Valószí ségszámítás és statisztika gyakorlat Programtervez iformatikus szak, esti képzés.) Egy érmével dobuk. Ha az eredméy fej, akkor még egyszer dobuk, ha írás, akkor még kétszer. a.) Mik leszek a kísérletet leíró eseméytér potjai? b.) Határozzuk meg az elemi eseméyek valószí ségét! c.) Meyi a valószí sége, hogy összese fejet dobuk? a.) Jelölje I azt, hogy írást dobtuk, F pedig a fejdobást. Ω {F I, F F, III, IF I, IIF, IF F } b.) P (F I) P (F F ) /4, P (III) P (IF I) P (IIF ) P (IF F ) /8 c.) P ({F I, IF I, IIF }) 4 + 8 + 8.) Egy aray és egy ezüst érmével dobuk, majd újra dobuk azzal/azokkal az érmével/érmékkel, amelyikkel/amelyekkel fejet kaptuk. Írjuk fel az eseméyteret! Határozd meg az elemi eseméyek valószí ségét! Jelölje I azt, hogy írást dobtuk, F pedig a fejdobást. Ω {II, F II, F IF, IF I, IF F, F F II, F F IF, F F F I, F F F F }, ahol például F F IF jelölje azt elemi eseméyt, hogy az aray érmével el ször fejet, az ezüst érmével el ször fejet, az aray érmével másodszorra írást, az ezüst érmével pedig másodikra fejet dobtuk. P (II) 4, P (F II) P (F IF ) P (IF I) P (IF F ) 8, P (F F II) P (F F IF ) P (F F F I) P (F F F F ).) Mi a valószí sége, hogy egy véletleszer e kiválasztott jegy szám jegyei mid külöböz ek? Összes lehet ség: 9 ; jó esetek száma: 9 9 8 7. Így 9 8 7 a keresett valószí ség:, %. 4.) Aritmethiába az autók redszámai hatjegy számok és 999999 között. Mi a valószí sége, hogy va a jegyek között? P(va a jegyek között)-p(ics köztük) 9, 9.) Lottóhúzás sorá (-ös lottó) a.) milye eséllyel lesz telitalálatom? b.) milye eséllyel lesz két találatom? c.) milye eséllyel lesz legalább két találatom? A feladat kezelhet mitavételkét: N9, M,. a.) ( )( 8 ) ( 9 ) b.) ( )( 8 ) ( 9 ) ( c.) k)( 8 k) k ( 9 ).) Ha egy magyarkártya-csomagból visszatevéssel húzuk lapot, akkor mi aak a valószí sége, hogy a.) potosa b.) legalább egy piros szí lapot húzuk? A feladat kezelhet mitavételkét: N (összes lap), M 8 (pirosak),. visszatevés élkül a.) (8 )( 4 ) ( ) b.) P(legalább piros)-p( piros) (8 )( 4 ) ( ) visszatevéssel a.) a selejtaráy8//4, így a keresett vsz.: ( ( ( ) ) 4) 4 b.) (. 4) 7.) Egy tagú osztályba a diákok agolt, émetet vagy fraciát taulhatak. Tudjuk, hogy agolul -a taulak, émetül -e, fraciául pedig 9-e. Agolul és émetül egyszerre -e, émetül és fraciául egyszerre - a, agolul és fraciául -e, és seki em taulja mid a három yelvet. Mekkora a valószí sége aak, hogy egy véletleszer e választott tauló legalább az egyik idege yelvet taulja? Legye B : egy diák agolul taul; B : egy diák émetül taul; B : egy diák fraciául taul. Kiszámítadó a P (B B B ) valószí ség, haszáljuk a szita formulát. P (B B B ) P (B ) + P (B ) + P (B ) P (B B ) P (B B ) P (B B ) + P (B B B ) ++9 + 8.) Meyi a valószí sége, hogy két kockadobásál mid a két dobás -os, azzal a feltétellel, hogy legalább az egyik dobás -os? A feltétel gyelembe vételével oljuk meg: legalább az egyik -os összes eset:,,,,,,4,4,,, darab jó esetek: darab
így a keresett valószí ség. 9.) Három külöböz kockával dobuk. Mekkora a valószí sége, hogy az egyik kockával -ost dobuk, feltéve, hogy a dobott számok összege? Legye A: egyikkel -ost dobuk; B: az összeg. Írjuk össze az összes lehetséges esetet, amikor kockadobás eredméyéek az összege : felbotása Esetek száma Va-e -os ++! ige +4+! ige! ++! ige! ++! em +4+! em 4+4+4 em Összese Tehát a jó esetek száma: ++, az összes eset száma pedig, így a keresett P(A B) valószí ség,. ameyi a yerési esélye. : 4 : : 4 : : : 4 : : : : : : 4 : : 4 4 : : 4 4 : : 4 Mivel az egyes mérk zéseket egymástól függetleül játsszák le, ezért P(a második játékos yer) 8 +. Tehát úgy ossza fel a két játékos a tétet, hogy az els játékos kapja a tét részét, a második pedig a tét részét. : 4.) érme közül az egyik hamis (eek midkét oldalá fej va). Egy érmét kiválasztva és azzal -szer dobva, fejet kaptuk. Eze feltétellel mi a valószí sége, hogy a hamis érmével dobtuk? Legye A: dobásból fej; B : jó érmével dobtuk; B : hamis érmével dobtuk. ) P(B ) 99 P(A B ) ( ( ( ) ) P(B ) P(A B ) Alkalmazzuk a Bayes-tételt: P (B A) 4 99 + P (A B )P (B ) P (A B )P (B )+P (A B )P (B ).) Osztozkodási probléma: hogya osztozzo a téte két játékos, ha : állásál félbeszakadt a 4 gy zelemig tartó mérk zésük? (Tfh. az egyes játékok egymástól függetleek, bármelyikük / valószí séggel yerhet az egyes játékokál.) A játék meetét gráal is lehet ábrázoli. Piros jelöli azt az állást, amikor az els játékos yer, és zöld, amikor a második. Akkor osztozkodak "igazságosa", ha a tét ayiad részét kapja az adott játékos,.) Adjuk meg aak a valószí ségi változóak az eloszlását, ami egy hatgyermekes családba a úk számát adja meg. Tegyük fel, hogy midig - a úk, ill. a láyok születési valószí sége, és az egyes születések függetleek egymástól. Legye X: úk száma. A feladat visszatevéses mitavételkét kezelhet : p ; a mita mérete. Így P (X k) ( ( k) k ( ) k ( ) ( k). ).) Jelölje p k aak a valószí ségét, hogy egy lottóhúzásál (9/) a legagyobb kihúzott szám k. Számítsd ki a p k értékeket, és mutassuk meg, hogy ez valóba valószí ségi eloszlás! p k (k ) ( k ) ( 9, k,,...,9 ) ugyais ki kell választauk számot az els k-ból, viszot em k lesz a legagyobb, ameyibe az els k - b l választottuk ki ket, így ezeket a rossz eseteket le kell voi. Ez valószí ségi eloszlás, ugyais 9 k p k ( )+(( ) ( ))+(( 7 ) ( ))+...+(( 9 ) ( 89 )) ( 9 ) (9 ) ( 9 ).
4.) Legyeek A, B, C, D, egy szabályos tetraéder csúcsai. Egy légy az A csúcsból idulva sétál a tetraéder élei, mégpedig mide csúcsból véletleszer e választva a lehetséges három iráy közül. Jelölje X azt a valószí ségi változót, hogy A-ból idulva, háyadikra érük vissza el ször A-ba. Írjuk fel X eloszlását! Mutassuk meg, hogy ez valóba valószí ségi eloszlás! Írjuk fel a megoldást a valószí ség klasszikus képlete alapjá: P (X k) k ( ) k k (k,,...), ugyais legalább lépésre va szükség, hogy visszaérjük A-ba mide lépésbe összese iráyba haladhatuk, így az összes eset k jó lépések: els két helyre mehetük, utáa (k ) alkalommal helyre, végül vissza kell lépi A-ba Ez valószí ségi eloszlás, mivel P (X k) ( ) k ( ) k k..) Egy tétova hagya a számegyeese bolyog. -ból idul és mide lépésél egyforma valószí séggel vagy jobbra, vagy balra lép. Meyi a valószí sége, hogy lépés utá a hagya k-ba lesz? Legye X: hol lesz a hagya lépés utá P (X k) ( +k/) k, ±, ±4,..., ± mivel páros sok lépés utá csak páros helyeke lehet, viszot ±-e túlra em tud eljuti mide lépésbe iráyba mehet, ezért az összes lépések száma lépés utá -ból úgy tud eljuti k-ba, hogy k alkalommal biztosa jobbra met, és a maradék ( k)-ból pedig a felét jobbra, a felét balra tette meg. alkalommal met jobbra. Ebb l adódik, hogy a jó esetek száma ( +k/), mivel elég kiválasztai azokat a helyeket, ahol jobbra megy, a többi helye már csak balra mehet. Tehát összese k + k + k.) Egy sorsjátéko darab Ft-os, db Ft-os, és db Ft-os yereméy va. A játékhoz db sorsjegyet adtak ki. Meyi a sorsjegy ára, ha egy sorsjegyre a yereméy várható értéke megegyezik a sorsjegy árával? Legye X a yereméyük, ami most 4 értéket vehet fel külöböz valószí ségekkel, amit a következ táblázat foglal össze: x i (Ft) Darab p i..... 9889 9889 EX... +. +. ++ Ft. 7.) Jelölje X az ötöslottó kihúzott lottószámokál a párosak számát. Adjuk meg X várható értékét. Ekkor visszatevés élküli mitavételezésr l va szó, 9 számból 4 páros va, és elem mitát veszük. Tehát X Hipgeo(9,4,), így,. 8.) Két kockával dobuk. Egy ilye dobást sikeresek evezük, ha va -os a kapott számok között. Várhatóa háy sikeres dobásuk lesz próbálkozásból? EX 4 9 P(sikeres dobás) Legye X: -b l a sikeres dobások száma Ekkor yilvávaló, hogy X Bi(, ) EX 9.) Háromszor olya valószí, hogy egy évbe két ember öli magát a Duába, mit az, hogy öt. Mi a valószí sége, hogy egy évbe legfeljebb egy ember lesz így ögyilkos? Legye X: egy év alatt háya ölik magukat a Duába. Az ögyilkosságok tipikusa ritka eseméyek tekithet k, így X Poi(λ). A feladat els modata alapjá P (X ) P (X ) λ e λ λ! e λ λ! λ P (legfeljebb egy ember lesz ögyilkos a Duába) P (X ) P (X ) + P (X ) e ( + )..) Egy oldalas köyvbe sajtóliba található véletleszer e elszórva. a.) Meyi a valószí sége, hogy a. oldalo több, mit egy ajtóhiba va? b.) Háy sajtóhuba a legvalószí bb a. oldalo? c.) Meyi a valószí sége, hogy a. és a 4. oldalo együtt több, mit két hajtóhiba va? Jelölje X i valószí ségi változó a köyv i. oldalá a sajtóhi-
bák számát. Ekkor X i -k függetleek, és mivel egy köyvbe a sajtóhibák redszerit ritkáak modhatók, ezekr l feltehet, hogy Poisso eloszlásúak. Ha a teljes köyvbe hiba va, akkor egy oldalo átlagosa, sajtóhiba szerepel, így a Poisso eloszlás várható értékéek képlete alapjá λ,. a.) P (X > ) P (X ) P (X ) e,, e,, e,, % b.) p k P (X k)-t kell maximalizáli k szerit. Nézzük a p k+ p háyadosokat. Egy övekv sorozatál ez agyobb -él, egy csökke él k pedig kisebb -él. Keressük meg azt a potot, ahol ez egyel -gyel, aztá vizsgáljuk meg, hogy mely egész értékek között va és ezek közül melyikél veszi fel a maximumot., k+ p k+ (k+)! p k e,,, k e k!, k+, k + k, 9 A maximum vagy -be, vagy -ba va, de mivel X em vesz fel pozitív valószí séggel értéket, ezért -ba va a maximum. c.) P (X + X 4 > ) P (X + X 4 ) P (X + X 4 ) P (X + X 4 ) P (X )P (X 4 ) P (X )P (X 4 ) P (X )P (X 4 ) P (X )P (X 4 ) P (X )P (X 4 ) P (X )P (X 4 ) e, e,, e, e, e,, e,, e, e, e,, e,, e,, e, e, ( +, +, +, +, +, ), e,, %.) -ször dobuk egy szabályos kockával. Legye X a -osok száma. D (X)? Visszatevéses mitavételr l va szó, tehát X Bi(, ). Így D X..) Az Y és X valószí ségi változók együttes eloszlását a következ táblázat mutatja. X\Y X peremeloszlása Y peremeloszlása a.) Határozd meg X és Y eloszlását, várható értékét, szóráségyzetét! b.) X és Y függetleek egymástól? Ameyibe em, határozd meg a korrelációjukat! c.) P (X < Y < )? d.) E(Y X )? X\Y X peremeloszlása 4 Y peremeloszlása a.) EX + 4 7 EX + 4 D X 49 DX 4 4 EY + 4 + 4 EY + 4 4 + 9 4 7 D Y 7 4 DY 4 b.) Nem függetleek egymástól, ugyais például P (X, Y ) P (X ) P (Y ) E(XY ) + +... + ++4++4+ Cov(X, Y ) 7 R(X, Y ) 4 R, 48 tehát gyege egatív kapcsolat va X és Y között. c.) P (X < Y < ) P (X<,Y <) P (Y <) 4 d.) P (Y X ) 4 P (Y X ) P (Y X ) 4 E(Y X ) 4 + + 4.) Legye X és Y függetle, azoos eloszlású. Tegyük fel azt is, hogy véges szórásúak. R(X, ax + by )? R(X, ax + by ) Cov(X,aX+bY ) DXD(aX+bY Cov(X,aX)+Cov(X,bY ) DX D (ax)+d (by )+Cov(aX,bY ) ad X+bCov(X,Y ) ad X+ DX a D X+b D Y +abcov(x,y ) a a +b. DX a D X+b D X+ ad X DX a +b DX 4
4.) Írd fel és ábrázold az eloszlásfüggvéyt, ha X a.) idikátorváltozó p / paraméterrel; b.) egy olya kockadobás eredméye, ahol a kocká egy -es, két 4-es és három -ös va. x a.) F (x) < x x > x b.) F (x) < x 4 + 4 < x x > ha x.) Mely c-re lesz eloszlásfüggvéy F (x) cx ha < x ha < x P ( < X < )? Határozd meg a s r ségfüggvéyét! F(x)-ek mooto öv ek kell leie, ami csak akkor teljesül, ha c. További korlátozást jelet c értékére, hogy az eloszlásfüggvéy maximum lehet, amit az x-ba vesz fel a középs tartomáyo: max x (,] cx c 7c c 7 P(-<X<)P(- <X<)F()c c 7 eseté va csak s r ségfüggvéy: { 9 x ha < x < f(x) külöbe.) Legye { X s r ségfüggvéye a következ : cx 4 ha < x < f(x) külöbe a.) Határozd meg a c értékét és X eloszlásfüggvéyét! b.) P (X <.)? P (X <.)? P (X <.)? c.) D (X)? [ ] a.) cx 4 dx c x c c ha x x b.) F (x) P (X < x) t 4 dt x ha < x ha x > c.) P (X <.) F (, ) P (X <.) F (, ), P (X <.) F (, ) d.) EX EX x dx x dx 7 7 D X 7. 7.) Legye X s r ségfüggvéye a következ : f(x) a.) c?, F (x)? b.) P (X < )?, P (X > )? c.) E(X)? d.) D (X)? a.) c x 4 dx c [ ] x c ( ) c c { c x 4 ha x > külöbe ha x F (x) P (X < x) x dt t 4 [t ] x ( ) x x ha x > b.) P (X < ) F () 7 8 P (X > ) F () 7 [ ] c.) EX dx x x ( ) [ ] d.) EX dx x x ( ) D X 9 4 4 8.) Legye X s r ségfüggvéye a következ : x ha < x < f(x) ha < x < c külöbe
a.) c? F (x)? b.) E(X)? D(X)? x c a.) dx + + c c 4 x x t x dt < x F (x) + x x+ < x 4 x > 4 t b.) E(X) 4 dt + t dt 7 9 E(X ) t 4 dt + t dt 4 9 DX 7 9 9.) Tegyük fel, hogy az egyetemisták IQ teszte elért eredméye ormális eloszlású várható értékkel és szórással. Mi a valószí sége, hogy valaki -ál több potot ér el a teszte? Legye X: egy egyetemista IQ-potja X N(, ) P (X > ) P (X < ) P ( X < ) Φ(, ), 9, 8%..) Meyi garaciát adjuk, ha azt szereték, hogy termékeik legfeljebb %-át kellje garaciaid belül javítai, ha a készülék élettartama év várható érték és év szórású ormális eloszlással közelíthet? Legye X: a termékek élettartama X N(, ) Jelölje a garaciaid t t A feladat szövege alapjá, P (X < t) P (X < t) P ( X < t ) ( Φ t ) Átredezve t-re: t Φ (, ) + ( Φ (, 9)) +, 8 + 7, 44 Tehát legfeljebb 7 év garaciát kell aduk (ha a garaciaid csak egész szám lehet)..) U és V valószí ségi változókról a következ ket tudjuk: R(U, V ), 7; EU 4; EV ; D(U) D(V ). Becsüld alulról a P (8 < U + V < ) valószí séget! X : U + V Ekkor EX EU + EV 4 + Cov(U, V ) R(U, V ) DU DV 4 8 D X D U + D V + Cov(U, V ) + + 8 4 P (8 < X < ) P ( < X < ) P ( X < ) P ( X }{{} ) D X ε 4 ε.) Hamis érmével dobuk, a fej valószí sége,.. a.) Becsüljük meg a Csebisev-egyel tleséggel, majd a cetrális határértéktétel segítségével is aak a valószí ségét, hogy ezer dobásból legalább fej! b.) Háyszor kell dobi, hogy a fejek relatív gyakorisága legalább 97, %-os valószí séggel több legye, mit,? a.) Legye X i valószí ségi változó, ami értéket vesz fel, ha fejet dobuk, és -t, amikor írást. Ekkor yilvávalóa X i Id(, ) Legye Y : meyi fejet kaptuk dobásból, azaz Y X i Bi(;, ). i Ekkor EY és D Y 499. A becsüled valószí ség: P (Y ) Csebisev-egyel tleséggel: P (Y ) P ( Y ) D Y 499 Haszáljuk ( a cetrális ) határeloszlás-tételt: ( ) P Y 499 499 Φ 499 Φ(), 87 X i i b.) Legye X a fejek relatív gyakorisága, ekkor EX, és D X,,49 A becsüled valószí ség: P (X >, ) Haszáljuk a Csebisev-egyel tleséget: P (X >, ) P (X, >, ) P ( X,, ) D X,,49, 999 A feladat szövege alapjá eek legalább,97-ek kell leie: 999 9, 97 4 ezt megoldva, 9984 jö ki: legalább 9984-szer kell dobuk.
Cetrális határérték-tétellel: ( P (X >, ) P ( ) Φ X,,499 >,,499 ) Φ (,,499 499 A ( feladat ) szövege alapjá eek legalább,97-ek kell leie: Φ 499, 97 Φ (, 97) 499 9, 9 tehát 899, adódik, ezáltal legalább 84-szor kell dobuk..) a.) Legyeek X i Id(p) (i,,...) val. változók. Mihez kovergál X +...+X? b.) X i jelölje az i-edik kockadobás eredméyét. Mihez kovergál X +...+X? a.) A agy számok er s törvéye szerit eseté X +...+X m.m. EX p + ( p) p b.) X i -k közös eloszlása: P (X i k), k,,..., A agy számok er s törvéye szerit eseté X +...+X m.m. EX k 7 9 k 4.) Tegyük fel, hogy egy tábla csokoládé tömege ormális eloszlású g várható értékkel és g szórással, valamit, hogy az egyes táblák tömege egymástól függetle. Legalább háy csokoládét csomagoljuk egy dobozba, hogy a dobozba lev táblák átlagos tömege legalább,9 valószí séggel agyobb legye 99, g-ál? Legye X i : az i. tábla tömege X i N(, ) Átlagos tömeg: X X +...+X EX D X D E X i i EX X i i N EX i (, ( ) ), ugyais D X i D X A feladat szövege alapjá, 9 < P (X > 99, ) P (X > 99, ( ) P (X < 99, ) ) X P < 99, [ ( )] ( ) Φ Φ ( Φ 9 ) ) Átredezve -re: > [Φ (, 9)] [, 8] 8, 9 Tehát legalább 9 csokit kell becsomagoli a dobozba..) Legye X Exp(λ). Határozd meg X móduszát és tetsz leges kvatilisét! Hasolítsd össze a mediát és a várható értéket! M o, mivel a s r ségfüggvéy csökke. y F (x) e λx -et x-re redezve, megkapjuk a kvatilisfüggvéyt: F (y) λlog( y). Me F ( ) λ log( ) λ log, ez pedig agyobb a várható értékél, ami λ..) Legye X Id(p). Határozd meg X móduszát és kvatilisfüggvéyét! ha p > Mo ha p < {, } ha p { ha y p F (y) ha y > p 7.) Legye X,..., X i.i.d. mita N(m, ) eloszlásból. Céluk az ismeretle m paraméter becslése. Tekitsük az alábbi három statisztikát: T (X) X 8, T (X) X +X 7, T (X) X 9+X 9 8. a.) A feti statisztikák közül melyek torzítatlaok? Amelyik em torzítatla, hogya tudák torzítatlaá tei? b.) Vizsgáljuk meg a feti statisztikák közül a torzítatlaokat hatásosság szempotjából! a.) E m T (X) E m X 8 m E m T (X) E m X +X 7 m E m T (X) E m X 9 +X 9 8 m 4 Tehát T és T torzítatlaul becsüli m-et, míg T em, azoba torzítatlaá tehet : T 4T már torzítatla becslés. b.) Csak T és T vizsgálható hatásosság szempotjából. D mt (X) D mx 8 7
DmT (X) Dm X +X 7 4 [D mx + DmX 7 + cov m (X, X 7 )] }{{} 4 (m + m) Tehát mivel mide m paraméterérték eseté DmT (X) DmT (X) teljesül, ezért T hatásosabb becslés T becslésél. 8.) elem λ-paraméter expoeciális mita eseté adjuk torzítatla becslést e λ -ra és λ -ra! Ha X i Exp(λ), akkor F (x) ( e λx )I(x ) és EX i λ. Nézzük az eloszlásfüggvéyt az helye: F () e λ F () e λ, és épp ezt akarjuk torzítatlaul becsüli, tehát T (X) : F () torzítatla becslése e λ -ak. F () pedig éppe a -ál kisebb meggyelések relatív gyakorisága. Most térjük rá λ -ra. EX i λ, és épp ezt akarjuk torzítatlaul becsüli. Tudjuk, hogy a várható értéket a mitaátlag torzítatlaul becslüli, tehát T (X) : X torzítatla becslése λ -ak. 9.) Adjuk meg torzítatla becslést a [, θ] itervallumo egyeletes eloszlás paraméterére a.) a mitaátlag b.) a maximum segítségével. Hasolítsuk ket össze hatásosság szempotjából! Melyik becslés kozisztes? E(, θ) eloszlás- és s r ségfüggvéye: ha x { F θ (x) x θ ha < x θ f θ (x) θ ha < x < θ külöbe ha θ < x a.) EX EX θ T (X) : X torzítatla becslése θ-ak 4 θ D (T (X)) 4D (X) 4D X θ. Látható, hogy a szóráségyzet a -hoz tart, így T kozisztes becslés. θ b.) EX xf(x)(f (x)) θ ) dx dx θ θ [ x dx x + θ + ] θ x ( x θ θ dx θ θ+ + θ + T (X) : + X torzítatla becslése θ-ak Szükség va a második mometumra is, hogy ki tudjuk számítai a szóráségyzetet. E(X ) θ θ θ x f(x)(f (x)) dx [ x + dx x + θ + D (X ) θ + θ (+) ] θ θ x θ dx θ θ+ + θ + θ (+) (+) (+) (+) θ ++ θ (+) (+) (+) (+) Így D (T (X)) (+) D (X) (+) ( x ) θ dx θ (+) (+) hogy a szóráségyzet a -hoz tart, így T is kozisztes becslés. Mivel D (T ) D (T ) mide eseté, ezért T hatásosabb becslés T -él. θ (+). Látható, 4.) Mutassuk meg, hogy expoeciális eloszlású mita eseté T (X) mi(x,..., X ) statisztika torzítatla, de em kozisztes becslése a várható értékek. El ször ézzük meg, hogy expoeciálisok miimumáak mi az eloszlásfüggvéye: F X (x) λe λx I (x ) (e λx ) (λ)e (λ)x I (x ) ebb l pedig látható, hogy X Exp(λ) Legye ε > tetsz leges. P ( X λ ε ) P ( X λ ε) + P ( X λ ε) P ( X ( λ + ε)) + P ( X ( λ ε)) +ε ε λ λ λ λ e + e e ελ + e +ελ ez pedig em tart -hoz, ha, így a becslés em kozisztes. 4.) Egy osztályba a diákok magassága: (cm) 8 7 74 9 7 8 8 Elemezd a diákok testmagasságát az átlag, a korrigált tapasztalati szórás, szórási együttható és boxplot ábra (kvartilisek) segítségével! Értelmezd is az eredméyeket! x 8+7+...+8 9, 7 cm 8
s (8 9,) +(7 9,) +...+(8 9,), 7 cm V,7 9,7, 9 % 74 7 8 Redezett mita: 8 8 7 9 Q -hez Sorszám: 4 +, Q X +, (X 4 X ) +, ( ), cm Me-hoz Sorszám: +, Me X +, (X 7 X ) +,, cm Q -hoz Sorszám: 4 9+,7 Q X9 +, 7(X X 9 ) 74 +, 7 78, cm Boxplot ábra: Értelmezések: a diákok átlagos testmagassága 9, cm, az egyes testmagasságok az átlagos testmagasságtól átlagosa, cm-rel, azaz,8 %-kal térek el. A hallgatók egyede, cm-él alacsoyabb, míg háromegyede eél magasabb. A hallgatók fele 7, cm-él alacsoyabb, másik fele eél magasabb. A hallgatók egyede 78, cm-él magasabb. 4.) Határozzuk meg az ismeretle paraméter(ek) maximum likelihood becslését, ha a mita a.) Pascal (Geom(p) ); b.) Exp(λ); c.) Poi(λ). a.) P (X i x i ) p( p) x i x i L(p; x) p( p) xi p ( p) i i ( ) l(p; x) logp + x i log( p) i ( ) Els red feltétel: p l p + x i i p ( p) p( x i ) p x i ˆp X. i x i i pl(p; x) ( p ( p) p ( p) ( p) + p (x ) ) ( p + px) p ( p) Másodred feltétel: > pl(ˆp; x) ( ˆp ( ˆp) ˆp + ˆp x ) < x + x x x x >, és ez az egyel tleség egy kivétellel teljesül: amikor x, ilyekor pedig x... x L p, amit a p maximalizál. b.) f Xi (x i ) λe λx i I(x i ) i L(λ; x) λe λx i I(x i ) λ e λ x ii(xi i ) i l(λ; x) logλ λ x i i Els red feltétel: λ l λ x i λ i i x i ˆλ X λ l λ, ami < mide λ-ra, így teljesül a másodred feltétel, azaz ˆλ maximumhely. c.) P (X i x i ) λx i x i! e λ L(λ; x) λ x x i i x i! e λ λ i e λ i x i! i 9
l(λ; x) logx i! + x i logλ λ i i x i i x i i Els red feltétel: λ l λ λ ˆλ X λ x i l i λ, ami < mide λ-ra, így teljesül a másodred feltétel, azaz ˆλ maximumhely. 4.) Becsüld a paramétert mometum-módszerrel az alábbi esetekbe: a.) Exp(λ); b.) Poi(λ); c.) E(a, b); d.) E( a, a). a.) EX m λ x ˆλ x ; b.) EX m λ x ˆλ x; c.) Haszáljuk az el z feladat eredméyét { { Ea,b X m a+b { Da,b X x b + a x s (b a) s b a s ˆb X + S (összeadva egymáshoz a két egyeletet) â X S (kivova egymásból a két egyeletet); d.) EX m x em kaptuk semmit a paraméterre, ezért ézzük a következ mometumra EX m (a) + s â s. 44.) Legye az X,..., X mita a következ diszkrét eloszlásból: P(X )c, P(X )c, P(X )-4c (c az ismeretle paraméter). Tegyük fel, hogy az mitaelemb l y i darab veszi fel az i értéket (i,,). a.) Határozzuk meg c mometum-becslését! b.) Határozzuk meg c ML-becslését! Hogy érthet legye, az ML-módszerél hoa jö a képlet, deiáluk egy új, többváltozós eloszlást, ami a biomiális eloszlás általáosításakét fogható fel. Def.: Y (Y,..., Y k ) poliomiális eloszlású reddel és p,..., p k paraméterekkel, ha k p i és i P (Y y,..., Y k y k )! y!...y k! py... py k k, ameyibe y i k Z és y i. i Jelölés ekkor: Y Poli(; p,..., p k ) a.) x m EX c + c + ( 4c) c. Ezt átredezve, c x X, azaz ĉ. b.) Legye Y (Y, Y, Y ), ahol Y az a val. változó, amiél Y y azt jeleti, hogy az X i -kb l y alkalommal kaptuk az értéket. Y és Y hasolóa érted. Ekkor Y Poli(; c, c, 4c). A likelihood-függvéyt az X i -k együttes eloszlásából lehet kiszámítai, ami persze megegyezik Y i -k együttes eloszlásával a feladat szövege alapjá, azaz X Y. Így L(c, x) P (X x,..., X x ) P (Y y, Y y, Y y )! y!y!y! cy (c) y ( 4c) y! l(c, x) log( y!y!y! ) + y log(c) + y log(c) + y log( 4c) Deriválásál gyeli kell a bels függvéyek deriváltjaira is: c l(c, x) y c + y c + y 4c ( 4) y +y c + 4y 4c Ezt -val tesszük egyel vé és átredezgetük: y + y 4c(y + y + y ) 4c c y +y 4 Hogy a becslést fel tudjuk íri, szükség va y meghatározására az X i -k segítségével. Nade y az a szám, aháy alkalommal az X i -ik értéke lett, tehát y i I(X i ). Ugyaígy az y. (I(X i )+I(X i )) i Tehát a becslés így írható: ĉ 4. 4.) Legye a Z,..., Z mita N(m, ) eloszlású. A meggyelt értékek a következ k: ; 4,;,; ;. a.) Határozzuk meg 9%-os (99%-os) megbízhatóságú kodeciaitervallumot m-re! b.) Háy elem mitára va szükségük 9%-os megbízhatósági szite, ha azt szereték, hogy a kodeciaitervallum legfeljebb, hosszúságú legye? c.) Mi változik az a.) esetbe, ha a szórást em ismerjük? d.) Adjuk a szórásra 98%-os megbízhatóságú kodeciaitervallumot. χ 4;,, χ 4;,99, 8 x, s, 9 a.) El ször α,, most ismert a szórás: σ Φ (, ) Φ (, 97), 9 u,
Kodecia itervallum:, ±, 9, ±, 7 [, 447; 4, 9] Ameyibe α,, akkor u, Φ (, 99), 8 Kodecia itervallum:, ±, 8, ±, 8 [, 89;, 8] b.) α,, a kodecia itervallum hossza u α σ, így a megoldadó egyel tleség a következ :,, 9 4, 9 784 4. c.) t ;, t 4;,, 77 Kodecia itervallum:, ±, 77,9, ±, 7 [, 9;, 77] d.) α,, a szóráshoz kelleek a 4 szabadságfokú χ -eloszlás, - és, -kvatilisei. [ Kodecia itervallum ] [ σ -re: ] 4,9 ; 4,9 4,9 χ 4;,99 χ,8 ; 4,9, [, 78; 4, ] 4;, Kodecia itervallum σ-ra: [, ; 7, 7]. 4.) Valaki azt állítja, hogy a klíma változik, és ezt azzal véli bizoyítottak, hogy az elmúlt évbe -szer is volt jéges, pedig korábba az egyes évekre a jéges valószí sége a hivatalos adatok alapjá csupá p. volt. Írjuk fel a hipotéziseket, a próbát és állapítsuk meg az els fajú hiba valószí ségét, valamit az er függvéyt a p. potba! H : p, H : p, Θ {, } és Θ {p [; ], p, } Próba: H -t elfogadjuk, ha -b l potosa jéges volt Legye X valószí ségi változó: -b l háy évbe volt jéges. Ekkor yilvávalóa X Bi(,p) α(θ) P θ Θ (X k ) P p, (X k ) P p, (X e ) P p, (-b l jéges ) ( ) p( p) 9 p,,, 9 9, 9 9, % ψ(p) P p (X k ) p( p) 9 ψ(, ),, 8 9, 7. 47.) Az alábbi mita 4 év október 8-á Budapeste mért api középh mérséklet adatait tartalmazza. Elle rizzük a H : m hipotézist α. els fajú hibavalószí ség mellett értelmes alteratív hipotézissel szembe. Középh m. (C fok) adatok: 4,8,,8, a.) A korábbi tapasztalatok alapjá tekitsük az értékek szórását -ek. Adjuk meg a p-értéket is. b.) Ne haszáljuk a szórásra voatkozóa el zetes iformációt. x, 7,, α, a.) σ, u 4,7, 7. Két értélmes H -et lehet választai: H : m ( ) Kritikus értékhez: u α, Φ (, 97), 9 a kritikus tartomáy azokat a mitákat tartalmazza, amikb l számolt próbastatisztikára u K : (( ;, 9) (, 9; )) A próbastatisztika em esik K halmazba a mita az elfogadási tartomáyba va elfogadjuk H -t (em tudjuk elveti), tehát állíthatjuk, hogy a h mérséklet a vizsgált 4 éve keresztül fok volt. p-érték: azo α, amire, 7 Φ ( α ) α Φ(, 7), 899 p-érték, % Természetese ugyaazt a dötést hozzuk p-értékkel is: α % < p-érték elfogadjuk H -t H : m < Kritikus értékhez: u α Φ (, ) Φ (, 9), 4 a kritikus tartomáy azokat a mitákat tartalmazza, amikb l számolt próbastatisztikára u L : ( ;, 4) A próbastatisztika em esik L halmazba a mita az elfogadási tartomáyba va elfogadjuk H -t (em tudjuk elveti), tehát állíthatjuk, hogy a h mérséklet a vizsgált 4 éve keresztül fok volt. p-érték: azo α, amire, 7 Φ ( α) α Φ(, 7), 899 p-érték, % Dötés p-értékkel: α % < p-érték elfogadjuk H -t b.) s, 7; t 4,7,7, 99; szabadságfok 4 Két értélmes H -et lehet választai: H : m Kritikus értékhez: t ; α t ;,, 8 a kritikus tartomáy azokat a mitákat tartalmazza, amikb l számolt próbastatisztikára t K : (( ;, 8) (, 8; ))
A próbastatisztika em esik K halmazba a mita az elfogadási tartomáyba va elfogadjuk H -t (em tudjuk elveti), tehát állíthatjuk, hogy a h mérséklet a vizsgált 4 éve keresztül fok volt. H : m < Kritikus értékhez: t ;α t ;,, a kritikus tartomáy azokat a mitákat tartalmazza, amikb l számolt próbastatisztikára t L : ( ;, ) A próbastatisztika em esik L halmazba a mita az elfogadási tartomáyba va elfogadjuk H -t (em tudjuk elveti), tehát állíthatjuk, hogy a h mérséklet a vizsgált 4 éve keresztül fok volt. 48.) Az Iformatikai Kar III. évfolyamá -a taulak. Megszámolták, hogy a legutóbbi vizsgaid szakba háyszor buktak az egyes hallgatók. Az eredméyeket tartalmazza az alábbi táblázat. Bukások száma 4 Hallgatók száma 8 77 7 a.) Elfogadhatjuk-e azt a hipotézist, hogy egy hallgató bukásszáma Bi(4;,) eloszlású? b.) és azt, hogy Bi(4;p) eloszlású? Midkét esetbe diszkrét illeszkedésvizsgálatot kell elvégezük. a.) H : a bukások száma Bi(4;,) eloszlású H : em ilye eloszlású Foglaljuk táblázatba a számításokhoz szükséges értékeket: Bukások sz. 4 Összese N i 8 77 7 p i,4,49,9,49,9 p i 94,9,7,7 4,7,7, r, a p i értékeket a Bi(4;,) eloszlásból kapjuk: p i ( ( 4 i ( 4 i i) 4) 4) i,,..., 4 T (8 94,9) 94,9 +... + (,7),7, 97 Szabadságfok: -4 Kritikus érték: χ 4;, 9, 49 A próbastatisztika agyobb a kritikus értékél a mita a kritikus tartomáyba va elvetjük H -t, tehát azt állíthatjuk, hogy a bukások száma NEM Bi(4;,) eloszlású. b.) H : a bukások száma 4 red biomiális eloszlású H : em ilye eloszlású Mideekel tt meg kell becsüli az ismeretle p paramétert ML-módszerrel. Korábba levezettük, hogy Bi(m, p) mita eseté, ha m ismert, akkor p ML-becslése a ˆp X m. 8 + +77 +7 +4 Így p becslése: 4, p i ( ) 4 i, i, 7 4 i Foglaljuk táblázatba a számításokhoz szükséges értékeket: Bukások sz. 4 Összese N i 8 77 7 p i 7, 79,4,7,4 T (8 7) 7 +... + (,4),4, 8 Szabadságfok: (mert darab paramétert becsültük) Kritikus érték: χ ;, 7, 8 A próbastatisztika kisebb a kritikus értékél a mita az elfogadási tartomáyba va elfogadjuk H -t, tehát azt állíthatjuk, hogy a bukások száma 4 red biomiális eloszlású. 49.) Az alábbi kotigecia-táblázat mutatja, hogy évbe a csapadék meyisége és az átlagh mérséklet hogya alakult. Csapadék Kevés Átlagos Sok H mérséklet H vös Átlagos Meleg (A cellákba az egyes esetek gyakoriságai találhatóak.) Tekithet -e a csapadékmeyiség és a h mérséklet függetleek? Függetleségvizsgálatot kell elvégezük. Csapadék Kevés Átlagos Sok Összese H mérséklet H vös Átlagos 4 Meleg Összese 4, α legye % H : a csapadék éa a h mérséklet függetleek
H : em függetleek ( ) T +... +, 9 A szabadságfok ( )( ) 4, így χ 4; α 9, 49 A próbastatisztika agyobb a kritikus értékél a mita a kritikus tartomáyba va elvetjük H -t, tehát azt állíthatjuk, hogy a csapadék és a h mérséklet em függetleek..) Legye X a hatosok száma kockadobásból, Y pedig X + Z, ahol Z további kockadobásból a hatosok száma. Mi lesz Y legkisebb égyzetes közelítése X segítségével, ha a.) X lieáris függvéyével közelítük; b.) X tetsz leges függvéyével közelítük? X, Z Bi(, ) eloszlásúak és függetleek egymástól Y Bi(, ). a.) a opt Cov(X,Y ) Cov(X,X+Z) D X+Cov(X,Y ) D X D X D X b opt EY a opt EX. Tehát a legjobb lieáris becslés: X +. b.) f opt (X) E(Y X) E(X + Z X) E(X X) + E(Z X) X + EZ X +. Tehát a legjobb becslés: X +..) Legyeek adottak a következ (x,y) párok: x i y i 4 a.) Határozzuk meg és ábrázoljuk is az ax + b alakú regessziós egyeest. b.) Számoljuk ki a reziduálisokat és becsüljük meg a hiba-szóráségyzetet. c.) Adjuk el rejelzést x-re a regressziós egyees alapjá. Számítsuk ki a szükséges értékeket, ehhez célszer táblázatot készítei: x i y i x i x y i y âx i + ˆb ˆε i 4-4 - - - - x ; y a.) â 9+ 4 8 ( ) ˆb 8 Tehát a regressziós egyees: 8 x + b.) RNÖ ( ) ( +... + ) ˆσ 9. c.) 8+..) Véletleszer e választuk egy szót az alábbi modatból: EGY TEVE LEGEL A KERTBEN. A feladatuk az, hogy kitaláljuk a szó hosszát úgy, hogy a téyleges és a tippelt szóhossz közötti eltérés égyzetéek várható értéke miimális legye. a.) Mit tippelük, ha semmi iformáció em áll redelkezésükre? b.) Hogya tippelük, ha valaki megsúgta a szóba szerepl "e"-bet k számát? c.) Hogya tippeljük, ha az "e" bet k számáak lieáris függvéyét haszálhatjuk? Legye X: tippelt szóhossz; Y : téyleges szóhossz; Z: "e" bet k száma egy szóba Ekkor X és Y függetleek és azoos eloszlásúak, az,,4, és 7 értékeket egyarát valószí séggel veszik fel. Z eloszlása: P (Z ), P (Z ), P (Z ) a.) Y -t akarjuk közelítei X-szel f opt (X) E(Y X) EY ++4++7 4 b.) Y -t akarjuk közelítei Z tetsz leges függvéyével f opt (Z) E(Y Z) E(Y Z ), mert az egyetle "e" bet t em tartalmazó szó az "a", ami bet b l áll E(Y Z ), mert az egyetle darab "e" bet t tartalmazó szó az "egy", ami bet b l áll E(Y Z ) (4 + + 7), mert a darab "e" bet t tartalmazó szavak a "teve", "legel", "kertbe, amik 4, és 7 bet b l állak Tehát E(Y Z) I(Z ) + I(Z ) + I(Z ). Y -t akarjuk közelítei Z lieáris függvéyével a c.) opt Cov(Z,Y ) D Z b opt EY a opt EZ Írjuk fel Z és Y együttes eloszlását:.
Z\Y 4 7 Z peremeloszlása Y peremeloszlása EZ + 7 EZ + D Z 49 E(ZY ) +8++4 7 Cov(Z, Y ) 7 7 4 4 7 a opt 7 b opt 4 7 Tehát a legjobb lieáris becslés: Z +. 4