Valószínűségszámítás 2 előaás III. alk. matematikus szak 2016/2017 1. félév Zempléni Anrás Bevezetés Iroalom, követelmények A félév célja Alapfogalmak mértékelméleti alapon Kapcsolóás a val.szám. 1-hez Iroalom Jegyzet Mogyorói-Somogyi: Valószínűségszámítás jegyzet matematikus szakos hallgatóknak Tankönyv: Rényi: Valószínűségszámítás Móri: Diszkrét paraméterű martingálok Typotex e-könyv Pélatár: Bognárné-Mogyorói-Prékopa-Rényi-Szász: Valószínűségszámítási felaatgyűjtemény Arató Miklós, Prokaj Vilmos és Zempléni Anrás: Bevezetés a valószínűségszámításba és alkalmazásaiba: pélákkal, szimulációkkal elektronikus jegyzet Egyéb info., számonkérés Előaások anyaga: zempleni.elte.hu/okt.html Gyakorlati jegy Zh-k és beaanó felaatok alapján Vizsga: szóbeli pélamegolás is lesz, írásbeli beugró után Cél Valószínűségszámítás felépítése mértékelméleti alapon Felaatmegolási, moellalkotási készség továbbfejlesztése elsősorban gyakorlaton Alkalmazási lehetőségek bemutatása Matematikai statisztika megalapozása Elemi sztochasztikus folyamatok megismerése Alapfogalmak ismétlés Eseménytér Kísérlet egy lehetséges kimenetele: elemi esemény, jelölése ω. Elemi események összessége: eseménytér, Ω mérhető tér. Ω mérhető részhalmazai: események A,B,C,... Esemény akkor következik be, ha az őt alkotó elemi események valamelyike bekövetkezik. 1
Események Speciális események: Ω biztos esemén lehetetlen esemén Az események összessége: A σ-algebra Ω részhalmazaiból Tulajonságok: 1. Ω A A 2. A A A azaz A zárt a komplementerképzés műveletére 3. A zárt a megszámlálható unió műveletére Matematikailag: Ω, A: mérhető tér. Műveletek eseményekkel: szokásos logikai műveletek = halmazműveletek Pélák σ-algebrára A ={,Ω} A A ={,A,, Ω} Ω minen részhalmazából álló halmazrenszer hatványhalmaz, P Ω Teljes eseményrenszer által generált σ-algebra Borel-féle σ-algebra pl. a valós számegyenesen vagy a -imenziós Euklieszi téren A valószínűség 1-re normált mérték P az Ω, A mérhető téren Esemény valószínűsége: PA Tulajonságai: Nemnegatív: P A 0 minen A-ra σ-aitív: ha A 1, A 2,..., páronként kizáró események, akkor P A A... P A P A PΩ=1 Ω, A,P: Kolmogorov-féle valószínűségi mező Mértékelméleti fogalmakkal: Ω, A,P: mértéktér, P: 1-re normált mérték.... Valószínűségi változók Definíció: X : ΩR függvény valószínűségi változó, ha {ω: XωB}A minen B Borel halmazra X: ΩR Borel mérhető függvén. Ha A= P Ω, akkor minen ΩR függvény valószínűségi változó. Valószínűségi változók eloszlása Mivel a gyakorlati problémáknál Ω nem minig aható meg egyértelműen, és absztrakt halmazok helyett szívesebben olgozunk a valós számokkal, a kulcsfogalom a valószínűségi változók eloszlása. Legyen B tetszőleges Borel halmaz. Q X B:=P {ω: XωB} valószínűséget a meg R Borel halmazain. Ez az X eloszlása. Valószínűségi vektorváltozók Gyakran nem csak egy mennyiséget vizsgálunk a kísérletünk/megfigyelésünk során. Péla: hőmérséklet, csapaék, szélerő együttes vizsgálata stb. X : ΩR n függvény valószínűségi vektorváltozó, ha Borel-mérhető, azaz {ω: XωB}A minen B n-imenziós Borel halmazra. X =X 1,,X n pontosan akkor valószínűségi vektorváltozó, ha a koorinátái valószínűségi változók. 2
Függvények, határérték Ha X =X 1,,X n valószínűségi vektorváltozó, és f: R n R k Borel-mérhető függvény, akkor fx is valószínűségi vektorváltozó. Péla: összeg, maximum, stb. Ha az X 1,,X n, valószínűségi vektorváltozósorozatra létezik a lim X n határérték, akkor az is valószínűségi vektorváltozó. Ugyanígy: limsup X n, liminf X n is valószínűségi vektorváltozó esetleg végtelen értéket is felvesz. Valószínűségi változó által generált -algebra F X { : X B}, BB R Péla: Vektorváltozó által generált - algebra Állítás. Ha Y=fX, akkor Y F X mérhető valószínűségi változó. Megforítva, ha Y F X mérhető valószínűségi változó, akkor létezik f Borel-mérhető függvény, hogy Y=fX minen -ra. Vektorváltozók eloszlása Legyen B tetszőleges n-imenziós Borel halmaz. Q X B:=P {ω: XωB} valószínűséget a meg R n Borel halmazain. Ez az X eloszlása. Speciális eset: ha iszkrét, akkor a p i :=P X=x i valószínűségek meg is határozzák X eloszlását. Valószínűségi vektorváltozók eloszlásfüggvénye Az eloszlás megaásához elegenő a F X z:=px<z valószínűségeket megani z R, a < reláció koorinátánként értenő, azaz X<z pontosan akkor teljesül, ha X i <z i minen 1i -re. Ezek meghatározzák Q X B értékét tetszőleges B-re B R n beli Borel halmaz. Az együttes eloszlásfüggvény Az F X z:=px<z R R függvény az X valószínűségi vektorváltozó együttes eloszlásfüggvénye. Az egyimenziós esettel analóg tulajonságai: 0F X z1 F X z minen koorinátájában monoton növő lim F X z=1, ha z minen koorinátájára z i lim F X z=0 ha z legalább egy koorinátájára z i - F X z minen koorinátájában balról folytonos. Többimenzióban új tul.: Pa X < b 0 minen a < b R re. P a X b Téglatestek valószínűségei Pa X < b kifejezhető az X eloszlásfüggvényével: =2-re: Pa X < b=fb 1,b 2 - Fb 1,a 2 - Fa 1,b 2 + Fa 1,a 2. Általánosan: ahol i0 {0,1 } j i a= 1 a 1, 2 a 2,..., a i 1 F[ a 1 b] 3
S P Bizonyítás Legyen A i := {X i < a i } és B:= {X< b}. Ezekkel az eseményekkel P a X b P A A... A B A1 A2... A B P B P A1 A2... A B i1 * P A1 A2... A B 1 Si ahol i1 * i 1 j1 j2... ji P Aj A 1 j2... A B {0,1} j i mivel PB=Fa+ 1-b az =0,0,...,0 vektorral, éppen a tételben szereplő formulát kaptuk. ji F[ a 1 b] Az eloszlásfüggvény tulajonságai Tetszőleges, a felsorolt összes tulajonsággal renelkező F-hez létezik X -imenziós vektorváltozó, aminek F az eloszlásfügvénye. Legyen k= k 1 <k 2 <,...<k i az {1,,} részhalmaza. Ekkor ha z i pontosan az {1,,}\k beli koorinátákra, akkor lim F X z= F X* z* ahol z* R i pontosan a z k-beli koorinátáiból áll. X* i-imenziós valószínűségi változó, elnevezés: az X pereme, F X* az X* peremeloszlása. Spec.: =2, i=1: lim x F X,Y x,=f Y lim y F X,Y x,=f X x Sűrűségfüggvény Ha létezik f=q X /: R R függvény Raon-Nikoym erivált, akkor X abszolút folytonos eloszlású. Ekkor F előáll f integrálfüggvényeként: F z z f t t f: az X λ-ra vonatkozó sűrűségfüggvénye. Ha λ a Lebesgue mérték, akkor egyszerűen sűrűségfüggvényről beszélünk Tulajonságok, peremeloszlások A sűrűségfüggvény csak λ-m.m. egyértelmű. Legyen =2. Ha X,Y abszolút folytonos, fx, együttes sűrűségfüggvénnyel, akkor X sűrűségfüggvénye g X x f x, y Bizonyítás. z f x, yx F z, P X z Ugyanígy Y sűrűségfüggvénye Y h f x, x Pélák, transzformáció Diszkrét eloszlások esete Függvény eloszlása: Tfh az A tartományon aott egy folytonosan eriválható g függvény, melynek létezik inverze. Ha az X abszolút folytonos változó értékei A-beliek, akkor gx is abszolút folytonos, sűrűségfüggvénye 1 f g X f X g J ahol J a g függvény Jacobi eterminánsa. Péla: többimenziós normális eloszlás Függetlenség Definíció. Az A és B események függetlenek, ha PAB=PAPB. Két eseményrenszer független, ha az első tetszőleges eleme független a másoik tetszőleges elemétől. n esemény független, ha P A A... A P A P A... P A 2 i1 i2 ik i1 i ik teljesül tetszőleges 1i 1 < i 2 < < i k n inexsorozatra és minen 2k n számra. n -algebra független, ha P A1 A2... An P A1 P A2... P An teljesül tetszőleges F i beli A i eseményre. Def. Az X 1,,X n valószínűségi változók függetlenek, ha az F X1, F X2,,F Xn generált -algebrák függetlenek. 4
Valószínűségi változók típusai Diszkrét: értékkészlete legfeljebb megszámlálható, eloszlásfüggvénye lépcsősfüggvény Abszolút folytonos Szinguláris, e folytonos F =0 majnem minenütt azaz 0 Lebesgue mértékű halmazon kívül A függetlenség karakterizációi Ha X koorinátái függetlenek, akkor efiníció szerint F X z=px 1 <z 1, X 2 < z 2,..., X <z =F 1 z 1 F 2 z 2...F z minen z R re. Meg is forítható: F szorzatelőállításából következik a függetlenség. Deriválva: a függetlenség abszolút folytonos változókra ekvivalens a sűrűségfüggvény f X z=f 1 z 1 f 2 z 2...f z alakú előállításával is. Péla: az egységnégyzeten egyenletes eloszlás sűrűségfüggvénye fz=1 ha 0<z<1 előáll f 1 z 1 f 2 z 2 alakban, ahol f i z i =1, ha 0<z i <1 i=1,2, ez éppen a [0,1] intervallumon egyenletes eloszlás. Tulajonságok 1. Az X 1,,X n iszkrét valószínűségi változók függetlenek, ha P X 1 = x 1,..., X n = x n =P X 1 = x 1... P X n = x n teljesül minen x 1,...,x n értékre. 2. Ha az X 1,,X n valószínűségi változók függetlenek, a g 1,,g n függvények Borelmérhetőek, akkor g 1 X 1,, g n X n is függetlenek. 3. Ha az X 1,,X n valószínűségi változók függetlenek, a h k-változós Borel-mérhető fv., akkor hx 1,, X k, X k+1,,x n is függetlenek. Független kísérletek AΩ 1, A 1,P 1 az egyik kísérlethez kapcsolóik, BΩ 2, A 2,P 2 peig a másik kísérlethez kapcsolóik. Függetlenségük értelmezéséhez kell a valószínűségi mezők szorzata: Ω 1 Ω 2, A 1 A 2,P 1 P 2 ami szintén valószínűségi mező. A 1 A 2 elemei az A B alakú események. A A 1 megfelelője az A Ω 2,így már értelmezhető AB= A B. P 1 P 2 A B = P 1 AP 2 B, ami éppen a függetlenséget jelenti. Kiterjeszthető a generált szigma-algebrára Valószínűségi változók függetlensége pontosan azt jelenti, hogy az együttes eloszlásuk a szorzatmérték Konvergenciafajták 1 valószínűségű konvergencia m.m.: P{: X n X} =1 Sztochasztikus konvergencia: minen, >0- hoz megaható olyan n 0, hogy n>n 0 esetén P X n -X. L p -beli konvergencia: E X n -X p 0 ahol X n -X is L p -beli és 1p<. Gyenge konvergencia Definíció. X n X gyengén, ha az eloszlásfüggvényeikre teljesül: F n z Fz az F minen folytonossági pontjában. Megjegyzés. Ez a konvergencia nem mon semmit a valószínűségi változók közelségéről. =[0,1], P= hosszúság, X n =I [0,0.5] X=I [0.5,1] esetén F n z=fz, azaz teljesül a gyenge konvergencia. A fentiekből az is látszik, hogy a határértéknek csak az eloszlása érekes. 5