5. FEJEZET silárdságtn lpkísérletei III. Tist hjlítás 5.1. Egenes primtikus rúd tist egenes hjlítás 5.1.1. Beveető megjegések. Tist hjlításról besélünk, h rúd eg dott sks csk hjlításr vn igénbe véve. Másként foglmv, h dott skson belül rúd minden eges kerestmetsetének egetlen, kerestmetset síkjábn fekvő hjlítónomték igénbevétele. jelen 5.1. sks célj tist egenes hjlításnk 1 kitett primtikus rúd lkváltoási és fesültségi állpotánk tistáás. kedetben feltételeük, hog rúdnk vn simmetrisíkj, mel egbeesik KR síkjávl. Mgát KR-t megsokott módon vesünk fel, vísintes tengel rúd hosstengele, tengel pedig felfelé mutt. tist hjlítás feldtávl össefüggésben só esik kerestmetsetek másodrendű nomtékiról is. 5.1.. Tist egenes hjlításr igénbevett rúd silárdságtni állpot. 5.1. ábr eg tégllpkerestmetsetű rudt, rúd terhelését, vlmint rúd T níróerő és M h nomtéki ábráját semlélteti. Leolvshtó igénbevételi ábrákról, hog rúd két táms köötti sksánk tist hjlítás igénbevétele. Tegük fel, hog rúd és B kerestmetsetei F B F l F L F T F F M h =M h F F 5.1. ábr. 1 egenes jelő jelentését (5.16) képletet követő második bekedésben v.ö.: 130. o. tistáuk. 15
16 5.1. Egenes primtikus rúd tist egenes hjlítás P P P l P P M -M M =M h e Φ l O 5.. ábr. elegendő távolságr vnnk támsoktól hho, hog ne legen htássl két táms össhngbn int Vennt elvvel B rúdsks silárdságtni állpotár. továbbikbn B rúdsks visgáltok tárg. visgáltok megkönnítése érdekében, és koordinátsíkokkl párhumos síksorok segítségével elemi kockákr bontjuk fel gondoltbn B rúdskst. 5.. ábr rúdsks jobboldlár néve semlélteti ténleges visonokt érékeltető erős ngításbn felostást mind lkváltoás előtti, mind pedig lkváltoás utáni állpotr néve. lkváltoási visonokt illetően lábbikt figelhetjük meg: 1. terhelés előtt tengellel párhumos ngi vonlk (egenesek) körívekké görbülnek. terhelés előtt onos koordinátájú ngi vonlknk onos görbületi sugr lkváltoás után. felső ngi vonlk megnúlnk, lulsó ngi vonlk megrövidülnek, lkváltoás előtt = 0 koordinátájú ngi vonlk hoss onbn váltotln mrd.. terhelés előtt tengellel párhumos ngi vonlk (egenesek) is körívekké görbülnek. Figeljük meg bloldli ábrréslet, hog terhelés előtt onos koordinátájú ngi vonlknk is onos görbületi sugr lkváltoás után. felső ngi vonlk megrövidülnek, lulsó ngi vonlk megnúlnk, lkváltoás előtt = 0
5. silárdságtn lpkísérletei III. 17 koordinátájú ngi vonlk hoss pedig váltotln mrd. tengellel párhumos ngi vonlk egenesek mrdnk lkváltoás során, de elfordulnk. és tengelekkel párhumos ngi vonlk áltl lkotott háló ortogonális mrd. 3. síkkl párhumos síkok oln síkok mrdnk, meleknek O ponton átmenő és tengellel párhumos egenes köös trtóegenese. ábr véglpok és P pont esetén feltünteti eeket élben látsó síkokt. Jól látsik ábrán, hog kerestmetsetek úg fordulnk el irán körül, hog körívekké görbült iránú sálkr minden pontbn merőlegesek mrdnk. 4. eredetileg kockákból felépülő hálóból, össhngbn fentebb mondottkkl, új ortogonális háló jön létre. lkváltoási visonok tekintetében bból körülménből, hog háló ortogonális mrd onnl követkeik, hog érus értékűek sögtorulások: γ = γ = γ = 0. (5.1) mi fjlgos núlásokt illeti mérési megfigelések serint tengelre merőleges (kerestiránú), ε k = ε = ε fjlgos núlások és tengellel párhumos (hossiránú) ε fjlgos núlás köött első lpkísérlet kpcsán már sereplő v.ö.: (3.6) össefüggés áll fenn: ε k = ε = ε = νε (5.) fentiek serint, ellentétben első lpkísérlet során visgált húás (nomás) esetével, nem homogén lkváltoási állpot, hnem függ heltől lkváltoási tenor, hisen pl. poitív esetén poitív ε, negtív esetén pedig negt1v ε. További megfigelés, hog dott koordinátájú terhelés előtt -vel párhumos hossiránú sál minden eges pontjábn onos ε fjlgos núlás. visonok tistáás érdekében sámítsuk ki et értéket. lkváltoás után, mint jól leolvshtó ábráról, (ρ + ) Φ l = 0 koordinátájú hossiránú sál mérete, hol ρ = 0 sál görbületi sugr lkváltoás előtti méret pedig hisen nincs hossváltoás, h = 0. Követkeésképp P e e e honnn l = ρφ l (5.3) ε = (ρ + ) Φ l l l = (ρ + ) Φ l ρφ l ρφ l, (5.1), (5.) és (5.4) képletek lpján = ε 0 0 0 ε 0, 0 0 ε ε = ρ. (5.4) (5.5) ε = ε = νε = ν ρ, ε = (5.5b) ρ lkváltoási tenor mátri. teljesség kedvéért didikus lkbn is felírjuk lkváltoási tenort: 5.3. ábr. = ε e e + ε e e + ε e e. (5.5c) Mivel vlmenni sögtorulás érus rúd minden eges pontjábn párhumosk lkváltoási tenor főtengelei válstott KR, és koordinát tengeleivel. Vegük t is ésre, hog fjlgos núlások koordinát lineáris függvénei. Ebből függvénkpcsoltból követkeik, hog = 0 esetén, un. semleges rétegben, érus lkváltoási tenor. lkváltoási tenort l feltevéssel semlélteti fentiek lpján 5.3. ábr elemi triéderen, hog poitív koordinát, poitív ε is.
18 5.1. Egenes primtikus rúd tist egenes hjlítás Nilvánvló, hog fjlgos núlások képleteiben sereplő ρ görbületi sugár M h nomték függvéne, hisen ngobb nomték jobbn meggörbíti B rúdskst. függvénkpcsolt jellegét fesültségek ismeretében tistáuk mjd. mi fesültségek sámítását illeti bból kell kiindulni, hog (3.18) egenlet serint fennáll = 1 + ν E T νε E össefüggés, honnn T = E 1 + ν + νe 1 + ν ε E. utóbbi egenletből, (5.5,b) képletek helettesítésével, T = E 1 + ν ν ρ 0 0 0 ν ρ 0 + 0 0 ρ νe 1 + ν ρ vg mi ugn, T = 0 0 0 0 0 0 0 0 σ eredmén követkeik. klár lkbn írv 1 0 0 0 1 0 0 0 1 = = 0 0 0 0 0 0 0 0 E ρ E 1 + ν 1 0 0 0 1 0 0 0 (1 + ν) ρ, (5.6) σ = Eε = E ρ (5.7) és fesültségek értéke. Diádokkl írv σ = σ = τ = τ = τ = 0 (5.7b) T = ρ e = σ e }{{} ρ e (5.8) fesültségi tenor. Nilvánvló fentiek lpján, hog rúd bármel pontjábn fesültségi tenor eg főiránhármsát dják, és koordinát-tengelekkel párhumos egenesek. Mg fesültségi állpot egtengelű. tetsőleges P pont kerestmetsetét igénbevételével egütt 5.4.() ábr, σ (, ) = σ () lineáris fesültség eloslást pedig 5.4.(b) ábr semlélteti. ábr feltünteti emellett P pont fesültségi állpotát semléltető elemi kockát, vlmint Mohr-féle résleges fesültségi kördigrmot is. b c d mn e=b/ e=b/ P M h Y Z n 5.4. ábr. Össhngbn fentiekkel rúd bármel poitív, e normálisú kerestmetsetén ρ = σ e = E ρ e (5.9)
5. silárdságtn lpkísérletei III. 19 R d 5.5. ábr. F = fesültségvektor. kerestmetset on egenesét, hol érus értékű fesültségvektor (e σ (, ) felület és kerestmetset síkjánk metsésvonl) semleges tengelnek, vg érusvonlnk neveük. jelen esetben e tengellel esik egbe. 5.5. ábr rúd eg kerestmetsetén megosló ρ belső erőrendsert és érusvonlt onometrikus képen semlélteti. Mivel kerestmetseten megosló ρ belső erőrendser kerestmetset súlpontjáb redukált [F, M ] redukált vektorkettőse egetlen M h e erőpárrl kell, hog legen egenértékű fenn kell állni 5.5. ábr lpján írhtó ρ d = 0, M = R ρ d = M h e (5.10) egenleteknek. (5.9) képlet helettesítésével (5.10) 1 egenletben álló integrálr, eredőre, vlóbn kívánt F = ρ d = E d e = 0 (5.11) ρ }{{} eredmén dódik, hisen megjelölt képletrés kerestmetset súlponti tengelére vett sttiki nomték és onosn érus. F eredő érus volt mgrát nnk, hog kerestmetsetek geometrii köéppontjit (súlpontjit) össekötő köépvonl ( súlponti sál) nem váltottj meg hossát hjlítás során. (5.9) képlet és helvektort dó R = e + e össefüggés helettesítésével (5.10) egenletben álló integrál, eredő nomték, lábbik serint lkíthtó tovább: M = R ρ d = E (e + e ) e d = E [ ] de de (5.1) ρ ρ }{{}}{{} I I fenti egenletben megjelölt első képletrés kerestmetset súlponti tengelre sámított (vett) másodrendű nomtékát értelmei: I = d > 0. (5.13) Mivel integrndus mindig poitív tengelre sámított másodrendű nomték is csk poitív menniség lehet. (5.1) egenlet második megjelölt képletrése kerestmetset súlponti tengelpárr sámított (vett) másodrendű nomtékát más elneveés serint veges másodrendű nomtékot értelmei: I = d. (5.13b) E menniség poitív, null és negtív egránt lehet. Vegük ésre, hog fentiekben definiált másodrendű nomtékok csk kerestmetset geometrii jellemőitől nnk lkjától és méreteitől függenek. jelen esetben, mint t 5.4. Mintfeldtbn is megmuttjuk mjd lásd 145. o., érus veges másodrendű nomték, mivel tengel simmetritengel. Ennek figelembevételével vetve egbe (5.10) és (5.1) képleteket kpjuk, hog κ = 1 ρ = M h I E. (5.14) utóbbi egenlet keresett kpcsolt κ görbület, ρ görbületi sugár és M h hjlítónomték köött. kpott eredmén (5.4) és (5.7) képletekbe történő helettesítésével ε fjlgos
130 5.1. Egenes primtikus rúd tist egenes hjlítás núlás és σ normálfesültség M h hjlítónomtékkl fejehető ki: ε = M h I E, σ = M h I. (5.15) most felírt össefüggéseknek jelentősége, hog numerikus össefüggéseket dnk rudt terhelő M h hjlítónomték, rúd ngár jellemő E ruglmssági modulus, rúd kerestmetsetének geometrii dtitól függő I, ρ görbületi sugár, ε fjlgos núlás, vlmint σ fesültség köött. Bár nem muttjuk meg formálisn, de eddigi gondoltmenet és vontkoó képletek kkor is érvénesek mrdnk, h negtív M h hjlítónomték. Továbbmenve kpott képletek primtikus rudkr néve kkor is igk mrdnk, h h rúd nem tégllp kerestmetsetű, érus értékű veges másodrendű nomték, fennáll I = 0 egenlet (pl. vg tengel simmetritengel) M = M h e rúd igénbevétele (tist hjlítás esete forog fenn). későbbiekben igoljuk, hog nem simmetrikus kerestmetsetek esetén is mindig tlálhtó oln súlpontho kötött egmásr kölcsönösen merőleges, tengelpár melre néve I = 0. Eeket tengeleket tehetetlenségi főtengeleknek fogjuk neveni. 5.6. ábr oln kerestmetseteket semléltet, melekre néve főtengelek, súlponti tengelek. M h M h M h 5.6. ábr. kerestmetseten megosló belső erőrendser kerestmetset súlpontjár sámított M = M h e + M h e }{{} + M c e (5.16) M h nomtékánk kerestmetset síkjáb eső és fenti képletben külön is megjelölt M h rése hjlítónomték-vektor. Egenes hjlításról besélünk kkor, h hjlítónomték vektor párhumos kerestmetset egik súlponti tehetetlenségi főtengelével. H nem párhumos hjlítónomték vektor kerestmetset vlmelik súlponti tehetetlenségi főtengelével, kkor hjlítást ferde hjlításnk neveük. Nilvánvló eddigiek lpján, hog tist hjlítás esetén érvénesek és hsnálhtók (5.4), (5.5,b), (5.6), (5.7,b) (5.14) és (5.15) képletek, feltéve hog hjlítónomték M h = M h e lkú, tengel tehetetlenségi főtengel rúd pedig primtikus. (5.15) képlet serint poitív M h esetén felső sélső sálbn ébred legngobb poitív normálfesültség (húófesültség) és lsó sélső sálbn kpjuk legngobb bsolút értékű negtív normálfesültséget ( legngobb nomófesültséget). Negtív M h esetén visonok fordítottk, felső sélső sálbn negtív, lsó sélső sálbn pedig poitív σ ébred.
5. silárdságtn lpkísérletei III. 131 H megsorouk görbületet dó (5.14) képletet rúd l hossávl és figelembe vessük (5.3) össefüggést, kkor B rúdsks véglpjink (sélső kerestmetseteinek) egmásho visonított Φ l = l ρ = M hl (5.17) I E sögelfordulását kpjuk. tist hjlításr igénbe vett B rúdsks lkváltoási energiáját (3.5) lpján felírt u = 1 σ E fjlgos lkváltoási energi rúdsks V térfogtán vett integrálj dj, h helettesítjük σ -t dó (5.15) össefüggést: U = u dv = 1 σ V l E d d = 1 M h l IE d d. I (5.13) ltti értelmeését is helettesítve U = 1 l M h I E d (5.18) eredmén. Tovább egserűsödik fenti képlet, h figelembe vessük, hog állndó M h hjlítónomték: U = 1 Mh l I E. (5.19) fenti össefüggés egúttl, össhngbn (.96) és (5.17) képletekkel, B rúdsksr működő M h hjlítónomték W K munkáj hjlítónomték htásár bekövetkeő Φ l sögelfordulás során: U = W K = 1 M hφ l. 5.1.3. Ellenőrés, méreteés. lábbik tist hjlításr igénbevett rúd fesültségcsúcsr történő ellenőrésének és méreteésének kérdéseit tekintik át. σ m fesültséget M h e e 5.7. ábr. σ m = m σ (5.0) módon értelmeük kerestmetseten. H ng egformán viselkedik húásr és nomásr, kkor t fogjuk megkövetelni, hog e érték előírt korlát ltt mrdjon. H ng nem viselkedik egformán húásr és nomásr, kkor húófesültségek és nomófesültségek mimumi külön-külön előírt korlátok ltt kell, hog legenek. jelen esetben e követelmén úgneveett fesültségcsúcsr történő ellenőrés illetve méreteés lpj. H egform sélső sálk távolság tengeltől húott illetve nomott oldlkon, et esetet 5.7. ábr 5.6. ábrán is megrjolt tengelre simmetrikus I selvénnel semlélteti, kkor hol σ m = M h e = M h I I e = M h, (5.1) K K = I (5.) e tengelre vontkoó kerestmetseti téneő. H nem egform sélső sálk távolság tengeltől húott illetve nomott oldlkon, et esetet 5.8. ábr 5.6. ábrán is megrjolt T selvénnel semlélteti, kkor két kerestmetseti té-
13 5.1. Egenes primtikus rúd tist egenes hjlítás b M h e 1 M h e 1 e e 5.8. ábr. neőt érdemes beveetni. Jelölje, össhngbn ábrávl, e 1 és e sélső sálk tengeltől mért távolságát. (5.) képlet lpján két kerestmetseti téneőt K 1 = I e 1, vlmint K = I e 1 képletek értelmeik. fenti dtokkl K = K min = min (K 1, K ). (5.3) képlet értelmei K -et. Tegük fel egelőre, hog egformán viselkedik ng húásr és nomásr. Felhsnálv kerestmetseti téneő foglmát h onos sélső sálk tengeltől mért távolság, kkor (5.), h nem onos, kkor pedig (5.3) képlettel kell dolgoni írhtjuk, hog σ m = M h K. (5.4) Követkeőleg ellenőrés esetén hivtkov ehelütt 3..7. sksr σ jell fesültség és n előírt bitonsági téneő foglmát illetően relációnk kell fennállni. Legen σ m = M h K σ meg = σ jell n (5.5) K s = M h (5.6) σ meg sükséges kerestmetseti téneő. Követkeőleg méreteés esetén (5.5) és (5.6) össefüggések egbevetése lsó korlátot d kerestmetseti téneőre: K K s = M h σ meg (5.7) Érdemes hngsúloni, hog e sükséges (minimális) kerestmetseti téneő csk kkor htáro meg egértelműen kerestmetset lkját, h válstott lk csk eg geometrii prméter (méret) függvéne (pl. körkerestmetset). H válstott lk több geometrii prméter (méret) függvéne, kkor további sempontok is figelembe vehetők kerestmetset méreteinek megválstás során. Tegük fel továbbikbn, hog nem viselkedik egformán ng húásr és nomásr. Legen σ meg húás és σ meg nomás rendre húó-, illetve nomófesültségre vontkoó megengedett fesültség. Megjegeük, hog rideg ngok ilen pl. öntöttvs, vgpedig beton nomásr lénegesen ngobb fesültséget képesek mrdó károsodás nélkül elviselni. Ebből dódón een ngok esetén fennáll σ meg húás σ meg nomás reláció. Legen továbbá σ m húás és σ m nomás rendre mimális húó-, illetve nomófesültség.
5. silárdságtn lpkísérletei III. 133 H onos sélső sálk tengeltől mért távolság, kkor megegeik egmássl e két érték, fennáll σ m húás = σ m nomás = σ m reláció. H nem onos két sélső sál tengeltől mért távolság, kkor nomték előjelét is figelembe véve e dönti ugnis el melik húott és melik nomott oldl kell sámítni σ m húás és σ m nomás fesültségek értékét. Íg például h poitív M h, 5.8.() ábrán váolt esetben σ m húás = M h I Eel semben 5.8.(b) ábrán váolt esetben σ m nomás = M h I e 1 = M h és σ m nomás = M h e = M h. (5.8) K 1 I K e 1 = M h és σ m húás = M h e = M h. (5.8b) K 1 I K fentiek lpján ellenőrés esetén egidejűleg kell teljesülnie relációknk. Legen σ m húás σ meg húás és σ m nomás σ meg nomás. (5.8c) K s húás = M h σ meg húás és K s nomás = M h σ meg nomás (5.9) mimális húó, illetve nomófesültséghe trtoó sükséges kerestmetseti téneő. Nilvánvló eddigiek lpján, hog méreteés esetén fenti két kerestmetseti téneő birtokábn lehet csk helesen megválstni kerestmetset lkját és méreteit. ellenőrés és méreteés megismert össefüggései kkor is lklmhtók, h váltoik hjlítónomték rúd hoss mentén, de elhngolhtó hjlítónomtékkl társuló níróerő, pontosbbn níróerő okot nírófesültségek htás. mint t össetett igénbevételek kpcsán látni fogjuk kkor hngolhtók el nírófesültségek, h sokkl ngobb rúd hoss mint kerestmetset mimális mérete. Ilenkor ellenőrést, illetve méreteést rr kerestmetsetre kell elvégeni, hol legngobb hjlítónomték bsolút értéke. Et kerestmetsetet veséles kerestmetsetnek sokás neveni. 5.. íkidomok (kerestmetsetek) másodrendű nomtéki 5..1. Beveető megjegések. 5.1.. lsks (5.13,b) képletei oln menniségeket, másodrendű nomtékokt értelmetek, melek csk tekintett rúdkerestmetset geometriájánk függvénei és mint ilenek függetlenek rúd ngától illetve terhelésétől. jelen 5.. sksbn további másodrendű nomtékokt értelmeünk és résletesen is megvisgáljuk eek tuljdonságit. 5... Másodrendű nomtékok értelmeése. 5.9. ábr tetsőleges lkú síkidomot semlélteti. koordinát-rendser kedőpontját (origóját) O jelöli. E pont sík eg tetsőleges végesben fekvő pontj, nem sükséges feltétel, hog origó síkidom eg belső pontj legen. d felületelem köéppontjánk R = e + e helvektor. O R d 5.9. ábr. síkidom tengelre sámított I, illetve tengelre sámított I másodrendű nomtékát, megismételve I tekintetében (5.13) képletet, I = d > 0 és I = d > 0 (5.30)
134 5.. íkidomok (kerestmetsetek) másodrendű nomtéki integrálok értelmeik. veges másodrendű nomtéknk pedig, megismételve (5.13b) képletet, I = d (5.30b) integrál értelmeése. Értelmeésükből követkeően tengelre sámított I és I másodrendű nomtékok poitív menniségek. I veges másodrendű nomték poitív, érus és negtív egránt lehet. okás fenti másodrendű nomtékok mellett poláris másodrendű nomtékról besélni. Et menniséget I p = I O = R ( d = + ) d (5.31) integrál értelmei. indeben álló p poláris só első betűje. okás helette vontkottási pontot onosító betűt, jelen esetben e O, is hsnálni. is kiolvshtó fenti képletből, tekintettel (5.30) 1, képletekre, hog O pontr sámított poláris másodrendű nomték O ponton áthldó és tengelekre sámított másodrendű nomtékok össege: I p = I O = I + I (5.3) Htárouk meg példként, későbbi lklmásokt is sem előtt trtv tégllp lkú, illetve kör és körgűrű kerestmetset esetén másodrendű nomtékokt, vlmint kerestmetseti téneőket. 5.10. ábrán váolt tégllplkú kerestmetset esetén (5.30) 1 képlet és ábr lpján írhtó, hog b d d I =, hog d = b/ b/ d }{{} d = 3 3 b/ b/ I = b3 1. (5.33) Értelemserű betűcserékkel kpjuk innen, hog I = 3 b 1. (5.33b) 5.10. ábr. fenti két képlet és poláris másodrendű nomték (5.3) ltti felbontás lpján I p = I = I + I = b [ + b ]. (5.34) 1 Végeetül (5.) és (5.33,b) képletek felhsnálásávl sámíthtók és tengelekre vontkoó K és K kerestmetseti téneők: K = I b/ = b 6, K = I / = b 6. (5.35) Körkerestmetset esetén nilvánvló simmetri okok mitt I = I. Vissidéve, hog poláris másodrendű nomtékot erre kerestmetsetre (4.48) képlet dj, továbbá felhsnálv, poláris másodrendű nomték és tengelre sámított I és I. nomtékok köötti (5.3) össefüggést írhtjuk, hog, hog I + I = I = I = I p = d4 π 3, I = I = I p = d4 π 64. (5.36),
5. silárdságtn lpkísérletei III. 135 Ismét felhsnálv (5.) képletet kpjuk vontkoó kerestmetseti téneőket: K = K = I d/ = d3 π 3. (5.37) Körgűrű lkú kerestmetset esetén I p -t dó (4.49) össefüggés, I p felbontását dó (5.3) képlet, vlmint simmetriát tükröő I = I egenlet figelembe vételével írhtjuk, hog ( D 4 d 4) π I + I = I = I = I p =. 3 Követkeőleg I = I = ( D 4 d 4) π 64 és K = K = I ( D 4 D/ = d 4) π 3D. (5.38) Mivel és súlponti tengelek mindhárom esetben simmetritengelek érus értékű veges másodrendű nomték: I = 0. 5..3. koordinátrendser eltolásánk htás. teiner tétele. 5.11. ábrán váolt síkidom (kerestmetset) esetén két egmássl párhumos tengelpár áltl lkotott KRekben tekintjük másodrendű nomtékokt. Elsőként B kedőpontú görögbetűs ξη KR-ben d BO O r BO B BO 5.11. ábr. tekintjük át visonokt. Felhsnálv másodrendű nomtékok (5.30,b) ltti értelmeését I ξ = η d, I η = ξ d, (5.39) vlmint I ξη = ξη d (5.39b) képleteket kpjuk, hol I ξ és I η ξ és η tengelekre sámított másodrendű nomték, I ξη pedig ξ és η tengelpárr sámított másodrendű nomték. további átlkítások célj I ξ, I η és I ξη, vlmint O kedőpontú KR-ben sámított I, I és I másodrendű nomtékok köötti kpcsolt tistáás. Ennek érdekében helettesítsük ábráról leolvshtó ξ = ξ BO +, η = η BO +
136 5.. íkidomok (kerestmetsetek) másodrendű nomtéki geometrii össefüggéseket (5.39,b) képletekbe. első esetben elemi átlkításokkl kpjuk, hog I ξ = (η BO + ) d = d + η BO d + ηbo d. (5.40) }{{}}{{}}{{} I második és hrmdik esetben ugnilen módon kell eljárni: I η = (ξ BO + ) d = d + ξ BO d + ξbo d, (5.40b) }{{}}{{}}{{} I I ξη = (ξ BO + ) (η BO + ) d = = d + ξ BO d + η BO d + ξ BO η BO d. (5.40c) } {{ } I } {{ } } {{ } }{{} fenti képletek megjelölt rései rendre síkidom és tengelekre, vlmint - tengelpárr sámított I, I és I másodrendű nomtékit, síkidom és tengelekre sámított és sttiki nomtékit, illetve síkidom területét dják. Követkeőleg írhtó, hog I ξ = I + η BO + η BO, I η = I + ξ BO + ξ BO, I ξη = I + ξ BO + η BO + ξ BO η BO. (5.41) E eredmén teiner tétel néven ismeretes. tételt svkbn követkeő módon foglmhtjuk meg: H ismeretesek eg síkidom dott pontjáho kötött ( jelen esetben O pontho kötött) KR-ben I, I és I másodrendű nomtékok, illetve és sttiki r B B = O = B B B = B nomtékok, kkor integrálás nélkül sámíthtók síkidom eg másik pontjáho kötött ( jelen esetben B pontho kötött) ξη KR-ben, h egébként rendre párhumosk ξ, η és, koordináttengelek. Tovább egserűsödnek teiner tételt lkotó (5.41) képletek, h egbeesik O origó síkidom (kerestmetset) geometrii köéppontjávl (súlpontjávl). E esetben ugnis érus értékűek síkidom és tengelekre sámított sttiki nomtéki: = = 0. H emellett t is figelembe vessük, hog e esetben 5.1. ábr. ξ B = B és η B = B teiner tétel I ξ = I + B, I η = I + B, I ξη = I + B B (5.4) lkot ölti. Kiolvshtó (5.4) 1 képletből, hog dott súlponti tengelre (mondjuk tengelre) sámított másodrendű nomték ismeretében úg sámíthtó eg vele párhumos (mondjuk Jkob teiner (1796-1863). vájci sületésű német geométer, Berlini Tudomános Társság tgj. Heidelbergben tnul. 1835-től élete végéig berlini egetem professor. kterülete projektív geometri és ioperimetrikus geometrii problémák volt.
5. silárdságtn lpkísérletei III. 137 ξ tengelre) sámított másodrendű nomték hog hoádjuk dott súlponti tengelre vontkoó másodrendű nomtékho síkidom területének és két tengel köötti távolság négetének sortát. is követkeik utóbbi mondtból, hog egmássl párhumos tengelekre sámított másodrendű nomtékok köül súlponti tengelre sámított másodrendű nomték legkisebb. Megjegeük, hog [ ] [ ] I I = I I, I I I B = ξ I ξη, (5.43) I ηξ I η vlmint [ I B = B B B ] [ B B η = B η B ξ B B mátri jelölések beveetésével [ ] [ ] [ I ξ I ξη I = I + B I ηξ I η I I B B vg mi ugn ξ B η B ξ B B B B ], (5.43b) ], (5.44) I B = I + I B (5.44b) lkbn írhtók fel teiner tétel (5.4) ltti skláregenletei. Megmuttjuk mjd 5.3.. sksbn lásd (5.56) képletre veető gondoltmenetet, hog I mátri kerestmetset súlpontjáho trtoó I tehetetlenségi tenor mátri KR-ben. Ugnilen módon dódik mjd is, hog I B mátri kerestmetset B pontjáho trtoó I B tehetetlenségi tenor mátri B kedőpontú ξη KR-ben. 5.3. Primtikus rúd tist ferde hjlítás. Tehetetlenségi tenor 5.3.1. Áltlánosítás. továbbikbn t kérdést visgáljuk meg hogn váltonk visonok, h M hjlítónomték vektor nem esik kerestmetset súlponti tehetetlenségi főtengelére, ferde hjlítás esete áll fenn. Legen eddigieknek megfelelően tengel rúd súlponti hosstengele, továbbá vegük 5.13. ábrán semléltetett módon, vlmint ξη KR-t. vontkoó egségvektorokt e ξ és e η, illetve e és e jelöli. n irán e e R d e =O e = n =n 5.13. ábr.
138 5.3. Primtikus rúd tist ferde hjlítás. Tehetetlenségi tenor essék egbe ξ iránnl, n = e ξ. gondoltmenet on lpul, hog primtikus rúd tist ferde hjlítás esetén is fennállnk lábbi, egenes hjlítás kpcsán rögített megfigelések: 1. Vn oln ξη KR 5.13. ábr semlélteti et KR-t, melben = ε ξ 0 0 0 ε η 0, és ε ξ = ε η = νε = ν η ξη 0 0 ε ρ, ε = η ρ (5.45) lkváltoási tenor mátri, illetve nnk elemei. Megjegeük, hog utóbbi képletekben ρ lkváltoást senvedett súlpontvonl görbületi sugr η síkbn.. Érvénes egserű Hook törvén, σ = Eε = E η ρ. Nilvánvló, hog η = 0 egenes, ξ tengel semleges tengel. Leolvshtó 5.13. ábráról, hog R = ξe ξ + ηe η helvektor d felületelemhe mutt. is nilvánvló, hog n R = n (ξe ξ + ηe η ) = e ξ (ξe ξ + ηe η ) = ηe. utóbbi két sorköi képlet egbevetése lpján ρ = σ e = E ρ η e = E ρ n R (5.46) fesültségvektor értéke. Mivel tist hjlításról vn só érus kell legen kerestmetseten megosló ρ belső erőrendser F eredője. E eredmén egserű sámítássl dódik, h felhsnáljuk ρ (5.46) ltti előállítását és figelembe vessük, hog érus értékű kerestmetset = O súlpontr vett O sttiki nomték: E F = ρ d = ρ n R d = E ρ n R d = 0. (5.47) }{{} O =0 kerestmetseten megosló ρ belső erőrendser kerestmetset súlpontjár vett M nomtékát dó M = R ρ d (5.48) képlet is hsonló gondoltmenettel, ρ fesültségvektor (5.46) ltti képletének, vlmint R felbontásánk helettesítésével lkíthtó tovább: M = (ξe ξ + ηe η ) E ρ η e d = E [ ] η d e ξ ηξ d e η (5.49) ρ }{{}}{{} I ξ I ηξ M = E [ ] Iξ e ξ I ηξ e η. (5.49b) ρ fenti képletben álló I ξ = η d, I ηξ = ηξ d integrálok, vlmint I η = ξ d (5.50) integrál rendre kerestmetset ξ tengelre, ηξ tengelpárr, vlmint η tengelre sámított másodrendű nomtékit dják. (5.49b) képlet rését lkotó I ξ = I n = I ξ e ξ I ηξ e η (5.51) vektor ξ tengelhe, illetve e ξ iránho (vg mi ugne n tengelhe, illetve n iránho) trtoó tehetetlenségi vektor.
5. silárdságtn lpkísérletei III. 139 Mivel áltlábn I ηξ 0 követkeik (5.49b) képletből, hog M nomtékvektor áltlábn nem párhumos ξ semleges tengellel. Másként foglmv, h I ηξ 0, kkor vlóbn ferde hjlítás áll fenn. Tovább lkíthtó céljinknk megfelelően M (5.48) ltti képlete, h ρ értékét (5.46) jobboldlánk utolsó rése lpján helettesítjük és t is figelembe vessük (5.49b) és (5.51) egbevetése lpján, hog E ρ -nk I n egütthtój: M = E R (n R) d = E ρ ρ I n (5.5) utóbbi képlet lpján tehetetlenségi vektor értéke. I n = R (n R) d (5.53) 5.3.. kerestmetset tehetetlenségi tenori. (5.53) össefüggés serint homogén lineáris függvéne I n tehetetlenségi vektor n vektornk. Vissidéve másodrendű tenorok geometrii értelmeésével kpcsoltos és 1.3. sksbn résleteett ismereteket t mondhtjuk, hog (5.53) össefüggés I n -re képei le n vektort. Kihsnálv, hog kifejtési tétel serint (b c) = ( c) b ( b) c, hol most és c-nek R, b-nek pedig n felel meg, (5.53) ltti össefüggésből I n = [(R R)n R(R n)] d (5.54) eredmén követkeik. további átlkítások célj n vektor kiemelése. Vegük figelembe, hog n = E n itt E egségtenor és hog R(R n) = R R n. utóbbi képletek kihsnálásávl kpjuk, hog I n = [(R R)E R R] d n = I n. (5.55) } {{ } I fenti egenlet megjelölt rése kerestmetset I súlponti tehetetlenségi tenorát értelmei: I = [(R R)E R R] d (5.56) Érdemes megjegeni, hog (5.56) képlet súlponti tehetetlenségi tenor koordinátrendsertől független lkj. (5.56) képlet ltti értelmeése serint simmetrikus súlponti tehetetlenségi tenor, hisen mind E egségtenor, mind pedig R R didikus sort simmetrikus tenorok. koordinátrendserben R = e + e, míg E = e e + e e. Követkeőleg [ I = ( + ) (e e + e e ) (e + e ) (e + e ) ] d = [ = ( e e ) e + ( e + ] e ) e d = = [ ] de de e + [ de + ] de e, }{{}}{{}}{{}}{{} I I I I I = (I e I e ) e + ( I e + I e ) e, (5.57) }{{}}{{} I I vgis I = I e + I e, (5.57b)
140 5.3. Primtikus rúd tist ferde hjlítás. Tehetetlenségi tenor hol I és I tehetetlenségi vektorok rendre egmástól lineárisn független e és e egségvektorok képei I tenorho trtoó leképeésben. I és I tehetetlenségi vektorok ismeretében [ ] [ ] I I = I = I I = I (5.58) (,) I I súlponti tehetetlenségi tenor mátri KR-ben. Mivel tenor simmetrikus KR-ben felírt mátri is simmetrikus. Vissidéve, hog súlponti ξη koordinátrendserben R = ξe ξ + ηe η helvektor és E = e ξ e ξ + e η e η egségtenor, mjd sóserint megismételve előő bekedés lépéseit felhsnálv eköben (5.50) ltti képleteket t kpjuk, hog I = (I ξ e ξ I ξ e η ) e ξ + ( I ξηe ξ + I η e η ) e η (5.59) }{{}}{{} I ξ I η tehetetlenségi tenor súlponti ξη KR-ben, hol I ξ és I η vontkoó tehetetlenségi vektorok ( e ξ és e η egségvektorokho trtoó képvektorok). Követkeőleg I = I ξ e ξ + I η e η, (5.59b) tenor didikus lkj és [ I = I = (ξ,η) ] [ I ξ Iη = ] I ξ I ξη I ηξ I η (5.60) I tenor mátri súlponti ξη KR-ben. Vegük ésre, hog (5.55) képlet serint Követkeőleg I n = I e n n =, és I ν = I e ν ν = ξ, η (5.61) I n = e n I e n (,) (ξ,η) (ξ,η) (ξ,η) n =, és I ν = e ν I e ν (ξ,η) (,) (,) (,) ν = ξ, η (5.6) továbbá I mn = e m I e n (,) (ξ,η) (ξ,η) (ξ,η) m, n =, és I µν = e µ I e ν. µ, ν = ξ, η (5.6b) (ξ,η) (,) (,) (,) utóbbi eredmén svkbn követkeőképp foglmhtó meg: H ismeretes I tehetetlenségi tenor és [e, e ] {e ξ, e η } egségvektorok [ ξη] { } KR-ben, kkor [ (5.6,b) 1 ] { (5.6,b) } képletekkel sámíthtók tehetetlenségi tenor mátriánk [I, I és I ] {I ξ, I η és I ξη } elemei [ ] { ξη} KR-ben. Megjegeük, hog e eredmén tenorok trnsformációjávl kpcsoltos (1.83) képletek értelemserű, síkbeli visonokr vontkoó lklmásávl is felírhtó: W helére I -t kell gondolni, el kell hgni és ζ indeeket, illetve figelembe kell, venni nem digonális elemekre vontkoó előjelbeni eltérést. Megjegeük végeetül, vissidéve 5.11. ábr jelöléseit és (5.56) ltti definíciót, hog I B = [(ρ ρ)e ρ ρ] d (5.63) össefüggés értelmei kerestmetset tetsőleges B pontjáho trtoó I B tehetetlenségi tenort.
5. silárdságtn lpkísérletei III. 141 5.3.3. I tenor főtengelproblémáj. 5.14. ábrán váolt kerestmetset (síkidom) súlpontjáho két KR-t nm =, vlmint nm = KR-eket kötjük. második KR első KR órmuttó járásávl ellentétes iránb történő 90 o -os elforgtásávl kphtó meg. Követkeőleg d = d. E eredmén t fejei ki, hog nm = KR 90 o -os elforgtásávl I nm veges másodrendű nomték bsolút értéke váltotln mrd, de előjele megváltoik. Mivel KR forgtás köben csk foltonosn váltoht I nm értéke dódik követketetés, hog bármel kerestmetsetnek (síkidomnk) vn leglább két oln egmásr kölcsönösen merőleges súlponti nm tengele, hog áltluk meghtároott KR-ben I nm = 0. * O * e m = R * d * = 5.14. ábr. ilen tengeleket súlponti tehetetlenségi főtengeleknek, vontkoó iránokt főiránoknk, főtengelek áltl kifesített KR-t főtengelek KR-ének, tengelek egségvektorit pedig I tehetetlenségi tenor sjátvektorink neveük. főtengeleket n = 1 és m = indeek onosítják. főtengelekre sámított másodrendű nomtékokt rendre I 1 és I jelöli. sámoást úg válstjuk meg, hog teljesüljön I 1 I egenlőtlenség. Mivel érus I 1 veges másodrendű nomték, párhumosk főiránokho trtoó tehetetlenségi vektorok főiránokkl, fennáll egenlet. Legen egelőre ismeretlen I i = I e i = I i e i i = 1, (5.64) n = n e + n e n = n + n = 1 (5.65) vektor keresett főirán iránvektor. hoá trtoó ugncsk ismeretlen főmásodrendű nomtékot I n jelöli. Nilvánvló (5.64) össefüggések lpján, hog n vektor és I n másodrendű nomték eleget kell, hog tegen I n = I n n, vg mi ugn (I I n E) n = 0 (5.66) egenletnek. Mátrios lkr térve át {[ ] [ ]} [ ] [ ] I I 1 0 n 0 I I I n =, 0 1 n 0 illetve [ ] [ ] [ ] I I n I n 0 = (5.67) I I I n n 0 homogén lineáris egenletrendsert kpjuk n és n sámításár. Triviálistól különböő megoldás csk kkor léteik, h eltűnik (5.66) egenletrendser determináns: I I n I I I I n = I n (I + I ) I n + I I I = 0, (5.68) }{{}}{{} I I I II hol I I = I + I és I II = I I I (5.68b) e n
14 5.3. Primtikus rúd tist ferde hjlítás. Tehetetlenségi tenor I tenor úgneveett első és második sklárinvriáns. (5.68) krkteristikus egenlet I n = I 1, = I (I ) + I + I ± I I + I = I (I ) + I I ± + I (5.69) gökei vlós sámok, mivel poitív gökjel ltt álló kifejeés ( másodfokú egenlet diskrimináns). Nem nehé belátni 5.15. ábr, ábráról leolvshtó n R = l, R l = h össefüggések és (5.56) képlet lpján, hog I n = n I n = n [(R R)n R(R n)] d = d h n n R [ = R n (R n) ] [ d = R l ] d = = h d > 0. (5.70) O l kpott eredmén serint () I n vlóbn n tengelre sámított másodrendű nomték, 5.15. ábr. (b) és mint ilen sigorún poitív. Követkeőleg I 1, gökök nemcsk vlósk, hnem poitív menniségek is. I 1 gök ismeretében (5.68) egenletrendser és n = 1 feltétel figelembevételével dódón vg n 1 (I I 1 ) I n 1 = 0, n 1 + n 1 = 1 (5.71) egenletek, vgpedig n 1 I + (I I 1 )n 1 = 0, n 1 + n 1 = 1 (5.71b) egenletek megoldás (5.71) 1 és (5.71b) 1 nem független egmástól dj 1 jelű főirán n 1 iránvektoránk n 1 és n 1 koordinátáit. H már ismert n 1 jelű főirán n iránvektor n = e n 1 (5.7) képletből sámíthtó. Vegük ésre, hog n 1, n és e hárms jobbsodrtú vektorhármst lkot. sámítások során I gök is hsnálhtó. Mindösse nni váltoás, hog I -t kell írni I 1 helére (5.71,b) egenletekben. n 1 iránvektor meghtároás pedig n 1 = n e képlet jobboldlán álló vektorsort kisámítását igénli. Mivel érus veges másodrendű nomték főtehetetlenségi tengelek áltl kifesített KRben, ugnitt digonális tehetetlenségi tenor mátri: O n n 1 n 1 5.16. ábr. n 1 1 I = (1,) [ ] I1 0 0 I. (5.73) 5.3.4. 1 jelű főtengel és tengel áltl beárt sög sámítás. 5.16 ábr főtengelek KR-ét semlélteti. ábr és (5.71,b) 1 képletek egbevetése serint tg α = sin α cos α = n 1 = I I 1 = I (5.74) n 1 I I I 1 eges főtengel tengellel beárt α sögének tngense. Vegük ésre, hog fenti képlet csk kkor hsnálhtó, h már ismerjük főtehetetlenségi nomtékokt. E sög, mint kiderül mjd továbbikból,
5. silárdságtn lpkísérletei III. 143 főtehetetlenségi nomtékok ismerete nélkül is meghtárohtó. Leolvshtó ui. 5.16 ábráról, hog KR-ben n 1 = cos α e + sin α e, n = sin α e + cos α e (5.75) két főtengel (5.65) normálási feltételt is kielégítő iránvektor. H felhsnáljuk (5.6b) képletet ebben görögbetűs KR-nek főtengelek KR-e felel meg: µ első, ν pedig második főtengelt jelenti kkor írhtjuk, hog I 1 = n 1 I n = [ cos α sin α ] [ ] [ I I sin α (,) (,) (,) I I cos α ] = = (I I ) sin α cos α + ( cos α sin α ) I = 0, hisen eltűnik főtengelek KR-ében veges másodrendű nomték. Innen dódik jól ismert sin α cos α = sin α/ és cos α sin α = cos α trigonometrikus egenletek felhsnálásávl, hog I tg α = I I. (5.76)
144 5.4. Mintfeldtok 5.4. Mintfeldtok 5.1. 5.17. ábrán váolt tégllpkerestmetsetű célrudt M B nomték terheli. () Htáro meg M B értékét, h mimális normálfesültség eléri σ F = 40 MP foláshtárt. (b) ámíts ki fesültségi és lkváltoási tenorok mátriit K kerestmetset P pontjábn, h M B = 3.84 knm (E cél 00 GP, ν 1/3). (c) Mekkor e esetben K kerestmetset felső oldlélének méretváltoás. P K M B b = 60 mm M h = MB = 40 mm B 5.17. ábr. sámításokho sükség les tégllp kerestmetset tengelre sámított I másodrendű nomtékár. (5.33) képlet serint I = b3 1 = 40 mm (60 mm)3 1 = 7. 10 5 mm 4. Mivel rúdnk tist hjlítás igénbevétele (5.1) képlet lpján írhtjuk, hog és végül σ m = σ F = M B I b M B = 40MP 7. 105 mm 4 60 mm honnn M B = σ F I b = 5. 76 10 6 Nmm = 5.76 knm. (b) kérdésben terhelésként megdott nomték ennek nomtéknk két hrmd. P pont felső oldlélen vn, hol mimális normálfesültség. Követkeik tehát, hog ennek értéke σ F = 40 MP foláshtár két hrmd: σ (P ) = 160 MP. Mivel érvénes egserű Hook törvén (5.7), (5.) és (5.1) képletek serint ε = σ E = 160 Mp 10 5 Mp = 8 10 4 ε = ε = νε = 8 3 10 4 és γ = γ = γ = 0. Eekkel eredménekkel T P = 0 0 0 0 0 0 MP és P =.666 0 0 0.666 0 10 4 0 0 160 0 0 8 fesültségi és lkváltoási tenor mátri. 5.18. ábr K kerestmetsetet és nnk igénbevételét, tengel menti fesültségeloslást, vlmint P pontbeli fesültségi állpotot semlélteti. P 160 MP 30 mm M = h 5.76 knm 30 mm 40 mm (P) = 160 MP 5.18. ábr.
5. silárdságtn lpkísérletei III. 145 Mivel állndó kerestiránú fjlgos núlás K kerestmetset felső oldléle mentén méretváltoás, értelemserűen lklmv (3.1) képletet, lábbik serint sámíthtó: ( = ε k = + ) 10 4 40 mm = 1.066 7 10 mm. 3 9 mm P M h 1.5 mm 5.. 5.19. ábr tist hjlításnk kitett luminium rúd kerestmetsetét semlélteti (E l = 70 GP, ν l 0.3). Htáro meg, felhsnálv ábr dtit, () lkváltoási tenor mátriát kerestmetset P pontjábn, és (b) ugnitt normálfesültség értékét. (5.4) és (5.) képletek lpján ε (P ) = ε = P ρ = 4.5 mm 3.5 10 3 mm = 1.857 10 3, Követkeésképp 5.19. ábr. = 3.5 m P = ε 0 0 0 ε 0 0 0 ε és ε = ε = ν l ε = = = 0.3 1.857 10 3 = 3.8571 10 4 γ = γ = γ = 0. 3.8571 0 0 0 3.8571 0 0 0 1.857 10 4 lkváltoási tenor mátri. mi pedig (b) kérdést illeti (5.7) egserű Hook törvénből keresett normálfesültség. 9mm P B 5.0. ábr. σ (P ) = E l ε = 70.0 10 3 MP 1.857 10 3 90 MP M h P B 5.3. 5.0. ábrán váolt félkörkerestmetsetű rúdnk tist hjlítás igénbevétele. kerestmetset P pontjábn ε P = 1.0361 10 3 núlásmérő béleggel mért fjlgos núlás iránbn. Mekkor rúd görbületi sugr? (η B = 4r/3π) P pont P = r η B = r 4r 4 9 mm = 9 mm = 5.1803 mm 3π 3π helkoordinátájávl, kihsnálv (5.4) képletet, kpjuk ρ = P 5.180 3 mm = 5000 mm ε P 1.0361 10 3 görbületi sugrt. 5.4. Mutss meg, hog érus kerestmetset súlponti tengelpárr sámított másodrendű nomték, h simmetri tengel tengel. d d 5.1. ábr. 5.1. ábrán váolt kerestmetsetnek tengel simmetritengele. simmetri mitt mg kerestmetset oln simmetrikusn elhelekedő d és d felületelemekre bonthtó eg ilen felületelempárt ábr is feltüntet, meleknek onos koordinátáj, de koordinátájuk előjele különböő: =. H tehát páronként össegeünk E egben t is jelenti, hog I = d + d = 0. d = 0. fenti eredmén serint vlóbn érus kerestmetset súlponti tengelpárr vett vett másodrendű nomték, h simmetri tengel tengel.
146 5.4. Mintfeldtok 5.5. Htáro meg 5.. ábrán váolt deréksögű háromsög esetén oldlélek áltl lkotott KR-ben I, I és I másodrendű nomtékokt. b O d = d 5.. ábr. b d Felhsnálv ábr jelöléseit definíciót dó (5.30) 1 képlet lpján írhtó, hog [ b ] = /b I = d = d d = = b 0 0 [ 1 ] [ 3 d = b 0 3 4 4b ] b 0 = b3 1. (5.77) Ugnilen módon kpjuk (5.30b) képlet lpján, hog [ b ] = /b I = d = d d = = b 0 0 0 1 [1 ] [ ] d = b 3 3b + 4 b 4b 0 = b 1. (5.77b) Nilvánvló I -et dó képlet lpján, hog I = 3 b/1. 5.6. Htáro meg lpú és m mgsságú áltlános háromsög másodrendű nomtékát lpjár ( ξ tengelre), vlmint lppl párhumos súlponti tengelre ( tengelre). d d O v m m 3 O v B B 5.3. ábr. Vegük ésre, hog ξ tengelen nugvó lppl semköti csúcs lppl párhumos és csúcson áthldó egenesen történő eltolás nem váltottj meg ξ tengelre sámított másodrendű nomtékot. E t eredménei, hog onos áltlános háromsög, és tőle jobbr fekvő deréksögű háromsög ξ tengelre sámított másodrendű nomték. Követkeőleg lklmhtó (5.77) össefüggés, mivel I ξ = m3 1. (5.78) súlponti tengelre sámított másodrendű nomték eek után ábr dtivl és (5.4) 1 teiner tétel felhsnálásávl dódik: I = I ξ B = m3 1 m m 9 = m3 36. (5.79) 5.7. Tegük fel, hog lumíniumból késült 5.3. Mintfeldt félkörselvéne. Htáro meg e esetben () P és B pontokbn σ normálfesültség értékét, vlmint (b) hjlítónomték értékét (E l = 70 GP). Figelembe véve, hog érvénes egserű Hook törvén (5.7) képlet serint normálfesültség P pontbn. Mivel σ = E l ε P = 70.0 10 3 MP 1.0361 10 3 7.5 MP η B = 4r 3π = 4 9 mm = 3.819 7 mm, 3π
5. silárdságtn lpkísérletei III. 147 pont η koordinátáj és homogén lineáris függvéne σ normálfesültség koordinátánk σ (P ) σ (B) = P B ránpárból σ (B) = η B P 3.819 7 mm σ (P ) = 7.5 MP 53.5 MP. 5.180 3 mm hjlítónomték sámításáho sükség les félkörkerestmetset tengelre vett I másodrendű nomtékár. kerestmetset területének, illetve ξ tengelre sámított = 1 r π = 1 (9 mm) π = 17.3 mm I ξ = 1 d 4 π 64 = (18 mm)4 π = 576.5 mm 4 18 másodrendű nomtékánk ismeretében (5.4) 1 teiner tételből I = I ξ B = 576.5 mm 4 (3.8197 mm) 17.3 mm = 70. mm 4. fenti dtokkl illetve görbületi sugár sámított értékével (5.14) képletből keresett hjlítónomték. M h = I E ρ = 70. mm4 70.0 10 3 MP 5000mm 4 10.0 Nm. 5.8. Htáro meg 5.4. ábrán váolt néget átlói áltl kifesített ξη KR-ben néget súlponti tehetetlenségi tenoránk mátriát. Tekintettel tégllp másodrendű nomtékivl kpcsoltos (5.33,b) képletekre, vlmint rr körülménre, e e 1 hog mind, mind pedig tengel simmetritengel 1 e utlunk ehelütt 5.4. Mintfeldtr is t kpjuk, hog d I = 1 [ ] 4 0 O = (,) 1 0 4 v súlponti tehetetlenségi tenor mátri KR-ben. e Leolvshtó is ábráról, hog e ξ = (e + e ) és 5.4. ábr. I ξ = e ξ I e ξ = e T ξ I e ξ = (ξ,η) (,) (,) (,) I η = e η I e η = e T η I e η = (ξ,η) (,) (,) (,) és e η = ( e + e ). fentiek birtokábn már lklmhtók (5.6) és (5.6b) képletek. sámítások során mátri jelölésekre érdemes áttérni sámítások megkönnítése érdekében. Íg [ 1 1 ] 1 1 [ ] [ 4 0 1 0 4 1 [ ] [ [ ] 1 4 0 1 1 1 1 0 4 1 [ ] [ I ξη = e ξ I e η = e T ξ I e η = [ ] 1 4 0 1 1 1 (ξ,η) (,) (,) (,) 1 0 4 1 eredméneket kpjuk. Követkeőleg I (ξ,η) = 1 1 [ ] 4 0 0 4 = I. (,) ] = 4 1 = I (5.80) ] = 4 1 = I (5.80b) ] = 0 (5.80c) Ugne eredmén más módon is megkphtó. Mivel simmetritengel ξ és η tengel I ξη = 0. Mivel pont körüli 90 o -os elforgtás önmgáb visi át négetet I ξ = I η. Végeetül vegük ésre, hog néget nég oln egbevágó egenlősárú deréksögű háromsögre bonthtó fel, melek egik
148 5.4. Mintfeldtok oldl ξ és eel egenlő másik oldl pedig η tengelen nugsik. Követkeőleg lklmhtó (5.77) össefüggés: ( ) 3 I ξ = 4 = 4 1 1 5.9. 5.5. ábr ártselvénű B célrudt semlélteti (E cél = 00 GP). rúdnk 6 mm flvstgság. Legen σ meg = 10 MP megengedett fesültség. Ellenőrie rudt és sámíts ki deformálódott köépvonl görbületi sugrát. 1.6 m B 6 mm 100 mm 4.1 knm 60 mm 5.5. ábr. épen semlélteti 5.6. ábr hog rúd kerestmetsete 1 és jelű tégllpok különbsége. Jelölje rendre I 1 és I 1 és jelű tégllpok tengelre sámított másodrendű nomtékát. (5.33) képlet értelemserű felhsnálásávl dódik, hog I = I 1 I = 60 1003 1 48 883 1 =.74 1 10 6 mm 4 rúd kerestmetsetének tengelre sámított másodrendű nomték. 1 = 100 mm 88 mm 60 mm 48mm 5.6. ábr. Mivel rúd ng húásr és nomásr egformán viselkedik (5.1) képlet felhsnálásávl σ m = M h I e = 4.1 106 Nmm.74 1 10 6 mm 4 50mm 90 MP < σ meg = 10 MP eredmént kpjuk. rúd tehát megfelel. (5.14) képlet lpján ρ = I E =.741 106 mm 4 00 10 3 MP M h 4.1 10 6 1.109 10 m Nmm köépvonl görbületi sugr. 5.10. 5.7. ábrán váolt T selvénű rúd lumíniumból késült (E l = 70 GP). rúdnk tist hjlítás igénbevétele. Htáro meg selvénben ébredő legngobb húó-, és nomófesültséget, (b) rúd görbületi sugrát, vlmint (c) rúdbn felhlmoódott ruglms energiát.
5. silárdságtn lpkísérletei III. 149 10 mm 30 mm B 5 knm 90 mm 30 mm 1.8 m 1 1 1 1 P K K P 1 =45mm 1 b 1 1 e 1 e =105 mm 5.7. ábr. Első lépésben meghtárouk kerestmetset súlpontjánk η koordinátáját vlmint súlponti tengelre sámított I másodrendű nomtékot. sámítások során, célserűségi okokból két résre, eeket rendre 1 és jelöli, bontjuk fel kerestmetsetet. hossegség mm. 5.8.() ábr és i i mm η i mm η i i mm 3 1 3600 105 378000 700 45 11500 = i = 6300 ξ = i η i = 499500 táblát dtivl ( ξ kerestmetset ξ tengelre vett sttiki nomték) írhtó, hog η = ξ = i η i = 499500 = 79.86 mm. i 6300 és 1 és jelű rések súlpontjink 1 = η 1 η = 105 79.86 = 5.714 mm = η η = 45 79.86 = 34.86 mm koordinátáivl 5.8.(b) ábr lklmhtóvá válik 1 jelű rés esetén 1 pontok köött, jelű rés esetén pedig pontok köött (5.4) 1 teiner tétel: I = [ I ξi + ( i ) i ] = 10 303 = + (5.714) 3600+ 5.8. ábr. 1 30 903 + + ( 34.86) 700 = 1 = 7.646 8 10 6 mm 4. Mivel negtív hjlítónomték nomófesültség P pontot trtlmó felső oldlélen, húófesültség K pontot trtlmó lsó oldlélen mimális. e 1 = + 15 = 5.714 + 15 = 40.714 mm, e = η = 79.86 mm értékekkel és (5.8b) képletekkel kpjuk, hog és σ m nomás = σ P = M h e 1 = 5 106 Nmm I 7.646 8 10 6 40.714 mm 7 MP mm4 σ m húás = σ K = M h e = 5 106 Nmm I 7.646 8 10 6 79.86 mm 5 MP. mm4
150 5.4. Mintfeldtok (5.14), vlmint (5.19) képletek lpján görbületi sugár és ρ = I E l M h = 7.646 8 106 mm 4 70 10 3 MP 5 10 6 Nmm 107 m lkváltoási energi. U = 1 Mh l = 1 ( 5 10 6 Nmm ) 1.8 10 3 mm I E l 7.646 8 10 6 mm 4 70 10 3 4.034 Nm MP 5.11. ámíts ki 5.9. Mintfeldtbn visgált rúd B kerestmetsetében súlpontvonl ( rúd) ϕ B = ϕ B sögelfordulását és ugnitt súlpont ( rúd) függőleges v B elmodulását. 5.9. ábr sokott betűket hsnálv jelleghelesen semlélteti B rúd nomtéki ábráját, illetve körívvé görbült köépvonlt. Mivel merőleges sárúk ϕ B = ϕ B és Φ L sögek és mivel nem váltoik meg M M B L rúd köépvonlánk hoss írhtó, hog h MB ϕ B = ϕ B = Φ L = L ρ honnn, tekintettel görbületet dó (5.14) össefüggésre és M h = M B egenlőségre, kpjuk hog ϕ B = M BL I E. (5.81) E képlet előjelhelesen dj keresett sögelfordulást. Helettesítve feldt dtit ϕ B = 4.1 106 Nmm 1.6 10 3 mm.74 1 10 6 mm 4 00 10 3 MP = = 1.443 10 rd = 0.8638 o eredmén. E sögelfordulás igen kicsin, ellentétben ábrávl, melen visonok érékeltetésére B véges sögelfordulást tüntettünk fel. kpott érték t mindennpi tpstltot tükröi, hog vlós serkeeteken áltlábn kicsinek terhelésből dódó sögelfordulások és elmodulások. ρ cosφ L Φ L v B elmodulás ugncsk ábr lpján írhtó fel: v B = ρ(1 cos Φ L ). Mivel kicsi ϕ B = ϕ B = Φ L sög elegendő cos = 1 1 + 1 4 4 + O ( 6) 5.9. ábr. sorfejtés első két tgját megőrini. H elvégeük ρ görbületi sugár és ϕ B = ϕ B = Φ L forgás tekintetében is sükséges helettesítéseket, kkor ( v B = ρ [1 1 1 )] Φ L = 1 M B L (5.8) I E képletet kpjuk. feldt dtivl v B = 1 4.1 10 6 Nmm ( 1.6 10 3 mm ).74 1 10 6 mm 4 00 10 3 = 11.539 mm MP keresett elmodulás. továbbik (5.81) és (5.81) képletek lehetséges interpretációit dják. () Vissidéve, hog jelen esetben U = 1 MB L I E ρ L L L/ B v B
5. silárdságtn lpkísérletei III. 151 teljes ruglms energi, t kpjuk, hog ϕ B = U M B = M BL I E. E képlet (3.4) és (4.5) össefüggések eg nlogonj. (b) Írjuk át (5.81) és (5.8) képleteket I Eϕ B = M B L és I Ev B = 1 M BL lkb. H most B rúdon működő fiktív terhelésnek tekintjük M h nomtéki ábrát lásd 5.9. ábr felső rését, kkor ϕ B sögelfordulás I E-serese ebből fiktív terhelésből dódó níróerő rúd végén, B kerestmetsetben, hisen níróerő M B L fiktív eredővel egeik meg. (c) Ugníg kpjuk, hog v B elmodulás I E-serese fiktív terhelésnek vett M h nomtéki ábrából dódó hjlítónomték B kerestmetsetben. 5.1. dott vlmel kerestmetset súlpontho kötött tehetetlenségi tenoránk mátri súlponti KR-ben: [ ] 531 475 I = cm 4 475 7601 ámíts ki főtehetetlenségi nomtékokt, főiránok iránvektorit mjd írj fel tehetetlenségi tenor mátriát főiránok koordinátrendserében. I I = I + I = 531 + 7601 = 19 cm 4 és I II = I I I = 531 7601 475 = 401996.0 cm 8 invriánsok és (5.68) képlet lpján felírhtó krkteristikus egenlet I n I I I n + I II = I n 19 I n + 401996 = 0 I 1, = 19 ± 19 4 401996 = { 7696 56 gökei dják keresett főtehetetlenségi nomtékokt. Eek birtokábn (5.71) 1 képlet lpján kpott egenletből n 1 (I I 1 ) I n 1 = 375n 1 + 475n 1 = 0 cm 4 eredmén követkeik, mivel (5.71) -ből n 1 = 5n 1 n 1 + n 1 = n 1 (1 + 5) = 1 Végeredménben n 1 = 1 6 és n 1 = 5n 1 = 5 6. n 1 = 1 6 (e + 5e ) első főirán iránvektor. Ennek ismeretében (5.7) képletből n = e n 1 = 1 6 (5e e ) második főirán iránvektor. főtengelek 1 = ξ, = η koordinátrendserében [ ] [ ] I1 0 7696 0 I = = cm 4 (ξ,η) 0 I 0 56 tehetetlenségi tenor mátri.
15 5.4. Gkorltok 16 mm P B 5.30. ábr. P B Gkorltok 5.1. 5.30. ábrán váolt és körívvé hjlított félkörkerestmetsetű sárgré rúdnk 3 m görbületi sugr. görbületi köéppont, mint ábr is muttj, rúd tengelvonl ltt helekedik el. Htáro meg legngobb húó és nomó fesültséget, vlmint vísintes átmérő hossváltoását, h E ré = 110 MP és ν = 0.5. (η B = 4r/3π) 5.. 5.31. ábrán váolt luminium rudkt két erő terheli. ábr feltünteti BC sks eg K kerestmetsetét is. Htáro meg σ m értékét BC skson belül és írj fel fesültségi tenor mátriát O pontbn. Mekkor BC sks görbületi sugr és C kerestmetset sögelfordulás? (E l = 70 GP.) 80 kn 80 kn 50 kn b 50 kn B C D B C D 0.4 m 1.6 m 0.4 m 0.6 m 1. m 0.6 m 0 mm 160 mm 0 mm 00 mm O 160 mm 0 mm 60 mm 10 mm 360 mm O 60mm 5.31. ábr.