A Poincar e-csoport abr azol asai Gruber Tibor 2002

Átírás

1 A Poincaé-csopot ábázolásai Gube Tibo 2002

2 2

3 Tatalojegyzé 1 Bevezetés Féldiet szozato ábázolásai Speciális elativisztius téidőodell Cliffod-*-algebája Ábázoláso ipulzustében Az ábázolásoól általában Időszeű ieducibilis ábázoláso Fényszeű ieducibilis ábázoláso A foton ábázolás Ábázoláso téidőben Fouie-tanszfoáció Időszeű ieducibilis ábázoláso Fényszeű ieducibilis ábázoláso A foton ábázolás

4 4 TARTALOMJEGYZE K

5 Előszó A önyv a Poincaé-csopot fedőcsopotjána ieducibilis folytonos unité ábázolásaival foglalozi. Ezen ábázoláso szoos apcsolatban vanna a Poincaé csopot ieducibilis folytonos unité sugáábázolásaival elye fontosa a speciális elativisztius vantuechaniai szabad észecsé leíásánál. A Poincaé csopot izoof az úgynevezett vetoiális Poincaé-csopottal ely féldiet szozat alaú így anna fedőcsopotja is ilyen. Loálisan opat féldiet szozato ieducibilis folytonos unité ábázolásai egonstuálható a Macey-féle epezentációs tétel segítségével. Enne a tételne az eedeti alaja induált unité ábázoláso foájában ad lehetőséget teljes epezentánsendsze egonstuálásáa azonban egadható olyan altenatív foa ely szeint a féldiet szozathoz asszociált tanszfoációcsopot pályáin ételezett függvényeen adott ábázoláso foájában apun teljes epezentánsendszet. A Poincaé csopot fedőcsopotja esetén ezen pályá szeint osztályozható az ábázoláso az ún. időszeű ábázoláso egy töeggel és spinnel endelező szabad észecse a fényszeű ábázoláso özül bizonyosa pedig egy nulla töegű és spinnel endelező szabad észecse állapotaival hozható apcsolatba. Ezeet az ábázolásoat explicit ódon eg lehet adni. 5

6 6 TARTALOMJEGYZE K

7 1. Fejezet Bevezetés 1.1 Féldiet szozato ábázolásai Megjegyzés Legyen G loálisan opat csopot H G zát észcsopot U unité ábázolása H-na az F Hilbet-téen. Jelölje H U azon f:g F folytonos függvénye halazát elyee létezi K G opat halaz úgy hogy suppf K H és nden s G és t H esetén fst = teljesül. Eo H U CG F lineáis alté. 1/2 H t Ut 1 fs G t Legyen β G illetve β H baloldali Haa-été G illetve H felett. Eo f g H U esetén az f g F β G été fatoizálható β H szeint és f g F β G /β H opat tatójó été. A H U H U C f g f g F β G /β H 1 G/H leépezés salászozat elyet Macey-féle salászozatna hívun. s G esetén V U s : H U H U f f γ G s 1 izoetius leépezés és V U folytonos izoetius ábázolása G-ne a H U salászozatos téen enne teljessé tételét nevezzü a G csopot U által induált unité ábázolásána. Ez folytonos unité ábázolása a G csopotna. Megjegyzés Teintsü a G:=N τ H loálisan opat féldiet szozatot azaz legyene N és H loálisan opat csopoto ofizus úgy hogy az τ : H AutN h τ h N H N n h τ h n leépezés folytonos G szozásűvelete pedig n h n h nτ h n hh. 7

8 8 1. BEVEZETÉS Ee a szozásűvelete nézve és x N esetén n h 1 = τ 1 h n 1 h 1 n h 1 x e H n h = τ 1 h n 1 h 1 xn h = τ 1 h n 1 xn e H azaz az N-nel azonosítható N {e H } észhalaz noálosztó G-ben. A továbbiaban feltesszü hogy N outatív eo n h 1 x e H n h = τ 1 h x e H. Jelölje ˆN az N aateeine halazát iseetes hogy a pontonénti szozással és a opat onvegencia topológiájával ez szintén outatív loálisan opat csopot. χ ˆN esetén legyen eo ˆτ nh χ := ˆτ h χ := χ τ 1 h ˆN ˆτ : G Ho ˆN n h ˆτ nh folytonos topologius ábázolása G-ne az ˆN loálisan opat téen azaz a leépezés folytonos. Hasonlóan ˆτ : G ˆN ˆN n h χ ˆτ nh χ ˆτ : H Ho ˆN h ˆτ h folytonos topologius ábázolása H-na az ˆN loálisan opat téen. Legyen χ 0 ˆN és és H χ0 := {h H : ˆτ h χ 0 =χ 0 } G χ0 := {n h G : ˆτ nh χ 0 =χ 0 } a χ 0 H-beli illetve G-beli stabilizátoai. Eze zát észcsopotjai H-na illetve G-ne és G χ0 = N H χ0. Legyen U folytonos unité ábázolása a H χ0 loálisan opat csopona az F Hilbet-téen eo χ 0 U : G χ0 UF n h χ 0 n Uh folytonos unité ábázolása a G χ0 loálisan opat csopotna így teinthetjü a G csopot χ 0 U által induált unité ábázolását. Az ilyen alaú ábázoláso az alábbi tétel iatt ülönösen fontosa. 1. Állítás Macey-féle epezentációs tétel féldiet szozatoa induált unité ábázolásoal Legyen G:=N τ H loálisan opat féldiet szozat elyben N outatív és tegyü fel hogy N és H egszálálható bázisúa ˆN inden ˆτ-pályája loálisan opat és létezi ˆN-na olyan σ- opat észhalaza ely inden ˆτ-pályát pontosan egy pontban etsz. Eo a G inden V ieducibilis folytonos unité ábázolásához létezi χ 0 ˆN és a H χ0 stabilitás-csopotna U ieducibilis folytonos unité ábázolása az F Hilbettéen úgy hogy V evivalens a χ 0 U által induált unité ábázolással.

9 1.1. FÉLDIREKT SZORZATOK ÁBRÁZOLÁSAI 9 Bizonyítás Kistóf János: Az analízis eleei IV. XVII. fejezet 11. pont. Az induált unité ábázolásonál az ábázolási té és anna salászozata bonyolult az ábázoló opeátoo alaja egyszeű. A gyaolatban jobban használható egy olyan altenatív ala ahol ind az ábázolás tee ind anna salászozata egyszeűbb ezzel szeben az ábázoló opeátoo alaja bonyolultabb. Tehát célun az hogy felíju a χ 0 U által induált folytonos unité ábázolás ilyen a gyaolatban jól használható altenatív alaját. Ehhez Kistóf János: Az analízis eleei IV. cíű önyve XVII. fejezete A haonius analízis eleei és 11. pontjaina fogalait és jelöléseit fogju használni. A továbbiaban feltesszü hogy az N és a H loálisan opat csopoto egszálálható bázisúa így σ-opata és etizálhatóa. Legyen H χ 0 : H ˆN h ˆτ h χ 0 az obitális függyény enne étéészletét jelölje H χ 0 ezt a χ 0 H-szeinti pályájána nevezzü. Létezi egyetlen ṙ H χ 0 : H/H χ0 H χ 0 leépezés úgy hogy ṙχ H 0 π H/Hχ0 =χ H 0 és ezen leépezés folytonos bijeció. Ha H σ-opat és H χ 0 Baie-té ao ezen leépezés hoeoofizus. Hasonlóan ételezzü az χ G 0 G χ 0 és ṙχ G 0 objetuoat is. A χ 0 ele G és H szeinti pályái ˆN-ban egegyezne azaz H χ 0 = G χ 0. n h G esetén π G/Gχ0 n h = N π H/Hχ0 h és az A : H/H χ0 G/G χ0 Θ N Θ leépezés hoeoofizus a ét loálisan opat té özött. Legyen j H : H/H χ0 H a π H/Hχ0 anonius szüjeció jobbinveze eo j G : G/G χ0 G N Θ e N j H Θ jobbinveze a π G/Gχ0 anonius szüjecióna. Legyen továbbá C:=j H ṙ H χ 0 1 eo H χ 0 C = ṙ H χ 0 π H/Hχ0 j H ṙ H χ 0 1 = id H χ0 tehát C jobbinveze a H χ 0 obitális függvényne azaz χ H χ 0 esetén ˆτ Cχ χ 0 = χ. Továbbá C H χ 0 =j H π H/Hχ0 azaz h H esetén j H π H/Hχ0 h = Cˆτ h χ 0.

10 10 1. BEVEZETÉS Legyen β N illetve β H baloldali Haa-été N illetve H felett H a H oduláis függvénye és χ τ : H R + h od N τ h. Eo β G :=β N χ 1 τ β H baloldali Haa-été G felett és G :=1 N χ 1 τ H a oduláis függvénye G-ne. Hasonló ondható a H χ0 és G χ0 =N H χ0 loálisan opat csopotoa is övetezéséppen n h G χ0 esetén Gχ0 n h G n h = H χ0 h H h. Legyen ϱ H :H R + folytonos leépezés úgy hogy inden h H és h H χ0 esetén Eo a ϱ H hh = H χ0 h H h ϱ Hh. ϱ G : G R + n h ϱ H h folytonos leépezése inden n h G és n h G χ0 esetén teljesül. ϱ G n h n h = G χ0 n h G n h ϱ Gn h Legyen f H χ 0 U :=H χ 0 U. Eo az 1 n h ϱg n h χ 0 j U G π G/Gχ0 n h 1 n h fn h leépezés fatoizálható π G/Gχ0 szeint. Azonban j G π G/Gχ0 n h 1 n h = τ jh π H/H χ 0 h 1n j Hπ H/Hχ0 h 1 h övetezéséppen létezi egyetlen Ψ f :H χ 0 F leépezés úgy hogy inden n h G esetén 1 Ψ f ˆτ h χ 0 = h ˆτ hχ 0 n U Cˆτ h χ 0 1 h fn h. ϱh A B : H χ 0 U FH χ 0 F f Ψ f leépezés lineáis injeció étéészletét jelölje H χ 0 UCϱ H enne eleei azon Ψ:H χ 0 F függvénye elye opat tatójúa és a h U h 1 Cˆτ h χ 0 Ψˆτ h χ 0 leépezés folytonos. Ha C folytonos ao H χ 0 UCϱ H =KH χ 0 F. Ψ H χ 0 UCϱH és n h G esetén B 1 Ψn h = ϱ H h ˆτ h χ 0 n 1 U h 1 Cˆτ h χ 0 Ψˆτ h χ 0.

11 1.1. FÉLDIREKT SZORZATOK ÁBRÁZOLÁSAI 11 ve- Teintsü a G csopot χ 0 U által induált lineáis ábázolását a H χ 0 U totéen azaz n h G esetén legyen és legyen V χ 0 U n h : H χ 0 U H χ 0 U f f γ G n h 1 V χ 0 UCϱ H n h := BV χ 0 U n hb 1 eo V χ 0 UCϱ H lineáis ábázolása a G csopotna a H χ 0 UCϱ H vetotéen ely evivalens a V χ 0 U lineáis ábázolással a B lineáis bijeció összeapcsolja őet. Adju eg ezen ábázolás explicit alaját! Mivel Ψ H χ 0 UCϱH és n h G esetén V χ 0 U n hb 1 Ψ n h = B 1 Ψ γ G n h 1 n h = = B 1 Ψτ h 1n 1 n h 1 h = = ϱ H h 1 h ˆτ h 1 h χ 0 τ h 1n 1 n 1 U h 1 h 1 Cˆτ h 1 h χ 0 Ψˆτ h 1 h χ 0 = = ϱ H h 1 h ˆτ h χ 0 n 1 n U h 1 h 1 Cˆτ h 1 h χ 0 Ψˆτ h 1 h χ 0 övetezéséppen V χ 0 UCϱ H Ψ ˆτ h χ 0 = B V χ 0 U n hb Ψ 1 ˆτ h χ 0 = = 1 ϱh h ˆτ h χ 0 n U Cˆτ h χ 0 1 h ϱ H h 1 h ˆτ h χ 0 n 1 n U h 1 h 1 Cˆτ h 1 h χ 0 Ψˆτ h 1 h χ 0 = ϱ H h 1 h = ϱ H h ˆτ h χ 0 n U Cˆτ h χ 0 1 hcˆτ h 1 h χ 0 Ψˆτ h 1 h χ 0. Létezi egyetlen f : H H χ 0 R + leépezés úgy hogy inden h h H esetén fh ˆτ h χ 0 = ϱ Hhh ϱ H h belátható hogy ezen leépezés folytonos és n h G és χ H χ 0 esetén V χ 0 UCϱ H n hψ χ = = fh 1 χ χn U Cχ 1 hcˆτ h 1χ Ψˆτ h 1χ. Ez V χ 0 UCϱ H explicit alaja. Felhívju a figyelet hogy ebben ϱ H özvetlenül ne szeepel csa a belőle száazó f függvényen eesztül.

12 12 1. BEVEZETÉS Most olyan salászozatot ételezün H χ 0 UCϱ H felett elye nézve B izoetius bijeció a Macey-féle salászozattal ellátott H χ 0 U és H χ 0 UCϱ H özött. Tegyü fel hogy H χ 0 loálisan opat és H σ-opat eo ṙχ G 0 hoeoofizus G/G χ0 és H χ 0 özött. Ha f g H χ 0 U ao inden n h G esetén Ψ f Ψ g F ˆτ h χ 0 = 1 ϱ H h fn h gn h F azaz Ψ f Ψ g F χ G 0 = 1 f g ϱ F. G Legyen µ := ṙ G χ 0 ϱ G β G /β Gχ0 ez pozitív Radon-été a H χ 0 loálisan opat téen és ha ϕ KG [0 1] úgy hogy supp Ψ f Ψ g F [ϕ =1] ao így ϕ 1 f g ϱ F = ϕ Ψ f Ψ g F G χ G 0 = Ψf Ψ g F ṙχ G 0 µ Ψ f Ψ g F = ϱg β G /β Gχ0 Ψ f Ψ g F ṙχ G = 0 = ϱ G β G ϕ 1 f g ϱ F = β G ϕ f g F = f g F β G /β Gχ0 1 G ai éppen a Macey-féle salászoszata f-ne és g-ne. Tehát Φ Ψ µ Φ Ψ F a egfelelő tulajdonságú salászozat H χ 0 UCϱ H felett. Azonban a µ Radon-étéet egyszeűbb alaban is elő tudju állítani. Legyen ϕ KG C eo ϕ π G/Gχ0 n h = ϕn hn h dβ Gχ0 n h = = ϕnτ h n hh dβ N n χ 1 τ h dβ Hχ0 h = = ϕnn hh dβ N n χ 1 τ hh dβ Hχ0 h = = ϕn hh dβ N n χ 1 τ hh dβ Hχ0 h = = ϕn.dβ N n χ 1 τ πh/hχ h 0 n-től függetlenül azaz ϕ A = χ 1 τ ϕn.dβ N n

13 1.1. FÉLDIREKT SZORZATOK ÁBRÁZOLÁSAI 13 övetezéséppen Aϱ H β H /β Hχ0 ϕ = ϱ H β H /β Hχ0 ϕ A = = β H ϱ H χ 1 τ ϕn.dβ N n = = ϱ H h ϕn h dβ N n χ 1 τ h dβ H h = = ϱ G n h ϕn h dβ N n χ 1 τ h dβ H h = = ϱ G β G ϕ = ϱ G β G /β Gχ0 ϕ tehát így ϱ G β G /β Gχ0 = A ϱ H β H /β Hχ0 µ = ṙ G χ 0 A ϱ H β H /β Hχ0 = ṙ H χ 0 ϱh β H /β Hχ0. Legyen h H eo ˆτ h µ = ˆτ h ṙ H χ 0 ϱh β H /β Hχ0 = ṙ H χ 0 γ H/Hχ0 h ϱ H β H /β Hχ0 = = ṙ H χ 0 fh 1 ṙ H χ 0. ϱ H β H /β Hχ0 = fh 1. µ tehát µ ˆτ-váziinvaiáns Radon-été H χ 0 felett f ultipliátofüggvénnyel ez ugyanaz a ϱ H -ból száazó leépezés int a -gal jelölt foulában. Ha a C leépezés Boel-éhető ao Ψ H χ 0 UCϱ H esetén a h Ψˆτ h χ 0 leépezés Boel éhető. Ha H egszálálható bázisú ao ebből a Vaadaajan: Geoety of Quantu Theoy VIII.4. Theoe szeint övetezi hogy Ψ Boel-éhető eo H χ 0 UCϱ H L 2 F µ így a Hχ 0 UCϱ H salászozatos téhez asszociált Hilbet-té egadható L 2 F µ zát lineáis alteeént elye V χ 0 UCϱ H itejeszthető a G folytonos unité ábázolásává ely unité evivalens a G χ 0 U által induált folytonos unité ábázolásával. Ha C folytonos ao ezen alté egegyezi az L 2 F µ Hilbet-téel. Az eddig elondotta alapján loálisan opat féldiet szozatoa a Macey-féle epezentációs tétel olyan altenatív alaját fogalazhatju eg ely a gyaolatban soszo jobban alalazható int az induált unité ábázolásoal egfogalazott eedeti ala. 2. Állítás Macey-féle epezentációs tétel féldiet szozatoa altenatív ala Legyen G:=N τ H loálisan opat féldiet szozat elyben N outatív és tegyü fel hogy N és H egszálálható bázisúa ˆN inden ˆτ-pályája loálisan opat és létezi ˆN-na olyan σ-opat észhalaza ely inden ˆτ-pályát pontosan egy pontban etsz. Eo a G inden V ieducibilis folytonos unité ábázolásához létezi ω ˆN ˆτ-pálya

14 14 1. BEVEZETÉS χ 0 ω U ieducibilis folytonos unité ábázolása a H χ0 F Hilbet-téen stabilitás-csopotna az C:ω H Boel-éhető leépezés ely jobbinveze a h ˆτ h χ 0 függvényne f:h ω R + folytonos függvény µ nenulla pozitív Radon-été ω felett ely ˆτ-váziinvaiáns f ultipliátofüggvénnyel azaz inden h H esetén ˆτ h µ=fh 1. µ úgy hogy V evivalens a övetező folytonos izoetius ábázolás teljessé tételével: 1 Az ábázolás tee: jelölje H χ 0 UC azon Ψ:ω F opat tatójú függvénye halazát elyee h U h 1 Cˆτ h χ 0 Ψˆτ h χ 0 folytonos. 2 Az ábázolási té salászozata: Φ Ψ µ Φ Ψ F. 3 Az ábázolás opeátoa: n h G Ψ H χ 0 UC χ ω esetén V χ UCf 0 n hψ χ = = fh 1 χ χn U Cχ 1 hcˆτ h 1χ Ψˆτ h 1χ. Megjegyzés Ezzel egadtu a Macey-tétellel egonstuálható ábázoláso gyaolatban jól használható altenatív alaját. Ezen ábázoláso ˆτ-pályáon ételezett függvénye ˆτ-váziinvaiáns été szeinti L 2 -típusú salászozattal ellátott teén hatna. Kelleetlen azonban hogy a C leépezés az obitális függvény jobbinveze explicit ódon szeepel benne. Speciális eseteben egadható olyan evivalens ábázoláso elyeben egyáltalán ne szeepel a C függvény. Definíció Legyen U folytonos unité ábázolása a H χ0 stabilitás-csopotna az F Hilbet-téen. Azt ondju hogy az F U ˇF Ǔ négyese teljesül az EXT tulajdonság ha ˇF Hilbet-té úgy hogy F ˇF zát lineáis alté Ǔ : H GL ˇF folytonos lineáis ábázolás úgy hogy inden h H χ0 esetén Ǔh F =Uh. Azt ondju hogy az F U ˇF Ǔ négyese teljesül az EXT tulajdonság ha EXT teljesül és létezi α:h χ 0 R + loálisan µ-integálható leépezés úgy hogy inden χ H χ 0 és inden y F esetén y 2 F = αχ ǓCχy 2ˇF

15 1.1. FÉLDIREKT SZORZATOK ÁBRÁZOLÁSAI 15 Legyen ω:=h χ 0. Ha EXT teljesül ao Š : H χ 0 UC Fω ˇF Ψ ǓC. Ψ lineáis injeció étéészletét jelölje Ȟχ 0 UC enne eleei azon ˇΨ:ω ˇF opat tatójú függvénye elyee ǓC. 1 χ ˇΨ H UC 0 azaz 1 h U h 1 Cˆτ h χ 0 Ǔ Cˆτ h χ 0 ˇΨˆτh χ 0 folytonos és F -étéű egyszeűsítve h Ǔh 1 ˇΨˆτ h χ 0 folytonos és F -étéű a folytonosság azonban Ǔ folytonossága iatt azzal evivalens hogy h ˇΨˆτ h χ 0 folytonos ai az obitális függvény nyíltsága iatt pedig azzal evivalens hogy ˇΨ folytonos. Legyen n h G esetén ˇV χ 0 UCf n h := Š V χ 0 UCf n h Š 1 eo ˇV χ 0 UCf izoetius ábázolása a G csopotna a Ȟχ 0 UC salászozatos téen ely evivalens a V χ 0 UCf izoetius ábázolással explicit alaja önnyen iszáítható. Tehát ha az F U ˇF Ǔ négyese teljesül az EXT tulajdonság ao a övetező folytonos izoetius ábázolás evivalens a V χ 0 UCf folytonos izoetius ábázolással: 1 Az ábázolás tee: Ȟ χ 0 UC = { ˇΨ Kω ˇF : inden χ ω esetén ǓCχ 1 ˇΨχ F }. 2 Az ábázolási té salászozata: ˇΦ ˇΨ ǓC. 1 µ ˇΦ ǓC. 1 ˇΨ F. 3 Az ábázoló opeátoo: n h G ˇΨ Ȟχ 0 UC és χ ω esetén ˇV χ 0 UCf n h ˇΨ χ = fh 1 χ χn Ǔh ˇΨˆτ h 1χ. Az ábázoló opeátoo alaja valaivel egyszeűbb int a V χ 0 UCf esetén és ai ég fontosabb ne függ C-től. Ha EXT teljesül ao inden χ ω és inden x ǓCχ F esetén ǓCχ 1 x 2 F = αχ x 2ˇF ao a Ȟχ 0 UC té salászozatából száazó noa négyzete ˇΨ ǓC. 1 2 µ ˇΦ F = µ α ˇΦ 2 F = α µ ˇΦ 2 F övetezéséppen a ˇV χ 0 UCf övetezőéppen adható eg folytonos izoetius ábázolás teljessé tétele a

16 16 1. BEVEZETÉS 1 Az ábázolás tee: Ĥ χ 0 UC = {Ψ L 2ˇF α µ : RanǓC. 1 Ψ F }. 2 Az ábázolási té salászozata: Φ Ψ Φ Ψ ˇF dαµ. 3 Az ábázoló opeátoo: n h G Ψ Ĥχ 0 UC és χ ω esetén ˆV χ 0 UCf n hψ χ = fh 1 χ χn ǓhΨˆτ h 1χ. Itt az ábázoló té salászozata ne függ C-től és bizonyos eseteben az ábázolási té 1 foulájában szeeplő RanǓC. 1 Ψ F feltétel se. Eiatt ha teljesül EXT ao ezt az unité ábázolást fogju teintani. 1.2 Speciális elativisztius téidőodell Cliffod-*-algebája Megjegyzés Legyen Z étdienziós Hilbet-té C felett. Eo illetve HZ := {A LZ : A =A} P Z := {A HZ : TA=0} 3 illetve 4-dienziós R-lineáis altee LZ-ben úgy hogy HZ = R id Z +P Z. Nyilvánvaló hogy HZ HZ E E := E TE id Z lineáis bijeció úgy hogy inden E HZ esetén E =E. 3. Állítás A HZ HZ R E F E F := 1 2 TE F leépezés Loentz-foa leszűítése P Z P Z-e salászozat. Bizonyítás Nyilvánvaló hogy a fenti leépezés szietius és bilineáis. Ha E HZ átixa egy otonoált bázisban α z z β ao E E = αβ+ z 2 övetezéséppen E P Z azaz β= α esetén E E =α 2 + z 2 így P Z P Z R E F E F

17 1.2. CLIFFORD-*-ALGEBRÁK 17 pozitív definit. Nyilvánvaló továbbá hogy id Z id Z = 1 így iatt.. Loentz-féle. Megjegyzés E HZ esetén E E = dete. Megjegyzés Az egyszeűség edvéét bevezetjü az.. :=.. jelölést. Definíció Azt ondju hogy a P Z-beli S 1 S 2 S 3 otonoált bázis pozitívan iányított ha S 1 S 2 =i S 3 teljesül és eo az id Z S 1 S 2 S 3 HZ-beli otonoált bázist is pozitívan iányítottna nevezzü. Azt ondju hogy id Z HZ pozitív nyíliányítású. Ezeel a definícióal HZ R.. speciális elativisztius téidőodell. Megjegyzés Z=C 2 esetén az úgynevezett Pauli-átixo azaz σ 1 := σ 2 := 0 i i 0 σ 3 := pozitívan iányított otonoált bázist alotna P C 2 -ben Fodítva tetszőleges Z esetén ha S 1 S 2 S 3 pozitívan iányított otonoált bázis P Z-ben ao létezi olyan otonoált bázis Z-ben elyben S 1 S 2 S 3 átixai éppen a σ 1 σ 2 σ 3 Pauli-átixo. Ugyanis ha z 1 és z 2 egységvetoo Z-ben elye az S 3 +1 és 1 sajátétéhez tatozó sajátvetoai ao az S 1 S 3 = S 2 S 3 =0 feltételből övetezi hogy S 1 és S 2 z 1 z 2 bázisbeli átixána főátlójában 0 van az S 1 S 1 = S 2 S 1 =1 feltételből pedig az hogy a elléátlóbeli elee egységnyi abszolút étéűe. Ha ég az S 1 S 2 =is 3 feltételt is ihasználju ao apju hogy S 1 és S 2 átixai 0 λ λ 0 és 0 iλ iλ 0 alaúa valalyen λ T esetén. Ha α T olyan hogy α 2 =λ ao az αz 1 α z 2 bázisban S 1 és S 2 átixa σ 1 és σ Állítás E F HZ esetén E F + F E = 2 E F id Z. Bizonyítás Legyen α1 z E = 1 z1 β 1 α2 z és F = 2 z2 β 2 eo így és E F = α2 β 1 + z 1 z2 β 1 z 2 + β 2 z 1 α 2 z1 α 1 z2 α 1 β 2 + z1z 2 TE F = α 1 β 2 α 2 β 1 + z 1 z 2 + z 1z 2 E F + F E = TE F 0 0 TE = 2 E F id F Z.

18 18 1. BEVEZETÉS Követezény S T P Z esetén ST + T S = 2 S T id Z azaz az i:hz LZ anonius beágyazás Cliffod-függvény. Megjegyzés Ha S 1 S 2 S 3 pozitívan iányított otonoált bázis P Z-ben ao az S 1 S 2 = i S 3 egyenletet jobból S 3 -al balól S 1 -gyel szoozva apju: S 2 S 3 = i S 1 hasonlóan Követezéséppen az S 3 S 1 = i S 2. id Z S i i=1 2 3 S i S j S 1 S 2 S 3 endsze valós bázis LZ-ben. i j=1 2 3 ; i<j 5. Állítás A P Z R.. eulidészi té Cliffod-algebája LZ i. Bizonyítás Legyen C valós egységelees algeba h:p Z C Cliffod-függvény és h az egyetlen LZ C valós lineáis leépezés elye hid Z := 1 hs i := hs i i=1 2 3 hs i S j := hs i hs j hs 1 S 2 S 3 := hs 1 hs 2 hs 3 i j=1 2 3 ; i<j teljesül. Eo az előzőe szeint h jól ételezett egységeletató valós algeba-ofizus úgy hogy h=h i. Megjegyzés A Z Z Z Z C x y u v x y u v := x v y u leépezés neelfajult Heite-foa de ne salászozat. L LZ Z esetén jelölje L az L.. -adjungáltját. Ha a szoásos ódon az L LZ Z eleet az α β L = γ δ alaba íju ao L δ β =. γ α

19 1.2. CLIFFORD-*-ALGEBRÁK Állítás A 0 E j : HZ LZ Z E E E leépezés.. -önadjungált Cliffod függvény a HZ R.. pszeudoeulidészi té felett. Bizonyítás Az előző egjegyzés szeint E HZ esetén je =je. Legyen E F HZ eo E jejf = F 0 0 EF övetezéséppen jejf + jf je = E = F F E 0 0 EF F E = 2 E F idz 0 = 0 2 E F id Z Azonban E F = 1 2 TEF = 1 2 TF E = F E = E F így jejf + jf je = 2 E F id Z Z. Megjegyzés Legyen S 1 S 2 S 3 pozitívan iányított otonoált bázis P Z- ben és legyen S 0 := id Z. Eo 0 idz js 0 = id Z 0 0 S1 js 1 = S S2 js 2 = S S3 js 3 = S 3 0 és ebből egyszeű száolással belátható hogy az id Z Z js i i= js i js j js i js j js js 0 js 1 js 2 js 3 endsze oplex bázis LZ Z-ben. i j= ; i<j i j = ; i<j<

20 20 1. BEVEZETÉS Megjegyzés Z=C 2 esetén legyen σ 1 σ 2 σ 3 a háo Pauli átix és 1 0 σ 0 :=. 0 1 Eo a 0 σ0 γ 0 := jσ 0 = σ σ γ := jσ = σ 0 =1 2 3 átixoat Diac-átixona nevezzü. 7. Állítás A HZ R.. pszeudoeulidészi té Cliffod-*-algebája LZ Z j. Bizonyítás Legyen C egységelees *-algeba h:hz C önadjungált Cliffod-függvény és h az egyetlen LZ Z C oplex lineáis leépezés elye hid Z Z := 1 hjs i := hs i i= hjs i js j := hs i hs j hjs i js j js := hs i hs j hs hjs 0 js 1 js 2 js 3 := hs 0 hs 1 hs 2 hs 3 i j= ; i<j i j = ; i<j< teljesül. Eo az előzőe szeint h jól ételezett egységeletató *-algebaofizus úgy hogy h=h j. Követezény Legyen M I g adott speciális elativisztius téidőodell Z étdienziós Hilbet-té C felett és : M I HZ iányítás és nyíliányítástató otogonális bijeció γ:=j. Cliffod-*-algebája LZ Z γ. Eo M I g Megjegyzés Legyen V vetoté A LV olyan hogy A 2 =α id V ahol α>0. Eo A-na ét sajátétée van éspedig α és α és V előáll a ét sajátalté diet összegeént. Ugyanis x V esetén x = 1 2 α α id V Ax α α id V +Ax és az összeg első tagja α a ásodi α sajátétéhez tatozó sajátveto. Megjegyzés Legyen E HZ olyan hogy E E <0. Eo je 2 = E E id Z Z iatt az előzőe szeint Z Z előáll az N ± E := Ke je E E id Z Z

21 1.2. CLIFFORD-*-ALGEBRÁK 21 sajátaltee diet összegeént. Ezen altee lineáisa izoofa egyással ugyanis ha 0 F HZ olyan hogy E F =0 ao a jf je ± E E id Z Z + je E E id Z Z jf = 0 összefüggés szeint jf N+ E lineáis bijeció N + E és N E özött. Követezéséppen N + E és N E étdienziós lineáis alteei Z Z-ne. 8. Állítás Legyen E HZ olyan hogy E E <0 és a N ± E. Eo Bizonyítás A id Z E a a = ± E E a a. jejid Z a + jid Z jea = 2 id Z E a azonosságot balól a-val szoozva a.. szeint apju ±2 E E a jid Z a = 2 id Z E a a és a jid Z a = a jid Z jid Z a = a a. Követezény Legyen E HZ olyan hogy E E <0. Eo a.. Heite-foa leszűítése N ± E N ± E-a definit és pontosan ao pozitív definit ha E ±-nyilú. Bizonyítás Az előzőe szeint a N + E esetén E E a a = ± id Z E a 2. Továbbá E pontosan ao pozitív nyilú ha E id Z >0.

22 22 1. BEVEZETE S

23 2. Fejezet Ábázoláso ipulzustében 2.1 Az ábázolásoól általában Megjegyzés Legyen M I g speciális elativisztius téidőodell és jelölje L enne otogonális csopotját az úgynevezett Loentz-csopotot L + pedig enne iányítás és nyíliányítástató eleeiből álló észcsopotját az úgynevezett valódi Loentz-csopotot. Legyen a Poincaé-csopot és a valódi Poincaé-csopot. Hasonlóan legyen a vetoiális Poincaé-csopot és P := {F :M M affin DF L} P + := {F :M M affin DF L + } P v := M L P + v := M L + a valódi vetoiális Poincaé-csopot. Ha az a A P v eleet azonosítju az M M x a + Ax affin leépezéssel ao a P v féldiet szozat szozásűvelete ely a opozícióval azonosul: a A a A := a + Aa AA. Megjegyzés Legyen Z étdienziós Hilbet-té C felett. A LZ esetén  : HZ HZ X AXA 23

24 24 2. ÁBRÁZOLÁSOK IMPULZUSTÉRBEN lineneáis leépezés; ha M I g speciális elativisztius téidőodell és : M I HZ iányítás és nyíliányítástató otogonális bijeció ao δ A := 1 Â I LM. Egyszeű száolással ellenőizhető hogy δ A pontosan ao Loentz-tanszfoáció ha deta =1 ezét bevezetjü az és SLZ := {A LZ : deta=1} SUZ := {A SLZ : AA = id Z } jelöléseet. SLZ a opozícióval és az LZ-től ööölt észsoaság stutúával 3-dienziós oplex 6-dienziós valós Lie-csopot ely összefüggő egyszeesen összefüggő és félegyszeű. A SLZ esetén δ A L + és a δ : SLZ L + leépezés szüjetív valós-analitius csopot-ofizus agja {id Z id Z } és az SLZ δ pá az L + egy fedőcsopotja. csopot-ofizus úgy hogy az δ : SLZ GLM SLZ M M A x δ Ax leépezés analitius ezét épezhető az M δ SLZ Lie-féldiet szozat. Ez 10-dienziós valós Lie-csopot összefüggő és egyszeesen összefüggő csopotűvelete Továbbá x A x A := x + δ Ax AA. id M δ : M δ SLZ P + v szüjetív valós analitius csopot-ofizus agja és M δ SLZ id M δ a P + v {0 id Z 0 id Z } egy fedőcsopotja. x A x δ A Megjegyzés A továbbiaban az 1.1. ész eedényeit fogju alalazni az M δ SLZ loálisan opat féldiet szozata.

25 2.1. AZ ÁBRÁZOLÁSOKRÓL ÁLTALÁBAN 25 Az M ˆM χ := e i. leépezés izoofizus a ét topologius csopot özött ha ezt azonosításna teintjü ao az M δ SLZ csopot ˆδ ábázolása az M loálisan opat csopoton a övetezőéppen adható eg: ha jelöli a g-adjungáltat M felett ao ihasználva hogy A SLZ esetén δ A Loentz-tanszfoáció azaz δ A 1 =δ A M és A SLZ esetén ˆδ A = δ A 1 = δ A 1 = = δ A 1 I I = δ A I I = 1 I A I A tehát ˆδ A = δ A 1 = δ A I I. Édees ég egelíteni hogy ˆδ A 1 = δ A. M SLZ-beli stabilizátoa SLZ = {A SLZ : ˆδ A=} = {A SLZ : A I A = I }. ω M ˆδ -pálya és 0 ω esetén a C : ω SLZ leépezés pontosan ao jobbinveze az A ˆδ A 0 függvényne ha inden ω esetén teljesül. C I 0 C = I 9. Állítás Az SLZ M ˆδ tanszfoációcsopot pályái: I + esetén V ± := { M : g = 2 és pozitív/negatív nyílú} V 0 ± := { M : g =0 és pozitív/negatív nyílú} V i := { M : g = 2 } V 0 := {0}. Megjegyzés A fenti halazo indegyie loálisan opat észhalaza M - na. Megjegyzés I + esetén V ± V 0 ± és V i 3-dienziós észsoaságo M -ban V ± és V i g -pszeudoeulidészie sőt V ± g -eulidészi. Legyen c V 1 esetén eo h c : M E c c c h c V ± : V ± E c diffeoofizus inveze p ± p c + p

26 26 2. ÁBRÁZOLÁSOK IMPULZUSTÉRBEN h c V 0 ± : V 0 ± E c\{0} diffeoofizus inveze p ± p c + p h c V i : V i {p E c : p } sia szüjeció sia jobbinvezei p ± p 2 2 c + p Megjegyzés Legyen I +. Jelölje µ ± a V ± eulidészi ésszsoaság anonius étéét ez I 3 - étéű pozitív Radon-été ely ˆδ -invaiáns. c V 1 esetén jelölje λ c az E c I g eulidészi té anonius étéét eo h c V ±µ ± = λ c. Belátható hogy létezi egyetlen µ ± 0 I 2 -étéű pozitív Radon-été V 0 ± felett úgy hogy inden c V 1 esetén h c V 0 ±µ ± 0 = 1. λ c teljesül. Ezen été szintén ˆδ -invaiáns. V i felett szintén lehet ˆδ -invaiáns I 3 -étéű pozitív Radon-étéet egadni. V 0 felett δ 0 ˆδ -invaiáns pozitív Radon-été. Megjegyzés Tudju hogy a GLZ unioduláis loálisan opat csopot és ivel SLZ zát noálosztó benne szintén unioduláis loálisan opat csopot. Mivel az SLZ M ˆδ tanszfoációcsopot valaennyi pályáján létezi nenulla ˆδ -invaiáns été így tetszőleges M esetén az SLZ zát észcsopot unioduláis. Az M δ SLZ féldiet szozat indét tényezője egszálálható bázisú loálisan opat csopot elyben az SLZ M ˆδ tanszfoációcsopot inden pályája loálisan opat és nyilválvaló hogy létezi olyan σ-opat észhalaza M -na ely inden pályát pontosan egy pontban etsz. Így a Macey-féle epezentáziós tétel féldiet szozatoa vonatozó altenatív alaja 2. Állítás alalazható. 10. Állítás Macey-féle epezentációs tétel az M δ SLZ féldiet szozata Az M δ SLZ loálisan opat csopot inden V ieducibilis folytonos unité ábázolásához létezi ω M ˆδ -pálya 0 ω U ieducibilis folytonos unité ábázolása a SZ 0 az F Hilbet-téen stabilitás-csopotna

27 2.2. IDŐSZERŰ IRREDUCIBILIS ÁBRÁZOLÁSOK 27 C : ω SLZ Boel-éhető leépezés ely jobbinveze az A ˆδ A 0 függvényne µ nenulla pozitív ˆδ -invaiáns Radon-été ω felett úgy hogy V evivalens a övetező folytonos izoetius ábázolás teljessé tételével: 1 Az ábázoás tee: jelölje H 0UC azon Ψ:ω F opat tatójú függvénye halazát elyee A U A 1 Cˆδ A 0 Ψˆδ A 0 folytonos. 2 Az ábázolási té salászozata: Φ Ψ µ Φ Ψ F. 3 Az ábázoló opeátoo: x A M δ SLZ Ψ H 0UC ω esetén V 0 UC x AΨ = χ x U C 1 ACδ A Ψδ A. Megjegyzés Mivel M eleei a négyesipulzuso az M δ SLZ loálisan opat féldiet szozatna a Macey-féle epezentációs tétel szeint egonstuált ábázolásait négyesipulzustébeli ábázolásona nevezzü és őet az SLZ M ˆδ tanszfoációcsopot pályái szeint a övetezőéppen osztályozzu: V ± : -töegű pozitív/negatív időszeű ábázoláso V 0 ± : pozitív/negatív fényszeű ábázoláso V i : i-töegű tészeű ábázoláso V 0 : nullábázoláso. A továbbiaban az időszeű és fényszeű ábázolásoal foglalozun. Ebben a ét esetben onétan eg tudju adni a stabilizátoo ábázolásait és a C eesztetszet-függvényeet eellett egadun olyan Hilbet-teeet és az SLZ csopot olyan folytonos lineáis ábázolásait hogy teljesülne az EXT és EXT feltétele és az így apott ábázoláso Hilbet-tee anna salászozata és az ábázoló opeátoo alaja független a eeszetszet- függvénytől. 2.2 Időszeű ieducibilis ábázoláso Megjegyzés Előszö az -töegű pozitív/negatív időszeű ábázolásoat vizsgálju. I + esetén legyen µ ± a V ± anonius étée osztva 3 -nal. Ez pozitív ˆδ -invaiáns Radon-été V ± felett.

28 28 2. ÁBRÁZOLÁSOK IMPULZUSTÉRBEN Megjegyzés Ha I + és c := 1 id z V 1 ao ± c V ± és SLZ ± c = {A SLZ : AA = id Z } = SUZ. SUZ opat észcsopotja SLZ-na és 3-dienziós valós Lie-csopot. σ 1 2 N esetén Zσ := 2σ Z 2σ+1-dienziós oplex Hilbet-té legyen B σ : SLZ LZ σ A 2σ A eo {B σ SUZ : σ 1 2N} az SUZ csopot ieducibilis folytonos unité ábázolásaina egy teljes epezentánsendszee. 11. Állítás folytonos jobbinveze az függvényne. Bizonyítás C : V ± SLZ c A ˆδ A± c id Z ± det id Z ± = det c ± = c ± c ± = = c ± c ± = 2 2 c öveezéséppen det C=1 azaz C SLZ. Továbbá E HZ esetén iatt azaz öveezéséppen így így CC = c E TE id Z E=E E= E E id Z E 2 TE E E E id Z = 0 E 2 = E E id Z 2 id Z E E 2 = idz 2 c id Z ±2 + 2 = = c ±2 2 c = ± C ±c C =

29 2.2. IDŐSZERŰ IRREDUCIBILIS ÁBRÁZOLÁSOK 29 tehát C jobbinveze az A ˆδ A± c leépezésne. Megjegyzés Legyen 0 E j : HZ LZ Z E E E és γ:=j. Tudju hogy u M/I u u <0 esetén γu sajátétéei ± u u a egfelelő sajátaltee N ± u:=n ± u 2-dienziós iegészítő altee a Z Z vetotében. Speciálisan γc =jid Z sajátétéei ±1 és N ± c = {x ±x : x Z}. Tehát N:=N + c 2-dienziós alté Z Z-ben és U : Z N x 1 2 x x unité leépezés. A SLZ esetén legyen A 1 0 DA := 0 A eo D lineáis ábázolása SLZ-ne a Z Z vetotéen úgy hogy inden A SUZ esetén N invaiáns altee DA-na és tehát DA N = U B 1/2 A U 1 SUZ UN A DA N unité ábázolása SUZ-ne ely U által evivalens B 1/2 SUZ -vel. Megjegyzés Legyen E HZ és A SLZ. Eo AEA = A 1 E A 1. Ugyanis EE = E E id Z iatt az AEA AEA = E E id Z egyenlőséget jobból szoozva az A 1 E A 1 opeátoal apju hogy E E AEA = E E A 1 E A 1. Ebből E E 0 esetén övetezi a ívánt egyenlőség azonban indét oldala lineáis E-ben és egegyezi az E E 0 halazon övetezéséppen inden E HZ esetén fennáll. Megjegyzés A 11. Állításban bevezetett C:V ± SLZ függvénye tetszőleges V ± esetén C ±c C =

30 30 2. ÁBRÁZOLÁSOK IMPULZUSTÉRBEN teljesül így az előző egjegyzés szeint C 1 C ±c 1 = övetezéséppen DCγ±c DC 1 = C ±c = C 0 0 C ±c 0 0 C 1 = 0 C = 1 ±c C 1 C±c C = 0 = 0 = γ 0 tehát DCγ±c DC 1 = γ így w Z Z esetén DC 1 w N azaz γ±c DC 1 w = DC 1 w evivalens azzal hogy w N ± azaz γ w = ±w. Tetszőleges A SLZ esetén DA =DA 1 azaz DA.. -unité tehát w Z Z esetén a 8. Állítás szeint DC 1 w 2 = DC 1 w DC 1 w = = w w = ± c w 2. Megjegyzés σ 1 2N esetén legyen 2σ Z Z σ := Z Z ha σ 0 Z Z Z Z ha σ=0. Z Z σ σ 0 esetén 2σ+3 3 -dienziós σ=0 esetén 6-dienziós oplex Hilbet té. Hasonlóan V ± esetén 2σ σ N± N ± := N ± N ± ha σ 0 ha σ=0. 2σ+1-dienziós alté Z Z σ -ban. Speciálisan N σ :=N + c σ is 2σ+1-dienziós alté Z Z σ -ban.

31 2.2. IDŐSZERŰ IRREDUCIBILIS ÁBRÁZOLÁSOK 31 2σ D σ : SLZ LZ Z σ A DA ha σ 0 DA DA ha σ=0 lineáis ábázolás és B σ : SUZ UN σ A D σ A N σ unité ábázolása SUZ-ne ely σ 0 esetén 2σ U σ=0 esetén U U által evivalens B σ SUZ -vel. Az N σ B σ Z Z σ D σ négyese teljesül az EXT tulajdonság. Ez σ 0 esetén övetezi az előzőeből σ=0 esetén pedig B 0 = id N 0 és A SUZ esetén A N unité leépezés övetezéséppen deta N T és SUZ UN 0 A D 0 A N 0 = DA DA N 0 = deta N id N 0 1-dienziós ábázolás azonban SUZ-ne nincs ne-tiviális 1-dienziós unité ábázolása így D 0 A N 0= id N 0 =B 0 A inden A SUZ esetén. Legyen σ 0 ν=1... 2σ és u M/I esetén legyen γu ν := 1 id Z Z... id Z Z eo inden ν=1... 2σ esetén ν γu id Z Z... ν D σ Cγ±c ν D σ C 1 = γ 2σ id Z Z Z Z σ σ így w Z Z σ esetén D σ C 1 w N σ evivalens azzal hogy w N ± azaz inden ν=1... 2σ esetén νw γ = ±w. Legyen σ=0 eo ν=1 2 és u M/I esetén legyen eo ν=1 2 esetén γu 1 := γu id Z Z és γu 2 := id Z Z γu ν D 0 Cγ±c ν D 0 C 1 = γ 0 így w Z Z 0 esetén D 0 C 1 w N 0 evivalens azzal hogy w N ± azaz ν=1 2 esetén νw γ = ±w. Legyen α : V ± ]0 1] ±c

32 32 2. ÁBRÁZOLÁSOK IMPULZUSTÉRBEN és σ 1 2 N esetén α σ := { α 2σ ha σ 0 α 2 ha σ=0 eo a egyenlőség szeint w Z Z σ esetén D σ C 1 w 2 = α σ w 2 azaz teljesül az EXT feltétel az α σ leépezéssel. Megjegyzés Tehát I + és σ 1 2 N esetén teinthetjü az M δ SLZ övetező ieducibilis folytonos unité ábázolását: 1 Az ábázolás tee: { Ĥ ±σc = Ψ L 2 Z Z σ ασ µ ± : inden V ± esetén Ψ N ± σ } σ a Ψ N ± feltétel evivalens azzal hogy inden ν=1... 2σ esetén νψ γ = ±Ψ. 2 Az ábázolási té salászozata: Φ Ψ Φ Ψ dµ ± = α σ Φ Ψ dµ ± 3 Az ábázoló opeátoo: x A M δ SLZ Ψ Ĥ±σC és V ± esetén ˆV ±σc x AΨ = χ x D σ AΨδ A. Mindháo független C-től így a továbbiaban az ábázolás teée és az ábázoló opeátooa egyszeűen a Ĥ±σ és ˆV ±σ jelölést használju. -et az ábázolás töegéne σ-t az ábázolás spinjéne nevezzü. Megjegyzés Az időszeű ieducibilis ábázoláso fenti foájána Hilbet-tee inden esetben egy L 2 -té zát lineáis altee elyet egy egyenlet jelöl i az ipulzustébeli Diac-egyenlet. A σ=0 esetben ne feltétlenül ellene így lenni: választhatnán a stabilizáto 1-dienziós unité ábázolásána Hilbetteét C-ne is eo M δ SLZ egfelelő ábázolásána Hilbet-tee L 2 C µ± lenne egyenlet nélül. Azonban ha áttéün a téidőbeli ábázolásoa ao a fent egadott ala patiusabb: eo a σ=0 esete is van Diac-egyenlet. Ha az L 2 C µ± téen egvalósuló ábázolást választanán ao csa a inden σ esetén teljesülő Klein-Godon egyenlet lenne aelyne téidőbeli alaja ásodendű paciális diffeenciálegyenlet szeben a Diac-egyenlettel ely elsőendű. A Klein-Godon egyenlet ipulzustében: inden V ± esetén g + 2 ψ = 0. σ 1 2 N esetén α σ=α 2σ+δ σ0 és soszo ényeles azt ondani hogy σ=0 esetén is α σ =α 2σ de σ=0 helyett σ=1-et véve.

33 2.3. FÉNYSZERŰ IRREDUCIBILIS ÁBRÁZOLÁSOK Fényszeű ieducibilis ábázoláso Megjegyzés Most a pozitív fényszeű ábázolásoat vizsgálju. Legyen p V 0 + ögzített := p c valaint legyen µ + 0 a V 0+ anonius étée osztva p 2 0-nal. Ez pozitív ˆδ -invaiáns Radon-été V 0 + felett. Megjegyzés Ha p V 0 + ögzített és := p c ao egységnyi hosszú veto. Rögzítsün ég egy e E c I p c E c I vetot úgy hogy p e=0 és e e =1 teljesülne. Eo létezi egyetlen olyan e E c I hogy e e p c pozitívan iányított otonoált bázis E c -ben. Legyen I S 1 :=e S 2 :=e S 3 := p c. Eo S 1 S 2 S 3 pozitívan iányított otonoált bázis P Z-ben. Legyen ég S 0 := id Z =c. Eo p = c + p c = S 0 + S 3 így SLZ p := {A SLZ : AS 0 +S 3 A =S 0 +S 3 }. Megjegyzés A τ : T AutC λ z λ 2 z leépezés csopot-ofizus úgy hogy a C T C z λ λ 2 z függvény folytonos így épezhető a C τ T loálisan opat féldiet szozat. 12. Állítás Az A e : C τ T SLZ p z λ ReλS 0 + i IλS λ zs 1 +is 2 leépezés izoofizus a ét loálisan opat csopot özött inveze 1 SLZ p C τ T A 2 TAS 0+S 3 TAS TAS 0+S 3. Bizonyítás Létezi olyan otonoált bázis Z-ben elyben S 1 S 1 S 2 átixai a Pauli-átixo. Egy ilyen bázisban iszáítható hogy z λ C τ T esetén det A e z λ= λ 2 =1 tehát A e z λ SLZ. Legyen z λ C τ T. Eo A e z λs 0 +S 3 = λs 0 +S 3

34 34 2. ÁBRÁZOLÁSOK IMPULZUSTÉRBEN így A e z λs 0 +S 3 A e z λ = = λs 0 +S 3 ReλS 0 i IλS λz S 1 is 2 = tehát A e z λ SLZ p. Nyilvánvaló hogy A e folytonos. szeint 1 2 TA ez λs 0 +S 3 = λ és egyszeűen látható hogy 1 2 TA ez λs 1 = λ z = λ 2 S 0 +S 3 = S 0 +S 3 övetezéséppen A 1 e az állításban egadott foulával adható eg ebből pedig látható hogy folytonos függvény. Olyan Z-beli bázist használva elyben S 1 S 2 S 3 átixai a Pauli-átixo iszáítható hogy A SLZ p esetén 1 2 TAS 0+S 3 T ebből övetezi hogy A e áépez SLZ p -e. Tehát beláttu hogy A e hoeoofizus. z λ z λ C τ T esetén A e z λa e z λ = Reλλ S 0 +i Iλλ S λ λ z+λλ z S 1 +is 2 = = Reλλ S 0 + i Iλλ S λλ z+λ 2 z S 1 +is 2 = tehát A e csopot-ofizus. = A e z+λ 2 z λλ = A e z λz λ Megjegyzés A C τ T csopot ieducibilis folytonos unité ábázolásait a Macey féle epezentációs tétellel onstuálhatju eg. Előszö is a {0} pályához és T stabilizátohoz tatozó ábázoláso: n Z esetén W n : C τ T T z λ λ n. Legyen a {1 1} csopot ét ieducibilis unité ábázolása a C Hilbet-téen U + :=1 {1 1} és U := id {1 1} és legyen Û+:=1 T és Û := id T valaint α + :=1 T és α :=1/ id T. Jelölje továbbá µ T az 1-e noált Haa-étéet T felett és legyen ϱ>0. A C τ T csopot Macey-tétellel egonstuált ϱ T pályához és {1 1} stabilizátohoz tatozó ábázolásai az EXT és EXT tulajdonságoat felhasználva a övetező: 1 Az ábázolás tee: H ± = L 2 Cα ± µ T 2 Az ábázolási té salászozata: φ ψ α ± φ ψ dµ T

35 2.3. FÉNYSZERŰ IRREDUCIBILIS ÁBRÁZOLÁSOK 35 3 Az ábázoló opeátoo: z λ C τ T ψ H ± és µ T esetén W ±ϱ z λψ µ := e iϱ zµ Û ± λψλ 2 µ eo W ±ϱ ieducibilis folytonos unité ábázolása a C τ T loálisan opat csopotna a H ± Hilbet-téen és {W n : n Z W +ϱ : ϱ>0 W ϱ : ϱ>0} a C τ T ieducibilis folytonos unité ábázolásaina teljes epezentánsendszee. Megjegyzés Legyen e E c I eo úgy hogy p e=0 és e e =1 és n Z ϱ>0 esetén V n := W n A 1 e V ±ϱ := W ±ϱ A 1 e {V n : n Z V +ϱ : ϱ>0 V ϱ : ϱ>0} az SLZ p ieducibilis folytonos unité ábázolásaina teljes epezentánsendszee. n Z és A SLZ p esetén e-től függetlenül. V n A = 1 2 A n T p 13. Állítás Az eddigi jelölése ellett legyen V 0 + esetén α:= c. A p g p 2 c S 0 +S 3 +S 0 S 3 ha g p 2 c 0 C:= α S 0 +S 3 S 1 αs 1 ha g p 2 c =0 α 2 foulával ételezett C:V 0 + SLZ függvény Boel-éhető jobbinveze az függvényne. A ˆδ Ap Bizonyítás Olyan Z-beli bázist használva elyben S 1 S 2 S 3 átixai a Pauliátixo iszáítható hogy inden V 0 + esetén C SLZ. Legyen V 0 + eo S 0 +S 3 +S 0 S 3 S 0 +S 3 2 S 0 +S 3 +S 0 S 3 = 1 = S 0 +S 3 2 S 0+S 3 +S 0 S 3 = S 0 +S 3 = = S 3 S 0 2g p 2 c S3 = id Z S 0 = p 2 0 = 2g p 2 c p 2 0

36 36 2. ÁBRÁZOLÁSOK IMPULZUSTÉRBEN így g p 2 c 0 esetén Továbbá 1 2 C C = p 1 + α S 0 +S 3 S 1 αs 1 S 0 +S 3 α α S 0 +S 3 S 1 αs 1 = α = 1 αs 1 is 2 + α S 1 is 2 αs 1 = α 1 2 azonban g p 2 c =0 esetén = αs 0 S 3 = α = αp 2 c. p 2c így eo is C p C =. Tehát C jobbinveze az A ˆδ Ap függvényne és folytonos ind a { V 0 + : g p 2 c 0} nyílt halazon ind anna opleenteén övetezéséppen Boel-éhető. Megjegyzés V 0 + esetén det = = 0 =0 hasonlóan det azonban 0 iatt 0 övetezéséppen 1-dienziós altee Z-ben. Megjegyzés Az előző jelöléseel 1 x N + p esetén N + := Ke és N := Ke S 1 p = S1 S 3 S 0 = S 1 is 2 övetezéséppen azonban iatt S 1 +is 2 x = S 1 p x = 0 p = S3 S 0 S 3 = p + idz

37 2.3. FÉNYSZERŰ IRREDUCIBILIS ÁBRÁZOLÁSOK 37 így z λ C T esetén A e z λx = λx. 2 x N p esetén övetezéséppen azonban így z λ C T esetén és S 1 p = S 1 S 3 +S 0 = S 1 is 2 S 1 is 2 x = S 1 p x = 0 S 3 = p id Z A e z λ x = λx A e z λ 1 x = λ 1 x Tudju hogy A e bijeció C T és SLZ p özött így ha A SLZ p ao 1 x N + p esetén 2 x N p esetén A 1 x = Ax = 1 2 A T p x = V 1 Ax 1 2 A T p 1x = V 1 Ax. σ 1 2Z esetén legyen és 2 σ Z σ := Z ha σ 0 Z Z ha σ=0 2σ A ha σ>0 B σ : SLZ LZ σ A A 1 A ha σ=0 2 σ A 1 ha σ<0 továbbá az egyszeűség iatt vezessü be a övetező jelölést: 2σ N + ha σ>0 N σ := N N + ha σ=0 2 σ N ha σ<0 eo az előzőe szeint A SLZ p esetén B σ A N σ= V 2σ tehát B σ az SLZ p csopot olyan folytonos lineáis ábázolása hogy Np σ B σ SLZp -invaiáns altee Z σ -na és B σ SLZp ezen altéen egegyezi a V 2σ 1-dienziós folytonos unité ábázolással.

38 38 2. ÁBRÁZOLÁSOK IMPULZUSTÉRBEN Az előzőe szeint a Np σ V 2σ Z σ B σ négyese teljesül az EXT tulajdonság. Megjegyzés V 0 + esetén C p C = és ebből övetezően C 1 p C 1 = övetezéséppen x Z esetén 1 C 1 x N + p ao és csa ao ha x N + 2 C x N p ao és csa ao ha x N így ha x Z σ ao B σ C 1 x Np σ evivalens azzal hogy x N σ azaz νx=0 1 ha σ>0 ao inden ν=1... 2σ esetén 1x=0 2x=0 2 ha σ=0 ao és νx=0 3 ha σ<0 ao inden ν= σ esetén. Megjegyzés Legyen V 0 + eo 1 x Ke p esetén 2 x Ke p esetén x 2 = c 2g p 2 c x 2 x 2 c = 2g p 2 c x 2 p 2 0 p 2 0 Ugyanis legyen I úgy hogy = 0 c + 1 p c + 2 e + 3 e eo = 0 S S S S 2. =S3 1 Ha x Ke p S 0 ao S 1 x=x így is 2 x=s 1 S 3 x=s 1 x ezét x = 0+ 1 x + 2+i 3 S 1 x

39 2.3. FÉNYSZERŰ IRREDUCIBILIS ÁBRÁZOLÁSOK 39 azonban S 0 +S 3 x=2x iatt x S 1 x = 1 2 S 0+S 3 x S 1 x = 1 2 x S 0+S 3 S 1 x = 1 2 x S 1S 0 S 3 x = 0 így iatt x 2 = x 2x = = 2 0 x ebből pedig 0 = c és 1 = g p c apju. 2 Ha x Ke p azonban S 0 S 3 x=2x iatt x = x 2 iatt pont a ívánt egyenlőséget =S 0 +S 3 ao S 1 x= x így is 2 x=s 1 S 3 x= S 1 x ezét x = x + 2 i 3 S 1 x x S 1 x = 1 2 S 0 S 3 x S 1 x = 1 2 x S 0 S 3 S 1 x = 1 2 x S 1S 0 +S 3 x = 0 így iatt x 2 2x = x = = 2 0 x x = x 2. Megjegyzés A 13. Állításban bevezetett C:V 0+ SLZ függvénye x N + p esetén ha V 0 + olyan hogy g p 2 c 0 ao Cx 2 p 2 0 = 2g p 2 c x 2 = c x 2. Ha ha V 0 + olyan hogy g p 2 c =0 ao a 13. Állítás szeint Cx= αs 1 x így isét csa Cx 2 = c x 2. Követezéséppen inden V 0 + esetén ha x N + azaz C 1 x N p + ao C 1 x 2 = c x 2. Legyen ost V 0 + olyan hogy g p 2 c 0 és x N eo az előző egjegyzés szeint és p szeepét felcseélve p x 2 0 = 2g p 2 0 c x

40 40 2. ÁBRÁZOLÁSOK IMPULZUSTÉRBEN így p x 2 2 = 0 övetezéséppen p 2 0 p C x 2 p 2 0 = 2g p 2 c x 2 0 = 2g p 2 c x 2 0 p p 2 0 x 2 = c x 2. Ha ha V 0 + olyan hogy g p 2 c =0 ao a 13. Állítás szeint Cx= 1 ex így ost is α C x 2 = c x 2. Követezéséppen inden V 0 + esetén ha x N azaz C x N p ao C x 2 = c x 2. Legyen és σ 1 2 Z esetén α : V 0 + R + c α σ := { α 2 σ ha σ 0 α 2 ha σ=0. Eo a és egyenlősége szeint x N σ azaz Bσ C 1 x N σ p esetén B σ C 1 x 2 = α σ x 2 azaz teljesül az EXT feltétel az α σ leépezéssel. Megjegyzés Tehát σ 1 2Z esetén teintsü az M δ SLZ övetező ieducibilis folytonos unité ábázolását: 1 Az ábázolás tee: Ĥ pσc = {Ψ L 2 Z σα σµ + 0 : inden V 0+ esetén Ψ N σ }. A Ψ N σ feltétel evivalens azzal hogy νψ=0 ha σ>0 ao inden ν=1... 2σ esetén 1Ψ=0 2Ψ=0 ha σ=0 ao és νψ=0 ha σ<0 ao inden ν= σ esetén. 2 Az ábázolási té salászozata: Φ Ψ α σ Φ Ψ dµ + 0.

41 2.3. FÉNYSZERŰ IRREDUCIBILIS ÁBRÁZOLÁSOK 41 3 Az ábázoló opeátoo: x A M δ SLZ Ψ ĤpσC és V 0 + esetén ˆV pσc x AΨ = χ x B σ AΨδ A. Mindháo független C-től és ne nagyon függ p-től ai azt jelenti hogy csa a az ábázolási té salászozata függ -tól egy onstans szozó eejéig ezét a továbbiaban az ábázolás teée és az ábázoló opeátooa egyszeűen a Ĥ0σ és ˆV 0σ jelölést használju. σ-t az ábázolás spinjéne nevezzü. Megjegyzés Az időszeű ieducibilis ábázolásnál elondottahoz hasonlóan a fényszeű ieducibilis abázoláso fenti foájána Hilbet-tee inden esetben egy L 2 -té zát lineáis altee elyet egy egyenlet jelöl i az ipulzustébeli Diac-egyenlet. A σ=0 esetben ne feltétlenül ellene így lenni: választhatnán a stabilizáto 1-dienziós unité ábázolásána Hilbet-teét C-ne is eo M δ SLZ egfelelő ábázolásána Hilbet-tee L 2 C µ± 0 lenne egyenlet nélül. Azonban ha áttéün a téidőbeli ábázolásoa ao a fent egadott ala patiusabb: eo a σ=0 esete is van Diac-egyenlet. Ha az L 2 C µ± 0 téen egvalósuló ábázolást választanán ao csa a inden σ esetén teljesülő hulláegyenlet lenne aelyne téidőbeli alaja ásodendű paciális diffeenciálegyenlet szeben a Diac-egyenlettel ely elsőendű. A hulláegyenlet ipulzustében: inden V 0 ± esetén g ψ = 0. σ 1 2 Z esetén α σ=α 2 σ +δ σ0 és soszo ényeles azt ondani hogy σ=0 esetén is α σ =α 2 σ de σ=0 helyett σ=1-et véve. Megjegyzés Az eddigi egfontolásoban indig a 13. Állításban egadott C:V 0 + SLZ függvényt használtu. Legyen ost C :V 0 + SLZ leépezés ely Boel-éhető jobbinveze az A ˆδ Ap függvényne. Eo inden V 0 + esetén C 1 C SLZ p övetezéséppen illetve C 1 C N + p : N + p N + p C 1 C 1 N p : N p N p unité leépezése övetezéséppen ha x N + ao C 1 x 2 = C 1 CC 1 x 2 = C 1 x 2 és ha x N ao C x 2 = C C 1 C x 2 = C x 2 hasonlóan σ 1 2 Z esetén ha x N σ ao B σ C 1 x 2 = B σ C 1 x 2.

42 42 2. ÁBRÁZOLÁSOK IMPULZUSTÉRBEN Megjegyzés Legyen Γ := idz 0 LZ Z 0 id Z eo Γ olyan opeáto elyne sajátétéei : + 1 Z {0} sajátaltéel 1 {0} Z sajátaltéel és inden u M/I esetén Γγu + γuγ = 0. σ 1 2 N 0 esetén legyen 1 Az ábázolás tee: σ 0 esetén { Ĥ 0±σ = Ψ L 2 Z Z σα σµ + 0 : inden V + és inden ν=1... 2σ esetén νψ=0 γ és Γ ν Ψ= Ψ }. σ=0 esetén { Ĥ 00 = Ψ L 2 Z Z 0α 0µ + 0 : inden V + νψ=0 } és inden ν=1 2 esetén γ. 2 Az ábázolási té salászozata: Φ Ψ α σ Φ Ψ dµ Az ábázoló opeátoo: x A M δ SLZ Ψ Ĥp±σ és V 0 + esetén Ŵ 0±σ x AΨ = χ x D σ AΨδ A. Ŵ 0±σ az M δ SLZ csopot olyan folytonos unité ábázolása ely evivalens a ˆV 0±σ ábázolással. Megjegyzés A σ=0 esetben Ke γ =N N + Z Z 2-dienziós alté így Ke γ Ke γ Z Z 0 1-dienziós. 2.4 A foton ábázolás Megjegyzés Most a M δ SLZ csopot olyan folytonos unité ábázolását adju eg aely ne ieducibilis de a fiziai alalazáso szepontjából fontos.

43 2.4. A FOTON ÁBRÁZOLÁS 43 z λ C T esetén egyszeű száolással adódi hogy A e z λs 1 A e z λ = Reλ 2 S 1 Iλ 2 S 2 + Reλ 2 z S 0 +S 3 A e z λs 2 A e z λ = Iλ 2 S 1 + Reλ 2 S 2 + Iλ 2 z S 0 +S 3 A e z λs 0 +S 3 A e z λ = S 0 +S 3 övetezéséppen δ A e z λ I e = Reλ 2 e Iλ 2 e + Reλ 2 z p δ A e z λ I e = Iλ 2 e + Reλ 2 e + Iλ 2 z p δ A e z λ I p = p Jelölje az MM/I és M valós vetotee oplexifiáltját M C M/I C és M C és a δ A e z λ I valós lineáis leépezés egyetlen oplex lineáis itejesztését a oplexifiálta δ A e z λ I C. Eo δ A e z λ I C e+ie = λ 2 e+ie + λ 2 z p δ A e z λ I C e ie = λ 2 e ie + λ 2 z p övetezéséppen ˆδ A e z λ C e+ie = λ 2 e+ie + λ 2 z p ˆδ A e z λ C e ie = λ 2 e ie + λ 2 zp. Jelölje g C a g :M M I I bilineáis leépezés első változóban onjugált lineáis ásodi változóban lineáis itejesztését. Np := {v M C : g Cv p=0} 3-dienzós C-lineáis altee M C-na úgy hogy.. := 1 p 2 0 g C Np Np pozitív agtee C p így az Np félsalászozatos téhez asszociált Hilbet-té Np/C p. A SLZ esetén ˆδ A C LM C g C tató leépezés és folytonos lineáis ábázolás. ˆδ C : SLZ LM C A ˆδ A C A SLZ p esetén C p invaiáns altee ˆδ A C -ne így Np is legyen da := ˆδ A C Np LNp eo létezi egyetlen da LNp/C p úgy hogy da π Np/C p = π Np/C p da

44 44 2. ÁBRÁZOLÁSOK IMPULZUSTÉRBEN nyilvánvaló hogy da unité továbbá az is hogy d illetve d folytonos ábázolásai az SLZ p csopotna az Np félsalászozatos téen illetve az Np/C p Hilbet-téen. z λ C T esetén da e z λ π Np/C p e+ie = λ 2 π Np/C p e+ie da e z λ π Np/C p e ie = λ 2 π Np/C p e ie övetezéséppen A SLZ p esetén da π Np/C p e+ie = V 2 A π Np/C p e+ie da π Np/C p e ie = V 2 A π Np/C p e ie. Legyene N ± := C π Np/C p e±ie eze egyása otogonális invaiáns alteei a d ábázolásna és A SLZ p esetén da N ± = V ±2 A tehát az SLZ p csopot d ábázolása evivalens a V 2 V 2 ábázolással. Az előzőe szeint: az Np d M C ˆδ C négyese teljesül az EXT tulajdonság. V 0 + esetén ˆδ Cp= így z M C esetén ˆδ C 1 C z Np pontosan ao teljesül ha azaz ha z N. g C z = g Cˆδ Cp z = g Cp ˆδ C 1 C z = 0 z 1 z 2 N esetén ˆδ C 1 C z 1 ˆδ C 1 C z 2 Np tehát teljesül az EXT feltétel az α:=1 függvénnyel. = z 1 z 2 N Megjegyzés Teinthetjü a M δ SLZ féldiet szozat övetező ábázolását: 1 Az ábázolás tee: Ĥ = {Ψ L 2 M C µ+ 0 : inden V 0+ esetén Ψ N} a Ψ N feltétel evivalens azzal hogy gc Ψ=0. 2 Az ábázolási té félsalászozata: Φ Ψ Φ Ψ dµ + 0.

45 2.4. A FOTON ÁBRÁZOLÁS 45 3 Az ábázoló opeátoo: x A M δ SLZ Ψ Ĥ és V 0+ esetén ˆV x AΨ = χ x ˆδ A C Ψδ A. Mindháo független C-től. Megjegyzés Ψ Ĥ esetén Ψ Ψ =0 evivalens azzal hogy Ψ C azaz Ψ=0 teljesül µ + 0 -ajdne inden V 0+ esetén. Megjegyzés A ˆV ábázolást foton ábázolásna nevezzü. Ez tehát evivalens a ˆV p1 ˆV p 1 ábázolással. A foton tehát +1 és 1 sninű állapoto eveée.

46 46 2. ÁBRÁZOLÁSOK IMPULZUSTÉRBEN

47 3. Fejezet Ábázoláso téidőben 3.1 Fouie-tanszfoáció Az időszeű fényszeű ieducibilis és foton ábázoláso és 2.4 végén egadott alajait négyesipulzustébeli alaona neveztü et ábázolási teü az M észhalazain ételezett függvényeből áll. A gyaolatban fontosa az ezeel evivalens úgynevezett téidőbeli alao ahol az ábázolás tee az M észhalazain ételezett függvényeből áll. Ezee a Fouie tanszfoáció segítségével téhetün át. Definíció Legyen I + ögzített és µ az M I g pszeudoeulidészi té anonius étée szoozva 4 -nel és µ az M I g pszeudoeulidészi té anonius étée osztva 4 -nel. Eze pozitív eltolásinvaiáns étée. Jelölje SM és az M C gyosan csöenő függvénye teét hasonlóan SM és SM. Legyene F ± µ : SM SM ϕ 1 2π 2 e ±ix ϕxdµx illetve F ± µ : SM SM ψ x 1 2π 2 e ±ix ψxdµ a pozitív ill. negatív Fouie-tanszfoáció. Eo µ és µ duális étée azaz F + µ = F µ 1 F µ = F + µ 1 és inden ϕ ψ SM esetén F ± µ ϕ F ± µ ψ L 2 µ = ϕ ψ L 2 µ. Jelölje SM illetve SM az SM illetve SM feletti tepeált disztibúció teét és legyene F ± µ : SM SM T T F ± µ 47

48 48 3. ÁBRÁZOLÁSOK TÉRIDŐBEN illetve F ± µ : SM SM S S F ± µ a pozitív ill. negatív Fouie-tanszfoáció. o M esetén ha O o :M M x x o ao legyen Z o : SM SM ϕ ϕ O 1 o és Z o : SM SM T T Z 1 o. 3.2 Időszeű ieducibilis ábázoláso 14. Állítás Legyen I + F Banach-té α : V + ]0 1] c s 0 és Ψ L 2 F αs µ +. Eo a Ψ µ + V + feletti Radon-été itejeszthető M -a és a itejesztett Radon été éséelt disztibúció M felett. Bizonyítás Mivel V + zát M -ban Ψ µ + itejeszthető M -a. Megjegyezzü előszö hogy α h 1 c = =:η és >3/2 esetén η L 2 Rµ E c. Ugyanis az integandus folytonos és olátos 1 így báely opat halazon négyzetesen integálható és ajoálja az függvény aely báely. nullát tatalazó nyílt göb opleenteén négyzetesen integálható. Ψ L 2 F αs µ + iatt Ψ h 1 c η s+1 2 L 2 F µ E c legyen n N olyan hogy n> s 1 s +1 eo 2 2 +n>3 2 övetezéséppen így η 1 s 2 +n L 2 Rµ E c Ψ h 1 c η n+1 L 1 F µ E c jelölje a noafüggvény integálját az L 1 F -beli félnoát C. Legyen ϕ SM eo Ψ µ + ϕ = Ψϕdµ + = = Ψ h 1 c ϕ h 1 c ηdµ E c = Ψ h 1 c η n+1 ϕ h 1 c η n dµ E c

49 3.2. IDŐSZERŰ IRREDUCIBILIS ÁBRÁZOLÁSOK 49 övetezéséppen n Ψ µ + ϕ C sup. 2 + ϕ h 1 c 2 = n = C sup ϕ c V + ebből pedig övetezi hogy Ψ µ + éséelt disztibúció. σ 1 2N és o M esetén F o := Fµ Z o id Z Z σ : SM Z Z σ SM Z Z σ lineáis bijeció. Jelölje µ M azt az egyetlen eltolásinvaiáns pozitív Radonétéet M felett elye inden o M esetén O o µ M =µ teljesül. I + σ 1 2 N és Ψ Ĥσ L 2 Z Z σ α 2σ µ + esetén σ=0 esetén is de ao a épleteben σ=1-et véve α σ 1/2 Ψ L 2 Z Z σα µ+ így az előző állítás szeint az α σ 1/2 Ψ µ + Radon été itejeszthető M -e Radon étéé és ez a itejesztett été éséelt disztibúció így inden o M esetén Fo 1 α σ 1/2 Ψ µ + éséelt disztibúció M felett. Ψ KV + Z Z σ esetén Fo 1 α σ 1/2 Ψ µ + eguláis disztibúció sűűségfüggvénye µ M -e nézve: x M esetén Φx = 1 2π 2 α σ 1/2 Ψe ix o dµ +. Később látni fogju hogy Fo 1 α σ 1/2 Ψ µ + eguláis disztibúció Ψ Ĥσ L 2 Z Z α 2σ µ + esetén is. σ Továbbá az i σ : L 2 Z Z σα2σ µ + L 2 Z Z σα µ+ Ψ α σ 1/2 Ψ leépezés unité a ét Hilbet-té özött. Teintsü a M δ SLZ csopot övetező ábázolását: 1 Az ábázolás tee: H σ := F 1 o i σ Ĥσ 2 Az ábázolási té salászozata: S T 1 2π i 1 σ F o S i 1 σ F o T Ĥ σ 3 Az ábázló opeátoo: x A M δ SLZ esetén V σ x A := Fo 1 i σ ˆV σ x A i 1 σ F o.

50 50 3. ÁBRÁZOLÁSOK TÉRIDŐBEN Eo V σ folytonos unité ábázolása az M δ SLZ csopotna ely evivalens a ˆV σ ábázolással. Legyen x A M δ SLZ és Ψ Ĥσ eo V + esetén iσ ˆV σ x A i 1 σ Ψ = = α σ 1/2 e ix D σ Aα σ+1/2 Ψδ A = σ 1/2 α = αδ A e ix D σ AΨδ A. Az egyszeűség edvéét vezessü be a övetező függvényt: κ A : V + R + α αδ A eo az előzőe szeint iσ ˆV σ x A i 1 σ Ψ = κ A σ 1/2 e ix D σ AΨδ A. Legyen Φ H σ eo x A M δ SLZ és x M V + esetén iσ ˆV σ x A i 1 σ Fo Φ = κ σ 1/2 A e i. x C δa 1F µ Z o D σ AΦ = Legyen = κ σ 1/2 A e i. x F µ C δ AZ o D σ AΦ = = κ σ 1/2 A F µ T x C δ AZ o D σ AΦ. F xa : M M x o + x + δ Ax o ez Poincaé-tanszfoáció úgy hogy DF xa =δ A F xa o o=x és így ezét tehát F 1 xa x = o + δ A 1 x o x T x C δaz o D σ AΦ = Z o C FxA D σ AΦ = Z o D σ AΦ F 1 xa iσ ˆV σ x A i 1 σ Fo Φ = κ σ 1/2 A F o D σ AΦ F 1 xa V σ x AΦ = Fo 1 κ σ 1/2 A F o D σ AΦ F 1 xa Ha σ=1/2 ao κ σ 1/2 A =1 így a fenti foula egyszeűbb alaa hozható: V σ x AΦ = D σ AΦ F 1 xa. σ 1/2 esetén az ábázoló opeátooa ne adható ilyen explicit foula: a Fouie-tanszfoáció és a függvénnyel való szozás felcseéléséől csa polinoiális függvénye esetén tudun valait ondani κ σ 1/2 A pedig általában ne polino..