Feladatok megoldása. Diszkrét matematika I. Beadandó feladatok. Bujtás Ferenc (CZU7KZ) December 14, feladat: (A B A A \ C = B)

Hasonló dokumentumok
Komplex számok (el adásvázlat, február 12.) Maróti Miklós

Algebra gyakorlat, 3. feladatsor, megoldásvázlatok

1. A KOMPLEX SZÁMTEST A természetes, az egész, a racionális és a valós számok ismeretét feltételezzük:

Komplex számok. d) Re(z 4 ) = 0, Im(z 4 ) = 1 e) Re(z 5 ) = 0, Im(z 5 ) = 2 f) Re(z 6 ) = 1, Im(z 6 ) = 0

Számelméleti alapfogalmak

194 Műveletek II. MŰVELETEK A művelet fogalma

1. Gyökvonás komplex számból

képzetes t. z = a + bj valós t. a = Rez 5.2. Műveletek algebrai alakban megadott komplex számokkal

Diszkrét matematika II., 3. előadás. Komplex számok

EGYENLETEK ÉS EGYENLETRENDSZEREK MEGOLDÁSA A Z n HALMAZON. egyenletrendszer megoldása a Z

3.4. gyakorlat. Matematika B1X február 1819.

24. tétel A valószínűségszámítás elemei. A valószínűség kiszámításának kombinatorikus modellje.

2. Hatványsorok. A végtelen soroknál tanultuk, hogy az. végtelen sort adja: 1 + x + x x n +...

1.1 Példa. Polinomok és egyenletek. Jaroslav Zhouf. Első rész. Lineáris egyenletek. 1 A lineáris egyenlet definíciója

Bevezetés az algebrába komplex számok

min{k R K fels korlátja H-nak} a A : a ξ : ξ fels korlát A legkisebb fels korlát is:

Mőbiusz Nemzetközi Meghívásos Matematika Verseny Makó, március 26. MEGOLDÁSOK

HALMAZELMÉLET feladatsor 1.

3. SOROZATOK. ( n N) a n+1 < a n. Egy sorozatot (szigorúan) monotonnak mondunk, ha (szigorúan) monoton növekvő vagy csökkenő.

1 k < n(1 + log n) C 1n log n, d n. (1 1 r k + 1 ) = 1. = 0 és lim. lim n. f(n) < C 3

I. FEJEZET BICIKLIHIÁNYBAN

ANALÍZIS 1. I. VIZSGA január 11. Mérnök informatikus szak α-variáns Munkaidő: 90 perc., vagyis z 2 1p = i 1p = ( cos 3π 2 2

Permutációk véges halmazon (el adásvázlat, február 12.)

Diszkrét matematika 1. középszint

Lajkó Károly Kalkulus I. példatár mobidiák könyvtár

(A TÁMOP /2/A/KMR számú projekt keretében írt egyetemi jegyzetrészlet):

3. Számelmélet. 1-nek pedig pontosan három. Hány pozitív osztója van az n számnak? OKTV 2012/2013; I. kategória, 1. forduló

Számsorozatok. 1. Alapfeladatok december 22. sorozat határértékét, ha. 1. Feladat: Határozzuk meg az a n = 3n2 + 7n 5n létezik.

Sorozatok október 15. Határozza meg a következ sorozatok határértékeit!

5. Kombinatorika. 8. Legfeljebb hány pozitív egész számot adhatunk meg úgy, hogy semelyik kettő összege és különbsége se legyen osztható 2015-tel?

megoldásvázlatok Kalkulus gyakorlat Fizika BSc I/1, 1. feladatsor 1. Rajzoljuk le a számegyenesen az alábbi halmazokat!

MATEMATIKA I. KATEGÓRIA (SZAKKÖZÉPISKOLA)

Lineáris kódok. u esetén u oszlopvektor, u T ( n, k ) május 31. Hibajavító kódok 2. 1

SZÁMELMÉLET. Vasile Berinde, Filippo Spagnolo

( a b)( c d) 2 ab2 cd 2 abcd 2 Egyenlőség akkor és csak akkor áll fenn

Nagy Gábor compalg.inf.elte.hu/ nagy

Vektorterek. Wettl Ferenc február 17. Wettl Ferenc Vektorterek február / 27

Diszkrét Matematika - Beadandó Feladatok

Az egyenlőtlenség mindkét oldalát szorozzuk meg 4 16-al:

NUMERIKUS SOROK II. Ebben a részben kizárólag a konvergencia vizsgálatával foglalkozunk.

18. Differenciálszámítás

Függvények július 13. f(x) = 1 x+x 2 f() = 1 ()+() 2 f(f(x)) = 1 (1 x+x 2 )+(1 x+x 2 ) 2 Rendezés után kapjuk, hogy:

Villamos gépek tantárgy tételei

Gyakorló feladatok II.

Matematika I. 9. előadás

A G miatt (3tagra) Az egyenlőtlenségek két végét továbbvizsgálva, ha mindkét oldalt hatványozzuk:

Ingatlanfinanszírozás és befektetés

Halmazelmélet. 1. előadás. Farkas István. DE ATC Gazdaságelemzési és Statisztikai Tanszék. Halmazelmélet p. 1/1

Analízis feladatgy jtemény II.

Matematikai játékok. Svetoslav Bilchev, Emiliya Velikova

MM CSOPORTELMÉLET GYAKORLAT ( )

Bevezető analízis II. példatár

[f(x) = x] (d) B f(x) = x 2 ; g(x) =?; g(f(x)) = x 1 + x 4 [

Kalkulus I. Első zárthelyi dolgozat szeptember 16. MINTA. és q = k 2. k 2. = k 1l 2 k 2 l 1. l 1 l n 6n + 8

N - edik gyökvonás. Brósch Zoltán (Debreceni Egyetem Kossuth Lajos Gyakorló Gimnáziuma)

FELADATOK A BEVEZETŽ FEJEZETEK A MATEMATIKÁBA TÁRGY I. FÉLÉVÉHEZ

Valós számok 5. I. Valós számok. I.1. Természetes, egész és racionális számok

A függvénysorozatok olyanok, mint a valós számsorozatok, csak éppen a tagjai nem valós számok,

GAZDASÁGI MATEMATIKA 1. ANALÍZIS

Itt és a továbbiakban a számhalmazokra az alábbi jelöléseket használjuk:

2 x. Ez pedig nem lehetséges, mert ilyen x racionális szám nincs. Tehát f +g nem veszi fel a 0-t.

V. Deriválható függvények

INJEKTIVITÁS ÉS EGYÉB TULAJDONSÁGOK MEGOLDOTT FELADATOK

VII. A határozatlan esetek kiküszöbölése

EGYENLETEK ÉS EGYENLETRENDSZEREK MEGOLDÁSA A Z n HALMAZON. egyenletrendszer megoldása a

Valasek Gábor

I. rész. Valós számok

Relációk. 1. Descartes-szorzat

4. Test feletti egyhatározatlanú polinomok. Klasszikus algebra előadás NE KEVERJÜK A POLINOMOT A POLINOMFÜGGVÉNNYEL!!!

BSc Analízis I. előadásjegyzet

10.M ALGEBRA < <

Nagy Gábor compalg.inf.elte.hu/ nagy

Diszkrét matematika I.

Relációk. 1. Descartes-szorzat. 2. Relációk

(d) x 6 3x 2 2 = 0, (e) x + x 2 = 1 x, (f) 2x x 1 = 8, 2(x 1) a 1

Matematikai játékok. Svetoslav Bilchev, Emiliya Velikova

Nevezetes sorozat-határértékek

Eseme nyalgebra e s kombinatorika feladatok, megolda sok

Sorozatok, határérték fogalma. Függvények határértéke, folytonossága

Lineáris kódok. sorvektor. W q az n dimenziós s altere. 3. tétel. t tel. Legyen K [n,k,d] kód k d (k 1). Ekkor d(k)=w(k)

Nagy Gábor compalg.inf.elte.hu/ nagy ősz

Metrikus terek. továbbra is.

Hipotézis-ellenırzés (Statisztikai próbák)

FANTASZTIKUS KOMBINATORIKA. Adva van n különböző elem. A kiválasztás sorrendje számít VARIÁCIÓ. mateking.hu

Innen. 2. Az. s n = 1 + q + q q n 1 = 1 qn. és q n 0 akkor és csak akkor, ha q < 1. a a n végtelen sor konvergenciáján nem változtat az, ha

ANALÍZIS I. TÉTELBIZONYÍTÁSOK ÍRÁSBELI VIZSGÁRA

MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK KÖZÉPSZINT Függvények

FELADATOK A KALKULUS C. TÁRGYHOZ

1. Írd fel hatványalakban a következõ szorzatokat!

2014. szeptember 24. és 26. Dr. Vincze Szilvia

III. FEJEZET FÜGGVÉNYEK ÉS TULAJDONSÁGAIK

I. rész. c) Az m valós paraméter értékétől függően hány megoldása van a valós számok halmazán az alábbi egyenletnek?

ALGEBRA. egyenlet megoldásait, ha tudjuk, hogy egész számok, továbbá p + q = 198.

Analízis feladatokban I.

A figurális számokról (IV.)

MBNK12: Permutációk (el adásvázlat, április 11.) Maróti Miklós

NULLADIK MATEMATIKA ZÁRTHELYI

Polinomok (el adásvázlat, április 15.) Maróti Miklós

3.3 Fogaskerékhajtások

Tartalomjegyzék. Pemutáció 5 Ismétléses permutáció 8 Variáció 9 Ismétléses variáció 11 Kombináció 12 Ismétléses kombináció 13

Átírás:

Diszkrét matematika I. Beadadó feladatok Bujtás Ferec (CZU7KZ) December 14 014 Feladatok megoldása 1..1-6. feladat: (A B A A \ C = B) A B A = A \ C = B igazolása: A B A = B \A = Ø = B = A B (Mivel a B-ek ics olya eleme ami A-ak e lee eleme ezért szimmetrikus diereciájuk elemei között csak A elemei közül lehetek elemek és ezért ha a B-ek va is eleme akkor az a két halmaz metszetébe va tehát a B a két halmaz metszetével egyel (B az A-ak részhalmaza)) EkkorC = A \ B eseté A \ C = A B = B (Ha A-ból kivesszük az összes elemet ami em eleme a metszetek (B-ek) akkor a metszetet (B-t kapjuk)) A B A = A \ C = B igazolása: A \ C = B = B \ A = Ø (Mivel ha lee olya eleme B-ek ami em lee eleme A-ak is akkor A-ból egy tetsz leges halamzt kivova em kaphaták meg a B összes elemét) B \ A = Ø = A B A (Mivel a B-ek ics olya eleme ami A- ak e lee eleme ezért szimmetrikus diereciájuk elemei között csak A elemei közül lehetek elemek)..-8. feladat: (Va-e két szimmetrikus homogé biér reláció amikek szorzata em az?) 1. reláció 1. reláció 1 1 Midkette szimmetrikus homogé biér relációk viszot.reláció 1.reláció = 1 1 1 = A két reláció szorzata 1 1

ami em szimmetrikus...-1. feladat: e) (R R 1 = Ø R szigrorúa atiszimmetrikus) Idirekt bizoyítás: Tegyük fel hogy a ba R b R 1 amire a = b (azaz em igaz hogy R R 1 = Ø és ézzük egy példát a metszetre) Ekkor a = b = (x y) viszot mivel b = (x y) R 1 = c = (y x) (R 1 ) 1 Mivel (R 1 ) 1 = R (iverzél vett tulajdoságok között volt) ezért: a c R amelyekre a = (x y) és b = (y x) ami elletmod a szigorú atiszimmetria deíciójáak tehát elletmodásra jutottuk és mide lépésük ekvivales volt tehát igazoltuk az eredeti állítást. f) (R trazitív R R R) R trazitív azaz a b R; a = (x y) b = (y z) = c = (x z) R ami azt jeleti hogy R R -ba mide reláció megtalálható R-be is (azaz R R R) (Ugyais R R-et úgy kapjuk hogy azo egyik potból egy másikba akkor va yíl (gráfos ábrázolással) ha az els potból megy egy yíl harmadik potba ahoa viszot a másodikba megy yíl viszot a b R; a = (x y) b = (y z) = c = (x z) R pot azt jeleti hogy ha el áll egy ilye helyzet (egyik potból egy közös potba megy yíl ahoa a másikba megy yíl) akkor az x-b l megy yíl a z-be tehát em szegi meg a trazitivitás deícióját és mide lépésük ekvivales volt tehát igazoltuk az eredeti állítást.) g) (R dictohom R R 1 = AxA) R dictohom (deíciója alapjá)= i j A (i j) R (j i) R Ekkor i j A-ra teljesül (i j) R vagy (j i) R viszot ekkor (i j) R esté (j i) R 1 vagy (j i) R esté (i j) R 1 de mideképp igaz hogy (i j) R R 1 (j i) R R 1 Viszot ez azt jeleti hogy R R 1 = AxA (és mide lépésük ekvivales volt tehát igazoltuk az eredeti állítást.) h) (R trictohom R R 1 I a párokét diszjuktak és egyesítésük AxA) R trictohom deíciója alapjá i j A-ra (i j) R (j i) R i = j és ezek közül mide i j párra potosa az egyik teljesül. Látszik hogy az i és j szerepét tekitve teljese szimmetrikus ezért ha R trichotom = R 1 trichotom. R-be: i j A (i j) R (j i) R (de csak az egyik lehet) R 1 -be (az el z i j-kre): (i j) R = (j i) R 1 és (j i) R = (i j) R 1 (Tehát párokét diszjuktak (i = j em lehet és R-be a

trictohom deíciója miatt csak az egyik eset fordulhat el és ezért mide R-beli egyiráyú yíl megfordul (gráfos abárzolásba)) és egyesítésük AxA \ I a (Mivel mide i j esetbe az uiójukba bee lesz (i j) és (j i) is)) Mivel ezek alapjá egyik elem sics ömagával relációba R-be és R 1 - be (trichotom deíciója) ezért I a midkett vel diszjukt. Tehát R R 1 = AxA \ I a = R R 1 I a = AxA és beláttuk R-r l és R 1 -r l hogy diszjuktak és azt is hogy I a midkett vel diszjuktr R 1 I a tehát párokét diszjuktak és egyesítésük AxA 4..1-1. feladat: részberedezés: RAT (reexív atiszimmetrikus trazitív) elem halmazok részberedezései: - 1-1 elem halmazok részberedezései: - 1-1 - 1-1 x x 4 elem halmazok részberedezései: x x x x x x x x x - 1 x x x x x x x x

x x x x x (Megjegyzés: Reexivitás: A f átló x-ekkel va tele; Atiszimmetria: Egy x-et em a f átlóból vszük és tükrözzük a f átlóra akkor ott em lehet x; Trazitivitás: Ha egyik sorba va x az egyik oszlopba akkor abba a sorba mide olya oszlopba is x va mit abba a sorba aháyadik oszlopba az az x volt.) (További megjegyzés: A számozás ügyes megválasztásával midig el lehet éri hogy a f átló alatt e legye x.) 5..-4. feladat: c)((ϱ(a); ) ) egy kommutatív csoport (Abel csoport)) Eek belátásához azt kell beláti hogy asszociatív: tulajdosága miatt bármilye ABC halmazra igaz hogy A (B C) = (A B) C (eredméye mide esetbe azo elemek uiója amely midhárom halmazba bee vaak vagy csak potosa egy halmazba vaak bee) egységelemes: egységeleme Ø ugyais mie A-raA Ø = A mide elemek va iverze: A iverze A ugyais A A = Ø (mide elem saját magáak az iverze) kommutatív: tulajdosága miatt bármilye AB halmazra igaz hogy A B = B A (eredméyük (A B)\(A B) és (B A)\(B A) ami az uió és a metszet kommutativitása miatt megegyezik) d) (({igazhamis}; ) egy kommutatív csoport (Abel csoport)) Eek belátásához azt kell beláti hogy asszociatív: tulajdosága miatt: x (y z)=(x y) z (igazságtábla megegyezik midkét esetbe csak akkor lesz igaz az x (y z) ha midhárom igaz vagy ha közülük csak potosa egy igaz) egységelemes: egységeleme igaz ugyais igaz igaz = igaz és hamis igaz = hamis mide elemek va iverze: igaz iverze igaz (igaz igaz = igaz) és hamis iverze hamis (hamis hamis = igaz) kommutatív:: tulajdosága miatt: x y=x y (megitcsak az igazságtáblát felírva látszik hogy akkor és csak akkor igaz x y és y x is amikor megegyezik az értékük) 4

6. 4.4-. feladat: (f(x) = x ; g(x) = x ) a) f g = g(f(x)) = f(x) = x amely függvéyvek értelmezési tartomáya: x R x 0 b) g f = f(g(x)) = g(x) = x amely függvéyvek értelmezési tartomáya: x R x c) f f = f(f(x)) = f(x) = x = 4 x amely függvéyvek értelmezési tartomáya: x R x 0 d) g g g = g(g(g(x)) = ((x ) ) = x 6 amely függvéyvek értelmezési tartomáya: x R 7. 4.5-1. feladat: -edik komplex egységgyökök szorzata: Komplex számokál taultak alapjá: darab -edik egységgyök va és ezek trigoometrikus alakja: j. komplex egységgyök: 1 (cos0 + i si0)j = 1 (cos(0 + j 60 ) + i si(0 + j 60 )) Ezek szorzata: 1 60 j=0 1 (cos(0 + j ) + i si(0 + j 60 )) = 1 (cos( 1 ) + i si( 1 )) 1 = ( 1) 60 = 60 ( 1) = 180 ( 1) ami azt jeleti hogy páros eseté cos( 1 ) = cos(( 1) 180) = cos(180) = 1 és si( 1 ) = cos(( 1) 180) = si(180) = 0 és páratla eseté azt jeleti hogy cos( 1 ) = cos(( 1) 180) = cos(0) = 1 és si( 1 ) = cos(( 1) 180) = si(0) = 0 Tehát az -edik komplex egységgyökök szorzata 1 + 0 i = 1 ha az páratla és 1 + 0 i = 1 ha az páros. 8. 5.-5. feladat: -elem halmazo... (a) háy darab homogé biér reláció kostruálható? darab ugyais darab iráyított él lehet a gráfkét ábrázolt relációba ( lehetséges potból további darab csúcsba) és ezekr l egyesével el kell dötei a kostruált relációkba bekerükek-e. i. Ebb l háy reexív? ( 1) darab (= = ) ugyaolya módszer alapjá mit az a) feladatrészbe csak az el z esetbe vizsgált lehetséges élb l le kell vouk darab élt (amelyek reexívek) 5

9. 7.-1. feladat: azokról ugyais em döthetük hogy bee vaak-e a relációkba. ii. és háy szimmetrikus? ( ) darb ugyais ( ) módo válszthatuk ki két külöböz csúcsot a gráfkét ábrázolt relációba és ezekél egyesével dötetük arról hogy párkét bee vaak-e a relációkba majd az darab reexív élr l tetsz leges dötetük bee va-e a relációkba ugyais az ics befolyással a szimmetrikusságára a relációak. iii. Meyi a szimmetrikus és reexív? ( ) darab ugyais elletétbe a c) részfeladattal itt em dötetük arról hogy bee vaak-e a relációkba a csúcsokból ömagukba futó élek. a) (τ() + 1) Mide osztóak va egy oszópárja például a 1 osztóak a 1 = b 1 az oszópárja ahol csak egy ilye b 1 (mivel oszókról beszélük ezért a természetes számok körébe vagyuk) va ugyais ugyaaak az osztásak em lehet több külöböz eredméye és ahol a 1 = b 1 átalakításával (a 1 - gyel való szorzás értelmezhet mivel a 1 -r l azt moduk hogy osztó akkor em lehet 0) = a 1 b 1 ahol viszot az egyikük a másik pedig vagy midkettejük kisebb -él. vagy az egyikük a másik pedig 1 (Mivel osztókról természetes számokról beszélük.) Ekkor viszot az összes osztója a számak kivéve -et kisebb vagy egyel a feléél tehát ha az oszói számát ézem akkor mideképpe igaz hogy τ() + 1 b) (τ() + ) Mide osztóak va egy oszópárja például a 1 osztóak a 1 = b 1 az oszópárja ahol csak egy ilye b 1 (mivel oszókról beszélük ezért a természetes számok körébe vagyuk) va ugyais ugyaaak az osztásak em lehet több külöböz eredméye és ahol a 1 = b 1 átalakításával (a 1 -gyel való szorzás értelmezhet mivel a 1 -r l azt moduk hogy osztó akkor em lehet 0) = a 1 b 1 ahol viszot az egyikük a másik pedig vagy az egyikük a másik pedig vagy midkettejük kisebb -ál. vagy az egyikük a másik pedig 1 (Mivel osztókról természetes számokról beszélük.) Ekkor viszot az összes osztója a számak kivéve -et és -t kisebb vagy egyel a harmadáál tehát ha az oszói számát ézem akkor mideképpe igaz hogy τ() + c) (τ() ) Mide osztóak va egy oszópárja például a 1 osztóak a 1 = b 1 az oszópárja ahol csak egy ilye b 1 (mivel oszókról beszélük ezért a természetes számok körébe vagyuk) va ugyais ugyaaak az osztásak em lehet több külöböz eredméye és ahol a 1 = b 1 átalakításával (a 1 - gyel való szorzás értelmezhet mivel a 1 -r l azt moduk hogy osztó akkor 6

em lehet 0) = a 1 b 1 ahol viszot vagy a 1 vagy b 1 agyobb -él vagy midkett. Miért? Ha midkette kisebbek leéek -él akkor a szorzatuk kisebb lee mit = (mivel természetes számok körébe vagyuk) ami pedig elletmodás ha meg az egyikük pot a másik pedig em akkor m velet em lee egyértelm ami sziteé elletomdás. Tehát mide osztó egyértelm e osztópárba rakható és mide osztópárba az egyik tag mideképpé kisebb -él a másik tag pedig agyobb -él vagy az osztópár igazából egy osztó csak a. Viszot ebb l látszik hogy maximum darab pár lehet tehát számak maximum maximum osztója va azaz τ() 7