. tétel. Halmazo, halmazművelete, halmazo számossága, halmazművelete és logiai művelete apcsolata. Vázlat:.Halmazoal apcsolatos elevezése, alapfogalma pl.: halmaz, elem, adott egy halmaz, megadása, jelölése stb.. Tétel és igazolása: egy elemű véges halmaz részhalmazaia száma 3.Halmazművelete és tulajdoságai a logiai szita. 4. logiai művelete és tulajdoságai, apcsolatu a halmazműveleteel. 5. lalmazáso. 6.Törtéeti iteités. Halmazoal apcsolatos alapfogalma halmaz és aa eleme em defiiált matematiai alapfogalma. özapi szóhaszálatba halmaza evezzü az egy meghatározott özös tulajdosággal redelező eleme összességét. halmazo elemeből álla, amelye lehete személye, tárgya, fogalma, számo, poto stb. z eleme alapjá szoás beszéli pl. számhalmazoról, pothalmazoról stb. Egy halmazt aor teitü adotta, ha egyértelműe eldöthető, hogy mi az elemei és mi em az elemei. Egy halmazt megadhatu úgy, hogy felsorolju az elemeit ha va eleme. Megadhatu halmazt egy alaphalmazzal és egy tulajdosággal is úgy, hogy a halmazba az alaphalmaza azo az elemei tartoza, amelyere igaz a tulajdoság. Pl.:a valós számo halmaza a pozitív valós számo halmaza halmazoat az abc agybetűivel szotu jelöli. zt, hogy a eleme egy H halmaza így jelöljü: a H Egyelő halmazoa evezzü az azoos elemeet tartalmazó halmazoat. zoat a halmazoat, amelyee ics egyetle özös eleme sem, diszjut halmazoa evezzü. halmaz részhalmaza halmaza, ha mide eleme eleme -e is. or beszélü valódi részhalmazról, ha em üres halmaz, és em tartalmazza mide elemét. z-az a halmaza va legalább egy olya eleme, amelyi em eleme az halmaza. Jelölés: z olya halmazt, amelye egyetle eleme sics üres halmaza evezzü. z üres halmaz mide halmaza részhalmaza. z üres halmaza egyetle részhalmaza va, maga az üres halmaz. z üres halmaz jele: Té tel: Egy elemű véges halmaz részhalmazaia száma.. izoyítás: ulla elemű részhalmazo száma: 0. z elemű részhalmazo száma: elemű részhalmazo száma:
z elemű részhalmazo száma: Így a részhalmazo száma összese: biomiális tétel felhaszálásával:. izoyítás: Teljes iducióval. 0 a vizsgált halmaz az üres halmaz, ee részhalmaza va az üres halmaz. 0 jó a éplet egyelemű halmaz, ee részhalmaz az üres halmaz és az eredeti. jó a éplet. Feltételezzü, hogy a tétel -ra, természetes szám igaz. Megmutatju, hogy igaz mide -re, az-az a tulajdoság örölődi. zt ell megvizsgáli, hogy háy részhalmazt tudu észítei a elemből, ha a elemből z összes új részhalmazt úgy apju meg, hogy a meglévő midegyiéhez hozzátesszü az új -edi elemet. Eze szerit potosa új a -edi elemet tartalmazó részhalmaz va. Így az összes részhalmazo száma: z olya halmazt, amelyie véges so eleme va, véges halmaza evezzü. Véges halmaz számosságá elemeie számát értjü. Jele. Ha ét halmaz elemei özött ölcsööse egyértelmű megfeleltetést lehet létesítei, aor a ét halmaz számossága egyelő. természetes számo halmazáa számosságát megszámlálhatóa végtele számossága evezzü. lye számosságú pl. az egész számo halmaza, vagy a racioális számo halmaza is. Pl.: az irracioális számo halmazáa a számosságát otiuum számossága evezzü. halmazoat Ve-diagrammal ábrázolju.... 0... 0 ot.
3 Halmazművelete: zt a halmazt, amelyiből válogathatju a megfelelő elemeet alaphalmaza vagy uiverzuma evezzü. Jelölés:, vagy U. Komplemeterépzés Olya egyváltozós halmazművelet, amely egy halmazhoz hozzáredeli valamely alaphalmazra voatozó iegészítő vagy omplemeter halmazát. Egy halmaz omplemeterét egy adott alaphalmaz felett értelmezhetjü, és midazo eleme halmaza, amelye em tartoza bele az halmazba, de az alaphalmazba ige. Jelölés: Tulajdoságo: De Morga azoosságo:. Halmazo egyesítése, uiója z és halmazo egyesítése uiója azo eleme halmaza, amelye az és a halmaz özül legalább az egyie elemei. z egyesítés étváltozós halmazművelet. Jele: Hasolóa defiiálju több halmaz egyesítését is. Ez a halmazművelet ommutatív felcserélhető és asszociatív csoportosítható tulajdoságú. ommutatív: asszociatív: További tulajdoságo: Ha
4 3. Halmazo metszete z és halmazo metszete özös része azo elemee a halmaza, amelye midettőe elemei. metszetépzés étváltozós halmazművelet. Jele: Ez a művelet ommutatív és asszociatív tulajdoságú. Hasolóa defiiálju több halmaz metszetét is. ommutatív: asszociatív: További tulajdoságo: Ha ét halmaz diszjut, aor metszetü üres halmaz. z uió disztributív a metszetre ézve: metszet disztributív az uióra ézve: 4. Halmazo ülöbsége z és a halmaz ebbe a sorredbe vett ülöbsége az halmaz azo elemeie a halmaza, amelye em elemei a halmaza. Jele:. ülöbségépzés étváltozós halmazművelet, em ommutatív és em asszociatív tulajdoságú. ülöbség ifejezése a orábbi halmazműveleteel: Nem ommutatív: További tulajdoságo: Ha
5 5. Szimmetrius differecia z és halmaz szimmetrius differeciája azo eleme halmaza, amelye és halmaz özül potosa az egyie elemei. Tehát mide olya elem, ami eleme vagy az halmaza vagy a - e, izáró vagy Jelölés: Kommutatív és asszociatív: További tulajdoságo: Példa: dott alaphalmaz elemei a természetes számo. Eze belül halmaz jelöli a -vel osztható számoat és halmaz a 3-mal osztható számoat. Eor a -vel em osztható számo halmaza a hárommal em osztható számo halmaza, a ettővel, hárommal, vagy midettővel osztható számo halmaza. z a hattal osztható számo halmaza. z azo számo halmaza amelye em osztható sem ettővel, sem hárommal. z a hattal em osztható számo halmaza. Logiai szita: z elemi ombiatoriába a eresett imeetele halmaza előállhat em diszjut uióét, mely uió tagjaia és a tago metszetée elemszámát tudju. Eor az uió elemszámára a övetező éplet teljesül: ivoást azért ell elvégezi, mert a metszet elemeire voatozóa az összeszámolást az összegbe étszer végeztü el. Példa. Osztályba émetes, 8 agolos. Háy fős az osztály, ha 5-e midét yelvet tauljá? Osztálylétszám 8 5 5. Három halmaz uiójáa elemszámára a övetező éplet teljesül: vagy
6 Logiai művelete: matematiai logia a godolodás matematiai formába ifejezhető, matematiai eszözöel vizsgálható összefüggéseie, törvéyszerűségeie a feltárásával foglalozi. élja: a helyes öveteztetés fogalmáa tisztázása. lapfogalma: z állítás ijeletés, ítélet olya ijelető modat, amelyről egyértelműe eldöthető, hogy igaz, vagy hamis. z állítás igaz vagy hamis voltát az állítás logiai értéée igazságértéée evezzü. z állításoat, hasolóa a halmazo jelöléséhez, az abc agybetűivel szotu jelöli. Pl.: a 4 osztható 6-tal : állítás. Művelete: Negáció: egyváltozós logiai művelet. Egy állítás tagadása az em igaz állítás. Jele: állítás aor igaz, amior az állítás em igaz, és aor em igaz, amior az állítás igaz. olvasd: em, vagy egáltja Megjegyzés: Halmazoal való apcsolat: Kojució: olya étváltozós logiai művelet, amely az, állításohoz az és állítást redeli hozzá. Jele: művelet eredméye abba az egy esetbe igaz, amior az állítás és a állítás is igaz. Ez a logiai művelet szoros apcsolatba va a halmazo örébe végzett metszett-épzéssel. z és tulajdosággal megadott halmaz megegyezi az tulajdosággal megadott halmaz és a tulajdosággal megadott halmaz özös részével. Így a ojucióra hasoló műveleti tulajdoságo igaza, mit a megfelelő halmazműveletre: ommutatív és asszociatív. Diszjució: olya étváltozós logiai művelet, amely az, állításohoz az vagy állítást redeli hozzá. Jele: művelet eredméye abba az egy esetbe hamis, amior sem az állítás, sem a állítás em igaz. z vagy tulajdosággal megadott halmaz megegyezi az tulajdosággal megadott halmaz és a tulajdosággal megadott halmaz egyesítésével uiójával. Ezért a diszjució ommutatív és asszociatív. mpliáció: a ha, aor apcsolata megfelelő logiai műveletet impliációa evezzü, amelye az előtagja és az utótagja. z impliáció logiai értée csa aor hamis, ha az előtagja igaz és az utótagja hamis, ülöbe az impliáció igaz. Jele: impliálja -t Ez a művelet em ommutatív és em asszociatív. Tetszőleges, ijeletésere: i h
7 Evivalecia: olya étváltozós logiai művelet, amely az, állításohoz az aor és csa aor, ha állítást redeli hozzá. Jele: művelet eredméye abba az esetbe igaz, amior a ét állítás logiai értée megegyezi. meyibe az igaz, azt is modju, hogy az és a állítás evivales egymással, ami azt jeleti, hogy a ét állítás egyszerre igaz vagy egyszerre hamis z evivalecia előállítható más művelete segítségével is: De Morga- azoosságo: halmazora és logiai műveletere lalmazáso a függvéye értelmezési tartomáyáa és értéészletée megadásához: számhalmazo b egyelőtlesége vagy egyelőtleség-redszere megoldásáa megadásához: számhalmazo pl.: x - < 0 és x3 > 0 ojució, vagy metszet c valószíűségszámítás eseméyalgebra eseméyeel végzett művelete: ét eseméy összege, ét halmaz uiója, ét eseméy szorzata, ét halmaz metszete stb.. dbiológia redszerta pl. ízelt lábúa émia a periódusos redszer pl. fémes eleme eszámítógép öyvtárszerezete f statisztiai adato gyűjtése és osztályozása g geometriai szeresztése: pothalmazo Törtéeti iteités: halmazelmélet megalotója Georg ator émet matematius, ai a végtele halmazora és a halmazo számosságaira voatozó úttörő utatásaival emcsa a halmazelméletet idította útjára, haem alapvetőe, drasztiusa megváltoztatta a matematia egész arculatát. 870-es éve Pl.: ator a számosság új fogalmával belátta, hogy a természetes számo és a számegyees potjai em azoos számosságúa, azaz em hozható ölcsööse egyértelmű megfeleltetésbe. valós számo soal többe vaa mit a természetes számo. Ez a ator-tétel egy variása, mely azt a meglepő eredméyt özli, hogy agyo soféle redű végtele va. végtele számosságoal törtéő számításo a halmazelmélete máig jeletős része. Joh Ve 834-93 agol matematius a halmazo jelölésé fiomított, amelyet Euler 707 783 öröel jelölt. matematiába, özelebbről az algebrába a oole-algebra vagy oole-háló az a étműveletes algebrai strutúra egy halmaz, az elemei özött értelmezett ét művelettel ellátva, amely a halmazművelete, a logiai művelete és az eseméyalgebra műveleteie özös tulajdoságaival redelezi. George oole, agol matematius 85 864