szabályozási elemek: A közterületek és egyéb funkciójú területek határa,
Mátrixok. 2015. február 23. 1. Feladat: Legyen ( 3 0 1 4 1 1 ( 1 0 3 2 1 0 B = A =
Mátrixok 25. február 23.. Feladat: Legyen A ( 3 2 B ( 3 4 Határozzuk meg A + B, A B, 2A, 3B, 2A 3B,A T és (B T T mátrixokat. A deníciók alapján ( + 3 + 3 + A + B 2 + 4 + + ( 4 2 6 2 ( ( 3 3 2 4 A B 2 4
EGYSZERŰ, NEM IRÁNYÍTOTT (IRÁNYÍTATLAN) GRÁF
Összefoglaló Gráfok / EGYSZERŰ, NEM IRÁNYÍTOTT (IRÁNYÍTATLAN) GRÁF Adott a G = (V, E) gráf ahol a V a csomópontok, E az élek halmaza E = {(x, y) x, y V, x y (nincs hurokél) és (x, y) = (y, x)) Jelölések:
Kártyajátékok és bűvésztrükkök
Szalkai Balázs, Szalkai István : Kártyajátékok és bűvésztrükkök Közismert, hogy nagyon sok bűvésztrükk matematikai alapokon nyugszik, a kártyaés egyéb játékok matematikai elemzéséről nem is szólva. Nem
Ködös határ (Félreértés, hiba)
Informális vs. formális probléma leírás Valós világ (Domain) Ködös határ (Félreértés, hiba) Formális világ (Hibás eredmény) (Megoldás) A specifikáci ció csak nagyvonalakban írja le a valóságos problémát,
Spike Trade napló_1.1 használati útmutató
1 Spike Trade napló_1.1 használati útmutató 1 ÁLTALÁNOS ÁTTEKINTŐ A táblázat célja, kereskedéseink naplózása, rögzítése, melyek alapján statisztikát készíthetünk, szűrhetünk vagy a már meglévő rendszerünket
A matematika alapjai. Nagy Károly 2014
A matematika alapjai előadások összefoglalója (Levelezős hallgatók számára) Nagy Károly 2014 1 1. Kijelentés logika, ítéletkalkulus 1.1. Definíció. Azokat a kijelentő mondatokat, amelyekről egyértelműen
1. Vizsgálat az időtartományban. 1.1. Határozza meg az ábrán vázolt diszkrét idejű hálózat állapotváltozós leírásának normál alakját!
. Vizsgálat az időtartományban.. Határozza meg az ábrán vázolt diszkrét idejű hálózat állapotváltozós leírásának normál alakját! x x x xy x [ k ] x b( c eg x x gf u [ k ] x ( bd beh x x fh [ k ] bx( c
ELEMI BÁZISTRANSZFORMÁCIÓ LÉPÉSEI 2.NEHEZÍTETT VÁLTOZAT 2.a) Paramétert nem tartalmazó eset
ELEMI BÁZISTRANSZFORMÁCIÓ LÉPÉSEI 2.NEHEZÍTETT VÁLTOZAT 2.a) Paramétert nem tartalmazó eset A bázistranszformáció nehezített változatában a bázison kívül elhelyezkedő vektorokból amennyit csak lehetséges
Lineáris Algebra gyakorlatok
A V 2 és V 3 vektortér áttekintése Lineáris Algebra gyakorlatok Írta: Simon Ilona Lektorálta: DrBereczky Áron Áttekintjük néhány témakör legfontosabb definícióit és a feladatokban használt tételeket kimondjuk
Komputer statisztika gyakorlatok
Eszterházy Károly Főiskola Matematikai és Informatikai Intézet Tómács Tibor Komputer statisztika gyakorlatok Eger, 2010. október 26. Tartalomjegyzék Előszó 4 Jelölések 5 1. Mintagenerálás 7 1.1. Egyenletes
Matematikai és matematikai statisztikai alapismeretek
Kézirat a Matematikai és matematikai statisztikai alapismeretek című előadáshoz Dr. Győri István NEVELÉSTUDOMÁNYI PH.D. PROGRM 1999/2000 1 1. MTEMTIKI LPOGLMK 1.1. Halmazok Halmazon mindig bizonyos dolgok
Az időtől független Schrödinger-egyenlet (energia sajátértékegyenlet), A Laplace operátor derékszögű koordinátarendszerben
Atomfizika ψ ψ ψ ψ ψ E z y x U z y x m = + + + ),, ( h ) ( ) ( ) ( ) ( r r r r ψ ψ ψ E U m = + Δ h z y x + + = Δ ),, ( ) ( z y x ψ =ψ r Az időtől független Schrödinger-egyenlet (energia sajátértékegyenlet),
MIKROÖKONÓMIA II. Készítette: K hegyi Gergely. Szakmai felel s: K hegyi Gergely. 2011. február
MIKROÖKONÓMIA II. Készült a TÁMOP-4.1.2-08/2/a/KMR-2009-0041 pályázati projekt keretében Tartalomfejlesztés az ELTE TáTK Közgazdaságtudományi Tanszékén az ELTE Közgazdaságtudományi Tanszék az MTA Közgazdaságtudományi
Dr. Kuczmann Miklós JELEK ÉS RENDSZEREK
Dr. Kuczmann Miklós JELEK ÉS RENDSZEREK Dr. Kuczmann Miklós JELEK ÉS RENDSZEREK Z UNIVERSITAS-GYŐR Kht. Győr, 25 SZÉCHENYI ISTVÁN EGYETEM MŰSZAKI TUDOMÁNYI KAR TÁVKÖZLÉSI TANSZÉK Egyetemi jegyzet Írta:
Félévi időbeosztás (nagyjából) házi feladat beadási határidőkkel (pontosan) Valószínűségszámítás 2. matematikusoknak és fizikusoknak, 2009 tavasz
Félévi időbeosztás (nagyjából) házi feladat beadási határidőkkel (pontosan) Valószínűségszámítás 2. matematikusoknak és fizikusoknak, 2009 tavasz Dátum Téma beadandó Feb 12Cs Konvolúció (normális, Cauchy,
Pánikrudak. Pánikrudak elektromos zárakhoz effeff 8000 Vízszintes beépítésű mechanikus pánikrúd... G-2
Pánikrudak Pánikrudak elektromos zárakhoz effeff 8000 Vízszintes beépítésű mechanikus pánikrúd............................................................. G-2 Elektromos pánikrudak Securitron TSB Elektromos
Lineáris algebra - jegyzet. Kupán Pál
Lineáris algebra - jegyzet Kupán Pál Tartalomjegyzék fejezet Vektorgeometria 5 Vektorok normája Vektorok skaláris szorzata 4 3 Vektorok vektoriális szorzata 5 fejezet Vektorterek, alterek, bázis Vektorterek
Játék 2-4 építőmester számára 10 éves kortól
Játék 2-4 építőmester számára 10 éves kortól Tartalom: PRO verzió részére: 1 játéktábla 4 sorrend kártya 1 értékelő tábla 4 kultikus hely lap 27 színes építő elem ( 8 kék és piros, 6 zöld, 5 lila) 16 semleges
MATEMATIKA JAVÍTÁSI-ÉRTÉKELÉSI ÚTMUTATÓ
Matematika emelt szint 0613 ÉRETTSÉGI VIZSGA 007. május 8. MATEMATIKA EMELT SZINTŰ ÍRÁSBELI ÉRETTSÉGI VIZSGA JAVÍTÁSI-ÉRTÉKELÉSI ÚTMUTATÓ OKTATÁSI ÉS KULTURÁLIS MINISZTÉRIUM Formai előírások: Fontos tudnivalók
Erdélyi Magyar TudományEgyetem (EMTE
TARTALOM: Általánosságok Algoritmusok ábrázolása: Matematikai-logikai nyelvezet Pszeudokód Függőleges logikai sémák Vízszintes logikai sémák Fastruktúrák Döntési táblák 1 Általánosságok 1. Algoritmizálunk
A vezetői munka alapelemei - Döntéselmélet, döntéshozatal lehetséges útjai
A vezetői muk lpelemei - Dötéselmélet, dötéshoztl lehetséges útji Szkgyógyszerész-jelöltek képzése Király Gyul Az operációkuttás rövid Mérföldkövek törtéete II. világháború ltt strtégii és tktiki ktoi
az elektromosság orvosi alkalmazásai
Az elektromosság orvosi alkalmazásai jelfeldolgozás (db, Fourier, szűrők, erősítő, frekvenciakarakterisztika, visszacsatolás) külön előadás volt bioelektromos jelenségek (membrán, nyugalmi, akciós potenciál)
MATEMATIKAI ÉS FIZIKAI ALAPOK
MATEMATIKAI ÉS FIZIKAI ALAPOK F:\EGYJEGYZ\20\alapok.doc 4 Feb 20 www.rmki.kfki.hu/~szego/egyjegyz. A Dirac-delta 2. Elektrodinamika mozgó közegekben 3. Függvénytranszformációk (Fourier transzformáció)
!"#$ % & ()*+,-. ' $1 /0 1!" #$%&' " ()*+,-./01! "2 % :; E 89 ()*FGH IJKLMN89 O + 1 P QRSTUVW XY!" #* = () QZ[VW XY\ ]^_ `1 abc!"89
()*+,-. ' $1 /0 1!" #$%&' "()*+,-./01! "2 %34567 89:; ?@ABC7CD E 89 ()*FGH IJKLMN89 O + 1 P QRSTUVW XY!" #* = () QZ[VW XY\ ]^_ `1 abc!"89 *+`= 8 * 1 1!" XY 89 I V " # 2345-;..9-1: 6789:-$ 6; 5-- 69
PERUN HCI SYSTEM. www.m.uzletiszellem.hu
PERUN HCI SYSTEM HEAT-POWER CALORIFIC INSTALLATION A 80-as, 90-es években már folytak kísérletek a kavitáció, mint effektus kihasználására, akár meleg víz, akár gőz előállítására. Cikkek, tanulmányok,
MIKROÖKONÓMIA I. Készítette: K hegyi Gergely és Horn Dániel. Szakmai felel s: K hegyi Gergely. 2010. június
MIKROÖKONÓMIA I Készült a TÁMOP-412-08/2/a/KMR-2009-0041 pályázati projekt keretében Tartalomfejlesztés az ELTE TáTK Közgazdaságtudományi Tanszékén az ELTE Közgazdaságtudományi Tanszék az MTA Közgazdaságtudományi
9. Áramlástechnikai gépek üzemtana
9. Áramlástechnikai gépek üzemtana Az üzemtan az alábbi fejezetekre tagozódik: 1. Munkapont, munkapont stabilitása 2. Szivattyú indítása soros 3. Stacionárius üzem kapcsolás párhuzamos 4. Szivattyú üzem
Ferenczi Dóra. Sorbanállási problémák
Eötvös Loránd Tudományegyetem Természettudományi Kar Ferenczi Dóra Sorbanállási problémák BSc Szakdolgozat Témavezet : Arató Miklós egyetemi docens Valószín ségelméleti és Statisztika Tanszék Budapest,
I. VEKTOROK, MÁTRIXOK
217/18 1 félév I VEKTOROK, MÁTRIXOK I1 I2 Vektorok 1 A síkon derékszögű koordinátarendszerben minden v vektornak van vízszintes és van függőleges koordinátája, ezeket sorrendben v 1 és v 2 jelöli A v síkbeli