A differenciálgeometria alapjai: görbeelmélet Előadávázlat Kovác Zoltán előadáaihoz 2003. december 4.. Differenciálá A differenciálá fogalmára több zituációban i zükégünk lez R R, R R 2, R R 3, R 2 R 2, R 2 R, R 3 R 3 típuú leképezéeknél, ezért vázlatoan áttekintjük a többváltozó, vektorértékű függvények differenciálááról tanultakat. Legyen U R n nemüre nyílt halmaz, tekintünk egy f : U R m leképezét. Legyen x U. Ha létezik olyan ϕ LR n, R m lineári leképezé, hogy fx + h fx ϕh lim h 0 h = 0, akkor azt mondjuk, hogy f differenciálható az x pontban, é azt írjuk, hogy f x = ϕ. Meg lehet mutatni, hogy ϕ ha létezik, akkor egyértelmű. f-et differenciálhatónak mondjuk U-n, ha annak minden pontjában differenciálható. f diffeomorfizmua U-nak egy V R n nyílt halmazra, ha bijektív é az inverze i differenciálható. f x = ϕ-nek R n é R m kanoniku báziára vonatkozó mátrixát az f leképezé x-beli Jacobimátrixának nevezzük. Jelöljük f komponenfüggvényeit f,..., f m -el. Meg lehet mutatni, hogy f akkor é caki akkor differenciálható egy x pontban, ha komponenfüggvényeinek mindegyike differenciálható x-ben, ekkor f Jacobi mátrixa: fj J f x = x M m n j =... m, i =... n. x i A zámítáok orán okzor praktikuan cak a Jacobi mátrixot írjuk ki. Példa. Legyen ϕ LR n, R m. Ekkor x R n -re ϕ differenciálható, é ϕ x = ϕ. Valóban: ϕx + h ϕx ϕh = ϕx + ϕh ϕx ϕh = 0, tehát a vizgált határértékben a zámláló zéru.
Példa. Legyen F : R n R n izometria, a catolt leképezée a ϕ τ R n ortogonáli leképezé. Azaz x R n -re F x = ϕx + x 0 teljeül valamely rögzített x 0 vektorra. Ekkor x R n -re F differenciálható, é F x = ϕ. Valóban: F x + h F x ϕh = ϕx + h + x 0 ϕx + x 0 ϕh = a zámláló imét nulla. = ϕx + ϕh + x 0 ϕx x 0 ϕh = 0, Példa. Legyen az f : R R függvény differenciálható az x pontban. Az f x τ R deriváltfüggvény Jacobi-mátrixa -e, azaz egy zám: f x ; a lineári leképezé pedig ezzel a zámmal való zorzát jelent. Ezért f x helyett i f x-et írunk ez egybevág a való-való függvények differenciáláának zokáo definíciójával: az ilyen függvény deriváltja egy pontban egy zám. Általánoabban, ha f : R R n, differenciálható, akkor f x LR; R n = R n. Az izomorfizmut az f x f x hozzárendelé adja meg. A továbbiakban f x-t é f x-t nem fogjuk megkülönböztetni. A differenciálgeometriai tanulmányainkban a differenciálá egyik legtöbbet haznált tulajdonága a lánczabály lez: Tegyük fel, hogy E egy R n -beli nyílt halmaz, f : E R m, f differenciálható x E-ben; g egy fe-t tartalmazó nyílt halmazt R k -ba képez, é g differenciálható fx-ben. Ekkor az F = g f : E R k leképezé i differenciálható x-ben é F x = g fx f x. A lánczabály alkalmazáával könnyen igazolhatunk egy fonto özefüggét, nevezeteen, hogy való diffeomorfizmu deriváltja ohaem lehet zéru. Legyen f : R R diffeomorfizmu. Ekkor f f = id. Deriváljuk ezt az özefüggét valamely x pontban! A lánczabályt alkalmazva é felhaználva, hogy az identitának, mint lineári tranzformációnak a deriváltja önmaga: f fx f x = id. A leképezéek helyen felvett értékével ld. az előző példát: f fx f x =. Innen leolvaható, hogy az f x 0. Mot induljunk ki a f f = id özefüggéből: f f x f x = id. Ha a lineári leképezéeket beazonoítjuk az helyen felvett értékükkel: f f x f x =, azaz az inverz függvény deriváltjára azt kapjuk, hogy f x = f f x. 2
2. Parametrizált görbék Megállapodunk abban, hogy a való-való függvények differenciálhatóága a továbbiakban akárhányzori differenciálhatóágot jelent, továbbá az f : [a, b] R n leképezé differenciálhatóága alatt azt értjük, hogy létezik olyan f : a, b R n differenciálható leképezé, hogy [a, b] a, b é f [a,b] = f. Definíció. Legyen I R eetleg elfajuló, de nem egypontú intervallum, n = 2 3. Egy c: I R n differenciálható leképezét parametrizált görbének nevezünk, ha t I-re c t 0 regularitái feltétel. I-t paramétertartománynak nevezzük. n = 2 eetén íkgörbéről, n = 3 eetén térgörbéről bezélünk. Általáno értelemben íkgörbéről bezélünk akkor i, ha im c-t R 3 egy íkja kétdimenzió lineári okaága tartalmazza. Példa. Legyen c: [0, 2π] R 2, t ct = R co t, R in t R > 0. Ekkor im c az origó középpontú R ugarú kör. A regularitái feltétel nyilván teljeül: Példa. c t = R in t, R co t, c t = R 0. c: [0, 2π] R 3, t ct = R co t, R in t, a t R, a > 0. c t = R 2 + a 2 nevezzük. 0, azaz a regularitái feltétel teljeül. im c-t hengere cavarvonalnak z y x. ábra. A hengere cavarvonal, a paramétertartomány az ábrán [0, 6π]. Az ábrán zaggatott vonallal berajzoltuk a görbe vetületét az xy íkra, amely egy kör. Definíció. Legyen c: I R n parametrizált görbe. A v : I R, t vt = c t 3
leképezét pályaebeég-függvénynek vagy pályamenti ebeégnek, míg a c : I R n, t c t leképezét ebeég-vektormezőnek nevezzük. c t a görbe t paraméterértékű ponthoz tartozó ebeégvektora, míg ct + Lc t a t paraméterértékű ponthoz tartozó érintőegyene. y c t ct ct + Lc t x 2. ábra. Sebeégvektor, érintő egyene. A c: I R n parametrizált görbét termézete paraméterezéűnek, vagy ívhoz paraméterezéűnek mondjuk, ha t I : vt =. Legyen mot I = [a, b]. Λc = b a vτ dτ a görbe ívhoza, a σ : [a, b] R, σt = függvény pedig a görbe ívhoz-függvénye. t a vτ dτ. Tétel. Legyen c: I R n parametrizált görbe, Ĩ R, I é Ĩ való intervallumok. Ha ϕ: Ĩ I diffeomorfizmu é c = c ϕ, akkor c i parametrizált görbe. Bizonyítá: A regularitái feltételt kell ellenőrizni c-re. A lánczabályt alkalmazva: c t = c ϕt ϕ t. Mivel c regulári, ezért a zorzat elő tényezője, mivel ϕ diffeomorfizmu, ezért a zorzat máodik tényezője egyetlen paraméterértékre em nulla. 4
Definíció. Legyenek c: I R n é c: Ĩ Rn parametrizált görbék. Ha létezik olyan ϕ: Ĩ I diffeomorfizmu, hogy c = c ϕ, akkor c-t é c-t ekvivalen görbéknek nevezzük, ϕ-t pedig paramétertranzformációnak. Ha ráadául t Ĩ-re ϕ t > 0 i teljeül, akkor irányítátartó vagy orientációtartó paramétertranzformációról bezélünk. Megjegyzé. Ha c é c ekvivalen parametrizált görbék, akkor im c = im c. 2. Tétel. A parametrizált görbék ekvivalenciája ekvivalenciareláció. 3. Tétel. Ekvivalen görbék ívhoza megegyezik. Bizonyítá: Az elő tétel jelöléeivel. Legyen ϕ: [a, b] [ϕa, ϕb] zigorúan monoton növekedő. Ekkor b a c τ dτ = b a c ϕτ ϕ τ dτ = a változó helyetteítéére vonatkozó tétel zerint. b a c ϕτ ϕ τ dτ = ϕb ϕa c µ dµ 4. Tétel. Minden parametrizált görbe ekvivalen egy termézete paraméterezéű görbével. Azaz az ívhoz mindig bevezethető paraméternek. Bizonyítá: Legyen c: [a, b] R n parametrizált görbe, σ : [a, b] R, σt = t a vτ dτ az ívhozfüggvény. σ t = vt > 0, tehát a σ függvény zigorúan monoton növekedő, azaz invertálható, tehát diffeomorfizmu. Az inverze: σ : [0, Λc] [a, b]. Legyen c = c σ : [0, Λc] R n. Számítuk ki c pályaebeég-függvényét, azaz a ṽt = c σ t = c σ t σ t = σ t c σ t = σ t vσ t függvényt. Alkalmazva az inverz függvény differenciálááról tanultakat: ṽt = σ σ t vσ t = vσ t vσ t =. Ezen ekvivalenciareláció ekvivalenciaoztályait i görbéknek pontoabban nem parametrizált görbéknek zoká nevezni. 5
Példa. Az ívhoz bevezetée paraméternek hengere cavarvonalon. Legyen Az ívhoz függvény: c: [0, 2π] R 3, t ct = R co t, R in t, a t, R, a > 0. t σt = Az ívhozfüggvény inverze: t 0 σ : [0, 2π] R, R2 + a 2 dτ = R 2 + a 2 [ τ ] t 0 = R 2 + a 2 t. σ [0, 2π R 2 + a 2 ] [0, 2π], R2 + a 2. A tétel bizonyítáa zerint a c = c σ függvény lez a probléma megoldáa, tehát: c = R co c: [0, 2π R 2 + a 2 ] R 3, R2 + a 2, R in R2 + a 2, a Ellenőrizzük, hogy a pályaebeégfüggvény tényleg a kontan függvény! Példa. Vezeük be az ívhozat paraméternek a körön!. R2 + a 2 3. Síkgörbék Frenet apparátua 5. Tétel. Legyen c: I R 2 parametrizált íkgörbe. Ekkor egyértelműen léteznek olyan differenciálható leképezéek, hogy t I-re: T, N : I R 2 i T t, Nt pozitív ortonormált bázi R 2 -ben; ii Lc t = L T t ; iii T t a c t-nek pozitív kalárzoroa. Bizonyítá: Legyen T t = c t/vt. Ekkor T t nyilván egyégvektor, továbbá az iii, így az ii feltétel i teljeül. Legyen J : R 2 R 2, x, y y, x, az R 2 pozitív irányú π/2 mértékű elforgatáa. J lineári tranzformáció, tehát differenciálható. Legyen N = J T. N differenciálható, mert differenciálható leképezéek kompozíciója. Így i i teljeül. Az egyértelműég onnan következik, hogy T t-t ortonormált báziá pontoan kétféleképpen lehet kiegézíteni, nevezeteen ±π/2 zögű elforgatáokkal, a π/2 zögű elforgatá pedig negatív bázit ad. 6
y T t ct Nt x 3. ábra. A kíérő kettő-él. Definíció. Az előző tétel jelöléeivel. T -t érintő egyégvektormezőnek, T t-t érintő egyégvektornak, N-t normál egyégvektormezőnek, Nt-t a t paraméterértékű ponthoz tartozó normáli vektornak nevezzük. A T, N párt a görbe kíérő kettő-élének nevezzük. 6. Tétel. Legyen c: I R 2 parametrizált íkgörbe. Ekkor ω : I R differenciálható függvény, hogy T = ω N N = ω T. Bizonyítá: Írjuk fel T é N Fourier előállítáát minden pontban: T = T, T T + T, N N N = N, T T + N, N N. Deriválva a T, T = özefüggét: 2 T, T = 0; haonlóan 2 N, N = 0. Mot a T, N = 0 özefüggét deriválva: T, N + T, N = 0. Tehát ω = T, N = N, T adódik. Definíció. Legyen c: I R 2 parametrizált íkgörbe. A függvényt a c íkgörbe görbületének nevezzük. κ : I R, κ = T, N v 7
Következmény. Frenet formulák, vagy deriváció formulák T = κ v N N = κ v T. Speciálian, termézete paraméterezéű íkgörbékre: T = κ N N = κ T. Példa. A körvonal görbülete. Legyen c: [0, 2π] R 2, t ct = R co t, R in t. Ekkor: c t = R in t, co t, vt = R, T t = in t, co t, Nt = co t, in t, T t = co t, in t. Innen láthatjuk, hogy T = N, tehát az elő Frenet formula zerint c görbületi függvénye kontan, κ = /R. Megjegyezzük, hogy nemnulla kontan görbületű íkgörbe cak körvonal lehet kéőbb bizonyítjuk i. 7. Tétel. A görbület kizámítáa. A korábbi feltételek mellett. κ = c, N v 2. Bizonyítá: A görbületet definiáló formulát átalakítjuk a deriváció formula egítégével: Ez utóbbi ort N-el kalárian zorozva: c = v T c = v T + v T c = v T + κ v 2 N. c, N = κ v 2 adódik, mert T N. Innen leolvaható a bizonyítandó formula. Példa. Tekintük a c: [0, 2π] R 2, t t, in t zinuzgörbét. Számítuk ki a görbületi függvényét! Az előbbiek alapján: azaz c: t t, in t, c : t, co t, vt = + co 2 t, T = c : t 0, in t; κt = c t, Nt v 2 t = in t v 3 8 v, co t, N = J T = co t v v, v in t = + co 2 t. 3/2
8. Tétel. Legyen c: I R 2 parametrizált íkgörbe, melynek görbületi függvénye κ. Legyen továbbá ϕ: Ĩ I paramétetranzformáció, c = c ϕ: Ĩ R2. c görbületi függvényét jelölje κ. Ekkor κ = gn ϕ κ ϕ. Tehát íkgörbe görbülete irányítátartó paramétertranzformációval zemben invarián. Bizonyítá: A görbület alábbi kifejezéét haználjuk: Tehát: Ezerint c = c ϕ κ = T, N v = c, N v 2 = c, J c v 3. c = c ϕ ϕ, J c = ϕ J c ϕ, ṽ = ϕ v ϕ c = c ϕ ϕ 2 + c ϕ ϕ. κ = ϕ 2 c ϕ + ϕ c ϕ, ϕ J c ϕ = mivel c ϕ J c ϕ ṽ 3 = ϕ 3 c ϕ, J c ϕ = ϕ 3 v ϕ = gn ϕ κ ϕ. 9. Tétel. Legyen c: I R 2 parametrizált íkgörbe, melynek görbületi függvénye κ. Legyen továbbá F : R 2 R 2 izometria, a catolt ortogonáli leképezée f τ R 2, továbbá c = F c: I R 2. c görbületi függvényét jelölje κ. Ekkor κ = det f κ. Tehát íkgörbe görbülete irányítátartó izometriával zemben invarián. Bizonyítá: Könnyen ellenőrizhető, hogy J f = det f f J. Továbbá a lánczabályt alkalmazva: c = F c c = F c c = f c, T = f c c = f c c = f c. ṽ, Ñ = J f c, ṽ A görbületet kizámítva, felhaználva, hogy f ortogonáli tranzformáció, tehát a normát é a kalári zorzatot megtartja: κ = c, J f c ṽ 3 = f c, det f f J c f c 3 = det f c, J c c 3 = det f κ. 0. Tétel. Legyen c: [a, b] R 2 termézete paraméterezéű parametrizált íkgörbe. Ha valamilyen [a, b]-re c 0, akkor -nek van olyan I [a, b] környezete, hogy, 2, 3 I-re c, c 2, c 3 nem egy egyenere illezkednek. Ha i i =, 2, 3, akkor a c i pontokra illezkedő kör tart egy / c = / κ ugarú, c-re illezkedő körre. Ezt a kört a görbe c ponthoz tartozó imúlókörének nevezzük. Bizonyítá: Az előadávázlat jelenlegi változata nem tartalmazza. 9
4. A íkgörbe meghatározáa a görbületből Definíció. Legyen c: [a, b] R 2 parametrizált íkgörbe, az érintő-vektormező T : [a, b] R 2, továbbá µ: R R 2, t µt = co t, in t. Ekkor minden olyan θ : [a, b] R differenciálható függvényt, melyre T = µ θ, a chajlázögfüggvényének nevezzük.. Tétel. A definíció jelöléeivel. θ = κ v, ahol v a pályaebeég. Bizonyítá: T = µ θ = θ µ θ = θ J µ θ = θ N. A Frenet formulák alapján: T = κ v N, ahonnan az állítá leolvaható. 2. Tétel. A görbeelmélet alaptétele íkban, létezé. Legyen κ : I R adott differenciálható függvény. Ekkor létezik olyan c: I R 2 termézete paraméterezéű parametrizált íkgörbe, mely görbületi függvénye éppen κ. Bizonyítá: A korábbi jelöléekkel, jelölje c a kereett görbét, θ a hajlázög-függvényt. A v = feltételezé mellett θ = κ, ahonnan θ = κ + θ 0. A c = µ θ differenciálegyenlet megoldáa c = x, y-re: x = co θ + x 0, y = in θ + y 0, ahol θ 0, x 0, y 0 tetzőlege kontanok. Egyzerű behelyetteítéel ellenőrizhetjük, hogy c termézete paraméterezéű é görbületi függvénye κ. 3. Tétel. Legyen a c íkgörbe görbületi függvénye κ. κ = 0 az eetleg elfajuló egyene zakazokat jellemzi. Bizonyítá: Az egyene zakaz lineári előállítáából látzik, hogy görbülete nulla. Megfordítva, mivel a görbület abzolút értéke paramétertranzformációval zemben invarián, ezért feltehetjük, hogy c termézete paraméterezéű. Alkalmazzuk az előző tételt! κ = 0 = θ = θ 0, ct = co θ 0 t + x 0, in θ 0 t + y 0, ahol θ 0, x 0, y 0 kontanok. Ez valóban egy egyene paramétere előállítáa. 4. Tétel. A kontan, nemnulla görbületű íkgörbék a körívek. Bizonyítá: Feltehetjük, hogy a c íkgörbe termézete paraméterezéű. Legyen κ = /R. Az integráció kontanokat az egyzerűég kedvéért mindenütt nullának válaztva θt = /R t, t t t t xt = co dt = R in ; yt = in dt = R co. R R R R 0
5. Tétel. A görbeelmélet alaptétele íkban, egyértelműég. Legyenek c, c 2 : [a, b] R 2 termézete paraméterezéű parametrizált íkgörbék, melyek görbületi függvényei megegyeznek. Ekkor létezik olyan F : R 2 R 2 irányítátartó izometria, hogy c 2 = F c. Bizonyítá: Jelölje T i, N i a c i görbe kíérő kettő-élét. Egyértelműen létezik olyan ϕ SO2 elforgatá, mely a T a, N a bázit a T 2 a, N 2 a báziba vizi. Jelölje τ : R 2 R 2 azt az eltolát, mely ϕc a-t c 2 a-ba vizi. Legyen F = τ ϕ. Belátjuk, hogy F c = c 2. Definiáljuk a következő differenciálható függvényt: d: [a, b] R, dt = T 2 t ϕt t 2 + N 2 t ϕn t 2. d-t deriválva é a Frenet-formulákat felhaználva: 2 d = T 2 ϕ T, T 2 ϕ T + N 2 ϕ N, N 2 ϕ N = = κn 2 κ ϕ N, T 2 ϕ T + κt 2 + κ ϕ T, N 2 ϕ N = = κ N 2, ϕ T κ ϕ N, T 2 + κ T 2, ϕ N + κ ϕ T, N 2 = 0. Ez azt jelenti, hogy d kontan. Mivel da = 0, ezért d = 0. Innen következik, hogy ϕ T = T 2, azaz F c c 2 = 0. F c c 2 tehát kontan. Mivel F c c 2 a = 0, ezért F c = c 2 5. Térgörbék Frenet apparátua Definíció. A c: I R 3 parametrizált térgörbét biregulárinak nevezzük, ha t I-re c t, c t lineárian független vektorok. Ekkor a ct+l c t, c t íkot kétdimenzió lineári okaágot a c görbe ct pontbeli imulóíkjának nevezzük. Emlékeztetünk arra a lineári algebrából, hogy két bázit akkor nevezünk azono irányítáúnak, ha a bázicere mátrixa pozitív determinánú. 6. Tétel. Legyen c: I R 3 parametrizált biregulári térgörbe. Ekkor egyértelműen léteznek olyan T, F, B : I R 3 differenciálható függvények, hogy t I-re: i T t, F t, Bt pozitív ortonormált bázi; ii L T t = L c t, L T t, F t = L c t, c t ; iii T t a ct pozitív kalárzoroa, T t, F t é c t, c t irányítáa megegyezik közö íkjukban.
Bizonyítá: T, F -et c, c -ből a Gram Schmidt eljáráal lehet megkontruálni: azaz T = c v, F = c, T T + c, F = F F. A kontrukció pontonként érvénye, a fenti tranzformáció formulák garantálják T, F a differenciálhatóágát. A jelöléeket egyzerűítve: T = a c a > 0, F = a 2 c + a 22 c a 22 > 0. A c, c T, F bázicere mátrixának determinána pozitív: a a det 2 = a 0 a a 22 > 0, 22 tehát a két bázi azono irányítáú. Végezetül legyen B = T F vektoriáli zorzat. Az egyértelműéget a Gram Schmidt eljárá garantálja. Az eljárá két vektor ortogonalizáláa eetén két ortonormált bázit adna, de az egyik nem azono irányítáú a c, c bázial. A megtalált két vektort pozitív báziá kiegézíteni egyértelműen lehet. Definíció. Az előző tétel jelöléeivel. T, F, B-t a c biregulári térgörbe érintő egyégvektormezőjének, főnormáli vektormezőjének, binormáli vektormezőjének nevezzük, együtteen a görbe kíérő háromélmezőjének. B z T y F x 4. ábra. A kíérő háromél. Az ábrán az adott pontbeli kíérő háromél vektorait a görbepontból, mint kezdőpontból kiindulva reprezentáltuk. 7. Tétel. Termézete paraméterezé eetén T = c v, B = c c c c, F = B T. F = c c. 2
Bizonyítá: Az elő három formula eetében nyilván elegendő cak a B-re vonatkozó állítát belátni. B é c c egyaránt merőlegeek a imulóíkra, cak azt kell bizonyítani, hogy egymá pozitív kalárzoroai. A Gram - Schmidt eljárá kontrukcióját haználva: B = T F = a c a 2 c + a 22 c = = a a 22 c c, é a a 22 > 0. A negyedik formulára áttérve, termézete paraméterezé eetén c, c =, amely relációt deriválva: c, c + c, c = 0 2 c, c = 0, azaz ívhozparaméterezé eetén c c, amiből következik az állítá. 8. Tétel. Deriváció formulák. T = ω F F = ω T + ω 2 B B = ω 2 F Bizonyítá: Írjuk fel T, F, B Fourier előállítáait a T, F, B báziban: T = T, T T + T, F F + T, B B, F = F, T T + F, F F + F, B B, B = B, T T + B, F F + B, B B. Legyen X é Y X a T, F, B bármelyike. Ekkor deriváláal adódik, hogy X, X = = X, X = 0, X, Y = 0 = X, Y + X, Y = 0. Márézt T Lc = T Lc, c = T, B = 0, B, T = 0. Tehát ω = T, F, ω 2 = F, B a kívánt formulákat adja. Definíció. A c: I R 3 biregulári térgörbe κ : I R görbületi- é τ : I R torziófüggvényét az alábbiak zerint definiáljuk: Következmény. Frenet formulák. κ = T, F v, τ = F, B. v T = κvf, F = κvt + τvb, B = τvf. 3
9. Tétel. Egy c: I R 3 biregulári parametrizált görbe akkor é caki akkor íkgörbe, ha torziófüggvénye zéru. Bizonyítá: A harmadik Frenet formula alapján τ = 0 ekvivalen azzal, hogy B kontan. Legyen f : I R, t ft = B 0, ct c 0, ahol B 0, c 0 valamely rögzített paraméterértékhez tartoznak. Mindkét oldal deriválva: f t = B 0, c t = Bt, c t = 0, tehát a görbe benne van a c 0 -hoz tartozó érintőíkban. 6. A görbület é a torzió tulajdonágai, a görbeelmélet alaptétele 20. Tétel. Parametrizált térgörbe görbületi függvénye mindig pozitív értékű. Bizonyítá: T, F -et a Gram - Schmidt eljáráal az alábbiak zerint kontruáltuk meg: Ennek alapján: T = a c é a > 0, = T = a c + a c ; F = a 2 c + a 22 c é a 22 > 0. c é F merőlegeégét kétzer i haználva. T, F = a c + a c, F = = a c, F = = a a 22 F a 2 c, F = = a a 22 > 0, 2. Tétel. Ha a c: I R 3 biregulári térgörbe termézete paraméterezéű, akkor a κ görbületi é τ torziófüggvényére: κ = c, τ = c, c, c κ 2. Bizonyítá: A termézete paraméterezé miatt: T = c. Az elő Frenet formula alapján: T = c = κf = c = κ F = κ hizen F = é κ > 0. A máik formulát zintén a Frenet formulákat haználva lehet ellenőrizni, ettől mot eltekintünk. 4
Példa. A hengere cavarvonal görbülete é torziója. Legyen a hengere cavarvonal paramétere előállítáa: c: [0, 2π] R 3, t ct = R co R2 + a, R in 2 R2 + a, a R, a > 0. 2 R2 + a 2 Mint korábban már láttuk, ekkor c termézete paraméterezéű. F = T = c = T = T T = B = T F = R in R2 + a 2 R co R 2 + a 2 κ = T R = R 2 + a. 2 co B = R2 + a 2, in a in R2 + a 2 a co R 2 + a 2 R2 + a 2, R co, R in R2 + a2 R2 + a, 0, 2, a co R2 + a2 R2 + a 2, a in R2 + a, a 2 R2 + a, 0 2 R2 + a, R, 2 R2 + a, 0. 2 A Frenet formulákból tudjuk, hogy ívhoz paraméterezé eetén B = τf, tehát az előbbi képletekből a torzió leolvaható: a τ = R 2 + a. 2 22. Tétel. A biregulári térgörbék görbülete izometriával é paramétertranzformációval zemben invarián. A biregulári térgörbék torziója irányítátartó izometriával é tetzőlege paramétertranzformációval zemben invarián, míg irányítáváltó izometriánál előjelet vált. Bizonyítá: Az alábbi könnyen ellenőrizhető kizámítái zabályokba behelyetteítve, a íkgörbéknél megimert módon: κ = c c c 3, τ = c, c, c c c 2. A görbület é torziófüggvény jelentőége, hogy paramétertranzformációtól é izometriától eltekintve egyértelműen meghatározzák a parametrizált térgörbét. 23. Tétel. A görbeelmélet alaptétele. Unicitá. Tegyük fel, hogy c, c 2 : I R 3 termézete paraméterezéű biregulári térgörbék, továbbá görbület é torziófüggvényük megegyezik. Ekkor létezik olyan ϕ: R 3 R 3 irányítátartó izometria, mely egyiket a máikba vizi, azaz c 2 = ϕ c. Egziztencia. Tetzőlegeen adott κ : [a, b] R pozitív, differenciálható é τ : [a, b] R differenciálható függvényekhez létezik olyan c: [a, b] R 3 termézete paraméterezéű biregulári térgörbe, melynek görbületi é torziófüggvénye éppen κ é τ. 5
Bizonyítá: Egziztencia. A bizonyítá technikailag özetett ld. előadá!, de az ötlete nagyon egyzerű: ha a görbület é a torzió imert, akkor a Frenet formulák a kíérő háromélre pontoabban a 9 komponenfüggvényre egy 9 egyenletből álló közönége differenciálegyenlet-rendzert alkotnak, amelyre alkalmazhatjuk az analíziből imert egziztencia é unicitátételt megfelelő kezdeti feltételek eetén. Miután T -t meghatároztuk, c = T egy újabb közönége differenciálegyenletrendzer c három komponenfüggvényére, mely integráláal megoldható. Az kell még ellenőrizni, hogy az így kapott görbe kielégíti az öze feltételt. Unicitá. Jelölje T, F, B ill. T 2, F 2, B 2 a megfelelő kíérő 3-éleket. A lineári kiterjezté tétele miatt létezik olyan ϕ LR 3 ; R 3 pozitív ortogonáli tranzformáció, hogy ϕt a = T 2 a, ϕf a = F 2 a, ϕb a = B 2 a. Létezik továbbá olyan ν : R 3 R 3 tranzláció, hogy νϕc a = c 2 a. Azt állítjuk, hogy Φ = ν ϕ a kereett izometria. Definiáljuk a d: I R függvényt a következőképpen: 2d = ϕ T T 2 2 + ϕ F F 2 2 + ϕ B B 2 2. Egyzerű, de kié hozadalma zámoláal a Frenet formulákat alkalmazva látható, hogy d = 0. Ez azt jelenti, hogy d kontan függvény, [a, b]-re d = da = 0. Innen az következik, hogy: ϕ T = T 2, ϕ F = F 2, ϕ B = B 2. Az elő relációt haználva: ϕ c = c 2 = Φ c = c 2, azaz a Φ c c 2 leképezé kontan: [a, b] : Φ c c 2 = Φ c c 2 0 = Φ c 0 c 2 0 = 0, amivel az állítát igazoltuk. 24. Tétel. A kontan görbületű é torziójú biregulári parametrizált térgörbék képhalmaza kör vagy hengere cavarvonal. Bizonyítá: Mivel a paramétrertranzformáció a képhalmazt nem változtatja meg, feltehető, hogy termézete paraméterezéű biregulári térgörbékről bezélünk. Legyen előzör a torziófüggvény zéru. κ = /R > 0. A c: I R 3, c = R co R, R in R, 0 parametrizált görbe görbülete /R, a görbe termézete paraméterzéű é im c körvonal. Ha valamely c: I R 3 zéru torziójú biregulári parametrizált görbe görbülete zintén /R, akkor ez a görbe már a görbeelmélet alaptétele zerint egybevágó c-vel. Azaz im c é im c egybevágó körvonalak. 6
Ha a torziófüggvény nem zéru felhaználva a hengere cavarvonal görbületére é torziójára korábban kapott eredményt, ugyanezt a gondolatmenetet alkalmazhatjuk, de mot c hengere cavarvonal lez. Tehát adott kontan görbülethez é kontan torzióhoz kontruálunk egy termézete parametrizáláú hengere cavarvonalat, melynek görbülete é torziója éppen ez a két zám azaz a megfelelő értékre beállítjuk a henger ugarát é az emelkedé ebeégét, minden má ugyanilyen görbületű é torziójú, termézete paraméterezéű biregulári parametrizált térgörbe ettől már cak izometriában különbözik. 0.2 0. 0.5 0.4 0.3 0.2 0. 0. 0.2 0.3 0.4 0.5 5. ábra. Tervezzünk görbét! Az ábrán egy olyan görbe látható, melyre előírtuk, hogy menjen át az origón, a görbülete az origótól mért ívhozal arányo legyen azaz annál jobban görbüljön, minél mezebb vagyunk az origótól, a torzió pedig kontan legyen. κt = 0 t, τ = 2. A görbét az előbb leírt eljárának megfelelően meghatároztuk. A zámítát numeriku módzerekkel a Maple program végezte. 7. Síkgörbék globáli kérdéei Az előadávázlat ezen réze még nem elérhető. 7