Vlószíűségszámítás surve sttszt MA 6/7. félév Zemlé Adrás. elődás: Bevezetés Irodlom, övetelmée A félév célj Vlószíűségszámítás tárg Törtéet Alfoglm Vlószíűsége számítás Irodlom Töve: Deger: Vlószíűségszámítás Préo: Vlószíűségelmélet Solt: Vlószíűségszámítás Ross: A Frst Course Probblt Példtár Bogáré-Mogoród-Préo-Ré-Szász: Vlószíűségszámítás feldtgűjtemé Artó-Proj-Zemlé: Bevezetés vlószíűségszámításb és llmzásb: éldál, szmulácól eletrous jegzet, htt://elte.romt.hu/stes/defult/fles/tgo/vlszm /zemle.df Számoérés Vzsg: írásbel, ésőbb egeztetedő dőotb Lehet vzsgotot szerez z elődásoo s írásb, vllámérdése megválszolásávl Elődáso g: zemle.elte.hu/otts.html Cél Vlószíűségszámítás lj smertetése Feldtmegoldás észség lítás elsősorb gorlto Allmzás lehetősége bemuttás Sttszt llmzásohoz szüséges smerete elsjátítás A vlószíűségszámítás tárg Köz érdés lehete: me vlószíűsége, hog hol es fog z eső? Helzettől függ: h jö hurrá, özel % h tclo domál, özel % Azob mg érdés sem heles, mert egszer és em otos defált eseméről v szó. Módosítás: A vlószíűsége, hog szetember 3-á z ELTE ész éületéél lege mérhető meségű csdé, már értelmezhető.
Véletle ísérlete Ismételhető/g számb végbemeő esemée éldául: válsztó re szvz Véletle: z smert feltételredszer em htározz meg egértelműe z eredmét l. ocdobás. Nem s érdemes determsztus modellel ísérletez, mert túl boolult lee. Vlószíűségszámítás hele tudomáo özött Mtemt tudomá, mert recíze megfoglmzott ómár éül. Gorlt llmzás: sttszt öveteztetése levoás l.: h eg érmével dobásból 55 fej jött, or 99.9% vlószíűséggel állíthtó, hog z érme em szbálos. Modellezés Nem mdeg, hog mle vlószíűség modellt hszálu: úg ell megválszt, hog mél otosbb leírj vzsgáldó jeleséget. Tovább szemoto: Egszerűség Iterretálhtóság Törtéet áttetés. Első smert feldt 494-ből: játé dő előtt bbhgás eseté hog osztozz? Heles megoldás több, mt évvel ésőbb: Pscl 63 66, Fermt 6 665 Köe dhtó szmulácós megoldás recíz számítás gorlto Crdo 54 örül övet írt ocjátéohoz csolódó vlószíűségszámítás érdéseről Törtéet áttetés. de Wtt, Hlle 67: életjárdé-számítás vlószíűség lo Jcob Beroull 73: Ars Cojectd g számo törvée XIX.sz. első fele: Movre, Bes, Guss, Posso Buffo: geometr vlószíűség bevezetése rdooo XIX.sz vége: Csebsev, Mrov, Ljuov Törtéet áttetés 3. Aomtzálás: Kolmogorov 933 Moder llmzáso: Iformácóelmélet Sho Játéelmélet Neum Mtemt sttszt Fsher Sztochsztus folmto Mgr tudóso: Jordá Károl 87-959 Ré Alfréd 9-97
Alfoglm Esemétér Kísérlet eg lehetséges meetele: elem esemé, jelölése ω. Elem esemée összessége: esemétér, Ω. Ω részhlmz: esemée A,B,C,. Esemé or övetez be, h z őt lotó elem esemée vlmele beövetez. Példá Kocdobás: Ω={,,,6}. H z A esemé: áros számot dobtu, or A={,4,6}. Érmét étszer feldobv: Ω={II,IF,FI,FF} A={II,IF} z z esemé, hog z első dobás írás. Érmét ddg dobu, míg fejet em u. Ω={F,IF,IIF,,ω } hol ω =III. zz mde dobás írás Esemée Secáls esemée: Ω bztos esemé lehetetle esemé Az esemée összessége: A hlmzredszer Ω részhlmzból Művelete eseméeel: szoásos log művelete = hlmzművelete Művelete eseméeel AB: vg A vg B beövetez z s lehet, hog mdettő AB: A és B s beövetez A esemé elletettje: A Tuljdoságo Példá A \ B A B A B A B De Morg A A Kocdobás: A={áros számot dobu} B={leglább 3-st dobu} AB={4,6} AB={,3,4,5,6} A\B={} A={,3,5} 3
Vlószíűség Szemléletes megfelelője: reltív gorság. H egmástól függetleül, zoos örülmée özött végrehjtott ísérletből z dott A esemé -szor övetezett be, or reltív gorság /. Ng -re reltív gorság eg f szám örül gdoz: ezt evezzü z A vlószíűségée. Szmulácó lete: htt://www.mth.uh.edu/stt/de.html Koc-ísérlet A vlószíűség Jele: P Aómá reltív gorság tuljdoságból: Nemegtív: mde A-r Egmást záró eseméere, zz, h A B : P A B P P B ddtvtás PΩ= Ω, A,P: vlószíűség mező. A: esemée összessége P Véges vlószíűség mező Ω={ω, ω,,ω }, A= P Ω. Jelölés: =P ω. P P z ddtvtásból esemére teljes ducóvl bzoíthtó. P P : A : A zz emegtív, összegű számo meghtározzá vlószíűséget. Klsszus vlószíűség mező =/ mde -re zoos vlószíűségűe z elem esemée. Eor P hol z A elemszám, edg z összes esetszám. Másée: P=edvező esete szám/ összes esetszám. Leszámláláso H egmás utá végzü ísérleteet, lehetősége szám összeszorzód. Péld: ocdobás. Eg dobásál: 6 lehetőség Két dobásál: 6*6=36 lehetőség N dobásál: 6 N lehetőség. Változó esetszám tételt húzu -ből. Az első féle, másod 9 féle lehet. Összes lehetősége szám: *9=9 Ugíg, h db tétel v: *9* *-+ H tételből húzu: *-* *+ lehetősége szám 4
5 A sorred szeree Eddg: h ugz z eredmé, de más sorred - ülöböző eset H zoosítju őet: tételt -ből *9/=45 féleée htu. tételt -ből féleée htu. Secáls: =9, =, =, =. * * -* *- *9* Jelölése N=** *N zz =, =, 3=6, 4=4, Tuljdoságo: N h,,,, N Tuljdoságo + = ++ smert élet. Áltláosítás bomáls tétel: Követezmé zz Polomáls tétel ++z = + +z ++z+z Áltláos: H tehát + + + =, or Gorló feldto. M vlószíűsége, hog eg véletleszerűe válsztott 6 jegű szám jege md ülöbözőe?. Eg zsáb ár cő v. 4 db-ot válsztv, m vlószíűsége, hog v özöttü ár, h / egformá b/ ülöbözőe áro? Gorló feldto/ Me vlószíűsége, hog ocdobás mmum 5? Me vlószíűsége, hog eg lottóhúzásál 9/5 leggobb húzott szám?