A ritmus foglm ritmus zonossági I Elméleti összefoglló H > 0 > 0 > 0 vlós számok és n tetszőleges vlós szám kkor 0 n n H > 0 > 0 > 0 vlós számok kkor H > kkor z f( ) kkor z f( ) függvén szigorún monoton növekvő míg h 0 < < függvén szigorún monoton sökkenő II Kidolgozott feldtok Számológép hsznált nélkül htározz meg z lái kifejezések értékét! ) ) 0 ) ( 0) ( lg ) d) 8 e) 8 f) 8
) 8 ) 8 0 lg0 lg lg ) ( 0) ( lg ) lg 0 lg 0 0 d) íg 8 8 8 ( ) 8 e) 8 8 0 f) 8 80 ) Fejezze ki értékét segítségével ) Fejezze ki lg értékét lg és segítségével ) Fejezze ki 0 8 értékét lg és lg segítségével ) íg ( ) 0 ) lg lg( 8) lg lg8 lg lg lg és lg 0 ) 0 értékét Íg lg lg lg ( ) ( ) 8 8 Htározzuk meg és 0 lg 0 ( ) eől
lg 0 ( ) ( ) és innen Ezekől ( ) 0 8 H ( n ) 0 n K kkor menni n értéke? K n ( n ) lg lg lg lg lg lg lg K lg n ( n ) lg( n ) (egszerűsítettünk számlálókn és nevezőken levő zonos ténezőkkel) és lg( n ) ( n ) 0 íg 0 n 0 n tehát n 0 lg lg Mutss meg hog z követő elemei számok eg számtni sorozt egmást Elég zt igzolni hog második tg két szomszédos tg számtni közepe: Tudjuk hog Menni értéke? H kkor
III Ajánlott feldtok Az milen értékeinél értelmezhető z f ( ) függvén? lglg ) f( ) ) f ( ) ) f( ) lg Menni z lái kifejezések értéke? (Számológép hsznált nélkül z zonosságok segítségével keresse meg válszt) ) ) lg lg lg ) d) 8 8 Számolj ki értékét! (Számológép hsznált nélkül z zonosságok segítségével keresse meg válszt) lg lg lg K lg lg összeg értéke? 8 Menni ( ) K? 00! 00! 00! 00! Rendezze ngság szerint növekvő sorrende következő számokt! (Számológép hsznált nélkül z zonosságok segítségével keresse meg válszt) A 00 8 o o o B C D lgsin 0 lg tn 0 lgsin 0 lg 8 Melik szám ngo? (Számológép hsznált nélkül z zonosságok segítségével keresse meg válszt) ) 08 vg ) 0 vg 0 ) vg d) vg e) lg vg lg f) 8 8 vg
8 Igzolj z zonosságot hol -től különöző pozi- tív számok! ( ) ( ) H ( ) ( ) ( ) 0 ( ) értéke? (hol pozitív számok) kkor menni 0 0 lg z 0 lg > 0 > 0 z > 0 0 0 z 0 Igzolj hog 0 lg z Mutss meg hog ( ) ( ) H kkor menni értéke? Menni ( ) ( ) értéke? lg lg lg Menni 0 értéke? (Számológép hsznált nélkül z zonosságok segítségével keresse meg válszt) lg lg Melik ngo: vg? (Számológép hsznált nélkül z zonosságok segítségével keresse meg válszt) Az egész számr < < Menni értéke? (Számológép hsznált nélkül z zonosságok segítségével keresse meg válszt) Az pozitív -től különöző számokr 0 Menni ( ) ( ) ( ) értéke? 8 Az és z -től különöző pozitív számokr és w> 0 számr w w 0 és z w Menni w értéke? Eg derékszögű háromszög két efogój és átfogój Igzolj hog 0 > 0 > 0 Igzolj hog lg ( lg lg) z
Az jánlott feldtok megoldási Az milen értékeinél értelmezhető z f ( ) függvén? lglg ) f( ) ) f ( ) ) f( ) lg )] 0[ ] 0 [ ; ) ] 0 [ ; ) ] [ ] [ Menni z lái kifejezések értéke? (Számológép hsznált nélkül z zonosságok segítségével keresse meg válszt) ) ) lg lg lg ) d) ) ; ) 8; ) lg ; d) 8 8 Számolj ki értékét! (Számológép hsznált nélkül z zonosságok segítségével keresse meg válszt) lg lg lg K lg lg összeg értéke? 8 Menni ( ) Hozzunk mindenhol közös nevezőre és lklmzzuk zonosságot lg( ) lg lg K lg lg 8 00 lg K lg00 8
K? 00! 00! 00! 00! Hsználjuk fel K 00! 00! 00! 00! 00! 00! 00! ( K00) 00! 00! 00 és zonosságokt! K 00! 00! 00 00 Rendezze ngság szerint növekvő sorrende következő számokt! (Számológép hsznált nélkül z zonosságok segítségével keresse meg válszt) A 8 o o o B C D lgsin 0 lg tn 0 lgsin 0 lg 8 D < C < B< A Mivel ( ) A B 8 8 8 C : : 8 D lg lg lg lg lg lg 0 Melik szám ngo? (Számológép hsznált nélkül z zonosságok segítségével keresse meg válszt) ) 08 vg ) 0 vg 0 ) vg d) vg e) lg vg lg f) 8 8 vg ) 08 ( ) > ( ) és < ezért 08> ) 0< < 0 ) > 8 >
d) > > íg > tehát > e) lg ( lg) > lg lg lg> lg f) Pozitív számok számtni és mértni közepei között fenn áll z d d egenlőtlenség hol z egenlőség sk kkor teljesül h számok egenlők lg lg lg8 lg 8 8 > lg lg lg lg8 8 Igzolj z lg lg lg8 lg lg lg lg lg8 zonosságot hol -től különöző pozi- tív számok! ( ) ( ) zz tehát ( ) ( ) vgis ( ) ( ) (hol pozitív számok) kkor menni H ( ) ( ) ( ) 0 ( ) értéke? 0 ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) innen ( ) 0 0 lg z 0 lg > 0 > 0 z > 0 0 0 z 0 Igzolj hog 0 lg z lg z ezért lg lg és lg lg lg z tehát lg lg lg lg lg zz 0 lg z lg z 8
Mutss meg hog ( ) ( ) és lg lg lg lg lg lg ( ) ( ) ( ) ( ) íg vlón H kkor menni értéke? H kkor és H kkor Szo- rozzuk össze és egenlőségeket: tehát Menni ( ) ( ) Legen értéke? Tudjuk hog Ekkor ( ) lg lg lg Menni 0 értéke? (Számológép hsznált nélkül z zonosságok segítségével keresse meg válszt) lg lg hiszen mindkét oldl ritmusát véve z lg lg lg lg zonos egenlőtlenséget kpjuk Belátjuk hog lg lg lg lg 0 (emitt lg lg 0 0 lesz) Felhsználv z első megállpítást egenlőségünk lg lg lg lg lg lg 0 és ez igz hiszen 0 ( 0) 0 lg lg lg Melik ngo: vg? (Számológép hsznált nélkül z zonosságok segítségével keresse meg válszt) Mindkettő értéke 0 lg lg lg lg Ugníg lg lg hiszen hiszen ( ) lg( ) ( ) ( lg) ( ) ( lg) lg lg lg lg zz lg mivel lg lg lg lg ugnis ( lg) ( lg) átrendezve ( lg) ( lg) ( lg) ( lg) egenlőséget kpjuk mert ezt
Az egész számr < < Menni értéke? (Számológép hsznált nélkül z zonosságok segítségével keresse meg válszt) Mivel ritmus lpj -nél kise pozitív szám függvén szigorún monoton sökkenő < < Az pozitív -től különöző számokr 0 Menni ( ) ( ) ( ) értéke? ekkor ( ) Ki kell számolnunk ( ) értékét ( ) ( ) íg válsz Mivel ( ) 8 Az és z -től különöző pozitív számokr és w> 0 számr w w 0 és z w Menni z w értéke? lpján: z w z z és z w w zz w w w w w z w zonosságok íg 0 z w Eg derékszögű háromszög két efogój és átfogój Igzolj hog A Mivel összeg z ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) zonossággl átlkítv: ( ) íg másképp írv: ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) Ezzel eláttuk hog A jo oldl 0
0 > 0 > 0 Igzolj hog lg ( lg lg) mitt zz ( ) illetve Vegük mindkét oldl ritmusát: lg lg zz lg ( lg lg) IV Ellenőrző feldtok Menni z lái kifejezések értéke? (Számológép hsznált nélkül z zonosságok segítségével keresse meg válszt) ) 0 ) ) e) f) g) i) j) k) d) h) l) ) Menni lg lg lg lg lg0 lg 0 lg lg0 lg00 összeg értéke? ) Menni ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) K 0 szorzt értéke? (Számológép hsznált nélkül z zonosságok segítségével keresse meg válszt) Menni z lái kifejezések értéke? (Számológép hsznált nélkül z zonosságok segítségével keresse meg válszt) ) 8 ) ) 0 lg d) 8 ) Legen 8 Fejezze ki segítségével értékét! ) Fejezze ki 0 8 értékét 0 és 0 segítségével! ) Fejezze ki értékét p segítségével! d) Fejezze ki értékét és segítségével!
H p kkor menni p p értéke? Igzolj hog > (Számológép hsznált nélkül z zo- nosságok segítségével igzolj z állítást) Az ellenőrző feldtok megoldási Menni z lái kifejezések értéke? (Számológép hsznált nélkül z zonosságok segítségével keresse meg válszt) ) 0 ) ) e) f) g) i) j) ) ) k) ) d) h) l) d) e) 0 f) g) h) i) j) k) l) ) Menni lg lg lg lg lg0 lg 0 lg lg0 lg00 összeg értéke? ) Menni ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) K 0 szorzt értéke? (Számológép hsznált nélkül z zonosságok segítségével keresse meg válszt) ) Vegük 00 osztópárjit és lklmzzuk zonosságot lg lg00 ( ) ( lg lg 0) ( lg lg ) ( lg lg 0) lg( 00) lg( 0) lg( ) lg( 0) lg0 lg00 lg00 lg00 lg00 lg0 lg0
) A zonosság lpján lg Íg kifejezést átlkítjuk: lg lg lg0 lg lg lg lg ( ) ( ) ( ) K( ) ( ) K 0 lg lg lg lg lg lg Hsználjuk n lg lg lg n zonosságot: lg lg lg Menni z lái kifejezések értéke? (Számológép hsznált nélkül z zonosságok segítségével keresse meg válszt) ) 8 ) ) 0 lg d) 8 lg lg lg lg 8 ) 8 tehát lg8 lg lg lg ) ; ) ; d) 0 ) Legen 8 Fejezze ki segítségével értékét! ) Fejezze ki 0 8 értékét 0 és 0 segítségével ) Fejezze ki értékét p segítségével d) Fejezze ki értékét és segítségével ) d) ; ) 8 ( ) 0 ; ) p ; p H p kkor menni p p értéke?
Igzolj hog > (Számológép hsznált nélkül z zo- nosságok segítségével igzolj z állítást) 0>