24. tétel valószíűségszámítás elemei. valószíűség kiszámításáak kombiatorikus modellje. GYORISÁG ÉS VLÓSZÍŰSÉG meyibe az egyes adatok a sokaságo belüli részaráyát adjuk meg (törtbe vagy százalékba), akkor relatív gyakoriságról beszélük. (Általába ezt ábrázolják a kördiagramok és gyakra a táblázatok is ilyeek. gyakoriságot ábrázoló diagramok egy típusát hisztogramak evezzük (ha oszlopdiagram)). relatív gyakoriság és a valószíűség fogalma szoros kapcsolatba áll egymással. valószíűségszámítás egyszerű szerecsejátékokról szóló statisztikai megfigyelések alapjá született. () agy számok törvéye Legye egy eseméy bekövetkeztéek valószíűsége p. Végezzük kísérletet és figyeljük meg, háyszor fordul elő az eseméy: k (gyakoriság). Ekkor a relatív gyakoriság k. Miél agyobb az, aál valószíűbb, hogy k p kicsi. valószíűség éháy alapvető tulajdosága valószíűség, mit matematikai fogalom vizsgálatához axiómákat és axiomatikus fogalmakat vezetük be. valószíűségszámításba általába a halmazműveleteket és halmazelméleti fogalmakat alkalmazzák. LPVETŐ FOGLM Eseméytér (uiverzum/alaphalmaz) Def: Eseméytérek evezzük az összes lehetséges kimeetelt tartalmazó halmazt. Ez lehet véges, megszámlálhatóa végtele, vagy em megszámlálhatóa végtele. Elemi eseméy Def:Elemi eseméyekek evezzük az eseméytér mit halmaz elemeit. z elemi eseméyeket axiomatikusa (midig) egyelő valószíűségűekek tekitik. Eseméy Def:Eseméyek evezzük az eseméytér egy tetszőleges részhalmazát. Lehetetle eseméyek evezzük az üreshalmazt az eseméytérbe. () Biztos eseméyek evezzük a teljes eseméyteret. (E) omplemeter eseméyek evezzük a halmazok körébe defiiált komplemeter halmazt. Általába az összes halmazművelet értelmezett metszet: B ( és B) együttes bekövetkezés (szorzateseméy) uió: B ( vagy B) legalább az egyik bekövetkezik (összegeseméy vagy uióeseméy) valószíűség egy valós szám, amelyet az eseméytér részhalmazaihoz redelük. 1. oldal
következők axiomatikus állítások: Lehetetle eseméy valószíűsége 0. (P = 0) (De a 0 valószíűségű eseméy em biztos, hogy lehetetle.) Biztos eseméy valószíűsége: P E = 1. (De az 1 valószíűségű eseméy em biztos, hogy biztos. ) omplemeter eseméy valószíűsége: P = 1 P Bármely eseméy valószíűsége 0 és 1 között va. 0 P() 1 izáró eseméy: és B eseméy kizáró eseméyek ha együtt em következhetek be vagyis metszetük az üres halmaz, vagyis diszjukt halmazok. (P B = ) Ha és B kizáró eseméyek P B = P + P B Ez már em axiomatikus: Tetszőleges és B eseméyekre:p B = P + P B P( B)/ (logikai szita) P + B = P + P B P( B) Függetle eseméy Def: és B eseméyek függetleek, ha a metszeteseméy valószíűsége a két eseméy valószíűségéek szorzata. P B = P() P(B) / P B = P() P(B) függetle eseméy em azoos a kizáró eseméyel. Teljes eseméyredszer Def:Teljes eseméyredszerek evezzük azt, amikor a teljes eseméyteret felbotjuk diszjukt részhalmazokra. Így a részhalmazok uiója a teljes eseméytér és bármely két részhalmaz metszete az üres halmaz;(egyszerre biztosa megtörtéik potosa egy részhalmaz egy eseméye.) E 1 E 2 E 3 E 4 E 5 Feltételes valószíűség Tudjuk, hogy egy eseméy bekövetkezett, és ezt tudva vizsgáljuk egy másik eseméy bekövetkeztéek valószíűségét. P(B)feltételes valószíűségbe B bekövetkezetteseméy, meyi ekkor a valószíűsége, hogy is bekövetkezett. P( B) P B = P(B) Tétel: Teljes valószíűség tétele Ha B 1 ; B 2 ; B 3 B a teljes eseméyredszer, akkor eseméy valószíűsége: P = P B 1 P B 1 + P B 2 P B 2 + + P B P B B 1 B E 1 E 2 E 3 E 4 E 5 B 2 2. oldal
Tétel: Bayes-tétel Legye B 1, B 2, B 3 B a teljes eseméyredszer (diszjuktak és lefedik a teljes eseméyteret), pedig tetszőleges eseméy. Ismert P B 1, P B 2, P B eseméy valószíűsége külöböző feltételek mellett, valamit P B 1, P B 2 P B. Ekkor B i valószíűsége feltétel mellett: P B i = P B i P(B i ) P B i P B i +P B 2 P B 2 + +P B P() 1 i P a teljes valószíűség tétele miatt Bizoyítás:Rajzoljuk fel az eseméyek gráfját! z élekre írjuk az átmeet valószíűségét. P B 1 P B 2 P B B 1 B 2 P B P B P B P B P B B P B P B i = ba a B i kereszt ül vezet ő út val ószíűsége összes ba vezet ő út val ószíűsége = P B i P(B i ) P B i P B i +P B 2 P B 2 + +P B P() = VLÓSZÍŰSÉGSZÁMÍTÁS OMBITORIUS MÓDJ/LSSZIUS MODELL valószíűségszámítás klasszikus modellje (Laplace-modell/kombiatorikus modell) szerit egy eseméy bekövetkeztéek valószíűsége (elemi eseméyekkel/egyelő valószíűségű eseméyekkel számolva): P = kedvező esetek száma összes eset száma kkor haszálható, ha az eseméytér véges halmaz. éháy tipikus példa Tétel: Visszatevés élküli mitavétel (hipergeometrikus eloszlás) Va elem, ezek közül potosa redelkezik valamilye tulajdosággal. elemet kiválasztuk ismétlés (azaz visszatevés) élkül. Meyi a valószíűsége, hogy a kiválasztottak közül potosa k darab lesz az adott tulajdosággal redelkező? P k = k k 3. oldal
Bizoyítás: elem va, -t választuk visszatevés élkül Ismétlés élküli kombiáció: Összes eset: edvező esetek száma: (adott tul.) (em adott tul.) 2 diszjukt részhalmaz iválasztuk k db adott tulajdoságút k (ismétlés élküli kombiáció) többi k t pedig a másik részhalmazból kell kiválasztai kombiáció) k k (ismétlés élküli edvező esetek száma: (azért va szorzás, mert mide adott tulajdoságú k elemhez tartozhat bármilye em adott tulajdoságú) lasszikus modell szerit:p (természetese k). = k k Tétel: Visszatevéses mitavétel (biomiális eloszlás) z adott tulajdosággal redelkező elemek aráya em változik meg. Legye p egy eseméy valószíűsége.ak a valószíűsége, hogy ez függetle kísérletből potosa k-szor következik be: P k szor = k pk (1 p) k háy sorredbek-szor ige a többiél em Valószíűségi változó Egy valószíűségi kísérletél az egyes lehetséges kimeetelekhez redeljük számokat: x 1 ; x 2 ; x 3 ; x 4 ; ; x valószíűségi változó ezeket az értékeket veszi fel. Midegyiket valamekkora valószíűséggel: p 1 ; p 2 ; p 3 ; p 4 ; ; p számértéket a hozzátartozó valószíűségekkel evezik valószíűségi változóak, és ezekek a valószíűségekek az eloszlását evezik a valószíűségi változó eloszlásáak. Valószíűségi változó: ξ = x 1; x 2 ; x 3 ; ; x p 1 ; p 2 ; p 3 ; ; p eloszlás: p 1 +p 2 + +p =1 Egyeletes eloszlásak evezzük, amikor mide kimeetel egyformá valószíű, vagyis a valószíűségi változó midegyik értéket ugyaakkora valószíűséggel vesz fel. Természetese lehet hipergeometrikus és biomiális. Ezek diszkrét eloszlások. Folytoos eloszlásokat máshogy defiiáljuk. Várható érték 4. oldal
E = x 1 p 1 + x 2 p 2 + + x p z egyes kimeetelekhez tartozó számértékekek a valószíűségi eloszlással súlyozott átlaga. Pl. biomiális eloszlás várható értéke: p. lkalmazások várható érték a szerecsejátékba: a szerecsejáték-szervező olya játékot szervez, melyek várható értéke eki kedvez (tehát az ő szempotjából pozitív) közvéleméy-kutatások (választások) agy számok törvéye statisztikák (pl. érettségi eredméyek, reklámokba, gazdasági elemzésekbe) mérhető kísérletek: sokszor elvégzik, utáa statisztika (pl.: fizikai álladók mérése) relatív gyakoriság, várható érték gyógyszerek hatásossága meteorológia, időjárás előrejelzés matematikai modell, valószíűség (a hőmérséklet előrejelzése potosabb, mit a csapadéké) biztosítások várható érték elektro megtalálási valószíűsége 5. oldal